दशमलव परिभाषा. दशमलव

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है।

सबसे पहले, हम इन दो भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भाग पूर्णांक भागों के अंतर्गत होने चाहिए, और भिन्नात्मक भाग भिन्नात्मक भागों के अंतर्गत होने चाहिए। स्कूल में इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम".

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे:

हम भिन्नात्मक भागों को जोड़ना शुरू करते हैं: 2 + 3 = 5। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम":

जवाब मिला 8.5. अतः व्यंजक 3.2 + 5.3, 8.5 के बराबर है

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी कुछ नुकसान हैं, जिनके बारे में हम अब बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें स्थान, सौवें स्थान, हजारवें स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद का पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दशमलव बिंदु के बाद दूसरा अंक सौवें स्थान के लिए, दशमलव बिंदु के बाद तीसरा अंक हजारवें स्थान के लिए जिम्मेदार है।

दशमलव भिन्नों में अंक कुछ संग्रहित होते हैं उपयोगी जानकारी. विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि एक दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें भाग होते हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 पर विचार करें

त्रिक जिस स्थिति में स्थित होता है उसे कहते हैं दसवाँ स्थान

वह स्थिति जहां चारों स्थित हैं, कहलाती है सौवां स्थान

वह स्थिति जहां पांच स्थित हैं, कहलाती है हजारवें

आइये इस आंकड़े पर नजर डालते हैं. हम देखते हैं कि दहाई की श्रेणी में तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दसवें भाग होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, तो हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 प्राप्त होता है

यह देखा जा सकता है कि पहले तो हमें उत्तर मिल गया, लेकिन इसे दशमलव अंश में परिवर्तित करने पर 0.345 प्राप्त हुआ।

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय उन्हीं सिद्धांतों और नियमों का पालन किया जाता है जैसे सामान्य संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दशमलव भिन्नों का योग अंकों द्वारा होता है: दसवें को दसवें में जोड़ा जाता है, सौवें को सौवें में, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

इसलिए दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम". अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें में, सौवें को सौवें में, हजारवें को हजारवें में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 1 + 3 = 4। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चार लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के नीचे अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

जवाब मिला 4.9. अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग, अर्थात् सौवां भाग 1+2=3 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिगुण लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दसवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सातों को लिखते हैं:

अब पूरे भागों को जोड़ें 3+1=4. हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करते हैं:

जवाब मिला 4.73. अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 है

3,51 + 1,22 = 4,73

सामान्य संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, उत्तर में एक अंक लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का शतवाँ भाग जोड़ें। संख्या 12 हमारे उत्तर के सौवें भाग में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, सौवें भाग में, हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 का दसवां हिस्सा और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें में संख्या 9 लिखते हैं:

अब पूरे भागों को जोड़ें 2+3=5. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

जवाब मिला 5.92. अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक भाग में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 9+2=11 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

जवाब मिला 12.3. अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि भिन्न 1.7 में केवल एक अंक होता है। अतः भिन्न 1.7 में अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1,700 प्राप्त होता है। अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हजारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हज़ारवें भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

2+0=2 का सैकड़ावाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दशमांश जोड़ें. संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं बैठेगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग 12+1=13 और पिछले ऑपरेशन से प्राप्त इकाई को जोड़ते हैं, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

जवाब मिला 14,425. अतः व्यंजक 12.725+1.700 का मान 14.425 है

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं: "अल्पविराम के नीचे अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 − 2.2 का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के अंतर्गत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

हमें जवाब मिला 0.3. अतः अभिव्यक्ति 2.5 − 2.2 का मान 0.3 के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की भिन्न संख्या होती है। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और भिन्न 3.1 में केवल एक अंक होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न 3.1 में, दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तो हमें 3,100 मिलते हैं.

अब आप इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

जवाब मिला 4,253. अतः व्यंजक 7.353 − 3.1 का मान 4.253 है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाव असंभव हो जाए तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 − 2.39 का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवाँ भाग घटाएँ। संख्या 6 से संख्या 9 न घटाएँ। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक उधार लेने पर, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात लिखते हैं:

अब दसवाँ भाग घटाएँ। चूँकि हमने एक इकाई को दशमांश की श्रेणी में लिया, इसलिए वहां स्थित आंकड़ा एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 को घटाएं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में इकाई लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07. अतः व्यंजक 3.46−2.39 का मान 1.07 के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक 3−1.2 का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण एक पूर्णांक से दशमलव घटाता है। आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव अंश 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान कर लेते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दसवाँ भाग घटाएँ: 0−2. संख्या 2 को शून्य से न घटाएं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक में से एक उधार लेने पर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे हिस्से को घटा दें. पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने उससे एक इकाई उधार ली। परिणामस्वरूप, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 2 में से 1 घटाते हैं। 2−1=1। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में इकाई लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करें:

उत्तर मिला 1.8. अतः व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान भी है और मज़ेदार भी। दशमलव को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिननी होगी और अल्पविराम लगाना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान ज्ञात कीजिए

हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, इन दशमलव भिन्नों को सामान्य संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविरामों को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 प्राप्त हुआ। इस संख्या में पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको 2.5 और 1.5 के भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे भिन्न में भी एक अंक होता है। कुल दो संख्याएँ.

हम संख्या 375 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 3.75. अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान ज्ञात कीजिए

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिला। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। भिन्न 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, भिन्न 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम संख्या 34695 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 34,695. अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 है

12.85 x 2.7 = 34.695

दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आपको दशमलव भिन्न को किसी नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

दशमलव और साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना, उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी, फिर उत्तर में, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 से गुणा करें

हम दशमलव अंश 2.54 को अल्पविराम को अनदेखा करते हुए सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 508 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 5.08. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह से किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। गुणन करना आवश्यक है, दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, फिर उत्तर में, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिनें क्योंकि दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 से गुणा करें

आइए दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 प्राप्त हुआ। इस संख्या में, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिननी होगी। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

जवाब मिला 28.80. हम अंतिम शून्य को हटा देते हैं - हमें 28.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि दशमलव अंश में अल्पविराम उतने अंकों से दाईं ओर चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करें। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 मिलता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 288 मिलता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक वहां नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01, और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना, दाहिनी ओर उतने ही अंक गिनना आवश्यक है जितने दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद के अंक हों।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 प्राप्त हुआ। इस संख्या में, आपको पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको 3.25 और 0.1 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन नंबर.

हम संख्या 325 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं ओर जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद पता चलता है कि अंक ख़त्म हो गए हैं. इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ना होगा और अल्पविराम लगाना होगा:

हमें जवाब मिला 0.325. अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह तरीका काफी आसान और सुविधाजनक है. इसमें यह तथ्य शामिल है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने अंकों तक चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करें। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक को बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीन से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस स्थिति में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। परिणामस्वरूप, हमें 0.325 प्राप्त होता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.01 के गुणक को देखें। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.0325 मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। तुरंत 0.001 के गुणक को देखें। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करने को 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। सामान्य गलतीज्यादातर लोग।

10, 100, 1000 से गुणा करते समय, अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो गुणक में जितने शून्य होते हैं, अल्पविराम बाईं ओर चला जाता है।

यदि शुरुआत में याद रखना मुश्किल हो, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं की तरह ही गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको दाहिनी ओर उतने अंक गिनकर पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा, जितने दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि जब एक छोटी संख्या को एक बड़ी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो एक अंश प्राप्त होता है, जिसके अंश में लाभांश होता है, और हर में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो भागों में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है. तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब. भिन्न किसी समस्या का उत्तर है एक सेब को दो सेबों के बीच कैसे बाँटें

यह पता चलता है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और अधिक हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में भिन्नात्मक पट्टी का मतलब विभाजन होता है, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को भिन्न में भी अनुमति है। आख़िर कैसे? हम इस तथ्य के आदी हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

यदि हम याद रखें कि अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना, तो सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। इसका मतलब यह है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित कर सकते हैं, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करने पर एक दशमलव अंश प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से विभाजित करें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

एक को ऐसे ही दो हिस्सों में नहीं बांटा जा सकता. यदि आप कोई प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी में हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, शेषफल निकालने के लिए हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त शून्य के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 प्राप्त हुआ। हम 10 को 2 से विभाजित करते हैं, हमें 5 प्राप्त होता है। हम पाँच को अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में लिखते हैं:

अब हम गणना पूरी करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करें, हमें 10 प्राप्त होता है

हमें जवाब मिला 0.5. अतः भिन्न 0.5 है

दशमलव अंश 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ दें, तो हमें फिर से असली पूरा सेब मिलता है:

यह बात तब भी समझ में आ सकती है जब हम कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितनी पाँच होती हैं? बिल्कुल नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटा दें:

अब चारों को 5 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी तौर पर लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें जवाब मिला 0.8. अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 है

उदाहरण 3व्यंजक 5:125 का मान ज्ञात कीजिए

पाँच में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। हम निजी में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पाँच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच में से तुरंत 0 घटाएं

अब पाँचों को 125 भागों में बाँटना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, इन पाँच के दाईं ओर, हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से भाग दें। 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। तुरंत 50 में से 0 घटा दें

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। संख्या 500 में 125 कितनी संख्याएँ हैं। संख्या 500 में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चारों को निजी तौर पर लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण पूरा करते हैं, और 500 प्राप्त करते हैं

हमें जवाब मिला 0.04. अतः व्यंजक 5:125 का मान 0.04 है

बिना किसी शेषफल के संख्याओं का विभाजन

तो, आइए इकाई के बाद भागफल में अल्पविराम लगाएं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग की ओर आगे बढ़ते हैं:

शेषफल 4 में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी तौर पर लिखते हैं:

40−40=0. शेष में 0 प्राप्त हुआ। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है. 9 को 5 से विभाजित करने पर दशमलव 1.8 आता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. 84 को बिना किसी शेषफल के 5 से विभाजित करें

पहले हम हमेशा की तरह शेषफल के साथ 84 को 5 से विभाजित करते हैं:

निजी में 16 और शेष में 4 और प्राप्त हुए। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम निजी में अल्पविराम लगाते हैं, और शेष 4 में 0 जोड़ते हैं।

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में अंक आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी कुछ शेष है:

दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। किसी दशमलव भिन्न को किसी नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको यह करना होगा:

• दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाना होगा और सामान्य भाग की तरह गणना जारी रखनी होगी।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 से विभाजित करें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब पूरे भाग को 2 से विभाजित करते हैं। चार को दो से विभाजित करने पर दो होता है। हम ड्यूस को अकेले में लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि भाग से कोई शेषफल बचता है या नहीं:

4−4=0. शेषफल शून्य है. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि समाधान पूरा नहीं हुआ है। फिर हम सामान्य विभाजन की तरह गणना करना जारी रखते हैं। 8 को हटाएं और इसे 2 से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम भागफल में चार लिखते हैं और तुरंत इसे भाजक से गुणा करते हैं:

जवाब मिला 2.4. अभिव्यक्ति मान 4.8:2 2.4 के बराबर है

उदाहरण 2व्यंजक 8.43:3 का मान ज्ञात कीजिए

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दो के बाद तुरंत अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम आठ के नीचे छह लिखते हैं और शेषफल ज्ञात करते हैं:

हम 24 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी तौर पर लिखते हैं। भाग का शेषफल ज्ञात करने के लिए हम तुरंत इसे भाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेषफल शून्य है. शून्य अभी दर्ज नहीं हुआ है. लाभांश के अंतिम तीन लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

जवाब मिला 2.81. अतः व्यंजक 8.43:3 का मान 2.81 के बराबर है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

किसी दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न में विभाजित करने के लिए, लाभांश में और भाजक में, अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 से विभाजित करें

आइए इस अभिव्यक्ति को एक कोने के रूप में लिखें

अब, लाभांश और भाजक में, हम अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने अंकों के बाद भाजक में दशमलव बिंदु होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरित करना:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 अंश 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना कठिन नहीं है:

विभाजन को सुविधाजनक बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इस तथ्य के कारण है कि लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करने पर भागफल नहीं बदलता है। इसका मतलब क्या है?

ये एक है दिलचस्प विशेषताएंविभाजन। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है. अभिव्यक्ति 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस अभिव्यक्ति में लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए लाभांश और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम लाभांश और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक को दाईं ओर ले जाया था। अल्पविराम को हटाने के बाद, अंश 5.91 को अंश 59.1 में बदल दिया गया और अंश 1.7 को सामान्य संख्या 17 में बदल दिया गया।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा हुआ। यह इस तरह दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि लाभांश और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या यह निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक और भाजक में अल्पविराम दाईं ओर ले जाया जाएगा।

10, 100, 1000 से दशमलव विभाजन

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे। उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से विभाजित करें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से बाईं ओर ले जाया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 2.1:10. हम विभाजक को देखते हैं। हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाना होगा। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस स्थिति में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 0.21 मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। संख्या 100 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। संख्या 1000 में तीन शून्य हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001 से

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह से किया जाता है। लाभांश और भाजक में, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों तक ले जाना होगा जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से विभाजित करें। सबसे पहले, हम लाभांश और भाजक में अल्पविरामों को दाईं ओर उतने ही अंकों तक ले जाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हम लाभांश में और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव भिन्न 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव भिन्न 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत सरल है:

अतः व्यंजक 6.3:0.1 का मान 63 के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है. यह हल्का है. इस पद्धति का सार यह है कि लाभांश में अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है जितने भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस प्रकार हल करें। 6.3:0.1. आइए डिवाइडर को देखें. हमें इसमें रुचि है कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना होगा। हम अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं और 63 प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से विभाजित करने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस स्थिति में, अंत में एक और शून्य जोड़ना होगा। परिणामस्वरूप, हमें 630 मिलते हैं

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा:

6,3: 0,001 = 6300

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जैसा:

± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 …

जहां ± भिन्न चिह्न है: या तो + या -,

, — दशमलव बिंदु, जो संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच विभाजक के रूप में कार्य करता है,

डी के- दशमलव अंक।

साथ ही, अल्पविराम (इसके बाईं ओर) से पहले अंकों के क्रम का अंत होता है (जैसे न्यूनतम 1-प्रति अंक), और अल्पविराम के बाद (दाईं ओर) यह परिमित हो सकता है (एक विकल्प के रूप में, अल्पविराम के बाद कोई अंक नहीं हो सकता है), और अनंत हो सकता है।

दशमलव मान ± डी एम … डी 1 डी 0 , डी -1 डी -2 … एक वास्तविक संख्या है:

जो कि किसी परिमित या अनंत संख्या के पदों के योग के बराबर होता है।

दशमलव भिन्नों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व दशमलव संख्या प्रणाली में पूर्णांकों के अंकन का एक सामान्यीकरण है। पूर्णांक के दशमलव प्रतिनिधित्व में दशमलव बिंदु के बाद कोई अंक नहीं होता है, और इस प्रकार, यह प्रतिनिधित्व इस तरह दिखता है:

± डी एम … डी 1 डी 0 ,

और यह दशमलव संख्या प्रणाली में हमारी संख्या के रिकॉर्ड से मेल खाता है।

दशमलव- यह 1 को 10, 100, 1000 इत्यादि भागों में विभाजित करने का परिणाम है। ये भिन्न गणना के लिए काफी सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे उसी स्थितीय प्रणाली पर आधारित हैं जिस पर पूर्णांकों की गिनती और अंकन बनाया जाता है। इसके लिए धन्यवाद, प्रवेश और कार्रवाई के नियम दशमलवलगभग पूर्णांकों के समान ही।

दशमलव भिन्न लिखते समय, आपको हर को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है, यह संबंधित अंक द्वारा लिए गए स्थान से निर्धारित होता है। सबसे पहले, संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, फिर दाईं ओर एक दशमलव बिंदु लगाएं। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - सौवें की संख्या को, तीसरा - हजारवें की संख्या को, इत्यादि। दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ हैं दशमलव स्थानों.

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों का एक लाभ यह है कि उन्हें बहुत आसानी से साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्या (हमारी संख्या 5047 है) है मीटर; भाजकके बराबर होती है एनवां डिग्री 10, कहाँ एन- दशमलव स्थानों की संख्या (हमारे पास यह है एन=4):

जब दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग न हो तो हम दशमलव बिंदु के सामने शून्य लगाते हैं:

दशमलव भिन्नों के गुण.

1. दाहिनी ओर शून्य जोड़ने पर दशमलव नहीं बदलता:

13.6 =13.6000.

2. दशमलव के अंत में मौजूद शून्य हटा दिए जाने पर दशमलव नहीं बदलता है:

0.00123000 = 0.00123.

ध्यान!जो शून्य दशमलव के अंत में नहीं हैं उन्हें हटाया नहीं जाना चाहिए!

3. जब हम दशमलव बिंदु को क्रमशः 1-वेल, 2, 2, इत्यादि स्थानों पर दाहिनी ओर ले जाते हैं तो दशमलव भिन्न 10, 100, 1000 और इसी प्रकार कई बार बढ़ जाता है:

3.675 → 367.5 (अंश सौ गुना बढ़ गया है)।

4. जब हम दशमलव बिंदु को बाईं ओर क्रमशः 1-वेल, 2, 3, इत्यादि स्थितियों पर ले जाते हैं तो दशमलव अंश दस, एक सौ, एक हजार और इसी तरह कई बार कम हो जाता है:

1536.78 → 1.53678 (अंश एक हजार गुना छोटा हो गया है)।

दशमलव के प्रकार.

दशमलव से भाग दिया जाता है अंतिम, अनंतऔर आवधिक दशमलव.

अंत दशमलव -यह एक भिन्न है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है (या वे वहां बिल्कुल भी नहीं हैं), यानी। ऐसा लगता है:

एक वास्तविक संख्या को एक परिमित दशमलव अंश के रूप में तभी दर्शाया जा सकता है जब यह संख्या तर्कसंगत हो और जब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में लिखा जाए पी क्यूभाजक क्यू 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य भाजक नहीं है।

अनंत दशमलव.

इसमें अंकों का एक अनंत रूप से दोहराया जाने वाला समूह शामिल है जिसे कहा जाता है अवधि. अवधि कोष्ठक में लिखी गई है। उदाहरण के लिए, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

आवधिक दशमलव- यह एक ऐसा अनंत दशमलव अंश है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद के अंकों का क्रम एक निश्चित स्थान से शुरू होकर, अंकों का समय-समय पर दोहराया जाने वाला समूह होता है। दूसरे शब्दों में, आवधिक अंशएक दशमलव है जो इस तरह दिखता है:

ऐसा भिन्न आमतौर पर संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाता है:

संख्या समूह बी 1 … बी एल, जो दोहराया जाता है, है अंश अवधि, इस समूह में अंकों की संख्या है अवधि.

जब किसी आवर्त भिन्न में दशमलव बिंदु के ठीक बाद आवर्त आता है, तो भिन्न होती है शुद्ध आवधिक. जब अल्पविराम और प्रथम आवर्त के बीच संख्याएँ हों, तो भिन्न होती है मिश्रित आवधिक, और दशमलव बिंदु के बाद प्रथम आवर्त चिह्न तक अंकों का एक समूह - अंश पूर्वकाल.

उदाहरण के लिए, अंश 1,(23) = 1.2323… शुद्ध आवर्त है, और अंश 0.1(23)=0.12323… मिश्रित आवर्त है।

आवर्त भिन्नों का मुख्य गुण, जिसके कारण वे दशमलव अंशों के पूरे सेट से अलग होते हैं, इस तथ्य में निहित है कि आवधिक अंश और केवल वे तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित होता है:

कोई भी अनंत आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत, जब एक परिमेय संख्या को अनंत दशमलव अंश में विघटित किया जाता है, तो यह अंश आवर्त होगा।

अंकगणित में पाए जाने वाले कई भिन्नों में से, हर में 10, 100, 1000 वाले अंश विशेष ध्यान देने योग्य हैं - सामान्य तौर पर, दस की कोई भी शक्ति। इन भिन्नों का एक विशेष नाम और अंकन होता है।

दशमलव कोई भी संख्या है जिसका हर दस की घात है।

दशमलव उदाहरण:

ऐसे भिन्नों को अलग करना आख़िर क्यों आवश्यक था? उन्हें अपने स्वयं के प्रवेश प्रपत्र की आवश्यकता क्यों है? इसके कम से कम तीन कारण हैं:

1. दशमलव की तुलना करना बहुत आसान है। याद रखें: साधारण भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक-दूसरे से घटाना होगा और, विशेष रूप से, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा। दशमलव भिन्नों में, इनमें से किसी की भी आवश्यकता नहीं होती है;
2. गणना में कमी. दशमलव को अपने नियमों के अनुसार जोड़ें और गुणा करें, और थोड़े से अभ्यास से आप सामान्य दशमलव की तुलना में उनके साथ बहुत तेजी से काम कर पाएंगे;
3. रिकॉर्डिंग में आसानी. सामान्य भिन्नों के विपरीत, दशमलव को स्पष्टता की हानि के बिना एक पंक्ति में लिखा जाता है।

अधिकांश कैलकुलेटर दशमलव में भी उत्तर देते हैं। कुछ मामलों में, भिन्न रिकॉर्डिंग प्रारूप समस्याएँ पैदा कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी स्टोर में 2/3 रूबल की राशि में बदलाव की मांग करते हैं तो क्या होगा :)

दशमलव भिन्न लिखने के नियम

दशमलव भिन्नों का मुख्य लाभ सुविधाजनक एवं दृश्य अंकन है। अर्थात्:

दशमलव अंकन दशमलव अंकन का एक रूप है जहां पूर्णांक भाग को नियमित बिंदु या अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग किया जाता है। इस स्थिति में विभाजक (बिंदु या अल्पविराम) को ही दशमलव बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 0.3 (पढ़ें: "शून्य पूर्णांक, 3 दहाई"); 7.25 (7 पूर्णांक, 25 सौवां); 3.049 (3 पूर्णांक, 49 हजारवां)। सभी उदाहरण पिछली परिभाषा से लिए गए हैं।

लेखन में, अल्पविराम का प्रयोग आमतौर पर दशमलव बिंदु के रूप में किया जाता है। यहां और नीचे, पूरी साइट पर अल्पविराम का भी उपयोग किया जाएगा।

निर्दिष्ट प्रपत्र में एक मनमाना दशमलव अंश लिखने के लिए, आपको तीन सरल चरणों का पालन करना होगा:

1. अंश को अलग से लिखें;
2. दशमलव बिंदु को बायीं ओर उतने स्थानों तक खिसकाएँ जितने हर में शून्य हों। मान लें कि प्रारंभ में दशमलव बिंदु सभी अंकों के दाईं ओर है;
3. यदि दशमलव बिंदु स्थानांतरित हो गया है, और इसके बाद रिकॉर्ड के अंत में शून्य हैं, तो उन्हें काट दिया जाना चाहिए।

ऐसा होता है कि दूसरे चरण में अंश के पास बदलाव को पूरा करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं होते हैं। इस मामले में, लुप्त स्थान शून्य से भरे हुए हैं। और सामान्य तौर पर, स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना किसी भी संख्या के बाईं ओर शून्य की कोई भी संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है। यह कुरूप है, लेकिन कभी-कभी उपयोगी भी है।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथम काफी जटिल लग सकता है। वास्तव में, सब कुछ बहुत, बहुत सरल है - आपको बस थोड़ा अभ्यास करने की आवश्यकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। प्रत्येक भिन्न के लिए, उसका दशमलव अंकन इंगित करें:

पहले भिन्न का अंश: 73. हम दशमलव बिंदु को एक चिह्न से स्थानांतरित करते हैं (क्योंकि हर 10 है) - हमें 7.3 मिलता है।

दूसरे भिन्न का अंश: 9. हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से स्थानांतरित करते हैं (क्योंकि हर 100 है) - हमें 0.09 मिलता है। मुझे दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य और उसके पहले एक और शून्य जोड़ना पड़ा, ताकि ".09" जैसा अजीब अंकन न छूट जाए।

तीसरे भिन्न का अंश: 10029। हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं (क्योंकि हर 1000 है) - हमें 10.029 मिलता है।

अंतिम भिन्न का अंश: 10500। फिर से हम बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं - हमें 10.500 मिलता है। संख्या के अंत में अतिरिक्त शून्य होते हैं। हम उन्हें काट देते हैं - हमें 10.5 मिलता है।

पिछले दो उदाहरणों पर ध्यान दें: संख्याएँ 10.029 और 10.5। नियमों के अनुसार, दाईं ओर के शून्य को काट देना चाहिए, जैसा कि किया जाता है अंतिम उदाहरण. हालाँकि, किसी भी स्थिति में आपको संख्या के अंदर मौजूद शून्यों (जो अन्य अंकों से घिरे हुए हैं) के साथ ऐसा नहीं करना चाहिए। इसीलिए हमें 10.029 और 10.5 मिले, न कि 1.29 और 1.5।

इसलिए, हमने दशमलव भिन्नों को लिखने की परिभाषा और रूप का पता लगा लिया। आइए अब जानें कि साधारण भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें - और इसके विपरीत।

भिन्न से दशमलव में बदलें

ए/बी फॉर्म के एक सरल संख्यात्मक अंश पर विचार करें। आप भिन्न के मूल गुण का उपयोग कर सकते हैं और अंश तथा हर को ऐसी संख्या से गुणा कर सकते हैं कि आपको नीचे दस की घात प्राप्त हो। लेकिन ऐसा करने से पहले, कृपया निम्नलिखित पढ़ें:

ऐसे हर हैं जो दस की घात तक कम नहीं होते हैं। ऐसे भिन्नों को पहचानना सीखें, क्योंकि नीचे वर्णित एल्गोरिदम के अनुसार उनके साथ काम नहीं किया जा सकता है।

इतना ही। खैर, यह कैसे समझें कि हर को दस की घात तक घटाया गया है या नहीं?

उत्तर सरल है: हर को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें। यदि विस्तार में केवल कारक 2 और 5 मौजूद हैं, तो इस संख्या को दस की घात तक कम किया जा सकता है। यदि अन्य संख्याएँ (3, 7, 11 - जो भी हों) हों, तो आप दस की घात के बारे में भूल सकते हैं।

काम। जांचें कि क्या निर्दिष्ट भिन्नों को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है:

हम इन भिन्नों के हरों को लिखते और गुणनखंडित करते हैं:

20 = 4 5 = 2 2 5 - केवल संख्याएँ 2 और 5 मौजूद हैं। इसलिए, भिन्न को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।

12 = 4 3 = 2 2 3 - एक "निषिद्ध" गुणनखंड 3 है। अंश को दशमलव के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

640 = 8 8 10 = 2 3 2 3 2 5 = 2 7 5। सब कुछ क्रम में है: संख्या 2 और 5 के अलावा कुछ भी नहीं है। एक भिन्न को दशमलव के रूप में दर्शाया जाता है।

48 = 6 8 = 2 3 2 3 = 2 4 3। कारक 3 फिर से "सतह" हुआ। इसे दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता।

तो, हमने हर का पता लगा लिया - अब हम दशमलव भिन्नों पर स्विच करने के लिए संपूर्ण एल्गोरिदम पर विचार करेंगे:

1. मूल भिन्न के हर का गुणनखंड करें और सुनिश्चित करें कि यह आम तौर पर दशमलव के रूप में प्रस्तुत करने योग्य है। वे। जांचें कि विस्तार में केवल कारक 2 और 5 मौजूद हैं। अन्यथा, एल्गोरिदम काम नहीं करता है;
2. गिनें कि अपघटन में कितने दो और पांच मौजूद हैं (वहां कोई अन्य संख्या नहीं होगी, याद है?)। ऐसा अतिरिक्त गुणक चुनें जिससे दो और पाँच की संख्या बराबर हो।
3. दरअसल, मूल भिन्न के अंश और हर को इस कारक से गुणा करें - हमें वांछित प्रतिनिधित्व मिलता है, यानी। हर दस की घात होगा.

बेशक, अतिरिक्त कारक भी केवल दो और पांच में ही विघटित होगा। साथ ही, अपने जीवन को जटिल न बनाने के लिए, आपको सभी संभावित कारकों में से सबसे छोटे कारक को चुनना चाहिए।

और एक और बात: यदि मूल भिन्न में कोई पूर्णांक भाग है, तो इस भिन्न को अनुचित अंश में बदलना सुनिश्चित करें - और उसके बाद ही वर्णित एल्गोरिथम लागू करें।

काम। इन संख्याओं को दशमलव में बदलें:

आइए पहले भिन्न के हर का गुणनखंड करें: 4 = 2 · 2 = 2 2। इसलिए, भिन्न को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है। विस्तार में दो दो हैं और पाँच नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 2 = 25 है। दो और पाँच की संख्या इसके बराबर होगी। अपने पास:

अब दूसरे अंश से निपटते हैं। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि 24 = 3 8 = 3 2 3 - विस्तार में एक त्रिगुण है, इसलिए भिन्न को दशमलव के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

अंतिम दो भिन्नों में हर क्रमशः 5 (एक अभाज्य संख्या) और 20 = 4 5 = 2 2 5 हैं - हर जगह केवल दो और पाँच मौजूद हैं। उसी समय, पहले मामले में, "पूर्ण खुशी के लिए", गुणक 2 पर्याप्त नहीं है, और दूसरे में - 5। हमें मिलता है:

दशमलव से सामान्य पर स्विच करना

रिवर्स रूपांतरण - दशमलव अंकन से सामान्य तक - बहुत आसान है। कोई प्रतिबंध और विशेष जांच नहीं है, इसलिए आप हमेशा एक दशमलव अंश को क्लासिक "दो मंजिला" में बदल सकते हैं।

अनुवाद एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. दशमलव के बाईं ओर के सभी शून्यों के साथ-साथ दशमलव बिंदु को भी काट दें। यह वांछित भिन्न का अंश होगा. मुख्य बात - इसे ज़्यादा मत करो और अन्य संख्याओं से घिरे आंतरिक शून्य को पार मत करो;
2. गणना करें कि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में कितने अंक हैं। संख्या 1 लें और जितने अक्षर आपने गिने हैं उतने शून्य दाईं ओर जोड़ें। यह हर होगा;
3. दरअसल, उस भिन्न को लिखिए जिसका अंश और हर हमें अभी मिला है। यदि संभव हो तो कम करें। यदि मूल भिन्न में पूर्णांक भाग था, तो अब हमें एक अनुचित भिन्न मिलेगा, जो आगे की गणना के लिए बहुत सुविधाजनक है।

काम। दशमलव को साधारण में बदलें: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

हम बाईं ओर के शून्य और अल्पविराम को हटा देते हैं - हमें निम्नलिखित संख्याएँ मिलती हैं (ये अंश होंगे): 8; 3107; 225; 72008.

दशमलव बिंदु के बाद पहले और दूसरे अंश में 3 दशमलव स्थान होते हैं, दूसरे में - 2, और तीसरे में - 4 दशमलव स्थान होते हैं। हमें हर मिलते हैं: 1000; 1000; 100; 10000.

अंत में, आइए अंशों और हरों को साधारण भिन्नों में संयोजित करें:

जैसा कि उदाहरणों से देखा जा सकता है, परिणामी भिन्न को अक्सर कम किया जा सकता है। एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि किसी भी दशमलव अंश को एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। विपरीत परिवर्तन सदैव संभव नहीं होता।

गणित में विभिन्न प्रकार केइसकी शुरुआत से ही संख्याओं का अध्ययन किया गया है। मौजूद एक बड़ी संख्या कीसंख्याओं का समुच्चय और उपसमुच्चय। इनमें पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों की परिभाषा

भिन्न वे संख्याएँ हैं जिनमें एक इकाई का पूरा भाग और भिन्न शामिल होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच भिन्नात्मक संख्याओं की अनंत संख्या होती है। गणित में, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं, चूँकि पूर्णांकों के साथ और प्राकृतिक संख्या. यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।

लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है

सामान्य भिन्न

साधारण भिन्न पूर्णांक भाग a और भिन्नात्मक पट्टी b/c के माध्यम से लिखी गई दो संख्याएँ हैं। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है तो सामान्य भिन्न अत्यंत उपयोगी हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय परिचालन करना अधिक सुविधाजनक है। शीर्ष भाग को अंश कहा जाता है, निचला भाग हर है।

साधारण भिन्नों के साथ क्रियाएँ: उदाहरण

भिन्न का मूल गुण. परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई संख्या के बराबर है। भिन्न का यह गुण जोड़ के लिए हर लाने में मदद करता है (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या भिन्न को कम करने में मदद करता है, जिससे गिनती करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26

एक सामान्य भाजक में कमी.किसी भिन्न का हर लाने के लिए, आपको हर को गुणनखंडों के रूप में निरूपित करना होगा, और फिर लुप्त संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2. हम देखते हैं कि हर में दो का अंतर है, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।

यौगिक भिन्न- हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ साधारण भिन्न। (ए बी/सी) एक मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, भिन्न के सामने की संख्या को हर से गुणा करें और फिर इसे अंश में जोड़ें: (ए*सी + बी)/सी।

भिन्नों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

केवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय सुप्रसिद्ध अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - भिन्नात्मक बार की उपस्थिति। समान हर वाली भिन्नों को जोड़ते समय केवल दोनों भिन्नों के अंशों को जोड़ना आवश्यक है, हर अपरिवर्तित रहते हैं। उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

यदि दो भिन्नों के हर हैं अलग-अलग नंबरसबसे पहले आपको उन्हें एक सामान्य स्थिति में लाना होगा (यह कैसे करें इसकी चर्चा ऊपर की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत के अनुसार होता है: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9।

गुणन और भाग। कार्रवाईगुणन द्वारा भिन्नों को निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार घटित किया जाता है: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर भिन्न को कम कर सकते हैं। दूसरी भाषा में, अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य होते हैं: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।

एक साधारण भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलना होगा और पहले चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार दो भिन्नों का गुणन करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5

दशमलव

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का अधिक लोकप्रिय और आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला संस्करण है। इन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान होता है। दशमलव अंश की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर, दशमलव बिंदु के बाद, भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। मूल रूप से, दशमलव भिन्न मिश्रित भिन्न होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणज से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए उनका नाम। दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ पूर्णांकों के साथ संक्रियाओं के समान हैं, क्योंकि वे भी दशमलव संख्या प्रणाली में लिखी जाती हैं। इसके अलावा, सामान्य भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब यह है कि वे अनंत हो सकते हैं। इन्हें 7,(3) के रूप में लिखा जाता है। निम्नलिखित प्रविष्टि पढ़ी जाती है: अवधि में सात पूरे, तीन दसवें।

दशमलव संख्याओं के साथ बुनियादी संचालन

दशमलव भिन्नों का जोड़ और घटाव।भिन्नों के साथ क्रिया करना पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल वैसे ही हैं जैसे प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय उपयोग किए जाते हैं। इन्हें भी इसी तरह एक कॉलम माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो तो लुप्त स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12. कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करने की आवश्यकता है: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और इसे एक कॉलम में गिना जा सकता है।

यदि उनमें से एक का रूप अपरिमेय है तो दशमलव भिन्नों के साथ संक्रियाएँ नहीं की जा सकतीं। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण भिन्नों में बदलना होगा, और फिर पहले वर्णित तकनीकों का उपयोग करना होगा।

गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान है। उन्हें केवल अल्पविराम को अनदेखा करके, एक कॉलम से गुणा किया जा सकता है, और फिर अंतिम मान में अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है, दशमलव बिंदु के बाद दो दशमलव अंशों के योग के समान अंकों की संख्या। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345. सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं तो इससे कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

विभाजन भी प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के साथ मेल खाता है, लेकिन थोड़े विषयांतर के साथ। किसी कॉलम में दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा, और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अपूर्ण विभाजन के साथ, आप दाहिनी ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य भी जोड़ सकते हैं।

दशमलव भिन्नों के साथ क्रियाओं के उदाहरण.अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत उपयोगी उपकरण है। वे प्राकृतिक, पूर्ण संख्याओं की सुविधा और सामान्य भिन्नों की सटीकता को जोड़ते हैं। इसके अलावा, एक भिन्न को दूसरे भिन्न में बदलना काफी सरल है। भिन्नों वाली संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाली संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।

1. जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. प्रभाग: 3.6: 0.6 = 6

इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। तो, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।

भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही जानना चाहिए। लेख में दो प्रकार के भिन्नों पर विचार किया गया - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी आसान है, और यदि आपके पास प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन की पूरी महारत है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्नात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर सकते हैं।

उदाहरण:

दशमलव में अल्पविराम अलग होता है:
1) भिन्न का पूर्णांक भाग;
2) एक साधारण भिन्न के हर में जितने चिह्न होते हैं उतने ही शून्य होते हैं।

दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

उदाहरण के लिए, \(0.35\) में लिखा है "शून्य बिंदु, पैंतीस सौवां"। तो हम लिखते हैं: \(0 \frac(35)(100)\). पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, अर्थात, इसे आसानी से लिखा नहीं जा सकता है, और भिन्नात्मक भाग को \(5\) से कम किया जा सकता है।
हमें मिलता है: \(0,35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\).
अधिक उदाहरण: \(2,14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7,026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\).

यह परिवर्तन और भी तेजी से किया जा सकता है:

अंश में पूर्ण संख्या को अल्पविराम के बिना लिखें, और हर में - एक और उतने ही शून्य, जितने अंकों को अल्पविराम से अलग किया गया था।

जटिल लगता है, इसलिए चित्र देखें:

आप सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलते हैं?

ऐसा करने के लिए, भिन्न के अंश और हर को ऐसी संख्या से गुणा करें कि हर \(10\), \(100\),\(1000\) आदि हो, और फिर परिणाम को दशमलव रूप में लिखें।

उदाहरण:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10)\) \(=0,6\); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2,52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0,035\).

यह विधि तब अच्छी तरह से काम करती है जब भिन्न का हर है: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)..., आदि, यानी, जब यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि क्या गुणा करने की आवश्यकता है। हालाँकि, अन्य मामलों में:

भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए अंश को हर से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(7)(8)\) को \(7\) को \(8\) से विभाजित करके परिवर्तित करना आसान है, यह अनुमान लगाने की तुलना में कि \(1000\) प्राप्त करने के लिए \(8\) को \(125\) से गुणा किया जा सकता है।

सभी सामान्य भिन्न बिना किसी समस्या के दशमलव में नहीं बदलते। अधिक सटीक रूप से, हर कोई बदलता है, लेकिन ऐसे परिवर्तन के परिणाम को लिखना बहुत मुश्किल हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(9)(17)\) दशमलव रूप में \(0.52941...\) जैसा दिखेगा - और इसी तरह, गैर-दोहराए जाने वाले अंकों की एक अंतहीन श्रृंखला। ऐसे भिन्नों को सामान्यतः साधारण अंशों के रूप में ही छोड़ दिया जाता है।

हालाँकि, कुछ भिन्न जो दशमलव रूप में अंकों की अनंत संख्या देते हैं, लिखे जा सकते हैं। ऐसा तब होता है जब इस पंक्ति में संख्याएँ दोहराई जाती हैं। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(2)(3)\) दशमलव रूप में इस तरह दिखता है \(0.66666…\) - छक्कों की एक अनंत श्रृंखला। इसे इस प्रकार लिखा जाता है: \(0,(6)\). कोष्ठक की सामग्री केवल असीम रूप से दोहराए जाने वाला भाग (तथाकथित भिन्न अवधि) है।

अधिक उदाहरण: \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3,7037037037…=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5.2636363636…=5.2(63)\).

दशमलव के प्रकार:

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलव अंशों का जोड़ (घटाना) जोड़ (घटाव) के समान ही किया जाता है: मुख्य बात यह है कि दूसरे नंबर में अल्पविराम पहले में अल्पविराम के नीचे होना चाहिए।

दशमलव गुणन

दो दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा। फिर पहली संख्या और दूसरी में दशमलव स्थानों की संख्या जोड़ें, और फिर दाएँ से बाएँ गिनती करते हुए अंतिम संख्या में दशमलव स्थानों की परिणामी संख्या को अलग करें।

किसी चित्र को \(10\) बार पढ़ने की तुलना में \(1\) बार देखना बेहतर है, इसलिए आनंद लें:

दशमलव विभाजन

किसी दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरी संख्या (भाजक) में अल्पविराम को तब तक ले जाना होगा जब तक कि वह पूर्णांक न बन जाए। फिर पहली संख्या (विभाज्य) में अल्पविराम को समान मात्रा से हटाएँ। फिर आपको परिणामी संख्याओं को हमेशा की तरह विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, उत्तर में, आपको लाभांश में "अल्पविराम के ऊपर जाते ही" अल्पविराम लगाना याद रखना होगा।

फिर, एक चित्र किसी भी पाठ की तुलना में सिद्धांत को बेहतर ढंग से समझाएगा।

व्यवहार में, विभाजन को एक साधारण भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना आसान है, फिर अंश और हर को गुणा करके अल्पविराम हटा दें (या बस अल्पविराम को तुरंत हटा दें, जैसा कि हमने ऊपर किया था), और फिर परिणामी संख्याओं को कम करें।

\(13,12:1,6=\)\(\frac(13,12)(1,6)\) \(=\) \(\frac(13.12 100)(1.6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\) \(=8,2\).

उदाहरण . \(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8\) की गणना करें।

समाधान :

\(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8=\)