दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में कैसे विभाजित करें। दशमलव विभाजन: नियम, उदाहरण, समाधान

आयत?

समाधान। चूँकि 2.88 डीएम2 = 288 सेमी2, और 0.8 डीएम = 8 सेमी, आयत की लंबाई 288:8 है, यानी 36 सेमी = 3.6 डीएम। हमें एक संख्या 3.6 इस प्रकार मिली कि 3.6 = 0.8 = 2.88। यह 2.88 का भागफल 0.8 से विभाजित है।

वे लिखते हैं: 2.88: 0.8 = 3.6.

उत्तर 3.6 डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, भाजक 0.8 और लाभांश 2.88 को 10 से गुणा करें (अर्थात उनमें अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएं) और 28.8 को 8 से विभाजित करें। फिर से हमें मिलता है: 28.8: 8 = 3.6।

किसी संख्या को दशमलव भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको चाहिए:

1) भाज्य और भाजक में, अल्पविराम को दाहिनी ओर उतने अंकों तक ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हों;
2) उसके बाद किसी प्राकृत संख्या से भाग करें।

उदाहरण 1 12.096 को 2.24 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में 2 अंकों के अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएँ। हमें संख्याएँ 1209.6 और 224 मिलती हैं। चूँकि 1209.6: 224 = 5.4, तो 12.096: 2.24 = 5.4।

उदाहरण 2 4.5 को 0.125 से विभाजित करें। यहां भाज्य और भाजक में अल्पविराम 3 अंकों को दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। चूंकि लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है, इसलिए हम इसमें दाईं ओर दो शून्य जोड़ देंगे। अल्पविराम हटाने के बाद, हमें मिलता है नंबर 4500 और 125. चूँकि 4500: 125 = 36, तो 4.5: 0.125 = 36।

उदाहरण 1 और 2 से यह देखा जा सकता है कि जब किसी संख्या को अनुचित भिन्न से विभाजित किया जाता है, तो यह संख्या घटती है या बदलती नहीं है, और उचित भिन्न से विभाजित करने पर यह संख्या घटती है या नहीं बदलती है। दशमलवयह बढ़ता है: 12.096 > 5.4, और 4.5< 36.

2.467 को 0.01 से विभाजित करें। लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 2 अंकों से दाईं ओर ले जाने पर, हम पाते हैं कि भागफल 246.7: 1 है, अर्थात 246.7 है।

इसलिए, और 2.467: 0.01 = 246.7। यहाँ से हमें नियम मिलता है:

दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, इसमें अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से ले जाना आवश्यक है जितने भाजक में इकाई के सामने शून्य हों (अर्थात् 10, 100, 1000 से गुणा करें)।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको पहले अंत में विशेषता देनी होगी अंशोंकुछ शून्य.

उदाहरण के लिए, 56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568,700।

दशमलव भिन्न को विभाजित करने का नियम बनाइए: दशमलव भिन्न से; 0.1 से; 0.01; 0.001.
भाग को 0.01 से बदलने के लिए किस संख्या को गुणा किया जा सकता है?

1443. भागफल ज्ञात करें और गुणन द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.8: 0.5; बी) 3.51: 2.7; ग) 14.335: 0.61।

1444. भागफल ज्ञात करें और भाग द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.096: 0.12; बी) 0.126: 0.9; ग) 42.105: 3.5.

ए) 7.56: 0.6; छ) 6.944: 3.2; एम) 14.976: 0.72;
बी) 0.161: 0.7; ज) 0.0456: 3.8; ओ) 168.392: 5.6;
ग) 0.468: 0.09; i) 0.182: 1.3; एन) 24.576: 4.8;
घ) 0.00261: 0.03; जे) 131.67: 5.7; पी) 16.51: 1.27;
ई) 0.824: 0.8; के) 189.54: 0.78; ग) 46.08: 0.384;
ई) 10.5: 3.5; एम) 636: 0.12; टी) 22.256: 20.8.

1446. भाव लिखिए:

ए) 10 - 2.4x = 3.16; ई) 4.2पी - पी = 5.12;
बी) (वाई + 26.1) 2.3 = 70.84; च) 8.2t - 4.4t = 38.38;
सी) (जेड - 1.2): 0.6 = 21.1; जी) (10.49 - एस): 4.02 = 0.805;
घ) 3.5 मी + मी = 9.9; ज) 9k - 8.67k = 0.6699।

1460. दो टैंकों में 119.88 टन गैसोलीन था। पहले टैंक में दूसरे की तुलना में 1.7 गुना अधिक गैसोलीन था। प्रत्येक टैंक में कितना गैसोलीन था?

1461. तीन भूखंडों से 87.36 टन गोभी की कटाई की गई। वहीं, पहले खंड से 1.4 गुना और तीसरे खंड की तुलना में दूसरे खंड से 1.8 गुना अधिक संग्रह किया गया। प्रत्येक भूखंड से कितने टन गोभी की कटाई की गई?

1462. एक कंगारू जिराफ से 2.4 गुना छोटा है, और एक जिराफ कंगारू से 2.52 मीटर ऊंचा है। जिराफ की ऊंचाई कितनी है और कंगारू की ऊंचाई कितनी है?

1463. दो पैदल यात्री एक दूसरे से 4.6 किमी की दूरी पर थे। वे एक-दूसरे की ओर गए और 0.8 घंटे में मिले। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक की गति दूसरे की गति से 1.3 गुना है।

1464. निम्नलिखित कार्य करें:

ए) (130.2 - 30.8): 2.8 - 21.84:
बी) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
ग) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
घ) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
ई) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8): 0.25 - 0.8;
च) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9।

1465. कल्पना कीजिए सामान्य अंशदशमलव के रूप में और मान ज्ञात कीजिए अभिव्यक्ति:

1466. मौखिक रूप से गणना करें:

ए) 25.5:5; बी) 9 0.2; ग) 0.3:2; घ) 6.7 - 2.3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. कार्य खोजें:

ए) 0.1 0.1; घ) 0.4 0.4; छ) 0.7 0.001;
बी) 1.3 1.4; ई) 0.06 0.8; ज) 100 0.09;
ग) 0.3 0.4; च) 0.01 100; i) 0.3 0.3 0.3.

1468. खोजें: संख्या 30 में से 0.4; 0.5 संख्या 18; 0.1 संख्या 6.5; 2.5 संख्या 40; 0.12 संख्या 100; 1000 में से 0.01.

1469. a = 10 के साथ अभिव्यक्ति 5683.25a का क्या अर्थ है; 0.1; 0.01; 100; 0.001; 1000; 0.00001?

1470. सोचें कि कौन सी संख्याएँ सटीक हो सकती हैं, कौन सी संख्याएँ अनुमानित हैं:

क) कक्षा में 32 छात्र हैं;
बी) मास्को से कीव की दूरी 900 किमी है;
ग) समांतर चतुर्भुज में 12 किनारे हैं;
घ) टेबल की लंबाई 1.3 मीटर;
ई) मास्को की जनसंख्या 8 मिलियन लोग है;
च) एक बैग में 0.5 किलो आटा;
छ) क्यूबा द्वीप का क्षेत्रफल 105,000 किमी2 है;
ज) में स्कूल पुस्तकालय 10,000 पुस्तकें;
i) एक स्पैन 4 वर्शोक के बराबर है, और एक वर्शोक 4.45 सेमी (वर्सोक) के बराबर है
फालानक्स की लंबाई तर्जनी).

1471. असमानता के तीन समाधान खोजें:

ए) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
बी) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. गणना किए बिना, भावों के मूल्यों की तुलना करें:

ए) 24 0.15 और (24 - 15): 100;

बी) 0.084 0.5 और (84 5): 10,000।
अपना जवाब समझाएं।

1473. संख्याओं को पूर्णांकित करें:

1474. विभाजन करें:

ए) 22.7:10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
बी) 304: 100; 42.5:100; 2.5:100; 0.9:100; 0.03:100;
ग) 143.4:12; 1.488:124; 0.3417:34; 159.9:235; 65.32:568.

1475. एक साइकिल चालक 12 किमी/घंटा की गति से गाँव से निकला। 2 घंटे के बाद, एक और साइकिल चालक उसी गाँव से विपरीत दिशा में चला गया,
और दूसरे की गति पहले की गति से 1.25 गुना है। दूसरे साइकिल चालक के जाने के 3.3 घंटे बाद उनके बीच की दूरी क्या है?

1476. नाव की अपनी गति 8.5 किमी/घंटा है, और धारा की गति 1.3 किमी/घंटा है। धारा के साथ नाव 3.5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी? नाव 5.6 घंटे में धारा के प्रतिकूल कितनी दूरी तय करेगी?

1477. संयंत्र ने 3.75 हजार भागों का निर्माण किया और उन्हें 950 रूबल की कीमत पर बेचा। एक रचना। एक हिस्से के निर्माण के लिए संयंत्र की लागत 637.5 रूबल थी। इन भागों की बिक्री से कारखाने द्वारा अर्जित लाभ ज्ञात कीजिए।

1478. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की चौड़ाई 7.2 सेमी है, जो है इस बॉक्स का आयतन ज्ञात करें और अपने उत्तर को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें।

1479. पोप कार्लो ने पिएरो को हर दिन 4 सैनिक, और पिनोच्चियो को पहले दिन 1 सैनिक, और अगर वह अच्छा व्यवहार करता है तो हर अगले दिन 1 सैनिक और देने का वादा किया। पिनोचियो नाराज था: उसने फैसला किया कि, चाहे वह कितनी भी कोशिश कर ले, वह कभी भी पिय्रोट जितना सॉलिडो हासिल नहीं कर पाएगा। इस बारे में सोचें कि क्या पिनोच्चियो सही है।

1480. 231 मीटर बोर्ड 3 अलमारियों और 9 बुकशेल्फ़ों में गए, और शेल्फ़ की तुलना में 4 गुना अधिक सामग्री कैबिनेट में गई। कितने मीटर बोर्ड कैबिनेट में जाते हैं और कितने - शेल्फ में?

1481. समस्या का समाधान करें:
1) पहली संख्या 6.3 है और दूसरी संख्या है। तीसरा नंबर दूसरा है. दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

2) पहली संख्या 8.1 है। दूसरा नंबर पहले नंबर से और तीसरे नंबर से है। दूसरी और तीसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

1482. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. निजी का मूल्य ज्ञात कीजिये:

ए) 17.01: 6.3; घ) 1.4245: 3.5; छ) 0.02976: 0.024;
बी) 1.598: 4.7; ई)193.2:8.4; ज) 11.59: 3.05;
ग) 39.156: 7.8; ई) 0.045: 0.18; i) 74.256: 18.2.

1484. घर से स्कूल तक का रास्ता 1.1 किमी है। लड़की इस रास्ते को 0.25 घंटे में तय करती है। लड़की कितनी तेजी से चल रही है?

1485. दो कमरों के अपार्टमेंट में एक कमरे का क्षेत्रफल 20.64 मीटर 2 है, और दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 2.4 गुना कम है। इन दोनों कमरों का क्षेत्रफल मिलाकर ज्ञात कीजिए।

1486. ​​इंजन 7.5 घंटे में 111 लीटर ईंधन की खपत करता है। 1.8 घंटे में इंजन कितने लीटर ईंधन का उपयोग करेगा?
1487. 3.5 dm3 आयतन वाले एक धातु के हिस्से का द्रव्यमान 27.3 किलोग्राम है। उसी धातु से बनी एक अन्य वस्तु का द्रव्यमान 10.92 किलोग्राम है। दूसरे भाग का आयतन कितना है?

1488. 2.28 टन गैसोलीन दो पाइपों के माध्यम से टैंक में डाला गया। पहले पाइप से प्रति घंटे 3.6 टन गैसोलीन आता था और यह 0.4 घंटे तक खुला रहता था। दूसरे पाइप से प्रति घंटे पहले पाइप से 0.8 टन कम गैसोलीन आता था। दूसरा पाइप कितनी देर तक खुला था?

1489. समीकरण हल करें:

ए) 2.136: (1.9 - एक्स) = 7.12; ग) 0.2t + 1.7t - 0.54 = 0.22;
बी) 4.2 (0.8 + वाई) = 8.82; घ) 5.6 ग्राम - 2z - 0.7z + 2.65 = 7.

1490. 13.3 टन वजन का सामान तीन वाहनों के बीच वितरित किया गया। पहली कार 1.3 गुना अधिक भरी हुई थी, और दूसरी - तीसरी कार की तुलना में 1.5 गुना अधिक। प्रत्येक वाहन पर कितने टन माल लदा हुआ था?

1491. दो पैदल यात्री एक ही स्थान से एक ही समय पर विपरीत दिशाओं में निकले। 0.8 घंटे के बाद, उनके बीच की दूरी 6.8 किमी के बराबर हो गई। एक पैदल यात्री की गति दूसरे की गति से 1.5 गुना थी। प्रत्येक पैदल यात्री की गति ज्ञात कीजिए।

1492. निम्नलिखित कार्य करें:

ए) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2): 5.6;
बी) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
ग) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
डी) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5।

1493. एक डॉक्टर स्कूल आया और टीकाकरण के लिए 0.25 किलोग्राम सीरम लाया। यदि प्रत्येक इंजेक्शन के लिए 0.002 किलोग्राम सीरम की आवश्यकता हो तो वह कितने बच्चों को इंजेक्शन दे सकता है?

1494. 2.8 टन जिंजरब्रेड स्टोर में लाया गया। दोपहर के भोजन से पहले, ये जिंजरब्रेड कुकीज़ बेची गईं। बेचने के लिए कितने टन जिंजरब्रेड बचा है?

1495. कपड़े के एक टुकड़े से 5.6 मीटर काट दिया गया। यदि इस टुकड़े को काटा गया तो टुकड़े में कितने मीटर कपड़ा था?

एन.या. विलेनकिन, वी. आई. ज़ोखोव, ए. एस. चेस्नोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड, गणित ग्रेड 5, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

पिछले पाठ में, हमने दशमलव भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा (पाठ देखें " दशमलव भिन्नों को जोड़ना और घटाना")। साथ ही, उन्होंने अनुमान लगाया कि सामान्य "दो-कहानी" अंशों की तुलना में गणना कितनी सरल है।

दुर्भाग्य से, दशमलव भिन्नों के गुणन और विभाजन के साथ, यह प्रभाव उत्पन्न नहीं होता है। कुछ मामलों में, दशमलव अंकन इन परिचालनों को और भी जटिल बना देता है।

सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा प्रस्तुत करें। हम उनसे अक्सर मिलेंगे, न कि केवल इस पाठ में।

किसी संख्या का महत्वपूर्ण हिस्सा ट्रेलर सहित पहले और अंतिम गैर-शून्य अंक के बीच सब कुछ है। हम केवल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, दशमलव बिंदु पर ध्यान नहीं दिया जाता है।

संख्या के सार्थक भाग में सम्मिलित अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उन्हें दोहराया जा सकता है और शून्य के बराबर भी किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कई दशमलव भिन्नों पर विचार करें और उनके संगत महत्वपूर्ण भागों को लिखें:

1. 91.25 → 9125 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (केवल एक महत्वपूर्ण अंक है: 3)।

कृपया ध्यान दें: संख्या के महत्वपूर्ण भाग के अंदर शून्य कहीं नहीं जाते हैं। जब हमने दशमलव भिन्नों को सामान्य अंशों में बदलना सीखा तो हम पहले ही कुछ इसी तरह का सामना कर चुके हैं (पाठ "दशमलव भिन्न" देखें)।

यह बिंदु इतना महत्वपूर्ण है, और यहां त्रुटियां इतनी बार होती हैं कि मैं निकट भविष्य में इस विषय पर एक परीक्षण प्रकाशित करूंगा। अभ्यास अवश्य करें! और हम, एक महत्वपूर्ण भाग की अवधारणा से लैस, वास्तव में, पाठ के विषय पर आगे बढ़ेंगे।

दशमलव गुणन

गुणन संक्रिया में लगातार तीन चरण होते हैं:

1. प्रत्येक भिन्न के लिए, महत्वपूर्ण भाग लिखिए। आपको दो साधारण पूर्णांक मिलेंगे - बिना किसी हर और दशमलव बिंदु के;
2. इन संख्याओं को किसी भी सुविधाजनक तरीके से गुणा करें। सीधे तौर पर, यदि संख्याएँ छोटी हैं, या किसी कॉलम में हैं। हमें वांछित भिन्न का महत्वपूर्ण भाग प्राप्त होता है;
3. संबंधित महत्वपूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए मूल भिन्नों में दशमलव बिंदु को कहां और कितने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है, इसका पता लगाएं। पिछले चरण में प्राप्त महत्वपूर्ण भाग पर रिवर्स शिफ्ट निष्पादित करें।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि महत्वपूर्ण भाग के किनारों पर शून्य को कभी भी ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम की अनदेखी करने से त्रुटियां होती हैं।

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 1.08;
3. 132.5 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 10,000.

हम पहली अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं: 0.28 12.5।

1. आइए इस अभिव्यक्ति से संख्याओं के महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 28 और 125;
2. उनका उत्पाद: 28 125 = 3500;
3. पहले गुणक में, दशमलव बिंदु को 2 अंक दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है (0.28 → 28), और दूसरे में - एक और 1 अंक द्वारा। कुल मिलाकर, तीन अंकों द्वारा बाईं ओर बदलाव की आवश्यकता है: 3500 → 3.500 = 3.5।

अब आइए व्यंजक 6.3 1.08 से निपटें।

1. आइए महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 63 और 108;
2. उनका गुणनफल: 63 108 = 6804;
3. पुनः, दाईं ओर दो बदलाव: क्रमशः 2 और 1 अंक से। कुल मिलाकर - फिर से दाईं ओर 3 अंक, इसलिए विपरीत बदलाव बाईं ओर 3 अंक होगा: 6804 → 6.804। इस बार अंत में कोई शून्य नहीं है.

हमें तीसरी अभिव्यक्ति मिली: 132.5 0.0034।

1. महत्वपूर्ण भाग: 1325 और 34;
2. उनका उत्पाद: 1325 34 = 45,050;
3. पहले अंश में, दशमलव बिंदु 1 अंक से दाईं ओर जाता है, और दूसरे में - 4 से अधिक। कुल: दाईं ओर 5। हम बायीं ओर 5 से बदलाव करते हैं: 45050 → .45050 = 0.4505। शून्य को अंत में हटा दिया गया, और सामने जोड़ दिया गया ताकि कोई "नग्न" दशमलव बिंदु न छूटे।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति: 0.0108 1600.5.

1. हम महत्वपूर्ण भाग लिखते हैं: 108 और 16005;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 108 16 005 = 1 728 540;
3. हम दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को गिनते हैं: पहली संख्या में 4 हैं, दूसरी में - 1। कुल मिलाकर - फिर से 5। हमारे पास है: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854। अंत में, "अतिरिक्त" शून्य हटा दिया गया।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति: 5.25 10,000।

1. महत्वपूर्ण भाग: 525 और 1;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 525 1 = 525;
3. पहला अंश 2 अंकों में दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, और दूसरा अंश 4 अंकों में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (10,000 → 1.0000 = 1)। बाईं ओर कुल 4 − 2 = 2 अंक। हम दाईं ओर 2 अंकों का रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 525, → 52 500 (हमें शून्य जोड़ना पड़ा)।

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें: चूंकि दशमलव बिंदु अलग-अलग दिशाओं में चलता है, कुल बदलाव अंतर के माध्यम से होता है। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! यहाँ एक और उदाहरण है:

संख्याओं 1.5 और 12,500 पर विचार करें। हमारे पास है: 1.5 → 15 (दाहिनी ओर 1 से बदलाव); 12 500 → 125 (बाईं ओर 2 शिफ्ट करें)। हम 1 अंक को दाईं ओर और फिर 2 अंकों को बाईं ओर "कदम" बढ़ाते हैं। परिणामस्वरूप, हमने बायीं ओर 2 − 1 = 1 अंक बढ़ाया।

दशमलव विभाजन

विभाजन शायद सबसे कठिन ऑपरेशन है। बेशक, यहां आप गुणन के अनुरूप कार्य कर सकते हैं: महत्वपूर्ण भागों को विभाजित करें, और फिर दशमलव बिंदु को "स्थानांतरित" करें। लेकिन इस मामले में, कई बारीकियां हैं जो संभावित बचत को नकार देती हैं।

तो आइए एक सामान्य एल्गोरिदम देखें जो थोड़ा लंबा है, लेकिन अधिक विश्वसनीय है:

1. सभी दशमलवों को सामान्य भिन्नों में बदलें। थोड़े से अभ्यास के साथ, यह कदम आपको कुछ ही सेकंड में पूरा कर देगा;
2. परिणामी भिन्नों को शास्त्रीय तरीके से विभाजित करें। दूसरे शब्दों में, पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करें (पाठ देखें "संख्यात्मक भिन्नों का गुणन और विभाजन");
3. यदि संभव हो तो परिणाम को दशमलव के रूप में लौटाएँ। यह चरण इसलिए भी तेज़ है, क्योंकि अक्सर हर के पास पहले से ही दस की घात होती है।

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

हम पहली अभिव्यक्ति पर विचार करते हैं. सबसे पहले, आइए ओबी भिन्नों को दशमलव में बदलें:

हम दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। पहले अंश का अंश फिर से कारकों में विघटित हो जाता है:

तीसरे और चौथे उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बिंदु है: दशमलव अंकन से छुटकारा पाने के बाद, रद्द करने योग्य अंश दिखाई देते हैं। हालाँकि, हम यह कटौती नहीं करेंगे.

अंतिम उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि दूसरे भिन्न का अंश एक अभाज्य संख्या है। यहां कारक बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, इसलिए हम इसे "रिक्त" मानते हैं:

कभी-कभी विभाजन का परिणाम पूर्णांक होता है (मैं अंतिम उदाहरण के बारे में बात कर रहा हूं)। इस स्थिति में, तीसरा चरण बिल्कुल भी निष्पादित नहीं किया जाता है।

इसके अलावा, विभाजित करते समय, "बदसूरत" अंश अक्सर दिखाई देते हैं जिन्हें दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। यह वह जगह है जहां विभाजन गुणन से भिन्न होता है, जहां परिणाम हमेशा दशमलव रूप में व्यक्त किए जाते हैं। बेशक, इस मामले में, अंतिम चरण फिर से नहीं किया जाता है।

तीसरे और चौथे उदाहरण पर भी ध्यान दें। उनमें हम जानबूझकर दशमलव से प्राप्त साधारण भिन्नों को कम नहीं करते हैं। अन्यथा, यह व्युत्क्रम समस्या को जटिल बना देगा - अंतिम उत्तर को फिर से दशमलव रूप में प्रस्तुत करना।

याद रखें: भिन्न का मूल गुण (गणित के किसी भी अन्य नियम की तरह) अपने आप में यह मतलब नहीं है कि इसे हर जगह और हमेशा, हर अवसर पर लागू किया जाना चाहिए।

इस प्रकाश में दशमलव को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 1.2 को दशमलव 0.48 से विभाजित करें।

समाधान।

उत्तर:

1,2:0,48=2,5 .

उदाहरण।

आवर्त दशमलव 0.(504) को दशमलव 0.56 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए आवर्त दशमलव भिन्न का साधारण में अनुवाद करें:. हम अंतिम दशमलव अंश 0.56 को एक साधारण अंश में भी अनुवादित करते हैं, हमारे पास 0.56 = 56/100 है। अब हम मूल दशमलव को विभाजित करने से सामान्य भिन्नों को विभाजित करने की ओर बढ़ सकते हैं और गणना समाप्त कर सकते हैं:।

आइए एक कॉलम में अंश को हर से विभाजित करके परिणामी साधारण अंश को दशमलव अंश में अनुवादित करें:

उत्तर:

0,(504):0,56=0,(900) .

अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों को विभाजित करने का सिद्धांतपरिमित और आवधिक दशमलव अंशों को विभाजित करने के सिद्धांत से भिन्न है, क्योंकि गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों का विभाजन परिमित दशमलव अंशों के विभाजन में कम हो जाता है, जिसके लिए इसे किया जाता है संख्याओं को पूर्णांकित करनाएक निश्चित स्तर तक. इसके अलावा, यदि संख्याओं में से एक जिसके साथ विभाजन किया जाता है, एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश है, तो इसे गैर-आवधिक दशमलव अंश के समान अंक तक भी पूर्णांकित किया जाता है।

उदाहरण।

अनंत गैर-आवर्ती दशमलव 0.779... को अंतिम दशमलव 1.5602 से विभाजित करें।

समाधान।

सबसे पहले, आपको अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव अंश को विभाजित करने से लेकर परिमित दशमलव अंशों को विभाजित करने के लिए दशमलव अंशों को गोल करने की आवश्यकता है। हम सौवें तक पूर्णांक बना सकते हैं: 0.779…≈0.78 और 1.5602≈1.56। इस प्रकार, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

उत्तर:

0,779…:1,5602≈0,5 .

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करना और इसके विपरीत

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने और दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के दृष्टिकोण का सार दशमलव अंशों को विभाजित करने के सार से अलग नहीं है। अर्थात्, परिमित और आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को पूर्णांकित किया जाता है।

स्पष्ट करने के लिए, दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 25.5 को प्राकृत संख्या 45 से विभाजित करें।

समाधान।

दशमलव भिन्न 25.5 को एक साधारण भिन्न 255/10=51/2 के साथ प्रतिस्थापित करने पर, विभाजन को एक साधारण भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने तक कम कर दिया जाता है:। दशमलव अंकन में परिणामी अंश 0.5(6) है।

उत्तर:

25,5:45=0,5(6) .

एक स्तंभ द्वारा दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना

प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अंतिम दशमलव अंशों का विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के अनुरूप एक स्तंभ द्वारा आसानी से किया जाता है। यहाँ विभाजन नियम है.

को दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करना, ज़रूरी:

• विभाज्य दशमलव अंश 0 में दाईं ओर कुछ अंक जोड़ें, (विभाजन के दौरान, यदि आवश्यक हो, तो आप किसी भी संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं, लेकिन इन शून्यों की आवश्यकता नहीं हो सकती है);
• प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने के सभी नियमों के अनुसार दशमलव अंश के एक स्तंभ द्वारा विभाजन करें, लेकिन जब दशमलव अंश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है, तो निजी में आपको इसकी आवश्यकता होती है अल्पविराम लगाएं और विभाजन जारी रखें.

आइए तुरंत कहें कि एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक सीमित दशमलव अंश को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, या तो अंतिम दशमलव अंश या अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है। दरअसल, 0 के अलावा विभाज्य अंश के सभी दशमलव स्थानों को विभाजित करने के बाद, हम या तो शेष 0 प्राप्त कर सकते हैं, और हमें एक अंतिम दशमलव अंश मिलेगा, या शेष समय-समय पर दोहराना शुरू कर देंगे, और हमें एक आवधिक दशमलव अंश मिलेगा अंश।

आइए उदाहरणों को हल करते समय दशमलव अंशों को एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं में विभाजित करने की सभी जटिलताओं से निपटें।

उदाहरण।

दशमलव 65.14 को 4 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करें। आइए अंश 65.14 के रिकॉर्ड में दाईं ओर शून्य की एक जोड़ी जोड़ें, जबकि हमें इसके बराबर दशमलव अंश 65.1400 मिलता है (समान और असमान दशमलव अंश देखें)। अब आप दशमलव अंश 65.1400 के पूर्णांक भाग को एक प्राकृतिक संख्या 4 से एक कॉलम द्वारा विभाजित करना शुरू कर सकते हैं:

इससे दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है। यहां निजी तौर पर आपको दशमलव बिंदु लगाना होगा और विभाजन जारी रखना होगा:

हम 0 के शेषफल पर आ गए हैं, इस स्तर पर एक कॉलम द्वारा विभाजन समाप्त हो जाता है। परिणामस्वरूप, हमारे पास 65.14:4=16.285 है।

उत्तर:

65,14:4=16,285 .

उदाहरण।

164.5 को 27 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम द्वारा विभाजित करें। पूर्णांक भाग को विभाजित करने पर हमें निम्नलिखित चित्र प्राप्त होता है:

अब हम निजी में अल्पविराम लगाते हैं और एक कॉलम के साथ विभाजन जारी रखते हैं:

अब यह स्पष्ट रूप से देखा जा रहा है कि 25, 7 और 16 के अवशेष दोहराए जाने लगे हैं, जबकि भागफल में 9, 2 और 5 की संख्याएँ दोहराई जाती हैं। तो दशमलव 164.5 को 27 से विभाजित करने पर हमें आवर्त दशमलव 6.0(925) प्राप्त होता है।

उत्तर:

164,5:27=6,0(925) .

दशमलव भिन्नों को एक स्तम्भ द्वारा विभाजित करना

दशमलव अंश को दशमलव अंश से विभाजित करने को दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक को ऐसी संख्या 10, या 100, या 1000, आदि से गुणा किया जाना चाहिए, ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या बन जाए, और फिर एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाए। हम विभाजन और गुणन के गुणों के कारण ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, अंतिम दशमलव को अंतिम दशमलव से विभाजित करना, करने की जरूरत है:

• लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही वर्णों तक ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं, यदि उसी समय लाभांश में अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त वर्ण नहीं हैं, तो आपको जोड़ने की आवश्यकता है दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या;
• उसके बाद, दशमलव अंश के एक कॉलम द्वारा एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन करें।

किसी उदाहरण को हल करते समय, दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

कॉलम विभाजन 7.287 को 2.1 से करें।

समाधान।

आइए इन दशमलव भिन्नों में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएँ, इससे हमें दशमलव भिन्न 7.287 को दशमलव भिन्न 2.1 से विभाजित करने से लेकर दशमलव भिन्न 72.87 को प्राकृतिक संख्या 21 से विभाजित करने की सुविधा मिलेगी। आइए एक कॉलम से विभाजित करें:

उत्तर:

7,287:2,1=3,47 .

उदाहरण।

दशमलव 16.3 को दशमलव 0.021 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 3 अंकों से दाईं ओर ले जाएँ। जाहिर है, भाजक में अल्पविराम लगाने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आइए दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ें। आइए अब भिन्न 16300.0 के कॉलम को प्राकृत संख्या 21 से विभाजित करें:

इस क्षण से, शेषफल 4, 19, 1, 10, 16 और 13 दोहराना शुरू हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि भागफल में संख्याएँ 1, 9, 0, 4, 7 और 6 भी दोहराई जाएंगी। परिणामस्वरूप, हमें एक आवर्त दशमलव भिन्न 776,(190476) प्राप्त होता है।

उत्तर:

16,3:0,021=776,(190476) .

ध्यान दें कि ध्वनिबद्ध नियम आपको एक प्राकृतिक संख्या को एक कॉलम द्वारा अंतिम दशमलव अंश से विभाजित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 3 को दशमलव भिन्न 5.4 से विभाजित करें।

समाधान।

अल्पविराम 1 अंक को दाईं ओर ले जाने के बाद, हम संख्या 30.0 को 54 से विभाजित करने पर आते हैं। आइए एक कॉलम से विभाजित करें:
.

यह नियम अनंत दशमलव भिन्नों को 10, 100, ... से विभाजित करते समय भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3,(56):1000=0.003(56) और 593.374…:100=5.93374…।

दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करना।

चूंकि 0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100, आदि, यह एक साधारण भिन्न द्वारा विभाजन के नियम का अनुसरण करता है कि एक दशमलव अंश को 0.1, 0.01, 0.001, आदि से विभाजित करना। यह दिए गए दशमलव को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करने जैसा है। क्रमश।

दूसरे शब्दों में, किसी दशमलव भिन्न को 0.1, 0.01, ... से विभाजित करने के लिए आपको अल्पविराम को दाईं ओर 1, 2, 3, ... अंकों से ले जाना होगा, और यदि दशमलव भिन्न में पर्याप्त अंक नहीं हैं तो अल्पविराम को हटाएँ, फिर आपको आवश्यक संख्या को सही शून्य में जोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, 5.739:0.1=57.39 और 0.21:0.00001=21,000।

अनंत दशमलवों को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करते समय भी यही नियम लागू किया जा सकता है। इस मामले में, आपको आवधिक भिन्नों के विभाजन में बहुत सावधानी बरतनी चाहिए, ताकि भिन्न की अवधि के साथ गलती न हो, जो विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 7.5(716):0.01=757,(167) , चूंकि दशमलव अंश में अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद 7.5716716716 ... दाईं ओर दो अंक रिकॉर्ड होते हैं, हमारे पास रिकॉर्ड 757.167167 ... होता है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव के साथ, सब कुछ सरल है: 394,38283…:0,001=394382,83… .

किसी भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव से विभाजित करना और इसके विपरीत

एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या का एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से विभाजन, साथ ही एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश का एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से विभाजन, सामान्य अंशों के विभाजन में कम हो जाता है। ऐसा करने के लिए, दशमलव भिन्नों को संगत साधारण भिन्नों से बदल दिया जाता है, और मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है।

एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय और इसके विपरीत, किसी को दशमलव अंश को विभाजित करने के लिए आगे बढ़ना चाहिए, साधारण अंश या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव अंश से बदलना चाहिए।

ग्रंथ सूची.

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§ 107. दशमलव भिन्नों का योग।

दशमलव जोड़ना पूर्ण संख्याओं को जोड़ने के समान ही किया जाता है। आइए इसे उदाहरणों से देखें।

1) 0.132 + 2.354। आइए एक के नीचे एक शर्तों पर हस्ताक्षर करें।

यहां, 2 हजारवें को 4 हजारवें के साथ जोड़ने पर, 6 हजारवां प्राप्त हुआ;
3 सौवें को 5 सौवें के साथ जोड़ने पर, यह 8 सौवां निकला;
3 दहाई के साथ 1 दशमांश जोड़ने से -4 दशमांश और
2 पूर्णांकों के साथ 0 पूर्णांक जोड़ने से - 2 पूर्णांक।

2) 5,065 + 7,83.

दूसरे कार्यकाल में कोई हजारवां हिस्सा नहीं है, इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि एक-दूसरे के तहत शर्तों पर हस्ताक्षर करते समय गलतियाँ न करें।

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

यहां हजारवां हिस्सा जोड़ने पर हमें 21 हजारवां हिस्सा मिलता है; हमने हजारवें के नीचे 1 लिखा, और सौवें में 2 जोड़ा, इसलिए सौवें स्थान पर हमें निम्नलिखित पद मिले: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; कुल मिलाकर, वे 19 सौवां देते हैं, हमने सौवें के अंतर्गत 9 पर हस्ताक्षर किए, और 1 को दसवें के रूप में गिना गया, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को जोड़ते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए: अंशों को एक दूसरे के नीचे हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि सभी शब्दों में समान अंक एक दूसरे के नीचे हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों; कुछ शब्दों के दशमलव स्थानों के दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, इतनी संख्या में शून्य लगाते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद के सभी पदों में अंकों की संख्या समान हो। फिर, दाहिनी ओर से शुरू करके, अंकों द्वारा जोड़ किया जाता है, और परिणामी राशि में एक अल्पविराम उसी ऊर्ध्वाधर कॉलम में रखा जाता है जैसा कि इन शब्दों में है।

§ 108. दशमलव भिन्नों का घटाव।

दशमलव को घटाना पूर्ण संख्याओं को घटाने की तरह ही किया जाता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं।

1) 9.87 - 7.32. आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें ताकि समान अंक की इकाइयां एक-दूसरे के नीचे हों:

2) 16.29 - 4.75. आइए मीनूएंड के अंतर्गत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करें, जैसा कि पहले उदाहरण में है:

दशमांश घटाने के लिए, 6 में से एक पूरी इकाई लेनी होती थी और उसे दशमांश में विभाजित करना होता था।

3) 14.0213-5.350712। आइए मीनूएंड के अंतर्गत उपट्रेंड पर हस्ताक्षर करें:

घटाव इस प्रकार किया गया था: चूँकि हम 0 में से 2 मिलियनवां हिस्सा नहीं घटा सकते हैं, इसलिए हमें बाईं ओर के निकटतम अंक का उल्लेख करना चाहिए, यानी सौ-हजारवां, लेकिन सौ-हजारवें के स्थान पर शून्य भी है, इसलिए हम 1 लेते हैं 3 दस-हज़ारवें में से दस-हज़ारवें और हम इसे सौ-हज़ारवें में विभाजित करते हैं, हमें 10 सौ-हज़ारवां मिलता है, जिसमें से 9 सौ-हज़ारवें को सौ-हज़ारवें की श्रेणी में छोड़ दिया जाता है, और 1 सौ-हज़ारवें को दस लाखवें में कुचल दिया जाता है, हमें 10 मिलियनवां हिस्सा मिलता है। इस प्रकार, अंतिम तीन अंकों में, हमें मिला: मिलियनवां 10, सौ-हजारवां 9, दस-हजारवां 2। अधिक स्पष्टता और सुविधा के लिए (भूलने के लिए नहीं), इन संख्याओं को घटे हुए संगत भिन्नात्मक अंकों के शीर्ष पर लिखा गया है। अब हम घटाना शुरू कर सकते हैं। हम 10 मिलियनवें भाग में से 2 मिलियनवां भाग घटाते हैं, हमें 8 मिलियनवां भाग प्राप्त होता है; 9 सौ-हज़ारवें में से 1 सौ-हज़ारवाँ घटाएँ, हमें 8 सौ-हज़ारवाँ भाग मिलता है, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को घटाते समय, निम्नलिखित क्रम देखा जाता है: घटाए गए अंशों को घटाए गए के तहत हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि समान अंक एक दूसरे के नीचे हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों; दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, कम किए गए या घटाए गए में इतने शून्य जोड़ते हैं कि उनके अंकों की संख्या समान हो, फिर दाईं ओर से शुरू करते हुए, अंकों से घटाते हैं, और परिणामी अंतर में अल्पविराम लगाते हैं वही ऊर्ध्वाधर स्तंभ जिसमें यह घटाया और घटाया गया है।

§ 109. दशमलव भिन्नों का गुणन।

दशमलव भिन्नों को गुणा करने के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

इन संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: यदि गुणनखंड को 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो दोनों गुणनखंड पूर्णांक होंगे और फिर हम उन्हें पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा कर सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि जब किसी एक कारक को कई गुना बढ़ाया जाता है, तो उत्पाद उसी मात्रा में बढ़ जाता है। इसका मतलब यह है कि पूर्णांक कारकों को गुणा करने से जो संख्या आती है, यानी 28 को 23 से, वह वास्तविक उत्पाद से 10 गुना अधिक है, और सही उत्पाद प्राप्त करने के लिए, आपको पाए गए उत्पाद को 10 गुना कम करना होगा। इसलिए, यहां आपको 10 से गुणा एक बार और 10 से भाग एक बार करना होता है, लेकिन 10 से गुणा और भाग अल्पविराम को दाएं और बाएं एक चिह्न से घुमाकर किया जाता है। इसलिए, आपको यह करने की आवश्यकता है: गुणक में, अल्पविराम को एक चिह्न से दाईं ओर ले जाएं, इससे यह 23 के बराबर होगा, फिर आपको परिणामी पूर्णांकों को गुणा करने की आवश्यकता है:

यह उत्पाद असली उत्पाद से 10 गुना बड़ा है। इसलिए, इसे 10 गुना कम करना होगा, जिसके लिए हम अल्पविराम को एक अक्षर बाईं ओर ले जाते हैं। इस प्रकार, हम पाते हैं

28 2,3 = 64,4.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आप हर के साथ दशमलव भिन्न लिख सकते हैं और साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार कार्रवाई कर सकते हैं, अर्थात।

2) 12,27 0,021.

इस उदाहरण और पिछले उदाहरण के बीच अंतर यह है कि यहां दोनों कारकों को दशमलव अंशों द्वारा दर्शाया गया है। लेकिन यहां, गुणन की प्रक्रिया में, हम अल्पविरामों पर ध्यान नहीं देंगे, यानी, हम अस्थायी रूप से गुणक को 100 गुना और गुणक को 1,000 गुना बढ़ा देंगे, जिससे उत्पाद 100,000 गुना बढ़ जाएगा। इस प्रकार, 1227 को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

1 227 21 = 25 767.

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि परिणामी उत्पाद वास्तविक उत्पाद से 100,000 गुना अधिक है, अब हमें इसमें उचित रूप से अल्पविराम लगाकर इसे 100,000 गुना कम करना होगा, फिर हमें मिलता है:

32,27 0,021 = 0,25767.

की जाँच करें:

इस प्रकार, दो दशमलव भिन्नों को गुणा करने के लिए, अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना, उन्हें पूर्णांकों के रूप में गुणा करना और गुणनफल में दाहिनी ओर अल्पविराम के साथ उतने दशमलव स्थानों को अलग करना पर्याप्त है, जितने गुणक और में थे। कारक एक साथ.

अंतिम उदाहरण में, परिणाम पाँच दशमलव स्थानों वाला एक उत्पाद है। यदि इतनी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो दशमलव अंश को पूर्णांकित किया जाता है। पूर्णांकन करते समय, आपको उसी नियम का उपयोग करना चाहिए जो पूर्णांकों के लिए इंगित किया गया था।

§ 110. तालिकाओं का उपयोग करके गुणन।

दशमलव को गुणा करना कभी-कभी तालिकाओं का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रयोजन के लिए, उदाहरण के लिए, आप दो अंकों की संख्याओं की उन गुणन तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, जिनका विवरण पहले दिया गया था।

1) 53 को 1.5 से गुणा करें।

हम 53 को 15 से गुणा करेंगे। तालिका में, यह गुणनफल 795 के बराबर है। हमने 53 का गुणनफल 15 से पाया, लेकिन हमारा दूसरा कारक 10 गुना कम था, जिसका अर्थ है कि गुणनफल 10 गुना कम होना चाहिए, अर्थात।

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 को 4.7 से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए तालिका में 53 गुणा 47 का गुणनफल खोजें, यह 2491 होगा। लेकिन चूंकि हमने गुणक और गुणक को कुल 100 गुना बढ़ा दिया है, तो परिणामी उत्पाद जितना होना चाहिए उससे 100 गुना बड़ा है; इसलिए हमें इस उत्पाद को 100 गुना कम करना होगा:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 को 7.4 से गुणा करें।

सबसे पहले हम तालिका में 53 गुणा 74 का गुणनफल पाते हैं; यह 3,922 होगा। लेकिन चूँकि हमने गुणक को 100 गुना बढ़ा दिया है, और गुणक को 10 गुना बढ़ा दिया है, उत्पाद 1,000 गुना बढ़ गया है; इसलिए अब हमें इसे 1,000 गुना कम करना होगा:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. दशमलव का विभाजन.

हम दशमलव विभाजन को इस क्रम में देखेंगे:

1. दशमलव भिन्न का पूर्णांक से विभाजन,

1. दशमलव भिन्न का पूर्णांक से विभाजन।

1) 2.46 को 2 से विभाजित करें।

हमने पहले 2 पूर्णांकों से विभाजित किया, फिर दसवें और अंत में सौवें से।

2) 32.46 को 3 से विभाजित करें।

32,46: 3 = 10,82.

हमने 3 दहाई को 3 से विभाजित किया, फिर हमने 2 इकाइयों को 3 से विभाजित करना शुरू किया; चूँकि लाभांश (2) की इकाइयों की संख्या भाजक (3) से कम है, हमें भागफल में 0 लगाना पड़ा; इसके अलावा, शेष भाग के लिए हमने 4 दसवें हिस्से को नष्ट कर दिया और 24 दसवें हिस्से को 3 से विभाजित कर दिया; निजी तौर पर 8 दसवां हिस्सा प्राप्त किया और अंत में 6 सौवां हिस्सा बांटा।

3) 1.2345 को 5 से विभाजित करें।

1,2345: 5 = 0,2469.

यहां, भागफल में सबसे पहले, शून्य पूर्णांक निकले, क्योंकि एक पूर्णांक 5 से विभाज्य नहीं है।

4) 13.58 को 4 से विभाजित करें।

इस उदाहरण की ख़ासियत यह है कि जब हमें निजी तौर पर 9 सौवां भाग मिला, तो 2 सौवें के बराबर शेषफल मिला, हमने इस शेषफल को हजारवें में विभाजित किया, 20 हजारवां प्राप्त किया और विभाजन को अंत तक लाया।

नियम।एक पूर्णांक द्वारा दशमलव अंश का विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे पूर्णांकों का विभाजन, और परिणामी शेष को अधिक से अधिक छोटे दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जाता है; विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए।

2. दशमलव भिन्न का दशमलव भिन्न से विभाजन।

1) 2.46 को 0.2 से विभाजित करें।

हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव भिन्न को पूर्णांक से कैसे विभाजित किया जाता है। आइये विचार करें कि क्या विभाजन के इस नये मामले को भी पिछले मामले के बराबर किया जा सकता है? एक समय में, हमने भागफल की एक उल्लेखनीय संपत्ति पर विचार किया था, जिसमें यह तथ्य शामिल था कि लाभांश और भाजक को समान संख्या में बढ़ाने या घटाने पर यह अपरिवर्तित रहता है। यदि भाजक एक पूर्णांक होता तो हम हमें दी गई संख्याओं का विभाजन आसानी से कर सकते थे। ऐसा करने के लिए, इसे 10 गुना बढ़ाना पर्याप्त है, और सही भागफल प्राप्त करने के लिए, लाभांश को समान संख्या से, यानी 10 गुना बढ़ाना आवश्यक है। फिर इन संख्याओं के विभाजन को ऐसी संख्याओं के विभाजन से प्रतिस्थापित किया जाएगा:

और निजी तौर पर कोई संशोधन करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए यह विभाजन करें:

तो 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1.25 को 1.6 से विभाजित करें।

हम भाजक (1.6) को 10 गुना बढ़ाते हैं; ताकि भागफल न बदले, हम लाभांश को 10 गुना बढ़ा देते हैं; 12 पूर्णांक 16 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम भागफल 0 में लिखते हैं और 125 दसवें को 16 से विभाजित करते हैं, हमें भागफल में 7 दसवां हिस्सा मिलता है और शेष 13 होता है। हम 13 दसवें को शून्य निर्दिष्ट करके सौवें में विभाजित करते हैं और 130 सौवें को 16 से विभाजित करते हैं, आदि। निम्नलिखित पर ध्यान दें:

a) जब भागफल में पूर्णांक प्राप्त नहीं होते हैं, तो उनके स्थान पर शून्य पूर्णांक लिखा जाता है;

ख) जब लाभांश के अंक को शेषफल तक ले जाने पर कोई ऐसी संख्या प्राप्त होती है जो भाजक से विभाज्य नहीं होती, तो भागफल में शून्य लिखा जाता है;

ग) जब, लाभांश का अंतिम अंक हटा दिए जाने के बाद, विभाजन समाप्त नहीं होता है, तो, शेष को शून्य निर्दिष्ट करके, विभाजन जारी रहता है;

घ) यदि लाभांश एक पूर्णांक है, तो इसे दशमलव अंश से विभाजित करते समय, इसमें शून्य निर्दिष्ट करके इसकी वृद्धि की जाती है।

इस प्रकार, किसी संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम को हटाना होगा, और फिर लाभांश को उतनी बार बढ़ाना होगा जितना भाजक में अल्पविराम हटाने पर बढ़ा हो, और फिर उसके अनुसार विभाजन करें दशमलव भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने का नियम।

§ 112. अनुमानित भागफल.

पिछले पैराग्राफ में, हमने दशमलव अंशों के विभाजन पर विचार किया था, और हमारे द्वारा हल किए गए सभी उदाहरणों में, विभाजन को अंत तक लाया गया था, यानी, एक सटीक भागफल प्राप्त किया गया था। हालाँकि, अधिकांश मामलों में सटीक भागफल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, चाहे हम विभाजन को कितनी भी दूर तक बढ़ाएँ। यहां ऐसा ही एक मामला है: 53 को 101 से विभाजित करें।

हमें भागफल में पाँच अंक पहले ही प्राप्त हो चुके हैं, लेकिन विभाजन अभी तक समाप्त नहीं हुआ है और ऐसी कोई उम्मीद नहीं है कि यह कभी भी समाप्त होगा, क्योंकि जो संख्याएँ हमें पहले मिल चुकी हैं वे शेषफल में दिखाई देने लगती हैं। भागफल में संख्याएँ भी दोहराई जाएंगी: जाहिर है, संख्या 7 के बाद संख्या 5 आएगी, फिर 2, और इसी तरह बिना अंत के। ऐसे मामलों में, विभाजन बाधित हो जाता है और भागफल के पहले कुछ अंकों तक सीमित हो जाता है। इसे प्राइवेट कहा जाता है अनुमानित.इस मामले में विभाजन कैसे करें, हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे।

मान लीजिए कि 25 को 3 से विभाजित करना आवश्यक है। यह स्पष्ट है कि पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त सटीक भागफल, ऐसे विभाजन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

25: 3 = 8 और शेषफल 1

अनुमानित भागफल 8 है; निस्संदेह, यह सटीक भागफल से कम है, क्योंकि 1 का शेषफल है। सटीक भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको पाए गए अनुमानित भागफल में, यानी 8 में वह अंश जोड़ना होगा जो शेषफल को विभाजित करने से प्राप्त होता है। , 1 के बराबर, 3 से; यह अंश 1/3 होगा. इसका मतलब यह है कि सटीक भागफल को मिश्रित संख्या 8 1/3 के रूप में व्यक्त किया जाएगा। चूँकि 1/3 एक उचित भिन्न है, अर्थात भिन्न, एक से भी कम, फिर, इसे त्यागकर, हम मान लेते हैं गलती, कौन एक से भी कम. प्राइवेट 8 वसीयत एक कमी के साथ एक तक अनुमानित भागफल।यदि हम 8 के स्थान पर 9 लेते हैं, तो हम एक से कम की त्रुटि भी स्वीकार करते हैं, क्योंकि हम पूरी इकाई नहीं, बल्कि 2/3 जोड़ेंगे। ऐसी निजी इच्छा आधिक्य के साथ एक तक अनुमानित भागफल।

चलिए अब एक और उदाहरण लेते हैं. मान लीजिए कि 27 को 8 से विभाजित करना आवश्यक है। चूँकि यहां हमें पूर्णांक के रूप में व्यक्त सटीक भागफल नहीं मिलेगा, इसलिए हम अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

27: 8 = 3 और शेषफल 3.

यहां त्रुटि 3/8 है, यह एक से कम है, जिसका अर्थ है कि अनुमानित भागफल (3) एक दोष के साथ एक तक पाया जाता है। हम विभाजन जारी रखते हैं: हम शेष 3 को दसवें में विभाजित करते हैं, हमें 30 दसवां हिस्सा मिलता है; आइए उन्हें 8 से विभाजित करें।

हम मौके पर निजी तौर पर दसवां हिस्सा 3 और शेष बी दसवां हिस्सा लेकर आए। यदि हम अपने आप को विशेष रूप से संख्या 3.3 तक ही सीमित रखते हैं, और शेष 6 को छोड़ देते हैं, तो हम दसवें से कम की त्रुटि की अनुमति देंगे। क्यों? क्योंकि सटीक भागफल तब प्राप्त होगा जब हम 6 दहाई को 8 से विभाजित करने के परिणाम को 3.3 में जोड़ेंगे; इस भाग से भाग 6/80 होगा, जो कि दसवें भाग से भी कम है। (जाँचें!) इस प्रकार, यदि हम स्वयं को भागफल में दहाई तक सीमित रखते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हमने भागफल ज्ञात कर लिया है दसवें हिस्से तक सटीक(नुकसान के साथ)।

आइए एक और दशमलव स्थान खोजने के लिए विभाजन जारी रखें। ऐसा करने के लिए, हम 6 दसवें को सौवें में विभाजित करते हैं और 60 सौवां भाग प्राप्त करते हैं; आइए उन्हें 8 से विभाजित करें।

अकेले में तीसरे स्थान पर 7 और शेष में 4 सौवां भाग निकला; यदि हम उन्हें त्याग देते हैं, तो हम एक सौवें से कम की त्रुटि की अनुमति देते हैं, क्योंकि 4 सौवें को 8 से विभाजित करने पर एक सौवें से कम होता है। ऐसे मामलों में, भागफल पाया जाना कहा जाता है। एक सौवें तक सटीक(नुकसान के साथ)।

जिस उदाहरण पर हम अब विचार कर रहे हैं, उसमें आप सटीक भागफल प्राप्त कर सकते हैं, जिसे दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है। ऐसा करने के लिए, अंतिम शेषफल, 4 सौवें को हज़ारवें भाग में विभाजित करना और 8 से विभाजित करना पर्याप्त है।

हालाँकि, अधिकांश मामलों में, सटीक भागफल प्राप्त करना असंभव है और व्यक्ति को स्वयं को इसके अनुमानित मानों तक ही सीमित रखना पड़ता है। अब हम ऐसे एक उदाहरण पर विचार करेंगे:

40: 7 = 5,71428571...

संख्या के अंत में बिंदु दर्शाते हैं कि विभाजन पूरा नहीं हुआ है, अर्थात समानता अनुमानित है। आमतौर पर अनुमानित समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

40: 7 = 5,71428571.

हमने भागफल को आठ दशमलव स्थानों के साथ लिया। लेकिन यदि इतनी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो व्यक्ति स्वयं को भागफल के पूरे भाग तक ही सीमित रख सकता है, यानी, संख्या 5 (अधिक सटीक रूप से, 6); अधिक सटीकता के लिए, दहाई को ध्यान में रखा जा सकता है और भागफल को 5.7 के बराबर लिया जा सकता है; यदि किसी कारण से यह सटीकता अपर्याप्त है, तो हम सौवें पर रुक सकते हैं और 5.71 आदि ले सकते हैं। आइए अलग-अलग भागफल लिखें और उन्हें नाम दें।

पहला अनुमानित भागफल एक 6 तक।

दूसरा » » » से दसवाँ भाग 5.7.

तीसरा » » » एक सौवें तक 5.71.

चौथा » » » 5.714 के एक हजारवें हिस्से तक।

इस प्रकार, कुछ तक अनुमानित भागफल ज्ञात करने के लिए, उदाहरण के लिए, दशमलव के तीसरे स्थान तक (अर्थात एक हजारवें स्थान तक), यह चिह्न मिलते ही विभाजन रोक दिया जाता है। इस मामले में, किसी को धारा 40 में निर्धारित नियम को याद रखना चाहिए।

§ 113. रुचि के लिए सबसे सरल समस्याएँ।

दशमलव भिन्नों का अध्ययन करने के बाद, हम कुछ और प्रतिशत समस्याओं का समाधान करेंगे।

ये समस्याएँ उन समस्याओं के समान हैं जिन्हें हमने साधारण भिन्नों के विभाग में हल किया था; लेकिन अब हम सौवें भाग को दशमलव भिन्नों के रूप में लिखेंगे, अर्थात् स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट हर के बिना।

सबसे पहले, आपको 100 के हर के साथ एक साधारण भिन्न से दशमलव भिन्न पर आसानी से स्विच करने में सक्षम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा:

नीचे दी गई तालिका दिखाती है कि कैसे % (प्रतिशत) चिन्ह वाली संख्या को 100 के हर वाले दशमलव से बदल दिया जाता है:

आइए अब कुछ समस्याओं पर विचार करें।

1. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।एक गाँव में केवल 1,600 लोग रहते हैं। स्कूल जाने योग्य बच्चों की संख्या कुल जनसंख्या का 25% है। इस गाँव में स्कूल जाने योग्य कितने बच्चे हैं?

इस समस्या में, आपको 1,600 में से 25%, या 0.25, ज्ञात करना होगा। समस्या को गुणा करके हल किया जाता है:

1,600 0.25 = 400 (बच्चे)।

इसलिए, 1,600 का 25% 400 है।

इस कार्य की स्पष्ट समझ के लिए, यह याद रखना उपयोगी है कि प्रत्येक सौ जनसंख्या पर 25 स्कूली बच्चे हैं। इसलिए, सभी स्कूली बच्चों की संख्या जानने के लिए, आप पहले पता लगा सकते हैं कि संख्या 1600 (16) में कितने सैकड़ों हैं, और फिर 25 को सैकड़ों की संख्या से गुणा करें (25 x 16 = 400)। इस तरह आप समाधान की वैधता की जांच कर सकते हैं।

कार्य 2.बचत बैंक जमाकर्ताओं को सालाना आय का 2% देते हैं। एक जमाकर्ता को प्रति वर्ष कितनी आय प्राप्त होगी जिसने जमा किया है: ए) 200 रूबल? बी) 500 रूबल? ग) 750 रूबल? घ) 1000 रूबल?

सभी चार मामलों में, समस्या को हल करने के लिए, संकेतित मात्राओं में से 0.02 की गणना करना आवश्यक होगा, यानी, इनमें से प्रत्येक संख्या को 0.02 से गुणा करना होगा। चलो यह करते हैं:

ए) 200 0.02 = 4 (रूबल),

बी) 500 0.02 = 10 (रूबल),

ग) 750 0.02 = 15 (रूबल),

डी) 1,000 0.02 = 20 (रूबल)।

इनमें से प्रत्येक मामले को निम्नलिखित विचारों से सत्यापित किया जा सकता है। बचत बैंक जमाकर्ताओं को आय का 2%, यानी बचत में लगाई गई राशि का 0.02 देते हैं। यदि राशि 100 रूबल थी, तो इसका 0.02 2 रूबल होगा। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सौ जमाकर्ता को 2 रूबल लाता है। आय। इसलिए, विचार किए गए प्रत्येक मामले में, यह पता लगाना पर्याप्त है कि किसी दिए गए संख्या में कितने सैकड़ों हैं, और सैकड़ों की इस संख्या से 2 रूबल गुणा करें। उदाहरण में a) सैकड़ों 2, इसलिए

2 2 = 4 (रूबल)।

उदाहरण के लिए घ) सैकड़ा 10 है, जिसका अर्थ है

2 10 = 20 (रूबल)।

2. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

कार्य 1।वसंत ऋतु में, स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो कुल छात्रों की संख्या का 6% है। पिछले शैक्षणिक वर्ष के दौरान स्कूल में कितने छात्र थे?

आइए पहले इस समस्या का अर्थ स्पष्ट करें। स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो छात्रों की कुल संख्या का 6% है, या दूसरे शब्दों में, स्कूल के सभी छात्रों का 6 सौवां हिस्सा (0.06)। इसका मतलब यह है कि हम संख्या (54) और अंश (0.06) द्वारा व्यक्त छात्रों के भाग को जानते हैं, और इस अंश से हमें पूर्ण संख्या ज्ञात करनी होगी। इस प्रकार, हमारे सामने किसी संख्या को उसके भिन्न द्वारा ज्ञात करने की एक सामान्य समस्या है (§ 90 पृष्ठ 6)। इस प्रकार की समस्याओं का समाधान विभाजन द्वारा किया जाता है:

इसका मतलब है कि स्कूल में 900 छात्र थे।

ऐसी समस्याओं को व्युत्क्रम समस्या को हल करके जांचना उपयोगी है, यानी समस्या को हल करने के बाद, आपको कम से कम अपने दिमाग में, पहले प्रकार की समस्या को हल करना चाहिए (किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना): पाया गया नंबर लें ( 900) जैसा कि दिया गया है और इससे हल की गई समस्या में दर्शाया गया प्रतिशत ज्ञात कीजिए, अर्थात्:

900 0,06 = 54.

कार्य 2.परिवार महीने के दौरान भोजन पर 780 रूबल खर्च करता है, जो पिता की मासिक आय का 65% है। उसकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का वही अर्थ है जो पिछले कार्य का है। यह मासिक कमाई का एक हिस्सा देता है, जिसे रूबल (780 रूबल) में व्यक्त किया जाता है, और इंगित करता है कि यह हिस्सा कुल कमाई का 65% या 0.65 है। और वांछित है पूरी कमाई:

780: 0,65 = 1 200.

इसलिए, वांछित कमाई 1200 रूबल है।

3. संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल की लाइब्रेरी में कुल 6,000 किताबें हैं। इनमें गणित पर 1,200 किताबें हैं। पुस्तकालय में गणित की पुस्तकों की कुल संख्या कितने प्रतिशत है?

हम पहले ही इस प्रकार की (§97) समस्याओं पर विचार कर चुके हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि दो संख्याओं के प्रतिशत की गणना करने के लिए, आपको इन संख्याओं का अनुपात ज्ञात करना होगा और इसे 100 से गुणा करना होगा।

हमारे कार्य में, हमें संख्याओं 1,200 और 6,000 का प्रतिशत ज्ञात करना होगा।

हम पहले उनका अनुपात ज्ञात करते हैं, और फिर इसे 100 से गुणा करते हैं:

इस प्रकार, संख्या 1,200 और 6,000 का प्रतिशत 20 है। दूसरे शब्दों में, गणित की किताबें सभी किताबों की कुल संख्या का 20% बनाती हैं।

जाँच करने के लिए, हम व्युत्क्रम समस्या को हल करते हैं: 6,000 का 20% ज्ञात करें:

6 000 0,2 = 1 200.

कार्य 2.प्लांट को 200 टन कोयला मिलना चाहिए. 80 टन पहले ही वितरित किया जा चुका है। संयंत्र को कितना प्रतिशत कोयला वितरित किया गया है?

यह समस्या पूछती है कि एक संख्या (80) दूसरी (200) से कितना प्रतिशत है। इन संख्याओं का अनुपात 80/200 होगा. आइए इसे 100 से गुणा करें:

इसका मतलब है कि 40% कोयले की डिलीवरी हो चुकी है।

भागफल (विभाजन का परिणाम) का पहला अंक ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, लाभांश के पहले अंक को भाजक से विभाजित करें। परिणाम को भाजक के नीचे लिखें.

• हमारे उदाहरण में, लाभांश का पहला अंक 3 है। 3 को 12 से विभाजित करें। चूँकि 3, 12 से कम है, तो विभाजन का परिणाम 0 होगा। भाजक के नीचे 0 लिखें - यह भागफल का पहला अंक है।

परिणाम को भाजक से गुणा करें।गुणन का परिणाम लाभांश के पहले अंक के नीचे लिखें, क्योंकि यह वह संख्या है जिसे आपने अभी-अभी भाजक से विभाजित किया है।

• हमारे उदाहरण में, 0 × 12 = 0, इसलिए 3 के नीचे 0 लिखें।

गुणा के परिणाम को लाभांश के पहले अंक से घटाएं।अपना उत्तर एक नई पंक्ति में लिखें।

• हमारे उदाहरण में: 3 - 0 = 3. 0 के ठीक नीचे 3 लिखें।

लाभांश के दूसरे अंक को नीचे ले जाएँ।ऐसा करने के लिए, घटाव के परिणाम के आगे लाभांश का अगला अंक लिखें।

• हमारे उदाहरण में, लाभांश 30 है। लाभांश का दूसरा अंक 0 है। 3 (घटाने का परिणाम) के आगे 0 लिखकर इसे नीचे ले जाएँ। आपको 30 नंबर मिलेगा.

परिणाम को भाजक से विभाजित करें.आपको प्राइवेट का दूसरा अंक मिलेगा। ऐसा करने के लिए, नीचे की रेखा पर मौजूद संख्या को भाजक से विभाजित करें।

• हमारे उदाहरण में, 30 को 12 से विभाजित करें। 30 ÷ 12 = 2 और कुछ शेषफल (क्योंकि 12 x 2 = 24)। भाजक के नीचे 0 के बाद 2 लिखें - यह भागफल का दूसरा अंक है।
• यदि आपको उपयुक्त अंक नहीं मिल रहा है, तो अंकों को तब तक दोहराते रहें जब तक कि किसी भी अंक को भाजक से गुणा करने का परिणाम कॉलम में अंतिम स्थित संख्या से कम और निकटतम न हो। हमारे उदाहरण में, संख्या 3 पर विचार करें। इसे भाजक से गुणा करें: 12 x 3 = 36। चूँकि 36, 30 से बड़ा है, इसलिए संख्या 3 उपयुक्त नहीं है। अब संख्या 2 पर विचार करें। 12 x 2 = 24। 24, 30 से कम है, इसलिए संख्या 2 सही समाधान है।

अगला अंक ज्ञात करने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराएँ।वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग किसी भी लंबी विभाजन समस्या में किया जाता है।

• दूसरे भागफल को भाजक से गुणा करें: 2 x 12 = 24.
• गुणा (24) का परिणाम कॉलम (30) में अंतिम संख्या के नीचे लिखें।
• बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ। हमारे उदाहरण में: 30 - 24 = 6. परिणाम (6) को एक नई लाइन पर लिखें।

यदि लाभांश में ऐसे अंक बचे हैं जिन्हें नीचे ले जाया जा सकता है, तो गणना प्रक्रिया जारी रखें।अन्यथा, अगले चरण पर आगे बढ़ें.

• हमारे उदाहरण में, आप लाभांश के अंतिम अंक (0) से नीचे चले गए। तो अगले चरण पर आगे बढ़ें।

यदि आवश्यक हो, तो लाभांश का विस्तार करने के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करें।यदि लाभांश, भाजक द्वारा समान रूप से विभाज्य है, तो अंतिम पंक्ति पर आपको संख्या 0 मिलेगी। इसका मतलब है कि समस्या हल हो गई है, और उत्तर (पूर्णांक के रूप में) भाजक के नीचे लिखा गया है। लेकिन यदि 0 के अलावा कोई भी अंक कॉलम के बिल्कुल नीचे है, तो आपको दशमलव बिंदु लगाकर और 0 निर्दिष्ट करके लाभांश का विस्तार करना होगा। याद रखें कि इससे लाभांश का मूल्य नहीं बदलता है।

• हमारे उदाहरण में, संख्या 6 अंतिम पंक्ति पर है। इसलिए, 30 (लाभांश) के दाईं ओर, एक दशमलव बिंदु लिखें, और फिर 0 लिखें। साथ ही पाए गए भागफल अंकों के बाद एक दशमलव बिंदु लगाएं, जिसे आप नीचे लिखते हैं विभाजक (इस अल्पविराम के बाद अभी कुछ भी न लिखें!)।

अगला अंक ज्ञात करने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराएँ।मुख्य बात यह है कि लाभांश के बाद और निजी के पाए गए अंकों के बाद दशमलव बिंदु लगाना न भूलें। बाकी प्रक्रिया ऊपर वर्णित प्रक्रिया के समान है।

• हमारे उदाहरण में, 0 (जो आपने दशमलव बिंदु के बाद लिखा था) को नीचे ले जाएँ। आपको संख्या 60 मिलेगी। अब इस संख्या को भाजक से विभाजित करें: 60 ÷ 12 = 5। भाजक के नीचे 2 के बाद (और दशमलव बिंदु के बाद) 5 लिखें। यह भागफल का तीसरा अंक है. तो अंतिम उत्तर 2.5 है (2 के सामने वाले शून्य को नजरअंदाज किया जा सकता है)।