स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा क्या है। एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श

इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं समानताएं हैं जो साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को तुरंत सूचीबद्ध करते हैं, जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।

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एक कोण के ज्या और कोसाइन के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानदयालु . इस तथ्य के लिए स्पष्टीकरण काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और समानता से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। और ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, और cotangent की परिभाषाओं से पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब इसे साबित करते हैं।

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान बहुत बार उपयोग की जाती है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन. यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। कम अक्सर नहीं, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श

रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान और तुरंत ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं का पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के लिए कोटि का अनुपात है, अर्थात, , और cotangent कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण के साइन से कोसाइन का अनुपात है, और कॉटेंजेंट कोसाइन से साइन का अनुपात है।

इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों के लिए होल्ड करें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण हों। तो सूत्र किसी भी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहाँ z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में एक और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा या तो स्पर्शरेखा या कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं होता है।

सूत्र का प्रमाण बहुत सरल। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़े अलग तरीके से अंजाम दिया जा सकता था। चूंकि और , वह .

तो, एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस के दिनों में शुरू हुआ था। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ, जिसका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएँ

एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोण का कोज्या (cos α) कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

कोण की कोटिस्पर्श रेखा (c t g α) सन्निकट पाद और विपरीत पाद का अनुपात है।

ये परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के लिए दी गई हैं!

आइए एक उदाहरण देते हैं।

त्रिभुज ABC में समकोण C के साथ, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मानों की सीमा पूरी संख्या रेखा है, यानी ये कार्य कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ तीव्र कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा को पेश किया जाता है, जिसका मूल्य, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ़्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन के कोण को किसी भी वास्तविक संख्या से व्यक्त किया जाता है - ∞ से + ∞।

इस संदर्भ में, कोई भी मनमाना परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित एक यूनिट सर्कल की कल्पना करें।

निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A कुछ कोण α से यूनिट सर्कल के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।

रोटेशन कोण का साइन (पाप)।

रोटेशन कोण α की साइन बिंदु A 1 (x, y) का समन्वय है। sinα = वाई

रोटेशन के कोण का कोसाइन (कोस)।

रोटेशन के कोण α का कोसाइन बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। कॉस α = एक्स

रोटेशन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

रोटेशन के कोण α का स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय का अनुपात इसके भुज तक है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का स्पर्शरेखा (ctg)।

रोटेशन के कोण α का कोटिजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

साइन और कोसाइन को रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित किया गया है। यह तार्किक है, क्योंकि रोटेशन के बाद बिंदु का भुज और समन्वय किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। टेंगेंट और कॉटैंगेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं होती है जब घुमाव के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कॉटैंजेंट के साथ स्थिति समान है। अंतर यह है कि उन मामलों में कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु का समन्वय गायब हो जाता है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित है।

α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर कोटिस्पर्श रेखा सभी कोणों के लिए परिभाषित है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "घूर्णन कोण α की ज्या" न कहें। शब्द "घूर्णन का कोण" बस छोड़े गए हैं, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।

नंबर

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के बारे में क्या है, न कि रोटेशन के कोण के बारे में?

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक संख्या की कोटिस्पर्श

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बराबर होती है टीकांति।

उदाहरण के लिए, 10 π की ज्या 10 π रेड के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा गया है। इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट परिभाषित किए गए हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है जिसके निर्देशांक (1 , 0) हैं।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाती है जिस पर प्रारंभिक बिंदु घूमेगा यदि वह वृत्त के चारों ओर वामावर्त घूमता है और पथ t को पार करता है।

अब जबकि वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

संख्या टी का साइन (पाप)।

एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का समन्वय टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (cos)।

एक संख्या का कोसाइन टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स

टी के स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप यूनिट सर्कल के बिंदु के भुज के लिए समन्वय का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी कॉस टी

बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। एक संख्या के अनुरूप एक वृत्त पर इंगित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु कोण से मुड़ने के बाद गुजरता है टीकांति।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) के अलावा सभी कोण α स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कॉटैंजेंट को सभी α के लिए परिभाषित किया गया है, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) को छोड़कर।

हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण α के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या के साइन या कोसाइन के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. π 2 + π · k , k ∈ Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ, स्पर्शरेखा के मान के अनुरूप हैं। π · k , k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए कोटिस्पर्श समान रूप से परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के मूल कार्य

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

चलो परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटते हैं, जो कि 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात का उपयोग करके दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ पूर्ण समझौते में हैं। आइए दिखाते हैं।

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त लें। आइए शुरुआती बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत बनाएं। परिणामी समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 O H, घूर्णन α के कोण के बराबर है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के समन्वय के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की साइन विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है।

पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d वाई 1 \u003d वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन की परिभाषा रोटेशन के कोण α की परिभाषा के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में है।

इसी तरह, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह त्रिकोणमिति है। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान के साथ परिचित होना कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा के साथ शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न कार्यों को करना संभव हो जाता है जो किसी व्यक्ति को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न को देखा और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोगों ने विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात की। तब विशेष सूत्र खोजे गए जिससे गणित के इस खंड के रोजमर्रा के जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में आज त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद अर्जित ज्ञान का उपयोग छात्रों द्वारा भौतिकी और सार त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श वाले सूत्रों का उपयोग गोलाकार ज्यामिति में किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह, और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा त्रि-आयामी स्थान।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किसी भी दो बिंदुओं से जोड़ दें ताकि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, संबंधित है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या हैं, उनकी मदद से क्या गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे तो प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में करीब साढ़े चार हजार साल पहले पता चल गया था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, पाद कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की ठोस समझ के साथ, हम कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

एक कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। एक कोण का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से अधिक हो सकते हैं! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, पैर कितना भी लंबा क्यों न हो, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, एक कोण की स्पर्शरेखा, विपरीत भुजा का सन्निकट भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोसाइन द्वारा साइन का विभाजन देगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हम स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात प्राप्त करते हैं।

कॉटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटे पक्ष का अनुपात विपरीत दिशा में है। इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम मिलता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, सूत्रों के बिना कोई नहीं कर सकता है - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कॉटैंगेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की आवश्यकता है, वह कहता है कि कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, न कि भुजा का, तो इससे समय की बचत होती है।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: कोण के स्पर्शरेखा के एक और वर्ग का योग कोण के कोसाइन के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानते हुए कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज की एक शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोण सूत्र और तर्कों का जोड़

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पिछले वाले से पूरी तरह से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए।

अंत में, ध्यान दें कि दोहरे कोण के सूत्रों को साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की निम्न डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की मदद से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें समान संख्या मिलती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात, दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदुओं को समाहित करने वाला वृत्त।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके समीप के कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला निकला।

असावधानी के कारण गलतियाँ

यह जानते हुए भी कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, अनुपस्थित-मन या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में परिवर्तित नहीं करना चाहिए - आप उत्तर को साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं, जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें लेखक के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय परिचालनों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे प्रत्येक चरण में कार्यों में होते हैं। "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर भी यही बात लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोज्या प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मूल्यों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

बहुत से छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। इंजीनियर या खगोलविद के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी बदौलत आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर शोध जाँच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत का निर्माण करना, एक कार को डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये केवल सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, हर जगह त्रिकोणमिति का एक या दूसरे रूप में उपयोग किया जाता है।

आखिरकार

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उन्हें गणना में उपयोग कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर निर्भर करता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में संपूर्ण अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे ज्ञात करें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन शब्दों का मतलब एक अनुपात से ज्यादा कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक अंश है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहाँ आपको सामान्य स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच एक संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी कार्य को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण के साइन के वर्ग का योग और एक कोण के कोसाइन के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की साइन की गणना करना संभव बनाता है जब इसकी कोसाइन ज्ञात होती है और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय भावों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का बहुत बार उपयोग किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को एक के साथ बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटेजेंट ढूँढना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये सर्वसमिकाएँ ज्या, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं से बनती हैं। आखिरकार, यदि आप देखें, तो परिभाषा के अनुसार, y की कोटि ज्या है, और x का भुज कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटिस्पर्श होगा।

हम यह जोड़ते हैं कि केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए जिनके लिए उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण हों, सर्वसमिकाएँ होंगी, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha कोणों के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा \alpha कोण के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच संबंध

टीजी \alpha \cdot ctg \alpha=1

यह तत्समक केवल \alpha कोणों के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, या तो स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा निर्धारित नहीं की जाएगी।

उपरोक्त बिंदुओं के आधार पर, हम इसे प्राप्त करते हैं tg \alpha = \frac(y)(x), ए ctg\alpha=\frac(x)(y). इसलिए यह इस प्रकार है tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा जिस पर वे समझ में आते हैं परस्पर पारस्परिक संख्याएँ हैं।

स्पर्शज्या और कोज्या, कोस्पर्शज्या और ज्या के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान इसके अलावा सभी \alpha के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 और कोण \alpha की कोटिस्पर्श रेखा के वर्ग का योग, दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z के अलावा किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

\sin \alpha और tg \alpha का पता लगाएँ यदि \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाएं

समाधान

कार्य \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा जुड़े हुए हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापन \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \बाएं (-\frac12 \दाएं)^2 = 1

इस समीकरण के 2 समाधान हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में ज्या सकारात्मक है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

tg \alpha ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

ढूँढें \cos \alpha और ctg \alpha अगर और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाएं

समाधान

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1सशर्त संख्या \sin\alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \बाएं (\frac(\sqrt3)(2)\दाएं)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो हल हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में, कोज्या ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संगत मान जानते हैं।

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

मुझे लगता है कि आप इससे ज्यादा के लायक हैं। यहाँ त्रिकोणमिति की मेरी कुंजी है:

• गुंबद, दीवार और छत को ड्रा करें
• त्रिकोणमितीय कार्य और कुछ नहीं बल्कि इन तीन रूपों के प्रतिशत हैं।

साइन और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

केवल स्वयं त्रिभुजों को देखने के बजाय, वास्तविक जीवन के किसी विशेष उदाहरण को ढूँढ़ते हुए उनके कार्य करने की कल्पना करें।

कल्पना कीजिए कि आप एक गुंबद के बीच में हैं और मूवी प्रोजेक्टर स्क्रीन लटकाना चाहते हैं। आप अपनी उंगली को कुछ "एक्स" कोण पर गुंबद पर इंगित करते हैं, और उस बिंदु से एक स्क्रीन लटका दी जानी चाहिए।

आप जिस कोण को इंगित करते हैं वह निर्धारित करता है:

• साइन (एक्स) = पाप (एक्स) = स्क्रीन ऊंचाई (फर्श से गुंबद बढ़ते बिंदु)
• cosine(x) = cos(x) = आपसे स्क्रीन तक की दूरी (मंजिल से)
• कर्ण, आप से स्क्रीन के शीर्ष तक की दूरी, हमेशा समान, गुंबद की त्रिज्या के बराबर

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन यथासंभव बड़ी हो? इसे अपने ठीक ऊपर लटकाओ।

क्या आप चाहते हैं कि स्क्रीन आपसे यथासंभव दूर लटके रहे? इसे सीधे लंबवत लटकाएं। इस स्थिति में स्क्रीन की ऊंचाई शून्य होगी और आपके अनुरोध के अनुसार पीछे की ओर लटकेगी।

स्क्रीन से ऊंचाई और दूरी व्युत्क्रमानुपाती होती है: स्क्रीन जितनी करीब होगी, उसकी ऊंचाई उतनी ही अधिक होगी।

साइन और कोसाइन प्रतिशत हैं

मेरे अध्ययन के वर्षों में किसी ने भी मुझे यह नहीं समझाया कि त्रिकोणमितीय कार्य साइन और कोसाइन प्रतिशत के अलावा और कुछ नहीं हैं। उनके मान +100% से 0 से -100% तक, या सकारात्मक अधिकतम से शून्य से नकारात्मक अधिकतम तक होते हैं।

मान लीजिए कि मैंने 14 रूबल का कर चुकाया है। आप नहीं जानते कि यह कितना है। लेकिन अगर आप कहते हैं कि मैंने 95% टैक्स चुकाया है, तो आप समझेंगे कि मेरी चमड़ी चिपचिपे की तरह थी।

पूर्ण ऊंचाई का कोई मतलब नहीं है। लेकिन अगर ज्या का मान 0.95 है, तो मैं समझता हूं कि टीवी लगभग आपके गुंबद के ऊपर लटका हुआ है। जल्द ही यह गुंबद के केंद्र में अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा और फिर से गिरावट शुरू कर देगा।

हम इस प्रतिशत की गणना कैसे कर सकते हैं? बहुत सरल: वर्तमान स्क्रीन ऊंचाई को अधिकतम संभव (गुंबद की त्रिज्या, जिसे कर्ण भी कहा जाता है) से विभाजित करें।

इसीलिएहमें बताया गया है कि "कोज्या = विपरीत पैर / कर्ण"। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए यह सब है! साइन को परिभाषित करने का सबसे अच्छा तरीका "अधिकतम संभव से वर्तमान ऊंचाई का प्रतिशत" है। (यदि आपका कोण "भूमिगत" इंगित करता है तो साइन नकारात्मक हो जाता है। यदि कोण आपके पीछे गुंबद बिंदु को इंगित करता है तो कोसाइन नकारात्मक हो जाता है।)

यह मानकर कि हम यूनिट सर्कल (त्रिज्या = 1) के केंद्र में हैं, गणनाओं को सरल बनाते हैं। हम विभाजन को छोड़ सकते हैं और केवल ऊंचाई के बराबर ज्या ले सकते हैं।

प्रत्येक वृत्त, वास्तव में, वांछित आकार के पैमाने में एक, बड़ा या छोटा होता है। इसलिए यूनिट सर्कल पर संबंध निर्धारित करें और परिणामों को अपने विशेष सर्कल आकार पर लागू करें।

प्रयोग: कोई भी कोना लें और देखें कि वह ऊंचाई से चौड़ाई का कितना प्रतिशत प्रदर्शित करता है:

साइन के मूल्य में वृद्धि का ग्राफ सिर्फ एक सीधी रेखा नहीं है। पहले 45 डिग्री ऊंचाई का 70% कवर करते हैं, और अंतिम 10 डिग्री (80 डिग्री से 90 डिग्री तक) केवल 2% कवर करते हैं।

यह आपके लिए इसे और स्पष्ट कर देगा: यदि आप एक सर्कल में जाते हैं, तो 0 ° पर आप लगभग लंबवत रूप से उठते हैं, लेकिन जैसे ही आप गुंबद के शीर्ष पर पहुंचते हैं, ऊंचाई कम और कम बदलती है।

स्पर्शरेखा और छेदक। दीवार

एक दिन एक पड़ोसी ने दीवार बना दी पीछे पीछेअपने गुंबद के लिए। अपने खिड़की के दृश्य और अच्छे पुनर्विक्रय मूल्य को रोया!

लेकिन क्या इस स्थिति में किसी तरह जीतना संभव है?

बिलकुल हाँ। क्या होगा यदि हम मूवी स्क्रीन को सीधे पड़ोसी की दीवार पर लटका दें? आप कोने (x) पर निशाना लगाते हैं और प्राप्त करते हैं:

• तन (एक्स) = तन (एक्स) = दीवार पर स्क्रीन ऊंचाई
• आपसे दीवार तक की दूरी: 1 (यह आपके गुंबद की त्रिज्या है, दीवार आपसे कहीं नहीं हिलती है, है ना?)
• secant(x) = sec(x) = "सीढ़ी की लंबाई" आपके द्वारा गुंबद के केंद्र में खड़े होने से निलंबित स्क्रीन के शीर्ष तक

आइए स्पर्शरेखा, या स्क्रीन ऊंचाई के बारे में कुछ बातें स्पष्ट करें।

• यह 0 से शुरू होता है, और असीम रूप से ऊपर जा सकता है। आप अपनी पसंदीदा फिल्म देखने के लिए सिर्फ एक अंतहीन कैनवास पाने के लिए स्क्रीन को दीवार पर ऊंचा और ऊंचा खींच सकते हैं! (इतने बड़े के लिए, निश्चित रूप से, आपको बहुत पैसा खर्च करना होगा)।
• स्पर्शरेखा ज्या का एक बढ़ा हुआ संस्करण है! और जब आप गुंबद के शीर्ष की ओर बढ़ते हैं तो साइन की वृद्धि धीमी हो जाती है, स्पर्शरेखा बढ़ती रहती है!

सेकांसु के पास भी अपनी बड़ाई करने के लिए कुछ है:

• छेदक 1 से शुरू होता है (सीढ़ी फर्श पर है, आपसे दूर दीवार की ओर है) और वहां से ऊपर जाना शुरू करता है
• छेदक हमेशा स्पर्शरेखा से अधिक लंबा होता है। जिस ढलान वाली सीढ़ी से आप अपनी स्क्रीन लटकाते हैं, वह स्क्रीन से ही लंबी होनी चाहिए, है ना? (अवास्तविक आकारों में, जब स्क्रीन बहुत लंबी होती है और सीढ़ी को लगभग लंबवत रखने की आवश्यकता होती है, तो उनके आकार लगभग समान होते हैं। लेकिन तब भी छेदक थोड़ा लंबा होगा)।

याद रखें मान हैं प्रतिशत. यदि आप स्क्रीन को 50 डिग्री के कोण पर लटकाने का निर्णय लेते हैं, tan(50)=1.19. आपकी स्क्रीन दीवार की दूरी (गुंबद त्रिज्या) से 19% बड़ी है।

(x=0 दर्ज करें और अपने अंतर्ज्ञान का परीक्षण करें - tan(0) = 0 और sec(0) = 1.)

स्पर्शरेखा और व्युत्क्रमज्या। छत

अविश्वसनीय रूप से, आपके पड़ोसी ने अब आपके गुंबद पर छत बनाने का फैसला किया है। (उसके साथ क्या बात है? वह जाहिर तौर पर नहीं चाहता कि जब वह नग्न होकर यार्ड में घूम रहा हो तो आप उसे देखें ...)

खैर, छत से बाहर निकलने और पड़ोसी से बात करने का समय आ गया है। आप झुकाव का कोण चुनते हैं, और निर्माण शुरू करते हैं:

• छत के आउटलेट और फर्श के बीच लंबवत दूरी हमेशा 1 होती है (गुंबद की त्रिज्या)
• cotangent(x) = cot(x) = गुंबद के शीर्ष और निकास बिंदु के बीच की दूरी
• cosecant(x) = csc(x) = छत तक आपके रास्ते की लंबाई

स्पर्शरेखा और छेदक दीवार का वर्णन करते हैं, जबकि कोटिस्पर्श और व्युत्क्रमज्या तल का वर्णन करते हैं।

इस बार हमारे सहज निष्कर्ष पिछले वाले के समान हैं:

• यदि आप 0° का कोण लेते हैं, तो आपका छत से बाहर निकलने में हमेशा के लिए समय लग जाएगा क्योंकि यह छत तक कभी नहीं पहुंचेगा। संकट।
• यदि आप इसे फर्श से 90 डिग्री के कोण पर बनाते हैं तो छत पर सबसे छोटी "सीढ़ी" प्राप्त की जाएगी। कोटिस्पर्श 0 के बराबर होगा (हम छत के साथ बिल्कुल भी नहीं चलते हैं, हम सख्ती से लंबवत बाहर निकलते हैं), और cosecant 1 के बराबर होगा ("सीढ़ी की लंबाई" न्यूनतम होगी)।

कनेक्शनों को विज़ुअलाइज़ करें

यदि सभी तीन केस को गुंबद-दीवार-फर्श के संयोजन में खींचा जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होगा:

खैर, वाह, यह सब वही त्रिभुज है, जो दीवार और छत तक पहुँचने के लिए आकार में बढ़ा हुआ है। हमारे पास ऊर्ध्वाधर पक्ष (साइन, स्पर्शरेखा), क्षैतिज पक्ष (कोसाइन, कोटिस्पर्श), और "कर्ण" (सिकेंट, कोसेकेंट) हैं। (आप तीरों से देख सकते हैं कि प्रत्येक तत्व कितनी दूर तक पहुंचता है। व्युत्क्रमज्या आपके से छत तक की कुल दूरी है)।

थोड़ा जादू। सभी त्रिभुज समान समानताएँ साझा करते हैं:

पाइथागोरस प्रमेय से (a 2 + b 2 = c 2) हम देखते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ कैसे जुड़ी हुई हैं। इसके अलावा, ऊंचाई-से-चौड़ाई का अनुपात भी सभी त्रिकोणों के लिए समान होना चाहिए। (बस सबसे बड़े त्रिभुज से छोटे वाले की ओर कदम पीछे जाएँ। हाँ, आकार बदल गया है, लेकिन भुजाओं का अनुपात समान रहेगा)।

यह जानते हुए कि प्रत्येक त्रिभुज में कौन सी भुजा 1 (गुंबद की त्रिज्या) है, हम आसानी से "sin/cos = tan/1" की गणना कर सकते हैं।

मैंने हमेशा इन तथ्यों को सरल कल्पना के माध्यम से याद रखने की कोशिश की है। तस्वीर में आप इन निर्भरताओं को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं और समझ सकते हैं कि वे कहाँ से आते हैं। यह तकनीक सूखे फॉर्मूले को याद करने से कहीं बेहतर है।

अन्य कोणों को मत भूलना

श्श… एक ग्राफ़ पर लटकने की ज़रूरत नहीं है, यह सोचते हुए कि स्पर्शरेखा हमेशा 1 से कम होती है। यदि आप कोण बढ़ाते हैं, तो आप दीवार तक पहुँचे बिना छत तक पहुँच सकते हैं:

पायथागोरियन कनेक्शन हमेशा काम करते हैं, लेकिन सापेक्ष आकार भिन्न हो सकते हैं।

(आपने शायद देखा होगा कि साइन और कोसाइन का अनुपात हमेशा सबसे छोटा होता है क्योंकि वे एक गुंबद के भीतर बंद होते हैं।)

संक्षेप में: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

हम में से अधिकांश के लिए, मैं कहूंगा कि यह पर्याप्त होगा:

• त्रिकोणमिति गणितीय वस्तुओं जैसे मंडलियों और दोहराए जाने वाले अंतरालों की शारीरिक रचना की व्याख्या करती है
• गुंबद/दीवार/छत समानता विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध दिखाती है
• त्रिकोणमितीय कार्यों का परिणाम वे प्रतिशत हैं जिन्हें हम अपने परिदृश्य पर लागू करते हैं।

आपको 1 2 + cot 2 = csc 2 जैसे सूत्र याद करने की आवश्यकता नहीं है। वे केवल मूर्खतापूर्ण परीक्षणों के लिए उपयुक्त होते हैं जिनमें किसी तथ्य के ज्ञान को उसकी समझ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। गुंबद, दीवार और छत के रूप में अर्धवृत्त बनाने के लिए एक मिनट का समय लें, तत्वों पर हस्ताक्षर करें, और कागज पर आपके लिए सभी सूत्र पूछे जाएंगे।

आवेदन: उलटा कार्य

कोई भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक कोण को इनपुट के रूप में लेता है और परिणाम को प्रतिशत के रूप में लौटाता है। पाप (30) = 0.5। इसका मतलब है कि 30 डिग्री का कोण अधिकतम ऊंचाई का 50% हिस्सा लेता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को sin -1 या आर्क्सिन ("आर्क्सिन") के रूप में लिखा जाता है। इसे अक्सर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में असिन भी लिखा जाता है।

यदि हमारी ऊंचाई गुंबद की ऊंचाई का 25% है, तो हमारा कोण क्या है?

अनुपात की हमारी तालिका में, आप वह अनुपात पा सकते हैं जहां छेदक रेखा को 1 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, छेदक रेखा को 1 (क्षैतिज के लिए कर्ण) से विभाजित करने पर कोसाइन से विभाजित 1 के बराबर होगा:

मान लीजिए कि हमारी छेदक रेखा 3.5 है, अर्थात यूनिट सर्कल त्रिज्या का 350%। यह मान दीवार के किस कोण से मेल खाता है?

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

उबाऊ कार्य। चलो "साइन खोजें" के लिए "अधिकतम (कर्ण) के प्रतिशत के रूप में ऊँचाई क्या है?"

सबसे पहले, ध्यान दें कि त्रिभुज घूम रहा है। उसके साथ कुछ भी गलत नहीं है। त्रिभुज की एक ऊँचाई भी होती है, इसे चित्र में हरे रंग से दिखाया गया है।

कर्ण किसके बराबर होता है? पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि:

3 2 + 4 2 = कर्ण 2 25 = कर्ण 2 5 = कर्ण

अच्छा! साइन त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा या कर्ण से ऊँचाई का प्रतिशत है। हमारे उदाहरण में, साइन 3/5 या 0.60 है।

बेशक, हम कई तरह से जा सकते हैं। अब हम जानते हैं कि ज्या 0.60 है और हम केवल चापज्या पा सकते हैं:

असिन(0.6)=36.9

और यहाँ एक और तरीका है। ध्यान दें कि त्रिभुज "दीवार के आमने-सामने" है, इसलिए हम साइन के बजाय स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई 3 है, दीवार की दूरी 4 है, इसलिए स्पर्शरेखा ¾ या 75% है। प्रतिशत वापस कोण पर जाने के लिए हम चाप स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं:

तन = 3/4 = 0.75 अतान(0.75) = 36.9 उदाहरण: क्या आप किनारे पर तैरेंगे?

आप एक नाव में हैं और आपके पास 2 किमी चलने के लिए पर्याप्त ईंधन है। अब आप तट से 0.25 किमी दूर हैं। आप किनारे पर किस अधिकतम कोण पर तैर सकते हैं ताकि आपके पास पर्याप्त ईंधन हो? समस्या की स्थिति में जोड़: हमारे पास केवल चाप कोज्या मानों की एक तालिका है।

हमारे पास क्या है? हमारे प्रसिद्ध त्रिकोण में समुद्र तट को "दीवार" के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दीवार से जुड़ी "सीढ़ियों की लंबाई" को नाव से किनारे तक अधिकतम संभव दूरी (2 किमी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक छेदक निकलता है।

सबसे पहले, आपको प्रतिशत पर स्विच करने की आवश्यकता है। हमारे पास 2 / 0.25 = 8 है, जिसका अर्थ है कि हम किनारे (या दीवार) की सीधी दूरी से 8 गुना तैर सकते हैं।

प्रश्न उठता है कि "सिकेंट 8 क्या है?"। लेकिन हम इसका उत्तर नहीं दे सकते, क्योंकि हमारे पास केवल आर्क कोसाइन हैं।

हम अपने पहले से व्युत्पन्न निर्भरताओं का उपयोग कोज्या के लिए छेदक को मैप करने के लिए करते हैं: "sec/1 = 1/cos"

8 की छेदक रेखा ⅛ की कोज्या के बराबर है। एक कोण जिसका कोज्या ⅛ है acos(1/8) = 82.8 है। और यह सबसे बड़ा कोण है जिसे हम ईंधन की निर्दिष्ट मात्रा वाली नाव पर वहन कर सकते हैं।

बुरा नहीं है, है ना? गुंबद-दीवार-छत समानता के बिना, मैं सूत्रों और गणनाओं के समूह में भ्रमित हो जाऊंगा। समस्या का विज़ुअलाइज़ेशन समाधान की खोज को बहुत सरल करता है, इसके अलावा, यह देखना दिलचस्प है कि कौन सा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंततः मदद करेगा।

प्रत्येक कार्य के लिए, इस तरह सोचें: क्या मेरी दिलचस्पी गुंबद (सिन/कॉस), दीवार (टैन/सेकंड), या छत (खाट/सीएससी) में है?

और त्रिकोणमिति और अधिक सुखद हो जाएगी। आपके लिए आसान गणना!