दशमलव भिन्नों और प्राकृतिक संख्याओं के साथ संक्रियाएँ। "दशमलव

जैसा:

± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …

जहां ± भिन्न चिह्न है: या तो + या -,

, - दशमलव बिंदु, जो संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है,

डीके- दशमलव अंक।

उसी समय, अल्पविराम (इसके बाईं ओर) से पहले अंकों के क्रम का अंत होता है (जैसे न्यूनतम 1-प्रति अंक), और अल्पविराम के बाद (दाईं ओर) यह परिमित हो सकता है (एक विकल्प के रूप में, हो सकता है कि अल्पविराम के बाद कोई अंक न हो), और अनंत हो।

दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:

जो कि किसी परिमित या अनंत संख्या के पदों के योग के बराबर होता है।

दशमलव भिन्नों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व दशमलव संख्या प्रणाली में पूर्णांकों के अंकन का एक सामान्यीकरण है। पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, और इस प्रकार, यह प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:

± डी एम … डी 1 डी 0 ,

और यह दशमलव संख्या प्रणाली में हमारी संख्या के रिकॉर्ड से मेल खाता है।

दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 इत्यादि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये भिन्न गणना के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और अंकन बनाया जाता है। इसके कारण, दशमलव भिन्नों के लिए अंकन और नियम लगभग पूर्णांकों के समान ही होते हैं।

लिख रहा है दशमलवहर को चिह्नित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह संबंधित अंक द्वारा व्याप्त स्थान से निर्धारित होता है। सबसे पहले, संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, फिर दाईं ओर एक दशमलव बिंदु लगाएं। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या को, तीसरा - हजारवें की संख्या को, इत्यादि। दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ हैं दशमलव स्थानों.

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों का एक लाभ यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण अंशों के रूप में बदला जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारे मामले में यह 5047 है) है मीटर; भाजकके बराबर होती है एनवां डिग्री 10, कहाँ एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे पास यह है एन=4):

जब दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग न हो तो हम दशमलव बिंदु के सामने शून्य लगाते हैं:

दशमलव भिन्नों के गुण.

1. दाहिनी ओर शून्य जोड़ने पर दशमलव नहीं बदलता:

13.6 =13.6000.

2. दशमलव के अंत में मौजूद शून्य हटा दिए जाने पर दशमलव नहीं बदलता है:

0.00123000 = 0.00123.

ध्यान!जो शून्य दशमलव के अंत में नहीं हैं उन्हें हटाया नहीं जाना चाहिए!

3. जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1-वेल, 2, 2, इत्यादि स्थानों पर दाहिनी ओर ले जाते हैं तो दशमलव भिन्न 10, 100, 1000 और इसी प्रकार कई बार बढ़ जाता है:

3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया है)।

4. जब हम दशमलव बिंदु को बाईं ओर क्रमशः 1-वेल, 2, 3, इत्यादि स्थितियों पर ले जाते हैं तो दशमलव अंश दस, एक सौ, एक हजार और इसी तरह कई बार कम हो जाता है:

1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया है)।

दशमलव के प्रकार.

दशमलव से भाग दिया जाता है अंतिम, अनंतऔर आवधिक दशमलव.

अंत दशमलव -यह एक भिन्न है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है (या वे वहां बिल्कुल भी नहीं हैं), यानी। ऐसा लगता है:

एक वास्तविक संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी दर्शाया जा सकता है जब यह संख्या तर्कसंगत हो और जब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में लिखा जाए पी क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य भाजक नहीं है।

अनंत दशमलव.

इसमें अंकों का एक अनंत रूप से दोहराया जाने वाला समूह शामिल है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखी गई है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

आवधिक दशमलव- यह एक ऐसा अनंत दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद के अंकों का क्रम एक निश्चित स्थान से शुरू होकर, अंकों का समय-समय पर दोहराया जाने वाला समूह होता है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंशएक दशमलव है जो इस तरह दिखता है:

ऐसा भिन्न आमतौर पर संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:

संख्या समूह बी 1 … बी एल, जो दोहराया जाता है, है अंश अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.

जब किसी आवर्त भिन्न में दशमलव बिंदु के ठीक बाद आवर्त आता है, तो भिन्न होती है शुद्ध आवधिक. जब अल्पविराम और प्रथम आवर्त के बीच संख्याएँ हों, तो भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव बिंदु के बाद प्रथम आवर्त चिह्न तक अंकों का एक समूह - अंश पूर्वकाल.

उदाहरण के लिए, अंश 1,(23) = 1.2323… शुद्ध आवर्त है, और अंश 0.1(23)=0.12323… मिश्रित आवर्त है।

आवर्त भिन्नों का मुख्य गुण, जिसके कारण वे दशमलव अंशों के पूरे सेट से अलग होते हैं, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक अंश और केवल वे तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:

कोई भी अनंत आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को अनंत दशमलव अंश में विघटित किया जाता है, तो यह अंश आवर्त होगा।

हम इस सामग्री को ऐसे ही समर्पित करेंगे महत्वपूर्ण विषयदशमलव की तरह. सबसे पहले, आइए बुनियादी परिभाषाओं को परिभाषित करें, उदाहरण दें और दशमलव अंकन के नियमों पर ध्यान दें, साथ ही दशमलव भिन्नों के अंक क्या हैं। इसके बाद, हम मुख्य प्रकारों पर प्रकाश डालते हैं: परिमित और अनंत, आवधिक और गैर-आवधिक भिन्न। अंतिम भाग में, हम दिखाएंगे कि भिन्नात्मक संख्याओं के संगत बिंदु निर्देशांक अक्ष पर कैसे स्थित होते हैं।

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भिन्नात्मक संख्याओं के लिए दशमलव अंकन क्या है?

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए तथाकथित दशमलव अंकन का उपयोग प्राकृतिक और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह दो या दो से अधिक संख्याओं के समूह जैसा दिखता है जिनके बीच अल्पविराम है।

दशमलव बिंदु का उपयोग पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के लिए किया जाता है। एक नियम के रूप में, दशमलव का अंतिम अंक कभी भी शून्य नहीं होता है, जब तक कि दशमलव बिंदु पहले शून्य के तुरंत बाद न हो।

दशमलव अंकन में भिन्नात्मक संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? यह 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 आदि हो सकता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों में, आप अल्पविराम के स्थान पर बिंदु का उपयोग पा सकते हैं (5. 67, 6789. 1011, आदि)। इस विकल्प को समतुल्य माना जाता है, लेकिन यह अंग्रेजी भाषा के स्रोतों के लिए अधिक विशिष्ट है।

दशमलव की परिभाषा

दशमलव अंकन की उपरोक्त अवधारणा के आधार पर, हम दशमलव भिन्नों की निम्नलिखित परिभाषा तैयार कर सकते हैं:

परिभाषा 1

दशमलव दशमलव अंकन में भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

हमें भिन्नों को इस रूप में लिखने की आवश्यकता क्यों है? यह हमें सामान्य अंकन की तुलना में कुछ लाभ देता है, उदाहरण के लिए, एक अधिक संक्षिप्त अंकन, विशेष रूप से ऐसे मामलों में जहां हर 1000, 100, 10, आदि या एक मिश्रित संख्या है। उदाहरण के लिए, 6 10 के स्थान पर हम 0, 6, 25 के स्थान पर 10000 - 0, 0023, 512 3 100 के स्थान पर - 512, 03 निर्दिष्ट कर सकते हैं।

दशमलव रूप में हर में दहाई, सैकड़ों, हजारों के साथ सामान्य अंशों को सही ढंग से कैसे दर्शाया जाए, इसका वर्णन एक अलग सामग्री में किया जाएगा।

दशमलव को सही तरीके से कैसे पढ़ें

दशमलव के अभिलेख पढ़ने के कुछ नियम हैं। तो, वे दशमलव अंश जो उनके सही सामान्य समकक्षों के अनुरूप होते हैं, लगभग समान रूप से पढ़े जाते हैं, लेकिन शुरुआत में "शून्य दसवां" शब्द जोड़ने के साथ। तो, प्रविष्टि 0, 14, जो 14 100 से मेल खाती है, को "शून्य दशमलव चौदह सौवां" के रूप में पढ़ा जाता है।

यदि दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है, तो इसे इस संख्या के समान ही पढ़ा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास अंश 56, 002 है, जो 56 2 1000 से मेल खाता है, तो हम ऐसी प्रविष्टि को "छप्पन दशमलव दो हजारवां" के रूप में पढ़ते हैं।

दशमलव अंकन में एक अंक का मान इस बात पर निर्भर करता है कि वह कहाँ स्थित है (ठीक प्राकृतिक संख्याओं के मामले की तरह)। तो, दशमलव अंश 0, 7, सात में दसवां हिस्सा है, 0, 0007 में यह दस हजारवां है, और अंश 70,000, 345 में इसका मतलब सात दसियों हजार पूर्ण इकाइयां हैं। इस प्रकार, दशमलव भिन्नों में भी संख्या अंक की अवधारणा होती है।

अल्पविराम से पहले स्थित अंकों के नाम प्राकृतिक संख्याओं के समान होते हैं। जो बाद में स्थित हैं उनके नाम तालिका में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए हैं:

चलिए एक उदाहरण लेते हैं.

उदाहरण 1

हमारे पास दशमलव 43,098 है। उसके पास दहाई के स्थान पर चार, इकाई के स्थान पर तीन, दसवें स्थान पर शून्य, सौवें स्थान पर 9 और हजारवें स्थान पर 8 अंक हैं।

दशमलव भिन्नों के अंकों को वरिष्ठता के आधार पर अलग करने की प्रथा है। यदि हम संख्याओं को बाएँ से दाएँ ओर ले जाएँ, तो हम उच्च से निम्न अंकों की ओर चले जाएँगे। यह पता चला है कि सैकड़ों दसियों से अधिक पुराने हैं, और दस लाखवें सौवें से छोटे हैं। यदि हम उस अंतिम दशमलव अंश को लें, जिसे हमने ऊपर उदाहरण के रूप में उद्धृत किया है, तो उसमें उच्चतम, या उच्चतम, सैकड़ों का अंक होगा, और सबसे कम, या सबसे कम, 10 हजारवें का अंक होगा।

किसी भी दशमलव अंश को अलग-अलग अंकों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह ऑपरेशन प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही किया जाता है।

उदाहरण 2

आइए भिन्न 56, 0455 को अंकों में विस्तारित करने का प्रयास करें।

हम यह कर सकेंगे:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

यदि हम योग के गुणों को याद रखें, तो हम इस अंश को अन्य रूपों में प्रस्तुत कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, योग 56 + 0, 0455, या 56, 0055 + 0, 4, आदि के रूप में।

अनुवर्ती दशमलव क्या हैं

ऊपर हमने जिन भिन्नों के बारे में बात की वे अनुगामी दशमलव हैं। इसका मतलब यह है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या सीमित है। आइए परिभाषा जानें:

परिभाषा 1

अनुगामी दशमलव एक प्रकार का दशमलव है जिसमें अल्पविराम के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है।

ऐसे भिन्नों के उदाहरण 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, आदि हो सकते हैं।

इनमें से किसी भी भिन्न को या तो मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है (यदि उनके भिन्नात्मक भाग का मान शून्य से भिन्न है), या सामान्य अंश(शून्य पूर्णांक भाग के साथ)। यह कैसे किया जाता है, इसके लिए हमने एक अलग सामग्री समर्पित की है। आइए यहां कुछ उदाहरण बताएं: उदाहरण के लिए, हम अंतिम दशमलव अंश 5, 63 को 5 63 100 के रूप में ला सकते हैं, और 0, 2 2 10 (या इसके बराबर कोई अन्य अंश, उदाहरण के लिए) से मेल खाता है। 4 20 या 1 5 .)

लेकिन उलटी प्रक्रिया, यानी. एक साधारण भिन्न को दशमलव रूप में लिखना हमेशा संभव नहीं होता है। तो, 5 13 को 100, 10, आदि के हर के साथ एक समान अंश द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम दशमलव अंश इससे काम नहीं करेगा।

अनंत दशमलव भिन्नों के मुख्य प्रकार: आवधिक और गैर-आवधिक भिन्न

हमने ऊपर बताया कि परिमित भिन्न कहलाते हैं क्योंकि उनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है। हालाँकि, यह अनंत भी हो सकता है, ऐसी स्थिति में भिन्नों को भी अनंत कहा जाएगा।

परिभाषा 2

अनंत दशमलव वे होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है।

जाहिर है, ऐसी संख्याएँ पूरी तरह से नहीं लिखी जा सकतीं, इसलिए हम उनका केवल एक हिस्सा दर्शाते हैं और फिर दीर्घवृत्त डालते हैं। यह चिन्ह दशमलव स्थानों के क्रम की अनंत निरंतरता को इंगित करता है। अनंत दशमलव के उदाहरण होंगे 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... . वगैरह।

ऐसे अंश की "पूंछ" में, न केवल संख्याओं के प्रतीत होने वाले यादृच्छिक अनुक्रम हो सकते हैं, बल्कि एक ही वर्ण या वर्णों के समूह की निरंतर पुनरावृत्ति भी हो सकती है। बाद में प्रत्यावर्तन के साथ भिन्न दशमलव बिंदुआवधिक कहलाते हैं।

परिभाषा 3

आवर्त दशमलव भिन्न ऐसे अनंत दशमलव भिन्न होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक या कई अंकों का समूह दोहराया जाता है। दोहराए जाने वाले भाग को भिन्न का आवर्त कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 3, 444444... के लिए। अवधि संख्या 4 होगी, और 76 के लिए, 134134134134 ... - समूह 134।

किसी आवधिक अंश में वर्णों की न्यूनतम संख्या कितनी होती है? आवर्त भिन्नों के लिए संपूर्ण आवर्त को एक बार कोष्ठक में लिखना पर्याप्त होगा। अत: भिन्न 3, 444444 ... है। 3 , (4) , और 76 , 134134134134 ... - 76 , (134) के रूप में लिखना सही होगा।

सामान्य तौर पर, कोष्ठक में कई अवधियों वाली प्रविष्टियों का बिल्कुल वही अर्थ होगा: उदाहरण के लिए, आवधिक अंश 0.677777 0.6 (7) और 0.6 (77), आदि के समान है। 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) और अन्य जैसी प्रविष्टियों की भी अनुमति है।

त्रुटियों से बचने के लिए, हम अंकन की एकरूपता का परिचय देते हैं। आइए केवल एक अवधि (अंकों का सबसे छोटा संभव अनुक्रम) लिखने के लिए सहमत हों, जो दशमलव बिंदु के सबसे करीब है, और इसे कोष्ठक में संलग्न करें।

अर्थात्, उपरोक्त भिन्न के लिए हम प्रविष्टि 0, 6 (7) को मुख्य मानेंगे, और, उदाहरण के लिए, भिन्न 8, 9134343434 के मामले में, हम 8, 91 (34) लिखेंगे।

यदि किसी साधारण भिन्न के हर में अभाज्य गुणनखंड 5 और 2 के बराबर न हों, तो जब परिवर्तित किया जाता है दशमलव अंकनवे अनंत भिन्न बनाते हैं।

सिद्धांत रूप में, हम किसी भी परिमित भिन्न को आवर्त के रूप में लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें बस दाईं ओर अनंत संख्या में शून्य जोड़ने की जरूरत है। यह रिकॉर्ड पर कैसा दिखता है? मान लीजिए कि हमारे पास अंतिम भिन्न 45, 32 है। आवधिक रूप में, यह 45 , 32 (0) जैसा दिखेगा। यह क्रिया संभव है क्योंकि किसी भी दशमलव भिन्न के दाईं ओर शून्य जोड़ने पर हमें उसके बराबर एक भिन्न प्राप्त होता है।

अलग से, किसी को 9 की अवधि के साथ आवधिक अंशों पर ध्यान देना चाहिए, उदाहरण के लिए, 4, 89 (9), 31, 6 (9) । वे 0 की अवधि वाली समान भिन्नों के लिए एक वैकल्पिक संकेतन हैं, इसलिए शून्य अवधि वाली भिन्नों के साथ लिखते समय उन्हें अक्सर बदल दिया जाता है। उसी समय, अगले अंक के मान में एक जोड़ा जाता है, और (0) कोष्ठक में दर्शाया जाता है। परिणामी संख्याओं की समानता को साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करके जांचना आसान है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 8, 31 (9) को संगत भिन्न 8, 32 (0) से बदला जा सकता है। या 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

अनंत दशमलव आवर्त भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी आवधिक अंश को एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत।

ऐसे अंश भी होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद कोई अनंत रूप से दोहराव वाला क्रम नहीं होता है। इस स्थिति में, उन्हें गैर-आवधिक भिन्न कहा जाता है।

परिभाषा 4

गैर-आवधिक दशमलव अंशों में वे अनंत दशमलव अंश शामिल होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद कोई अवधि नहीं होती है, अर्थात। संख्याओं का दोहराव वाला समूह।

कभी-कभी गैर-आवधिक भिन्न, आवर्त अंशों के समान ही दिखते हैं। उदाहरण के लिए, 9 , 03003000300003 ... पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह एक अवधि है, हालाँकि विस्तृत विश्लेषणदशमलव स्थान पुष्टि करता है कि यह अभी भी एक गैर-आवधिक भिन्न है। आपको इस तरह के नंबरों से बहुत सावधान रहना होगा।

गैर-आवधिक भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं। वे साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं होते।

दशमलव के साथ बुनियादी संचालन

निम्नलिखित ऑपरेशन दशमलव अंशों के साथ किए जा सकते हैं: तुलना, घटाव, जोड़, विभाजन और गुणा। आइए उनमें से प्रत्येक का अलग से विश्लेषण करें।

दशमलव की तुलना को मूल दशमलव के अनुरूप साधारण भिन्नों की तुलना करने तक सीमित किया जा सकता है। लेकिन अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को इस रूप में नहीं बदला जा सकता है, और दशमलव भिन्नों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करना अक्सर एक श्रमसाध्य कार्य होता है। यदि हमें समस्या को हल करने के दौरान तुलनात्मक कार्रवाई करने की आवश्यकता है तो हम इसे तुरंत कैसे निष्पादित करें? दशमलव भिन्नों की तुलना अंकों द्वारा उसी प्रकार करना सुविधाजनक है जैसे हम प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करते हैं। हम इस पद्धति पर एक अलग लेख समर्पित करेंगे।

एक दशमलव अंश को दूसरे में जोड़ने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, कॉलम जोड़ विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। आवधिक दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सामान्य अंशों से बदलना होगा और मानक योजना के अनुसार गिनना होगा। यदि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हमें अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करना होगा, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। हम जिस अंक को जितना छोटा करेंगे, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होगी। अनंत भिन्नों के घटाने, गुणा और भाग के लिए प्रारंभिक पूर्णांकन भी आवश्यक है।

दशमलव भिन्नों का अंतर ज्ञात करना योग के विपरीत है। वास्तव में, घटाव की सहायता से, हम एक संख्या ज्ञात कर सकते हैं जिसका योग घटाए गए भिन्न के साथ हमें घटा हुआ प्राप्त होगा। हम इस बारे में एक अलग लेख में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

दशमलव भिन्नों का गुणन प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही किया जाता है। कॉलम द्वारा गणना की विधि भी इसके लिए उपयुक्त है। हम फिर से पहले से अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार आवधिक भिन्नों के साथ इस क्रिया को साधारण भिन्नों के गुणन तक कम कर देते हैं। जैसा कि हमें याद है, अनंत भिन्नों को गिनती से पहले पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

दशमलव को विभाजित करने की प्रक्रिया गुणन प्रक्रिया के विपरीत है। समस्याओं को हल करते समय, हम कॉलम गिनती का भी उपयोग करते हैं।

आप अंतिम दशमलव और निर्देशांक अक्ष पर एक बिंदु के बीच एक सटीक पत्राचार सेट कर सकते हैं। आइए जानें कि अक्ष पर एक बिंदु को कैसे चिह्नित किया जाए जो आवश्यक दशमलव अंश के बिल्कुल अनुरूप होगा।

हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि साधारण भिन्नों के अनुरूप बिंदु कैसे बनाए जाते हैं, और दशमलव भिन्नों को इस रूप में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण भिन्न 14 10, 1, 4 के समान है, इसलिए इसके संगत बिंदु को मूल से सकारात्मक दिशा में ठीक उसी दूरी से हटा दिया जाएगा:

आप दशमलव भिन्न को साधारण अंश से बदले बिना भी ऐसा कर सकते हैं, और अंक विस्तार विधि को आधार के रूप में ले सकते हैं। इसलिए, यदि हमें एक बिंदु चिह्नित करने की आवश्यकता है जिसका निर्देशांक 15, 4008 के बराबर होगा, तो हम पहले इस संख्या को 15 + 0, 4 +, 0008 के योग के रूप में निरूपित करेंगे। आरंभ करने के लिए, हमने मूल से सकारात्मक दिशा में 15 पूर्ण इकाई खंडों को अलग रखा, फिर एक खंड के 4 दसवें हिस्से को, और फिर एक खंड के 8 दस-हजारवें हिस्से को। परिणामस्वरूप, हमें एक समन्वय बिंदु मिलेगा, जो भिन्न 15, 4008 से मेल खाता है।

अनंत दशमलव अंश के लिए, इस विशेष विधि का उपयोग करना बेहतर है, क्योंकि यह आपको वांछित बिंदु तक जितना चाहें उतना करीब पहुंचने की अनुमति देता है। कुछ मामलों में, निर्देशांक अक्ष पर अनंत अंश का सटीक पत्राचार बनाना संभव है: उदाहरण के लिए, 2 = 1, 41421। . . , और यह अंश निर्देशांक किरण पर एक बिंदु से जुड़ा हो सकता है, जो वर्ग के विकर्ण की लंबाई से 0 से दूर है, जिसकी भुजा एक इकाई खंड के बराबर होगी।

यदि हमें अक्ष पर कोई बिंदु नहीं, बल्कि उसके अनुरूप एक दशमलव अंश मिलता है, तो इस क्रिया को खंड का दशमलव माप कहा जाता है। आइए देखें कि इसे सही तरीके से कैसे करें।

मान लीजिए कि हमें निर्देशांक अक्ष पर शून्य से दिए गए बिंदु तक पहुंचना है (या अनंत अंश के मामले में जितना संभव हो उतना करीब पहुंचना है)। ऐसा करने के लिए, हम धीरे-धीरे निर्देशांक की उत्पत्ति से इकाई खंडों को अलग करते हैं जब तक कि हम वांछित बिंदु तक नहीं पहुंच जाते। पूरे खंडों के बाद, यदि आवश्यक हो, तो हम दसवें, सौवें और छोटे भागों को मापते हैं ताकि पत्राचार यथासंभव सटीक हो। परिणामस्वरूप, हमें एक दशमलव भिन्न प्राप्त हुआ, जो कि संगत है दिया गया बिंदुसमन्वय अक्ष पर.

ऊपर हमने बिंदु M के साथ एक चित्र दिया है। इसे फिर से देखें: इस बिंदु तक पहुंचने के लिए, आपको शून्य से एक इकाई खंड और उसके चार दसवें हिस्से को मापने की आवश्यकता है, क्योंकि यह बिंदु दशमलव अंश 1, 4 से मेल खाता है।

यदि हम दशमलव माप की प्रक्रिया में किसी बिंदु पर नहीं पहुंच पाते हैं, तो इसका मतलब है कि एक अनंत दशमलव अंश इसके अनुरूप है।

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§ 31. दशमलव भिन्नों के साथ सभी क्रियाओं के लिए कार्य और उदाहरण।

निम्नलिखित चरण निष्पादित करें:

767. विभाजन का भागफल ज्ञात कीजिए:

772. गणना करें:

खोजो एक्स , अगर:

776. अज्ञात संख्या को संख्या 1 और 0.57 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और उत्पाद में हमें 3.44 प्राप्त हुआ। कोई अज्ञात नंबर ढूंढें.

777. अज्ञात संख्या और 0.9 के योग को 1 और 0.4 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और उत्पाद में हमें 2.412 प्राप्त हुआ। कोई अज्ञात नंबर ढूंढें.

778. आरएसएफएसआर (चित्र 36) में लौह गलाने के आरेख के अनुसार, एक समस्या बनाएं, जिसके समाधान के लिए जोड़, घटाव और विभाजन की क्रियाओं को लागू करना आवश्यक है।

779. 1) स्वेज नहर की लंबाई 165.8 किमी है, पनामा नहर की लंबाई स्वेज नहर से 84.7 किमी कम है, और व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई 145.9 किमी है अधिक लंबाईपनामा. व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई कितनी है?

2) मॉस्को मेट्रो (1959 तक) 5 चरणों में बनाई गई थी। मेट्रो की पहली लाइन की लंबाई 11.6 किमी, दूसरी की 14.9 किमी, तीसरी की लंबाई दूसरी लाइन की लंबाई से 1.1 किमी कम, चौथी लाइन की लंबाई तीसरी लाइन की लंबाई 9.6 किमी ज्यादा है। , और पांचवीं लाइन की लंबाई चौथी से 11.5 किमी कम है। 1959 की शुरुआत तक मॉस्को मेट्रो की लंबाई कितनी थी?

780. 1) सबसे बड़ी गहराई अटलांटिक महासागर 8.5 किमी, प्रशांत महासागर की अधिकतम गहराई 2.3 किमी है अधिक गहराईअटलांटिक महासागर, और उत्तर की सबसे बड़ी गहराई आर्कटिक महासागरअधिकतम गहराई से 2 गुना कम प्रशांत महासागर. आर्कटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई क्या है?

2) मोस्कविच कार प्रति 100 किमी में 9 लीटर गैसोलीन की खपत करती है, पोबेडा कार मोस्कविच की तुलना में 4.5 लीटर अधिक खपत करती है, और वोल्गा पोबेडा से 1.1 गुना अधिक है। वोल्गा कार प्रति 1 किमी में कितना गैसोलीन खर्च करती है? (निकटतम 0.01 लीटर तक गोल उत्तर।)

781. 1)छात्र छुट्टियों में अपने दादा के पास गया। रेल से, उन्होंने 8.5 घंटे यात्रा की, और स्टेशन से घोड़े पर 1.5 घंटे यात्रा की। कुल मिलाकर, उन्होंने 440 किमी की यात्रा की। यदि छात्र 10 किमी प्रति घंटे की गति से घोड़ों की सवारी करता है तो वह रेलमार्ग पर किस गति से चला?

2) सामूहिक किसान को अपने घर से 134.7 किमी की दूरी पर स्थित एक बिंदु पर होना था। 2.4 घंटे तक उसने 55 किमी प्रति घंटे की औसत गति से बस से यात्रा की, और शेष रास्ता वह 4.5 किमी प्रति घंटे की गति से चला। वह कितनी देर तक चला?

782. 1) गर्मियों में, एक गोफर लगभग 0.12 सेंटीमीटर रोटी नष्ट कर देता है। वसंत ऋतु में अग्रदूतों ने 37.5 हेक्टेयर भूमि पर 1,250 ज़मीनी गिलहरियों को नष्ट कर दिया। स्कूली बच्चों ने सामूहिक खेत के लिए कितनी रोटी बचाई? प्रति 1 हेक्टेयर कितनी रोटी बचती है?

2) सामूहिक फार्म ने गणना की कि 15 हेक्टेयर कृषि योग्य भूमि पर जमीनी गिलहरियों को नष्ट करके स्कूली बच्चों ने 3.6 टन अनाज बचाया। यदि एक जमीनी गिलहरी गर्मियों में 0.012 टन अनाज को नष्ट कर देती है, तो प्रति 1 हेक्टेयर भूमि पर औसतन कितनी जमीनी गिलहरियाँ नष्ट हो जाती हैं?

783. 1) गेहूं को पीसकर आटा बनाते समय उसके वजन का 0.1 भाग कम हो जाता है और पकाते समय आटे के वजन के 0.4 के बराबर बेकिंग प्राप्त होती है। 2.5 टन गेहूं से कितनी पकी हुई ब्रेड प्राप्त होगी?

2) सामूहिक खेत में 560 टन सूरजमुखी के बीज काटे गए। कितने सूरजमुखी का तेलक्या कटे हुए अनाज से बनाया जाएगा यदि अनाज का वजन सूरजमुखी के बीज के वजन का 0.7 है, और प्राप्त तेल का वजन अनाज के वजन का 0.25 है?

784. 1) दूध से क्रीम की उपज दूध के वजन का 0.16 वजन है और क्रीम से मक्खन की उपज क्रीम के वजन का 0.25 वजन है। 1 क्विंटल मक्खन प्राप्त करने के लिए कितना दूध (वजन के अनुसार) आवश्यक है?

2) 1 किलो सूखे मशरूम प्राप्त करने के लिए कितने किलोग्राम पोर्सिनी मशरूम एकत्र करना होगा, यदि सुखाने की तैयारी के दौरान 0.5 वजन रहता है, और सुखाने के दौरान संसाधित मशरूम का 0.1 वजन रहता है?

785. 1) सामूहिक फार्म को आवंटित भूमि का उपयोग निम्नानुसार किया जाता है: इसका 55% कृषि योग्य भूमि पर है, 35% घास के मैदानों पर है, और शेष 330.2 हेक्टेयर भूमि सामूहिक फार्म उद्यान और के लिए आवंटित की गई है। सामूहिक किसानों की संपत्ति। सामूहिक फार्म पर कितनी भूमि है?

2) सामूहिक खेत में पूरे बोए गए क्षेत्र का 75% अनाज की फसलें, 20% सब्जियाँ और बाकी चारा घास बोई गईं। यदि सामूहिक खेत में 60 हेक्टेयर में चारा घास बोई जाती है तो उसके पास कितना बोया गया क्षेत्र है?

786. 1) 875 मीटर लंबे और 640 मीटर चौड़े आयत के आकार वाले खेत को बोने के लिए कितने सेंटीमीटर बीज की आवश्यकता होगी, यदि प्रति 1 हेक्टेयर में 1.5 सेंटीमीटर बीज बोए जाएं?

2) एक आयत आकार के खेत की परिधि 1.6 किमी है तो उसे बोने के लिए कितने सेंटीमीटर बीज की आवश्यकता होगी? खेत की चौड़ाई 300 मीटर है। 1 हेक्टेयर बुआई के लिए 1.5 क्विंटल बीज की आवश्यकता होती है।

787. 0.2 dm भुजा वाली कितनी वर्गाकार प्लेटें 0.4 dm x 10 dm मापने वाले आयत में फिट होंगी?

788. वाचनालय का आयाम 9.6 mx 5 mx 4.5 m है। हवा का मी?

789. 1) यदि प्रत्येक घास काटने वाली मशीन की कार्यशील चौड़ाई 1.56 मीटर है और ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो 8 घंटे में चार घास काटने वाली मशीनों के ट्रेलर के साथ घास के मैदान का कितना क्षेत्र काटा जाएगा? (रुकने का समय ध्यान में नहीं रखा गया है।) (निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक गोल उत्तर)

2) ट्रैक्टर वेजिटेबल सीडर की कार्यशील चौड़ाई 2.8 मीटर है। इस सीडर से 8 घंटे में कितने क्षेत्र में बुआई की जा सकती है। 5 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से काम करें?

790. 1) 10 घंटे में तीन-फ़रो ट्रैक्टर हल का आउटपुट ज्ञात करें। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर पर कब्जा 35 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल खर्च किए गए समय का 0.1 थी। (निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक गोल उत्तर)

2) 6 घंटे में पांच-फ़रो ट्रैक्टर हल का आउटपुट ज्ञात करें। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर पर कब्जा 30 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल खर्च किए गए समय का 0.1 थी। (निकटतम 0.1 हेक्टेयर तक गोल उत्तर)

791. एक यात्री ट्रेन के स्टीम लोकोमोटिव के लिए प्रति 5 किमी की दूरी पर पानी की खपत 0.75 टन है। टेंडर की पानी की टंकी में 16.5 टन पानी होता है। यदि टैंक को उसकी क्षमता का 0.9 तक भरा जाए तो ट्रेन में कितने किलोमीटर तक पर्याप्त पानी होगा?

792. केवल 120 माल वैगन साइडिंग पर फिट हो सकते हैं, जिनकी औसत वैगन लंबाई 7.6 मीटर है। यदि इस ट्रैक पर 24 और माल वैगन रखे जाते हैं, तो कितने चार-एक्सल यात्री वैगन, प्रत्येक 19.2 मीटर लंबे, इस ट्रैक पर फिट होंगे?

793. रेलवे तटबंध की मजबूती के लिए मैदानी घास बोकर ढलानों को मजबूत करने की सिफारिश की गई है। तटबंध के प्रत्येक वर्ग मीटर के लिए 0.25 रूबल मूल्य के 2.8 ग्राम बीज की आवश्यकता होती है। 1 किलो के लिए. यदि काम की लागत बीज की लागत का 0.4 है तो 1.02 हेक्टेयर ढलानों को बोने में कितना खर्च आएगा? (उत्तर को निकटतम 1 रगड़ तक पूर्णांकित करें।)

794. ईंट निर्माणथाने लाया गया रेलवेईंटें. ईंटों की ढुलाई के लिए 25 घोड़े और 10 ट्रक काम करते थे। प्रत्येक घोड़े ने प्रति यात्रा 0.7 टन वजन उठाया और प्रति दिन 4 यात्राएं कीं। प्रत्येक कार ने प्रति यात्रा 2.5 टन का परिवहन किया और प्रति दिन 15 यात्राएँ कीं। यात्रा में 4 दिन लगे। यदि थाने पर ईंटों के कितने टुकड़े पहुंचाए गए औसत वजनएक ईंट 3.75 किलो? (उत्तर को निकटतम 1,000 टुकड़ों तक पूर्णांकित करें।)

795. आटे का स्टॉक तीन बेकरियों के बीच वितरित किया गया था: पहले को कुल स्टॉक का 0.4, दूसरे को शेष का 0.4, और तीसरी बेकरी को पहले की तुलना में 1.6 टन कम आटा मिला। कुल कितना आटा वितरित किया गया?

796. संस्थान के दूसरे वर्ष में 176 छात्र हैं, तीसरे वर्ष में यह संख्या 0.875 और पहले वर्ष में डेढ़ गुना है। आगेवह तीसरे वर्ष में था। इस संस्थान के प्रथम, द्वितीय एवं तृतीय वर्ष में छात्रों की संख्या कुल छात्रों की संख्या का 0.75 थी। संस्थान में कितने छात्र थे?

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797. अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

1) दो संख्याएँ: 56.8 और 53.4; 705.3 और 707.5;

2) तीन संख्याएँ: 46.5; 37.8 और 36; 0.84; 0.69 और 0.81;

3) चार संख्याएँ: 5.48; 1.36; 3.24 और 2.04.

798. 1) सुबह का तापमान 13.6°, दोपहर का 25.5° और शाम का 15.2° रहा। उस दिन के औसत तापमान की गणना करें।

2) क्या है औसत तापमानप्रति सप्ताह, यदि सप्ताह के दौरान थर्मामीटर ने दिखाया: 21°; 20.3°; 22.2°; 23.5°; 21.1°; 22.1°; 20.8°?

799. 1) स्कूल टीम ने पहले दिन 4.2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 3.9 हेक्टेयर और तीसरे दिन 4.5 हेक्टेयर चुकंदर की निराई की। प्रति दिन ब्रिगेड का औसत आउटपुट निर्धारित करें।

2) विनिर्माण के लिए समय का मानक स्थापित करना नया भाग 3 टर्नर की आपूर्ति की गई। पहले ने 3.2 मिनट में, दूसरे ने 3.8 मिनट में और तीसरे ने 4.1 मिनट में हिस्सा लिया। उस मानक समय की गणना करें जो भाग के निर्माण के लिए निर्धारित किया गया था।

800. 1) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 36.4 है। इनमें से एक संख्या 36.8 है। अन्य ढूंढें।

2) हवा का तापमान दिन में तीन बार मापा गया: सुबह, दोपहर और शाम को। सुबह हवा का तापमान ज्ञात करें, यदि दोपहर में यह 28.4°C था, शाम को 18.2°C था, और दिन का औसत तापमान 20.4°C था।

801. 1) कार पहले दो घंटों में 98.5 किमी और अगले तीन घंटों में 138 किमी चली। कार प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर चली?

2) एक साल के बच्चों की पकड़ और वजन के परीक्षण से पता चला कि 10 कार्प में से 4 का वजन 0.6 किलोग्राम, 3 का वजन 0.65 किलोग्राम, 2 का वजन 0.7 किलोग्राम और 1 का वजन 0.8 किलोग्राम था। एक वर्षीय कार्प का औसत वजन कितना होता है?

802. 1) 2 लीटर सिरप की कीमत 1.05 रूबल है। 1 लीटर के लिए 8 लीटर पानी मिलाएं। सिरप के साथ 1 लीटर पानी की कीमत कितनी है?

2) परिचारिका ने 36 कोपेक में डिब्बाबंद बोर्स्ट का 0.5 लीटर कैन खरीदा। और 1.5 लीटर पानी के साथ उबालें। यदि बोर्स्ट की मात्रा 0.5 लीटर है तो एक प्लेट की लागत कितनी होगी?

803. प्रयोगशाला कार्य"दो बिंदुओं के बीच की दूरी मापना",

पहला रिसेप्शन. टेप माप (मापने वाला टेप) के साथ माप। कक्षा को तीन-तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। सहायक उपकरण: 5-6 मील के पत्थर और 8-10 टैग।

कार्य की प्रगति: 1) बिंदु ए और बी को चिह्नित किया गया है और उनके बीच एक सीधी रेखा खींची गई है (कार्य 178 देखें); 2) टेप माप को निश्चित सीधी रेखा के साथ रखें और हर बार टेप माप के अंत को एक टैग से चिह्नित करें। दूसरा रिसेप्शन. माप, कदम. कक्षा को तीन-तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक छात्र अपने द्वारा उठाए गए कदमों की संख्या गिनते हुए A से B तक की दूरी तय करता है। गुणा औसत लंबाईप्राप्त चरणों की संख्या से उसका कदम, A से B तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

तीसरा रिसेप्शन. आँख से मापना. प्रत्येक विद्यार्थी चित्र बनाता है बायां हाथउठे हुए अंगूठे के साथ (चित्र 37) और अंगूठे को बिंदु बी (चित्र में - एक पेड़) पर मील के पत्थर की ओर निर्देशित करें ताकि बाईं आंख (बिंदु ए), अंगूठा और बिंदु बी एक ही रेखा पर हों। स्थिति बदले बिना बायीं आंख बंद करें और दाहिनी ओर अंगूठे की ओर देखें। परिणामी विस्थापन को आंख से मापा जाता है और 10 के कारक से बढ़ाया जाता है। यह A से B तक की दूरी है.

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804. 1) 1959 की जनगणना के अनुसार, यूएसएसआर की जनसंख्या 208.8 मिलियन थी, और ग्रामीण जनसंख्या शहरी जनसंख्या से 9.2 मिलियन अधिक थी। 1959 में यूएसएसआर में कितनी शहरी और कितनी ग्रामीण आबादी थी?

2) 1913 की जनगणना के अनुसार, रूस की जनसंख्या 159.2 मिलियन थी, और शहरी जनसंख्या ग्रामीण जनसंख्या से 103.0 मिलियन कम थी। 1913 में रूस में शहरी और ग्रामीण जनसंख्या कितनी थी?

805. 1) तार की लंबाई 24.5 मीटर है। इस तार को दो भागों में काटा गया ताकि पहला भाग दूसरे की तुलना में 6.8 मीटर लंबा हो जाए। प्रत्येक टुकड़ा कितने मीटर लंबा है?

2) दो संख्याओं का योग 100.05 है। एक संख्या दूसरी से 97.06 अधिक है। इन नंबरों को खोजें.

806. 1) तीन कोयला गोदामों में 8656.2 टन कोयला है, दूसरे गोदाम में पहले की तुलना में 247.3 टन अधिक कोयला है, और तीसरे में दूसरे की तुलना में 50.8 टन अधिक कोयला है। प्रत्येक गोदाम में कितने टन कोयला है?

2) तीन संख्याओं का योग 446.73 है। पहली संख्या दूसरी से 73.17 कम है और तीसरी से 32.22 अधिक है। इन नंबरों को खोजें.

807. 1) नाव नदी के किनारे 14.5 किमी प्रति घंटे की गति से और धारा के विपरीत 9.5 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी। शांत पानी में नाव की गति क्या है और नदी की गति क्या है?

2) स्टीमबोट ने 4 घंटे में नदी के किनारे 85.6 किमी की यात्रा की, और 3 घंटे में धारा के विपरीत 46.2 किमी की यात्रा की। शांत पानी में नाव की गति क्या है और नदी की गति क्या है?

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808. 1) दो जहाजों ने 3,500 टन माल पहुंचाया, और एक जहाज ने दूसरे की तुलना में 1.5 गुना अधिक माल पहुंचाया। प्रत्येक जहाज ने कितना माल वितरित किया?

2) दो कमरों का क्षेत्रफल 37.2 वर्ग मीटर है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे से 2 गुना बड़ा है। प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल क्या है?

809. 1) दो बस्तियों से, जिनके बीच की दूरी 32.4 किमी है, एक मोटरसाइकिल चालक और एक साइकिल चालक एक साथ एक दूसरे की ओर निकले। यदि मोटरसाइकिल चालक की गति साइकिल चालक की गति से 4 गुना है, तो उनमें से प्रत्येक मिलने से पहले कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?

2) दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 26.35 है और एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का भागफल 7.5 है।

810. 1) फैक्ट्री ने तीन प्रकार के कार्गो भेजे जिनका कुल वजन 19.2 टन था। पहले प्रकार के कार्गो का वजन तीन गुना था अधिक वजनदूसरे प्रकार का माल, और तीसरे प्रकार के माल का वजन पहले और दूसरे प्रकार के माल के कुल वजन का आधा था। प्रत्येक प्रकार के कार्गो का वजन क्या है?

2) तीन महीनों में खनिकों की एक टीम ने 52.5 हजार टन का उत्पादन किया लौह अयस्क. मार्च में 1.3 गुना, फरवरी में जनवरी से 1.2 गुना ज्यादा खनन हुआ। ब्रिगेड ने मासिक रूप से कितना अयस्क खनन किया?

811. 1) सेराटोव-मॉस्को गैस पाइपलाइन मॉस्को नहर से 672 किमी लंबी है। यदि गैस पाइपलाइन की लंबाई मॉस्को नहर की लंबाई से 6.25 गुना है, तो दोनों संरचनाओं की लंबाई ज्ञात करें।

2) डॉन नदी की लंबाई मॉस्को नदी की लंबाई से 3.934 गुना अधिक है। यदि डॉन नदी की लंबाई मॉस्को नदी की लंबाई से 1467 किमी अधिक है तो प्रत्येक नदी की लंबाई ज्ञात करें।

812. 1) दो संख्याओं का अंतर 5.2 है, और एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने पर भागफल 5 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें।

2) दो संख्याओं का अंतर 0.96 है और उनका भागफल 1.2 है। इन नंबरों को खोजें.

813. 1) एक संख्या दूसरी से 0.3 कम है और उसका 0.75 है। इन नंबरों को खोजें.

2) एक संख्या दूसरी संख्या से 3.9 अधिक है। यदि छोटी संख्या को दोगुना कर दिया जाए, तो यह बड़ी संख्या का 0.5 होगा। इन नंबरों को खोजें.

814. 1) सामूहिक खेत में 2,600 हेक्टेयर भूमि पर गेहूं और राई बोया गया। यदि गेहूं बोए गए क्षेत्र का 0.8 भाग राई बोए गए क्षेत्र के 0.5 के बराबर है, तो कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूं बोया गया और कितनी हेक्टेयर भूमि पर राई बोई गई?

2) दो लड़कों का कुल संग्रह 660 टिकटों का है। यदि पहले लड़के के टिकटों की संख्या का 0.5, दूसरे लड़के के संग्रह के टिकटों की संख्या के 0.6 के बराबर है, तो प्रत्येक लड़के के संग्रह में कितने टिकट हैं?

815. दो छात्रों के पास कुल मिलाकर 5.4 रूबल थे। पहले ने अपने पैसे का 0.75 और दूसरे ने अपने पैसे का 0.8 खर्च कर दिया है, उनके पास बराबर पैसे बचे हैं। प्रत्येक छात्र के पास कितना पैसा था?

816. 1) दो बंदरगाहों से दो जहाज एक दूसरे की ओर रवाना हुए, जिनके बीच की दूरी 501.9 किमी है। यदि पहले स्टीमर की गति 25.5 किमी/घंटा है और दूसरे की गति 22.3 किमी/घंटा है, तो उन्हें मिलने में कितना समय लगेगा?

2) दो ट्रेनें दो बिंदुओं से एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं, जिनके बीच की दूरी 382.2 किमी है। यदि पहली ट्रेन की औसत गति 52.8 किमी प्रति घंटा और दूसरी की 56.4 किमी प्रति घंटा थी तो वे कितने समय बाद मिलेंगे?

817. 1) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 462 किमी है, दो कारें एक ही समय पर निकलीं और 3.5 घंटे बाद मिलीं। प्रत्येक कार की गति ज्ञात कीजिए यदि पहली कार की गति दूसरी कार की गति से 12 किमी प्रति घंटा अधिक थी।

2)दो में से बस्तियोंजिसके बीच की दूरी 63 किमी है, एक मोटरसाइकिल चालक और एक साइकिल चालक एक साथ एक दूसरे की ओर निकले और 1.2 घंटे बाद मिले। मोटरसाइकिल चालक की गति ज्ञात कीजिए यदि साइकिल चालक मोटरसाइकिल चालक की गति से 27.5 किमी प्रति घंटे कम की गति से यात्रा कर रहा था।

818. छात्र ने देखा कि एक लोकोमोटिव और 40 वैगनों वाली एक ट्रेन 35 सेकंड के लिए उसके पास से गुजरी। यदि लोकोमोटिव की लंबाई 18.5 मीटर और कार की लंबाई 6.2 मीटर है तो प्रति घंटे ट्रेन की गति निर्धारित करें। (1 किमी प्रति घंटे की सटीकता के साथ उत्तर दें।)

819. 1) एक साइकिल चालक 12.4 किमी प्रति घंटे की औसत गति से A से B के लिए निकला। 3 घंटे 15 मिनट बाद. एक अन्य साइकिल चालक 10.8 किमी प्रति घंटे की औसत गति से B की ओर चला गया। यदि A और B के बीच की दूरी 0.32 76 किमी है तो वे कितने घंटों के बाद और A से कितनी दूरी पर मिलेंगे?

2) शहर ए और बी से, जिनके बीच की दूरी 164.7 किमी है, शहर ए से एक ट्रक और शहर बी से एक कार एक दूसरे की ओर चली। एक ट्रक की गति 36 किमी है, और एक कार की गति 1.25 गुना अधिक है। यात्री कार ट्रक की तुलना में 1.2 घंटे बाद रवाना हुई। कितने समय बाद और शहर B से कितनी दूरी पर यात्री कार ट्रक से मिलेगी?

820. दो जहाज एक ही समय में एक ही बंदरगाह से निकले और एक ही दिशा में जा रहे हैं। पहला स्टीमर हर 1.5 घंटे में 37.5 किमी की यात्रा करता है, और दूसरा हर 2 घंटे में 45 किमी की यात्रा करता है। पहले जहाज को दूसरे से 10 किमी की दूरी पर पहुंचने में कितना समय लगेगा?

821. एक बिंदु से, एक पैदल यात्री पहले चला गया, और उसके निकलने के 1.5 घंटे बाद, एक साइकिल चालक उसी दिशा में चला गया। यदि पैदल यात्री 4.25 किमी प्रति घंटे की गति से चल रहा था, और साइकिल चालक 17 किमी प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रहा था, तो साइकिल चालक ने उस बिंदु से कितनी दूरी पर पैदल यात्री को पकड़ लिया?

822. ट्रेन 6 बजे मॉस्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई. दस मिनट। सुबह में और 50 किमी प्रति घंटे की औसत गति से चले। बाद में, एक यात्री विमान ने मॉस्को से लेनिनग्राद के लिए उड़ान भरी और ट्रेन के पहुंचने के साथ ही लेनिनग्राद पहुंचा। औसत गतिविमान की गति 325 किमी प्रति घंटा थी और मॉस्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी थी। विमान ने मास्को से कब उड़ान भरी?

823. स्टीमबोट 5 घंटे तक धारा के विपरीत और 3 घंटे तक धारा के विपरीत चलती रही और केवल 165 किमी चली। यदि नदी की गति 2.5 किमी प्रति घंटा है, तो वह धारा के अनुकूल कितने किलोमीटर और धारा के प्रतिकूल कितने किलोमीटर गया?

824. ट्रेन A से रवाना हुई और एक निश्चित समय पर B पर पहुंचनी चाहिए; आधा रास्ता तय करने और 1 मिनट में 0.8 किमी चलने के बाद, ट्रेन 0.25 घंटे के लिए रोक दी गई; गति को 100 मीटर बढ़ाकर 1 मिलियन कर दिया, ट्रेन समय पर बी पर पहुंच गई। A और B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

825. सामूहिक खेत से शहर तक 23 कि.मी. एक डाकिया 12.5 किमी प्रति घंटे की गति से शहर से सामूहिक खेत तक साइकिल चलाकर गया। सामूहिक फार्म के इस IW के 0.4 घंटे बाद, एक सामूहिक किसान डाकिया की गति की शुरुआती 0.6 गति से घोड़े पर सवार होकर शहर में आया। उनके जाने के कितने समय बाद सामूहिक किसान डाकिया से मिलेंगे?

826. एक कार शहर A से शहर B तक, जो A से 234 किमी दूर है, 32 किमी प्रति घंटे की गति से चली। 1.75 घंटे बाद, एक दूसरी कार शहर B से पहली कार की ओर निकली, जिसकी गति पहली कार की गति से 1.225 गुना है। उसके जाने के कितने घंटे बाद दूसरी कार पहली से मिलेगी?

827. 1) एक टाइपिस्ट एक पांडुलिपि को 1.6 घंटे में और दूसरा 2.5 घंटे में दोबारा टाइप कर सकता है। दोनों टाइपिस्टों को एक साथ काम करते हुए इस पांडुलिपि को दोबारा टाइप करने में कितना समय लगेगा? (निकटतम 0.1 घंटे तक गोल-मोल उत्तर।)

2) पूल अलग-अलग शक्ति के दो पंपों से भरा हुआ है। पहला पंप, अकेले काम करते हुए, पूल को 3.2 घंटे में भर सकता है, और दूसरा 4 घंटे में। इन पंपों के एक साथ संचालन से पूल को भरने में कितना समय लगता है? (निकटतम 0.1 तक गोल उत्तर।)

828. 1) एक टीम किसी ऑर्डर को 8 दिनों में पूरा कर सकती है। इस ऑर्डर को पूरा करने के लिए दूसरे को पहले वाले से 0.5 गुना अधिक की आवश्यकता है। तीसरी ब्रिगेड इस ऑर्डर को 5 दिन में पूरा कर सकती है. कब पूरा ऑर्डर कितने दिन में पूरा होगा संयुक्त कार्यतीन ब्रिगेड? (निकटतम 0.1 दिन का गोलमोल उत्तर।)

2) पहला कर्मचारी 4 घंटे में ऑर्डर पूरा कर सकता है, दूसरा 1.25 गुना तेजी से और तीसरा 5 घंटे में। एक साथ काम करने पर ऑर्डर कितने घंटे में पूरा होगा तीन कर्मचारी? (निकटतम 0.1 घंटे तक गोल-मोल उत्तर।)

829. दो गाड़ियाँ सड़क की सफ़ाई का काम कर रही हैं। उनमें से पहला पूरी सड़क को 40 मिनट में साफ कर सकता है, दूसरे को पहले के 75% समय की आवश्यकता होती है। दोनों मशीनें एक ही समय पर शुरू हुईं। 0.25 घंटे तक संयुक्त कार्य के बाद दूसरी मशीन ने काम करना बंद कर दिया। उसके कितने समय बाद पहली कार ने सड़क की सफाई पूरी की?

830. 1) त्रिभुज की एक भुजा 2.25 सेमी है, दूसरी पहली से 3.5 सेमी अधिक है, और तीसरी 1.25 सेमी है एक सेकंड से भी कम. त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

2) त्रिभुज की एक भुजा 4.5 सेमी है, दूसरी पहली से 1.4 सेमी कम है, और तीसरी भुजा पहली दो भुजाओं के योग का आधा है। त्रिभुज का परिमाप क्या है?

831 . 1) त्रिभुज का आधार 4.5 सेमी है, और इसकी ऊंचाई 1.5 सेमी कम है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

2) त्रिभुज की ऊंचाई 4.25 सेमी है, और इसका आधार 3 गुना बड़ा है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. (निकटतम 0.1 तक गोल उत्तर।)

832. छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 38)।

833. कौन सा क्षेत्रफल बड़ा है: 5 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला एक आयत, 4.5 सेमी भुजाओं वाला एक वर्ग, या एक त्रिभुज जिसका आधार और ऊँचाई प्रत्येक 6 सेमी है?

834. कमरे की लंबाई 8.5 मीटर, चौड़ाई 5.6 मीटर और ऊंचाई 2.75 मीटर है। खिड़कियों, दरवाजों और स्टोव का क्षेत्रफल कमरे की दीवारों के कुल क्षेत्रफल का 0.1 है। यदि वॉलपेपर का टुकड़ा 7 मीटर लंबा और 0.75 मीटर चौड़ा है तो इस कमरे को कवर करने के लिए वॉलपेपर के कितने टुकड़ों की आवश्यकता होगी? (निकटतम 1 टुकड़े का गोल उत्तर।)

835. एक मंजिला घर को बाहर से प्लास्टर और सफेदी करना आवश्यक है, जिसके आयाम हैं: लंबाई 12 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर और ऊंचाई 4.5 मीटर। घर में 0.75 मीटर x 1.2 मीटर आकार की 7 खिड़कियां और प्रत्येक में 2 दरवाजे हैं। 0.75 मीटर x 2.5 मीटर। यदि सफेदी और पलस्तर 1 वर्ग मीटर है तो पूरे काम की लागत कितनी होगी? मी की कीमत 24 कोपेक है? (उत्तर को निकटतम 1 रगड़ तक पूर्णांकित करें।)

836. अपने कमरे के सतह क्षेत्र और आयतन की गणना करें। मापकर कमरे का आयाम ज्ञात करें।

837. बगीचे में एक आयत का आकार है, जिसकी लंबाई 32 मीटर है, चौड़ाई 10 मीटर है। बगीचे के पूरे क्षेत्र का 0.05 हिस्सा गाजर के साथ बोया गया है, और बगीचे के बाकी हिस्से में आलू और प्याज लगाए गए हैं , और इस क्षेत्र में प्याज की तुलना में 7 गुना बड़े आलू लगाए गए हैं। व्यक्तिगत रूप से कितनी भूमि पर आलू, प्याज और गाजर बोए गए हैं?

838. वनस्पति उद्यान का आकार एक आयत जैसा है, जिसकी लंबाई 30 मीटर और चौड़ाई 12 मीटर है। गाजर से भी ज्यादा मी. आलू, चुकंदर और गाजर के अंतर्गत अलग-अलग कितनी भूमि है?

839. 1) क्यूब के आकार का एक बॉक्स सभी तरफ से प्लाईवुड से मढ़ा गया था। यदि घन का किनारा 8.2 डीएम है तो कितना प्लाईवुड उपयोग किया जाता है? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें।)

2) 28 सेमी किनारे वाले एक घन को पेंट करने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी, यदि प्रति 1 वर्ग मीटर हो। सेमी 0.4 ग्राम पेंट खर्च किया जाएगा? (उत्तर, निकटतम 0.1 किग्रा तक गोल।)

840. कास्ट-आयरन बिलेट की लंबाई, जिसमें एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार है, 24.5 सेमी है, चौड़ाई 4.2 सेमी है और ऊंचाई 3.8 सेमी है। यदि 1 घन मीटर है तो 200 कास्ट-आयरन बिलेट का वजन कितना होगा? डीएम कास्ट आयरन का वजन 7.8 किलोग्राम है? (निकटतम 1 किग्रा का गोल उत्तर।)

841. 1) बक्से की लंबाई (एक ढक्कन के साथ), जिसका आकार एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जैसा है, 62.4 सेमी, चौड़ाई 40.5 सेमी, ऊंचाई 30 सेमी है। ऊपर चढ़ाया जाए? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें।)

2) गड्ढे की निचली और बगल की दीवारें, जिसमें एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, को बोर्डों से मढ़ा जाना चाहिए। गड्ढे की लंबाई 72.5 मीटर है, चौड़ाई 4.6 मीटर है और ऊंचाई 2.2 मीटर है। यदि बोर्डों का अपशिष्ट बोर्डों के साथ म्यान की जाने वाली सतह का 0.2 है, तो शीथिंग के लिए कितने वर्ग मीटर बोर्ड का उपयोग किया गया था? (उत्तर को निकटतम 1 वर्ग मीटर तक पूर्णांकित करें।)

842. 1) तहखाने की लंबाई, जिसका आकार एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जैसा है, 20.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई की 0.6 है, और ऊंचाई 3.2 मीटर है। तहखाना अपने आयतन का 0.8 गुना आलू से भरा हुआ था। यदि 1 घन मीटर आलू का वजन 1.5 टन है तो तहखाने में कितने टन आलू फिट होंगे? (निकटतम 1 टन का गोल उत्तर।)

2) टैंक की लंबाई, जिसका आकार एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज जैसा है, 2.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई का 0.4 है, और ऊंचाई 1.4 मीटर है। टैंक को इसके आयतन का 0.6 भाग मिट्टी के तेल से भरा जाता है। टैंक में कितने टन केरोसिन डाला जाता है, यदि 1 घन मीटर की मात्रा में केरोसिन का वजन होता है। m 0.9 t के बराबर है? (निकटतम 0.1 टन तक गोल उत्तर।)

843. 1) 8.5 मीटर लंबे, 6 मीटर चौड़े और 3.2 मीटर ऊंचे कमरे में हवा किस समय नवीनीकृत हो सकती है, यदि खिड़की के माध्यम से 1 सेकंड में। 0.1 घन मीटर गुजरता है। हवा का मी?

2) अपने कमरे में हवा को नवीनीकृत करने में लगने वाले समय की गणना करें।

844. दीवारों के निर्माण के लिए कंक्रीट ब्लॉक के आयाम इस प्रकार हैं: 2.7 mx 1.4 mx 0.5 m. रिक्त स्थान ब्लॉक की मात्रा का 30% है। ऐसे 100 ब्लॉक बनाने के लिए कितने घन मीटर कंक्रीट की आवश्यकता होगी?

845. ग्रेडर-एलिवेटर (खाई खोदने की मशीन) 8 घंटे में। कार्य से 30 सेमी चौड़ी, 34 सेमी गहरी और 15 किमी लंबी खाई बनाई जाती है। यदि एक खोदने वाला 0.8 घन ​​मीटर निकाल सकता है तो ऐसी मशीन कितने खोदने वालों को प्रतिस्थापित करती है। मी प्रति घंटा? (परिणाम को पूर्णांकित करें।)

846. आयताकार समान्तर चतुर्भुज के रूप में बिन 12 मीटर लंबा और 8 मीटर चौड़ा है। इस डिब्बे में 1.5 मीटर की ऊंचाई तक अनाज डाला जाता है। यह पता लगाने के लिए कि पूरे अनाज का वजन कितना है, उन्होंने 0.5 मीटर लंबा, 0.5 मीटर चौड़ा और 0.4 मीटर ऊंचा एक बॉक्स लिया, इसे अनाज से भर दिया और वजन किया। यदि डिब्बे में अनाज का वजन 80 किलो था तो डिब्बे में अनाज का वजन कितना था?

849. यूएसएसआर में शहरी आबादी की वृद्धि का एक रेखीय आरेख बनाएं, यदि 1913 में शहरी आबादी 28.1 मिलियन लोग थे, 1926 में - 24.7 मिलियन लोग, 1939 में - 56.1 मिलियन लोग और 1959 - 99.8 मिलियन लोग।

850. 1) अपने कक्षा कक्ष के नवीनीकरण के लिए एक अनुमान बनाएं, यदि आपको दीवारों और छत पर सफेदी करने के साथ-साथ फर्श पर भी रंग-रोगन करने की आवश्यकता है। अनुमान तैयार करने के लिए डेटा (कक्षा का आकार, सफेदी की लागत 1 वर्ग मीटर, फर्श को पेंट करने की लागत 1 वर्ग मीटर) स्कूल के आपूर्ति प्रबंधक से प्राप्त की जानी चाहिए।

2) बगीचे में रोपण के लिए, स्कूल ने पौधे खरीदे: 0.65 रूबल पर 30 सेब के पेड़। प्रति टुकड़ा, 0.4 रूबल के लिए 50 चेरी। प्रति टुकड़ा, 0.2 रूबल के लिए 40 आंवले की झाड़ियाँ। और 0.03 रूबल के लिए 100 रास्पबेरी झाड़ियाँ। एक झाड़ी के लिए मॉडल के अनुसार इस खरीदारी का चालान लिखें:

जवाब

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, उन्हें एक दूसरे के नीचे लिखना आवश्यक है ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे हों, और अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो, और भिन्नों को उसी प्रकार जोड़ें जैसे प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं। आइए, उदाहरण के लिए, भिन्न 12.7 और 3.442 जोड़ें। पहले अंश में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, और दूसरे में तीन अंक होते हैं। जोड़ करने के लिए, हम पहले भिन्न को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक हों: , फिर

दशमलव को इसी प्रकार घटाया जाता है। संख्या 13.1 और 0.37 के बीच अंतर ज्ञात करें:

दशमलव अंशों को गुणा करते समय, अल्पविरामों (प्राकृतिक संख्याओं के रूप में) को अनदेखा करते हुए, दी गई संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है, और फिर, परिणामस्वरूप, दाईं ओर अल्पविराम के साथ उतने अंकों को अलग करें जितने दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। कुल मिलाकर।

उदाहरण के लिए, आइए 2.7 को 1.3 से गुणा करें। हमारे पास है । दाईं ओर के दो अंकों को अल्पविराम से अलग करें (दशमलव बिंदु के बाद गुणनखंडों के अंकों का योग दो के बराबर होता है)। परिणामस्वरूप, हमें 2.7 1.3 = 3.51 प्राप्त होता है।

यदि उत्पाद में अल्पविराम से अलग करने के लिए आवश्यक से कम अंक हैं, तो लुप्त शून्य सामने लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए:

एक दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने पर विचार करें। मान लें कि भिन्न 12.733 को 10 से गुणा करना आवश्यक है। हमारे पास है। दाहिनी ओर के तीन अंकों को अल्पविराम से अलग करने पर हमें परंतु प्राप्त होता है। मतलब,

12,733 10=127.33. इस प्रकार, दशमलव अंश को यू से गुणा करने पर दशमलव बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाना कम हो जाता है।

सामान्य तौर पर, किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000 से गुणा करने के लिए, इस अंश में अल्पविराम को 1, 2, 3 अंकों से दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। यदि आवश्यक हो, तो शून्य की एक निश्चित संख्या निर्दिष्ट करें दाहिनी ओर अंश)। उदाहरण के लिए,

दशमलव अंश का किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजन उसी प्रकार किया जाता है जैसे किसी प्राकृतिक संख्या का प्राकृतिक संख्या से विभाजन होता है, और पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा होने के बाद भागफल में अल्पविराम लगाया जाता है। आइए 22.1 को 13 से विभाजित करें:

यदि लाभांश का पूर्णांक भाग भाजक से कम है, तो उत्तर शून्य पूर्णांक है, उदाहरण के लिए:

अब दशमलव को दशमलव से विभाजित करने पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें 2.576 को 1.12 से विभाजित करना है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक दोनों में, हम अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाते हैं जितने अंकों में भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं (में) यह उदाहरणदो के लिए)। दूसरे शब्दों में, लाभांश और भाजक को 100 से गुणा करें - इससे भागफल नहीं बदलेगा। फिर आपको अंश 257.6 को प्राकृतिक संख्या 112 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यानी समस्या पहले से ही विचार किए गए मामले में कम हो गई है:

दशमलव अंश को विभाजित करने के लिए इस अंश में बाईं ओर के अंकों पर अल्पविराम लगाना आवश्यक है (इस मामले में, यदि आवश्यक हो, तो शून्य की आवश्यक संख्या बाईं ओर निर्दिष्ट की जाती है)। उदाहरण के लिए, ।

जिस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, उसी प्रकार दशमलव भिन्नों के लिए भी यह हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए 2.8 को 0.09 से विभाजित करें:

परिणाम तथाकथित अनंत दशमलव अंश है। ऐसे मामलों में, साधारण भिन्नों पर जाएँ। उदाहरण के लिए:

ऐसा हो सकता है कि कुछ संख्याएँ साधारण भिन्नों के रूप में लिखी जाती हैं, अन्य - मिश्रित संख्याओं के रूप में, और अन्य - दशमलव भिन्नों के रूप में। ऐसी संख्याओं पर संक्रिया करते समय, आप अलग-अलग काम कर सकते हैं: या तो दशमलव को साधारण भिन्नों में बदलें और साधारण भिन्नों पर संक्रियाओं के नियम लागू करें, या साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में बदलें (यदि संभव हो) और संक्रियाओं के नियमों को लागू करें दशमलव भाग।

हम पहले ही कह चुके हैं कि भिन्न होते हैं साधारणऔर दशमलव. पर इस पलहमने सामान्य भिन्नों के बारे में थोड़ा सीखा। हमने सीखा कि नियमित भिन्न और अनुचित भिन्न होते हैं। हमने यह भी सीखा कि साधारण भिन्नों को घटाया, जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। और हमने यह भी सीखा कि तथाकथित मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं, जिनमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

हमने अभी तक साधारण भिन्नों का पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया है। ऐसी कई सूक्ष्मताएँ और विवरण हैं जिन पर चर्चा की जानी चाहिए, लेकिन आज हम अध्ययन शुरू करेंगे दशमलवभिन्न, क्योंकि सामान्य और दशमलव भिन्नों को अक्सर संयोजित करना पड़ता है। अर्थात् समस्याओं को हल करते समय आपको दोनों प्रकार के भिन्नों का उपयोग करना होगा।

यह पाठ जटिल और समझ से परे लग सकता है। यह बिल्कुल सामान्य है. इस प्रकार के पाठों के लिए आवश्यक है कि उनका अध्ययन किया जाए और उन्हें खत्म न किया जाए।

मात्राओं को भिन्नात्मक रूप में व्यक्त करना

कभी-कभी किसी चीज़ को भिन्नात्मक रूप में दिखाना सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, एक डेसीमीटर का दसवां हिस्सा इस प्रकार लिखा जाता है:

इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि एक डेसीमीटर को दस भागों में विभाजित किया गया था, और इन दस भागों में से एक भाग लिया गया था:

जैसा कि आप चित्र में देख सकते हैं, एक डेसीमीटर का दसवां हिस्सा एक सेंटीमीटर है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. 6 सेमी और अन्य 3 मिमी को भिन्नात्मक रूप में सेंटीमीटर में दिखाएँ।

इसलिए, 6 सेमी और 3 मिमी को सेंटीमीटर में व्यक्त करना आवश्यक है, लेकिन भिन्नात्मक रूप में। हमारे पास पहले से ही 6 पूरे सेंटीमीटर हैं:

लेकिन अभी भी 3 मिलीमीटर बाकी है. इन 3 मिलीमीटर को सेंटीमीटर में कैसे दिखाएं? अंश बचाव के लिए आते हैं। 3 मिलीमीटर एक सेंटीमीटर का एक तिहाई है। और एक सेंटीमीटर के तीसरे भाग को सेमी लिखा जाता है

अंश का अर्थ है कि एक सेंटीमीटर को दस बराबर भागों में विभाजित किया गया था, और इन दस भागों में से तीन भाग (दस में से तीन) लिए गए थे।

परिणामस्वरूप, हमारे पास छह पूरे सेंटीमीटर और एक सेंटीमीटर का तीन दसवां हिस्सा है:

इस मामले में, 6 पूरे सेंटीमीटर की संख्या दिखाता है, और अंश आंशिक सेंटीमीटर की संख्या दिखाता है। इस भिन्न को इस प्रकार पढ़ा जाता है "एक सेंटीमीटर का छह दशमलव और तीन दसवां हिस्सा".

भिन्न, जिनके हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 हैं, को हर के बिना लिखा जा सकता है। पहले पूर्णांक भाग लिखें, और फिर भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें। पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के अंश से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए हर के बिना लिखें। ऐसा करने के लिए, हम पहले पूरा भाग लिखते हैं। पूर्णांक भाग संख्या 6 है। हम पहले इस संख्या को लिखते हैं:

सारा पार्ट रिकार्ड किया हुआ है। पूरा भाग लिखने के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

और अब हम भिन्नात्मक भाग का अंश लिखते हैं। मिश्रित संख्या में, भिन्नात्मक भाग का अंश संख्या 3 होता है। हम दशमलव बिंदु के बाद तीन लिखते हैं:

इस रूप में प्रदर्शित कोई भी संख्या कहलाती है दशमलव.

इसलिए, आप दशमलव अंश का उपयोग करके 6 सेमी और सेंटीमीटर में अन्य 3 मिमी दिखा सकते हैं:

6.3 सेमी

यह इस तरह दिखेगा:

वास्तव में, दशमलव समान सामान्य भिन्न और मिश्रित संख्याएँ हैं। ऐसे भिन्नों की ख़ासियत यह है कि उनके भिन्नात्मक भाग के हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 या 10000 होती हैं।

मिश्रित संख्या की तरह, दशमलव में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, एक मिश्रित संख्या में, पूर्णांक भाग 6 है और भिन्नात्मक भाग है।

दशमलव भिन्न 6.3 में, पूर्णांक भाग संख्या 6 है, और भिन्नात्मक भाग भिन्न का अंश है, अर्थात संख्या 3 है।

ऐसा भी होता है कि साधारण भिन्न जिनके हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 बिना किसी पूर्णांक भाग के दी जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्न पूर्णांक भाग के बिना दिया गया है। ऐसे भिन्न को दशमलव के रूप में लिखने के लिए पहले 0 लिखें, फिर अल्पविराम लगाएं और भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें। हर के बिना भिन्न को इस प्रकार लिखा जाएगा:

जैसे पढ़ता है "शून्य दशमलव पाँच दहाई".

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलें

जब हम हर के बिना मिश्रित संख्याएँ लिखते हैं, तो हम उन्हें दशमलव में परिवर्तित कर रहे होते हैं। साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में परिवर्तित करते समय, कुछ चीजें हैं जिन्हें आपको जानना आवश्यक है, जिनके बारे में हम अब बात करेंगे।

पूर्णांक भाग लिखे जाने के बाद भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या गिनना अनिवार्य है, क्योंकि भिन्नात्मक भाग में शून्य की संख्या और दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए . इसका मतलब क्या है? निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

सर्वप्रथम

और आप भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिख सकते हैं और दशमलव भिन्न तैयार है, लेकिन आपको भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या अवश्य गिननी चाहिए।

इसलिए, हम मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में शून्य की संख्या गिनते हैं। भिन्नात्मक भाग के हर में एक शून्य होता है। अतः दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होगा और यह अंक मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश होगा, अर्थात संख्या 2

इस प्रकार, मिश्रित संख्या, जब दशमलव भिन्न में अनुवादित की जाती है, तो 3.2 हो जाती है।

यह दशमलव इस प्रकार पढ़ा जाता है:

"तीन पूरे दो दसवें"

"दसवां" क्योंकि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग में संख्या 10 होती है।

उदाहरण 2मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

हम पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

और आप भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिख सकते हैं और दशमलव भिन्न 5.3 प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन नियम कहता है कि दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य हों। और हम देखते हैं कि भिन्नात्मक भाग के हर में दो शून्य होते हैं। तो हमारे दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होने चाहिए, एक नहीं।

ऐसे मामलों में, भिन्नात्मक भाग के अंश को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता है: अंश से पहले एक शून्य जोड़ें, अर्थात संख्या 3 से पहले

अब आप इस मिश्रित संख्या को दशमलव में बदल सकते हैं। हम पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

और भिन्नात्मक भाग का अंश लिखिए:

दशमलव भिन्न 5.03 इस प्रकार है:

"पाँच दशमलव तीन सौवाँ भाग"

"सैकड़वाँ" क्योंकि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 100 है।

उदाहरण 3मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

पिछले उदाहरणों से, हमने सीखा कि मिश्रित संख्या को दशमलव में सफलतापूर्वक परिवर्तित करने के लिए, भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या और भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या समान होनी चाहिए।

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव अंश में बदलने से पहले, उसके भिन्नात्मक भाग को थोड़ा संशोधित करने की आवश्यकता होती है, अर्थात्, यह सुनिश्चित करने के लिए कि भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या और भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या होती है। वही।

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या को देखते हैं। हम देखते हैं कि तीन शून्य हैं:

हमारा कार्य भिन्नात्मक भाग के अंश में तीन अंकों को व्यवस्थित करना है। हमारे पास पहले से ही एक अंक है - यह संख्या 2 है। इसमें दो और अंक जोड़ना बाकी है। वे दो शून्य होंगे. उन्हें संख्या 2 से पहले जोड़ें। परिणामस्वरूप, हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान हो जाएगी:

अब हम इस मिश्रित संख्या को दशमलव में बदल सकते हैं। हम पहले पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

और भिन्नात्मक भाग का अंश तुरंत लिख लें

3,002

हम देखते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या समान होती है।

दशमलव 3.002 इस प्रकार पढ़ता है:

"तीन पूरे, दो हज़ारवां"

"हज़ारवां" क्योंकि मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 1000 है।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में बदलना

साधारण भिन्न, जिनमें हर 10, 100, 1000 या 10000 है, को भी दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है। चूँकि एक साधारण भिन्न में पूर्णांक भाग नहीं होता है, पहले 0 लिखें, फिर अल्पविराम लगाएं और भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें।

यहां भी, हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। इसलिए आपको सावधान रहना चाहिए.

उदाहरण 1

पूर्णांक भाग गायब है, इसलिए पहले हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हर में शून्य की संख्या देखें। हम देखते हैं कि एक शून्य है। और अंश में एक अंक होता है। तो आप दशमलव बिंदु के बाद संख्या 5 लिखकर दशमलव अंश को सुरक्षित रूप से जारी रख सकते हैं

परिणामी दशमलव भिन्न 0.5 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। अतः भिन्न सही है।

दशमलव अंश 0.5 इस प्रकार पढ़ता है:

"शून्य अंक, पांच दसवां हिस्सा"

उदाहरण 2सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलें.

पूरा हिस्सा गायब है. हम पहले 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हर में शून्य की संख्या देखें। हम देखते हैं कि दो शून्य हैं। और अंश में केवल एक अंक होता है। अंकों की संख्या और शून्य की संख्या को समान बनाने के लिए, संख्या 2 से पहले अंश में एक शून्य जोड़ें। तब भिन्न रूप ले लेगा। अब हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। तो आप दशमलव जारी रख सकते हैं:

परिणामी दशमलव भिन्न 0.02 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। अतः भिन्न सही है।

दशमलव भिन्न 0.02 इस प्रकार पढ़ता है:

"शून्य बिंदु, दो सौवां।"

उदाहरण 3सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलें.

हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भिन्न के हर में शून्य की संख्या गिनते हैं। हम देखते हैं कि पाँच शून्य हैं, और अंश में केवल एक अंक है। हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या को समान बनाने के लिए, आपको संख्या 5 से पहले अंश में चार शून्य जोड़ने होंगे:

अब हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। तो आप दशमलव जारी रख सकते हैं. हम दशमलव बिंदु के बाद भिन्न का अंश लिखते हैं

परिणामी दशमलव भिन्न 0.00005 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। अतः भिन्न सही है।

दशमलव भिन्न 0.00005 इस प्रकार पढ़ता है:

"शून्य बिंदु, पांच सौ-हजारवां।"

अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलें

अनुचित भिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। ऐसी अनुचित भिन्नें होती हैं जिनके हर में संख्याएँ 10, 100, 1000 या 10000 होती हैं। ऐसी भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदला जा सकता है। लेकिन दशमलव भिन्न में बदलने से पहले, ऐसे भिन्नों में एक पूर्णांक भाग होना चाहिए।

उदाहरण 1

भिन्न एक अनुचित भिन्न है. ऐसे भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए, आपको पहले उसके पूर्णांक भाग का चयन करना होगा। हम याद करते हैं कि अनुचित भिन्नों के पूरे भाग का चयन कैसे किया जाता है। यदि आप भूल गए हैं, तो हम आपको सलाह देते हैं कि आप वापस आकर इसका अध्ययन करें।

तो, आइए अनुचित भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करें। याद रखें कि भिन्न का अर्थ है विभाजन - में इस मामले मेंसंख्या 112 को संख्या 10 से विभाजित करना

आइए इस तस्वीर को देखें और एक नया मिश्रित नंबर इकट्ठा करें, जैसे बच्चों के डिजाइनर. संख्या 11 पूर्णांक भाग होगी, संख्या 2 भिन्नात्मक भाग का अंश होगी, संख्या 10 भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

हमें मिश्रित संख्या मिली. आइए इसे दशमलव में बदलें। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसी संख्याओं का दशमलव भिन्नों में अनुवाद कैसे किया जाता है। पहले हम पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या गिनते हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। और भिन्नात्मक भाग के अंश में एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या और भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या समान है। इससे हमें दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिखने का अवसर मिलता है:

परिणामी दशमलव भिन्न 11.2 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान है। अतः भिन्न सही है।

इसका मतलब यह है कि एक अनुचित भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने पर वह 11.2 में बदल जाता है

दशमलव 11.2 इस प्रकार पढ़ता है:

"पूरे ग्यारह, दो दसवाँ।"

उदाहरण 2अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलें.

यह एक अनुचित भिन्न है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। लेकिन इसे दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, क्योंकि हर संख्या 100 है।

सबसे पहले हम इस भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करते हैं। ऐसा करने के लिए, 450 को 100 से एक कोने से विभाजित करें:

आइए एक नई मिश्रित संख्या एकत्र करें - हमें मिलता है। और हम पहले से ही जानते हैं कि मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में कैसे परिवर्तित किया जाता है।

हम पूरा भाग लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भिन्नात्मक भाग के हर में शून्य की संख्या और भिन्नात्मक भाग के अंश में अंकों की संख्या की गणना करते हैं। हम देखते हैं कि हर में शून्य की संख्या और अंश में अंकों की संख्या समान है। इससे हमें दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग के अंश को तुरंत लिखने का अवसर मिलता है:

परिणामी दशमलव भिन्न 4.50 में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या और भिन्न के हर में शून्य की संख्या समान होती है। अतः भिन्न का अनुवाद सही ढंग से किया गया है।

अतः अनुचित भिन्न, जब दशमलव भिन्न में अनुवादित किया जाता है, तो 4.50 में बदल जाता है

समस्याओं को हल करते समय, यदि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य हों, तो उन्हें ख़ारिज किया जा सकता है। आइए अपने उत्तर में शून्य हटा दें। तब हमें 4.5 मिलता है

ये एक है दिलचस्प विशेषताएंदशमलव भाग। यह इस तथ्य में निहित है कि भिन्न के अंत में जो शून्य होते हैं वे इस भिन्न को कोई भार नहीं देते हैं। दूसरे शब्दों में, दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। आइए उनके बीच एक समान चिह्न लगाएं:

4,50 = 4,5

सवाल उठता है कि ऐसा क्यों हो रहा है? आख़िरकार, यह 4.50 और 4.5 जैसा दिखता है अलग-अलग अंश. सारा रहस्य भिन्न के मूल गुण में निहित है, जिसका अध्ययन हमने पहले किया था। हम यह सिद्ध करने का प्रयास करेंगे कि दशमलव भिन्न 4.50 और 4.5 बराबर क्यों हैं, लेकिन अध्ययन के बाद अगला टॉपिक, जिसे "दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलना" कहा जाता है।

दशमलव से मिश्रित संख्या रूपांतरण

किसी भी दशमलव अंश को वापस मिश्रित संख्या में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दशमलव भिन्नों को पढ़ने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को मिश्रित संख्या में बदलें। 6.3 छह पूर्ण अंक और तीन दसवां हिस्सा है। हम पहले छह पूर्णांक लिखते हैं:

और अगले तीन दसवें:

उदाहरण 2दशमलव 3.002 को मिश्रित संख्या में बदलें

3.002 तीन पूर्णांक और दो हज़ारवां है। पहले तीन पूर्णांक लिखिए।

और आगे हम दो हज़ारवां लिखते हैं:

उदाहरण 3दशमलव 4.50 को मिश्रित संख्या में बदलें

4.50 चार दशमलव पचास सौवां भाग है। चार पूर्णांक लिखिए

और अगले पचास सौवां:

वैसे, आइए याद रखें अंतिम उदाहरणपिछले धागे से. हमने कहा कि दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। हमने यह भी कहा कि शून्य को छोड़ा जा सकता है. आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि दशमलव 4.50 और 4.5 बराबर हैं। ऐसा करने के लिए, हम दोनों दशमलव भिन्नों को मिश्रित संख्याओं में परिवर्तित करते हैं।

मिश्रित संख्या में परिवर्तित करने के बाद, दशमलव 4.50 हो जाता है, और दशमलव 4.5 हो जाता है

हमारे पास दो मिश्रित संख्याएँ हैं और। इन मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

अब हमारे पास दो भिन्न हैं और। अब भिन्न के मूल गुण को याद करने का समय आ गया है, जो कहता है कि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता है।

आइए पहले भिन्न को 10 से विभाजित करें

प्राप्त हुआ, और यह दूसरा अंश है। तो और एक दूसरे के बराबर हैं और समान मूल्य के बराबर हैं:

कैलकुलेटर पर पहले 450 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें, और फिर 45 को 10 से विभाजित करने का प्रयास करें। एक मजेदार बात सामने आएगी।

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलें

किसी भी दशमलव अंश को वापस सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, फिर से, दशमलव भिन्नों को पढ़ने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, आइए 0.3 को एक साधारण भिन्न में बदलें। 0.3 शून्य और तीन दसवां है। हम पहले शून्य पूर्णांक लिखते हैं:

और तीन दसवें के आगे 0 . शून्य को परंपरागत रूप से नहीं लिखा जाता है, इसलिए अंतिम उत्तर 0 नहीं, बल्कि सरलता से लिखा जाएगा।

उदाहरण 2दशमलव 0.02 को सामान्य भिन्न में बदलें।

0.02 शून्य और दो सौवां है। हम शून्य नहीं लिखते, इसलिए हम तुरंत दो सौवां लिख देते हैं

उदाहरण 3 0.00005 को भिन्न में बदलें

0.00005 शून्य और पाँच सौ हज़ारवां है। शून्य को लिखा नहीं जाता, इसलिए हम तुरंत पांच सौ हज़ारवां लिख देते हैं

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