एक ऋणात्मक संख्या को शून्य से विभाजित करें। शून्य से विभाजन

बच्चों के लिए एंटीपीयरेटिक्स एक बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियां होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की जरूरत होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?

संख्या 0 को एक तरह की सीमा के रूप में दर्शाया जा सकता है जो वास्तविक संख्याओं की दुनिया को काल्पनिक या नकारात्मक से अलग करती है। अस्पष्ट स्थिति के कारण, इस संख्यात्मक मान के साथ कई संक्रियाएँ गणितीय तर्क का पालन नहीं करती हैं। शून्य से विभाजित करने में असमर्थता इसका एक प्रमुख उदाहरण है। और आम तौर पर स्वीकृत परिभाषाओं का उपयोग करके शून्य के साथ अनुमत अंकगणितीय संचालन किया जा सकता है।

शून्य का इतिहास

शून्य सभी मानक संख्या प्रणालियों में संदर्भ बिंदु है। यूरोपीय लोगों ने अपेक्षाकृत हाल ही में इस संख्या का उपयोग करना शुरू किया, लेकिन प्राचीन भारत के ऋषियों ने यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा नियमित रूप से खाली संख्या का उपयोग करने से पहले एक हजार साल तक शून्य का उपयोग किया। भारतीयों से पहले भी, माया संख्यात्मक प्रणाली में शून्य अनिवार्य मान था। इन अमेरिकी लोगों ने ग्रहणी प्रणाली का उपयोग किया, और उन्होंने प्रत्येक महीने के पहले दिन को शून्य से शुरू किया। दिलचस्प बात यह है कि माया के बीच, "शून्य" का चिन्ह पूरी तरह से "अनंत" के चिन्ह के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, प्राचीन माया ने निष्कर्ष निकाला कि ये मात्राएँ समान और अनजानी थीं।

शून्य के साथ गणित संचालन

शून्य के साथ मानक गणितीय संक्रियाओं को कुछ नियमों में घटाया जा सकता है।

जोड़: यदि आप किसी मनमाना संख्या में शून्य जोड़ते हैं, तो इसका मान (0+x=x) नहीं बदलेगा।

घटाना: किसी भी संख्या में से शून्य घटाने पर घटाया गया मान अपरिवर्तित रहता है (x-0=x).

गुणन: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल (a*0=0) में 0 प्राप्त होता है।

विभाजन: शून्य को किसी भी गैर-शून्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है। इस मामले में, ऐसे अंश का मान 0. होगा और शून्य से विभाजन निषिद्ध है।

घातांक। यह क्रिया किसी भी संख्या से की जा सकती है। शून्य की घात तक एक मनमाना संख्या 1 (x 0 =1) देगी।

किसी भी शक्ति का शून्य 0 (0 a \u003d 0) के बराबर है।

इस मामले में, एक विरोधाभास तुरंत उत्पन्न होता है: अभिव्यक्ति 0 0 का कोई मतलब नहीं है।

गणित के विरोधाभास

तथ्य यह है कि शून्य से विभाजन असंभव है, बहुत से लोग स्कूल से जानते हैं। लेकिन किसी कारणवश इस तरह के प्रतिबंध का कारण बताना संभव नहीं है। वास्तव में, विभाजन-दर-शून्य सूत्र मौजूद क्यों नहीं है, लेकिन इस संख्या के साथ अन्य क्रियाएं काफी उचित और संभव हैं? इस प्रश्न का उत्तर गणितज्ञों द्वारा दिया गया है।

बात यह है कि सामान्य अंकगणितीय संक्रियाएँ जिनमें स्कूली बच्चे अध्ययन करते हैं प्राथमिक स्कूलवास्तव में उतने समान नहीं हैं जितना हम सोचते हैं। संख्याओं के साथ सभी सरल संक्रियाओं को घटाकर दो किया जा सकता है: जोड़ और गुणा। ये संक्रियाएँ किसी संख्या की अवधारणा का सार हैं, और शेष संक्रियाएँ इन दोनों के उपयोग पर आधारित हैं।

जोड़ और गुणा

आइए घटाव का एक मानक उदाहरण लें: 10-2=8। स्कूल में, यह सरल माना जाता है: यदि दस वस्तुओं में से दो को हटा दिया जाता है, तो आठ शेष रहते हैं। लेकिन गणितज्ञ इस ऑपरेशन को काफी अलग तरह से देखते हैं। आखिरकार, उनके लिए घटाव जैसा कोई ऑपरेशन नहीं है। यह उदाहरणदूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x + 2 = 10। गणितज्ञों के लिए, अज्ञात अंतर केवल वह संख्या है जिसे आठ बनाने के लिए दो में जोड़ा जाना चाहिए। और यहां किसी घटाव की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल उपयुक्त संख्यात्मक मान खोजने की आवश्यकता है।

गुणा और भाग का व्यवहार एक ही तरह से किया जाता है। 12:4=3 के उदाहरण से इसे समझा जा सकता है हम बात कर रहे हैंआठ वस्तुओं को दो समान ढेरों में विभाजित करने के बारे में। लेकिन वास्तव में, यह 3x4 \u003d 12 लिखने का एक उलटा सूत्र है। विभाजन के लिए ऐसे उदाहरण अंतहीन दिए जा सकते हैं।

0 से भाग देने के उदाहरण

यहीं पर यह थोड़ा स्पष्ट हो जाता है कि क्यों शून्य से भाग देना असंभव है। शून्य से गुणा और भाग करने के अपने नियम होते हैं। इस मात्रा के प्रति भाग के सभी उदाहरण 6:0=x के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। लेकिन यह व्यंजक 6 * x = 0 का उल्टा व्यंजक है। लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में केवल 0 प्राप्त होता है। यह गुण शून्य मान की अवधारणा में निहित है।

यह पता चला है कि ऐसी संख्या, जो 0 से गुणा करने पर कोई मूर्त मान देती है, मौजूद नहीं है, अर्थात इस समस्या का कोई हल नहीं है। ऐसे उत्तर से डरना नहीं चाहिए, यह इस प्रकार की समस्याओं का स्वाभाविक उत्तर है। केवल 6:0 लिखने का कोई मतलब नहीं है, और यह कुछ भी समझा नहीं सकता है। संक्षेप में, इस अभिव्यक्ति को अमर "शून्य द्वारा कोई विभाजन नहीं" द्वारा समझाया जा सकता है।

क्या कोई 0:0 ऑपरेशन है? वास्तव में, यदि 0 से गुणा करने की संक्रिया कानूनी है, तो क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? आखिरकार, 0x5=0 के रूप का एक समीकरण काफी कानूनी है। संख्या 5 के स्थान पर आप 0 लगा सकते हैं, इससे गुणनफल नहीं बदलेगा।

दरअसल, 0x0 = 0। लेकिन आप अभी भी 0 से भाग नहीं कर सकते हैं। जैसा कि उल्लेख किया गया है, विभाजन गुणन का विलोम है। इस प्रकार, यदि उदाहरण 0x5=0 में, आपको दूसरा कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें 0x0=5 मिलता है। या 10. या अनंत। अनंत को शून्य से विभाजित करना - आपको यह कैसा लगा?

लेकिन अगर कोई संख्या अभिव्यक्ति में फिट बैठती है, तो इसका कोई मतलब नहीं है, हम संख्याओं के अनंत सेट में से किसी एक को नहीं चुन सकते हैं। और अगर ऐसा है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति 0:0 का कोई मतलब नहीं है। यह पता चला है कि स्वयं शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

उच्च गणित

विभाजन शून्य है सिर दर्दके लिए स्कूल गणित. में अध्ययन किया तकनीकी विश्वविद्यालयोंगणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा का थोड़ा विस्तार करता है जिनका कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ही प्रसिद्ध अभिव्यक्ति 0:0 नए जोड़े जाते हैं जिनका कोई हल नहीं है स्कूल के पाठ्यक्रमअंक शास्त्र:

अनंत से विभाजित अनंत: ?:?;
इन्फिनिटी माइनस इनफिनिटी: ???;
इकाई एक अनंत शक्ति तक बढ़ी: 1? ;
अनंत गुणा 0: ?*0;
कुछ दुसरे।

प्राथमिक विधियों द्वारा ऐसे व्यंजकों को हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणित के लिए धन्यवाद अतिरिक्त सुविधाओंकई समान उदाहरणों के लिए अंतिम समाधान देता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं पर विचार करने में विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता प्रकटीकरण

सीमा के सिद्धांत में, मान 0 को एक सशर्त अत्यल्प चर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और भाव जिसमें वांछित मान को प्रतिस्थापित करते समय शून्य से विभाजन प्राप्त होता है, परिवर्तित हो जाते हैं। सामान्य बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग करते हुए सीमा विस्तार का एक मानक उदाहरण नीचे दिया गया है:

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, एक अंश की एक साधारण कमी इसके मूल्य को पूरी तरह तर्कसंगत उत्तर में लाती है।

सीमाओं पर विचार करते समय त्रिकोणमितीय कार्यउनकी अभिव्यक्तियाँ पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम हो जाती हैं। उस सीमा पर विचार करते समय जिसमें सीमा को प्रतिस्थापित करने पर भाजक 0 हो जाता है, दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

ल'हॉपिटल विधि

कुछ मामलों में, व्यंजकों की सीमाओं को उनके व्युत्पन्नों की सीमा से बदला जा सकता है। गिलियूम लोपिटल - फ्रांसीसी गणितज्ञ, फ्रांसीसी स्कूल के संस्थापक गणितीय विश्लेषण. उन्होंने सिद्ध किया कि व्यंजकों की सीमाएँ इन व्यंजकों के व्युत्पन्नों की सीमाओं के बराबर होती हैं। गणितीय संकेतन में, उनका नियम इस प्रकार है।

वर्तमान में, 0:0 या ?:? प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने में ल'हॉपिटल पद्धति का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

कैसे विभाजित करें और 0.1 से गुणा करें; 0.01; 0.001 आदि?

भाग और गुणा के नियम लिखिए।

किसी संख्या को 0.1 से गुणा करने के लिए, आपको केवल अल्पविराम को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए यह था 56 , बन गया 5,6 .

समान संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को विपरीत दिशा में ले जाने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए यह था 56 , बन गया 560 .

संख्या 0.01 के साथ, सब कुछ समान है, लेकिन आपको इसे 2 वर्णों में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, न कि एक को।

सामान्य तौर पर, कितने शून्य, इतने और स्थानांतरण।

उदाहरण के लिए, एक संख्या 123456789 है।

आपको इसे 0.000000001 से गुणा करना होगा

संख्या 0.000000001 में नौ शून्य हैं (हम शून्य को दशमलव बिंदु के बाईं ओर भी गिनते हैं), जिसका अर्थ है कि हम संख्या 123456789 को 9 अंकों से स्थानांतरित करते हैं:

यह 123456789 था जो 0.123456789 हो गया।

गुणा करने के लिए नहीं, बल्कि उसी संख्या से भाग देने के लिए, हम दूसरी तरफ जाते हैं:

यह 123456789 था 123456789000000000 बन गया।

एक पूर्णांक को इस तरह स्थानांतरित करने के लिए, हम केवल एक शून्य को इसके लिए विशेषता देते हैं। और भिन्नात्मक में हम अल्पविराम को स्थानांतरित करते हैं।

किसी संख्या को 0.1 से भाग देना उस संख्या को 10 से गुणा करने के बराबर है

किसी संख्या को 0.01 से भाग देना उस संख्या को 100 से गुणा करने के बराबर है

0.001 से भाग देने पर 1000 से गुणा किया जाता है।

इसे याद रखना आसान बनाने के लिए, हम उस संख्या को पढ़ते हैं जिसके द्वारा हमें अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दाएं से बाएं ओर विभाजित करने की आवश्यकता होती है और परिणामी संख्या से गुणा करते हैं।

उदाहरण: 50: 0.0001। यह 50 को गुणा करने जैसा है (अल्पविराम के बिना दाएं से बाएं पढ़ें - 10000) 10000। यह 50000 निकला।

गुणा के साथ वही, केवल विपरीत में:

400 x 0.01, 400 को विभाजित करने के समान है (अल्पविराम के बिना दाएं से बाएं पढ़ें - 100) 100: 400: 100 = 4।

जो कोई भी इस तरह की संख्याओं से गुणा और विभाजित करते समय अल्पविराम को दाईं ओर और बाईं ओर स्थानांतरित करना अधिक सुविधाजनक पाता है, ऐसा कर सकता है।

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5.5.6। दशमलव विभाजन

मैं। किसी संख्या को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको भाज्य और भाजक में जितने अंक भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं उतने अंकों को दाहिनी ओर ले जाने की आवश्यकता होती है, और फिर एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होता है।

मुख्यरे।

विभाजन करें: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

समाधान।

उदाहरण 1) 16,38: 0,7.

डिवाइडर में 0,7 दशमलव बिंदु के बाद एक अंक है, इसलिए, हम अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक को दाईं ओर ले जाएंगे।

फिर हमें साझा करने की आवश्यकता होगी 163,8 पर 7 .

एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजन करें।

हम विभाजित करते हैं क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते हैं। नंबर कैसे कम करें 8 - दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक (यानी दसवें स्थान पर अंक), तो तुरंत एक निजी अल्पविराम लगाएंऔर बांटना जारी रखें।

उत्तर: 23.4।

उदाहरण 2) 15,6: 0,15.

अल्पविराम को लाभांश में ले जाएं ( 15,6 ) और भाजक ( 0,15 ) दाईं ओर दो अंक, चूंकि भाजक में 0,15 दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

याद रखें कि आप जितने चाहें उतने शून्य दाईं ओर दशमलव अंश को निर्दिष्ट कर सकते हैं, और इससे दशमलव अंश नहीं बदलेगा।

15,6:0,15=1560:15.

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन करें।

उत्तर: 104।

उदाहरण 3) 3,114: 4,5.

अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक को दाईं ओर ले जाएँ और भाग दें 31,14 पर 45 एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के नियम के अनुसार।

3,114:4,5=31,14:45.

निजी तौर पर, जैसे ही हम आंकड़ा गिराते हैं, अल्पविराम लगाएं 1 दसवें स्थान पर। फिर हम विभाजन जारी रखते हैं।

विभाजन को पूरा करने के लिए हमें असाइन करना था शून्यसंख्या के लिए 9 - संख्याओं का अंतर 414 और 405 . (हम जानते हैं कि शून्य को दाईं ओर के दशमलव अंश में निर्दिष्ट किया जा सकता है)

उत्तर: 0.692।

उदाहरण 4) 53,84: 0,1.

हम कॉमा को लाभांश और भाजक में स्थानांतरित करते हैं 1 दाईं ओर संख्या।

हम पाते हैं: 538,4:1=538,4.

आइए समानता का विश्लेषण करें: 53,84:0,1=538,4. हम इस उदाहरण में लाभांश में अल्पविराम और परिणामी भागफल में अल्पविराम पर ध्यान देते हैं। ध्यान दें कि लाभांश में अल्पविराम को स्थानांतरित कर दिया गया है 1 अंक दाईं ओर, जैसे कि हम गुणा कर रहे थे 53,84 पर 10. (वीडियो देखें "दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करना") इसलिए दशमलव को विभाजित करने का नियम 0,1; 0,01; 0,001 वगैरह।

द्वितीय। दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आदि, आपको अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। (दशमलव को 0.1; 0.01; 0.001, आदि से भाग देना उस दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के समान है।)

उदाहरण।

विभाजन करें: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

समाधान।

उदाहरण 1) 617,35: 0,1.

नियम के अनुसार द्वितीय में विभाजन 0,1 से गुणा करने के बराबर है 10 , और अल्पविराम को लाभांश में स्थानांतरित करें 1 अंक दाईं ओर:

1) 617,35:0,1=6173,5.

उदाहरण 2) 0,235: 0,01.

द्वारा विभाजन 0,01 से गुणा करने के बराबर है 100 , जिसका अर्थ है कि हम अल्पविराम को लाभांश में स्थानांतरित करेंगे पर दाईं ओर 2 अंक:

2) 0,235:0,01=23,5.

उदाहरण 3) 2,7845: 0,001.

क्योंकि में विभाजन 0,001 से गुणा करने के बराबर है 1000 , फिर अल्पविराम को खिसकाएँ दाईं ओर 3 अंक:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

उदाहरण 4) 26,397: 0,0001.

दशमलव को विभाजित करें 0,0001 से गुणा करने के समान है 10000 (एक अल्पविराम ले जाएँ 4 अंकों से सही). हम पाते हैं:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0.1, 0.01 जैसी संख्याओं से गुणा और भाग

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इस पाठ में, हम देखेंगे कि 10, 100, 0.1, 0.001 जैसी संख्याओं से गुणा और भाग कैसे किया जाता है। भी समाधान किया जाएगा विभिन्न उदाहरणइस टॉपिक पर।

संख्याओं को 10, 100 से गुणा करना

व्यायाम।संख्या 25.78 को 10 से गुणा कैसे करें?

दी गई संख्या के लिए दशमलव अंकन राशि के लिए संक्षिप्त अंकन है। आपको इसे और अधिक विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, आपको राशि को गुणा करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप बस प्रत्येक पद को गुणा कर सकते हैं:

यह पता चला है कि।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दशमलव को 10 से गुणा करना बहुत सरल है: आपको अल्पविराम को एक स्थिति से दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।

व्यायाम। 25.486 को 100 से गुणा करें।

100 से गुणा करना 10 से दो बार गुणा करने के समान है। दूसरे शब्दों में, आपको अल्पविराम को दो बार दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

10, 100 से संख्याओं का विभाजन

व्यायाम। 25.78 को 10 से भाग दें।

जैसा कि पिछले मामले में, योग के रूप में संख्या 25.78 का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है:

चूंकि आपको योग को विभाजित करने की आवश्यकता है, यह प्रत्येक पद को विभाजित करने के बराबर है:

यह पता चला है कि 10 से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक स्थान से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए:

व्यायाम। 124.478 को 100 से विभाजित करें।

100 से विभाजित करना 10 से दो बार विभाजित करने के समान है, इसलिए अल्पविराम को 2 स्थानों से बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है:

10, 100, 1000 से गुणा और भाग का नियम

यदि किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000, और इसी तरह से गुणा करने की आवश्यकता है, तो आपको अल्पविराम को दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है क्योंकि गुणक में शून्य हैं।

और इसके विपरीत, यदि दशमलव अंश को 10, 100, 1000, और इसी तरह से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो आपको अल्पविराम को बाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है क्योंकि गुणक में शून्य हैं।

उदाहरण जब आपको अल्पविराम को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है, लेकिन अधिक अंक नहीं होते हैं

100 से गुणा करने का अर्थ है दशमलव बिंदु को दो स्थानों से दाईं ओर स्थानांतरित करना।

बदलाव के बाद, आप पा सकते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद और कोई अंक नहीं है, जिसका अर्थ है कि भिन्नात्मक भाग गायब है। फिर अल्पविराम की जरूरत नहीं है, संख्या पूर्णांक निकली।

आपको 4 पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। लेकिन दशमलव बिंदु के बाद केवल दो अंक होते हैं। यह याद रखने योग्य है कि अंश 56.14 के लिए एक समतुल्य अंकन है।

अब 10,000 से गुणा करना आसान है:

यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि आप पिछले उदाहरण में भिन्न में दो शून्य क्यों जोड़ सकते हैं, तो लिंक पर अतिरिक्त वीडियो इसमें मदद कर सकता है।

समतुल्य दशमलव प्रविष्टियाँ

प्रविष्टि 52 का अर्थ निम्नलिखित है:

अगर हम 0 को सामने रखते हैं, तो हमें रिकॉर्ड 052 मिलता है। ये रिकॉर्ड समकक्ष हैं।

क्या दो शून्य को सामने रखना संभव है? हाँ, ये प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।

अब हम दशमलव को देखते हैं:

यदि हम शून्य असाइन करते हैं, तो हमें मिलता है:

ये प्रविष्टियाँ समकक्ष हैं। इसी प्रकार, आप कई शून्य निर्दिष्ट कर सकते हैं।

इस प्रकार, किसी भी संख्या को भिन्नात्मक भाग के बाद कई शून्य और पूर्णांक भाग से पहले कई शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। ये समान संख्या की समतुल्य प्रविष्टियाँ होंगी।

चूंकि 100 से विभाजन होता है, अल्पविराम 2 पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। दशमलव बिंदु के बाईं ओर कोई अंक नहीं हैं। पूरा हिस्सा गायब है। यह संकेतन अक्सर प्रोग्रामर द्वारा उपयोग किया जाता है। गणित में यदि कोई पूर्णांक भाग न हो तो उसके स्थान पर शून्य लगा दें।

आपको बाईं ओर तीन स्थितियों में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, लेकिन केवल दो स्थितियाँ हैं। यदि आप संख्या से पहले कई शून्य लिखते हैं, तो यह एक समतुल्य अंकन होगा।

यही है, बाईं ओर शिफ्ट करते समय, यदि संख्याएँ समाप्त हो जाती हैं, तो आपको उन्हें शून्य से भरने की आवश्यकता होती है।

में इस मामले मेंयह याद रखने योग्य है कि अल्पविराम हमेशा पूरे भाग के बाद आता है। तब:

0.1, 0.01, 0.001 से गुणा और भाग

10, 100, 1000 की संख्या से गुणा और भाग करना एक बहुत ही सरल प्रक्रिया है। संख्या 0.1, 0.01, 0.001 के साथ भी यही सच है।

उदाहरण. 25.34 को 0.1 से गुणा करें।

आइए दशमलव अंश 0.1 को साधारण के रूप में लिखें। लेकिन गुणा करना 10 से विभाजित करने जैसा ही है। इसलिए, आपको कॉमा 1 स्थिति को बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

इसी प्रकार, 0.01 से गुणा करना 100 से विभाजित करना है:

उदाहरण। 5.235 0.1 से विभाजित।

इस उदाहरण का समाधान इसी तरह बनाया गया है: 0.1 के रूप में व्यक्त किया गया है सामान्य अंश, और से विभाजित करना 10 से गुणा करने के समान है:

यानी, 0.1 से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को दाईं ओर एक स्थान से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, जो कि 10 से गुणा करने के बराबर है।

0.1, 0.01, 0.001 से गुणा और भाग करने का नियम

10 से गुणा करना और 0.1 से भाग देना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

10 से भाग देना और 0.1 से गुणा करना एक ही बात है। अल्पविराम को 1 स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

उदाहरणों का समाधान

निष्कर्ष

इस पाठ में 10, 100 एवं 1000 से भाग एवं गुणा करने के नियमों का अध्ययन किया गया साथ ही 0.1, 0.01, 0.001 से गुणा एवं भाग करने के नियमों पर विचार किया गया।

इन नियमों के आवेदन पर उदाहरणों पर विचार किया गया और निर्णय लिया गया।

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन। हां। गणित: पाठ्यपुस्तक। 5 कोशिकाओं के लिए। आम स्थिरांक। 17वां संस्करण। - एम .: मेमनोसिन, 2005।

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1. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षणिक विचारों का त्योहार" (स्रोत)

2. इंटरनेट पोर्टल "Matematika-na.ru" (स्रोत)

3. इंटरनेट पोर्टल "School.xvatit.com" (स्रोत)

गृहकार्य

3. अभिव्यक्ति मूल्यों की तुलना करें:

शून्य के साथ क्रियाएँ

गणित में, संख्या शून्यविशेष स्थान रखता है। तथ्य यह है कि वास्तव में इसका अर्थ "कुछ भी नहीं", "खालीपन" है, लेकिन इसका महत्व वास्तव में कम करना मुश्किल है। ऐसा करने के लिए, कम से कम यह याद रखना पर्याप्त है कि वास्तव में क्या है शून्य निशानऔर किसी भी समन्वय प्रणाली में बिंदु स्थिति के निर्देशांकों की उलटी गिनती शुरू हो जाती है।

शून्यमें व्यापक रूप से प्रयोग किया जाता है दशमलव भागदशमलव बिंदु से पहले और बाद में स्थित "खाली" अंकों के मान निर्धारित करने के लिए। इसके अलावा, अंकगणित के मूलभूत नियमों में से एक इसके साथ जुड़ा हुआ है, जो कहता है कि पर शून्यविभाजित नहीं किया जा सकता। उनका तर्क, वास्तव में, इस संख्या के बहुत सार से उपजा है: वास्तव में, यह कल्पना करना असंभव है कि इससे अलग कुछ मूल्य (और स्वयं भी) "कुछ नहीं" में विभाजित किया गया था।

साथ शून्यसभी अंकगणितीय संचालन किए जाते हैं, और पूर्णांक, साधारण और दशमलव अंशों को इसके "साझेदार" के रूप में उपयोग किया जा सकता है, और उन सभी में सकारात्मक और दोनों हो सकते हैं नकारात्मक अर्थ. हम उनके कार्यान्वयन और उनके लिए कुछ स्पष्टीकरण का उदाहरण देते हैं।

जोड़ते समय शून्यकिसी संख्या के लिए (पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों), इसका मान बिल्कुल अपरिवर्तित रहता है।

चौबीस प्लस शून्यचौबीस के बराबर है।

सत्रह दशमलव तीन आठवां प्लस शून्यसत्रह दशमलव तीन आठवें के बराबर है।

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ट्यूटोरियल

मेरी 3 साल की बेटी सोफिया हाल तकअक्सर "शून्य" का उल्लेख करता है, उदाहरण के लिए, इस संदर्भ में:

- सोन्या, तुमने पहले तो नहीं माना, और फिर तुमने मान लिया, क्या होता है? ..
- अच्छा ... शून्य!

वे। नकारात्मक संख्याओं की भावना और शून्य की तटस्थता पहले से ही है, ओह कैसे। जल्द ही वह पूछेगा: शून्य से भाग देना असंभव क्यों है?
और इसलिए मैंने फैसला किया सामान्य शर्तों मेंसब कुछ लिखें जो मुझे अभी भी शून्य से भाग देने के बारे में याद है और वह सब।

विभाजन को सौ बार सुनने की अपेक्षा एक बार देखना बेहतर है।
ठीक है, या एक को देखने के लिए x बार से विभाजित किया गया है ...

यहाँ यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि शून्य जीवन, ब्रह्मांड और उस सब का केंद्र है। इस सब के मुख्य प्रश्न का उत्तर 42 होने दो, लेकिन केंद्र वैसे भी 0 है। इसका कोई चिन्ह भी नहीं है, न तो प्लस (आज्ञा) है, न ही माइनस (आज्ञा नहीं), यह वास्तव में शून्य है। और वह गुल्लक के बारे में बहुत कुछ जानता है।

क्योंकि अगर किसी सुअर को शून्य से गुणा किया जाए तो सुअर को इस गोल ब्लैक होल में खींच लिया जाता है, और फिर से शून्य प्राप्त हो जाता है। यह शून्य इतना तटस्थ नहीं है जब यह गुणा करने के लिए जोड़-घटाव की बात करता है, विभाजन का उल्लेख नहीं करता है ... वहाँ, यदि शून्य "0 / x" के ऊपर है, तो फिर से ब्लैक होल. सब कुछ शून्य हो जाता है। लेकिन अगर विभाजन के दौरान, और नीचे से भी - "x / 0", तो यह शुरू होता है ... सफेद खरगोश, सोन्या का पालन करें!

स्कूल में, वे आपको बताएंगे "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते" और वे शरमाएंगे नहीं। प्रमाण के रूप में, वे कैलकुलेटर और सामान्य कैलकुलेटर पर "1/0 =" प्रहार करते हैं, वह भी बिना शरमाए, "ई", "त्रुटि" लिखेंगे, वे कहते हैं, "यह असंभव है - इसका मतलब है कि यह असंभव है।" हालांकि एक साधारण कैलकुलेटर किसे माना जाएगा, एक और सवाल है। अब, 2014 में, एंड्रॉइड फोन पर एक मानक कैलक्यूलेटर मेरे लिए कुछ पूरी तरह से अलग लिखता है:

वाह अनंत। अपनी आंखें स्लाइड करें, हलकों को काटें। यहाँ आप नहीं कर सकते। यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। अगर ध्यान से। क्योंकि सावधान न रहें, मेरा Android अभी भी सहमत नहीं है: "0/0 = त्रुटि", फिर से आप नहीं कर सकते। आइए फिर से प्रयास करें: "-1/0 = -∞", ओह कैसे। दिलचस्प राय है, लेकिन मैं इससे सहमत नहीं हूं। जैसा कि मैं "0/0 = त्रुटि" से सहमत नहीं हूं।

वैसे, आज की साइटों को संचालित करने वाली जावास्क्रिप्ट भी एंड्रॉइड कैलकुलेटर से असहमत है: ब्राउज़र कंसोल (अभी भी F12?) पर जाएं और वहां लिखें: "0/0" (एंटर)। जेएस आपको जवाब देगा: "नाएन"। यह कोई गलती नहीं है। यह "नॉट ए नंबर" है - यानी। ऐसा कुछ, लेकिन संख्या नहीं। जबकि "1/0" JS "इन्फिनिटी" के रूप में भी समझता है। यह करीब है। लेकिन जब तक गर्मी...

विश्वविद्यालय में - उच्च गणित। सीमाएं, डंडे और अन्य शर्मिंदगी हैं। और सब कुछ और अधिक जटिल हो जाता है, और अधिक जटिल, वे झाड़ी के चारों ओर घूमते हैं, लेकिन सिर्फ गणित के क्रिस्टल कानूनों का उल्लंघन नहीं करते हैं। लेकिन अगर आप इन मौजूदा कानूनों में शून्य से भाग देने की कोशिश नहीं करते हैं, तो आप इस कल्पना को अपनी उंगलियों पर महसूस कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, आइए विभाजन को फिर से देखें:

अनुसरण करना सही रेखा, दांये से बांये तक। x शून्य के जितना करीब होता है, x से विभाजित होने पर उतना ही मजबूत होता है। और कहीं बादलों में "प्लस इनफिनिटी"। वह हमेशा आगे है, क्षितिज की तरह, आप उसे पकड़ नहीं पाएंगे।

अब बाईं रेखा का अनुसरण करें, बाएं से दाएं। वही कहानी, केवल अब विभाजित उड़ता है, असीम रूप से नीचे, "माइनस इनफिनिटी" में। इसलिए राय है कि "1/0 = +∞", और "-1/0 = 1/-0 = -∞"।

लेकिन चाल यह है कि "0 = -0", शून्य का कोई संकेत नहीं है, यदि आप सीमाओं से जटिल नहीं हैं। और यदि आप एक ऐसे "सरल" शून्य को बिना किसी संकेत के विभाजित करते हैं, तो क्या यह मान लेना तर्कसंगत नहीं है कि अनंत भी निकल जाएगा - "सिर्फ" अनंत, बिना किसी संकेत के, शून्य की तरह। यह कहाँ है - ऊपर या नीचे? यह हर जगह है - सभी दिशाओं में शून्य से असीम रूप से दूर। यह जीरो इनसाइड आउट है। शून्य - कुछ नहीं। अनंत ही सब कुछ है। सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। सामान्य तौर पर, सब कुछ। और तुरंत। शुद्ध।

लेकिन "0/0" के बारे में कुछ था, कुछ और, अनंत नहीं ... चलो यह ट्रिक करते हैं: "2 * 0 = 0", हाँ, स्कूल में शिक्षक कहेंगे। इसके अलावा: "3 * 0 = 0" - फिर से, हाँ। और "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते" पर थोड़ा थूक देते हुए, वे कहते हैं, पूरी दुनिया पहले से ही धीरे-धीरे विभाजित हो रही है, हमें मिलता है: "2=0/0" और "3=0/0"। यह किस वर्ग में आयोजित किया जाता है, केवल शून्य के बिना, बिल्कुल।

एक मिनट रुकिए, यह "2 = 0/0 = 3", "2=3" निकलता है?! इसलिए वे डरते हैं, इसलिए वे "नहीं कर सकते"। केवल "0/0" "1/0" से भी बदतर है, यहां तक कि Android कैलकुलेटर भी इससे डरता है।

और हम डरते नहीं हैं! क्योंकि हमारे पास कल्पना गणित की शक्ति है। हम अपने आप को सितारों में कहीं अनंत निरपेक्ष के रूप में कल्पना कर सकते हैं, वहां से परिमित संख्या और लोगों की पापी दुनिया को देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि इस दृष्टिकोण से वे सभी समान हैं। और "2" सी "3", और यहां तक कि "-1", और स्कूल में शिक्षक, शायद, भी।

इसलिए, मैं विनयपूर्वक मानता हूं कि 0/0 संपूर्ण परिमित दुनिया है, या बल्कि वह सब कुछ है जो अनंत नहीं है और शून्यता नहीं है।

आधिकारिक गणित से दूर, मेरी कल्पनाओं में x से विभाजित शून्य ऐसा दिखता है। वास्तव में, यह 1 / x जैसा दिखता है, केवल विभक्ति एक पर नहीं, बल्कि शून्य पर है। वैसे, 2/x में दो में एक मोड़ है, और 0.5/x में 0.5 में एक मोड़ है।

यह पता चला है कि x=0 पर 0/x सभी परिमित मान लेता है - अनंत नहीं, शून्यता नहीं। ग्राफ़ में शून्य पर एक छेद है, अक्ष दिखाई दे रहे हैं।

बेशक, कोई आपत्ति कर सकता है कि "0 * 0 = 0", जिसका अर्थ है कि शून्य (शून्यता) भी 0/0 श्रेणी में आता है। मैं थोड़ा आगे भागूंगा - शून्य की डिग्री होगी और यह आपत्ति टुकड़ों में बिखर जाएगी।

उफ़, अनंत में एक को 0/0 के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह निकला (0/0)/0 - अनंत। अब क्रम, सब कुछ शून्य के अनुपात से व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि आप परिमित को अनंत में जोड़ते हैं, तो अनंत परिमित को अवशोषित कर लेगा और अनंत बना रहेगा:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

और यदि अनंतता को शून्यता से गुणा किया जाता है, तो वे एक दूसरे को अवशोषित करते हैं, और एक परिमित दुनिया प्राप्त होती है:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

लेकिन यह केवल सपनों का पहला स्तर है। आप और गहरा खोद सकते हैं।

यदि आप पहले से ही "संख्या की शक्ति" और "1/x = x^-1" की अवधारणा को जानते हैं, तो कुछ विचार के साथ, आप इन सभी विभाजनों और कोष्ठकों से आगे बढ़ सकते हैं (जैसे (0/0)/ 0) सिर्फ शक्तियों के लिए:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

संकेत।
यहाँ, अनंतता और शून्यता के साथ, सब कुछ सरल है, जैसे स्कूल में। और परिमित दुनिया इस तरह की डिग्री तक जाती है:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

उफ्फ!

यह पता चला है कि शून्य की सकारात्मक डिग्री शून्य है, शून्य की नकारात्मक डिग्री अनंत है, और शून्य की शून्य डिग्री एक परिमित दुनिया है।

इस प्रकार सार्वभौमिक वस्तु "0^x" निकलती है। ऐसी वस्तुएं एक दूसरे के साथ पूरी तरह से बातचीत करती हैं, फिर से वे सामान्य रूप से कई कानूनों, सुंदरता का पालन करती हैं।

गणित का मेरा मामूली ज्ञान उनमें से एक एबेलियन समूह को आकर्षित करने के लिए पर्याप्त था, जो एक निर्वात में अलग-थलग हो रहा था ("सिर्फ अमूर्त वस्तुएं, इस तरह का संकेतन, एक प्रतिपादक की तरह"), यहां तक कि सबसे अच्छे गणित शिक्षक की परीक्षा में भी फैसला "दिलचस्प है, लेकिन कुछ भी काम नहीं करेगा"। फिर भी, यहाँ कुछ निकलेगा, यह एक वर्जित विषय है - शून्य से विभाजन। सामान्य तौर पर, परेशान मत हो।

आइए अनंत को परिमित संख्या से गुणा करने का प्रयास करें:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

फिर से, अनंत ने एक परिमित संख्या को उसी तरह से निगल लिया है जैसे उसका एंटीपोड शून्य परिमित संख्याओं को निगल लेता है, वही ब्लैक होल:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

और यह पता चला है कि डिग्री ताकत की तरह होती है। वे। दूसरी डिग्री का शून्य सामान्य शून्य से अधिक मजबूत है (पहली डिग्री का, 0^1)। और अनंत शून्य से दूसरी डिग्री सामान्य अनंतता (0^-1) से अधिक मजबूत है।

और जब शून्यता परम से टकराती है, तो वे अपनी शक्ति नापते हैं - जिसके पास अधिक होगा, वही जीतेगा:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

यदि वे बल में समान हैं, तो वे नष्ट हो जाते हैं और परिमित संसार बना रहता है:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

वैसे, आधिकारिक गणित पहले से ही निकट है। इसके प्रतिनिधि "ध्रुवों" के बारे में जानते हैं और यह कि ध्रुवों की अलग-अलग ताकत (आदेश) है, साथ ही साथ "शून्य के आदेश" के बारे में भी। लेकिन वे अभी भी "अगले" ठोस सतह पर रौंद रहे हैं और ब्लैक होल में कूदने से डरते हैं।

और आखिरी मेरे लिए सपनों का तीसरा स्तर है। उदाहरण के लिए, ये सभी 0^-1 और 0^-2 - अनंत हैं अलग ताकत. या 0^1, 0^2 - विभिन्न ताकत के शून्य। लेकिन आखिरकार, "-1" और "-2" और "+1" और "+2" - वह सब - 0/0, 0 ^ 0 के बराबर, पहले ही बीत चुका है। यह पता चला है कि सपनों के इस स्तर से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है - शून्य, अनंत, और यहां तक कि सीमित दुनिया भी कुछ ज्ञान के साथ वहां पहुंच जाती है। एक बिंदु पर। एक श्रेणी में। इस खुशी को विलक्षणता कहा जाता है।

यह माना जाना चाहिए कि आत्मज्ञान की स्थिति के बाहर मैं एक बिंदु का पालन नहीं करता, लेकिन एक श्रेणी - संघ "0 ^ 0 यू 0 ^ (0 ^ 0)" - पूरी तरह से।

इस सब से क्या लाभ हो सकता है? आखिरकार, थोड़ा कम पागल "काल्पनिक संख्या", जो त्रुटि = √-1 में कैलकुलेटर को भी फाड़ देती है, और वे आधिकारिक गणित बन सकते हैं और अब स्टीलमेकिंग गणनाओं को सरल बना सकते हैं।

जैसे दूर से पेड़ पर लगे पत्ते एक जैसे लगते हैं, लेकिन गौर से देखने पर वे सब अलग-अलग होते हैं। और अगर आप इसके बारे में सोचते हैं, तो फिर वही। और तुमसे या मुझसे बहुत अलग नहीं है। या यों कहें, यदि आप कठिन सोचते हैं, तो वे बिल्कुल भिन्न नहीं हैं।

यहां लाभ अंतर और सार दोनों पर ध्यान केंद्रित करने की क्षमता है। यह काम और जीवन दोनों में और यहां तक कि मृत्यु के संबंध में भी बहुत उपयोगी है।

सोन्या!

स्कूल के निचले ग्रेड में भी शून्य से विभाजन पर सख्त प्रतिबंध लगाया गया है। बच्चे आमतौर पर इसके कारणों के बारे में नहीं सोचते हैं, लेकिन वास्तव में, यह जानना दिलचस्प और उपयोगी दोनों है कि क्यों मना किया गया है।

अंकगणितीय आपरेशनस

स्कूल में अध्ययन किए जाने वाले अंकगणितीय संचालन गणितज्ञों के दृष्टिकोण से असमान हैं। वे इनमें से केवल दो ऑपरेशनों को पूर्ण रूप से पहचानते हैं - जोड़ और गुणा। वे एक संख्या की अवधारणा में शामिल हैं, और संख्याओं के साथ अन्य सभी संक्रियाएँ किसी न किसी तरह इन दोनों पर निर्मित हैं। यही है, न केवल शून्य से विभाजन असंभव है, बल्कि सामान्य रूप से विभाजन भी है।

घटाव और विभाजन

बाकी गतिविधियों से क्या गायब है? फिर से, यह स्कूल से ज्ञात होता है कि, उदाहरण के लिए, सात में से चार घटाना मतलब सात मिठाइयाँ लेना, उनमें से चार खाना और जो बची हैं उन्हें गिनना। लेकिन गणितज्ञ मिठाई खाते हैं और आम तौर पर उन्हें पूरी तरह से अलग तरीके से देखते हैं। उनके लिए, केवल योग है, अर्थात, प्रविष्टि 7 - 4 का अर्थ है एक संख्या, जो संख्या 4 के योग में 7 के बराबर होगी। अर्थात्, गणितज्ञों के लिए, 7 - 4 समीकरण का एक छोटा रिकॉर्ड है : x + 4 = 7. यह एक घटाव नहीं है, बल्कि एक कार्य है x को बदलने के लिए संख्या का पता लगाएं।

यही बात विभाजन और गुणा पर भी लागू होती है। दस को दो से विभाजित करते हुए, प्राथमिक विद्यालय का छात्र दस कैंडी को दो समान ढेर में व्यवस्थित करता है। गणितज्ञ यहाँ समीकरण भी देखते हैं: 2 x = 10।

तो यह पता चला है कि शून्य से विभाजन क्यों प्रतिबंधित है: यह असंभव है। रिकॉर्ड 6: 0 को समीकरण 0 x = 6 में बदलना चाहिए। अर्थात, आपको एक संख्या खोजने की आवश्यकता है जिसे शून्य से गुणा किया जा सकता है और 6 प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन यह ज्ञात है कि शून्य से गुणा हमेशा शून्य देता है। यह शून्य का आवश्यक गुण है।

इस प्रकार, ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे शून्य से गुणा करने पर शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या प्राप्त हो। इसका मतलब यह है कि इस समीकरण का कोई हल नहीं है, ऐसी कोई संख्या नहीं है जो अंकन 6: 0 से संबंधित हो, अर्थात इसका कोई मतलब नहीं है। इसकी अर्थहीनता के बारे में और वे कहते हैं कि जब वे विभाजन को शून्य से प्रतिबंधित करते हैं।

क्या शून्य शून्य से विभाजित होता है?

क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? समीकरण 0 x = 0 कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, और आप x के लिए यही शून्य ले सकते हैं और 0 x 0 = 0 प्राप्त कर सकते हैं। फिर 0: 0 = 0? लेकिन, उदाहरण के लिए, यदि हम x के लिए एक लेते हैं, तो यह 0 1 = 0 भी निकलेगा। आप x के लिए अपनी पसंद की कोई भी संख्या ले सकते हैं और शून्य से विभाजित कर सकते हैं, और परिणाम समान रहेगा: 0: 0 = 9 , 0: 0 = 51 और इसी तरह आगे।

इस प्रकार, इस समीकरण में बिल्कुल कोई भी संख्या डाली जा सकती है, और किसी भी विशिष्ट को चुनना असंभव है, यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी संख्या अंकन 0: 0 द्वारा इंगित की गई है। अर्थात्, यह संकेतन भी समझ में नहीं आता है, और शून्य से विभाजन अभी भी असंभव है: यह अपने आप में विभाज्य भी नहीं है।

तकोवा महत्वपूर्ण विशेषताविभाजन की संक्रियाएँ, अर्थात् गुणा और संबद्ध संख्या शून्य।

प्रश्न बना रहता है: लेकिन क्या इसे घटाया जा सकता है? हम कह सकते हैं कि असली गणित इसी से शुरू होता है दिलचस्प सवाल. इसका उत्तर खोजने के लिए, संख्यात्मक सेटों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं को जानना और उन पर संक्रियाओं से परिचित होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, केवल सरल ही नहीं हैं, बल्कि इसका विभाजन भी सामान्य लोगों के विभाजन से भिन्न है। यह स्कूल के पाठ्यक्रम में शामिल नहीं है, लेकिन गणित में विश्वविद्यालय के व्याख्यान इसी से शुरू होते हैं।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश स्कूली बच्चे इस नियम को दिल से याद करते हैं, बिना सवाल पूछे। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और अगर आप इसके जवाब में पूछेंगे तो क्या होगा: "क्यों?" लेकिन वास्तव में, यह जानना बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण - जोड़ और गुणन के रूप में पहचानते हैं। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन्हीं दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। मतलब क्या है 5 – 3 ? छात्र इसका उत्तर सरलता से देगा: आपको पाँच वस्तुएँ लेने की आवश्यकता है, उनमें से तीन को हटा दें (निकालें) और देखें कि कितने शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए प्रवेश 5 – 3 मतलब एक संख्या है, जब एक संख्या में जोड़ा जाता है 3 नंबर देगा 5 . वह है 5 – 3 समीकरण के लिए सिर्फ एक आशुलिपि है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है। केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या खोजना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। रिकॉर्डिंग 8: 4 आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेरों में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन यह वास्तव में समीकरण का संक्षिप्त रूप है 4 एक्स = 8.

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि क्यों शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) है। रिकॉर्डिंग 5: 0 का संक्षिप्त रूप है 0 एक्स = 5. अर्थात्, यह कार्य एक संख्या का पता लगाना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब से गुणा किया जाता है 0 हमेशा निकलता है 0 . यह शून्य की अंतर्निहित संपत्ति है, सख्ती से बोलना, इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

एक संख्या जिसे, जब गुणा किया जाता है 0 अशक्त के अलावा कुछ और देगा, बस मौजूद नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता।) 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं होता है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की अर्थहीनता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? दरअसल, समीकरण के बाद से 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया। उदाहरण के लिए, आप ले सकते हैं एक्स = 0, और फिर हम प्राप्त करते हैं 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन जल्दी मत करो। आइए लेने की कोशिश करते हैं एक्स = 1. पाना 0 1 = 0. सही? साधन, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी संख्या ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 वगैरह।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। अर्थात्, हम यह नहीं बता सकते कि कौन-सी संख्या प्रविष्टि से मेल खाती है 0: 0 . और यदि ऐसा है, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर होना पड़ता है कि यह रिकॉर्ड भी समझ में नहीं आता है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में ऐसे मामले हैं जब, धन्यवाद अतिरिक्त शर्तोंकार्यों में से किसी एक को वरीयता दी जा सकती है विकल्पसमीकरण का हल 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है। अधिक सटीक होने के लिए, गुणन संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या शून्य होती है।

ठीक है, सबसे सावधानीपूर्वक, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, यहीं से असली गणित शुरू होता है। इसका उत्तर संख्यात्मक समुच्चयों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसकी पढ़ाई नहीं होती है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित के व्याख्यानों में आपको सबसे पहले यही पढ़ाया जाएगा।

स्कूल में भी, शिक्षकों ने हमारे दिमाग में सबसे आसान नियम ठोकने की कोशिश की: "कोई भी संख्या शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होती है!", - लेकिन अभी भी उसके आसपास लगातार कई विवाद पैदा होते हैं। किसी ने सिर्फ नियम को याद किया और "क्यों?" सवाल से परेशान नहीं हुआ। "आप यहाँ सब कुछ नहीं कर सकते, क्योंकि स्कूल में उन्होंने ऐसा कहा था, नियम ही नियम है!" कोई इस नियम को साबित करते हुए, या इसके विपरीत, इसकी अतार्किकता को साबित करते हुए, आधी नोटबुक को सूत्रों से भर सकता है।

अंत में कौन सही है

इन विवादों के दौरान, दोनों लोग, विपरीत दृष्टिकोण रखते हुए, एक दूसरे को राम की तरह देखते हैं, और अपनी पूरी ताकत से साबित करते हैं कि वे सही हैं। हालाँकि, यदि आप उन्हें ओर से देखते हैं, तो आप एक नहीं, बल्कि दो मेढ़े देख सकते हैं, जो अपने सींगों के साथ एक दूसरे के खिलाफ आराम कर रहे हैं। उनमें फर्क सिर्फ इतना है कि एक दूसरे से थोड़ा कम पढ़ा-लिखा है। बहुधा, जो लोग इस नियम को गलत मानते हैं वे तर्क को इस तरह बुलाने की कोशिश करते हैं:

मेरी मेज पर दो सेब हैं, अगर मैं उनके पास शून्य सेब रख दूं, यानी एक भी नहीं रखूं, तो इससे मेरे दो सेब गायब नहीं होंगे! नियम अतार्किक है!

दरअसल, सेब कहीं गायब नहीं होंगे, लेकिन इसलिए नहीं कि नियम अतार्किक है, बल्कि इसलिए कि यहां थोड़ा अलग समीकरण का उपयोग किया गया है: 2 + 0 \u003d 2। विपरीत लक्ष्य - तर्क को बुलाओ।

यह दिलचस्प है: गणित में संख्याओं का अंतर कैसे ज्ञात करें?

गुणन क्या है

मूल गुणन नियमकेवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया था: गुणन एक संख्या है जिसे एक निश्चित संख्या में जोड़ा जाता है, जिसका तात्पर्य संख्या की स्वाभाविकता से है। इस प्रकार, गुणन के साथ किसी भी संख्या को इस समीकरण में घटाया जा सकता है:

25x3=75

25 + 25 + 25 = 75

25x3 = 25 + 25 + 25

इस समीकरण से निष्कर्ष निकलता है, वह गुणन एक सरल जोड़ है.

शून्य क्या है

कोई भी व्यक्ति बचपन से जानता है: शून्य शून्यता है इस तथ्य के बावजूद कि इस शून्यता का पदनाम है, इसमें कुछ भी नहीं है। प्राचीन पूर्वी वैज्ञानिकों ने अलग तरह से सोचा - उन्होंने दार्शनिक रूप से इस मुद्दे पर संपर्क किया और शून्यता और अनंतता के बीच कुछ समानताएं खींचीं और इस संख्या में गहरा अर्थ देखा। आखिरकार, शून्य, जिसका शून्यता का मूल्य है, किसी के बगल में खड़ा है प्राकृतिक संख्या, इसे दस गुना गुणा करें। इसलिए गुणन पर सारा विवाद - यह संख्या इतनी असंगति रखती है कि भ्रमित न होना मुश्किल हो जाता है। इसके अलावा, दशमलव अंशों में खाली अंकों को निर्धारित करने के लिए शून्य का लगातार उपयोग किया जाता है, यह दशमलव बिंदु से पहले और बाद में किया जाता है।

क्या शून्यता से गुणा करना संभव है

शून्य से गुणा करना संभव है, लेकिन यह बेकार है, क्योंकि, कोई भी कह सकता है, लेकिन नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर भी शून्य प्राप्त होगा। इस सबसे सरल नियम को याद रखना और इस सवाल को दोबारा कभी न पूछना ही काफी है। वास्तव में, सब कुछ सरल है जितना पहली नज़र में लगता है। जैसा कि प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना था, कोई छिपे हुए अर्थ और रहस्य नहीं हैं। सबसे तार्किक स्पष्टीकरण नीचे दिया जाएगा कि यह गुणन बेकार है, क्योंकि किसी संख्या को इससे गुणा करने पर भी वही प्राप्त होगा - शून्य।

यह दिलचस्प है: किसी संख्या का मापांक क्या होता है?

बहुत शुरुआत में वापस जा रहे हैं, दो सेब के बारे में तर्क, 2 गुना 0 इस तरह दिखता है:

अगर आप दो सेब पांच बार खाते हैं तो खाते हैं 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 सेब

यदि आप उनमें से दो को तीन बार खाते हैं, तो खाते हैं 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 सेब

दो सेब जीरो टाइम खाओगे तो कुछ नहीं खाओगे - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

आखिर एक सेब को 0 बार खाने का मतलब एक भी नहीं खाना है। यह भी साफ हो जाएगा एक छोटे बच्चे को. आप पसंद करें या न करें, 0 निकलेगा, दो या तीन को बिल्कुल किसी भी संख्या से बदला जा सकता है और बिल्कुल वही निकलेगा। और इसे सीधे शब्दों में कहें, शून्य कुछ भी नहीं हैऔर जब आपके पास है वहां कुछ भी नहीं है, फिर आप कितना भी गुणा करें - यह सब समान है शून्य होगा. कोई जादू नहीं है, और कोई सेब नहीं बनेगा, भले ही आप 0 को एक लाख से गुणा कर दें। यह शून्य से गुणन के नियम की सबसे सरल, सबसे समझने योग्य और तार्किक व्याख्या है। एक ऐसे व्यक्ति के लिए जो सभी सूत्रों और गणित से दूर है, इस तरह की व्याख्या सिर में असंगति को हल करने और सब कुछ ठीक करने के लिए पर्याप्त होगी।

उपरोक्त सभी से एक और महत्वपूर्ण नियम का पालन होता है:

आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

यह नियम भी, बचपन से ही हमारे सिर पर हठपूर्वक अंकित किया गया है। हम सिर्फ इतना जानते हैं कि यह असंभव है और यह अनावश्यक जानकारी के साथ हमारे सिर को भरे बिना है। यदि आपसे अचानक यह प्रश्न पूछा जाए कि किस कारण से शून्य से भाग देने की मनाही है, तो बहुसंख्यक भ्रमित हो जाएंगे और सरलतम प्रश्न का स्पष्ट उत्तर नहीं दे पाएंगे। स्कूल के पाठ्यक्रम, क्योंकि इस नियम को लेकर इतना विवाद और विवाद नहीं है।

हर कोई नियम को याद करता है और शून्य से विभाजित नहीं होता है, यह संदेह नहीं है कि उत्तर सतह पर है। जोड़, गुणा, भाग और घटाव असमान हैं, केवल गुणा और जोड़ उपरोक्त से भरे हुए हैं, और संख्याओं के साथ अन्य सभी जोड़तोड़ उनसे निर्मित हैं। अर्थात्, प्रविष्टि 10: 2 समीकरण 2 * x = 10 का एक संक्षिप्त नाम है। इसलिए, प्रविष्टि 10: 0, 0 * x = 10 का एक ही संक्षिप्त नाम है। यह पता चला है कि शून्य से विभाजन खोजने का कार्य है एक संख्या, 0 से गुणा करने पर, आपको 10 मिलता है और हमने पहले ही पता लगा लिया है कि ऐसी संख्या मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का कोई हल नहीं है, और यह एक प्राथमिक गलत होगा।

मैं आपको बता दूँ

0 से विभाजित नहीं करने के लिए!

1 को अपनी इच्छानुसार काटें, साथ में,

बस 0 से विभाजित मत करो!

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शून्य से विभाजन। आकर्षक गणित

शून्य का इतिहास

शून्य के साथ गणित संचालन

शून्य के साथ मानक गणितीय संक्रियाओं को कुछ नियमों में घटाया जा सकता है।

गुणन: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल (a*0=0) में 0 प्राप्त होता है।

किसी भी शक्ति का शून्य 0 (0 a \u003d 0) के बराबर है।

गणित के विरोधाभास

बात यह है कि प्राथमिक ग्रेड में स्कूली बच्चों द्वारा अध्ययन किए जाने वाले सामान्य अंकगणितीय ऑपरेशन वास्तव में उतने ही समान हैं जितना हम सोचते हैं। संख्याओं के साथ सभी सरल संक्रियाओं को घटाकर दो किया जा सकता है: जोड़ और गुणा। ये संक्रियाएँ किसी संख्या की अवधारणा का सार हैं, और शेष संक्रियाएँ इन दोनों के उपयोग पर आधारित हैं।

जोड़ और गुणा

आइए घटाव का एक मानक उदाहरण लें: 10-2=8। स्कूल में, यह सरल माना जाता है: यदि दस वस्तुओं में से दो को हटा दिया जाता है, तो आठ शेष रहते हैं। लेकिन गणितज्ञ इस ऑपरेशन को काफी अलग तरह से देखते हैं। आखिरकार, उनके लिए घटाव जैसा कोई ऑपरेशन नहीं है। इस उदाहरण को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x+2=10। गणितज्ञों के लिए, अज्ञात अंतर केवल वह संख्या है जिसे आठ बनाने के लिए दो में जोड़ा जाना चाहिए। और यहां किसी घटाव की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल उपयुक्त संख्यात्मक मान खोजने की आवश्यकता है।

गुणा और भाग का व्यवहार एक ही तरह से किया जाता है। 12:4=3 के उदाहरण में यह समझा जा सकता है कि हम आठ वस्तुओं को दो बराबर ढेरों में बांटने की बात कर रहे हैं। लेकिन वास्तव में, यह 3x4 \u003d 12 लिखने का एक उलटा सूत्र है। विभाजन के लिए ऐसे उदाहरण अंतहीन दिए जा सकते हैं।

0 से भाग देने के उदाहरण

उच्च गणित

हाई स्कूल गणित के लिए शून्य से विभाजन एक सिरदर्द है। तकनीकी विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया गया गणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा को थोड़ा विस्तारित करता है जिनका कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ज्ञात अभिव्यक्ति 0:0 में, नए जोड़े गए हैं जिनका स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में कोई समाधान नहीं है:

अनंत अनंत से विभाजित: ∞:∞;

इन्फिनिटी माइनस इनफिनिटी: ∞−∞;

अनंत घात तक बढ़ाई गई इकाई: 1 ∞ ;

अनंत को 0 से गुणा किया गया: ∞*0;

कुछ दुसरे।

प्राथमिक विधियों द्वारा ऐसे व्यंजकों को हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणित, इसी तरह के कई उदाहरणों के लिए अतिरिक्त संभावनाओं के लिए धन्यवाद, अंतिम समाधान देता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं पर विचार करने में विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता प्रकटीकरण

त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं पर विचार करते समय, उनके भाव पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम हो जाते हैं। उस सीमा पर विचार करते समय जिसमें सीमा को प्रतिस्थापित करने पर भाजक 0 हो जाता है, दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

ल'हॉपिटल विधि

कुछ मामलों में, व्यंजकों की सीमाओं को उनके व्युत्पन्नों की सीमा से बदला जा सकता है। गुइलौमे लोपिटल एक फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं, जो गणितीय विश्लेषण के फ्रांसीसी स्कूल के संस्थापक हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि व्यंजकों की सीमाएँ इन व्यंजकों के व्युत्पन्नों की सीमाओं के बराबर होती हैं। गणितीय संकेतन में, उनका नियम इस प्रकार है।

वर्तमान में, 0:0 या ∞:∞ प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने में L'Hopital पद्धति का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

गणित: दीर्घ विभाजन और गुणन

गुणन तालिका सीखने वाले किसी भी छात्र के लिए एक अंक की संख्याओं का गुणा और भाग मुश्किल नहीं होगा। यह दूसरी कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में शामिल है। एक और बात यह है कि जब बहु-अंकीय संख्याओं के साथ गणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक होता है। वे ग्रेड 3 में गणित के पाठों में ऐसी क्रियाएँ शुरू करते हैं। पदच्छेद नई थीम"एक कॉलम में विभाजन और गुणा"

बहु-अंकीय संख्याओं का गुणन

एक कॉलम में जटिल संख्याओं को विभाजित करना और गुणा करना सबसे आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको संख्या के अंकों की आवश्यकता है: सैकड़ों, दसियों, इकाइयाँ:

235 = 200 (सैकड़ा) + 30 (दहाई) + 5 (इकाई)।

गुणा करते समय संख्याओं की सही रिकॉर्डिंग के लिए हमें इसकी आवश्यकता होगी।

दो संख्याओं को लिखते समय जिन्हें गुणा करने की आवश्यकता होती है, उन्हें संख्याओं को अंकों में रखकर (इकाइयों के नीचे इकाइयाँ, दसियों के नीचे) एक के नीचे एक लिखा जाता है। एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय संख्या से गुणा करने पर, कोई कठिनाई नहीं होगी:

रिकॉर्डिंग इस प्रकार की जाती है:

गणना अंत से की जाती है - इकाइयों की श्रेणी से। जब पहले अंक से गुणा किया जाता है - इकाइयों की श्रेणी से - रिकॉर्ड भी अंत से किया जाता है:

3 x 5 = 15, 5 (इकाई) लिखिए, दहाई (1) याद रखिए;
2 x 5 \u003d 10 और 1 दस जो हमें याद थे, केवल 11, हम 1 (दस) लिखते हैं, हम सैकड़ों (1) याद करते हैं;
चूंकि हमारे पास उदाहरण में और अंक नहीं हैं, हम सैकड़ों (1 - जिसे याद किया गया था) लिखते हैं।

अगला चरण दूसरे अंक (दस स्थान) से गुणा करना है:

चूँकि हमने दहाई के स्थान से एक संख्या से गुणा किया है, हम उसी तरह से लिखना शुरू करेंगे, अंत से, दाईं ओर के दूसरे स्थान से शुरू करेंगे (जहाँ दहाई का स्थान है)।

1. आपको एक कॉलम में गुणन को अंको से लिखने की आवश्यकता है;

2. इकाइयों से शुरू करते हुए गणना करें;

3. कुल को अंकों से लिखें - यदि हम इकाइयों के रैंक से एक अंक से गुणा करते हैं - हम इस कॉलम से अंक - दसियों - से अंतिम कॉलम से रिकॉर्डिंग शुरू करते हैं और रिकॉर्ड रखते हैं।

नियम जो किसी कॉलम में दो अंकों की संख्या से गुणा करने पर लागू होता है, वह संख्याओं पर भी लागू होता है बड़ी राशिनिर्वहन।

एक कॉलम में बहु-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के उदाहरण लिखने के नियमों को याद रखना आसान बनाने के लिए, आप विभिन्न अंकों को अलग-अलग रंगों में हाइलाइट करके कार्ड बना सकते हैं।

यदि संख्याओं को अंत में शून्य वाले कॉलम में गुणा किया जाता है, तो गणना में उन्हें ध्यान में नहीं रखा जाता है, और रिकॉर्ड इस तरह रखा जाता है कि महत्वपूर्ण आंकड़ाहस्ताक्षरकर्ता के नीचे था, और शून्य दाईं ओर रहते हैं। गणना के बाद, उनकी संख्या दाईं ओर जोड़ी जाती है:

गणितज्ञ याकोव ट्रेखटेनबर्ग ने तेजी से गिनती की एक प्रणाली विकसित की। यदि गणना की एक निश्चित प्रणाली लागू की जाती है तो ट्रेचेनबर्ग विधि गुणन की सुविधा प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, 11 से गुणा करना। परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको अगली संख्या में एक संख्या जोड़नी होगी:

2.253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24.783।

सच साबित करना आसान है: 11 = 10 + 1

2.253 x 10 + 2.253 = 22.530 + 2.253 = 24.783।

के लिए गणना एल्गोरिदम अलग संख्याअलग, लेकिन वे आपको जल्दी से गणना करने की अनुमति देते हैं।

वीडियो "कॉलम गुणन"

बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन

बच्चों को किसी कॉलम से भाग देना मुश्किल लग सकता है, लेकिन एल्गोरिद्म को याद रखना मुश्किल नहीं है। द्वारा बहु-अंकीय संख्याओं के विभाजन पर विचार करें एकल अंक:
215: 5 = ?
गणना इस प्रकार लिखी गई है:

भाजक के नीचे हम परिणाम लिखेंगे। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है: हम भाजक के साथ लाभांश के सबसे बाएं अंक की तुलना करते हैं: 2 5 से कम है, हम 2 को 5 से विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम एक और अंक लेते हैं: 21 5 से अधिक है, जब इसे विभाजित किया जाता है : 20: 5 = 4 (शेष 1)

हम परिणामी शेषफल के लिए निम्नलिखित आकृति को ध्वस्त करते हैं: हमें 15 मिलता है। 15 5 से अधिक है, हम विभाजित करते हैं: 15: 5 = 3

समाधान इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार बिना शेषफल के विभाजन किया जाता है। उसी एल्गोरिथ्म के अनुसार, शेष के साथ एक कॉलम में विभाजन किया जाता है, केवल अंतर यह है कि अंतिम प्रविष्टि में शून्य नहीं, बल्कि शेष होगा।

यदि किसी कॉलम में तीन अंकों की संख्या को दो अंकों से विभाजित करना आवश्यक है, तो प्रक्रिया वही होगी जो एक अंक की संख्या से विभाजित करते समय होती है।

यहाँ विभाजन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

इसी तरह, एक बहु-अंकीय संख्या को दो अंकों की संख्या से विभाजित करते समय गणना की जाती है: 853: 15 = 50 और (3) शेष
इस प्रविष्टि पर ध्यान दें: यदि मध्यवर्ती गणना के दौरान परिणाम 0 है, लेकिन उदाहरण को अंत तक हल नहीं किया गया है, तो शून्य नहीं लिखा गया है, लेकिन अगले अंक को तुरंत ध्वस्त कर दिया गया है, और गणना आगे बढ़ती है।

वीडियो ट्यूटोरियल कॉलम में बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों को सीखने में मदद मिलेगी। एल्गोरिथ्म को याद करने और रिकॉर्डिंग गणनाओं के अनुक्रम का पालन करने के बाद, ग्रेड 4 में एक कॉलम में गुणा और भाग के उदाहरण अब इतने जटिल नहीं लगेंगे।

महत्वपूर्ण! रिकॉर्ड का पालन करें: अंकों को अंकों के नीचे एक कॉलम में लिखा जाना चाहिए।

वीडियो "एक कॉलम में विभाजन"

यदि ग्रेड 2 में एक बच्चे ने गुणा तालिका सीखी है, तो ग्रेड 4 के लिए गणित के पाठों में दो अंकों या तीन अंकों की संख्या के गुणन और विभाजन के उदाहरणों से उसे कोई कठिनाई नहीं होगी।

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गुणन और विभाजन नियम

गुणन तालिका सीखने के बाद, छात्रों को गुणा और भाग के नियम समझाए जाते हैं, गणितीय अभिव्यक्तियों की गणना करते समय उनका उपयोग करना सिखाया जाता है।

गुणन क्या है? यह स्मार्ट जोड़ है

संख्याओं को जोड़ने और घटाने में, गुणा करने और विभाजित करने में सरल भावबच्चों को न हो परेशानी :

ऐसी गणनाओं में, आपको केवल जोड़ और घटाव और गुणा तालिका के नियमों को जानने की आवश्यकता होती है।
जब अधिक जटिल अभ्यास शुरू होते हैं, तो उदाहरणों में दो या दो से अधिक क्रियाएं होती हैं, और यहां तक कि कोष्ठक के साथ, बच्चों को हल करते समय त्रुटियां होती हैं। और मुख्य कार्यों का गलत क्रम है।

क्या फर्क पड़ता है?

वास्तव में, क्या यह इतना महत्वपूर्ण है - उदाहरण में कौन सी क्रिया पहले करनी है, कौन सी दूसरी?

यदि हम चरणों को क्रम में करते हैं, तो हमें मिलता है:

हमें दो अलग-अलग उत्तर मिले। लेकिन ऐसा नहीं होना चाहिए, इसलिए जिस क्रम में कार्रवाई की जाती है वह मायने रखता है। खासकर अगर अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं:

हम इसे दो तरह से हल करने की कोशिश कर रहे हैं:

उत्तर अलग-अलग हैं, और क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करने के लिए, अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं - वे दिखाते हैं कि कौन सी क्रिया पहले की जानी चाहिए। तो सही समाधान होगा:

उदाहरण में उत्तर के लिए कोई अन्य समाधान नहीं होना चाहिए।

कौन सा अधिक महत्वपूर्ण है, गुणा या जोड़?

उदाहरणों को हल करते समय
कार्रवाई की व्यवस्था करें।
गुणा या भाग - पहले स्थान पर।

ऐसे भावों के लिए जिनमें कोई जोड़ या घटाव नहीं है, लेकिन गुणा या भाग, एक ही नियम लागू होता है: संख्याओं के साथ सभी संक्रियाएँ क्रम में की जाती हैं, बाईं ओर से शुरू होती हैं:

एक अधिक कठिन मामला तब होता है जब एक समस्या में जोड़ या घटाव के साथ गुणा या भाग होता है। तब गणना का क्रम क्या है?

यदि आप सभी चरणों को क्रम में करते हैं, तो पहले विभाजन करें, फिर जोड़। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

अतः उदाहरण सही है। क्या होगा अगर इसमें कोष्ठक शामिल हैं?

कोष्ठक में कुछ भी हमेशा पूर्वता लेता है।इसलिए वे भाव में खड़े हैं। इसलिए, ऐसे भावों में गणना का क्रम इस प्रकार होगा:

हम कोष्ठक खोलते हैं। यदि कई हैं, तो हम प्रत्येक के लिए गणना करते हैं।

गुणा या भाग।

हम अंतिम परिणाम की गणना करते हैं, बाएं से दाएं संचालन करते हैं।

उदाहरण:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?

81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

और प्राथमिकता क्या होगी: गुणा - या भाग, घटाव - या जोड़, यदि कार्य में दोनों क्रियाएं होती हैं? कुछ भी नहीं, वे समान हैं, इस मामले में पहला नियम लागू होता है - एक के बाद एक क्रियाएं की जाती हैं, बाईं ओर से शुरू होती हैं।

अभिव्यक्ति को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

हम समस्या का विश्लेषण करते हैं - क्या कोष्ठक हैं, क्या गणितीय संचालन करने की आवश्यकता होगी।

हम कोष्ठक में गणना करते हैं।

हम गुणा और भाग करते हैं।

जोड़ और घटाव करें।

28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?

11 – 4 = 7;
25 – 8 = 17;
28: 7 = 4;
4 + 18 = 22;
22 – 17 = 5.

उत्तर: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.

महत्वपूर्ण! यदि अभिव्यक्ति में अक्षर हैं, तो प्रक्रिया समान रहती है।

गोल जीरो बहुत खूबसूरत है
लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है।

उदाहरणों में, शून्य एक संख्या के रूप में नहीं होता है, लेकिन यह कुछ मध्यवर्ती क्रिया का परिणाम हो सकता है, उदाहरण के लिए:

0 से गुणा करने पर नियम कहता है कि परिणाम हमेशा 0 ही आएगा। क्यों? इसे आसानी से समझाया जा सकता है: गुणन क्या है? यह वही संख्या है, जो कई बार अपनी तरह से जोड़ी जाती है। अन्यथा:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

0 से विभाजित करना अर्थहीन है, और शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर हमेशा 0 परिणाम आएगा:

0: 5 = 0.

शून्य के साथ अन्य अंकगणितीय संक्रियाओं को याद करें:

एक से गुणा और भाग

एक के साथ गणितीय संक्रियाएँ शून्य के साथ संक्रियाओं से भिन्न होती हैं। जब किसी संख्या को 1 से गुणा या भाग किया जाता है, तो मूल संख्या स्वयं प्राप्त होती है:

7 x 1 = 7;

7: 1 = 7.

बेशक, अगर आपके 7 दोस्त हैं, और प्रत्येक ने आपको एक कैंडी दी, तो आपके पास 7 कैंडी होंगी, और यदि आपने उन्हें अकेले खाया, यानी केवल अपने साथ साझा किया, तो वे सभी आपके पेट में समाप्त हो गईं।

अंशों, शक्तियों और जटिल कार्यों के साथ गणना

ये संगणना के जटिल मामले हैं जो प्राथमिक विद्यालय में शामिल नहीं हैं।

गुणा सरल अंशएक दूसरे के लिए मुश्किल नहीं है, यह सिर्फ अंश को अंश से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और भाजक को भाजक से।
उदाहरण:

2 × 3 = 6 - अंश

5 × 8 = 40 - भाजक

घटाने के बाद हमें मिलता है: \(\) = \(\).

साधारण अंशों को विभाजित करना उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यह समस्या को बदलने के लिए पर्याप्त है - इसे गुणन के उदाहरण में बदल दें। ऐसा करने के लिए सरल है - आपको अंश को फ्लिप करने की आवश्यकता है ताकि भाजक अंश बन जाए, और अंश भाजक बन जाए।
उदाहरण:

यदि समस्या में एक संख्या का सामना करना पड़ता है, जिसे एक शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसका मान अन्य सभी से पहले गणना किया जाता है (आप कल्पना कर सकते हैं कि यह कोष्ठक में संलग्न है - और कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं)।
उदाहरण:

गुणन क्रिया के साथ एक नियमित अभिव्यक्ति में एक शक्ति के रूप में दर्शाई गई संख्या को परिवर्तित करके, उदाहरण को हल करना सरल हो गया: पहले गुणा, फिर घटाव (क्योंकि यह कोष्ठक में है) और विभाजन।

जड़ों, लघुगणक, कार्यों के साथ क्रियाएँ

चूंकि ऐसे कार्यों का अध्ययन केवल के ढांचे के भीतर किया जाता है उच्च विद्यालय, हम उन पर विचार नहीं करेंगे, यह कहने के लिए पर्याप्त है कि, शक्तियों के मामले में, उनकी गणना में प्राथमिकता है: पहले, दिए गए अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है, फिर गणना क्रम सामान्य होता है - कोष्ठक, गुणन विभाजन के साथ, फिर बाएं से दाएं क्रम में।

विषय पर मुख्य नियम

मेजर और माइनर की बात कर रहे हैं गणितीय संचालन, यह कहा जाना चाहिए कि चार बुनियादी संचालन को घटाकर दो किया जा सकता है: जोड़ और गुणा। यदि स्कूली बच्चों के लिए घटाव और भाग कठिन लगता है, तो वे जोड़ और गुणा के नियम तेजी से याद करते हैं। दरअसल, अभिव्यक्ति 5 - 2 को अलग तरह से लिखा जा सकता है:

गुणन के मामलों में, योग के गुणों के समान नियम लागू होते हैं: गुणनफल कारकों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलेगा:

निर्णय लेते समय चुनौतीपूर्ण कार्यपहली क्रिया वह है जिसे कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है, फिर विभाजन या गुणा, फिर क्रम में अन्य सभी क्रियाएं।
जब आपको कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता होती है, तो पहले गुणा या भाग किया जाता है, फिर घटाव या जोड़।

पूर्णांकों का गुणन और विभाजन

पूर्णांकों को गुणा और भाग करते समय, कई नियम लागू होते हैं। इस पाठ में, हम उनमें से प्रत्येक को देखेंगे।

पूर्णांकों का गुणा और भाग करते समय, संख्याओं के चिह्नों पर ध्यान दें। यह उन पर निर्भर करेगा कि कौन सा नियम लागू करना है। आपको गुणा और भाग के कुछ नियम सीखने की भी आवश्यकता है। इन नियमों का अध्ययन आपको कुछ से बचने की अनुमति देता है कष्टप्रद गलतियाँभविष्य में।

गुणन के नियम

गणित के कुछ नियमों पर हमने पाठ में गणित के नियमों पर विचार किया। लेकिन हमने सभी कानूनों पर विचार नहीं किया है। गणित में कई नियम हैं, और जरूरत पड़ने पर उनका क्रमिक रूप से अध्ययन करना बुद्धिमानी होगी।

सबसे पहले, आइए याद करें कि गुणन में क्या शामिल है। गुणन में तीन पैरामीटर होते हैं: गुणा, गुणकऔर काम करता है. उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 3 × 2 = 6 में, संख्या 3 गुण्य है, संख्या 2 गुणक है, और संख्या 6 गुणनफल है।

गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जायदिखाता है कि वास्तव में हम क्या बढ़ा रहे हैं। हमारे उदाहरण में, हम संख्या 3 बढ़ाते हैं।

कारकदिखाता है कि आपको कितनी बार गुण्य बढ़ाने की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, गुणक संख्या 2 है। यह गुणक दिखाता है कि आपको गुणक 3 को कितनी बार बढ़ाने की आवश्यकता है। अर्थात, गुणन क्रिया के दौरान, संख्या 3 दोगुनी हो जाएगी।

कामयह वास्तव में गुणन संक्रिया का परिणाम है। हमारे उदाहरण में, गुणनफल संख्या 6 है। यह गुणनफल 3 को 2 से गुणा करने का परिणाम है।

व्यंजक 3 × 2 को दो त्रिगुणों के योग के रूप में भी समझा जा सकता है। इस मामले में गुणक 2 दिखाएगा कि आपको कितनी बार संख्या 3 लेने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, यदि आप संख्या 3 को लगातार दो बार लेते हैं, तो आपको संख्या 6 प्राप्त होती है।

गुणन का क्रमविनिमेय नियम

गुणक और गुणक एक ही सामान्य शब्द कहलाते हैं - कारकों. गुणन का क्रमविनिमेय नियम इस प्रकार है:

कारकों के स्थानों के क्रमचय से, उत्पाद नहीं बदलता है।

आइए देखें कि क्या ऐसा है। उदाहरण के लिए 3 को 5 से गुणा करें। यहां 3 और 5 कारक हैं।

अब कारकों की अदला-बदली करते हैं:

दोनों ही मामलों में, हमें उत्तर 15 मिलता है, जिसका अर्थ है कि हम भाव 3 × 5 और 5 × 3 के बीच एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

तथा चरों की सहायता से गुणन के क्रमविनिमेय नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ एऔर बी- कारक

गुणन का साहचर्य नियम

यह नियम कहता है कि यदि किसी व्यंजक में अनेक कारक हैं, तो गुणनफल संक्रियाओं के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 3 × 2 × 4 में कई कारक होते हैं। इसकी गणना करने के लिए, आप 3 और 2 को गुणा कर सकते हैं, फिर परिणामी गुणनफल को शेष संख्या 4 से गुणा कर सकते हैं। यह इस तरह दिखाई देगा:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

यह पहला उपाय था। दूसरा विकल्प 2 और 4 को गुणा करना है, फिर परिणामी गुणनफल को शेष संख्या 3 से गुणा करना है। यह इस तरह दिखाई देगा:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

दोनों ही मामलों में, हमें उत्तर 24 प्राप्त होता है। इसलिए, भावों (3 × 2) × 4 और 3 × (2 × 4) के बीच हम एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

और चरों की सहायता से गुणन के साहचर्य नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए × बी × सी = (ए × बी) × सी = ए × (बी × सी)

इसके बजाय कहाँ ए, बी, सीकोई संख्या हो सकती है।

गुणन का वितरण नियम

गुणन का वितरण नियम आपको एक योग को एक संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, इस राशि के प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा किया जाता है, फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (2 + 3) × 5 का मान ज्ञात करें

कोष्ठक में अभिव्यक्ति का योग है। इस राशि को संख्या 5 से गुणा किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, इस राशि के प्रत्येक पद, अर्थात् संख्या 2 और 3 को संख्या 5 से गुणा किया जाना चाहिए, फिर परिणाम जोड़ें:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

अतः व्यंजक (2 + 3) × 5 का मान 25 है।

चरों की सहायता से गुणन का वितरण नियम इस प्रकार लिखा जाता है:

(ए + बी) × सी = ए × सी + बी × सी

इसके बजाय कहाँ ए, बी, सीकोई संख्या हो सकती है।

शून्य से गुणन का नियम

यह नियम कहता है कि यदि किसी गुणन में कम से कम एक शून्य हो तो उत्तर शून्य होगा।

उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 0 × 2 शून्य है

इस मामले में, संख्या 2 एक गुणक है और यह दर्शाता है कि आपको गुण्य को कितनी बार बढ़ाने की आवश्यकता है। यानी जीरो को कितनी बार बढ़ाना है। शाब्दिक रूप से, इस अभिव्यक्ति को "शून्य को दो बार बढ़ाएँ" के रूप में पढ़ा जाता है। लेकिन अगर यह शून्य है तो आप शून्य को दोगुना कैसे कर सकते हैं?

दूसरे शब्दों में, यदि "कुछ नहीं" को दुगुना या लाख गुना भी कर दिया जाए, तब भी यह "कुछ नहीं" ही होगा।

और अगर अभिव्यक्ति 0 × 2 में हम गुणनखंडों की अदला-बदली करते हैं, तो फिर से हमें शून्य मिलता है। हम इसे पिछले विस्थापन कानून से जानते हैं:

गुणन के नियम को शून्य से लागू करने के उदाहरण:

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

पिछले दो उदाहरणों में, कई कारक हैं। उनमें शून्य देखकर हम गुणन के नियम को शून्य से लागू करते हुए तुरंत उत्तर में शून्य लगा देते हैं।

हमने गुणन के बुनियादी नियमों पर विचार किया है। अगला, पूर्णांकों के गुणन पर विचार करें।

पूर्णांक गुणन

उदाहरण 1व्यंजक -5 × 2 का मान ज्ञात कीजिए

यह संख्याओं का गुणा है अलग संकेत. −5 ऋणात्मक है और 2 धनात्मक है। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम लागू किया जाना चाहिए:

विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करने और प्राप्त उत्तर से पहले एक ऋण लगाने की आवश्यकता है।

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: -5 × 2 = -10

किसी भी गुणन को संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 × 3 पर विचार करें। यह 6 के बराबर है।

इस व्यंजक में गुणक संख्या 3 है। यह गुणक दर्शाता है कि आपको कितनी बार दोनों को बढ़ाने की आवश्यकता है। लेकिन अभिव्यक्ति 2 × 3 को तीन दो के योग के रूप में भी समझा जा सकता है:

व्यंजक -5 × 2 के साथ भी यही बात होती है। इस व्यंजक को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

और अभिव्यक्ति (-5) + (-5) -10 के बराबर है, और हम इसे पिछले पाठ से जानते हैं। यह ऋणात्मक संख्याओं का जोड़ है। याद रखें कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम एक ऋणात्मक संख्या होती है।

उदाहरण 2व्यंजक 12 × (−5) का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन है। 12 एक धनात्मक संख्या है, (−5) ऋणात्मक है। हम फिर से पिछले नियम को लागू करते हैं। हम संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक ऋण लगाते हैं:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

आमतौर पर इसे छोटा लिखा जाता है: 12 × (−5) = -60

उदाहरण 3व्यंजक 10 × (−4) × 2 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में कई कारक होते हैं। सबसे पहले, 10 और (−4) को गुणा करें, फिर परिणामी संख्या को 2 से गुणा करें। साथ ही, पहले अध्ययन किए गए नियमों को लागू करें:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

दूसरी क्रिया:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

अतः व्यंजक 10 × (−4) × 2 का मान -80 है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (−4) × (−2)

यह ऋणात्मक संख्याओं का गुणन है। ऐसे मामलों में, निम्नलिखित नियम लागू होना चाहिए:

नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने एक प्लस लगाना होगा।

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

साथ ही, परंपरा के अनुसार, हम लिखते नहीं हैं, इसलिए हम सिर्फ उत्तर 8 लिखते हैं।

आमतौर पर छोटा (−4) × (−2) = 8 लिखा जाता है

प्रश्न उठता है कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर अचानक धनात्मक संख्या क्यों प्राप्त होती है। आइए सिद्ध करने का प्रयास करें कि (−4) × (−2) 8 के बराबर है और कुछ नहीं।

सबसे पहले, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिखते हैं:

आइए इसे कोष्ठक में संलग्न करें:

आइए इस व्यंजक में अपना व्यंजक (−4) × (−2) जोड़ें। आइए इसे कोष्ठकों में भी रखें:

हम यह सब शून्य के बराबर करते हैं:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

अब मजा शुरू होता है। लब्बोलुआब यह है कि हमें इस अभिव्यक्ति के बाईं ओर की गणना करनी चाहिए, और परिणामस्वरूप 0 मिलता है।

अतः पहला गुणनफल (4 × (−2)) -8 है। गुणनफल (4 × (−2)) के बजाय हमारे व्यंजक में संख्या −8 लिखते हैं

अब, दूसरे उत्पाद के बजाय, हम अस्थायी रूप से एक दीर्घवृत्त डालते हैं

आइए अब अभिव्यक्ति -8 + […] = 0 को ध्यान से देखें। समानता का पालन करने के लिए दीर्घवृत्त के बजाय किस संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए? उत्तर स्वयं सुझाता है। दीर्घवृत्त के बजाय, एक धनात्मक संख्या 8 होनी चाहिए और कोई अन्य नहीं। तभी समानता कायम रह सकेगी। क्योंकि −8 + 8 बराबर 0 है।

हम अभिव्यक्ति −8 + ((−4) × (−2)) = 0 पर लौटते हैं और गुणनफल ((−4) × (−2)) के बजाय हम संख्या 8 लिखते हैं

उदाहरण 5व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए −2 × (6 + 4)

हम गुणन के वितरण नियम को लागू करते हैं, अर्थात, हम संख्या -2 को योग के प्रत्येक पद (6 + 4) से गुणा करते हैं।

−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)

अब आइए कोष्ठकों में भावों का मूल्यांकन करें। फिर हम परिणाम जोड़ते हैं। रास्ते में, पहले सीखे गए नियमों को लागू करें। अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित न करने के लिए मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ा जा सकता है

-2 × 6 = -(2 × 6) = -(12) = -12

−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

तीसरी क्रिया:

अतः व्यंजक −2 × (6 + 4) का मान -20 है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

उदाहरण 6व्यंजक (−2) × (−3) × (−4) का मान ज्ञात कीजिए

अभिव्यक्ति में कई कारक होते हैं। सबसे पहले, हम संख्या -2 और -3 को गुणा करते हैं, और परिणामी गुणनफल को शेष संख्या -4 से गुणा करते हैं। हम अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित न करने के लिए मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ देते हैं

अतः व्यंजक (−2) × (−3) × (−4) का मान -24 है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

डिवीजन कानून

पूर्णांकों को विभाजित करने से पहले विभाजन के दो नियमों का अध्ययन करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए याद करें कि विभाजन में क्या शामिल है। विभाजन में तीन पैरामीटर होते हैं: भाज्य, डिवाइडरऔर निजी. उदाहरण के लिए, व्यंजक 8:2 = 4 में, 8 भाज्य है, 2 भाजक है, 4 भागफल है।

लाभांशदिखाता है कि हम क्या साझा करते हैं। हमारे उदाहरण में, हम संख्या 8 को विभाजित कर रहे हैं।

डिवाइडरदिखाता है कि लाभांश को कितने भागों में विभाजित करना है। हमारे उदाहरण में, भाजक संख्या 2 है। यह भाजक दिखाता है कि भाज्य 8 को कितने भागों में विभाजित करना है। अर्थात, विभाजन संचालन के दौरान, संख्या 8 को दो भागों में विभाजित किया जाएगा।

निजीडिवीजन ऑपरेशन का वास्तविक परिणाम है। हमारे उदाहरण में भागफल 4 है। यह भागफल 8 को 2 से विभाजित करने का परिणाम है।

शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता

किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विभाजन गुणन का विलोम है। उदाहरण के लिए, यदि 2 × 6 = 12, तो 12:6 = 2

यह देखा जा सकता है कि दूसरी अभिव्यक्ति विपरीत क्रम में लिखी गई है।

अब हम 5 × 0 के व्यंजक के लिए भी ऐसा ही करेंगे। गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो। अतः व्यंजक 5 × 0 भी शून्य है

यदि हम इस अभिव्यक्ति को उल्टे क्रम में लिखते हैं, तो हमें यह मिलता है:

जवाब तुरंत ध्यान आकर्षित करता है 5 है, जो शून्य को शून्य से विभाजित करने का परिणाम है। यह असंभव और बेवकूफी है।

एक अन्य समान व्यंजक को उल्टे क्रम में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए 2 × 0 = 0

पहली स्थिति में शून्य को शून्य से भाग देने पर हमें 5 तथा दूसरी स्थिति में 2 प्राप्त होता है। अर्थात् प्रत्येक बार शून्य को शून्य से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है। विभिन्न अर्थ, जो अस्वीकार्य है।

दूसरी व्याख्या यह है कि भाजक द्वारा भाज्य को विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जो भाजक से गुणा करने पर भाज्य देगी।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 8: 2 का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसे 2 से गुणा करने पर 8 प्राप्त हो

यहां, दीर्घवृत्त के बजाय, एक संख्या होनी चाहिए, जो 2 से गुणा करने पर उत्तर 8 देती है। इस संख्या को खोजने के लिए, इस अभिव्यक्ति को उल्टे क्रम में लिखना पर्याप्त है:

अब कल्पना करें कि आपको अभिव्यक्ति का मान 5: 0 खोजने की आवश्यकता है। इस मामले में, 5 भाज्य है, 0 भाजक है। 5 को 0 से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसे 0 से गुणा करने पर 5 प्राप्त हो

यहां, दीर्घवृत्त के बजाय, एक संख्या होनी चाहिए, जो 0 से गुणा करने पर उत्तर 5 देती है। लेकिन ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो शून्य से गुणा करने पर 5 देती है।

अभिव्यक्ति […] × 0 = 5 शून्य से गुणन के नियम का खंडन करता है, जिसमें कहा गया है कि गुणनफल शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है।

इसलिए व्यंजक […] × 0 = 5 को उल्टे क्रम में लिखने पर, 5 को 0 से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं बनता। इसलिए वे कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

चरों की सहायता से इस नियम को इस प्रकार लिखा जाता है:

पर बी ≠ 0

संख्या एसंख्या से विभाजित किया जा सकता है बी, उसे उपलब्ध कराया बीशून्य के बराबर नहीं।

निजी संपत्ति

यह नियम कहता है कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 12: 4 पर विचार करें। इस अभिव्यक्ति का मान 3 है

आइए लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, संख्या 4 से। यदि हम भागफल संपत्ति पर विश्वास करते हैं, तो हमें उत्तर में फिर से संख्या 3 प्राप्त करनी चाहिए।

(12×4) : (4×4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

अब गुणा करने की नहीं, बल्कि भाज्य और भाजक को संख्या 4 से विभाजित करने की कोशिश करते हैं

(12: 4) : (4: 4)

(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3

प्रतिक्रिया मिली 3.

हम देखते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलता है।

पूर्णांकों का विभाजन

उदाहरण 1व्यंजक 12 का मान ज्ञात कीजिए: (−2)

यह विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का विभाजन है। 12 एक धनात्मक संख्या है, (−2) ऋणात्मक है। ऐसे मामलों में आपको चाहिए

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

आमतौर पर 12 से छोटा लिखा जाता है: (−2) = −6

उदाहरण 2व्यंजक -24: 6 का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का विभाजन है। −24 ऋणात्मक है, 6 धनात्मक है। ऐसे मामलों में, फिर से, लाभांश मापांक को भाजक मापांक से विभाजित करें, और प्राप्त उत्तर के सामने एक ऋण चिह्न लगाएं।

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

आमतौर पर -24: 6 = -4 से छोटा लिखा जाता है

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (−45) : (−5)

यह ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन है। ऐसे मामलों में आपको चाहिए लाभांश मापांक को भाजक मापांक से विभाजित करें, और प्राप्त उत्तर के सामने धन चिह्न लगाएं।

(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है (−45): (−5) = 9

उदाहरण 4व्यंजक (−36) : (−4) : (−3) का मान ज्ञात कीजिए

संचालन के क्रम के अनुसार, यदि अभिव्यक्ति में केवल गुणा या भाग होता है, तो सभी क्रियाओं को बाएं से दाएं क्रम में किया जाना चाहिए जिसमें वे दिखाई देते हैं।

(−36) को (−4) से विभाजित करें, और परिणामी संख्या को (−3) से विभाजित करें

पहली क्रिया:

(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

आम तौर पर छोटा लिखा जाता है (−36): (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

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