दशमलव परिभाषा। दशमलव

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव को जोड़ते समय पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, दशमलव 3.2 और 5.3 को जोड़ते हैं। कॉलम में दशमलव अंशों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है।

सबसे पहले, हम इन दो अंशों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों के नीचे और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों के नीचे होना चाहिए। स्कूल में, इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम".

आइए अंशों को एक स्तंभ में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो:

हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ना शुरू करते हैं: 2 + 3 \u003d 5. हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8। हम आठ को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के तहत अल्पविराम":

उत्तर मिला 8.5। तो व्यंजक 3.2 + 5.3 बराबर 8.5 है

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी नुकसान हैं, जिनके बारे में अब हम बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

दशमलव, साधारण संख्याओं की तरह, अपने स्वयं के अंक होते हैं। ये दसवां स्थान, सौवां स्थान, हजारवां स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार होता है, दशमलव बिंदु के बाद दूसरा अंक सौवें स्थान के लिए, तीसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद हजारवें स्थान के लिए होता है।

दशमलव अंशों में अंक कुछ संग्रहित करते हैं उपयोगी जानकारी. विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 पर विचार करें

जिस स्थान पर त्रिगुण स्थित होता है, उसे कहते हैं दसवां स्थान

जिस स्थान पर चारों स्थित होते हैं, उसे कहते हैं सौवां स्थान

पंचों के स्थित होने की स्थिति कहलाती है हजारवें

आइए इस आंकड़े को देखें। हम देखते हैं कि दसवीं की श्रेणी में एक तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव अंश 0.345 में तीन दहाई हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, और तब हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि पहले तो हमें उत्तर मिल गया, लेकिन इसे दशमलव अंश में बदल कर 0.345 प्राप्त हुआ।

दशमलव अंशों को जोड़ते समय उन्हीं सिद्धांतों और नियमों का पालन किया जाता है जिनका पालन साधारण संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दशमलव अंशों का योग अंकों द्वारा होता है: दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हजारवें से हजारवें तक जोड़ा जाता है।

इसलिए, दशमलव अंशों को जोड़ते समय, नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम". अल्पविराम के अंतर्गत एक अल्पविराम उसी क्रम को प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें तक जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं 5 + 4 = 9। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 1 + 3 = 4। हम चारों को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

उत्तर मिला 4.9। अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं, "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग को जोड़ें, अर्थात् शतांश 1+2=3। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दशमांश जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब पूरे भागों को 3+1=4 जोड़ें। हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चारों को लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करते हैं:

उत्तर मिला 4.73। अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 है

3,51 + 1,22 = 4,73

साधारण संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, उत्तर में एक अंक लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का सौवां भाग जोड़ें। संख्या 12 हमारे उत्तर के सौवें भाग में नहीं आएगी। इसलिए, सौवें भाग में हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 के दसवें भाग को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 9 लिखते हैं:

अब पूरे भागों को जोड़ें 2+3=5. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

उत्तर मिला 5.92। अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भागों को 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक में स्थानांतरित करते हैं। भाग:

अब हम पूर्णांक भागों 9+2=11 को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 12 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 12.3। अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव अंशों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान बना लें। दशमलव अंश 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि अंश 1.7 में केवल एक होता है। इसलिए अंश 1.7 में अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। फिर हमें अंश 1,700 मिलता है। अब आप इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिख सकते हैं और गणना करना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हज़ारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हजारवें भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

2+0=2 का सौवां भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दसवाँ भाग जोड़ें। 14 अंक हमारे उत्तर के दसवें भाग में नहीं आएगा। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों 12+1=13 को जोड़ते हैं और पिछली संक्रिया से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, तो हमें 14 प्राप्त होता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

जवाब मिला 14,425। अतः व्यंजक 12.725+1.700 का मान 14.425 है

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको जोड़ने के समान नियमों का पालन करना चाहिए: "अल्पविराम के नीचे अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 - 2.2 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

हमें उत्तर 0.3 मिला। अतः व्यंजक 2.5 − 2.2 का मान 0.3 के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या भिन्न होती है। अंश 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और अंश 3.1 में केवल एक होता है। इसका मतलब यह है कि अंश 3.1 में, दोनों अंशों में अंकों की संख्या को समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तब हमें 3,100 मिलते हैं।

अब आप इस अभिव्यक्ति को कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

उत्तर मिला 4,253। अतः व्यंजक 7.353 − 3.1 का मान 4.253 है

7,353 — 3,1 = 4,253

साधारण संख्याओं की तरह, यदि घटाव असंभव हो जाता है तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 - 2.39 का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवां भाग घटाएं। संख्या 6 से संख्या 9 घटाएं नहीं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक उधार लेकर, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें भाग की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात लिखते हैं:

अब दशमांश घटाएं। चूँकि हमने एक इकाई को दशमांश की श्रेणी में लिया था, इसलिए वहाँ स्थित संख्या एक इकाई से कम हो गई। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें भाग की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 घटाएं। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07। अतः व्यंजक 3.46−2.39 का मान 1.07 के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक 3−1.2 का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण एक पूर्णांक से एक दशमलव घटाता है। आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव अंश 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान कर लेते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद, अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दहाई घटाएँ: 0−2। संख्या 2 को शून्य से घटाएं नहीं इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक से एक उधार लेकर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें भाग की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे भागों को घटा दें। पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने इससे एक इकाई उधार ली थी। नतीजतन, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 1 को 2 से घटाते हैं। 2−1=1। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.8। अतः व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान और मजेदार भी है। दशमलव को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान ज्ञात कीजिए

हम अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए इन दशमलव भिन्नों को साधारण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविरामों को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिला। इस संख्या में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको 2.5 और 1.5 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। पहले अंश में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे अंश में भी एक होता है। कुल दो संख्याएँ।

हम 375 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 3.75। अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान ज्ञात कीजिए

अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, आइए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिला। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम 34695 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 34,695। अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 है

12.85 x 2.7 = 34.695

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको दशमलव अंश को नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एक दशमलव और एक साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 से गुणा करें

हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। अंश 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम 508 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 5.08। अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा उसी तरह किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा किया जाता है। दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करना आवश्यक है, फिर उत्तर में पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें क्योंकि दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे अंश।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 से गुणा करें

आइए दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिला। इस संख्या में, आपको पूरे भाग को आंशिक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंश 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं।

हम 2880 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 28.80। हम अंतिम शून्य को छोड़ देते हैं - हमें 28.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम उतने ही अंकों से दाईं ओर जाता है जितने कि गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस तरह से हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 प्राप्त होता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 288 प्राप्त होता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। साधारण संख्याओं की तरह भिन्नों को गुणा करना आवश्यक है, और उत्तर में एक अल्पविराम लगाएं, दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं, दाईं ओर उतने ही अंक गिनें।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 से गुणा करें

हम अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए इन भिन्नों को साधारण संख्याओं की तरह गुणा करते हैं:

हमें 325 मिला। इस संख्या में, आपको पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको 3.25 और 0.1 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन संख्याएँ।

हम 325 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं चलना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंकों की गिनती करने के बाद, हम पाते हैं कि संख्याएँ समाप्त हो गई हैं। इस स्थिति में, आपको एक शून्य जोड़ने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें उत्तर 0.325 मिला। अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह तरीका ज्यादा आसान और ज्यादा सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने ही अंकों से चलता है जितने कि गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस तरह से हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब अंश 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीन से पहले कोई अंक नहीं हैं। इस स्थिति में, एक शून्य जोड़ें और एक अल्पविराम लगाएं। नतीजतन, हमें 0.325 मिलता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.01 के गुणक को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.0325 मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.001 के गुणक को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब अंश 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करके 10, 100, 1000 से गुणा करके भ्रमित न हों। सामान्य गलतीज्यादातर लोग।

10, 100, 1000 से गुणा करने पर अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है क्योंकि गुणक में शून्य होते हैं।

यदि पहली बार में याद रखना मुश्किल है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें साधारण संख्याओं की तरह गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने की आवश्यकता होगी, जैसे कि दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं, दाईं ओर कई अंक गिनकर।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि छोटी संख्या को बड़े से विभाजित करते समय, एक अंश प्राप्त होता है, जिसके अंश में भाजक होता है, और भाजक में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है। तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब। एक अंश एक समस्या का उत्तर है एक सेब को दो के बीच कैसे विभाजित करें

यह पता चला है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी अंश में एक भिन्नात्मक पट्टी का अर्थ विभाजन होता है, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को एक अंश में भी अनुमति है। आख़िर कैसे? हम इस तथ्य के आदी हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, भाजक भाजक से कम है।

सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा अगर हम याद रखें कि एक अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना। इसका अर्थ है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित कर सकते हैं, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर दशमलव अंश प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, चलिए 1 को 2 से विभाजित करते हैं। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

एक को ऐसे ही दो में नहीं बांटा जा सकता। यदि आप एक प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी तौर पर हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, हम भागफल को भाजक से गुणा करके शेषफल निकालते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त एक के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 मिला। हम 10 को 2 से विभाजित करते हैं, हमें 5 मिलता है। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम गणना पूरी करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करने पर 10 प्राप्त होता है

हमें उत्तर 0.5 मिला। तो अंश 0.5 है

आधा सेब भी दशमलव अंश 0.5 का उपयोग करके लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ते हैं, तो हमें फिर से मूल एक पूरा सेब मिलता है:

इस बिंदु को भी समझा जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि कैसे 1 सेमी को दो भागों में विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितने फाइव होते हैं? बिल्कुल नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को तुरंत लाभांश से घटाएं:

अब हम चारों को 5 भागों में बांटना (डिवाइड) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें उत्तर 0.8 मिला। अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 है

उदाहरण 3व्यंजक 5: 125 का मान ज्ञात कीजिए

पांच में 125 कितनी संख्याएं हैं? बिल्कुल नहीं। हम निजी तौर पर 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पाँच के नीचे 0 लिखते हैं। तुरंत पांच 0 से घटाएं

अब पांचों को 125 भागों में बांटना (डिवाइड) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, इन पाँचों के दाईं ओर हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से भाग दें। 50 में 125 की संख्या कितनी है? बिल्कुल नहीं। अतः भागफल में हम फिर से 0 लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। तुरंत 0 को 50 से घटा दें

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। 500 की संख्या में 125 कितनी संख्याएँ हैं। 500 की संख्या में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चारों को अकेले में लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 500 प्राप्त करते हैं

हमें उत्तर 0.04 मिला। अतः व्यंजक 5: 125 का मान 0.04 है

शेषफल रहित संख्याओं का विभाजन

इसलिए, इकाई के बाद भागफल में एक अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग की ओर बढ़ते हैं:

शेषफल 4 में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं:

40−40=0। शेष में 0 प्राप्त किया। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से विभाजित करने पर 1.8 का दशमलव परिणाम आता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. 84 को 5 से बिना शेषफल के विभाजित करें

पहले हम हमेशा की तरह 84 को 5 से विभाजित करते हैं और शेष बचता है:

निजी तौर पर प्राप्त 16 और शेष में 4 और। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम एक अल्पविराम को निजी में रखते हैं, और शेष 4 में 0 जोड़ते हैं

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, तो हमें 8 प्राप्त होता है। हम आठ को दशमलव बिंदु के बाद भागफल में लिखते हैं:

और यदि अभी भी शेष बचता है तो जाँच करके उदाहरण को पूरा करें:

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव अंश, जैसा कि हम जानते हैं, एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको इसकी आवश्यकता होती है:

• दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाने और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 से भाग दें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब पूरे भाग को 2 से भाग करते हैं। चार का दो से भाग दो होता है। हम निजी तौर पर ड्यूस लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि क्या विभाजन से शेष बचता है:

4−4=0. शेष शून्य है। हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि हल पूरा नहीं हुआ है। फिर हम गणना करना जारी रखते हैं, जैसा कि साधारण विभाजन में होता है। 8 को घटाएं और इसे 2 से भाग दें

8: 2 = 4। हम चार को भागफल में लिखते हैं और इसे भाजक से तुरंत गुणा करते हैं:

उत्तर मिला 2.4। अभिव्यक्ति मूल्य 4.8: 2 बराबर 2.4

उदाहरण 2व्यंजक 8.43:3 का मान ज्ञात कीजिए

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दो के बाद तुरंत अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम छह को आठ के नीचे लिखते हैं और शेषफल पाते हैं:

हम 24 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलते हैं। हम आठ को अकेले में लिखते हैं। हम विभाजन के शेष को खोजने के लिए इसे तुरंत विभाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेष शून्य है। शून्य अभी दर्ज नहीं हुआ है। लाभांश के अंतिम तीन को लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

उत्तर मिला 2.81। तो अभिव्यक्ति 8.43: 3 का मान 2.81 के बराबर है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

भाजक और भाजक में दशमलव अंश को दशमलव अंश में विभाजित करने के लिए, अल्पविराम को अंकों की उसी संख्या से दाईं ओर ले जाएँ, जैसे कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 से विभाजित करें

इस व्यंजक को एक कोने के रूप में लिखते हैं

अब, भाज्य और भाजक में, हम अल्पविराम को अंकों की उसी संख्या से दाईं ओर ले जाते हैं, जैसे भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरण:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 भिन्न 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

विभाजन की सुविधा के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण अनुमत है कि भाजक और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करते समय भागफल नहीं बदलता है। इसका मतलब क्या है?

यह एक है दिलचस्प विशेषताएंविभाजन। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है। व्यंजक 9 पर विचार करें: 3 = 3. यदि इस व्यंजक में भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए लाभांश और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम भाज्य और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने अल्पविराम को भाज्य और भाजक में एक अंक दाईं ओर खिसकाया था। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, अंश 5.91 को अंश 59.1 में बदल दिया गया और अंश 1.7 को सामान्य संख्या 17 में बदल दिया गया।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा किया गया। यहाँ यह कैसा दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भाजक और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करेगी कि भाजक में कितने अंक और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाएगा।

10, 100, 1000 से दशमलव विभाजन

किसी दशमलव को 10, 100, या 1000 से भाग देने की क्रिया उसी प्रकार की जाती है जैसे . उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाज्य में अल्पविराम को उतने ही अंकों से बाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करते हैं। 2.1: 10. हम डिवाइडर को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक अंक से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस मामले में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 0.21 मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। संख्या 100 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 की संख्या में तीन शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर तीन अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001

किसी दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से भाग देने की क्रिया उसी प्रकार की जाती है जैसे . भाज्य और भाजक में, आपको अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से भाग दें। सबसे पहले, हम भाज्य और भाजक में अल्पविरामों को उसी संख्या में अंकों की संख्या से दाईं ओर ले जाते हैं, जो भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। तो हम अल्पविराम को लाभांश में और भाजक में एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव अंश 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत आसान है:

अतः व्यंजक 6.3: 0.1 का मान 63 के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाज्य में अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करते हैं। 6.3:0.1। आइए डिवाइडर को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से दायीं ओर ले जाते हैं और 63 प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से विभाजित करने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस मामले में, अंत में एक और शून्य जोड़ा जाना चाहिए। नतीजतन, हमें 630 मिलते हैं

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

6,3: 0,001 = 6300

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जैसा:

± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …

जहां ± अंश चिह्न है: या तो + या -,

, — दशमलव बिंदु, जो संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच एक विभाजक के रूप में कार्य करता है,

डीके- दशमलव अंक।

उसी समय, अल्पविराम (इसके बाईं ओर) से पहले अंकों के क्रम का एक अंत होता है (जैसे न्यूनतम 1-प्रति अंक), और अल्पविराम के बाद (दाईं ओर) यह परिमित हो सकता है (एक विकल्प के रूप में, अल्पविराम के बाद कोई भी अंक नहीं हो सकता है), और अनंत।

दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:

जो परिमित या अनंत पदों के योग के बराबर है।

दशमलव अंशों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व दशमलव संख्या प्रणाली में पूर्णांकों के अंकन का एक सामान्यीकरण है। एक पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, और इस प्रकार, यह प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:

± डी एम … डी 1 डी 0 ,

और यह दशमलव संख्या प्रणाली में हमारी संख्या के रिकॉर्ड के साथ मेल खाता है।

दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 आदि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये अंश गणना के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित होते हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और अंकन निर्मित होते हैं। इसके लिए धन्यवाद, प्रवेश और कार्रवाई के नियम दशमलवलगभग पूर्णांकों के समान।

दशमलव अंश लिखते समय, आपको भाजक को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है, यह संबंधित आकृति के कब्जे वाले स्थान से निर्धारित होता है। सबसे पहले, संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, फिर दाईं ओर एक दशमलव बिंदु लगाएं। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या, तीसरा - हजारवें की संख्या, और इसी तरह। दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ हैं दशमलव स्थानों.

उदाहरण के लिए:

दशमलव अंशों के फायदों में से एक यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण अंशों में बदला जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारा 5047 है) है मीटर; भाजकके बराबर होती है एनवीं डिग्री 10, जहां एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे पास यह है एन = 4):

जब दशमलव अंश में कोई पूर्णांक भाग नहीं होता है, तो हम शून्य को दशमलव बिंदु के सामने रखते हैं:

दशमलव अंशों के गुण।

1. जब शून्य को दाईं ओर जोड़ा जाता है तो दशमलव नहीं बदलता है:

13.6 =13.6000.

2. जब दशमलव के अंत में शून्य हटा दिए जाते हैं तो दशमलव नहीं बदलता है:

0.00123000 = 0.00123.

ध्यान!शून्य जो दशमलव के अंत में नहीं हैं उन्हें हटाया नहीं जाना चाहिए!

3. दशमलव अंश 10, 100, 1000 तक बढ़ता है, और इसी तरह कई बार जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1-वेल, 2, 2, और इसी तरह दाईं ओर ले जाते हैं:

3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया है)।

4. दशमलव अंश दस, एक सौ, एक हजार से कम हो जाता है, और कई बार जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1-वेल, 2, 3, और इसी तरह बाईं ओर ले जाते हैं:

1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया है)।

दशमलव के प्रकार।

दशमलव को विभाजित किया जाता है अंतिम, अनंतऔर आवधिक दशमलव.

अंत दशमलव -यह एक अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की सीमित संख्या होती है (या वे वहां बिल्कुल नहीं होते हैं), यानी। ऐसा दिखता है:

एक वास्तविक संख्या को परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी प्रदर्शित किया जा सकता है जब यह संख्या परिमेय हो और जब एक अलघुकरणीय अंश के रूप में लिखा जाए पी क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य भाजक नहीं है।

अनंत दशमलव.

अंकों का एक असीम रूप से दोहराए जाने वाला समूह होता है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखा गया है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345... = 0.(12345).

आवधिक दशमलव- यह एक ऐसा अनंत दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों का क्रम, एक निश्चित स्थान से शुरू होकर, अंकों का एक आवधिक दोहराव वाला समूह है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंशएक दशमलव है जो इस तरह दिखता है:

ऐसा अंश आमतौर पर संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:

संख्या समूह बी 1 … बी एल, जो दोहराया जाता है, है अंश अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.

जब एक आवर्त भिन्न में आवर्त दशमलव बिंदु के ठीक बाद आता है, तो भिन्न है शुद्ध आवधिक. जब अल्पविराम और पहली अवधि के बीच संख्याएँ होती हैं, तो भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव बिंदु के बाद पहली अवधि के चिह्न तक अंकों का एक समूह - अंश पूर्वकाल.

उदाहरण के लिए, अंश 1,(23) = 1.2323... शुद्ध आवधिक है, और अंश 0.1(23)=0.12323... मिश्रित आवधिक है।

आवधिक अंशों की मुख्य संपत्ति, जिसके कारण उन्हें दशमलव अंशों के पूरे सेट से अलग किया जाता है, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक अंश और केवल वे परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:

कोई भी अनंत आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को एक अनंत दशमलव भिन्न में विघटित किया जाता है, तो यह भिन्न आवर्ती होगी।

अंकगणित में पाए जाने वाले कई अंशों में से, जिनके हर में 10, 100, 1000 हैं, विशेष ध्यान देने योग्य हैं - सामान्य तौर पर, दस की कोई भी शक्ति। इन अंशों का एक विशेष नाम और अंकन होता है।

एक दशमलव कोई भी संख्या है जिसका भाजक दस की शक्ति है।

दशमलव उदाहरण:

ऐसे भिन्नों को पृथक करना क्यों आवश्यक था? उन्हें अपने स्वयं के प्रवेश फॉर्म की आवश्यकता क्यों है? इसके कम से कम तीन कारण हैं:

1. दशमलव की तुलना करना बहुत आसान है। याद रखें: साधारण अंशों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक दूसरे से घटाना होगा और विशेष रूप से, भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना होगा। दशमलव अंशों में, इनमें से किसी की भी आवश्यकता नहीं है;
2. गणना में कमी। दशमलव अपने स्वयं के नियमों के अनुसार जोड़ते और गुणा करते हैं, और थोड़े से अभ्यास से आप सामान्य लोगों की तुलना में उनके साथ बहुत तेजी से काम कर पाएंगे;
3. रिकॉर्डिंग में आसानी। साधारण भिन्नों के विपरीत, दशमलव को स्पष्टता खोए बिना एक पंक्ति में लिखा जाता है।

अधिकांश कैलकुलेटर दशमलव में भी उत्तर देते हैं। कुछ मामलों में, एक अलग रिकॉर्डिंग प्रारूप समस्या पैदा कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप स्टोर में 2/3 रूबल की राशि में बदलाव की मांग करते हैं तो क्या होगा :)

दशमलव भिन्न लिखने के नियम

दशमलव अंशों का मुख्य लाभ एक सुविधाजनक और दृश्य संकेतन है। अर्थात्:

दशमलव संकेतन दशमलव संकेतन का एक रूप है जहाँ पूर्णांक भाग को नियमित बिंदु या अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग किया जाता है। इस स्थिति में, स्वयं विभाजक (बिंदु या अल्पविराम) को दशमलव बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 0.3 (पढ़ें: "शून्य पूर्णांक, 3 दहाई"); 7.25 (7 पूर्णांक, 25 सौवां); 3.049 (3 पूर्णांक, 49 हजारवाँ)। सभी उदाहरण पिछली परिभाषा से लिए गए हैं।

लिखित रूप में, अल्पविराम का उपयोग आमतौर पर दशमलव बिंदु के रूप में किया जाता है। यहाँ और नीचे, अल्पविराम का उपयोग पूरी साइट पर भी किया जाएगा।

निर्दिष्ट रूप में एक मनमाना दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको तीन सरल चरणों का पालन करने की आवश्यकता है:

1. अंश को अलग से लिखें;
2. दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने स्थान से खिसकाइए जितने हर में शून्य हैं। मान लें कि प्रारंभ में दशमलव बिंदु सभी अंकों के दाईं ओर है;
3. यदि दशमलव बिंदु स्थानांतरित हो गया है, और उसके बाद रिकॉर्ड के अंत में शून्य हैं, तो उन्हें पार किया जाना चाहिए।

ऐसा होता है कि दूसरे चरण में शिफ्ट को पूरा करने के लिए अंश के पास पर्याप्त अंक नहीं होते हैं। इस मामले में, लापता पदों को शून्य से भर दिया जाता है। और सामान्य तौर पर, स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना किसी भी संख्या के बाईं ओर किसी भी संख्या में शून्य को सौंपा जा सकता है। यह बदसूरत है, लेकिन कभी-कभी उपयोगी होता है।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथम जटिल लग सकता है। वास्तव में, सब कुछ बहुत ही सरल है - आपको बस थोड़ा अभ्यास करने की आवश्यकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। प्रत्येक अंश के लिए, उसके दशमलव अंकन को इंगित करें:

पहले अंश का अंश: 73। हम दशमलव बिंदु को एक चिन्ह से बदलते हैं (क्योंकि भाजक 10 है) - हमें 7.3 मिलता है।

दूसरे अंश का अंश: 9. हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से बदलते हैं (क्योंकि भाजक 100 है) - हमें 0.09 मिलता है। मुझे दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य और उसके पहले एक और जोड़ना था, ताकि ".09" जैसे अजीब अंकन न छोड़े।

तीसरे अंश का अंश: 10029। हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं (क्योंकि भाजक 1000 है) - हमें 10.029 मिलता है।

अंतिम अंश का अंश: 10500। फिर से हम बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं - हमें 10.500 मिलते हैं। संख्या के अंत में अतिरिक्त शून्य होते हैं। हम उन्हें पार करते हैं - हमें 10.5 मिलते हैं।

पिछले दो उदाहरणों पर ध्यान दें: संख्या 10.029 और 10.5। नियमों के अनुसार, दाईं ओर के शून्य को काट दिया जाना चाहिए, जैसा कि इसमें किया गया है अंतिम उदाहरण. हालाँकि, किसी भी स्थिति में आपको शून्य के साथ ऐसा नहीं करना चाहिए जो संख्या के अंदर है (जो अन्य अंकों से घिरा हुआ है)। इसलिए हमें 10.029 और 10.5 मिले, न कि 1.29 और 1.5।

इसलिए, हमने दशमलव अंशों को रिकॉर्ड करने की परिभाषा और रूप का पता लगाया। अब आइए जानें कि साधारण भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें - और इसके विपरीत।

भिन्न से दशमलव में बदलें

फॉर्म a / b के एक साधारण संख्यात्मक अंश पर विचार करें। आप एक अंश की मूल संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं और अंश और भाजक को इतनी संख्या से गुणा कर सकते हैं कि आपको नीचे दस की शक्ति मिलती है। लेकिन ऐसा करने से पहले कृपया निम्नलिखित पढ़ें:

ऐसे भाजक हैं जो दस की शक्ति तक कम नहीं होते हैं। ऐसे अंशों को पहचानना सीखें, क्योंकि नीचे वर्णित एल्गोरिथम के अनुसार उन पर काम नहीं किया जा सकता है।

इतना ही। खैर, कैसे समझें कि भाजक दस की शक्ति में घटा है या नहीं?

उत्तर सरल है: भाजक को प्रमुख कारकों में विभाजित करें। यदि विस्तार में केवल 2 और 5 कारक मौजूद हैं, तो यह संख्या दस की शक्ति तक कम हो सकती है। यदि अन्य संख्याएँ हैं (3, 7, 11 - जो भी हो), तो आप दस की डिग्री के बारे में भूल सकते हैं।

काम। जांचें कि क्या निर्दिष्ट अंशों को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है:

हम इन भिन्नों के हरों को लिखते हैं और गुणनखंड करते हैं:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - केवल संख्या 2 और 5 मौजूद हैं। इसलिए, अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - एक "निषिद्ध" कारक है 3। अंश को दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5। सब कुछ क्रम में है: संख्या 2 और 5 के अलावा कुछ भी नहीं है। एक अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जाता है।

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3। कारक 3 "फिर से सामने आया। इसे दशमलव अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने भाजक का पता लगाया - अब हम दशमलव अंशों पर स्विच करने के लिए संपूर्ण एल्गोरिथम पर विचार करेंगे:

1. मूल अंश के भाजक का गुणनखंडन करें और सुनिश्चित करें कि यह आम तौर पर दशमलव के रूप में प्रदर्शित करने योग्य है। वे। जांचें कि विस्तार में केवल कारक 2 और 5 मौजूद हैं अन्यथा, एल्गोरिदम काम नहीं करता है;
2. गणना करें कि अपघटन में कितने दो और पांच मौजूद हैं (वहां कोई अन्य संख्या नहीं होगी, याद रखें?) ऐसा अतिरिक्त गुणक चुनें जिससे दो और पाँच की संख्या बराबर हो।
3. दरअसल, मूल भिन्न के अंश और हर को इस कारक से गुणा करें - हमें वांछित प्रतिनिधित्व मिलता है, अर्थात। भाजक दस की शक्ति होगा।

बेशक, अतिरिक्त कारक भी केवल दो और पांच में विघटित हो जाएगा। उसी समय, अपने जीवन को जटिल न करने के लिए, आपको सभी संभव कारकों में से सबसे छोटा ऐसा कारक चुनना चाहिए।

और एक और बात: यदि मूल अंश में पूर्णांक भाग है, तो इस अंश को अनुचित में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें - और उसके बाद ही वर्णित एल्गोरिथम लागू करें।

काम। इन संख्याओं को दशमलव में बदलें:

आइए पहले भिन्न के हर के गुणनखण्ड करें: 4 = 2 · 2 = 2 2 । इसलिए, एक अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है। विस्तार में दो दो हैं और कोई पांच नहीं है, इसलिए अतिरिक्त कारक 5 2 = 25 है। दो और पांच की संख्या इसके बराबर होगी। अपने पास:

अब दूसरे भिन्न से निपटते हैं। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - विस्तार में एक तिगुना है, इसलिए अंश को दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।

अंतिम दो भिन्नों के हर 5 (एक अभाज्य संख्या) और 20 = 4 5 = 2 2 5 हैं - हर जगह केवल दो और पाँच ही मौजूद हैं। उसी समय, पहले मामले में, "पूर्ण सुख के लिए", 2 का गुणक पर्याप्त नहीं है, और दूसरे में - 5. हमें मिलता है:

दशमलव से साधारण पर स्विच करना

रिवर्स रूपांतरण - दशमलव संकेतन से सामान्य तक - बहुत आसान है। कोई प्रतिबंध और विशेष जांच नहीं है, इसलिए आप हमेशा एक दशमलव अंश को एक क्लासिक "दो-कहानी" में बदल सकते हैं।

अनुवाद एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. दशमलव के बाईं ओर के सभी शून्यों के साथ-साथ दशमलव बिंदु को भी काट दें। यह वांछित अंश का अंश होगा। मुख्य बात - इसे ज़्यादा मत करो और अन्य संख्याओं से घिरे आंतरिक शून्यों को पार मत करो;
2. गणना करें कि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में कितने अंक हैं। संख्या 1 लें और दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ें जितने आपने वर्णों की गिनती की थी। यह भाजक होगा;
3. वास्तव में, वह अंश लिखिए जिसका अंश और हर हमने अभी पाया है। हो सके तो कम कर दें। यदि मूल अंश में पूर्णांक भाग था, तो अब हमें एक अनुचित अंश मिलेगा, जो आगे की गणनाओं के लिए बहुत सुविधाजनक है।

काम। दशमलव को साधारण में बदलें: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008।

हम बाईं ओर शून्य और अल्पविराम को पार करते हैं - हमें निम्नलिखित संख्याएँ मिलती हैं (ये अंश होंगे): 8; 3107; 225; 72008.

दशमलव बिंदु के बाद पहले और दूसरे अंश में 3 दशमलव स्थान हैं, दूसरे में - 2, और तीसरे में - 4 दशमलव स्थान। हमें भाजक मिलते हैं: 1000; 1000; 100; 10000.

अंत में, आइए अंशों और हरों को साधारण भिन्नों में मिला दें:

जैसा कि उदाहरणों से देखा जा सकता है, परिणामी अंश को अक्सर कम किया जा सकता है। एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि किसी भी दशमलव अंश को साधारण के रूप में दर्शाया जा सकता है। उलटा परिवर्तन हमेशा संभव नहीं होता है।

गणित में विभिन्न प्रकार केइसकी स्थापना के बाद से संख्याओं का अध्ययन किया गया है। मौजूद एक बड़ी संख्या कीसेट और संख्याओं के सबसेट। इनमें पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।

अंशों की परिभाषा

फ्रैक्शंस ऐसी संख्याएँ होती हैं जिनमें एक पूरे भाग और एक इकाई के अंश होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच अनंत संख्या में भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं। गणित में, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं, क्योंकि पूर्णांकों के साथ और प्राकृतिक संख्या. यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।

लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है

सामान्य अंश

साधारण अंश पूर्णांक भाग a और दो संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्नात्मक बार b/c के माध्यम से लिखा जाता है। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है तो सामान्य अंश अत्यंत उपयोगी हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय संचालन करना अधिक सुविधाजनक है। शीर्ष भाग को अंश कहा जाता है, निचला भाग भाजक होता है।

साधारण अंशों के साथ क्रियाएँ: उदाहरण

एक अंश की मूल संपत्ति। परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करना जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई एक के बराबर संख्या है। एक अंश की यह संपत्ति जोड़ने के लिए एक भाजक लाने में मदद करती है (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या एक अंश को कम करने, इसे गिनती के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाने में मदद करता है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26

एक आम भाजक में कमी।एक भिन्न के भाजक को लाने के लिए, आपको भाजक को गुणनखंडों के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर लापता संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2। हम देखते हैं कि भाजक दो से भिन्न होते हैं, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।

यौगिक अंश- हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ साधारण अंश। (ए बी/सी) एक संयुक्त अंश को एक सामान्य अंश के रूप में प्रदर्शित करने के लिए, भिन्न के सामने की संख्या को भाजक से गुणा करें और फिर इसे अंश में जोड़ें: (A*c + b)/c।

अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन

केवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय प्रसिद्ध अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - एक भिन्नात्मक रेखा की उपस्थिति। एक ही भाजक के साथ अंशों को जोड़ते समय, दोनों अंशों के केवल अंशों को जोड़ना आवश्यक है, भाजक अपरिवर्तित रहते हैं। उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

यदि दो भिन्नों के हर हैं अलग संख्यासबसे पहले आपको उन्हें एक आम में लाने की जरूरत है (यह कैसे करें ऊपर चर्चा की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत के अनुसार होता है: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9।

गुणन और भाग। कार्रवाईगुणन द्वारा अंश निम्न सिद्धांत के अनुसार होते हैं: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर अंश को कम कर सकते हैं। दूसरी भाषा में, अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य होते हैं: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।

एक साधारण अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलने की आवश्यकता है और पहले बताए गए सिद्धांत के अनुसार दो भिन्नों का गुणन करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

दशमलव

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का अधिक लोकप्रिय और आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला संस्करण है। उन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान होता है। दशमलव अंश की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। उनके मूल में, दशमलव अंश मिश्रित अंश होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणक से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए उनका नाम। दशमलव अंशों के साथ संचालन पूर्णांकों के साथ संचालन के समान हैं, क्योंकि वे दशमलव संख्या प्रणाली में भी लिखे गए हैं। साथ ही, साधारण भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब है कि वे अनंत हो सकते हैं। इन्हें 7,(3) के रूप में लिखा गया है। निम्नलिखित प्रविष्टि पढ़ी जाती है: अवधि में सात पूरे, तीन दसवें।

दशमलव संख्या के साथ मूल संचालन

दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव।पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में भिन्नों के साथ क्रिया करना अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल वही हैं जो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय उपयोग किए जाते हैं। उन्हें भी इसी तरह एक स्तंभ माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो लापता स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12। कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करना होगा: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और एक कॉलम में गिना जा सकता है।

यदि उनमें से एक का अपरिमेय रूप है, तो दशमलव अंशों के साथ संचालन नहीं किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण अंशों में बदलने की आवश्यकता है, और फिर पहले बताई गई तकनीकों का उपयोग करें।

गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान है। उन्हें एक कॉलम से गुणा भी किया जा सकता है, केवल अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, और फिर अंतिम मान में अंकों की समान संख्या के रूप में अल्पविराम से अलग किया जाता है क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद योग दो दशमलव अंशों में होता है। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345। सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं, तो कठिनाइयों का कारण नहीं बनना चाहिए।

डिवीजन भी प्राकृतिक संख्या के विभाजन के साथ मेल खाता है, लेकिन थोड़ा विषयांतर के साथ। किसी कॉलम में दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको विभाजक में अल्पविराम को त्यागना होगा, और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अधूरे विभाजन के साथ, आप दशमलव बिंदु के बाद शून्य जोड़कर दाईं ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं।

दशमलव अंशों के साथ क्रियाओं के उदाहरण।अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है। वे प्राकृतिक, संपूर्ण संख्याओं और सामान्य भिन्नों की शुद्धता की सुविधा को जोड़ते हैं। इसके अलावा, एक अंश को दूसरे में बदलना काफी सरल है। भिन्नों के साथ संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।

1. जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. डिवीजन: 3.6: 0.6 = 6

इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। इसलिए, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।

भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। लेख में दो प्रकार के अंशों पर विचार किया गया - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी आसान है, और यदि आपके पास प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन की पूरी महारत है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्नात्मक सीखना शुरू कर सकते हैं।

उदाहरण:

दशमलव में अल्पविराम अलग करता है:
1) भिन्नात्मक का पूर्णांक भाग;
2) साधारण भिन्न के हर में जितने चिन्ह शून्य होते हैं।

दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

उदाहरण के लिए, \(0.35\) "शून्य बिंदु, पैंतीस सौवां" पढ़ता है। अतः हम लिखते हैं: \(0 \frac(35)(100)\). पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, अर्थात, इसे केवल लिखा नहीं जा सकता है, और भिन्नात्मक भाग को \(5\) से घटाया जा सकता है।
हमें मिलता है: \(0,35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\)।
और उदाहरण: \(2,14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7,026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\)।

यह परिवर्तन और भी तेजी से किया जा सकता है:

अंश में एक अल्पविराम के बिना पूरी संख्या लिखें, और भाजक में - एक और कई शून्य, जितने अंक एक अल्पविराम द्वारा अलग किए गए थे।

जटिल लगता है, इसलिए चित्र देखें:

आप एक सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलते हैं?

ऐसा करने के लिए, भिन्न के अंश और हर को ऐसी संख्या से गुणा करें कि हर \(10\), \(100\),\(1000\), आदि हो, और फिर परिणाम को दशमलव रूप में लिखें।

उदाहरण:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10) \) \ (= 0.6 \); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2,52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0,035\).

यह विधि अच्छी तरह से काम करती है जब भिन्न का हर है: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)..., आदि, यानी, जब यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि क्या करना है गुणा करें। हालाँकि, अन्य मामलों में:

किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, \(\frac(7)(8)\) \(7\) को \(8\) से विभाजित करके परिवर्तित करना आसान है, यह अनुमान लगाने की तुलना में कि \(8\) को \(125\) से गुणा किया जा सकता है और \(1000\) प्राप्त करें।

सभी साधारण भिन्न बिना किसी समस्या के दशमलव में नहीं बदलते। अधिक सटीक रूप से, हर कोई रूपांतरित होता है, लेकिन इस तरह के परिवर्तन के परिणाम को लिखना बहुत कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(9)(17)\) दशमलव रूप में \(0.52941…\) जैसा दिखेगा - और इसी तरह, गैर-दोहराए जाने वाले अंकों की एक अंतहीन श्रृंखला। ऐसे अंश आमतौर पर साधारण के रूप में छोड़े जाते हैं।

हालाँकि, कुछ अंश जो दशमलव के रूप में अनंत अंक देते हैं, लिखे जा सकते हैं। ऐसा तब होता है जब इस पंक्ति में संख्याएँ दोहराई जाती हैं। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(2)(3)\) दशमलव रूप में इस तरह दिखता है \(0.66666…\) - छक्कों की एक अनंत श्रृंखला। इसे इस प्रकार लिखा जाता है: \(0,(6)\). कोष्ठक की सामग्री केवल असीम रूप से दोहराए जाने वाला भाग (तथाकथित अंश अवधि) है।

और उदाहरण: \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3,7037037037...=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5.2636363636…=5.2(63)\).

दशमलव के प्रकार:

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलव अंशों का जोड़ (घटाव) उसी तरह से किया जाता है जैसे जोड़ (घटाव): मुख्य बात यह है कि दूसरी संख्या में अल्पविराम पहले में अल्पविराम के नीचे होना चाहिए।

दशमलव गुणन

दो दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा। फिर पहली संख्या और दूसरी में दशमलव स्थानों की संख्या जोड़ें, और फिर अंतिम संख्या में दशमलव स्थानों की संख्या को दाएँ से बाएँ की ओर गिनते हुए अलग करें।

किसी तस्वीर को \(1\) बार पढ़ने से बेहतर है कि उसे \(1\) बार देखा जाए, इसलिए आनंद लें:

दशमलव विभाजन

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को दूसरी संख्या (भाजक) में तब तक ले जाना होगा जब तक कि यह पूर्णांक न बन जाए। फिर कॉमा को पहले नंबर (विभाज्य) में उसी राशि से ले जाएं। फिर आपको परिणामी संख्याओं को हमेशा की तरह विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, उत्तर में, आपको लाभांश में जैसे ही हम "अल्पविराम से ऊपर जाते हैं" अल्पविराम लगाना याद रखना होगा।

एक बार फिर, एक चित्र सिद्धांत को किसी भी पाठ से बेहतर समझाएगा।

व्यवहार में, विभाजन को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करना आसान होता है, फिर अंश और हर को गुणा करके अल्पविराम हटा दें (या अल्पविराम को तुरंत हटा दें, जैसा कि हमने ऊपर किया था), और फिर परिणामी संख्याओं को कम करें।

\(13,12:1,6=\)\(\frac(13,12)(1,6)\) \(=\) \(\frac(13.12 100)(1.6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\ )\(=8,2\).

उदाहरण . कंप्यूट \(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8\)।

समाधान :

\(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8=\)