ऑनलाइन कैलकुलेटर।
संख्यात्मक अंशों के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन।
गुणन, घटाव, विभाजन, जोड़ और अंशों में कमी विभिन्न भाजक.

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ आप कर सकते हैं अलग-अलग भाजक वाले संख्यात्मक अंशों को गुणा, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

कार्यक्रम सही, अनुचित और मिश्रित संख्यात्मक अंशों के साथ काम करता है।

यह कार्यक्रम (ऑनलाइन कैलकुलेटर) कर सकता है:
- विभिन्न भाजक के साथ मिश्रित भिन्न जोड़ें
- अलग भाजक के साथ मिश्रित भिन्न घटाना
- मिश्रित अंशों को अलग-अलग भाजक से विभाजित करें
- विभिन्न भाजक के साथ मिश्रित अंशों को गुणा करें
- भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाएँ
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलें
- अंश कम करें

आप भिन्नों के साथ कोई व्यंजक भी दर्ज नहीं कर सकते, बल्कि एक एकल भिन्न दर्ज कर सकते हैं।
इस मामले में, अंश कम हो जाएगा और परिणाम से पूर्णांक भाग का चयन किया जाएगा।

संख्यात्मक अंशों के साथ भावों की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता है विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ, अर्थात्। समाधान खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा विद्यालयतैयारी के लिए नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपना प्रशिक्षण आयोजित कर सकते हैं छोटे भाईया बहनों, जबकि हल किए जा रहे कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्यात्मक अंशों के साथ व्यंजक दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित करा लें।

संख्यात्मक अंशों के साथ भाव दर्ज करने के नियम

केवल एक पूर्ण संख्या अंश, भाजक और अंश के पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक नकारात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट: -2/3 + 7/5
परिणाम: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

पूर्णांक भाग अंश से एम्परसेंड द्वारा अलग किया जाता है: &
इनपुट: -1&2/3 * 5&8/3
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

भिन्नों का विभाजन एक कोलन के साथ शुरू किया गया है: :
इनपुट: -9 और 37/12: -3 और 5/14
परिणाम: \(-9\frac(37)(12) : \बाएं(-3\frac(5)(14) \दाएं) \)
याद रखें कि आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते!

संख्यात्मक अंशों वाले व्यंजकों को दर्ज करते समय कोष्ठकों का उपयोग किया जा सकता है।
इनपुट: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

संख्यात्मक अंशों के साथ एक व्यंजक दर्ज करें।

गणना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट्स को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम शायद काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

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क्योंकि ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
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अगर आप समाधान में त्रुटि देखी, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं कौन सा कार्य बताएंआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत।

साधारण अंश। शेष के साथ विभाजन

यदि हमें 497 को 4 से भाग देना है, तो भाग देने पर हम देखेंगे कि 497, 4 से विभाज्य नहीं है, अर्थात् विभाजन शेष रहता है। ऐसे मामलों में कहा जाता है शेष के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर विभाजन घटकों को शेष के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. शेषफल से भाग देने पर विभाजन का परिणाम कहलाता है अधूरा निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. जब कोई शेष न हो, तो एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित होना कहते हैं। बिना निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेष 1 है।

शेष हमेशा भाजक से छोटा होता है।

गुणा करके विभाजित करते समय आप जांच सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो चेक इस तरह किया जा सकता है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेष के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए \u003d बी * एन + आर,
जहाँ a भाज्य है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के विभाजन के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य होता है और भाजक भाजक होता है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य होता है और भाजक भाजक होता है, मानते हैं कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को अंश के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के भागफल को एक भिन्न \(\frac(m)(n) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ अंश m भाज्य है, और भाजक n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सही हैं:

एक अंश \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करने और ऐसे m भागों को लेने की आवश्यकता है।

अंश \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

एक पूरे का एक हिस्सा खोजने के लिए, आपको पूरे के अनुरूप संख्या को भाजक से विभाजित करना होगा और इस भाग को व्यक्त करने वाले अंश के अंश से परिणाम को गुणा करना होगा।

इसके भाग द्वारा संपूर्ण को खोजने के लिए, आपको इस भाग के अंश से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और इस भाग को व्यक्त करने वाले अंश के भाजक से परिणाम को गुणा करना होगा।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
यह संपत्ति कहलाती है एक अंश की मूल संपत्ति.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं अंश में कमी.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करने की आवश्यकता है, तो ऐसी क्रिया कहलाती है एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना.

उचित और अनुचित अंश। मिश्रित संख्या

आप पहले से ही जानते हैं कि एक भिन्न को एक पूर्ण को बराबर भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भागों को लेकर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4) \) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में सामान्य अंशएक पूरे के हिस्से को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है। व्यावहारिक बुद्धिसुझाव देता है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन फिर \(\frac(5)(5) \) या \(\frac(8)(5) \) जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है। शायद यही कारण है कि ऐसे अंश, जिनमें अंश भाजक से बड़ा या उसके बराबर होता है, कहलाते हैं अनुचित अंश. शेष भिन्न, अर्थात् जिन भिन्नों का अंश हर से छोटा होता है, कहलाती हैं उचित अंश.

जैसा कि आप जानते हैं, कोई भी साधारण भिन्न, दोनों उचित और अनुचित, अंश को भाजक से विभाजित करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित अंश" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश इसके भाजक से अधिक या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक अंश होता है, तो ऐसा अंशों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न \(\frac(a)(b) \) का अंश एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न \(\frac(a)(b) \) का अंश एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम तब भी मान्य होता है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी अंश का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

अंशों के साथ क्रियाएँ। अंशों का जोड़।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, जैसा कि साथ है प्राकृतिक संख्या, आप अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं। आइए पहले भिन्नों को जोड़ते हुए देखें। समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ना आसान है। उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7) \) और \(\frac(3)(7) \) का योग ज्ञात कीजिए। यह देखना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और भाजक को वही रहने देना होगा।

अक्षरों का उपयोग करते हुए, समान भाजक वाले भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आप अलग-अलग भाजक के साथ अंश जोड़ना चाहते हैं, तो उन्हें पहले एक सामान्य भाजक में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

अंशों के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं के लिए, योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित अंशों का जोड़

\(2\frac(2)(3) \) जैसी रिकॉर्डिंग कहलाती हैं मिश्रित अंश. नंबर 2 कहा जाता है पूरा हिस्सामिश्रित अंश है, और संख्या \(\frac(2)(3) \) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3) \) इस तरह पढ़ी जाती है: "दो और दो तिहाई"।

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर दो उत्तर मिलते हैं: \(\frac(8)(3) \) और \(2\frac(2)(3) \)। वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3) \) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3) \) के रूप में दर्शाया गया है। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि एक अनुचित भिन्न से पूरे को अलग कर दिया.

भिन्नों का घटाव (आंशिक संख्या)

भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव, साथ ही साथ प्राकृतिक, जोड़ क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाना मतलब एक संख्या को खोजना है, जो दूसरे में जोड़ने पर, पहले देता है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूंकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

समान भाजक वाले भिन्नों को घटाने का नियम ऐसे भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाली भिन्नों का अंतर ज्ञात करने के लिए, पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाएं और हर को वही रहने दें।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए इस नियम को इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

अंशों का गुणन

एक भिन्न को एक भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे गुणनफल को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

सूत्रबद्ध नियम का उपयोग करके, एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से, एक मिश्रित अंश से गुणा करना और मिश्रित अंशों को गुणा करना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको 1 के भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक प्राकृतिक संख्या लिखने की आवश्यकता है, एक मिश्रित अंश एक अनुचित अंश के रूप में।

गुणन के परिणाम को अंश को कम करके और अनुचित अंश के पूर्णांक भाग को हाइलाइट करके सरल (यदि संभव हो) किया जाना चाहिए।

अंशों के लिए, साथ ही साथ प्राकृतिक संख्याओं के लिए, गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं, साथ ही जोड़ के संबंध में गुणन की वितरण संपत्ति भी।

अंशों का विभाजन

अंश \(\frac(2)(3) \) लें और अंश और हर की अदला-बदली करके इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2) \) प्राप्त होता है। इस अंश को कहा जाता है उलटनाभिन्न \(\frac(2)(3) \).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2) \) को "रिवर्स" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3) \) प्राप्त होता है। इसलिए, \(\frac(2)(3) \) और \(\frac(3)(2) \) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर उलटा.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7) \).

अक्षरों का प्रयोग करके, परस्पर व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि पारस्परिक अंशों का उत्पाद 1 है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

व्युत्क्रम भिन्नों का उपयोग करके, भिन्नों के विभाजन को गुणन में घटाया जा सकता है।

भिन्न को भिन्न से भाग देने का नियम:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

496. पाना एक्स, अगर:

497. 1) यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 10 1/2 में 3/10 जोड़ते हैं, तो आपको 13 1/2 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

2) यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 7/10 में से 10 1/2 घटाते हैं, तो आपको 15 2/5 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

498 *। यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 3/4 में से 10 घटाते हैं और परिणामी अंतर को 5 से गुणा करते हैं, तो आपको 100 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

499 *। यदि किसी अज्ञात संख्या को उसके 2/3 से बढ़ा दिया जाए तो 60 प्राप्त होता है। यह संख्या क्या है?

500 *। यदि हम उसी राशि को एक अज्ञात संख्या में जोड़ते हैं, और 20 1/3 भी, तो हमें 105 2/5 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

501. 1) एक वर्ग-घोंसले के रोपण के साथ आलू की उपज औसतन 150 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर है, और सामान्य रोपण के साथ इस राशि का 3/5 है। यदि आलू को वर्गाकार-घोंसला तरीके से लगाया जाए तो 15 हेक्टेयर क्षेत्र से कितने और आलू की फसल ली जा सकती है?

2) एक अनुभवी कार्यकर्ता ने 1 घंटे में 18 भाग बनाए, और एक अनुभवहीन कार्यकर्ता ने इस राशि का 2/3 भाग बनाया। एक अनुभवी कर्मचारी 7 घंटे के कार्य दिवस में और कितने पुर्जों का उत्पादन कर सकता है?

502. 1) पायनियर्स भीतर इकट्ठे हुए तीन दिन 56 किग्रा विभिन्न बीज। पहले दिन, कुल राशि का 3/14, दूसरे दिन डेढ़ गुना और तीसरे दिन, शेष अनाज एकत्र किया गया। अग्रदूतों ने तीसरे दिन कितने किलोग्राम बीज एकत्र किए?

2) गेहूँ पीसते समय, यह निकला: गेहूँ की कुल मात्रा का 4/5 आटा, सूजी - आटे से 40 गुना कम, और बाकी चोकर। 3 टन गेहूं पिसवाने पर आपको अलग से कितना आटा, सूजी और चोकर मिला?

503. 1) तीन गैरेज में 460 कारें फिट होती हैं। पहले गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या दूसरे गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या का 3/4 है, और तीसरे गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या का 1 1/2 गुना है अधिक कारेंपहले की तुलना में। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें फिट होती हैं?

2) प्लांट, जिसमें तीन वर्कशॉप हैं, में 6,000 कर्मचारी काम करते हैं। दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम है, और तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का 5/6 है। प्रत्येक दुकान में कितने कर्मचारी हैं?

504. 1) पहले, टैंक से 2/5 मिट्टी के तेल के साथ डाला गया, फिर कुल मिट्टी के तेल का 1/3 और उसके बाद 8 टन मिट्टी का तेल टैंक में रह गया। टैंक में मूल रूप से कितना मिट्टी का तेल था?

2) साइकिल चालकों ने तीन दिनों तक दौड़ लगाई। पहले दिन उन्होंने पूरी यात्रा का 4/15 भाग तय किया, दूसरे दिन उन्होंने 2/5 और तीसरे दिन शेष 100 किमी की दूरी तय की। तीन दिनों में साइकिल सवारों ने कितनी दूरी तय की?

505. 1) आइसब्रेकर ने तीन दिनों तक बर्फ के क्षेत्र में अपना रास्ता बनाया। पहले दिन उसने कुल दूरी का 1/2, दूसरे दिन शेष दूरी का 3/5 और तीसरे दिन शेष 24 किमी की दूरी तय की। आइसब्रेकर द्वारा तीन दिनों में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

2) स्कूली बच्चों की तीन टुकड़ियों ने गाँव के भूनिर्माण के लिए पेड़ लगाए। पहली टुकड़ी ने सभी पेड़ों के 7/20, दूसरे ने शेष पेड़ों के 5/8 और तीसरे ने शेष 195 पेड़ लगाए। तीनों टीमों ने कुल कितने पेड़ लगाए?

506. 1) एक कंबाइन हार्वेस्टर ने तीन दिनों में एक भूखंड से गेहूं की कटाई की। पहले दिन उसने भूखंड के कुल क्षेत्रफल के 5/18 भाग से, दूसरे दिन शेष क्षेत्रफल के 7/13 भाग से और तीसरे दिन शेष 30 1/2 हेक्टेयर क्षेत्रफल से कटाई की। . प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 20 सेंटर गेहूं काटा गया। पूरे भूखंड में कितना गेहूं काटा गया?

2) पहले दिन, रैली के प्रतिभागियों ने पूरे पथ का 3/11, दूसरे दिन शेष पथ का 7/20, तीसरे दिन नए शेष का 5/13 और चौथे दिन शेष 320 कि.मी. रैली मार्ग कितना लंबा है?

507. 1) पहले दिन, कार ने पूरी दूरी का 3/8 भाग तय किया, दूसरे दिन उसने पहले दिन की दूरी का 15/17 और तीसरे दिन शेष 200 किमी की दूरी तय की। अगर कार 10 किमी की यात्रा के लिए 1 3/5 किलो गैसोलीन की खपत करती है तो कितना पेट्रोल खर्च हुआ?

2) शहर में चार जिले हैं। और पहले जिले में शहर के सभी निवासियों के 4/13, पहले जिले के निवासियों के दूसरे 5/6 में, पहले के निवासियों के तीसरे 4/11 में रहते हैं; दो जिले संयुक्त हैं, और चौथा जिला 18,000 लोगों का घर है। शहर की पूरी आबादी को 3 दिनों के लिए कितनी रोटी की आवश्यकता होती है, यदि औसतन एक व्यक्ति प्रति दिन 500 ग्राम की खपत करता है?

508. 1) पर्यटक पूरे रास्ते के पहले दिन 10/31 पर चला गया, दूसरे दिन 9/10 पर वह पहले दिन चला, और तीसरे दिन बाकी रास्ते पर, और तीसरे दिन वह चला गया 12 दूसरे दिन की तुलना में किमी अधिक। पर्यटक तीन दिनों में से प्रत्येक में कितने किलोमीटर चला?

2) कार ने तीन दिनों में शहर A से शहर B तक की यात्रा की। पहले दिन, कार पूरी दूरी का 7/20, दूसरे दिन शेष दूरी का 8/13 और तीसरे दिन, कार पहले दिन की तुलना में 72 किमी कम तय करती है। शहरों A और B के बीच की दूरी कितनी है?

509. 1) कार्यकारी समिति ने जमीन ले ली तीन के कार्यकर्ताकारखानों के तहत उद्यान भूखंड. पहले संयंत्र को भूखंडों की कुल संख्या का 9/25 आवंटित किया गया था, दूसरे संयंत्र को पहले के लिए आवंटित भूखंडों की संख्या का 5/9 और तीसरा - शेष भूखंडों को आवंटित किया गया था। तीन कारखानों के श्रमिकों को कितने भूखंड आवंटित किए गए यदि पहले संयंत्र को तीसरे से 50 कम भूखंड दिए गए?

2) विमान ने तीन दिनों में मास्को से ध्रुवीय स्टेशन पर सर्दियों की शिफ्ट की। पहले दिन उसने पूरे रास्ते का 2/5 भाग उड़ाया, दूसरे दिन - 5/6 उसने पहले दिन यात्रा की, और तीसरे दिन उसने दूसरे दिन की तुलना में 500 किमी कम उड़ान भरी। तीन दिनों में विमान ने कितनी दूर उड़ान भरी?

510. 1) संयंत्र में तीन कार्यशालाएँ थीं। पहली वर्कशॉप में श्रमिकों की संख्या सभी फैक्ट्री श्रमिकों की संख्या का 2/5 है; दूसरी वर्कशॉप में पहली वर्कशॉप की तुलना में 1 1/2 गुना कम कर्मचारी हैं, और तीसरी वर्कशॉप में दूसरी वर्कशॉप की तुलना में 100 अधिक वर्कर्स हैं। कारखाने में कितने कर्मचारी हैं?

2) सामूहिक खेत में तीन पड़ोसी गांवों के निवासी शामिल हैं। सामूहिक खेत के सभी परिवारों के पहले गांव में परिवारों की संख्या 3/10 है; दूसरे गांव में परिवारों की संख्या पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक है, और तीसरे गांव में परिवारों की संख्या दूसरे की तुलना में 420 कम है। सामूहिक खेत पर कितने परिवार हैं?

511. 1) आर्टेल ने कच्चे माल के अपने स्टॉक के पहले सप्ताह में 1/3 और शेष के दूसरे 1/3 में खर्च किया। आर्टेल में कितना कच्चा माल बचा है यदि पहले सप्ताह में कच्चे माल की खपत दूसरे सप्ताह की तुलना में 3/5 टन अधिक थी?

2) पहले महीने में घर को गर्म करने के लिए आयातित कोयले में से 1/6 खर्च किया गया था, और दूसरे महीने में - शेष का 3/8। यदि पहले महीने की तुलना में दूसरे महीने में 1 3/4 अधिक उपयोग किया गया तो घर को गर्म करने के लिए कितना कोयला बचा?

512. सामूहिक खेत की पूरी भूमि का 3/5 भाग अनाज बोने के लिए आवंटित किया जाता है, शेष 13/36 पर वनस्पति उद्यानों और घास के मैदानों का कब्जा है, शेष भूमि पर वन हैं, और सामूहिक खेत का बोया गया क्षेत्र है वन क्षेत्र से 217 हेक्टेयर अधिक, बुवाई के लिए आवंटित भूमि का 1/3 भाग राई के साथ बोया जाता है, और शेष गेहूं है। सामूहिक खेत में कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूँ और कितनी राई बोई गई?

513. 1) ट्राम मार्ग 14 3/8 किमी लंबा है। इस मार्ग के दौरान, ट्राम 18 स्टॉप बनाती है, प्रति स्टॉप औसतन 1 1/6 मिनट खर्च करती है। पूरे मार्ग पर औसत ट्राम गति 12 1/2 किमी प्रति घंटा है। ट्राम को एक यात्रा करने में कितना समय लगता है?

2) बस मार्ग 16 कि.मी. इस रूट के दौरान बस 3/4 मिनट के 36 स्टॉप बनाती है। प्रत्येक औसतन। औसत बस गति 30 किमी प्रति घंटा है। एक रूट बनाने में बस को कितना समय लगता है?

514 *। 1) अब 6 बजे हैं। शाम। दिन का शेष भाग भूतकाल से कितना बचा है और दिन का कितना भाग शेष है?

2) एक स्टीमबोट 3 दिनों में दो शहरों के बीच धारा के अनुकूल यात्रा करती है। और उतनी ही दूरी 4 दिनों में वापस कर देता है। एक शहर से दूसरे शहर में कितने दिनों तक राफ्ट तैरती रहेगी?

515. 1) एक कमरे में फर्श बिछाने के लिए कितने बोर्ड का उपयोग किया जाएगा जिसकी लंबाई 6 2/3 मीटर, चौड़ाई h 5 1/4 मीटर है, यदि प्रत्येक बोर्ड की लंबाई 6 2/3 मीटर है, और इसकी चौड़ाई 3 है /80 की लंबाई?

2) एक आयताकार मंच की लंबाई 45 1/2 मीटर है और इसकी चौड़ाई लंबाई का 5/13 है। यह क्षेत्र 4/5 मीटर चौड़े पथ से घिरा हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

516. माध्य ज्ञात कीजिए अंकगणितीय संख्याएँ:

517. 1) दो संख्याओं 6 1/6 का अंकगणितीय माध्य। संख्या 3 3/4 में से एक। कोई अन्य संख्या ज्ञात कीजिए।

2) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 14 1/4 है। इनमें से एक संख्या 15 5/6 है। कोई अन्य संख्या ज्ञात कीजिए।

518. 1) मालगाड़ी तीन घंटे तक सड़क पर थी। पहले घंटे में वह 36 1/2 किमी, दूसरे 40 किमी और तीसरे 39 3/4 किमी चले। ट्रेन की औसत गति ज्ञात कीजिए।

2) कार ने पहले दो घंटों में 81 1/2 किमी और अगले 2 1/2 घंटों में 95 किमी की यात्रा की। वह प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर चला?

519. 1) ट्रैक्टर चालक ने तीन दिनों में जमीन की जुताई का कार्य पूरा किया। पहले दिन उन्होंने 12 1/2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 15 3/4 हेक्टेयर और तीसरे दिन 14 1/2 हेक्टेयर जोता। एक ट्रैक्टर चालक ने प्रतिदिन औसतन कितनी हेक्टेयर भूमि जोतई?

2) स्कूली बच्चों की एक टुकड़ी, जो तीन दिवसीय पर्यटन यात्रा कर रही थी, पहले दिन 6 1/3 घंटे, दूसरे 7 घंटे रास्ते में थी। और तीसरे दिन, 4 2/3 घंटे। हर दिन औसतन कितने घंटे छात्र सड़क पर थे?

520. 1) घर में तीन परिवार रहते हैं। अपार्टमेंट को रोशन करने के लिए पहले परिवार में 3 लाइट बल्ब, दूसरे में 4 और तीसरे में 5 बल्ब हैं। प्रत्येक परिवार को बिजली के लिए कितना भुगतान करना चाहिए यदि सभी लैंप समान हैं और कुल बिजली बिल (पूरे घर के लिए) 7 1/5 रूबल है?

2) जिस अपार्टमेंट में तीन परिवार रहते थे, उस अपार्टमेंट में पॉलिश करने वाला फ़र्श रगड़ता था। पहले परिवार का रहने का क्षेत्र 36 1/2 वर्ग किमी था। मीटर, 24 1/2 वर्ग में दूसरा। मी, और तीसरा - 43 वर्गमीटर में। मीटर सभी काम के लिए 2 रूबल का भुगतान किया गया था। 08 कोप. प्रत्येक परिवार ने कितना भुगतान किया?

521. 1) बगीचे के भूखंड में, आलू को 50 झाड़ियों से काटा गया, 1 1/10 किलो एक झाड़ी से, 70 झाड़ियों से, 4/5 किलो एक झाड़ी से, 80 झाड़ियों से, 9/10 किलो एक झाड़ी से। प्रत्येक झाड़ी से औसतन कितने किलोग्राम आलू काटे जाते हैं?

2) 300 हेक्टेयर के क्षेत्र में एक क्षेत्र में बढ़ने वाली टीम को 1 हेक्टेयर में 20 1/2 सेंटीमीटर सर्दियों के गेहूं की फसल प्राप्त हुई, 80 हेक्टेयर से 24 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर, और 20 हेक्टेयर से - 28 1/2 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर। एक ब्रिगेड में 1 हेक्टेयर से औसत उपज कितनी होती है?

522. 1) दो संख्याओं का योग 7 1/2 है। एक संख्या दूसरी से 4 4/5 अधिक है। इन नंबरों को खोजें।

2) यदि आप तातार की चौड़ाई और चौड़ाई को व्यक्त करने वाली संख्याओं को जोड़ते हैं केर्च जलडमरूमध्यसाथ में, हमें 11 7/10 किमी मिलते हैं। तातार जलडमरूमध्य केर्च जलडमरूमध्य से 3 1/10 किमी चौड़ा है। प्रत्येक जलडमरूमध्य की चौड़ाई कितनी है?

523. 1) तीन संख्याओं का योग 35 2/3 है। पहला नंबर एक सेकंड से अधिक 5 1/3 से और तीसरे से 3 5/6 अधिक। इन नंबरों को खोजें।

2) द्वीप नई पृथ्वी, सखालिन और सेवरना ज़म्लिया एक साथ 196 7/10 हजार वर्ग मीटर के क्षेत्र पर कब्जा कर लेते हैं। किमी। नोवाया जेमल्या का क्षेत्रफल 44 1/10 हजार वर्ग मीटर है। किमी अधिक क्षेत्र सेवरना ज़म्लियाऔर 5 1/5 हजार वर्ग मीटर। किमी सखालिन के क्षेत्र से बड़ा है। सूचीबद्ध द्वीपों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल क्या है?

524. 1) अपार्टमेंट में तीन कमरे हैं। पहले कमरे का क्षेत्रफल 24 3/8 वर्ग मीटर है। मी और अपार्टमेंट के पूरे क्षेत्र का 13/36 है। दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 8 1/8 वर्ग मीटर है। मी तीसरे के क्षेत्र से अधिक है। दूसरे कमरे का क्षेत्रफल कितना है?

2) पहले दिन तीन दिवसीय प्रतियोगिता के दौरान साइकिल चालक ने 3 1/4 घंटे की यात्रा की, जो कुल यात्रा समय का 13/43 था। दूसरे दिन उसने तीसरे दिन से 1 1/2 घंटे अधिक सवारी की। प्रतियोगिता के दूसरे दिन साइकिल सवार ने कितने घंटे की यात्रा की?

525. लोहे के तीन टुकड़ों का कुल भार 17 1/4 किग्रा है। यदि पहले टुकड़े का भार 1 1/2 किग्रा और दूसरे का भार 2 1/4 किग्रा कम कर दिया जाए, तो तीनों टुकड़ों का भार समान हो जाएगा। लोहे के प्रत्येक टुकड़े का वजन कितना था?

526. 1) दो संख्याओं का योग 15 1/5 है। यदि पहली संख्या में 3 1/10 की कमी की जाए और दूसरी संख्या में 3 1/10 की वृद्धि की जाए, तो ये संख्याएँ बराबर हो जाएँगी। प्रत्येक संख्या किसके बराबर है?

2) दो बक्सों में 38 1/4 किलो अनाज था। यदि एक पेटी से दूसरे डिब्बे में 4 3/4 किग्रा अनाज डाला जाए तो दोनों पेटियों में बराबर मात्रा में अनाज होगा। प्रत्येक डिब्बे में कितने अनाज हैं?

527 . 1) दो संख्याओं का योग 17 17/30 है। यदि आप पहली संख्या से 5 1/2 घटाते हैं और दूसरी संख्या में जोड़ते हैं, तो पहली संख्या दूसरी संख्या से 2 17/30 अधिक होगी। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

2) दो बक्सों में 24 1/4 किग्रा सेब हैं। यदि 3 1/2 किग्रा को पहले डिब्बे से दूसरे डिब्बे में स्थानांतरित किया जाता है, तो पहले डिब्बे में अभी भी दूसरे डिब्बे से 3/5 किग्रा अधिक सेब होंगे। प्रत्येक डिब्बे में कितने किलोग्राम सेब हैं?

528 *। 1) दो संख्याओं का योग 8 11/14 है, और उनका अंतर 2 3/7 है। इन नंबरों को खोजें।

2) नाव नदी के किनारे 15 1/2 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी, और वर्तमान 8 1/4 किमी प्रति घंटे की गति के विपरीत। नदी की गति क्या है?

529. 1) दो गैरेज में 110 कारें हैं, और उनमें से एक में दूसरे की तुलना में 1 1/5 गुना अधिक है। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें हैं?

2) दो कमरों वाले एक अपार्टमेंट का रहने का क्षेत्र 47 1/2 वर्ग मीटर है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे के क्षेत्रफल का 8/11 है। प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

530. 1) ताँबे और चाँदी से बनी मिश्रधातु का भार 330 ग्राम है। इस मिश्रधातु में ताँबे का भार चाँदी के भार का 5/28 है। मिश्रधातु में कितनी चाँदी और कितना ताँबा है?

2) दो संख्याओं का योग 6 3/4 है, और भागफल 3 1/2 है। इन नंबरों को खोजें।

531. तीन संख्याओं का योग 22 1/2 है। दूसरी संख्या 3 1/2 गुना है और तीसरी पहली संख्या का 2 1/4 गुना है। इन नंबरों को खोजें।

532. 1) दो संख्याओं का अंतर 7 है; बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करने का भागफल 5 2/3 है। इन नंबरों को खोजें।

2) दो संख्याओं का अंतर 29 3/8 है, और उनका गुणन अनुपात 8 5/6 है। इन नंबरों को खोजें।

533. एक कक्षा में अनुपस्थित छात्रों की संख्या उपस्थित छात्रों की संख्या का 3/13 है। सूची के अनुसार कक्षा में कितने छात्र हैं, यदि अनुपस्थित की तुलना में 20 अधिक लोग उपस्थित हैं?

534. 1) दो संख्याओं का अंतर 3 1/5 है। एक संख्या दूसरी संख्या का 5/7 है। इन नंबरों को खोजें।

2) पिता पुत्र से बड़ा 24 साल के लिए। पुत्र के वर्षों की संख्या पिता के वर्षों की संख्या का 5/13 है। पिता की उम्र कितनी है और बेटे की उम्र कितनी है?

535. एक भिन्न का हर उसके अंश से 11 अधिक है। एक भिन्न के बराबर क्या है यदि इसका हर अंश के 3 3/4 गुना है?

संख्या 536 - 537 मौखिक रूप से।

536. 1) पहली संख्या दूसरी का 1/2 है। दूसरी संख्या पहली से कितनी गुना बड़ी है?

2) पहली संख्या दूसरी का 3/2 है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

537. 1) पहली संख्या का 1/2 दूसरी संख्या के 1/3 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

2) पहली संख्या का 2/3 दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है? दूसरी संख्या का कौन सा भाग पहली है?

538. 1) दो संख्याओं का योग 16 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें यदि दूसरी संख्या का 1/3 पहले के 1/5 के बराबर है।

2) दो संख्याओं का योग 38 है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए यदि पहली संख्या का 2/3 दूसरी संख्या के 3/5 के बराबर है।

539 *। 1) दो लड़कों ने मिलकर 100 मशरूम चुने। पहले लड़के द्वारा उठाए गए मशरूम की संख्या का 3/8 संख्यात्मक रूप से दूसरे लड़के द्वारा उठाए गए मशरूम की संख्या के 1/4 के बराबर है। प्रत्येक लड़के ने कितने मशरूम एकत्र किए?

2) संस्था में 27 लोग कार्यरत हैं। कितने पुरुष और कितनी महिलाएं काम करती हैं यदि सभी पुरुषों का 2/5 सभी महिलाओं के 3/5 के बराबर है?

540 *। तीन लड़कों ने वॉलीबॉल खरीदा। प्रत्येक लड़के के योगदान का निर्धारण करें, यह जानते हुए कि पहले लड़के के योगदान का 1/2 दूसरे के योगदान के 1/3 के बराबर है, या तीसरे के योगदान का 1/4 है, और यह कि तीसरे का योगदान लड़का पहले के योगदान से 64 कोपेक अधिक है।

541 *। 1) एक संख्या दूसरी संख्या से 6 बड़ी है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए यदि एक संख्या का 2/5 दूसरी संख्या के 2/3 के बराबर है।

2) दो संख्याओं का अंतर 35 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें यदि पहली संख्या का 1/3 दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है।

542. 1) पहली ब्रिगेड किसी काम को 36 दिनों में और दूसरी 45 दिनों में पूरा कर सकती है। इस कार्य को पूरा करने के लिए दोनों टीमों को एक साथ काम करने में कितने दिन लगेंगे?

2) एक पैसेंजर ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 10 घंटे में तय करती है और एक मालगाड़ी इस दूरी को 15 घंटे में तय करती है। दोनों ट्रेनें एक ही समय में इन शहरों से एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

543. 1) एक तेज़ ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 6 1/4 घंटे में तय करती है, और एक पैसेंजर ट्रेन 7 1/2 घंटे में। ये ट्रेनें कितने घंटे में मिलेंगी यदि वे दोनों शहरों से एक ही समय पर एक दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं? (निकटतम 1 घंटे का गोल उत्तर।)

2) दो मोटरसाइकिल सवार एक ही समय में दो शहरों से एक दूसरे की ओर निकले। एक मोटरसाइकिल सवार इन शहरों के बीच की पूरी दूरी 6 घंटे में और दूसरा 5 घंटे में तय कर सकता है। प्रस्थान के कितने घंटे बाद मोटरसाइकिल सवार मिलेंगे? (निकटतम 1 घंटे का गोल उत्तर।)

544. 1) अलग-अलग वहन क्षमता वाली तीन कारें अलग-अलग काम करते हुए कुछ कार्गो ले जा सकती हैं: पहली 10 घंटे में, दूसरी 12 घंटे में। और तीसरे को 15 घंटे में एक साथ काम करके समान माल को कितने घंटे में ले जा सकते हैं?

2) दो ट्रेनें एक ही समय में दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर निकलती हैं: पहली ट्रेन इन स्टेशनों के बीच की दूरी को 12 1/2 घंटे में तय करती है, और दूसरी 18 3/4 घंटे में। ट्रेन छूटने के कितने घंटे बाद मिलेगी?

545. 1) नहाने के लिए दो नल जुड़े हुए हैं। उनमें से एक के माध्यम से स्नान को 12 मिनट में भरा जा सकता है, दूसरे के माध्यम से 1 1/2 गुना तेजी से। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए तो कुल स्नान का 5/6 भाग कितने मिनट में भर जाएगा?

2) दो टाइपिस्टों को पांडुलिपि को दोबारा टाइप करना होगा। पहली महिला यह काम 3 1/3 दिनों में कर सकती है, और दूसरी 1 1/2 गुना तेजी से। यदि दोनों टाइपिस्ट एक ही समय पर काम करते हैं तो कितने दिनों में दोनों टाइपिस्ट उस काम को पूरा कर लेंगे?

546. 1) पूल 5 घंटे में पहले पाइप से भर जाता है, और दूसरे पाइप के माध्यम से इसे 6 घंटे में खाली किया जा सकता है, यदि दोनों पाइप एक ही समय में खोले जाते हैं तो पूरा पूल कितने घंटे बाद भर जाएगा?

निर्देश। एक घंटे में, पूल भर जाता है (इसकी क्षमता का 1/5 - 1/6)।

2) दो ट्रैक्टरों ने 6 घंटे में खेत की जुताई की। पहला ट्रैक्टर अकेले कार्य करते हुए इस खेत को 15 घंटे में जोत सकता है, दूसरा ट्रैक्टर अकेले कार्य करते हुए इस खेत को जोतने में कितने घंटे का समय लेगा?

547 *। दो ट्रेनें दो स्टेशनों से एक ही समय पर एक दूसरे की ओर चलती हैं और 18 घंटे बाद मिलती हैं। इसके रिलीज होने के बाद। दूसरी ट्रेन स्टेशनों के बीच की दूरी तय करने में कितना समय लेती है यदि पहली ट्रेन 1 दिन और 21 घंटे में इतनी दूरी तय करती है?

548 *। पूल दो पाइपों से भरा हुआ है। पहले, पहला पाइप खोला गया, और फिर 3 3/4 घंटे के बाद, जब आधा पूल भर गया, तो दूसरा पाइप खोला गया। 2 1/2 घंटे के बाद संयुक्त कार्यपूल भरा हुआ था। यदि दूसरे पाइप से प्रति घंटे 200 बाल्टी पानी डाला जाता है तो पूल की क्षमता निर्धारित करें।

549. 1) एक कूरियर ट्रेन लेनिनग्राद से मास्को के लिए रवाना हुई, जो 3/4 मिनट में 1 किमी की यात्रा करती है। इस ट्रेन के जाने के 1/2 घंटे बाद, एक तेज़ ट्रेन मास्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई, जिसकी गति कूरियर की गति के 3/4 के बराबर थी। यदि मॉस्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी है, तो कूरियर ट्रेन के प्रस्थान के 2 1/2 घंटे बाद ट्रेनें एक दूसरे से कितनी दूर होंगी?

2) सामूहिक खेत से शहर तक 24 कि.मी. एक ट्रक सामूहिक खेत छोड़ देता है और 2 1/2 मिनट में 1 किमी की यात्रा करता है। 15 मिनट के बाद। इस कार के शहर से चले जाने के बाद, एक साइकिल चालक ट्रक की गति से आधी गति से सामूहिक खेत से निकल गया। जाने के बाद साइकिल सवार को ट्रक से मिलने में कितना समय लगेगा?

550. 1) एक गाँव से एक पदयात्री निकला। पैदल यात्री के जाने के 4 1/2 घंटे बाद, एक साइकिल सवार उसी दिशा में निकलता है, जिसकी गति पैदल यात्री की गति की 2 1/2 गुना है। पैदल चलने वाले के जाने के कितने घंटे बाद, साइकिल सवार उससे आगे निकल जाएगा?

2) एक तेज़ ट्रेन 3 घंटे में 187 1/2 किमी और 6 घंटे में एक मालगाड़ी 288 किमी की यात्रा करती है। मालगाड़ी के प्रस्थान के 7 1/4 घंटे बाद, एक एंबुलेंस उसी दिशा में निकलती है। फास्ट ट्रेन को मालगाड़ी से आगे निकलने में कितना समय लगेगा?

551. 1) दो सामूहिक खेतों से, जिसके माध्यम से जिला केंद्र की सड़क गुजरती है, दो सामूहिक किसान एक साथ घोड़े पर जिले के लिए रवाना हुए। उनमें से पहले ने 8 3/4 किमी प्रति घंटे की यात्रा की, और दूसरे ने पहले की 1 1/7 बार यात्रा की। दूसरे सामूहिक किसान ने 3 4/5 घंटे में पहले को पीछे छोड़ दिया। सामूहिक खेतों के बीच की दूरी निर्धारित करें।

2) 26 1/3 घंटे मास्को-व्लादिवोस्तोक ट्रेन के प्रस्थान के बाद, जिसकी औसत गति 60 किमी प्रति घंटा है, टीयू-104 विमान ने उसी दिशा में उड़ान भरी, 14 1/6 गुना गति से ट्रेन का। उड़ान के कितने घंटे बाद विमान ट्रेन को ओवरटेक करेगा?

552. 1) नदी के किनारे बसे शहरों के बीच की दूरी 264 किमी है। इस दूरी को स्टीमर ने 18 घंटे में नीचे की ओर तय किया, इस समय का 1/12 स्टॉप पर खर्च किया। नदी की गति 1 1/2 किमी प्रति घंटा है। एक स्टीमर शांत जल में बिना रुके 87 किमी की दूरी तय करने में कितना समय लेगा?

2) मोटरबोट ने 13 1/2 घंटे में धारा के अनुकूल 207 किमी की यात्रा की, उस समय का 1/9 स्टॉप पर खर्च किया। नदी की गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है। यह नाव शांत जल में 2 1/2 घंटे में कितने किलोमीटर चल सकती है?

553. जलाशय पर नाव ने बिना रुके 52 किमी की दूरी 3 घंटे 15 मिनट में तय की। इसके अलावा, धारा के विपरीत नदी के साथ चलते हुए, जिसकी गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है, इस नाव ने 2 1/4 घंटे में 28 1/2 किमी की यात्रा की, इस प्रक्रिया में 3 बराबर स्टॉप बनाए। प्रत्येक पड़ाव पर नाव कितने मिनट रुकी?

554. दोपहर 12 बजे लेनिनग्राद से क्रोनस्टेड तक। अगले दिन एक स्टीमबोट रवाना हुई और इन शहरों के बीच की पूरी दूरी को 1 1/2 घंटे में तय किया। रास्ते में, उन्हें एक और स्टीमर मिला, जो 12:18 बजे क्रोनस्टेड से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुआ। और पहले की तुलना में 1 1/4 गुना अधिक गति से चल रहा है। दोनों जहाज किस समय मिले थे?

555. ट्रेन को 14 घंटे में 630 किमी की दूरी तय करनी थी। इस दूरी का 2/3 भाग तय करने के बाद, वह 1 घंटे 10 मिनट के लिए विलंबित हो गया। बिना देर किए अपने गंतव्य पर पहुंचने के लिए उसे किस गति से अपनी यात्रा जारी रखनी चाहिए?

556. शाम 4 बजकर 20 मि. सुबह एक मालगाड़ी कीव से ओडेसा के लिए रवाना हुई औसत गति 31 1/5 किमी प्रति घंटा। कुछ समय बाद, एक मेल ट्रेन ओडेसा से मिलने के लिए रवाना हुई, जिसकी गति मालगाड़ी की गति की 1 17/39 गुना है, और प्रस्थान के 6 1/2 घंटे बाद मालगाड़ी से मिलती है। यदि कीव और ओडेसा के बीच की दूरी 663 किमी है, तो डाक ट्रेन ओडेसा से किस समय रवाना हुई थी?

557 *। घड़ी दोपहर दिखाती है। घंटे और मिनट की सुईयों को संपाती होने में कितना समय लगता है?

558. 1) कारखाने में तीन कार्यशालाएँ हैं। पहली वर्कशॉप में श्रमिकों की संख्या प्लांट के सभी श्रमिकों की संख्या का 9/20 है, दूसरी वर्कशॉप में पहली वर्कशॉप की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी वर्कशॉप में 300 वर्कर्स कम हैं दूसरा। कारखाने में कितने कर्मचारी हैं?

2) शहर में तीन माध्यमिक विद्यालय हैं। पहले स्कूल में छात्रों की संख्या इन तीन स्कूलों के सभी छात्रों की संख्या का 3/10 है; दूसरे स्कूल में पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक छात्र हैं, और तीसरे स्कूल में दूसरे की तुलना में 420 छात्र कम हैं। तीन स्कूलों में कितने छात्र हैं?

559. 1) दो कंबाइन ऑपरेटर एक ही साइट पर काम करते थे। एक कंबाइनर द्वारा पूरे क्षेत्र के 9/16 और उसी क्षेत्र के दूसरे 3/8 की कटाई के बाद, यह पता चला कि पहले कंबाइनर ने दूसरे की तुलना में 97 1/2 हेक्टेयर अधिक काटा। प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 32 1/2 सेंटीमीटर अनाज की थ्रेशिंग की गई। प्रत्येक ने कितने क्विंटल अनाज की गहाई की?

2) दो भाइयों ने एक कैमरा खरीदा। एक के पास 5/8 था, और दूसरे के पास कैमरे की लागत का 4/7 था, और पहले के पास 2 रूबल थे। 25 कोप। दूसरे से अधिक। प्रत्येक ने उपकरण की आधी लागत का भुगतान किया। प्रत्येक के पास कितना पैसा है?

560. 1) शहर A से शहर B तक, उनके बीच की दूरी 215 किमी है, एक कार 50 किमी प्रति घंटे की गति से चलती है। उसी समय, उसने शहर B को शहर A के लिए छोड़ दिया भाड़े की गाड़ी. यदि ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति की 18/25 थी, तो ट्रक से मिलने से पहले कार ने कितने किलोमीटर की यात्रा की थी?

2) शहरों A और B के बीच 210 कि.मी. एक कार शहर A से शहर B के लिए रवाना होती है। उसी समय, एक ट्रक शहर B से शहर A के लिए रवाना हुआ। यदि कार 48 किमी प्रति घंटा की गति से चल रही थी और ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति की 3/4 थी, तो कार से मिलने से पहले ट्रक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की थी?

561. सामूहिक खेत ने गेहूं और राई की कटाई की। राई से 20 हेक्टेयर अधिक गेहूं बोया गया था। सामान्य शुल्कराई गेहूं और राई दोनों के लिए प्रति हेक्टेयर 20 सेंटर्स की उपज के साथ कुल गेहूं की फसल का 5/6 था। सामूहिक खेत ने गेहूं और राई की पूरी फसल का 7/11 हिस्सा राज्य को बेच दिया, और बाकी अनाज को अपनी जरूरतों को पूरा करने के लिए छोड़ दिया। राज्य को बेचे जाने वाले अनाज को बाहर ले जाने के लिए दो टन के ट्रकों को कितनी यात्राएँ करनी पड़ीं?

562. बेकरी में राई और गेहूँ का आटा लाया गया। गेहूं के आटे का वजन राई के आटे के वजन का 3/5 था, और राई के आटे को गेहूं से 4 टन अधिक लाया गया था। इस आटे से बेकरी द्वारा कितना गेहूँ और कितनी राई की रोटी बेक की जाएगी, अगर बेक किया हुआ माल सभी आटे का 2/5 है?

563. तीन दिनों के भीतर, दो सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की मरम्मत के लिए श्रमिकों की एक टीम ने पूरे काम का 3/4 पूरा किया। पहले दिन, इस राजमार्ग के 2 2/5 किमी की मरम्मत की गई, दूसरे दिन पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक, और तीसरे दिन पहले दो दिनों में एक साथ मरम्मत की गई 5/8 किमी की मरम्मत की गई। सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

564. तालिका में रिक्त स्थान भरें, जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है, ए- आयत का आधार, ए एचआयत की ऊँचाई (चौड़ाई)।

565. 1) भूमि के एक आयताकार प्लॉट की लंबाई 120 मीटर है, और प्लॉट की चौड़ाई इसकी लंबाई का 2/5 है। भूखंड का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) आयताकार खंड की चौड़ाई 250 मीटर है, और इसकी लंबाई चौड़ाई का 1 1/2 गुना है। भूखंड का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

566. 1) आयत का परिमाप 6 1/2 dm है, इसका आधार 1/4 dm है अधिक ऊंचाई. इस आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) एक आयत का परिमाप 18 सेमी है, इसकी ऊँचाई आधार से 2 1/2 सेमी कम है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

567. चित्र 30 में दिखाए गए आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करें, उन्हें आयतों में विभाजित करें और माप कर आयत के आयामों का पता लगाएं।

568. 1) एक कमरे की छत जिसकी लंबाई 4 1/2 मीटर है और चौड़ाई 4 मीटर है, यदि प्लास्टर शीट का आयाम 2 मीटर x l 1/2 मीटर है, तो सूखे प्लास्टर की कितनी शीटों की आवश्यकता होगी?

2) 4 1/2 मीटर लंबा और 3 1/2 मीटर चौड़ा फर्श लगाने के लिए 4 1/2 एल लंबा और 1/4 मीटर चौड़ा कितने बोर्ड की आवश्यकता होगी?

569. 1) एक 560 मीटर लंबा और उसकी लंबाई का 3/4 चौड़ा एक आयताकार भूखंड फलियों के साथ बोया गया था। यदि 1 सेन्टर प्रति 1 हेक्टर बोया जाता है तो प्लॉट को बोने के लिए कितने बीजों की आवश्यकता होती है?

2) एक आयताकार खेत से 25 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर की दर से गेहूं की फसल काटी गई। यदि खेत 800 मीटर लंबा और उसकी लंबाई का 3/8 चौड़ा है तो पूरे खेत से कितना गेहूँ काटा गया?

570 . 1) भूमि का एक आयताकार भूखंड, जिसकी लंबाई 78 3/4 मीटर और चौड़ाई 56 4/5 मीटर है, का निर्माण किया जाता है ताकि इसके 4/5 क्षेत्र पर इमारतों का कब्जा हो। भवनों के नीचे भूमि का क्षेत्र निर्धारित करें।

2) भूमि के एक आयताकार भूखंड पर, जिसकी लंबाई 9/20 किमी है, और चौड़ाई इसकी लंबाई की 4/9 है, सामूहिक खेत में एक बगीचा लगाने का प्रस्ताव है। यदि प्रत्येक वृक्ष के लिए औसतन 36 वर्ग मीटर क्षेत्रफल की आवश्यकता हो तो इस उद्यान में कितने वृक्ष लगाये जायेंगे?

571. 1) कमरे के सामान्य दिन के उजाले के लिए, यह आवश्यक है कि सभी खिड़कियों का क्षेत्रफल फर्श क्षेत्र का कम से कम 1/5 हो। निर्धारित करें कि 5 1/2 मीटर लंबे और 4 मीटर चौड़े कमरे में पर्याप्त रोशनी है या नहीं। क्या कमरे में 1 1/2 मीटर x 2 मीटर की एक खिड़की है?

2) पिछली समस्या की स्थिति का उपयोग करके पता करें कि आपकी कक्षा में पर्याप्त रोशनी है या नहीं।

572. 1) खलिहान का माप 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m है। मीटर घास का वजन 82 किलो है?

2) कठफोड़वा का आकार एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का होता है, जिसके आयाम 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m होते हैं। कठघरे का वजन क्या होगा यदि 1 cu. मीटर जलाऊ लकड़ी का वजन 600 किलो है?

573. 1) एक आयताकार जलजीवशाला में 3/5 ऊँचाई तक जल भरा है। एक्वेरियम की लंबाई 1 1/2 मीटर, चौड़ाई 4/5 मीटर, ऊंचाई 3/4 मीटर है। एक्वेरियम में कितने लीटर पानी डाला जाता है?

2) एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार वाले पूल की लंबाई 6 1/2 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर और ऊंचाई 2 मीटर है। पूल अपनी ऊंचाई के 3/4 तक पानी से भरा है। पूल में डाले गए पानी की मात्रा की गणना करें।

574. 75 मीटर लंबे और 45 मीटर चौड़े एक आयताकार जमीन के चारों ओर एक बाड़ बनाई जानी है। यदि बोर्ड की मोटाई 2 1/2 सेमी है, और बाड़ की ऊंचाई 2 1/4 मीटर होनी चाहिए, तो उसके उपकरण में कितने घन मीटर बोर्ड जाने चाहिए?

575. 1) मिनट का कोण क्या है और घड़ी में घंटे की सूई 13 बजे? 15 बजे? 17 बजे? 21 बजे? 23:30 बजे?

2) घंटे की सुई 2 घंटे में कितने डिग्री घूमेगी? पांच बजे? आठ बजे? 30 मिनट।?

3) आधे वृत्त के बराबर एक चाप कितने डिग्री का होता है? 1/4 चक्र? 1/24 सर्कल? 5/24 मंडल?

576. 1) चाँदे से आरेखित करें: a) एक समकोण; बी) 30 डिग्री का कोण; ग) 60° का कोण; d) 150° का कोण; ई) 55 डिग्री का कोण।

2) एक चाँदे से आकृति के कोणों को मापें और प्रत्येक आकृति के सभी कोणों का योग ज्ञात करें (चित्र 31)।

577. क्रियाएँ चलाएँ:

578. 1) एक अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से एक दूसरे से 100° बड़ा होता है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

2) एक अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से एक दूसरे से 15° कम है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

3) अर्धवृत्त को दो चापों में बांटा गया है, जिनमें से एक दूसरे का दोगुना है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

4) अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया गया है, जिनमें से एक दूसरे से 5 गुना छोटा है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

579. 1) चार्ट "यूएसएसआर में जनसंख्या की साक्षरता" (चित्र 32) जनसंख्या के प्रति सौ लोगों की साक्षर संख्या को दर्शाता है। दिए गए प्रत्येक वर्ष के लिए आरेख और उसके पैमाने के अनुसार साक्षर पुरुषों और महिलाओं की संख्या निर्धारित करें।

तालिका में परिणाम रिकॉर्ड करें:

2) आरेख "अंतरिक्ष में सोवियत दूत" (चित्र 33) के डेटा का उपयोग करते हुए, कार्य करें।

580. 1) सेक्टर आरेख के अनुसार "ग्रेड वी के छात्र के लिए दैनिक दिनचर्या" (चित्र 34), तालिका भरें और प्रश्नों का उत्तर दें: दिन का कौन सा हिस्सा सोने के लिए समर्पित है? गृहकार्य के लिए? स्कूल को?

2) अपने दिन के मोड के बारे में एक पाई चार्ट बनाएं।

अंश, और वह जिससे इसे विभाजित किया जाता है, भाजक है।

किसी भिन्न को लिखने के लिए पहले उसका अंश लिखिए, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचिए, और रेखा के नीचे हर को लिखिए। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक दंड कहते हैं। कभी-कभी इसे तिरछे "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस स्थिति में, अंश को रेखा के बाईं ओर और भाजक को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न "दो-तिहाई" को 2/3 लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश को आमतौर पर रेखा के शीर्ष पर लिखा जाता है, और भाजक को नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ⅔।

भिन्नों का गुणनफल निकालने के लिए, पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंश के लिए। परिणाम को नए के अंश में लिखें अंशों. फिर भाजक को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरी भिन्न से विभाजित करने के लिए, पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे अंश (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, भाजक को पहले "फ्लिप" करें, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है: भाजक को अंश के स्थान पर होना चाहिए। फिर भाज्य के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• अंशों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको किसी मात्रा के सटीक मान को विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ, आप वही गणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं जो पूर्णांकों के साथ होती हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। यह जानने के लिए कि कैसे निर्णय लेना है अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य भाजक। निष्पादन के बाद कुछ अंकगणितीय परिचालनों को परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें। यदि अंशों के बीच दशमलव और अनियमितताएँ हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में बदलना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारंभ में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिख कर हर में 10 लगा देते हैं। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक भाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। जिन अंशों में पूरा भाग बाहर खड़ा होता है, उन्हें भाजक से गुणा करके और अंश को परिणाम में जोड़कर गलत रूप दिया जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभ में गलत से पूरे भाग को निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखिए अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, भाजक बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है। एक पूर्णांक भाग वाले अंशों के लिए, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए अलग-अलग क्रियाएं करना संभव है। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 ¾ के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को गलत रूप में बदलना:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- शब्दों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग अलग-अलग:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

विभाजक ":" के माध्यम से उन्हें फिर से लिखें और सामान्य विभाजन जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी भिन्न को कम करें, जो कि सबसे बड़ा संभव है इस मामले में. इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

अलग-अलग भाजक वाले अंशों के साथ अंकगणित न करें। एक संख्या का चयन इस प्रकार करें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाए, तो परिणामस्वरूप दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्या लिखते समय, लाभांश रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न का अंश कहा जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 ½ किलो चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 हो तो उसे दशमलव भिन्न कहते हैं। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, इस तरह के अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और भाजक मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। में यह उदाहरण 2 से विभाजित करना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि आप जिन संख्याओं से अंकगणित करने जा रहे हैं, वे एक ही रूप में हों।

गुणन और अंशों का विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

यह संक्रिया योग-घटाव से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और भाजक (यह भाजक होगा)। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ अत्यंत सरल है. और कृपया एक सामान्य भाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं...

एक अंश को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको फ्लिप करने की आवश्यकता है दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न करें और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम भाजक में एक इकाई के साथ एक पूरी संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) के अंशों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस अंश को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 में भ्रमित नहीं होंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आंख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा करें क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उलटा होता है।

अंशों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभ कामनाएँ नहीं हैं! यह एक सख्त जरूरत है! परीक्षा की सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने सिर में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियां लिखना बेहतर होता है।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्नों पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को अंत तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक भावों को सामान्य लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम अपने दिमाग में इकाई को एक अंश में विभाजित करते हैं, केवल भिन्न को उलट कर।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकाले...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेष रूप से तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने तय किया?

अपने से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने विशेष रूप से उन्हें एक गड़बड़ में लिखा था, प्रलोभन से दूर, बोलने के लिए ... यहाँ वे उत्तर हैं, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! अंशों के साथ प्रारंभिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो में से एक समस्या है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

यह लेख भिन्नों के साथ संक्रियाओं का एक सामान्य अवलोकन है। यहां हम योग, घटाव, गुणा, भाग और सामान्य रूप A/B के अंशों की घात तक बढ़ाने के लिए नियम बनाते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं, जहां A और B कुछ संख्याएं, संख्यात्मक भाव या चर वाले भाव हैं। हमेशा की तरह, हम समाधानों के विस्तृत विवरण के साथ व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री की आपूर्ति करेंगे।

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सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

आइए संख्याओं पर सहमत हों सामान्य रूप से देखेंउन अंशों को समझें जिनमें अंश और / या भाजक को न केवल प्राकृतिक संख्याओं द्वारा, बल्कि अन्य संख्याओं या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। स्पष्टता के लिए, यहाँ ऐसे अंशों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . उसी नियम से, आप सामान्य रूप के अंशों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों के लिए तर्क

सामान्य संख्यात्मक अंशों के साथ क्रिया करने के नियमों की वैधता को सही ठहराने के लिए, निम्न बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है:

• एक भिन्नात्मक पट्टी अनिवार्य रूप से एक विभाजन चिन्ह है,
• कुछ गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम द्वारा गुणा के रूप में माना जा सकता है (यह तुरंत नियम की व्याख्या करता है अंशों का विभाजन),
• वास्तविक संख्या के साथ क्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्यीकृत समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तनों को पूरा करने की अनुमति देते हैं जो समान और अलग भाजक के साथ-साथ अंशों को गुणा करने के नियम को जोड़ने, घटाने के नियमों को सही ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार एक सामान्य रूप के अंशों के साथ एक क्रिया करने का उदाहरण दें। आइए हम तुरंत कहते हैं कि आमतौर पर, अंशों के साथ संचालन करने के बाद, परिणामी अंश को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और पिछले कार्यों को करने की तुलना में एक अंश को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर अधिक कठिन होती है। हम अंशों के सरलीकरण पर ध्यान केन्द्रित नहीं करेंगे (संबंधित परिवर्तनों की चर्चा लेख में भिन्नों के परिवर्तन पर की गई है), ताकि हमारे लिए रुचि के विषय से विचलित न हों।

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरू करें। आइए भिन्नों और को जोड़कर शुरू करें। स्पष्ट रूप से हर बराबर हैं। इसी नियम के अनुसार, हम एक अंश लिखते हैं जिसका अंश योग के बराबर हैमूल भिन्नों के अंश, और हर को वही रहने दें, हमारे पास है। जोड़ किया जाता है, यह परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बना रहता है: . इसलिए, .

निर्णय को एक अलग तरीके से करना संभव था: पहले, साधारण अंशों में परिवर्तन करें, और फिर जोड़ को पूरा करें। इस दृष्टिकोण के साथ, हमारे पास है .

अब अंश से घटाएं अंश . अंशों के भाजक समान होते हैं, इसलिए, हम समान भाजक वाले अंशों को घटाने के नियम के अनुसार कार्य करते हैं:

आइए अलग-अलग भाजक वाले अंशों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर चलते हैं। यहाँ मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने में है। एक सामान्य रूप के अंशों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम इसे एक अलग लेख में विस्तार से विश्लेषण करेंगे। एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना. अब हम खुद को एक जोड़े तक ही सीमित रखते हैं सामान्य सिफारिशें, क्योंकि इस पलहम अंशों के साथ संचालन करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, प्रक्रिया साधारण अंशों के सामान्य भाजक में कमी के समान होती है। अर्थात्, भाजकों को उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से छूटे हुए गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

जब जोड़े गए या घटाए गए अंशों के हर में सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो उनके उत्पाद को एक सामान्य भाजक के रूप में लेना तर्कसंगत है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

मान लीजिए कि हमें भिन्नों और 1/2 को जोड़ने की आवश्यकता है। यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को लेना तर्कसंगत है, अर्थात . इस मामले में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर, भिन्न का रूप ले लेगा। और दूसरे भिन्न के लिए, अतिरिक्त कारक व्यंजक है। इसकी मदद से, अंश 1/2 को रूप में घटाया जाता है। यह परिणामी अंशों को समान भाजक के साथ जोड़ने के लिए बनी हुई है। यहाँ संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

एक सामान्य रूप के अंशों के मामले में, हम अब कम से कम सामान्य भाजक के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें साधारण अंश आमतौर पर कम हो जाते हैं। हालांकि इस मामले में अभी भी कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना वांछनीय है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को एक सामान्य भाजक के रूप में तुरंत लेना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, अंशों और उत्पाद के सामान्य भाजक को लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम ले सकते हैं।

हम एक सामान्य रूप के अंशों के गुणन के उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। भिन्नों को गुणा करें और। इस क्रिया को करने का नियम हमें एक अंश लिखने के लिए कहता है जिसका अंश मूल अंशों के अंशों का गुणनफल है, और भाजक हरों का गुणनफल है। अपने पास . यहाँ, कई अन्य मामलों की तरह जब अंशों को गुणा करते हैं, तो आप अंश को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा करने की अनुमति देता है। यहाँ आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को अदला-बदली करने की आवश्यकता है। सामान्य भिन्नों को विभाजित करने से लेकर गुणा करने तक के संक्रमण का एक उदाहरण यहां दिया गया है: . यह गुणन करने और परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बनी हुई है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ की जानकारी को समाप्त करते हुए, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को एक भाजक 1 के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, किसी संख्या के जोड़, घटाव, गुणा और भाग और एक अंश को इसी क्रिया को करने के रूप में माना जा सकता है अंश, जिनमें से एक में भाजक में एक इकाई है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना तीन भिन्नों का मूल, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करके दो भिन्नों का गुणा करने के लिए आगे बढ़ेंगे: .

चर वाले अंशों के साथ संचालन करना

इस आलेख के पहले भाग के नियम चर वाले अंशों के साथ संचालन करने के लिए भी लागू होते हैं। आइए हम उनमें से पहले को सही ठहराएं - समान भाजक के साथ अंशों के जोड़ और घटाव का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी व्यंजक A, C और D (D समान रूप से गैर-शून्य है) के लिए हमारे पास समानता है चर के स्वीकार्य मूल्यों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से वेरिएबल्स का कुछ सेट लें। चरों के इन मानों के लिए भाव A , C और D मान a 0 , c 0 और d 0 लें। फिर चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में फॉर्म के समान भाजक के साथ बदल जाता है, जो संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार समान हर, के बराबर है। लेकिन चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह उसी अंश में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, भावों के मान और बराबर हैं। यह स्पष्ट है कि संकेतित भावों के मान ODZ से चर के मूल्यों के किसी भी अन्य सेट के बराबर होंगे, जिसका अर्थ है कि भाव और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चर के साथ अंशों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब जोड़े या घटाए जाने वाले अंशों के भाजक समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है, और भाजक समान रहता है। स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश को यदि आवश्यक और संभव हो तो सरलीकृत किया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी अंशों के हर पहली नज़र में ही भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान भाव होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, और , या और . और कभी-कभी यह प्रारंभिक अंशों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान भाजक "दिखाई दें"।

उदाहरण।

, बी) , वी) .

समाधान।

a) हमें समान भाजक वाले भिन्नों को घटाने की आवश्यकता है। संगत नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ देते हैं और अंशों को घटा देते हैं, जो हमारे पास है . कार्रवाई की गई। लेकिन आप अभी भी अंश में कोष्ठक खोल सकते हैं और समान शब्द ला सकते हैं: .

बी) जाहिर है, जोड़े गए भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंशों को जोड़ते हैं, और भाजक को वही छोड़ देते हैं: . जोड़ पूरा हुआ। लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी अंश को घटाया जा सकता है। वास्तव में, परिणामी भिन्न के अंश को (lgx+2) 2 के रूप में योग के वर्ग द्वारा कम किया जा सकता है (संक्षिप्त गुणन सूत्र देखें), इसलिए निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

ग) राशि में भिन्न अलग भाजक हैं। लेकिन, किसी एक भिन्न को परिवर्तित करके, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। वर्गों के सूत्र के अंतर का उपयोग करके पहले अंश के भाजक का गुणनखंड किया जा सकता है, और फिर इस अंश को कम करें: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने में कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका। दूसरे अंश के अंश और भाजक को गुणा करना (मूल अभिव्यक्ति के लिए DPV से चर x के किसी भी मान के लिए यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है) आपको एक ही बार में दो लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देता है: तर्कहीनता से छुटकारा पाएं और जोड़ने के लिए आगे बढ़ें समान भाजक वाले अंश। अपने पास

उत्तर:

ए) , बी) , वी) .

अंतिम उदाहरणहमें भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने के प्रश्न पर लाया। वहां, हम लगभग गलती से एक ही भाजक पर आ गए, जोड़े गए अंशों में से एक को सरल बना दिया। लेकिन ज्यादातर मामलों में, अलग-अलग भाजक के साथ अंशों को जोड़ना और घटाना, किसी को उद्देश्यपूर्ण रूप से अंशों को एक सामान्य भाजक में लाना होता है। ऐसा करने के लिए, अंशों के भाजकों को आमतौर पर उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, सभी कारकों को पहले अंश के भाजक से लिया जाता है, और दूसरे अंश के भाजक से लापता कारकों को उनमें जोड़ा जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रियाएं करें: a) , बी) , सी) .

समाधान।

क) भिन्नों के हरों के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक आम भाजक के रूप में, हम उत्पाद लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाते हैं, जो आगे हमें वह क्रिया करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता है, हमारे पास है

बी) इस उदाहरण में, भाजक पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, और कोई अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, भाजक में कारक केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम सबसे बड़े घातांक वाले कारकों का गुणनफल लेते हैं, अर्थात, . तब पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक होगा x 4 , और दूसरे के लिए - ln(x+1) । अब हम अंशों को घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, शुरुआत करने के लिए, हम भिन्नों के हरों के साथ काम करेंगे। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्र आपको मूल योग से अभिव्यक्ति तक जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य भाजक में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर:

ए)

बी)

वी)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है, और भाजक हरों का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम हो जाता है। इन मामलों में, यह कम हो जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।