विभिन्न हरों के साथ सरल भिन्नों की तुलना करना। भिन्नों की तुलना

इस पाठ में हम सीखेंगे कि भिन्नों की एक दूसरे से तुलना कैसे करें। ये बहुत उपयोगी कौशल, जो अधिक जटिल समस्याओं की एक पूरी श्रेणी को हल करने के लिए आवश्यक है।

सबसे पहले, मैं आपको भिन्नों की समानता की परिभाषा याद दिला दूं:

यदि ad = bc हो तो भिन्न a/b और c/d को बराबर कहा जाता है।

1. 5/8 = 15/24, चूँकि 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, चूँकि 3 18 = 2 27 = 54.

अन्य सभी मामलों में, भिन्न असमान हैं, और निम्नलिखित में से एक कथन उनके लिए सत्य है:

1. भिन्न a/b भिन्न c/d से बड़ा है;
2. भिन्न a/b भिन्न c/d से कम है।

भिन्न a /b को भिन्न c /d से बड़ा कहा जाता है यदि a /b − c /d > 0.

एक भिन्न x /y को भिन्न s /t से छोटा कहा जाता है यदि x /y − s /t< 0.

पद का नाम:

इस प्रकार, भिन्नों की तुलना करने से उन्हें घटाना संभव हो जाता है। प्रश्न: "से अधिक" (>) और "से कम" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. जैकडॉ का उभरा हुआ हिस्सा हमेशा बड़ी संख्या की ओर इशारा करता है;
2. जैकडॉ की तेज़ नाक हमेशा कम संख्या की ओर इशारा करती है।

अक्सर उन समस्याओं में जहां आपको संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है, उनके बीच एक "∨" चिह्न लगाया जाता है। यह नीचे की ओर नाक वाला एक पंजा है, जो संकेत देता प्रतीत होता है: बड़ी संख्या अभी तक निर्धारित नहीं की गई है।

काम। संख्याओं की तुलना करें:

परिभाषा का पालन करते हुए, भिन्नों को एक दूसरे से घटाएँ:

प्रत्येक तुलना में, हमें भिन्नों को एक सामान्य हर तक कम करना था। विशेष रूप से, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करना और लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना। मैंने जानबूझकर इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" पाठ पर एक नज़र डालें - यह बहुत आसान है।

दशमलव की तुलना

दशमलव भिन्नों के मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। यहां कुछ भी घटाने की जरूरत नहीं है - बस अंकों की तुलना करें। यह याद रखना एक अच्छा विचार है कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए मैं "दशमलवों को गुणा करना और विभाजित करना" पाठ दोहराने का सुझाव देता हूं - इसमें भी बस कुछ मिनट लगेंगे।

एक धनात्मक दशमलव X, धनात्मक दशमलव Y से बड़ा होता है यदि इसमें दशमलव स्थान इस प्रकार हो:

1. भिन्न X में इस स्थान का अंक भिन्न Y में संगत अंक से बड़ा है;
2. भिन्न X और Y के लिए इससे ऊपर के सभी अंक समान हैं।

1. 12.25 > 12.16. पहले दो अंक समान हैं (12 = 12), और तीसरा बड़ा है (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

दूसरे शब्दों में, हम एक-एक करके दशमलव स्थानों पर जाते हैं और अंतर तलाशते हैं। इस मामले में, एक बड़ी संख्या एक बड़े भिन्न से मेल खाती है।

हालाँकि, इस परिभाषा को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव स्थानों को कैसे लिखें और तुलना करें? याद रखें: दशमलव रूप में लिखी गई किसी भी संख्या में बायीं ओर कितनी भी संख्या में शून्य जोड़ा जा सकता है। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (हम बात कर रहे हैंवरिष्ठ पद के बारे में)
2. 2300.5 > 0.0025, क्योंकि 0.0025 = 0000.0025 - बाईं ओर तीन शून्य जोड़े गए। अब आप देख सकते हैं कि अंतर पहले अंक से शुरू होता है: 2 > 0.

बेशक, शून्य के साथ दिए गए उदाहरणों में स्पष्ट रूप से अधिकता थी, लेकिन मुद्दा बिल्कुल यही है: बाईं ओर गायब बिट्स भरें, और फिर तुलना करें।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

1. 0.029 > 0.007. पहले दो अंक मेल खाते हैं (00 = 00), फिर अंतर शुरू होता है (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. यहां आपको शून्यों को सावधानीपूर्वक गिनने की जरूरत है। दोनों भिन्नों में पहले 5 अंक शून्य हैं, लेकिन फिर पहले भिन्न में 3 है, और दूसरे में - 0। जाहिर है, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. आइए बाईं ओर 3 शून्य जोड़कर दूसरे अंश को 0000.99501 के रूप में फिर से लिखें। अब सब कुछ स्पष्ट है: 1 > 0 - अंतर पहले अंक में पता चला है।

दुर्भाग्य से, दी गई तुलना योजना दशमलवसार्वभौमिक नहीं. यह विधि केवल तुलना ही कर सकती है सकारात्मक संख्या. सामान्य स्थिति में, ऑपरेटिंग एल्गोरिदम इस प्रकार है:

1. एक धनात्मक भिन्न सदैव ऋणात्मक भिन्न से बड़ा होता है;
2. उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके दो सकारात्मक भिन्नों की तुलना की जाती है;
3. दो ऋणात्मक भिन्नों की तुलना इसी प्रकार की जाती है, लेकिन अंत में असमानता का चिह्न उलट जाता है।

अच्छा, बुरा नहीं? अब आइए देखें विशिष्ट उदाहरण- और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > −0.39. भिन्न ऋणात्मक हैं, दूसरा अंक भिन्न है। 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > −11.3. एक धनात्मक संख्या सदैव ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है;
4. 19.032 > 0.091. यह देखने के लिए कि अंतर पहले अंक में पहले से ही उत्पन्न होता है, दूसरे अंश को 00.091 के रूप में फिर से लिखना पर्याप्त है;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. अंतर पहली श्रेणी में है.

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है, दो असमान भिन्नों की आगे तुलना की जाती है। दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है, जिसे हम नीचे बनाएंगे, और हम समान और असमान हर वाले भिन्नों की तुलना करते समय इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरण भी देखेंगे। अंत में, हम दिखाएंगे कि समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना उन्हें एक सामान्य हर में घटाए बिना कैसे की जाए, और हम यह भी देखेंगे कि एक सामान्य भिन्न की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से कैसे की जाए।

पेज नेविगेशन.

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करनामूलतः समान शेयरों की संख्या की तुलना है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 3/7 3 भाग 1/7 निर्धारित करता है, और भिन्न 8/7 8 भाग 1/7 से मेल खाता है, इसलिए समान हर 3/7 और 8/7 के साथ भिन्नों की तुलना करने से संख्याओं की तुलना होती है 3 और 8, अर्थात् अंशों की तुलना करना।

इन विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है भिन्नों की समान हर से तुलना करने का नियम: समान हर वाली दो भिन्नों में, वह भिन्न बड़ी होती है जिसका अंश बड़ा होता है, और वह भिन्न छोटी होती है जिसका अंश कम होता है।

बताया गया नियम बताता है कि समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें। आइए भिन्नों की समान हर से तुलना करने के नियम को लागू करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

कौन सा भिन्न बड़ा है: 65/126 या 87/126?

समाधान।

तुलना की गई साधारण भिन्नों के हर बराबर हैं, और भिन्न 87/126 का अंश 87 भिन्न 65/126 के अंश 65 से बड़ा है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, भिन्न 87/126, भिन्न 65/126 से बड़ा है।

उत्तर:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनासमान हर वाले भिन्नों की तुलना करने तक इसे कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस तुलनीय की आवश्यकता है सामान्य भिन्नएक सामान्य विभाजक पर लाएँ।

तो, विभिन्न हरों के साथ दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

• भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ;
• परिणामी भिन्नों की तुलना समान हरों से करें।

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

भिन्न 5/12 की तुलना भिन्न 9/16 से करें।

समाधान।

सबसे पहले, आइए अलग-अलग हर वाले इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने का नियम और उदाहरण देखें)। एक सामान्य हर के रूप में, हम LCM(12, 16)=48 के बराबर सबसे कम सामान्य हर लेते हैं। तब भिन्न 5/12 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:12=4 होगा, और भिन्न 9/16 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:16=3 होगा। हम पाते हैं और .

परिणामी भिन्नों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है। इसलिए, भिन्न 5/12, भिन्न 9/16 से छोटा है। यह विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना को पूरा करता है।

उत्तर:

आइए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका जानें, जो आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना और इस प्रक्रिया से जुड़ी सभी कठिनाइयों के बिना तुलना करने की अनुमति देगा।

भिन्नों ए/बी और सी/डी की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर बी·डी में घटाया जा सकता है, जो तुलना किए जा रहे भिन्नों के हर के उत्पाद के बराबर है। इस मामले में, भिन्नों a/b और c/d के अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः संख्या d और b हैं, और मूल भिन्नों को एक सामान्य हर b·d वाले भिन्नों में घटा दिया जाता है। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम को याद करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल भिन्नों a/b और c/d की तुलना को उत्पाद a·d और c·b की तुलना में कम कर दिया गया है।

इसका तात्पर्य निम्नलिखित है विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: यदि a d>b c , तो , और यदि a d

आइए इस प्रकार विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना देखें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों 5/18 और 23/86 की तुलना करें।

समाधान।

इस उदाहरण में, a=5 , b=18 , c=23 और d=86 । आइए उत्पादों विज्ञापन और बीसी की गणना करें। हमारे पास a·d=5·86=430 और b·c=18·23=414 है। चूँकि 430>414, तो भिन्न 5/18, भिन्न 23/86 से बड़ा है।

उत्तर:

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना निश्चित रूप से पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके की जा सकती है। हालाँकि, ऐसे भिन्नों की तुलना का परिणाम इन भिन्नों के हरों की तुलना करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

ऐसी ही एक बात है समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान अंश वाली दो भिन्नों में, छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है, और बड़े हर वाली भिन्न छोटी होती है।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

भिन्नों 54/19 और 54/31 की तुलना करें।

समाधान।

चूँकि तुलना की जा रही भिन्नों के अंश बराबर हैं, और भिन्न 54/19 का हर 19, भिन्न 54/31 के हर 31 से कम है, तो 54/19, 54/31 से बड़ा है।

आइए भिन्नों का अध्ययन जारी रखें। आज हम इनकी तुलना के बारे में बात करेंगे. विषय रोचक एवं उपयोगी है. यह एक नौसिखिया को सफेद कोट में एक वैज्ञानिक की तरह महसूस करने की अनुमति देगा।

भिन्नों की तुलना करने का सार यह पता लगाना है कि दो भिन्नों में से कौन सा बड़ा या छोटा है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि दो भिन्नों में से कौन बड़ा या छोटा है, अधिक (>) या कम (जैसे) का उपयोग करें।<).

गणितज्ञों ने पहले से ही तैयार नियमों का ध्यान रखा है जो उन्हें तुरंत इस सवाल का जवाब देने की अनुमति देते हैं कि कौन सा अंश बड़ा है और कौन सा छोटा है। इन नियमों को सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है.

हम इन सभी नियमों को देखेंगे और यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि ऐसा क्यों होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

जिन भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है वे भिन्न हैं। सबसे अच्छा मामला तब होता है जब भिन्नों के हर समान होते हैं, लेकिन अंश अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है। और तदनुसार, छोटे अंश वाला भिन्न छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और उत्तर दें कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा है। यहां हर तो एक ही है, लेकिन अंश अलग-अलग हैं। भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। इसका मतलब यह है कि अंश इससे बड़ा है। हम इसी तरह उत्तर देते हैं। आपको अधिक आइकन (>) का उपयोग करके उत्तर देना होगा

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में याद करें, जो चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा हैं:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

समान अंश-गणकों से भिन्नों की तुलना करना

अगली स्थिति में हम तब पहुँच सकते हैं जब भिन्नों के अंश समान होते हैं, लेकिन हर भिन्न होते हैं। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है। और तदनुसार, जिस भिन्न का हर बड़ा होता है वह छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और। इन भिन्नों के अंश समान होते हैं। भिन्न का हर भिन्न से छोटा होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न, भिन्न से बड़ा है। तो हम उत्तर देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में याद करें, जो तीन और चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा हैं:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

अक्सर ऐसा होता है कि आपको विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनी पड़ती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों और की तुलना करें। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है, आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर में लाना होगा। फिर आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है।

आइए भिन्नों को समान (सामान्य) हर पर लाएँ। आइए दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। भिन्नों के हरों का LCM और यह संख्या 6 है।

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। आइए एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

आइए अब दूसरा अतिरिक्त कारक खोजें। आइए एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

आइए भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों की तुलना कैसे की जाती है। समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है:

नियम तो नियम है, और हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि यह इससे अधिक क्यों है। ऐसा करने के लिए, भिन्न में संपूर्ण भाग का चयन करें। भिन्न में कुछ भी उजागर करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि भिन्न पहले से ही उचित है।

भिन्न में पूर्णांक भाग को अलग करने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अब आप आसानी से समझ सकते हैं कि इससे ज्यादा क्यों। आइए इन अंशों को पिज़्ज़ा के रूप में बनाएं:

2 साबूत पिज़्ज़ा और पिज़्ज़ा, पिज़्ज़ा से भी ज़्यादा।

मिश्रित संख्याओं का घटाव. कठिन मामले.

मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, आप कभी-कभी पा सकते हैं कि चीजें उतनी आसानी से नहीं चल रही हैं जितनी आप चाहते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी उदाहरण को हल करते समय उत्तर वह नहीं होता जो होना चाहिए।

संख्याओं को घटाते समय, न्यूनतम को घटाव से अधिक होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य उत्तर प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, 10−8=2

10 - घटने योग्य

8 - सबट्रेंड

2 - अंतर

लघुअंत 10, उपअंक 8 से बड़ा है, इसलिए हमें सामान्य उत्तर 2 मिलता है।

अब देखते हैं कि यदि मीनूएंड सबट्रेंड से कम है तो क्या होता है। उदाहरण 5−7=−2

5—घटने योग्य

7 - सबट्रेंड

−2-अंतर

इस मामले में, हम उन संख्याओं की सीमाओं से परे चले जाते हैं जिनके हम आदी हैं और खुद को नकारात्मक संख्याओं की दुनिया में पाते हैं, जहां चलना हमारे लिए बहुत जल्दी है, और खतरनाक भी। इसके साथ कार्य करने के लिए नकारात्मक संख्याएँ, हमें उचित गणितीय प्रशिक्षण की आवश्यकता है, जो हमें अभी तक प्राप्त नहीं हुआ है।

यदि, घटाव के उदाहरणों को हल करते समय, आप पाते हैं कि न्यूनतम घटाव से कम है, तो आप ऐसे उदाहरण को अभी के लिए छोड़ सकते हैं। ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद ही उनके साथ काम करने की अनुमति है।

भिन्नों के साथ भी यही स्थिति है। मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य उत्तर प्राप्त करना संभव होगा। और यह समझने के लिए कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाए जा रहे अंश से बड़ा है, आपको इन अंशों की तुलना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए उदाहरण को हल करें।

यह घटाव का उदाहरण है. इसे हल करने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाए जा रहे अंश से बड़ा है। इससे अधिक

इसलिए हम सुरक्षित रूप से उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे हल कर सकते हैं:

आइए अब इस उदाहरण को हल करें

हम जाँचते हैं कि क्या घटाया जा रहा अंश, घटाये जा रहे अंश से बड़ा है। हमने पाया कि यह कम है:

इस मामले में, रुक जाना और आगे की गणना जारी न रखना ही समझदारी है। जब हम ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करते हैं तो आइए इस उदाहरण पर वापस लौटते हैं।

घटाने से पहले मिश्रित संख्याओं की जांच करना भी उचित है। उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या कम की जा रही मिश्रित संख्या, घटाई जाने वाली मिश्रित संख्या से अधिक है। ऐसा करने के लिए, हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करते हैं:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें प्राप्त हुईं। ऐसे भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें समान (सामान्य) हर पर लाना होगा। हम यह विस्तार से नहीं बताएंगे कि यह कैसे करना है। यदि आपको कठिनाई हो तो दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को समान हर तक घटाने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अब आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। ये समान हर वाले भिन्न हैं। समान हर वाली दो भिन्नों में, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। इसका मतलब यह है कि भिन्न, भिन्न से बड़ा है।

इसका मतलब यह है कि मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा है

इसका मतलब है कि हम अपने उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे सुरक्षित रूप से हल कर सकते हैं:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

आइए जांचें कि क्या मीनूएंड सबट्रेंड से अधिक है।

आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें प्राप्त हुईं। आइए हम इन भिन्नों को समान (सामान्य) हर तक घटाएँ।

न केवल अभाज्य संख्याओं की तुलना की जा सकती है, बल्कि भिन्नों की भी तुलना की जा सकती है। आख़िरकार, भिन्न वही संख्या है, उदाहरण के लिए, पूर्णांकों. आपको केवल उन नियमों को जानना होगा जिनके द्वारा भिन्नों की तुलना की जाती है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि दो भिन्नों के हर समान हों तो ऐसे भिन्नों की तुलना करना आसान होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उनके अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है। जिस भिन्न का अंश बड़ा होता है वह भिन्न बड़ा होता है।

आइए एक उदाहरण देखें:

भिन्नों \(\frac(7)(26)\) और \(\frac(13)(26)\) की तुलना करें।

दोनों भिन्नों के हर समान हैं और 26 के बराबर हैं, इसलिए हम अंशों की तुलना करते हैं। संख्या 13, 7 से बड़ी है। हमें प्राप्त होता है:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि किसी भिन्न के अंश समान हों, तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

इस नियम को जीवन से एक उदाहरण देकर समझा जा सकता है। हमारे पास केक है. 5 या 11 मेहमान हमसे मिलने आ सकते हैं। अगर 5 मेहमान आते हैं तो केक को 5 बराबर टुकड़ों में काट लेंगे और अगर 11 मेहमान आते हैं तो हम केक को 11 बराबर टुकड़ों में बांट लेंगे. अब उस स्थिति के बारे में सोचें जिसमें एक मेहमान के पास केक का एक टुकड़ा होगा बड़ा आकार? बेशक, जब 5 मेहमान आएंगे तो केक का टुकड़ा बड़ा होगा।

या कोई अन्य उदाहरण. हमारे पास 20 कैंडी हैं। हम कैंडी को 4 दोस्तों को बराबर-बराबर दे सकते हैं या कैंडी को 10 दोस्तों में बराबर-बराबर बाँट सकते हैं। किस स्थिति में प्रत्येक मित्र के पास अधिक मिठाइयाँ होंगी? बेशक, जब हम केवल 4 दोस्तों के बीच विभाजित होते हैं, तो प्रत्येक दोस्त के लिए कैंडी की संख्या अधिक होगी। आइए इस समस्या को गणितीय रूप से जांचें।

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

यदि हम पहले इन भिन्नों को हल करते हैं, तो हमें संख्याएँ \(\frac(20)(4) = 5\) और \(\frac(20)(10) = 2\) प्राप्त होती हैं। हमें वह 5 > 2 प्राप्त होता है

यह समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम है।

आइए एक और उदाहरण देखें.

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करें \(\frac(1)(17)\) और \(\frac(1)(15)\) .

चूँकि अंश समान होते हैं, छोटे हर वाला भिन्न बड़ा होता है।

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

विभिन्न हरों और अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को घटाकर से करना होगा, और फिर अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(5)(7)\) की तुलना करें।

सबसे पहले, आइए भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। यह संख्या 21 के बराबर होगी.

\(\begin(संरेखित)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \गुना 3)(7 \गुना 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(संरेखित)\)

फिर हम अंशों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम।

\(\begin(संरेखित)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

तुलना।

एक अनुचित भिन्न सदैव उचित भिन्न से बड़ा होता है।क्योंकि एक अनुचित भिन्न 1 से बड़ी होती है, और एक उचित भिन्न 1 से कम होती है।

उदाहरण:
भिन्नों \(\frac(11)(13)\) और \(\frac(8)(7)\) की तुलना करें।

भिन्न \(\frac(8)(7)\) अनुचित है और 1 से बड़ा है।

\(1 < \frac{8}{7}\)

भिन्न \(\frac(11)(13)\) सही है और यह 1 से कम है। आइए तुलना करें:

\(1 > \frac(11)(13)\)

हमें मिलता है, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

संबंधित सवाल:
विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा और फिर उनके अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि भिन्न किस श्रेणी से संबंधित हैं: उनके पास एक सामान्य हर है, उनके पास एक सामान्य अंश है, उनके पास एक सामान्य हर और अंश नहीं है, या आपके पास एक उचित और अनुचित भिन्न है। भिन्नों को वर्गीकृत करने के बाद उचित तुलना नियम लागू करें।

समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करना क्या है?
उत्तर: यदि भिन्नों के अंश समान हों तो छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है।

उदाहरण 1:
भिन्नों \(\frac(11)(12)\) और \(\frac(13)(16)\) की तुलना करें।

समाधान:
चूंकि कोई समान अंश या हर नहीं हैं, इसलिए हम विभिन्न हर के साथ तुलना का नियम लागू करते हैं। हमें एक सामान्य विभाजक खोजने की जरूरत है। उभयनिष्ठ हर 96 होगा। आइए भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में घटाएँ। पहले भिन्न \(\frac(11)(12)\) को 8 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \(\frac(13)(16)\) को 6 से गुणा करें।

\(\begin(ign)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \गुना 6)(16 \गुना 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(संरेखित)\)

हम भिन्नों की तुलना अंशों से करते हैं, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है।

\(\begin(ign)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(संरेखित करें)\)

उदाहरण #2:
एक उचित भिन्न की तुलना एक से करें?

समाधान:
कोई भी उचित भिन्न सदैव 1 से कम होता है।

कार्य 1:
बेटा और पिता फुटबॉल खेल रहे थे. बेटे ने 10 में से 5 बार गोल मारा। और पिताजी ने 5 दृष्टिकोणों में से 3 बार गोल मारा। किसका परिणाम बेहतर है?

समाधान:
बेटे ने 10 संभावित तरीकों में से 5 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(5)(10)\) के रूप में लिखें।
पिताजी ने 5 संभावित दृष्टिकोणों में से 3 बार प्रहार किया। आइए इसे भिन्न \(\frac(3)(5)\) के रूप में लिखें।

आइए भिन्नों की तुलना करें. हमारे पास अलग-अलग अंश और हर हैं, आइए उन्हें घटाकर एक हर कर दें। उभयनिष्ठ हर 10 होगा.

\(\begin(ign)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

उत्तर: पिताजी का परिणाम बेहतर है।