एक साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना और इसके विपरीत, नियम, उदाहरण। दशमलव संख्याओं को सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करना

सभी भिन्नों को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है: साधारण और दशमलव। इस प्रकार के भिन्नों को साधारण कहा जाता है: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4। वे ऊपरी संख्या (अंश) और निचली संख्या (हर) में अंतर करते हैं। जब अंश, हर से कम हो, तो भिन्न उचित कहलाती है, अन्यथा भिन्न अनुचित होती है। 1 7/8 जैसे भिन्नों में एक पूर्णांक भाग (1) और एक भिन्नात्मक भाग (7/8) होता है और इन्हें मिश्रित कहा जाता है।

तो भिन्न हैं:

1. साधारण
   1. सही
   2. गलत
   3. मिश्रित
2. दशमलव

सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें

एक साधारण भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें, यह बुनियादी स्कूल गणित पाठ्यक्रम सिखाता है। सब कुछ बेहद सरल है: आपको अंश को हर से "मैन्युअल रूप से" विभाजित करने की आवश्यकता है या, यदि आप पूरी तरह से आलसी हैं, तो एक माइक्रोकैलकुलेटर पर। यहाँ एक उदाहरण है: 2/5=0.4; 3/4=0.75; 1/2=0.5. दशमलव अनुचित भिन्न को परिवर्तित करना अधिक कठिन नहीं है। उदाहरण: 1 3/4= 7/4= 1.75. अंतिम परिणाम बिना विभाजन के प्राप्त किया जा सकता है, यदि हम इस बात को ध्यान में रखें कि 3/4 = 0.75 और एक जोड़ें: 1 + 0.75 = 1.75।

हालाँकि, सभी साधारण भिन्न इतने सरल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, आइए 1/3 को साधारण भिन्न से दशमलव में बदलने का प्रयास करें। यहां तक ​​कि जिनके पास गणित में त्रिगुण था (पांच-बिंदु प्रणाली के अनुसार) वे देखेंगे कि, विभाजन चाहे कितनी भी देर तक जारी रहे, शून्य और अल्पविराम के बाद त्रिगुणों की अनंत संख्या होगी 1/3 = 0.3333 ... . . इसे इस प्रकार पढ़ने की प्रथा है: शून्य पूर्णांक, एक आवर्त में तीन। तदनुसार इसे इस प्रकार लिखा जाता है: 1/3=0,(3). यदि हम अनुवाद करने का प्रयास करेंगे तो ऐसी ही स्थिति उत्पन्न होगी दशमलव 5/6: 5/6=0.8(3)। ऐसे भिन्नों को अनंत आवर्त कहा जाता है। यहां भिन्न 3/7 के लिए एक उदाहरण दिया गया है: 3/7= 0.42857142857142857142857142857143..., यानी 3/7=0,(428571)।

तो, एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के परिणामस्वरूप, कोई यह प्राप्त कर सकता है:

1. गैर-आवधिक दशमलव;
2. आवधिक दशमलव.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनंत गैर-आवधिक अंश भी हैं, जो ऐसी क्रियाओं को करने से प्राप्त होते हैं: एन-वें डिग्री की जड़ लेना, लघुगणक लेना, पोटेंशिएट करना। उदाहरण के लिए, √3= 1.732050807568877…। प्रसिद्ध संख्या π≈ 3.1415926535897932384626433832795... .

आइए अब 3 को 0 से गुणा करें,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. इससे पता चलता है कि 0,(9) एकता लिखने का एक अलग रूप है। इसी प्रकार, 9=9/9.16=16.0, आदि।

इस लेख के शीर्षक में दिए गए प्रश्न के विपरीत प्रश्न भी वैध है: "दशमलव अंश को नियमित अंश में कैसे बदलें"। इस प्रश्न का उत्तर एक उदाहरण देता है: 0.5=5/10=1/2. में अंतिम उदाहरणहमने भिन्न 5/10 के अंश और हर को 5 से कम कर दिया है। यानी, एक दशमलव भिन्न को साधारण अंश में बदलने के लिए, आपको इसे 10 के हर वाले भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा।

सामान्यतः भिन्न क्या होते हैं, इसके बारे में एक वीडियो देखना दिलचस्प होगा:

दशमलव भिन्न को साधारण अंश में बदलने का तरीका जानने के लिए, यहां देखें:

इस लेख में हम विश्लेषण करेंगे कि कैसे सामान्य भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना, और विपरीत प्रक्रिया पर भी विचार करें - दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलना। यहां हम भिन्नों को उलटने और देने के नियमों के बारे में बताएंगे विस्तृत समाधानविशिष्ट उदाहरण.

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सामान्य भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए हम उस क्रम को निरूपित करें जिसमें हम निपटेंगे सामान्य भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना.

सबसे पहले, हम देखेंगे कि हर 10, 100, 1000, ... वाली साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों के रूप में कैसे दर्शाया जाए। ऐसा इसलिए है क्योंकि दशमलव भिन्न मूलतः 10, 100, ... वाले हर वाले साधारण भिन्न का एक संक्षिप्त रूप है।

उसके बाद, हम आगे बढ़ेंगे और दिखाएंगे कि कैसे किसी भी साधारण भिन्न (न केवल हर 10, 100, ... के साथ) को दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। साधारण भिन्नों के इस रूपांतरण से परिमित दशमलव भिन्न और अनंत आवर्त दशमलव भिन्न दोनों प्राप्त होते हैं।

अब क्रम में सब कुछ के बारे में।

10, 100,... हर वाली साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलना

कुछ नियमित भिन्नों को दशमलव में बदलने से पहले "प्रारंभिक तैयारी" की आवश्यकता होती है। यह सामान्य भिन्नों पर लागू होता है, जिनके अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से कम होती है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 2/100 को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए पहले तैयार करना होगा, लेकिन भिन्न 9/10 को तैयार करने की आवश्यकता नहीं है।

दशमलव भिन्नों में रूपांतरण के लिए सही साधारण भिन्नों की "प्रारंभिक तैयारी" में अंश में बाईं ओर इतने शून्य जोड़ना शामिल है कि वहां अंकों की कुल संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, शून्य जोड़ने के बाद एक भिन्न जैसा दिखेगा।

सही साधारण भिन्न तैयार करने के बाद, आप इसे दशमलव भिन्न में बदलना शुरू कर सकते हैं।

चलो हम देते है 10, या 100, या 1,000, ... के हर के साथ एक उचित सामान्य भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने का नियम. इसमें तीन चरण होते हैं:

• लिखो 0 ;
• इसके बाद दशमलव बिंदु लगाएं;
• अंश-गणक से संख्या लिखिए (जोड़े गए शून्य के साथ, यदि हमने उन्हें जोड़ा है)।

उदाहरणों को हल करने में इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

उचित भिन्न 37/100 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

हर में संख्या 100 होती है, जिसकी प्रविष्टि में दो शून्य होते हैं। अंश में संख्या 37 होती है, इसके रिकॉर्ड में दो अंक होते हैं, इसलिए इस भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए तैयार करने की आवश्यकता नहीं होती है।

अब हम 0 लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु लगाते हैं, और अंश से संख्या 37 लिखते हैं, जबकि हमें दशमलव अंश 0.37 मिलता है।

उत्तर:

0,37 .

अंश 10, 100, ... वाले नियमित साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में अनुवाद करने के कौशल को समेकित करने के लिए, हम एक अन्य उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

उचित भिन्न 107/10,000,000 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

अंश में अंकों की संख्या 3 है, और हर में शून्य की संख्या 7 है, इसलिए इस साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए तैयार करने की आवश्यकता है। हमें अंश में बाईं ओर 7-3=4 शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि वहां अंकों की कुल संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। हम पाते हैं ।

यह वांछित दशमलव अंश बनाना बाकी है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम 0 लिखते हैं, दूसरे, हम अल्पविराम लगाते हैं, तीसरा, हम अंश से संख्या को शून्य के साथ लिखते हैं 0000107, परिणामस्वरूप हमें एक दशमलव अंश 0.0000107 मिलता है।

उत्तर:

0,0000107 .

अनुचित सामान्य भिन्नों को दशमलव भिन्नों में परिवर्तित करते समय तैयारी की आवश्यकता नहीं होती है। निम्नलिखित का पालन किया जाना चाहिए 10, 100, ... वाले हर वाले अनुचित उभयनिष्ठ भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलने के नियम:

• अंश-गणक से संख्या लिखिए;
• अलग दशमलव बिंदुदाईं ओर उतने ही अंक हैं जितने मूल भिन्न के हर में शून्य हैं।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

अनुचित सामान्य भिन्न 56 888 038 009/100 000 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

सबसे पहले, हम अंश 56888038009 से संख्या लिखते हैं, और दूसरी बात, हम दाहिनी ओर के 5 अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं, क्योंकि मूल भिन्न के हर में 5 शून्य होते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास दशमलव अंश 568 880.38009 है।

उत्तर:

568 880,38009 .

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए, जिसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, या 100, या 1,000, ... है, आप मिश्रित संख्या को एक अनुचित साधारण भिन्न में बदल सकते हैं, जिसके बाद परिणामी भिन्न दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन आप निम्नलिखित का भी उपयोग कर सकते हैं भिन्नात्मक भाग 10, या 100, या 1,000, के हर वाली मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में बदलने का नियम:

• यदि आवश्यक हो, तो हम अंश में बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर मूल मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग की "प्रारंभिक तैयारी" करते हैं;
• मूल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग लिखिए;
• दशमलव बिंदु लगाएं;
• हम अंश-गणक से संख्या को जोड़े गए शून्यों के साथ लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें, जिसे हल करते समय हम एक मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए सभी आवश्यक कदम उठाएंगे।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

समाधान।

भिन्नात्मक भाग के हर में 4 शून्य होते हैं, और अंश में 17 अंक होते हैं, जिसमें 2 अंक होते हैं, इसलिए, हमें अंश में बाईं ओर दो शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि वहां वर्णों की संख्या बराबर हो जाए हर में शून्य की संख्या. ऐसा करने पर अंश 0017 होगा।

अब हम मूल संख्या के पूर्णांक भाग, यानी संख्या 23 को लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु डालते हैं, जिसके बाद हम अंश से संख्या को जोड़े गए शून्य के साथ लिखते हैं, यानी 0017, जबकि हमें वांछित दशमलव मिलता है अंश 23.0017.

आइए संपूर्ण समाधान को संक्षेप में लिखें: .

निस्संदेह, मिश्रित संख्या को पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और फिर उसे दशमलव भिन्न में परिवर्तित करना संभव था। इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखता है:

उत्तर:

23,0017 .

साधारण भिन्नों को परिमित एवं अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों में परिवर्तित करना

न केवल 10, 100, ... वाले साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, बल्कि अन्य हर वाले साधारण भिन्नों को भी दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है। अब हम यह पता लगाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

कुछ मामलों में, मूल साधारण भिन्न को आसानी से 10, या 100, या 1000, ... में से किसी एक में घटा दिया जाता है (एक साधारण भिन्न को एक नए हर में घटाने को देखें), जिसके बाद इसे प्रस्तुत करना मुश्किल नहीं है परिणामी भिन्न को दशमलव भिन्न के रूप में। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि भिन्न 2/5 को हर 10 वाली भिन्न में घटाया जा सकता है, इसके लिए आपको अंश और हर को 2 से गुणा करना होगा, जिससे भिन्न 4/10 मिलेगा, जो कि, के अनुसार पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों को आसानी से दशमलव अंश 0, 4 में परिवर्तित किया जा सकता है।

अन्य मामलों में, आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए एक अलग तरीके का उपयोग करना होगा, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

एक साधारण अंश को दशमलव अंश में बदलने के लिए, अंश के अंश को हर से विभाजित किया जाता है, अंश को पहले दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य के साथ एक समान दशमलव अंश से बदल दिया जाता है (हमने इसके बारे में अनुभाग बराबर और में बात की है) असमान दशमलव अंश)। इस मामले में, विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन किया जाता है, और जब लाभांश के पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त होता है तो भागफल में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है। नीचे दिए गए उदाहरणों के समाधान से यह सब स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण।

सामान्य भिन्न 621/4 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

हम अंश 621 में एक दशमलव बिंदु और उसके बाद कुछ शून्य जोड़कर संख्या को दशमलव अंश के रूप में दर्शाते हैं। शुरुआत में, हम 2 अंक 0 जोड़ेंगे, बाद में, यदि आवश्यक हो, तो हम हमेशा और शून्य जोड़ सकते हैं। तो, हमारे पास 621.00 है।

आइए अब संख्या 621,000 को एक कॉलम द्वारा 4 से विभाजित करें। पहले तीन चरण किसी कॉलम द्वारा विभाजन से भिन्न नहीं हैं प्राकृतिक संख्या, जिसके बाद हम निम्नलिखित चित्र पर पहुँचते हैं:

तो हम लाभांश में दशमलव बिंदु तक पहुँच गए, और शेष शून्य से भिन्न है। इस मामले में, हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं, और अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, एक कॉलम द्वारा विभाजन जारी रखते हैं:

यह विभाजन पूरा हो गया है, और परिणामस्वरूप हमें दशमलव भिन्न 155.25 प्राप्त हुआ, जो मूल साधारण भिन्न से मेल खाता है।

उत्तर:

155,25 .

सामग्री को समेकित करने के लिए, एक अन्य उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्न 21/800 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

इस सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आइए दशमलव भिन्न 21,000... को एक कॉलम द्वारा 800 से विभाजित करें। पहले चरण के बाद, हमें भागफल में एक दशमलव बिंदु लगाना होगा, और फिर विभाजन जारी रखना होगा:

अंततः हमें शेषफल 0 प्राप्त हुआ, इस पर साधारण भिन्न 21/400 का दशमलव भिन्न में रूपांतरण पूरा हो गया, और हम दशमलव भिन्न 0.02625 पर आ गये।

उत्तर:

0,02625 .

ऐसा हो सकता है कि किसी साधारण भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर हमें कभी भी 0 शेष न मिले। इन मामलों में, विभाजन को जब तक चाहें तब तक जारी रखा जा सकता है। हालाँकि, एक निश्चित चरण से शुरू करके, शेषफल समय-समय पर दोहराना शुरू कर देता है, जबकि भागफल में अंक भी दोहराए जाते हैं। इसका मतलब यह है कि मूल सामान्य अंश एक अनंत आवधिक दशमलव में तब्दील हो जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण।

उभयनिष्ठ भिन्न 19/44 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं:

यह पहले से ही स्पष्ट है कि भाग देने पर शेषफल 8 और 36 की पुनरावृत्ति होने लगती है, जबकि भागफल में संख्या 1 और 8 की पुनरावृत्ति होती है। इस प्रकार, मूल साधारण भिन्न 19/44 को आवधिक दशमलव भिन्न 0.43181818…=0.43(18) में बदल दिया जाता है।

उत्तर:

0,43(18) .

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम यह पता लगाएंगे कि कौन से साधारण अंशों को अंतिम दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है, और कौन से अंशों को केवल आवधिक अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है।

आइए हमारे सामने एक अपरिवर्तनीय साधारण अंश है (यदि अंश कम करने योग्य है, तो हम पहले अंश की कमी करते हैं), और हमें यह पता लगाना होगा कि इसे किस दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है - परिमित या आवधिक।

यह स्पष्ट है कि यदि एक साधारण भिन्न को हर 10, 100, 1000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो परिणामी भिन्न को पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों के अनुसार आसानी से अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन हरों के लिए 10, 100, 1,000, आदि। सभी साधारण भिन्न नहीं दिये गये हैं। केवल भिन्नों को ऐसे हरों में घटाया जा सकता है, जिनके हर कम से कम 10, 100, ... संख्याओं में से एक हों और कौन सी संख्याएँ 10, 100, ... के भाजक हो सकती हैं? संख्याएँ 10, 100, ... हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देंगी, और वे इस प्रकार हैं: 10=2 5, 100=2 2 5 5, 1000=2 2 2 5 5 5, ...। इसका तात्पर्य यह है कि 10, 100, 1,000, आदि के विभाजक। केवल संख्याएँ ही हो सकती हैं जिनके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 होती हैं।

अब हम कर सकते हैं सामान्य निष्कर्षसामान्य भिन्नों को दशमलव में बदलने के बारे में:

• यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 मौजूद हों, तो इस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है;
• यदि हर के विस्तार में दो और पाँच के अलावा अन्य अभाज्य संख्याएँ हों, तो यह भिन्न अनंत दशमलव आवर्त भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

उदाहरण।

साधारण भिन्नों को दशमलव में बदले बिना, मुझे बताएं कि 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 में से किस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, और किसे केवल आवर्त भिन्न में बदला जा सकता है।

समाधान।

भिन्न 47/20 के हर के अभाज्य गुणनखंडन का रूप 20=2 2 5 है। इस विस्तार में केवल दो और पांच हैं, इसलिए इस भिन्न को हर 10, 100, 1000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है (इस उदाहरण में, हर 100 में), इसलिए, इसे अंतिम दशमलव में बदला जा सकता है अंश।

भिन्न 7/12 के हर के अभाज्य गुणनखंडन का रूप 12=2 2 3 है। चूँकि इसमें 2 और 5 से भिन्न एक साधारण गुणनखंड 3 शामिल है, इस भिन्न को एक परिमित दशमलव भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे एक आवधिक दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंश 21/56 - संकुचन योग्य, कमी के बाद यह 3/8 का रूप ले लेता है। अभाज्य गुणनखंडों में हर के अपघटन में 2 के बराबर तीन गुणनखंड होते हैं, इसलिए, साधारण अंश 3/8, और इसलिए इसके बराबर अंश 21/56, को अंतिम दशमलव अंश में अनुवादित किया जा सकता है।

अंततः भिन्न 31/17 के हर का विस्तार स्वयं 17 है, अत: इस भिन्न को परिमित दशमलव भिन्न में नहीं बदला जा सकता, बल्कि इसे अनंत आवर्त भिन्न में बदला जा सकता है।

उत्तर:

47/20 और 21/56 को अंतिम दशमलव में बदला जा सकता है, जबकि 7/12 और 31/17 को केवल आवधिक दशमलव में बदला जा सकता है।

सामान्य भिन्न अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव में परिवर्तित नहीं होते हैं

पिछले पैराग्राफ की जानकारी यह सवाल उठाती है: "क्या किसी भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर एक अनंत गैर-आवधिक भिन्न प्राप्त किया जा सकता है"?

उत्तर: नहीं. एक साधारण भिन्न का अनुवाद करते समय, या तो एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त किया जा सकता है। आइये बताते हैं ऐसा क्यों है.

शेषफल के साथ विभाज्यता प्रमेय से यह स्पष्ट है कि शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है, अर्थात यदि हम किसी पूर्णांक को पूर्णांक q से विभाजित करते हैं, तो संख्या 0, 1, 2, ..., q में से केवल एक ही संख्या प्राप्त होती है। −1 शेषफल हो सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक साधारण अंश के अंश के पूर्णांक भाग को हर q द्वारा विभाजित करने के बाद, q से अधिक चरणों के बाद, निम्नलिखित दो स्थितियों में से एक उत्पन्न होगी:

• या तो हमें शेषफल 0 प्राप्त होगा, इससे विभाजन समाप्त हो जाएगा, और हमें अंतिम दशमलव भिन्न प्राप्त होगा;
• या हमें एक ऐसा शेषफल मिलेगा जो पहले ही आ चुका है, जिसके बाद शेष पिछले उदाहरण की तरह दोहराना शुरू कर देंगे (चूंकि समान संख्याओं को q से विभाजित करने पर, समान शेषफल प्राप्त होते हैं, जो पहले से उल्लिखित विभाज्यता प्रमेय का अनुसरण करता है), इसलिए एक अनंत आवर्त दशमलव अंश प्राप्त होगा।

कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है, इसलिए, एक साधारण अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करते समय, एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस पैराग्राफ में दिए गए तर्क से यह भी पता चलता है कि दशमलव अंश की अवधि की लंबाई हमेशा संबंधित साधारण अंश के हर के मान से कम होती है।

दशमलव को सामान्य भिन्नों में बदलें

अब आइए जानें कि दशमलव भिन्न को साधारण अंश में कैसे बदला जाए। आइए अंतिम दशमलव को सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करके प्रारंभ करें। उसके बाद, अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों को उलटने की विधि पर विचार करें। निष्कर्ष में, आइए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की असंभवता के बारे में कहें।

अंतिम दशमलव को सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करना

एक साधारण भिन्न प्राप्त करना, जिसे अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जाता है, काफी सरल है। अंतिम दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

• सबसे पहले, दिए गए दशमलव अंश को अंश में लिखें, पहले दशमलव बिंदु और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को हटा दें;
• दूसरे, हर में एक लिखें और उसमें उतने ही शून्य जोड़ें जितने मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों;
• तीसरा, यदि आवश्यक हो, परिणामी अंश को कम करें।

आइए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 3.025 को सामान्य भिन्न में बदलें।

समाधान।

यदि हम मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु हटा दें, तो हमें संख्या 3025 प्राप्त होती है। इसके बाईं ओर कोई शून्य नहीं है जिसे हम हटा दें। अतः, आवश्यक भिन्न के अंश में हम 3025 लिखते हैं।

हम हर में संख्या 1 लिखते हैं और उसके दाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं, क्योंकि मूल दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक होते हैं।

तो हमें एक साधारण भिन्न 3 025/1 000 प्राप्त हुआ। इस भिन्न को 25 तक कम किया जा सकता है, हम पाते हैं .

उत्तर:

.

उदाहरण।

दशमलव 0.0017 को सामान्य भिन्न में बदलें।

समाधान।

दशमलव बिंदु के बिना, मूल दशमलव अंश का रूप 00017 होता है, बाईं ओर शून्य को हटाने पर, हमें संख्या 17 मिलती है, जो वांछित साधारण भिन्न का अंश है।

हर में हम चार शून्य के साथ एक इकाई लिखते हैं, क्योंकि मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद 4 अंक होते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारे पास एक साधारण भिन्न 17/10,000 है। यह भिन्न अप्रासंगिक है, और दशमलव भिन्न का साधारण भिन्न में रूपांतरण पूरा हो जाता है।

उत्तर:

.

जब मूल अंतिम दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न होता है, तो इसे साधारण अंश को दरकिनार करते हुए तुरंत मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। चलो हम देते है अंतिम दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलने का नियम:

• दशमलव बिंदु से पहले की संख्या को वांछित मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाना चाहिए;
• भिन्नात्मक भाग के अंश में, आपको मूल दशमलव अंश के बायीं ओर के सभी शून्य को हटाकर उसके भिन्नात्मक भाग से प्राप्त संख्या लिखनी होगी;
• भिन्नात्मक भाग के हर में, आपको संख्या 1 लिखने की आवश्यकता है, जिसमें दाईं ओर, दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश की प्रविष्टि में जितने अंक हैं, उतने शून्य जोड़ें;
• यदि आवश्यक हो, तो परिणामी मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को कम करें।

दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव 152.06005 को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करें

अक्सर, जो बच्चे स्कूल में पढ़ते हैं उनकी दिलचस्पी इस बात में होती है कि वे वहां क्यों हैं वास्तविक जीवनगणित की आवश्यकता हो सकती है, विशेषकर उन अनुभागों में जो पहले से ही सरल गिनती, गुणा, भाग, योग और घटाव से कहीं आगे जाते हैं। कई वयस्क भी यह सवाल पूछते हैं कि क्या उनका व्यावसायिक गतिविधिगणित और विभिन्न गणनाओं से बहुत दूर। हालाँकि, यह समझा जाना चाहिए कि सभी प्रकार की स्थितियाँ हैं, और कभी-कभी आप उस कुख्यात स्कूल पाठ्यक्रम के बिना नहीं रह सकते हैं जिसे हमने बचपन में बहुत ही उपेक्षापूर्वक अस्वीकार कर दिया था। उदाहरण के लिए, हर कोई नहीं जानता कि भिन्न को दशमलव भिन्न में कैसे बदला जाए, और ऐसा ज्ञान गिनती की सुविधा के लिए बेहद उपयोगी हो सकता है। सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि जिस अंश की आपको आवश्यकता है उसे अंतिम दशमलव में बदला जा सकता है। यही बात प्रतिशत पर भी लागू होती है, जिसे आसानी से दशमलव में भी बदला जा सकता है।

किसी साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की संभावना की जाँच करना

कुछ भी गिनने से पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि परिणामी दशमलव अंश परिमित होगा, अन्यथा यह अनंत हो जाएगा और अंतिम संस्करण की गणना करना असंभव होगा। इसके अलावा, अनंत भिन्न भी आवर्ती और सरल हो सकते हैं, लेकिन यह एक अलग अनुभाग का विषय है।

एक साधारण भिन्न को उसके अंतिम, दशमलव संस्करण में परिवर्तित करना तभी संभव है जब इसके अद्वितीय हर को केवल 5 और 2 (सरल गुणनखंड) के गुणनखंडों में विघटित किया जा सके। और भले ही उन्हें मनमाने ढंग से कई बार दोहराया जाए।

आइए स्पष्ट करें कि ये दोनों संख्याएँ अभाज्य हैं, इसलिए अंत में इन्हें केवल स्वयं या एक से ही बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है। अभाज्य संख्याओं की तालिका इंटरनेट पर बिना किसी समस्या के पाई जा सकती है, यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है, हालाँकि इसका हमारे खाते से कोई सीधा संबंध नहीं है।

उदाहरणों पर विचार करें:

भिन्न 7/40 को एक सामान्य भिन्न से उसके दशमलव समकक्ष में परिवर्तित किया जा सकता है क्योंकि इसके हर को 2 और 5 से आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है।

हालाँकि, यदि पहला विकल्प अंतिम दशमलव अंश में परिणत होता है, तो, उदाहरण के लिए, 7/60 एक समान परिणाम नहीं देगा, क्योंकि इसका हर अब उन संख्याओं में विघटित नहीं होगा जिन्हें हम ढूंढ रहे हैं, लेकिन उनमें से तीन होंगे विभाजक कारक.

भिन्न को दशमलव में बदलना कई तरीकों से संभव है।

यह स्पष्ट हो जाने के बाद कि किन भिन्नों को साधारण से दशमलव में बदला जा सकता है, आप वास्तव में, रूपांतरण के लिए ही आगे बढ़ सकते हैं। वास्तव में, कुछ भी अति जटिल नहीं है, यहां तक ​​कि किसी ऐसे व्यक्ति के लिए भी जिसके पास यह है स्कूल कार्यक्रमस्मृति से पूरी तरह धूमिल हो गया।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदलें: सबसे आसान तरीका

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का यह तरीका वास्तव में सबसे सरल है, लेकिन कई लोगों को इसके नश्वर अस्तित्व के बारे में पता भी नहीं है, क्योंकि स्कूल में ये सब " सामान्य सत्यअनावश्यक और बहुत महत्वपूर्ण नहीं लगते। इस बीच, न केवल एक वयस्क इसका पता लगा सकता है, बल्कि एक बच्चा भी ऐसी जानकारी को आसानी से समझ सकता है।

इसलिए, भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको अंश के साथ-साथ हर को भी एक संख्या से गुणा करना होगा। हालाँकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है, इसलिए परिणामस्वरूप, यह हर में है कि इसे 10, 100, 1000, 10,000, 100,000 और इसी तरह अनंत तक प्राप्त करना चाहिए। पहले यह जांचना न भूलें कि क्या इस भिन्न को दशमलव में बदलना संभव है।

उदाहरणों पर विचार करें:

मान लीजिए कि हमें भिन्न 6/20 को दशमलव में बदलना है। हम जाँच:

जब हमने यह सुनिश्चित कर लिया कि भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना संभव है, और यहां तक ​​कि अंतिम अंश में भी, क्योंकि इसका हर आसानी से दो और पांच में विघटित हो जाता है, तो हमें अनुवाद के लिए ही आगे बढ़ना चाहिए। सबसे अधिक द्वारा सबसे बढ़िया विकल्प, तार्किक रूप से, हर को गुणा करने और परिणाम प्राप्त करने के लिए 100 5 है, क्योंकि 20x5=100।

स्पष्टता के लिए आप एक अतिरिक्त उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

दूसरा और अधिक लोकप्रिय तरीका भिन्नों को दशमलव में बदलें

दूसरा विकल्प कुछ अधिक जटिल है, लेकिन यह इस तथ्य के कारण अधिक लोकप्रिय है कि इसे समझना बहुत आसान है। यहां सब कुछ पारदर्शी और स्पष्ट है, तो आइए तुरंत गणना पर आगे बढ़ें।

याद रखने लायक

एक सरल, यानी एक साधारण भिन्न को उसके दशमलव समकक्ष में सही ढंग से परिवर्तित करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। वास्तव में, भिन्न एक विभाजन है, आप इस पर बहस नहीं कर सकते।

आइए एक उदाहरण देखें:

तो, सबसे पहले, भिन्न 78/200 को दशमलव में बदलने के लिए, आपको इसके अंश, यानी संख्या 78, को हर 200 से विभाजित करना होगा। लेकिन पहली चीज़ जो एक आदत बन जानी चाहिए वह है जाँच करना , जिसका उल्लेख पहले ही ऊपर किया जा चुका है।

चेक बनाने के बाद, आपको स्कूल को याद रखना होगा और अंश को हर से "कोने" या "कॉलम" से विभाजित करना होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ बेहद सरल है, और ऐसी समस्याओं को आसानी से हल करने के लिए आपको सात स्पैन की आवश्यकता नहीं है। सरलता और सुविधा के लिए, हम सबसे लोकप्रिय भिन्नों की एक तालिका भी देते हैं जिन्हें याद रखना आसान है और उन्हें अनुवाद करने के लिए प्रयास भी नहीं करना पड़ता है।

प्रतिशत को दशमलव में कैसे बदलें: इससे आसान कुछ भी नहीं है

अंत में, यह कदम प्रतिशत की ओर आया, जिसे, जैसा कि उसी स्कूल के पाठ्यक्रम में कहा गया है, दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। और यहां सब कुछ और भी आसान हो जाएगा, और आपको डरना नहीं चाहिए। यहां तक ​​​​कि जिन लोगों ने विश्वविद्यालयों से स्नातक नहीं किया है वे भी इस कार्य का सामना करेंगे, और उन्होंने स्कूल की पांचवीं कक्षा को बिल्कुल भी छोड़ दिया और गणित में कुछ भी नहीं समझते हैं।

शायद आपको एक परिभाषा से शुरुआत करने की ज़रूरत है, यानी यह पता लगाने की कि वास्तव में रुचि क्या है। प्रतिशत किसी संख्या का सौवां हिस्सा है, यानी बिल्कुल मनमाना। उदाहरण के लिए, सौ में से यह एक इकाई होगी, इत्यादि।

इस प्रकार, प्रतिशत को दशमलव में बदलने के लिए, आपको बस % चिह्न को हटाना होगा, और फिर संख्या को सौ से विभाजित करना होगा।

उदाहरणों पर विचार करें:

इसके अलावा, एक रिवर्स "रूपांतरण" करने के लिए, आपको बस इसके विपरीत करने की आवश्यकता है, अर्थात, संख्या को सौ से गुणा किया जाना चाहिए और उसे एक प्रतिशत चिह्न सौंपा जाना चाहिए। ठीक उसी तरह, प्राप्त ज्ञान को लागू करके एक साधारण अंश को प्रतिशत में बदलना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, पहले सामान्य अंश को दशमलव में बदलना पर्याप्त होगा, और इसलिए पहले से ही इसे प्रतिशत में बदल दें, और आप आसानी से विपरीत क्रिया भी कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी अति जटिल नहीं है, यह सब प्राथमिक ज्ञान है जिसे आपको बस ध्यान में रखना होगा, खासकर यदि आप संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं।

कम से कम प्रतिरोध का मार्ग: सुविधाजनक ऑनलाइन सेवाएँ

ऐसा भी होता है कि आपको गिनने का बिल्कुल भी मन नहीं होता है, और समय ही नहीं होता है। ऐसे मामलों के लिए, या विशेष रूप से आलसी उपयोगकर्ताओं के लिए, इंटरनेट पर कई सुविधाजनक और उपयोग में आसान सेवाएं हैं जो आपको सामान्य अंशों, साथ ही प्रतिशत को दशमलव अंशों में बदलने की अनुमति देगी। यह वास्तव में कम से कम प्रतिरोध का मार्ग है, इसलिए ऐसे संसाधनों का उपयोग करना एक खुशी है।

उपयोगी संदर्भ पोर्टल "कैलकुलेटर"

"कैलकुलेटर" सेवा का उपयोग करने के लिए, बस लिंक http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html का अनुसरण करें और आवश्यक फ़ील्ड में आवश्यक संख्याएं दर्ज करें। इसके अलावा, संसाधन आपको साधारण और मिश्रित दोनों भिन्नों को दशमलव में बदलने की अनुमति देता है।

थोड़े इंतजार के बाद, लगभग तीन सेकंड, सेवा अंतिम परिणाम देगी।

इसी प्रकार, आप दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं।

"गणितीय संसाधन" calcs.su पर ऑनलाइन कैलकुलेटर

एक और बहुत उपयोगी सेवा गणितीय संसाधन पर भिन्न कैलकुलेटर है। यहां आपको अपने आप से कुछ भी गिनने की ज़रूरत नहीं है, बस प्रस्तावित सूची से चुनें कि आपको क्या चाहिए और ऑर्डर के लिए आगे बढ़ें।

इसके अलावा, इसके लिए विशेष रूप से आरक्षित क्षेत्र में, आपको प्रतिशत की आवश्यक संख्या दर्ज करनी होगी, जिसे आपको नियमित अंश में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, यदि आपको दशमलव अंशों की आवश्यकता है, तो आप आसानी से अनुवाद कार्य स्वयं कर सकते हैं या इसके लिए इच्छित कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

अंत में, यह जोड़ने योग्य है कि चाहे कितनी भी नई-नई सेवाओं का आविष्कार किया जाए, कितने भी संसाधन आपको अपनी सेवाएँ प्रदान न करें, लेकिन समय-समय पर अपने दिमाग को प्रशिक्षित करने से कोई नुकसान नहीं होगा। इसलिए, प्राप्त ज्ञान को लागू करना सार्थक है, खासकर जब से आप गर्व से अपने बच्चों और फिर पोते-पोतियों को अपना होमवर्क करने में मदद कर सकते हैं। जो लोग समय की शाश्वत कमी से पीड़ित हैं, उनके लिए गणितीय पोर्टल पर ऐसे ऑनलाइन कैलकुलेटर काम आएंगे और यहां तक ​​कि आपको यह समझने में भी मदद मिलेगी कि एक सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए।

यहाँ, ऐसा प्रतीत होता है, दशमलव अंश का सामान्य अंश में अनुवाद एक प्रारंभिक विषय है, लेकिन कई छात्र इसे नहीं समझते हैं! इसलिए, आज हम एक साथ कई एल्गोरिदम पर करीब से नज़र डालेंगे, जिनकी मदद से आप किसी भी भिन्न से महज एक सेकंड में निपट लेंगे।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक ही भिन्न को लिखने के कम से कम दो रूप होते हैं: साधारण और दशमलव। दशमलव भिन्न सभी प्रकार की रचनाएँ हैं जैसे 0.75; 1.33; और यहां तक ​​कि -7.41. और यहां सामान्य भिन्नों के उदाहरण दिए गए हैं जो समान संख्याओं को व्यक्त करते हैं:

अब आइए जानें कि कैसे करें दशमलव अंकननियमित जाओ? और सबसे महत्वपूर्ण बात: इसे यथाशीघ्र कैसे करें?

बुनियादी एल्गोरिदम

वास्तव में, कम से कम दो एल्गोरिदम हैं। और अब हम दोनों को देखेंगे. आइए पहले से शुरू करें - सबसे सरल और सबसे समझने योग्य।

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, आपको तीन चरणों का पालन करना होगा:

के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी नकारात्मक संख्याएँ. यदि मूल उदाहरण में दशमलव अंश से पहले ऋण चिह्न है, तो आउटपुट पर साधारण अंश से पहले ऋण चिह्न भी होना चाहिए। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

मैं अंतिम उदाहरण पर विशेष ध्यान देना चाहूँगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न 0.0025 में दशमलव बिंदु के बाद कई शून्य हैं। इस वजह से, आपको अंश और हर को 10 से चार गुना तक गुणा करना होगा। क्या इस मामले में एल्गोरिदम को किसी तरह सरल बनाना संभव है?

निःसंदेह तुमसे हो सकता है। और अब हम एक वैकल्पिक एल्गोरिदम पर विचार करेंगे - इसे समझना थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन थोड़े अभ्यास के बाद यह मानक एल्गोरिदम की तुलना में बहुत तेजी से काम करता है।

तेज़ तरीका

इस एल्गोरिदम के भी 3 चरण हैं। दशमलव से एक सामान्य भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1. गणना करें कि दशमलव बिंदु के बाद कितने अंक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1.75 में दो ऐसे अंक हैं, और 0.0025 में चार हैं। आइए इस मात्रा को $n$ अक्षर से निरूपित करें।
2. मूल संख्या को $\frac(a)(((10)^(n))))$ के अंश के रूप में फिर से लिखें, जहां $a$ मूल भिन्न के सभी अंक हैं (बाईं ओर "प्रारंभिक" शून्य के बिना) , यदि कोई हो), और $n$ दशमलव बिंदु के बाद अंकों की वही संख्या है जिसे हमने पहले चरण में गिना था। दूसरे शब्दों में, मूल भिन्न के अंकों को $n$ शून्य से एक से विभाजित करना आवश्यक है।
3. यदि संभव हो तो परिणामी अंश को कम करें।

बस इतना ही! पहली नज़र में, यह योजना पिछली योजना से अधिक जटिल है। लेकिन वास्तव में, यह सरल और तेज़ दोनों है। अपने लिए जज करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंश 0.64 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक हैं - 6 और 4। इसलिए, $n=2$। यदि आप बायीं ओर (अंदर) अल्पविराम और शून्य हटा दें इस मामले में- केवल एक शून्य), फिर हमें संख्या 64 मिलती है। हम दूसरे चरण पर आगे बढ़ते हैं: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, इसलिए हर बिल्कुल एक है सौ। खैर, तो यह केवल अंश और हर को कम करने के लिए ही रह गया है। :)

एक और उदाहरण:

यहां सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल है। सबसे पहले, दशमलव बिंदु के बाद पहले से ही 3 अंक हैं, यानी। $n=3$, इसलिए आपको $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$ से विभाजित करना होगा। दूसरे, यदि हम दशमलव संकेतन से अल्पविराम हटा दें, तो हमें यह मिलता है: 0.004 → 0004। याद रखें कि बाईं ओर के शून्य को हटा दिया जाना चाहिए, इसलिए वास्तव में हमारे पास संख्या 4 है। फिर सब कुछ सरल है: विभाजित करें, घटाएं और उत्तर पाओ.

अंत में, अंतिम उदाहरण:

इस भिन्न की विशिष्टता पूर्णांक भाग की उपस्थिति है। इसलिए, आउटपुट पर हमें एक अनुचित अंश 47/25 मिलता है। बेशक, आप शेषफल के साथ 47 को 25 से विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं और इस प्रकार फिर से पूरे भाग को अलग कर सकते हैं। लेकिन यदि यह परिवर्तन के चरण में भी किया जा सकता है तो अपने जीवन को जटिल क्यों बनाएं? खैर, आइए इसका पता लगाएं।

पूरे हिस्से का क्या करें

वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है: यदि हम सही अंश प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें परिवर्तन के समय इसमें से पूर्णांक भाग को हटाना होगा, और फिर, जब हमें परिणाम मिलता है, तो इसे फिर से सामने दाईं ओर जोड़ना होगा भिन्नात्मक पट्टी का.

उदाहरण के लिए, उसी संख्या पर विचार करें: 1.88. आइए एक (संपूर्ण भाग) से स्कोर करें और अंश 0.88 देखें। इसे आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है:

फिर हम "खोई हुई" इकाई के बारे में याद करते हैं और इसे सामने जोड़ते हैं:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

बस इतना ही! उत्तर वही निकला जो पिछली बार पूरे भाग के चयन के बाद था। कुछ और उदाहरण:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\to 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\end(संरेखित करें)\]

यह गणित की सुंदरता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस रास्ते पर जाते हैं, अगर सभी गणनाएं सही ढंग से की जाती हैं, तो उत्तर हमेशा एक ही होगा। :)

अंत में, मैं एक और तकनीक पर विचार करना चाहूंगा जो कई लोगों की मदद करती है।

कान से परिवर्तन

आइए विचार करें कि दशमलव क्या है। अधिक सटीक रूप से, हम इसे कैसे पढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 0.64 - हम इसे "शून्य पूर्णांक, 64 सौवां" के रूप में पढ़ते हैं, है ना? खैर, या सिर्फ "64 सौवां।" यहाँ मुख्य शब्द "सैकड़वाँ" है, अर्थात्। संख्या 100.

0.004 के बारे में क्या? यह "शून्य बिंदु, 4 हजारवां" या बस "चार हजारवां" है। फिर भी, कीवर्ड- "हजारवां", यानी। 1000.

खैर, इसमें गलत क्या है? और तथ्य यह है कि ये संख्याएँ ही अंततः एल्गोरिथम के दूसरे चरण में हर में "पॉप अप" होती हैं। वे। 0.004 "चार हज़ारवाँ भाग" या "4 को 1000 से विभाजित" है:

स्वयं को प्रशिक्षित करने का प्रयास करें - यह बहुत सरल है। मुख्य बात मूल अंश को सही ढंग से पढ़ना है। उदाहरण के लिए, 2.5 "2 पूर्णांक, 5 दहाई" है, इसलिए

और कुछ 1.125 "1 पूर्ण, 125 हजारवां" है, इसलिए

पिछले उदाहरण में, निश्चित रूप से, किसी को आपत्ति होगी कि यह प्रत्येक छात्र के लिए स्पष्ट नहीं है कि 1000 125 से विभाज्य है। लेकिन यहां आपको यह याद रखना होगा कि 1000 = 10 3, और 10 = 2 5, इसलिए

\[\begin(संरेखित करें)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(संरेखित)\]

इस प्रकार, दस की कोई भी घात केवल गुणनखंड 2 और 5 में विघटित होती है - ये वे गुणनखंड हैं जिन्हें अंश में खोजा जाना चाहिए, ताकि अंत में सब कुछ कम हो जाए।

यह पाठ ख़त्म हो गया है. आइए अधिक जटिल व्युत्क्रम संक्रिया पर आगे बढ़ें - देखें "

भिन्नों पर सामग्री और क्रमिक रूप से अध्ययन करें। आपके लिए नीचे विस्तार में जानकारीउदाहरण और स्पष्टीकरण के साथ.

1. एक सामान्य भिन्न में मिश्रित संख्या।आइये लिखते हैं सामान्य रूप से देखेंसंख्या:

हमें एक सरल नियम याद है - हम पूरे भाग को हर से गुणा करते हैं और अंश जोड़ते हैं, अर्थात:

उदाहरण:

2. इसके विपरीत, एक साधारण भिन्न को मिश्रित संख्या में। *बेशक, यह केवल अनुचित भिन्न के साथ ही किया जा सकता है (जब अंश हर से बड़ा हो)।

"छोटी" संख्याओं के साथ, सामान्य तौर पर, कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं होती है, परिणाम तुरंत "देखा" जाता है, उदाहरण के लिए, अंश:

*विवरण:

15:13 = 1 शेष 2

4:3 = 1 शेष 1

9:5 = 1 शेष 4

लेकिन यदि संख्याएँ अधिक हैं, तो आप गणना के बिना नहीं रह सकते। यहां सब कुछ सरल है - हम अंश को हर से एक कोने से विभाजित करते हैं जब तक कि शेष भाजक से कम न हो जाए। प्रभाग योजना:

उदाहरण के लिए:

* अंश भाज्य है, हर भाजक है।

हमें पूर्णांक भाग (अपूर्ण भागफल) और शेषफल प्राप्त होता है। हम लिखते हैं - एक पूर्णांक, फिर एक भिन्न (अंश में एक शेष रहता है, और हम हर को वही छोड़ देते हैं):

3. हम दशमलव को साधारण में अनुवादित करते हैं।

आंशिक रूप से पहले पैराग्राफ में, जहाँ हमने दशमलव भिन्नों के बारे में बात की थी, हम पहले ही इस पर बात कर चुके हैं। जैसा हम सुनते हैं, वैसा ही हम लिखते हैं। उदाहरण के लिए - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015

हमारे पास पूर्णांक भाग के बिना पहले तीन भिन्न हैं। और चौथे और पांचवें के पास यह है, हम उन्हें सामान्य में अनुवाद करेंगे, हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

*हम देखते हैं कि भिन्नों को भी कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 और अन्य, लेकिन हम यहां ऐसा नहीं करेंगे। कटौती के लिए, नीचे एक अलग पैराग्राफ आपका इंतजार कर रहा है, जहां हम हर चीज का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

4. साधारण को दशमलव में परिवर्तित करें।

यह सब इतना आसान नहीं है. कुछ भिन्नों के लिए, आप तुरंत और स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि इसके साथ क्या करना है ताकि यह दशमलव बन जाए, उदाहरण के लिए:

हम भिन्न के अपने अद्भुत मूल गुण का उपयोग करते हैं - हम अंश और हर को क्रमशः 5, 25, 2, 5, 4, 2 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है:

यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो कुछ भी जटिल नहीं है:

हम भिन्नात्मक भाग को क्रमशः 2, 25, 2 और 5 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है:

और ऐसे भी हैं जिनके लिए, अनुभव के बिना, यह निर्धारित करना असंभव है कि उन्हें दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

आपको अंश और हर को किन संख्याओं से गुणा करना चाहिए?

यहां फिर से, एक सिद्ध विधि बचाव के लिए आती है - एक कोने से विभाजन, एक सार्वभौमिक विधि, आप इसका उपयोग हमेशा एक साधारण अंश को दशमलव में बदलने के लिए कर सकते हैं:

तो आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि भिन्न को दशमलव में बदला गया है या नहीं। तथ्य यह है कि प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता, उदाहरण के लिए, जैसे 1/9, 3/7, 7/26 का अनुवाद नहीं किया जाता है। और फिर 1 को 9 से, 3 को 7 से, 5 को 11 से विभाजित करने पर भिन्न का क्या परिणाम निकलता है? मैं उत्तर देता हूं - अनंत दशमलव (हमने पैराग्राफ 1 में उनके बारे में बात की थी)। आइए विभाजित करें:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।