अल्पविराम स्तंभ द्वारा संख्याओं का विभाजन. दशमलव विभाजन

इस लेख में हम ऐसी ही एक महत्वपूर्ण कार्रवाई का विश्लेषण करेंगे दशमलवविभाजन की तरह. पहले हम सूत्रीकरण करते हैं सामान्य सिद्धांतों, फिर हम विश्लेषण करेंगे कि दशमलव भिन्नों को एक कॉलम द्वारा अन्य भिन्नों और प्राकृतिक संख्याओं दोनों में सही ढंग से कैसे विभाजित किया जाए। इसके बाद, हम साधारण भिन्नों को दशमलवों में विभाजित करने का विश्लेषण करेंगे और इसके विपरीत, और अंत में हम देखेंगे कि 0, 1, 0, 01, 100, 10, आदि में समाप्त होने वाले भिन्नों को ठीक से कैसे विभाजित किया जाए।

यहां हम केवल धनात्मक भिन्न वाले मामले लेते हैं। यदि भिन्न से पहले कोई ऋण है, तो इसके साथ कार्य करने के लिए, आपको परिमेय और वास्तविक संख्याओं के विभाजन पर सामग्री का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

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सभी दशमलव भिन्न, दोनों परिमित और आवर्ती, न्यायसंगत हैं विशेष रूपसाधारण भिन्नों का अंकन. इसलिए, उन पर भी वही सिद्धांत लागू होते हैं जो उनके संगत साधारण भिन्नों पर लागू होते हैं। इस प्रकार, हम दशमलव अंशों को विभाजित करने की पूरी प्रक्रिया को कम करके उन्हें सामान्य अंशों से बदल देते हैं, इसके बाद हमें पहले से ज्ञात तरीकों से गणना करते हैं। आइए एक विशिष्ट उदाहरण लें.

उदाहरण 1

1.2 को 0.48 से विभाजित करें।

समाधान

दशमलव भिन्नों को हम साधारण भिन्नों के रूप में लिखते हैं। हम यह कर सकेंगे:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

इस प्रकार, हमें 6 5 को 12 25 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हमें यकीन है:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

परिणामी अनुचित भिन्न से, आप संपूर्ण भाग का चयन कर सकते हैं और एक मिश्रित संख्या 2 1 2 प्राप्त कर सकते हैं, या आप इसे दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं ताकि यह मूल संख्याओं से मेल खाए: 5 2 = 2, 5। यह कैसे करें, हम पहले ही लिख चुके हैं।

उत्तर: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

उदाहरण 2

गणना करें कि 0 , (504) 0 , 56 कितने होंगे।

समाधान

सबसे पहले, हमें एक आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलना होगा।

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

उसके बाद, हम अंतिम दशमलव अंश को दूसरे रूप में भी अनुवादित करेंगे: 0, 56 = 56 100। अब हमारे पास दो संख्याएँ हैं जिनसे हमारे लिए आवश्यक गणनाएँ करना आसान हो जाएगा:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

हमारे पास एक परिणाम है कि हम दशमलव में भी परिवर्तित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, कॉलम विधि का उपयोग करके अंश को हर से विभाजित करें:

उत्तर: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

यदि, विभाजन के उदाहरण में, हमें गैर-आवधिक दशमलव अंश मिले, तो हम थोड़ा अलग तरीके से कार्य करेंगे। हम उन्हें सामान्य साधारण भिन्नों में नहीं ला सकते, इसलिए विभाजित करते समय, हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करना होगा। यह क्रिया लाभांश और भाजक दोनों के साथ की जानी चाहिए: हम सटीकता के हित में मौजूदा परिमित या आवधिक अंश को भी पूर्णांकित करेंगे।

उदाहरण 3

ज्ञात कीजिए 0,779.../1,5602 कितना होगा।

समाधान

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों को सौवें भाग तक पूर्णांकित करते हैं। इस प्रकार हम अनंत गैर-आवर्ती भिन्नों से परिमित दशमलवों की ओर बढ़ते हैं:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

हम गणना जारी रख सकते हैं और अनुमानित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0.5।

परिणाम की सटीकता पूर्णांकन की डिग्री पर निर्भर करेगी।

उत्तर: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव से कैसे विभाजित करें और इसके विपरीत

इस मामले में विभाजन का दृष्टिकोण लगभग समान है: हम परिमित और आवधिक भिन्नों को सामान्य भिन्नों से प्रतिस्थापित करते हैं, और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को पूर्णांकित करते हैं। आइए एक प्राकृतिक संख्या और दशमलव अंश के साथ विभाजन के उदाहरण से शुरुआत करें।

उदाहरण 4

2.5 को 45 से विभाजित करें.

समाधान

आइए फॉर्म में 2 , 5 लाएं सामान्य अंश: 255 10 = 51 2 . इसके बाद, हमें बस इसे विभाजित करने की आवश्यकता है प्राकृतिक संख्या. हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

यदि हम परिणाम का अनुवाद करते हैं दशमलव अंकन, तो हमें 0 , 5 (6) मिलता है।

उत्तर: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

किसी स्तम्भ द्वारा भाग देने की विधि न केवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी है। सादृश्य से, हम इसका उपयोग भिन्नों के लिए भी कर सकते हैं। नीचे हम उन कार्रवाइयों का क्रम बताएंगे जिन्हें इसके लिए किए जाने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

दशमलव भिन्नों के एक स्तंभ को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. दाहिनी ओर दशमलव अंश में कुछ शून्य जोड़ें (विभाजन के लिए, हम उनमें से कोई भी संख्या जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता हो)।

2. एक एल्गोरिदम का उपयोग करके दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें। जब भिन्न के पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है, तो हम परिणामी भागफल में अल्पविराम लगाते हैं और आगे की गिनती करते हैं।

ऐसे विभाजन का परिणाम या तो एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश हो सकता है। यह शेषफल पर निर्भर करता है: यदि यह शून्य है, तो परिणाम परिमित होगा, और यदि शेष की पुनरावृत्ति होने लगे, तो उत्तर एक आवधिक भिन्न होगा।

आइए कुछ कार्यों को एक उदाहरण के रूप में लें और इन चरणों को पहले से ही विशिष्ट संख्याओं के साथ पूरा करने का प्रयास करें।

उदाहरण 5

गणना करें कि 65, 14 4 कितना होगा।

समाधान

हम कॉलम विधि का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न में दो शून्य जोड़ें और दशमलव भिन्न 65, 1400 प्राप्त करें, जो मूल के बराबर होगा। अब हम 4 से विभाजित करने के लिए एक कॉलम लिखते हैं:

परिणामी संख्या हमारे लिए आवश्यक पूर्णांक भाग को विभाजित करने का परिणाम होगी। हम इसे अलग करते हुए अल्पविराम लगाते हैं और जारी रखते हैं:

हम शून्य शेषफल पर पहुंच गए हैं, इसलिए, विभाजन प्रक्रिया पूरी हो गई है।

उत्तर: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

उदाहरण 6

164.5 को 27 से विभाजित करें।

समाधान

हम पहले भिन्नात्मक भाग को विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

हम परिणामी आकृति को अल्पविराम से अलग करते हैं और विभाजित करना जारी रखते हैं:

हम देखते हैं कि शेषफलों की समय-समय पर पुनरावृत्ति होने लगी और भागफल में संख्याएँ नौ, दो और पाँच बारी-बारी से आने लगीं। हम वहां रुकेंगे और उत्तर को आवर्त भिन्न 6, 0 (925) के रूप में लिखेंगे।

उत्तर: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

इस तरह के विभाजन को एक निजी दशमलव अंश और पहले से ही ऊपर वर्णित एक प्राकृतिक संख्या खोजने की प्रक्रिया में कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हमें लाभांश और भाजक को 10, 100, आदि से गुणा करना होगा ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या में बदल जाए। फिर हम क्रियाओं का उपरोक्त क्रम निष्पादित करते हैं। यह दृष्टिकोण विभाजन और गुणन के गुणों के कारण संभव है। शाब्दिक रूप में हमने उन्हें इस प्रकार लिखा:

ए: बी = (ए 10) : (बी 10) , ए: बी = (ए 100) : (बी 100) इत्यादि।

आइए नियम बनाएं:

परिभाषा 2

एक अंतिम दशमलव अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. भाज्य और भाजक में अल्पविराम को उन वर्णों की संख्या से दाईं ओर ले जाएं जो भाजक को प्राकृतिक संख्या में बदलने के लिए आवश्यक हैं। यदि लाभांश में पर्याप्त चिह्न नहीं हैं, तो हम उसमें दाहिनी ओर शून्य जोड़ देते हैं।

2. उसके बाद, हम परिणामी प्राकृतिक संख्या से भिन्न को एक कॉलम से विभाजित करते हैं।

आइए एक विशिष्ट समस्या पर नजर डालें।

उदाहरण 7

7,287 को 2,1 से विभाजित करें।

समाधान: भाजक को एक प्राकृतिक संख्या बनाने के लिए, हमें अल्पविराम को एक अक्षर से दाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए हम दशमलव भिन्न 72, 87 को 21 से विभाजित करने के लिए आगे बढ़े। आइए प्राप्त संख्याओं को एक कॉलम में लिखें और गणना करें

उत्तर: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

उदाहरण 8

16 , 3 0 , 021 की गणना करें।

समाधान

हमें अल्पविराम को तीन अंकों तक ले जाना होगा। इसके लिए भाजक में पर्याप्त अंक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि आपको अतिरिक्त शून्य का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमें लगता है कि अंतिम परिणाम यह होगा:

हम अवशेषों 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 की आवधिक पुनरावृत्ति देखते हैं। भागफल 1, 9, 0, 4, 7 और 5 को दोहराता है। तब हमारा परिणाम आवर्त दशमलव 776 , (190476) है।

उत्तर: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

हमारे द्वारा वर्णित विधि आपको इसके विपरीत करने की अनुमति देती है, अर्थात किसी प्राकृतिक संख्या को अंतिम दशमलव अंश से विभाजित करना। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 9

गणना करें कि 3 5, 4 कितने होंगे।

समाधान

जाहिर है, हमें अल्पविराम को एक अक्षर से दाईं ओर ले जाना होगा। उसके बाद हम 30, 0 को 54 से विभाजित करना शुरू कर सकते हैं। आइए डेटा को एक कॉलम में लिखें और परिणाम की गणना करें:

शेषफल को दोहराने पर हमें संख्या 0, (5) प्राप्त होती है, जो एक आवर्त दशमलव है।

उत्तर: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

दशमलव को 1000, 100, 10 आदि से कैसे विभाजित करें।

सामान्य भिन्नों को विभाजित करने के लिए पहले से ही अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार, एक भिन्न को दसियों, सैकड़ों, हजारों में विभाजित करना इसे 1/1000, 1/100, 1/10, आदि से गुणा करने के समान है। इस मामले मेंबस अल्पविराम को अंकों की वांछित संख्या तक ले जाएँ। यदि स्थानांतरित करने के लिए संख्या में पर्याप्त मान नहीं हैं, तो आपको आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ना होगा।

उदाहरण 10

तो, 56, 21: 10 = 5, 621, और 0, 32: 100,000 = 0, 0000032।

अनंत दशमलव के मामले में, हम ऐसा ही करते हैं।

उदाहरण 11

उदाहरण के लिए, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) और 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

दशमलव को 0.001, 0.01, 0.1 आदि से कैसे विभाजित करें।

उसी नियम का उपयोग करके, हम भिन्नों को निर्दिष्ट मानों से भी विभाजित कर सकते हैं। यह क्रिया क्रमशः 1000, 100, 10 से गुणा करने के समान होगी। ऐसा करने के लिए, हम समस्या की स्थितियों के आधार पर अल्पविराम को एक, दो या तीन अंकों में ले जाते हैं, और यदि संख्या में पर्याप्त अंक नहीं हैं तो शून्य जोड़ देते हैं।

उदाहरण 12

उदाहरण के लिए, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 और 0, 21: 0, 00001 = 21,000।

यह नियम अनंत दशमलव पर भी लागू होता है। हम आपको केवल यह सलाह देते हैं कि उत्तर में प्राप्त भिन्न की अवधि से सावधान रहें।

तो, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , क्योंकि दशमलव संकेतन 7 , 5716716716 ... में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाने के बाद, हमें 757 , 167167 ... मिला।

यदि हमारे पास उदाहरण में गैर-आवधिक भिन्न हैं, तो सब कुछ सरल है: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

किसी मिश्रित संख्या या सामान्य भिन्न को दशमलव से कैसे विभाजित करें और इसके विपरीत

हम इस क्रिया को साधारण भिन्नों वाली संक्रियाओं तक भी सीमित कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है दशमलव संख्याएंसंगत साधारण भिन्न, और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।

यदि हम किसी गैर-आवधिक भिन्न को किसी साधारण या मिश्रित संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें इसके विपरीत करने की आवश्यकता है, साधारण भिन्न या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव भिन्न से प्रतिस्थापित करना।

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कई हाई स्कूल के छात्र भूल जाते हैं कि लंबा भाग कैसे करना है। कंप्यूटर, कैलकुलेटर, सेल फोनऔर अन्य उपकरण हमारे जीवन में इतनी मजबूती से एकीकृत हो गए हैं कि प्राथमिक गणितीय संक्रियाएँकभी-कभी स्तब्धता की स्थिति पैदा हो जाती है। और कुछ दशक पहले लोग इन सभी लाभों के बिना कैसे रहते थे? सबसे पहले आपको मुख्य गणितीय अवधारणाओं को याद रखना होगा जो विभाजन के लिए आवश्यक हैं। तो, लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाएगा। भाजक वह संख्या है जिससे विभाजित किया जाना है। परिणाम स्वरूप जो होता है उसे निजी कहते हैं। किसी रेखा में विभाजित करने के लिए कोलन के समान चिन्ह का प्रयोग किया जाता है - ":", तथा कॉलम में विभाजित करने के लिए "∟" चिन्ह का प्रयोग किया जाता है, इसे दूसरे प्रकार से कोना भी कहा जाता है।

यह भी याद रखने योग्य है कि किसी भी भाग को गुणा करके जांचा जा सकता है। विभाजन के परिणाम की जांच करने के लिए, इसे भाजक से गुणा करना पर्याप्त है, परिणामस्वरूप, आपको एक संख्या मिलनी चाहिए जो लाभांश से मेल खाती है (ए: बी \u003d सी; इसलिए, सी * बी \u003d ए)। अब दशमलव भिन्न क्या है इसके बारे में। एक इकाई को 0.0, 1000, इत्यादि से विभाजित करके दशमलव प्राप्त किया जाता है। इन संख्याओं को लिखना और उनके साथ गणितीय संक्रियाएँ बिल्कुल पूर्णांकों के समान ही हैं। दशमलव को विभाजित करते समय यह याद रखने की आवश्यकता नहीं है कि हर कहाँ स्थित है। किसी संख्या को लिखते समय सब कुछ इतना स्पष्ट हो जाता है। सबसे पहले एक पूर्णांक लिखा जाता है और दशमलव बिंदु के बाद उसका दसवां, सौवां, हजारवां हिस्सा लिखा जाता है। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दहाई से, दूसरा सैकड़ों से, तीसरा हजारों से, इत्यादि से मेल खाता है।

प्रत्येक विद्यार्थी को दशमलव को दशमलव से विभाजित करना आना चाहिए। यदि लाभांश और भाजक दोनों को एक ही संख्या से गुणा किया जाए तो उत्तर, अर्थात भागफल नहीं बदलेगा। यदि दशमलव अंश को 0.0, 1000, आदि से गुणा किया जाता है, तो पूर्ण संख्या के बाद अल्पविराम अपनी स्थिति बदल देगा - यह उतने अंकों से दाईं ओर चला जाएगा जितने संख्या में शून्य हैं जिससे इसे गुणा किया गया था। उदाहरण के लिए, दशमलव को 10 से गुणा करने पर दशमलव बिंदु एक संख्या को दाईं ओर ले जाएगा। 2.9: 6.7 - हम भाजक और विभाज्य दोनों को 100 से गुणा करते हैं, हमें 6.9: 3687 मिलता है। गुणा करना सबसे अच्छा है ताकि जब इसे गुणा किया जाए, तो कम से कम एक संख्या (भाजक या लाभांश) में दशमलव बिंदु के बाद अंक न हों , यानी कम से कम एक संख्या को पूर्णांक बनाएं। पूर्णांक के बाद अल्पविराम लपेटने के कुछ और उदाहरण: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5.4:4.8 = 5344:74598.

ध्यान दें, यदि दशमलव अंश को दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट किया गया है, तो उसका मान नहीं बदलेगा, उदाहरण के लिए 3.8 = 3.0। इसके अलावा, यदि संख्या के बिल्कुल अंत में दाईं ओर से शून्य हटा दिया जाए तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा: 3.0 = 3.3। हालाँकि, संख्या के बीच में शून्य को हटाया नहीं जा सकता - 3.3. किसी कॉलम में दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित करें? एक दशमलव अंश को एक कॉलम में एक प्राकृतिक संख्या में विभाजित करने के लिए, आपको एक कोने के साथ उचित प्रविष्टि करने, विभाजित करने की आवश्यकता है। एक निजी अल्पविराम में, आपको इसे तब लगाना होगा जब किसी पूर्णांक का विभाजन समाप्त हो जाए। उदाहरण के लिए, 5.4|2 14 7.2 18 18 0 4 4 0 यदि लाभांश में पहला अंक भाजक से कम है, तो बाद के अंकों का उपयोग तब तक किया जाता है जब तक कि पहली कार्रवाई संभव न हो जाए।

इस मामले में, लाभांश का पहला अंक 1 है, इसे 2 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए, दो अंक 1 और 5 का उपयोग एक साथ विभाजन के लिए किया जाता है: 15 को शेष के साथ 2 से विभाजित किया जाता है, यह भागफल 7 में निकलता है, और शेषफल में 1 बचता है। फिर हम लाभांश के अगले अंक - 8 का उपयोग करते हैं। हम इसे घटाकर 1 करते हैं और 18 को 2 से विभाजित करते हैं। भागफल में, हम संख्या 9 लिखते हैं। शेषफल में कुछ भी नहीं बचता है, इसलिए हम 0 लिखते हैं। हम लाभांश की शेष संख्या 4 को कम करते हैं और भाजक से विभाजित करते हैं, अर्थात 2 से। भागफल में हम 2 लिखते हैं, और शेषफल फिर से 0 होता है। ऐसे विभाजन का परिणाम संख्या 7.2 है। इसे निजी कहा जाता है. यदि आप कुछ तरकीबें जानते हैं, तो किसी कॉलम में दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से कैसे विभाजित किया जाए, इस प्रश्न को हल करना काफी आसान है। आपके दिमाग में दशमलव को विभाजित करना कभी-कभी काफी कठिन होता है, इसलिए प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए लंबे विभाजन का उपयोग किया जाता है।

इस विभाजन के साथ, वही सभी नियम लागू होते हैं जो दशमलव अंश को पूर्णांक से विभाजित करते समय या एक स्ट्रिंग में विभाजित करते समय लागू होते हैं। लाइन में बायीं ओर लाभांश लिखें, फिर "कोने" का चिन्ह डालें और फिर भाजक लिखें और विभाजित करना शुरू करें। विभाजन और स्थानांतरण को सुविधाजनक बनाने के लिए आरामदायक स्थानपूर्णांक के बाद अल्पविराम को दसियों, सैकड़ों या हजारों से गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 9.2: 1.5 = 24920: 125। ध्यान दें, दोनों भिन्नों को 0.0, 1000 से गुणा किया जाता है। यदि लाभांश को 10 से गुणा किया गया है, तो भाजक को भी 10 से गुणा किया जाता है। यह उदाहरणलाभांश और भाजक दोनों को 100 से गुणा किया गया। इसके बाद, गणना उसी तरह की जाती है जैसे दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण में दिखाया गया है। 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.1; 0.1, आदि, भाजक और लाभांश दोनों को 0.0, 1000 से गुणा करना आवश्यक है।

प्रायः किसी भागफल में अर्थात् उत्तर में भाग देने पर अनन्त भिन्न प्राप्त होती हैं। इस मामले में, संख्या को दसवें, सौवें या हज़ारवें तक पूर्णांकित करना आवश्यक है। इस मामले में, नियम लागू होता है, यदि जिस संख्या के बाद आपको उत्तर को पूर्णांकित करने की आवश्यकता है वह 5 से कम या उसके बराबर है, तो उत्तर को पूर्णांकित किया जाता है, यदि 5 से अधिक - ऊपर। उदाहरण के लिए, आप परिणाम को 5.5 से हजारवें भाग तक पूर्णांकित करना चाहते हैं। इसका मतलब यह है कि दशमलव बिंदु के बाद उत्तर संख्या 6 के साथ समाप्त होना चाहिए। 6 के बाद 9 है, जिसका अर्थ है कि उत्तर पूर्णांकित है और हमें 5.7 मिलता है। लेकिन यदि उत्तर 5.5 को हजारवें नहीं, बल्कि दसवें तक पूर्णांकित करना आवश्यक होता, तो उत्तर इस तरह दिखता - 5.2। इस मामले में, 2 को पूर्णांकित नहीं किया गया क्योंकि इसके बाद 3 आता है, और यह 5 से कम है।

स्कूल में इन क्रियाओं का सरल से जटिल तक अध्ययन किया जाता है। इसलिए, इन परिचालनों को निष्पादित करने के लिए एल्गोरिदम में अच्छी तरह से महारत हासिल करना नितांत आवश्यक है सरल उदाहरण. ताकि बाद में दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आख़िरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।

इस विषय में लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहां अस्वीकार्य है। यह सिद्धांत प्रत्येक छात्र को पहली कक्षा के पहले से ही सीखना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ छोड़ते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो आगे चलकर न सिर्फ गणित, बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कत होगी।

दूसरी शर्त सफल अध्ययनगणित - जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही किसी कॉलम में भाग के उदाहरणों पर आगे बढ़ें।

यदि किसी बच्चे ने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो उसके लिए भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पायथागॉरियन तालिका से सीखना बेहतर है। इसमें कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणन को पचाना आसान है।

किसी कॉलम में प्राकृत संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?

यदि भाग और गुणा के कॉलम में उदाहरणों को हल करने में कठिनाई हो तो समस्या को गुणा से हल करना शुरू करना आवश्यक है। क्योंकि भाग गुणन का व्युत्क्रम है:

1. दो संख्याओं को गुणा करने से पहले आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंक (लंबा) वाला चुनें, पहले उसे लिखें। इसके नीचे दूसरा रखें. इसके अलावा, संबंधित श्रेणी के नंबर भी उसी श्रेणी के अंतर्गत होने चाहिए। अर्थात्, पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दायें अंक के ऊपर होना चाहिए।
2. दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, निचली संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे लिखें ताकि उसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे हो जिससे उसे गुणा किया गया था।
3. निचली संख्या के दूसरे अंक के साथ भी इसे दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित करना होगा। इस स्थिति में, इसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।

इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक में संख्याएँ समाप्त न हो जाएँ। अब इन्हें मोड़ने की जरूरत है. यह वांछित उत्तर होगा.

दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में गुणा करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, यह कल्पना की जानी चाहिए कि दशमलव भिन्न नहीं दिए गए हैं, बल्कि प्राकृतिक अंश दिए गए हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।

अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस बिंदु पर, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद की सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। आपको उत्तर के अंत से उनमें से कितने को गिनना है और वहां अल्पविराम लगाना है।

इस एल्गोरिथम को एक उदाहरण से समझाना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:

बाँटना सीखना कैसे शुरू करें?

किसी कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करने से पहले, उन संख्याओं के नाम याद रखना चाहिए जो विभाजन के उदाहरण में हैं। उनमें से पहला (जो विभाजित करता है) विभाज्य है। दूसरा (इससे विभाजित) एक भाजक है। उत्तर निजी है.

उसके बाद, एक साधारण रोजमर्रा के उदाहरण का उपयोग करके, हम इस गणितीय ऑपरेशन का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से विभाजित करना आसान है। लेकिन क्या होगा यदि आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को वितरित करने की आवश्यकता हो?

उसके बाद, आप विभाजन के नियमों से परिचित हो सकते हैं और उनमें महारत हासिल कर सकते हैं ठोस उदाहरण. पहले सरल, और फिर अधिक से अधिक जटिल की ओर बढ़ते हुए।

संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, हम विभाज्य प्राकृतिक संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं एकल अंक. वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव भिन्न के लिए भी आधार होंगे। इसके बाद ही इसमें छोटे बदलाव करने की अपेक्षा की जाती है, लेकिन उस पर बाद में और अधिक जानकारी दी जाएगी:

• किसी कॉलम में विभाजन करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
• लाभांश लिखिए. इसके दाहिनी ओर एक विभाजक है।
• अंतिम कोने के पास बाईं ओर और नीचे एक कोना बनाएं।
• अपूर्ण लाभांश ज्ञात करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक, अधिकतम दो अंक होते हैं।
• वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
• इस संख्या को भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
• इसे अपूर्ण भाजक के अंतर्गत लिखें। घटाव करना.
• जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद पहला अंक शेष तक ले जाएं।
• उत्तर फिर से उठाओ.
• गुणा और घटाव दोहराएँ. यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण पूरा हो गया है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या चुनें, गुणा करें, घटाएं।

यदि भाजक में एक से अधिक अंक हों तो दीर्घ विभाजन को कैसे हल करें?

एल्गोरिथ्म स्वयं ऊपर वर्णित से पूरी तरह मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन यदि वे भाजक से कम निकलते हैं, तो यह पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।

इस विभाजन में एक और बारीकियां है. तथ्य यह है कि शेषफल और उससे प्राप्त अंक कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होते हैं। फिर इसे क्रम में एक और अंक देना माना जाता है। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को ध्वस्त करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर नियम पेश किया गया: उत्तर में शून्य नीचे दिए गए अंकों की संख्या से एक कम होना चाहिए।

आप उदाहरण - 12082:863 का उपयोग करके ऐसे विभाजन पर विचार कर सकते हैं।

• इसमें अपूर्ण विभाज्य संख्या 1208 है। इसमें संख्या 863 को केवल एक बार रखा गया है। अत: प्रत्युत्तर में 1 लगाना और 1208 के नीचे 863 लिखना माना जाता है।
• घटाने के बाद शेषफल 345 है।
• उसके लिए आपको नंबर 2 को ध्वस्त करना होगा।
• संख्या 3452 में 863 चार बार फिट बैठता है।
• उत्तर में चार अवश्य लिखें। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
• घटाने के बाद शेषफल शून्य है। यानी बंटवारा पूरा हो गया.

उदाहरण में उत्तर 14 है।

यदि लाभांश शून्य पर समाप्त हो तो क्या होगा?

या कुछ शून्य? इस स्थिति में, शून्य शेषफल प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा न करें, सब कुछ जितना लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। उत्तर में अविभाजित रहे सभी शून्यों को शामिल करना ही पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करना होगा। अधूरा लाभांश 40 है। इसमें पांच को 8 बार रखा गया है। इसका मतलब यह है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाने पर कोई शेष नहीं बचता। यानी विभाजन तो ख़त्म हो गया, लेकिन लाभांश में शून्य रह गया. इसे उत्तर में जोड़ना होगा. इस प्रकार, 400 को 5 से विभाजित करने पर 80 प्राप्त होता है।

यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा?

पुनः, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने वाला अल्पविराम न हो। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करना ऊपर वर्णित के समान है।

एकमात्र अंतर अर्धविराम का होगा. ऐसा माना जाता है कि जैसे ही भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटा दिया जाता है, तुरंत इसका उत्तर दिया जाना चाहिए। इसे दूसरे तरीके से इस प्रकार भी कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।

दशमलव भिन्न वाले किसी स्तंभ में विभाजित करने के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद वाले भाग में किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।

दो दशमलव का विभाजन

यह जटिल लग सकता है. लेकिन केवल शुरुआत में. आख़िरकार, भिन्नों के एक कॉलम में प्राकृतिक संख्या से विभाजन कैसे किया जाए, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में छोटा करने की आवश्यकता है।

इसे आसान बनाएं। यदि कार्य के लिए आवश्यक हो तो आपको दोनों अंशों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या शायद दस लाख से गुणा करना होगा। गुणक का चयन इस आधार पर किया जाना चाहिए कि भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं। यानी, परिणामस्वरूप, यह पता चलता है कि आपको एक भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

और यह सबसे खराब स्थिति में होगा. आख़िरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश एक पूर्णांक बन जाता है। फिर भिन्नों के एक स्तंभ में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान सबसे सरल विकल्प में कम हो जाएगा: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।

उदाहरण के तौर पर: 28.4 को 3.2 से विभाजित किया गया:

• सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरे नंबर में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 प्राप्त होंगे।
• उन्हें विभाजित माना जाता है। और एक बार में पूरी संख्या 284 गुणा 32 होती है।
• उत्तर के लिए पहली मिलान संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेषफल 28 है।
• पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
• शेष 0 तक ध्वस्त करें।
• फिर से 8 लीजिए.
• शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें.
• अब आपको 7 लेने होंगे.
• गुणनफल 224 है, शेषफल 16 है।
• अन्य 0 को नष्ट करें। 5 लें और ठीक 160 प्राप्त करें। शेष 0 है।

विभाजन पूरा हुआ. 28.4:3.2 उदाहरण का परिणाम 8.875 है।

यदि भाजक 10, 100, 0.1, या 0.01 हो तो क्या होगा?

गुणन की तरह, यहाँ लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। अंकों की एक निश्चित संख्या के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाना ही पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों वाले उदाहरणों को हल कर सकते हैं।

इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो भाजक में जितने शून्य हैं उतने अंकों से अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है। अर्थात्, जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम इसके अंत में है।

यह क्रिया वैसा ही परिणाम उत्पन्न करती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01, या 0.001 से गुणा किया जाए। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को भिन्नात्मक भाग की लंबाई के बराबर अंकों की संख्या से बाईं ओर भी ले जाया जाता है।

0.1 (आदि) से विभाजित करने या 10 (आदि) से गुणा करने पर, अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।

यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लुप्त शून्यों को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आवर्त भिन्नों का विभाजन

ऐसे में कॉलम में विभाजित करने पर आपको सटीक उत्तर नहीं मिल पाएगा. यदि किसी अवधि के साथ भिन्न का सामना हो तो उदाहरण को कैसे हल करें? यहां साधारण भिन्नों की ओर बढ़ना आवश्यक है। और फिर पहले अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।

उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0.6 से विभाजित करना होगा। पहला अंश आवर्ती है. इसे भिन्न 3/9 में परिवर्तित किया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है. सामान्य को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम विभाजन को गुणन से और भाजक को किसी संख्या के व्युत्क्रम से बदलने का प्रावधान करता है। अर्थात्, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने तक सीमित है। उत्तर 5/9 है.

यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं...

फिर कई संभावित समाधान हैं. सबसे पहले, आप एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलव को विभाजित करें।

दूसरे, प्रत्येक अंतिम दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता. अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। हाँ, और उत्तर बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।

भागफल (विभाजन का परिणाम) का पहला अंक ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, लाभांश के पहले अंक को भाजक से विभाजित करें। परिणाम को भाजक के नीचे लिखें.

• हमारे उदाहरण में, लाभांश का पहला अंक 3 है। 3 को 12 से विभाजित करें। चूँकि 3, 12 से कम है, तो विभाजन का परिणाम 0 होगा। भाजक के नीचे 0 लिखें - यह भागफल का पहला अंक है।

दशमलव जोड़ना पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान ही किया जाता है। आइए इसे उदाहरणों से देखें।

1) 0.132 + 2.354। आइए एक के नीचे एक शर्तों पर हस्ताक्षर करें।

यहां, 2 हजारवें को 4 हजारवें के साथ जोड़ने पर, 6 हजारवां प्राप्त हुआ;
3 सौवें को 5 सौवें के साथ जोड़ने पर, यह 8 सौवां निकला;
3 दहाई के साथ 1 दशमांश जोड़ने से -4 दशमांश और
2 पूर्णांकों के साथ 0 पूर्णांक जोड़ने से - 2 पूर्णांक।

2) 5,065 + 7,83.

दूसरे कार्यकाल में कोई हजारवां हिस्सा नहीं है, इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि एक-दूसरे के तहत शर्तों पर हस्ताक्षर करते समय गलतियाँ न करें।

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

यहां हजारवां हिस्सा जोड़ने पर हमें 21 हजारवां हिस्सा मिलता है; हमने हजारवें के नीचे 1 लिखा, और सौवें में 2 जोड़ा, इसलिए सौवें स्थान पर हमें निम्नलिखित पद मिले: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; कुल मिलाकर, वे 19 सौवां देते हैं, हमने सौवें के अंतर्गत 9 पर हस्ताक्षर किए, और 1 को दसवें के रूप में गिना गया, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को जोड़ते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए: अंशों को एक दूसरे के नीचे हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि सभी शब्दों में समान अंक एक दूसरे के नीचे हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों; कुछ शब्दों के दशमलव स्थानों के दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, इतनी संख्या में शून्य लगाते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद के सभी पदों में अंकों की संख्या समान हो। फिर, दाहिनी ओर से शुरू करके, अंकों द्वारा जोड़ किया जाता है, और परिणामी राशि में एक अल्पविराम उसी ऊर्ध्वाधर कॉलम में रखा जाता है जैसा कि इन शब्दों में है।

§ 108. दशमलव भिन्नों का घटाव।

दशमलव को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने की तरह ही किया जाता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं।

1) 9.87 - 7.32. आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि समान अंक की इकाइयां एक-दूसरे के नीचे हों:

2) 16.29 - 4.75. आइए मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करें, जैसा कि पहले उदाहरण में है:

दशमांश घटाने के लिए, 6 में से एक पूरी इकाई लेनी होती थी और उसे दशमांश में विभाजित करना होता था।

3) 14.0213-5.350712। आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें:

घटाव इस प्रकार किया गया था: चूँकि हम 0 में से 2 मिलियनवां हिस्सा नहीं घटा सकते हैं, इसलिए हमें बाईं ओर के निकटतम अंक का उल्लेख करना चाहिए, यानी सौ-हजारवां, लेकिन सौ-हजारवें के स्थान पर शून्य भी है, इसलिए हम 1 लेते हैं 3 दस-हज़ारवें में से दस-हज़ारवें और हम इसे सौ-हज़ारवें में विभाजित करते हैं, हमें 10 सौ-हज़ारवां मिलता है, जिसमें से 9 सौ-हज़ारवें को सौ-हज़ारवें की श्रेणी में छोड़ दिया जाता है, और 1 सौ-हज़ारवें को दस लाखवें में कुचल दिया जाता है, हमें 10 मिलियनवां हिस्सा मिलता है। इस प्रकार, अंतिम तीन अंकों में, हमें मिला: मिलियनवां 10, सौ-हजारवां 9, दस-हजारवां 2। अधिक स्पष्टता और सुविधा के लिए (भूलने के लिए नहीं), इन संख्याओं को घटे हुए संगत भिन्नात्मक अंकों के शीर्ष पर लिखा गया है। अब हम घटाना शुरू कर सकते हैं। हम 10 मिलियनवें भाग में से 2 मिलियनवां भाग घटाते हैं, हमें 8 मिलियनवां भाग प्राप्त होता है; 9 सौ-हज़ारवें में से 1 सौ-हज़ारवाँ घटाएँ, हमें 8 सौ-हज़ारवाँ भाग मिलता है, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को घटाते समय, निम्नलिखित क्रम देखा जाता है: घटाए गए अंशों को घटाए गए के तहत हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों; दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, कम किए गए या घटाए गए में इतने शून्य जोड़ते हैं कि उनके अंकों की संख्या समान हो, फिर दाईं ओर से शुरू करते हुए, अंकों से घटाते हैं, और परिणामी अंतर में अल्पविराम लगाते हैं वही ऊर्ध्वाधर स्तंभ जिसमें यह घटाया और घटाया गया है।

§ 109. दशमलव भिन्नों का गुणन।

दशमलव भिन्नों को गुणा करने के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

इन संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: यदि गुणनखंड को 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो दोनों गुणनखंड पूर्णांक होंगे और फिर हम उन्हें पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा कर सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि जब किसी एक कारक को कई गुना बढ़ाया जाता है, तो उत्पाद उसी मात्रा में बढ़ जाता है। इसका मतलब यह है कि पूर्णांक कारकों को गुणा करने से जो संख्या आती है, यानी 28 को 23 से, वह वास्तविक उत्पाद से 10 गुना अधिक है, और सही उत्पाद प्राप्त करने के लिए, आपको पाए गए उत्पाद को 10 गुना कम करना होगा। इसलिए, यहां आपको 10 से गुणा एक बार और 10 से भाग एक बार करना होता है, लेकिन 10 से गुणा और भाग अल्पविराम को दाएं और बाएं एक चिह्न से घुमाकर किया जाता है। इसलिए, आपको यह करने की आवश्यकता है: गुणक में, अल्पविराम को एक चिह्न से दाईं ओर ले जाएं, इससे यह 23 के बराबर होगा, फिर आपको परिणामी पूर्णांकों को गुणा करने की आवश्यकता है:

यह उत्पाद असली उत्पाद से 10 गुना बड़ा है। इसलिए, इसे 10 गुना कम करना होगा, जिसके लिए हम अल्पविराम को एक अक्षर बाईं ओर ले जाते हैं। इस प्रकार, हम पाते हैं

28 2,3 = 64,4.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आप हर के साथ दशमलव भिन्न लिख सकते हैं और साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार कार्रवाई कर सकते हैं, अर्थात।

2) 12,27 0,021.

इस उदाहरण और पिछले उदाहरण के बीच अंतर यह है कि यहां दोनों कारकों को दशमलव अंशों द्वारा दर्शाया गया है। लेकिन यहां, गुणन की प्रक्रिया में, हम अल्पविरामों पर ध्यान नहीं देंगे, यानी, हम अस्थायी रूप से गुणक को 100 गुना और गुणक को 1,000 गुना बढ़ा देंगे, जिससे उत्पाद 100,000 गुना बढ़ जाएगा। इस प्रकार, 1227 को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 227 21 = 25 767.

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि परिणामी उत्पाद वास्तविक उत्पाद से 100,000 गुना अधिक है, अब हमें इसमें उचित रूप से अल्पविराम लगाकर इसे 100,000 गुना कम करना होगा, फिर हमें मिलता है:

32,27 0,021 = 0,25767.

की जाँच करें:

इस प्रकार, दो दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना, उन्हें पूर्णांकों के रूप में गुणा करना और गुणनफल में दाहिनी ओर अल्पविराम के साथ उतने दशमलव स्थानों को अलग करना पर्याप्त है, जितने गुणक और में थे। कारक एक साथ.

में अंतिम उदाहरणपाँच दशमलव स्थानों वाला उत्पाद। यदि इतनी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो दशमलव अंश को पूर्णांकित किया जाता है। पूर्णांकन करते समय, आपको उसी नियम का उपयोग करना चाहिए जो पूर्णांकों के लिए इंगित किया गया था।

§ 110. तालिकाओं का उपयोग करके गुणन।

दशमलव को गुणा करना कभी-कभी तालिकाओं का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, उदाहरण के लिए, आप दो अंकों की संख्याओं की उन गुणन तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, जिनका विवरण पहले दिया गया था।

1) 53 को 1.5 से गुणा करें।

हम 53 को 15 से गुणा करेंगे। तालिका में, यह गुणनफल 795 के बराबर है। हमने 53 का गुणनफल 15 से पाया, लेकिन हमारा दूसरा कारक 10 गुना कम था, जिसका अर्थ है कि गुणनफल 10 गुना कम होना चाहिए, अर्थात।

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 को 4.7 से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए तालिका में 53 गुणा 47 का गुणनफल खोजें, यह 2491 होगा। लेकिन चूंकि हमने गुणक और गुणक को कुल 100 गुना बढ़ा दिया है, तो परिणामी उत्पाद जितना होना चाहिए उससे 100 गुना बड़ा है; इसलिए हमें इस उत्पाद को 100 गुना कम करना होगा:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 को 7.4 से गुणा करें।

सबसे पहले हम तालिका में 53 गुणा 74 का गुणनफल पाते हैं; यह 3,922 होगा। लेकिन चूँकि हमने गुणक को 100 गुना बढ़ा दिया है, और गुणक को 10 गुना बढ़ा दिया है, उत्पाद 1,000 गुना बढ़ गया है; इसलिए अब हमें इसे 1,000 गुना कम करना होगा:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. दशमलव का विभाजन.

हम दशमलव विभाजन को इस क्रम में देखेंगे:

1. दशमलव भिन्न का पूर्णांक से विभाजन,

1. दशमलव भिन्न का पूर्णांक से विभाजन।

1) 2.46 को 2 से विभाजित करें।

हमने पहले 2 पूर्णांकों से विभाजित किया, फिर दसवें और अंत में सौवें से।

2) 32.46 को 3 से विभाजित करें।

32,46: 3 = 10,82.

हमने 3 दहाई को 3 से विभाजित किया, फिर हमने 2 इकाइयों को 3 से विभाजित करना शुरू किया; चूँकि लाभांश (2) की इकाइयों की संख्या भाजक (3) से कम है, हमें भागफल में 0 लगाना पड़ा; इसके अलावा, शेष भाग के लिए हमने 4 दसवें हिस्से को नष्ट कर दिया और 24 दसवें हिस्से को 3 से विभाजित कर दिया; निजी तौर पर 8 दसवां हिस्सा प्राप्त किया और अंत में 6 सौवां हिस्सा बांटा।

3) 1.2345 को 5 से विभाजित करें।

1,2345: 5 = 0,2469.

यहां, भागफल में सबसे पहले, शून्य पूर्णांक निकले, क्योंकि एक पूर्णांक 5 से विभाज्य नहीं है।

4) 13.58 को 4 से विभाजित करें।

इस उदाहरण की ख़ासियत यह है कि जब हमें निजी तौर पर 9 सौवां भाग मिला, तो 2 सौवें के बराबर शेषफल मिला, हमने इस शेषफल को हजारवें में विभाजित किया, 20 हजारवां प्राप्त किया और विभाजन को अंत तक लाया।

नियम।एक पूर्णांक द्वारा दशमलव अंश का विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे पूर्णांकों का विभाजन, और परिणामी शेष को अधिक से अधिक छोटे दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जाता है; विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए।

2. दशमलव भिन्न का दशमलव भिन्न से विभाजन।

1) 2.46 को 0.2 से विभाजित करें।

हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव भिन्न को पूर्णांक से कैसे विभाजित किया जाता है। आइये विचार करें कि क्या विभाजन के इस नये मामले को भी पिछले मामले के बराबर किया जा सकता है? उस समय, हमने विचार किया अद्भुत संपत्तिनिजी, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि लाभांश और भाजक को समान संख्या में बढ़ाने या घटाने पर यह अपरिवर्तित रहता है। यदि भाजक एक पूर्णांक होता तो हम हमें दी गई संख्याओं का विभाजन आसानी से कर सकते थे। ऐसा करने के लिए, इसे 10 गुना बढ़ाना पर्याप्त है, और सही भागफल प्राप्त करने के लिए, लाभांश को समान संख्या से, यानी 10 गुना बढ़ाना आवश्यक है। फिर इन संख्याओं के विभाजन को ऐसी संख्याओं के विभाजन से प्रतिस्थापित किया जाएगा:

और निजी तौर पर कोई संशोधन करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए यह विभाजन करें:

तो 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 को 1.6 से विभाजित करें।

हम भाजक (1.6) को 10 गुना बढ़ाते हैं; ताकि भागफल न बदले, हम लाभांश को 10 गुना बढ़ा देते हैं; 12 पूर्णांक 16 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम भागफल 0 में लिखते हैं और 125 दसवें को 16 से विभाजित करते हैं, हमें भागफल में 7 दसवां हिस्सा मिलता है और शेष 13 होता है। हम 13 दसवें को शून्य निर्दिष्ट करके सौवें में विभाजित करते हैं और 130 सौवें को 16 से विभाजित करते हैं, आदि। निम्नलिखित पर ध्यान दें:

a) जब भागफल में पूर्णांक प्राप्त नहीं होते हैं, तो उनके स्थान पर शून्य पूर्णांक लिखा जाता है;

ख) जब लाभांश के अंक को शेषफल तक ले जाने पर कोई ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो भाजक से विभाज्य नहीं होती, तो भागफल में शून्य लिखा जाता है;

ग) जब, लाभांश का अंतिम अंक हटा दिए जाने के बाद, विभाजन समाप्त नहीं होता है, तो, शेष को शून्य निर्दिष्ट करके, विभाजन जारी रहता है;

घ) यदि लाभांश एक पूर्णांक है, तो इसे दशमलव अंश से विभाजित करते समय, इसमें शून्य निर्दिष्ट करके इसकी वृद्धि की जाती है।

इस प्रकार, किसी संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा, और फिर लाभांश को उतनी बार बढ़ाना होगा जितना भाजक में अल्पविराम हटाने पर बढ़ा हो, और फिर उसके अनुसार विभाजन करें दशमलव भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने का नियम।

§ 112. अनुमानित भागफल.

पिछले पैराग्राफ में, हमने दशमलव अंशों के विभाजन पर विचार किया था, और हमारे द्वारा हल किए गए सभी उदाहरणों में, विभाजन को अंत तक लाया गया था, यानी, एक सटीक भागफल प्राप्त किया गया था। हालाँकि, अधिकांश मामलों में सटीक भागफल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, चाहे हम विभाजन को कितनी भी दूर तक बढ़ाएँ। यहां ऐसा ही एक मामला है: 53 को 101 से विभाजित करें।

हमें भागफल में पाँच अंक पहले ही प्राप्त हो चुके हैं, लेकिन विभाजन अभी तक समाप्त नहीं हुआ है और ऐसी कोई उम्मीद नहीं है कि यह कभी भी समाप्त होगा, क्योंकि जो संख्याएँ हमें पहले मिल चुकी हैं वे शेषफल में दिखाई देने लगती हैं। भागफल में संख्याएँ भी दोहराई जाएंगी: जाहिर है, संख्या 7 के बाद संख्या 5 आएगी, फिर 2, और इसी तरह बिना अंत के। ऐसे मामलों में, विभाजन बाधित हो जाता है और भागफल के पहले कुछ अंकों तक सीमित हो जाता है। इसे प्राइवेट कहा जाता है अनुमानित.इस मामले में विभाजन कैसे करें, हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे।

मान लीजिए कि 25 को 3 से विभाजित करना आवश्यक है। यह स्पष्ट है कि पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त सटीक भागफल, ऐसे विभाजन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

25: 3 = 8 और शेषफल 1

अनुमानित भागफल 8 है; निस्संदेह, यह सटीक भागफल से कम है, क्योंकि 1 का शेषफल है। सटीक भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको पाए गए अनुमानित भागफल में, यानी 8 में वह अंश जोड़ना होगा जो शेषफल को विभाजित करने से प्राप्त होता है। , 1 के बराबर, 3 से; यह अंश 1/3 होगा. इसका मतलब यह है कि सटीक भागफल को मिश्रित संख्या 8 1/3 के रूप में व्यक्त किया जाएगा। चूँकि 1/3 एक उचित भिन्न है, अर्थात भिन्न, एक से भी कम, फिर, इसे त्यागकर, हम मान लेते हैं गलती, कौन एक से भी कम. प्राइवेट 8 वसीयत एक कमी के साथ एक तक अनुमानित भागफल।यदि हम 8 के स्थान पर 9 लेते हैं, तो हम एक से कम की त्रुटि भी स्वीकार करते हैं, क्योंकि हम पूरी इकाई नहीं, बल्कि 2/3 जोड़ेंगे। ऐसी निजी इच्छा आधिक्य के साथ एक तक अनुमानित भागफल।

चलिए अब एक और उदाहरण लेते हैं. मान लीजिए कि 27 को 8 से विभाजित करना आवश्यक है। चूँकि यहां हमें पूर्णांक के रूप में व्यक्त सटीक भागफल नहीं मिलेगा, इसलिए हम अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

27: 8 = 3 और शेषफल 3.

यहां त्रुटि 3/8 है, यह एक से कम है, जिसका अर्थ है कि अनुमानित भागफल (3) एक दोष के साथ एक तक पाया जाता है। हम विभाजन जारी रखते हैं: हम शेष 3 को दसवें में विभाजित करते हैं, हमें 30 दसवां हिस्सा मिलता है; आइए उन्हें 8 से विभाजित करें।

हम मौके पर निजी तौर पर दसवां हिस्सा 3 और शेष बी दसवां हिस्सा लेकर आए। यदि हम अपने आप को विशेष रूप से संख्या 3.3 तक ही सीमित रखते हैं, और शेष 6 को छोड़ देते हैं, तो हम दसवें से कम की त्रुटि की अनुमति देंगे। क्यों? क्योंकि सटीक भागफल तब प्राप्त होगा जब हम 6 दहाई को 8 से विभाजित करने के परिणाम को 3.3 में जोड़ेंगे; इस भाग से भाग 6/80 होगा, जो कि दसवें भाग से भी कम है। (जाँचें!) इस प्रकार, यदि हम स्वयं को भागफल में दहाई तक सीमित रखते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हमने भागफल ज्ञात कर लिया है दसवें हिस्से तक सटीक(नुकसान के साथ)।

आइए एक और दशमलव स्थान खोजने के लिए विभाजन जारी रखें। ऐसा करने के लिए, हम 6 दसवें को सौवें में विभाजित करते हैं और 60 सौवां भाग प्राप्त करते हैं; आइए उन्हें 8 से विभाजित करें।

अकेले में तीसरे स्थान पर 7 और शेष में 4 सौवां भाग निकला; यदि हम उन्हें त्याग देते हैं, तो हम एक सौवें से कम की त्रुटि की अनुमति देते हैं, क्योंकि 4 सौवें को 8 से विभाजित करने पर एक सौवें से कम होता है। ऐसे मामलों में, भागफल पाया जाना कहा जाता है। एक सौवें तक सटीक(नुकसान के साथ)।

जिस उदाहरण पर हम अब विचार कर रहे हैं, उसमें आप सटीक भागफल प्राप्त कर सकते हैं, जिसे दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है। ऐसा करने के लिए, अंतिम शेषफल, 4 सौवें को हज़ारवें भाग में विभाजित करना और 8 से विभाजित करना पर्याप्त है।

हालाँकि, अधिकांश मामलों में, सटीक भागफल प्राप्त करना असंभव है और व्यक्ति को स्वयं को इसके अनुमानित मानों तक ही सीमित रखना पड़ता है। अब हम ऐसे एक उदाहरण पर विचार करेंगे:

40: 7 = 5,71428571...

संख्या के अंत में बिंदु दर्शाते हैं कि विभाजन पूरा नहीं हुआ है, अर्थात समानता अनुमानित है। आमतौर पर अनुमानित समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

40: 7 = 5,71428571.

हमने भागफल को आठ दशमलव स्थानों के साथ लिया। लेकिन यदि इतनी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो व्यक्ति स्वयं को भागफल के पूरे भाग तक ही सीमित रख सकता है, यानी, संख्या 5 (अधिक सटीक रूप से, 6); अधिक सटीकता के लिए, दहाई को ध्यान में रखा जा सकता है और भागफल को 5.7 के बराबर लिया जा सकता है; यदि किसी कारण से यह सटीकता अपर्याप्त है, तो हम सौवें पर रुक सकते हैं और 5.71 आदि ले सकते हैं। आइए अलग-अलग भागफल लिखें और उन्हें नाम दें।

पहला अनुमानित भागफल एक 6 तक।

दूसरा » » » से दसवाँ भाग 5.7.

तीसरा » » » एक सौवें तक 5.71.

चौथा » » » 5.714 के एक हजारवें हिस्से तक।

इस प्रकार, कुछ तक अनुमानित भागफल ज्ञात करने के लिए, उदाहरण के लिए, दशमलव के तीसरे स्थान तक (अर्थात एक हजारवें स्थान तक), यह चिह्न मिलते ही विभाजन रोक दिया जाता है। इस मामले में, किसी को धारा 40 में निर्धारित नियम को याद रखना चाहिए।

§ 113. रुचि के लिए सबसे सरल समस्याएँ।

दशमलव भिन्नों का अध्ययन करने के बाद, हम कुछ और प्रतिशत समस्याओं का समाधान करेंगे।

ये समस्याएँ उन समस्याओं के समान हैं जिन्हें हमने साधारण भिन्नों के विभाग में हल किया था; लेकिन अब हम सौवें भाग को दशमलव भिन्नों के रूप में लिखेंगे, अर्थात् स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट हर के बिना।

सबसे पहले, आपको 100 के हर के साथ एक साधारण भिन्न से दशमलव भिन्न पर आसानी से स्विच करने में सक्षम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा:

नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि कैसे % (प्रतिशत) चिन्ह वाली संख्या को 100 के हर वाले दशमलव से बदल दिया जाता है:

आइए अब कुछ समस्याओं पर विचार करें।

1. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।एक गाँव में केवल 1,600 लोग रहते हैं। बच्चों की संख्या विद्यालय युगकुल जनसंख्या का 25% है। इस गाँव में स्कूल जाने योग्य कितने बच्चे हैं?

इस समस्या में, आपको 1,600 में से 25%, या 0.25, ज्ञात करना होगा। समस्या को गुणा करके हल किया जाता है:

1,600 0.25 = 400 (बच्चे)।

इसलिए, 1,600 का 25% 400 है।

इस कार्य की स्पष्ट समझ के लिए, यह याद रखना उपयोगी है कि प्रत्येक सौ जनसंख्या पर 25 स्कूली बच्चे हैं। इसलिए, सभी स्कूली बच्चों की संख्या जानने के लिए, आप पहले पता लगा सकते हैं कि संख्या 1600 (16) में कितने सैकड़ों हैं, और फिर 25 को सैकड़ों की संख्या से गुणा करें (25 x 16 = 400)। इस तरह आप समाधान की वैधता की जांच कर सकते हैं।

कार्य 2.बचत बैंक जमाकर्ताओं को सालाना आय का 2% देते हैं। एक जमाकर्ता को प्रति वर्ष कितनी आय प्राप्त होगी जिसने जमा किया है: ए) 200 रूबल? बी) 500 रूबल? ग) 750 रूबल? घ) 1000 रूबल?

सभी चार मामलों में, समस्या को हल करने के लिए, संकेतित मात्राओं में से 0.02 की गणना करना आवश्यक होगा, यानी, इनमें से प्रत्येक संख्या को 0.02 से गुणा करना होगा। चलो यह करते हैं:

ए) 200 0.02 = 4 (रूबल),

बी) 500 0.02 = 10 (रूबल),

ग) 750 0.02 = 15 (रूबल),

डी) 1,000 0.02 = 20 (रूबल)।

इनमें से प्रत्येक मामले को निम्नलिखित विचारों से सत्यापित किया जा सकता है। बचत बैंक जमाकर्ताओं को आय का 2%, यानी बचत में लगाई गई राशि का 0.02 देते हैं। यदि राशि 100 रूबल थी, तो इसका 0.02 2 रूबल होगा। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सौ जमाकर्ता को 2 रूबल लाता है। आय। इसलिए, विचार किए गए प्रत्येक मामले में, यह पता लगाना पर्याप्त है कि किसी दिए गए संख्या में कितने सैकड़ों हैं, और सैकड़ों की इस संख्या से 2 रूबल गुणा करें। उदाहरण में a) सैकड़ों 2, इसलिए

2 2 = 4 (रूबल)।

उदाहरण के लिए घ) सैकड़ा 10 है, जिसका अर्थ है

2 10 = 20 (रूबल)।

2. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

कार्य 1।वसंत ऋतु में, स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो कुल छात्रों की संख्या का 6% है। पहले स्कूल में कितने छात्र थे शैक्षणिक वर्ष?

आइए पहले इस समस्या का अर्थ स्पष्ट करें। स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो छात्रों की कुल संख्या का 6% है, या दूसरे शब्दों में, स्कूल के सभी छात्रों का 6 सौवां हिस्सा (0.06)। इसका मतलब यह है कि हम संख्या (54) और अंश (0.06) द्वारा व्यक्त छात्रों के भाग को जानते हैं, और इस अंश से हमें पूर्ण संख्या ज्ञात करनी होगी। इस प्रकार, हमारे सामने किसी संख्या को उसके भिन्न द्वारा ज्ञात करने की एक सामान्य समस्या है (§ 90 पृष्ठ 6)। इस प्रकार की समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब है कि स्कूल में 900 छात्र थे।

ऐसी समस्याओं को व्युत्क्रम समस्या को हल करके जांचना उपयोगी है, यानी समस्या को हल करने के बाद, आपको कम से कम अपने दिमाग में, पहले प्रकार की समस्या को हल करना चाहिए (किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना): पाया गया नंबर लें ( 900) जैसा कि दिया गया है और इससे हल की गई समस्या में दर्शाया गया प्रतिशत ज्ञात कीजिए, अर्थात्:

900 0,06 = 54.

कार्य 2.परिवार महीने के दौरान भोजन पर 780 रूबल खर्च करता है, जो पिता की मासिक आय का 65% है। उसकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का वही अर्थ है जो पिछले कार्य का है। यह मासिक कमाई का एक हिस्सा देता है, जिसे रूबल (780 रूबल) में व्यक्त किया जाता है, और इंगित करता है कि यह हिस्सा कुल कमाई का 65% या 0.65 है। और वांछित है पूरी कमाई:

780: 0,65 = 1 200.

इसलिए, वांछित कमाई 1200 रूबल है।

3. संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।में स्कूल पुस्तकालयकेवल 6,000 पुस्तकें. इनमें गणित पर 1,200 किताबें हैं। पुस्तकालय में गणित की पुस्तकों की कुल संख्या कितने प्रतिशत है?

हम पहले ही इस प्रकार की (§97) समस्याओं पर विचार कर चुके हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि दो संख्याओं के प्रतिशत की गणना करने के लिए, आपको इन संख्याओं का अनुपात ज्ञात करना होगा और इसे 100 से गुणा करना होगा।

हमारे कार्य में, हमें संख्याओं 1,200 और 6,000 का प्रतिशत ज्ञात करना होगा।

हम पहले उनका अनुपात ज्ञात करते हैं, और फिर इसे 100 से गुणा करते हैं:

इस प्रकार, संख्या 1,200 और 6,000 का प्रतिशत 20 है। दूसरे शब्दों में, गणित की किताबें सभी किताबों की कुल संख्या का 20% बनाती हैं।

जाँच करने के लिए, हम व्युत्क्रम समस्या को हल करते हैं: 6,000 का 20% ज्ञात करें:

6 000 0,2 = 1 200.

कार्य 2.प्लांट को 200 टन कोयला मिलना चाहिए. 80 टन पहले ही वितरित किया जा चुका है। संयंत्र को कितना प्रतिशत कोयला वितरित किया गया है?

यह समस्या पूछती है कि एक संख्या (80) दूसरी (200) से कितना प्रतिशत है। इन संख्याओं का अनुपात 80/200 होगा. आइए इसे 100 से गुणा करें:

इसका मतलब है कि 40% कोयले की डिलीवरी हो चुकी है।