आसन्न कोण क्या होते हैं? किन कोणों को आसन्न कहा जाता है? दो आसन्न कोणों का योग कितना होता है।

अध्याय 1।

बुनियादी अवधारणाओं।

§ग्यारह। आसन्न और लंबवत कोण।

1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी कोने की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोने मिलेंगे (चित्र 72): / एक सूरज और / SVD, जिसमें एक भुजा BC उभयनिष्ठ है, और अन्य दो AB और BD एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा के किसी बिंदु से किरण खींचते हैं (दिए गए सरल रेखा पर स्थित नहीं), तो हमें आसन्न कोण प्राप्त होते हैं।
उदाहरण के लिए, / एडीएफ और / FDВ - आसन्न कोनों (चित्र। 73)।

आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार की स्थिति हो सकती है (चित्र 74)।

आसन्न कोण एक सीधे कोण में जुड़ते हैं, इसलिए दो आसन्न कोणों की उमा होती है 2डी।

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आसन्न कोणों में से एक का मान जानने पर, हम दूसरे आसन्न कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 3/5 है डी, तो दूसरा कोण बराबर होगा:

2डी- 3 / 5 डी= एल 2/5 डी.

2. लंबवत कोण।

यदि हम किसी कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण प्राप्त होते हैं। आरेखण 75 में, कोण EOF और AOC लंबवत हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

होने देना / 1 = 7 / 8 डी(चित्र। 76)। इसके बगल में / 2 2 के बराबर होगा डी- 7 / 8 डी, यानी 1 1/8 डी.

उसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि क्या बराबर हैं / 3 और / 4.
/ 3 = 2डी - 1 1 / 8 डी = 7 / 8 डी; / 4 = 2डी - 7 / 8 डी = 1 1 / 8 डी(चित्र 77)।

हमने देखा कि / 1 = / 3 और / 2 = / 4.

आप समान समस्याओं में से कई और हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलता है: लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

तर्क द्वारा, प्रमाण द्वारा ऊर्ध्वाधर कोणों की संपत्ति की वैधता को सत्यापित करना आवश्यक है।

सबूत निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र 78):

/ एक +/ सी = 2डी;
/ ख+/ सी = 2डी;

(चूंकि आसन्न कोणों का योग 2 है डी).

/ एक +/ सी = / ख+/ सी

(चूंकि इस समानता का बायां पक्ष 2 के बराबर है डी, और इसका दाहिना भाग भी 2 के बराबर है डी).

इस समानता में समान कोण शामिल है साथ.

यदि हम समान मानों में से समान घटाएँ, तो वह समान रहेगा। परिणाम होगा: / ए = / बी, अर्थात, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रश्न पर विचार करते समय, हमने सबसे पहले समझाया कि कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं, अर्थात हमने दिया परिभाषाऊर्ध्वाधर कोने।

फिर हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता के बारे में एक निर्णय (कथन) किया और हम प्रमाण द्वारा इस निर्णय की वैधता के प्रति आश्वस्त हुए। ऐसे निर्णय, जिनकी वैधता सिद्ध होनी चाहिए, कहलाते हैं प्रमेयों. इस प्रकार, इस खंड में हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की परिभाषा दी है, और उनकी संपत्ति के बारे में एक प्रमेय भी बताया और सिद्ध किया है।

भविष्य में, ज्यामिति का अध्ययन करते समय, हमें लगातार प्रमेयों की परिभाषाओं और प्रमाणों का सामना करना पड़ेगा।

3. उभयनिष्ठ शीर्ष वाले कोणों का योग।

ड्राइंग 79 पर / 1, / 2, / 3 और / 4 एक सीधी रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। योग में, ये कोण एक ऋजुकोण बनाते हैं, अर्थात
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2डी.

ड्राइंग 80 पर / 1, / 2, / 3, / 4 और / 5 में एक सामान्य शीर्ष है। योग में, ये कोण एक पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4डी.

व्यायाम।

1. आसन्न कोणों में से एक 0.72 है डी।इन आसन्न कोणों के समद्विभाजकों द्वारा निर्मित कोण की गणना करें।

2. सिद्ध कीजिए कि दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक समकोण बनाते हैं।

3. सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

4. ड्राइंग 81 में आसन्न कोनों के कितने जोड़े हैं?

5. क्या आसन्न कोणों के युग्म में दो न्यून कोण हो सकते हैं? दो कुंद कोनों से? समकोण और अधिक कोण से? एक समकोण और तीव्र कोण से?

6. यदि संलग्न कोणों में से कोई एक समकोण है, तो उसके निकटवर्ती कोण के मान के बारे में क्या कहा जा सकता है?

7. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक समकोण हो, तो अन्य तीन कोणों के आकार के बारे में क्या कहा जा सकता है?

ज्यामिति एक बहुत ही बहुमुखी विज्ञान है। यह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करता है। बेशक, इसकी जटिलता और बड़ी संख्या में प्रमेयों और स्वयंसिद्धों के कारण, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता होती है।

आसन्न और लंबवत कोण ज्यामिति का एक अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें केवल इस कारण से मानते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और सिद्ध करने में आसान हैं।

कोनों का गठन

कोई भी कोण दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन से या एक बिंदु से दो किरणें खींचने से बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से कोने के निर्माण के बिंदुओं को निरूपित करते हैं।

कोणों को अंशों में मापा जाता है और (उनके मान के आधार पर) भिन्न रूप से कहे जा सकते हैं। तो, एक समकोण, तीव्र, कुंद और तैनात है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

एक तीव्र कोण एक कोण है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से बड़ा कोण होता है।

एक कोण को समकोण कहा जाता है जब उसका माप 90 होता है।

मामले में जब यह एक निरंतर सीधी रेखा से बनता है, और इसका डिग्री माप 180 है, इसे तैनात कहा जाता है।

जिन कोणों का एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जिसका दूसरा भाग एक-दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। इनके गुण इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसकी पुष्टि करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरे को ज्ञात हो।
2. यह पहले बिंदु से पता चलता है कि आसन्न कोण दो अधिक या दो तीव्र कोणों से नहीं बन सकते हैं।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, एक कोण के डिग्री माप की गणना हमेशा दूसरे कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात से की जा सकती है।

लंब कोण

ऐसे कोण जिनकी भुजाएँ एक दूसरे की निरंतरताएँ हों, उर्ध्वाधर कहलाते हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में काम कर सकती है। लंबवत कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

वे तब बनते हैं जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। उनके साथ, आसन्न कोने हमेशा मौजूद होते हैं। एक कोण एक के लिए सन्निकट और दूसरे के लिए लंबवत दोनों हो सकता है।

एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को छेदक रेखा कहते हैं, और यह संगत, एक तरफा और तिरछा कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं। उन्हें लंबवत और आसन्न कोणों के गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है।

इस प्रकार, कोनों का विषय काफी सरल और समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और सिद्ध करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक मुश्किल नहीं है जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मान के अनुरूप हों। पहले से ही, जब पाप और कॉस का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्र, उनके निष्कर्ष और परिणाम याद करने होंगे। तब तक, आप केवल आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जिसमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।

एक ही सीधी रेखा पर स्थित और एक शीर्ष वाले दो कोण आसन्न कहलाते हैं।

अन्यथा, यदि एक ही रेखा पर दो कोणों का योग 180 डिग्री है और उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, तो ये आसन्न कोण हैं।

1 सन्निकट कोण + 1 सन्निकट कोण = 180 डिग्री।

आसन्न कोण दो कोण होते हैं जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।

दो आसन्न कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 60 डिग्री का है, तो दूसरा आवश्यक रूप से 120 डिग्री (180-60) के बराबर होगा।

कोण AOC और BOC आसन्न कोण हैं, क्योंकि आसन्न कोणों को चिह्नित करने की सभी शर्तें पूरी होती हैं:

1.OS - दो कोनों का सामान्य पक्ष

2.AO - कोण AOC की ओर, OB - कोण BOS की ओर। ये भुजाएँ मिलकर एक सरल रेखा AOB बनाती हैं।

3. दो कोण होते हैं और उनका योग 180 डिग्री होता है।

स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम को याद करते हुए, हम आसन्न कोणों के बारे में निम्नलिखित कह सकते हैं:

आसन्न कोणों में एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और अन्य दो भुजाएँ एक ही सरल रेखा की होती हैं, अर्थात् वे एक ही सरल रेखा पर होती हैं। यदि आकृति के अनुसार, तो कोण SOV और BOA आसन्न कोण हैं, जिनका योग हमेशा 180 के बराबर होता है, क्योंकि वे एक समकोण साझा करते हैं, और एक समकोण हमेशा 180 के बराबर होता है।



आसन्न कोण ज्यामिति में एक आसान अवधारणा है। आसन्न कोण, कोण और कोण का जोड़ 180 डिग्री तक होता है।

दो आसन्न कोने - यह एक अनफोल्डेड कॉर्नर होगा।

कुछ और गुण हैं। आसन्न कोनों के साथ, समस्याओं को हल करना और प्रमेयों को सिद्ध करना आसान है।

आसन्न कोण तब बनते हैं जब एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु से एक किरण खींची जाती है। फिर यह मनमाना बिंदु कोण का शीर्ष बन जाता है, किरण आसन्न कोणों का सामान्य पक्ष है, और जिस रेखा से किरण खींची जाती है वह आसन्न कोणों की दो शेष भुजाएँ होती हैं। लंबवत के मामले में आसन्न कोण या तो समान हो सकते हैं, या तिरछे बीम में भिन्न हो सकते हैं। यह देखना आसान है कि आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है, या बस एक सीधी रेखा है। दूसरे तरीके से, इस कोण को एक सरल उदाहरण से समझाया जा सकता है - आप पहले एक सीधी रेखा में एक दिशा में चले, फिर अपना मन बदल लिया, वापस जाने का फैसला किया और 180 डिग्री मुड़ गए और उसी सीधी रेखा में विपरीत दिशा में चले गए।



तो आसन्न कोण क्या है? परिभाषा:

एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा वाले दो कोण आसन्न होते हैं, और इन कोणों की अन्य दो भुजाएँ एक ही सरल रेखा पर स्थित होती हैं।



और एक छोटा सा वीडियो पाठ, जहां यह समझदारी से आसन्न कोणों, ऊर्ध्वाधर कोणों के साथ-साथ लंब रेखाओं के बारे में दिखाया गया है, जो आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों का एक विशेष मामला है

आसन्न कोण ऐसे कोण होते हैं जिनका एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है और दूसरा एकल रेखा होता है।

आसन्न कोण वे कोण होते हैं जो एक दूसरे पर निर्भर होते हैं। अर्थात, यदि उभयनिष्ठ भुजा को थोड़ा सा घुमाया जाए, तो एक कोण कुछ अंश कम हो जाएगा और स्वतः ही दूसरा कोण उतने ही अंशों से बढ़ जाएगा। आसन्न कोणों का यह गुण ज्यामिति में विभिन्न समस्याओं को हल करना और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करना संभव बनाता है।

आसन्न कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।



ज्यामिति पाठ्यक्रम से, (जहाँ तक मुझे छठी कक्षा के लिए याद है), दो कोण आसन्न कहलाते हैं, जिसमें एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है, और दूसरी भुजाएँ अतिरिक्त किरणें होती हैं, आसन्न कोणों का योग 180 होता है। दो आसन्न कोण दूसरे कोण को एक मुड़े हुए कोण का पूरक बनाते हैं। आसन्न कोनों का उदाहरण:



आसन्न कोण एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले दो कोण होते हैं, जिनमें से एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और शेष भुजाएँ एक ही सरल रेखा पर स्थित होती हैं (संपाती नहीं)। आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री होता है। सामान्य तौर पर, यह सब Google या ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक में खोजना बहुत आसान है।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनका एक पक्ष उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की अन्य भुजाएँ पूरक किरणें हों। आकृति 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° होता है

प्रमेय 1। आसन्न कोणों का योग 180° है।

सबूत। ओबी बीम (चित्र 1 देखें) विकसित कोण के किनारों के बीच से गुजरता है। इसीलिए ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

प्रमेय 1 से यह पता चलता है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनसे सटे कोण बराबर होते हैं।

लंबवत कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोण AOB और COD, BOD और AOC लंबवत होते हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2। लंबवत कोण बराबर हैं।

सबूत। ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 के अनुसार, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°।

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ∠ AOB = ∠ COD।

उपप्रमेय 1. समकोण से सटा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार करें (चित्र 3)। वे चार कोने बनाते हैं। यदि उनमें से एक समकोण है (चित्र 3 में कोण 1), तो अन्य कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 लंबवत हैं)। इस स्थिति में, इन रेखाओं को समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली कहा जाता है और इन्हें लंब (या परस्पर लंब) कहा जाता है। रेखाओं AC और BD की लंबवतता को निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: AC ⊥ BD।

एक खंड का लंबवत द्विभाजक इस खंड के लंबवत रेखा है और इसके मध्य बिंदु से गुजरता है।

एएन - रेखा के लंबवत

एक रेखा a और एक बिंदु A पर विचार करें जो उस पर स्थित नहीं है (चित्र 4)। बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H से एक सीधी रेखा से कनेक्ट करें। एक खंड AH को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लंब कहा जाता है यदि रेखाएँ AN और a लंब हैं। बिंदु H को लंब का आधार कहा जाता है।

आरेखण वर्ग

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3। किसी भी बिंदु से जो एक रेखा पर स्थित नहीं है, कोई इस रेखा के लिए एक लंब खींच सकता है, और केवल एक ही।

ड्राइंग में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब खींचने के लिए, एक ड्राइंग वर्ग का उपयोग किया जाता है (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के कथन में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग जो दिया गया है उसके बारे में बात करता है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहा जाता है। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की शर्त ऊर्ध्वाधर कोण है; निष्कर्ष - ये कोण बराबर होते हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "यदि" शब्द से शुरू हो, और "तो" शब्द के साथ निष्कर्ष। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को विस्तार से इस प्रकार कहा जा सकता है: "यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1आसन्न कोणों में से एक 44° है। दूसरा किसके बराबर है?

समाधान। प्रमेय 1 के अनुसार दूसरे कोण के डिग्री माप को x से निरूपित करें।
44° + x = 180°।
परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं कि x \u003d 136 °। इसलिए, दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2बता दें कि चित्र 21 में COD कोण 45° है। कोण AOB और AOC क्या हैं?

समाधान। कोण COD और AOB उर्ध्वाधर हैं, इसलिए प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात, ∠ AOB = 45°। कोण AOC, कोण COD के सन्निकट है, इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा।
∠ एओसी = 180° - ∠ सीओडी = 180° - 45° = 135°।

उदाहरण 3आसन्न कोण ज्ञात कीजिए यदि उनमें से एक दूसरे का 3 गुना है।

समाधान। छोटे कोण के अंश माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण का डिग्री माप Zx होगा। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है (प्रमेय 1), तो x + 3x = 180°, जहाँ x = 45° है।
अतः आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए कि चित्र 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है। AOB से लंबवत कोण COD समान हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनके डिग्री माप भी समान हैं। इसलिए, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (शर्त के अनुसार उनका योग 100° है)। कोण BOD (कोण AOC भी) कोण COD के सन्निकट है, और इसलिए, प्रमेय 1 द्वारा
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°।

कोनों का परिचय

आइए हम दो मनमानी किरणें दें। आइए उन्हें एक दूसरे के ऊपर रखें। तब

परिभाषा 1

कोण एक ही मूल वाली दो किरणों को दिया गया नाम है।

परिभाषा 2

वह बिंदु, जो परिभाषा 3 के ढांचे के भीतर किरणों की शुरुआत है, इस कोण का शीर्ष कहलाता है।

एक कोण को इसके निम्नलिखित तीन बिंदुओं से निरूपित किया जाएगा: एक शीर्ष, एक किरण पर एक बिंदु और दूसरी किरण पर एक बिंदु, और कोण के शीर्ष को इसके पदनाम के मध्य में लिखा गया है (चित्र 1)।

अब परिभाषित करते हैं कि कोण का मान क्या है।

ऐसा करने के लिए, आपको किसी प्रकार का "संदर्भ" कोण चुनना होगा, जिसे हम एक इकाई के रूप में लेंगे। अधिकतर, ऐसा कोण एक कोण होता है जो एक समकोण के एक भाग के $\frac(1)(180)$ के बराबर होता है। इस मान को डिग्री कहा जाता है। ऐसे कोण को चुनने के बाद, हम इसके साथ कोणों की तुलना करते हैं, जिसका मान ज्ञात करना चाहिए।

4 प्रकार के कोने हैं:

परिभाषा 3

एक कोण न्यून कोण कहलाता है यदि वह $90^0$ से कम हो।

परिभाषा 4

$90^0$ से अधिक होने पर एक कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

परिभाषा 5

एक कोण को सीधा कहा जाता है यदि यह $180^0$ के बराबर हो।

परिभाषा 6

एक कोण को समकोण कहा जाता है यदि वह $90^0$ के बराबर हो।

इस प्रकार के कोणों के अलावा, जिनका वर्णन ऊपर किया गया है, एक दूसरे के संबंध में कोणों के प्रकारों को भेद करना संभव है, अर्थात् ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोण।

अगल-बगल के कोने

एक सीधे कोण $COB$ पर विचार करें। इसके शीर्ष से एक किरण $OA$ खींचिए। यह किरण मूल कोण को दो कोणों में विभाजित करेगी। तब

परिभाषा 7

दो कोणों को आसन्न कहा जाएगा यदि उनकी भुजाओं का एक युग्म समकोण हो और दूसरा युग्म संपाती हो (चित्र 2)।

इस स्थिति में, कोण $COA$ और $BOA$ आसन्न हैं।

प्रमेय 1

आसन्न कोणों का योग $180^0$ है।

सबूत।

चित्र 2 पर विचार करें।

परिभाषा 7 के अनुसार, इसमें कोण $COB$ $180^0$ के बराबर होगा। चूँकि आसन्न कोणों की भुजाओं का दूसरा युग्म संपाती है, तो किरण $OA$ सीधे कोण को 2 से विभाजित करेगी, इसलिए

$∠COA+∠BOA=180^0$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस अवधारणा का उपयोग करके समस्या के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 1

नीचे दिए गए चित्र से कोण C ज्ञात कीजिए

परिभाषा 7 से, हम पाते हैं कि कोण $BDA$ और $ADC$ आसन्न हैं। इसलिए, प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

त्रिभुज में कोणों के योग पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास होगा

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

उत्तर: $40^0$।

लंब कोण

विकसित कोणों $AOB$ और $MOC$ पर विचार करें। आइए उनके शीर्षों को एक-दूसरे से मिलाएँ (अर्थात, बिंदु $O"$ को बिंदु $O$ पर रखें) ताकि इन कोणों की कोई भी भुजा संपाती न हो। फिर

परिभाषा 8

दो कोणों को ऊर्ध्वाधर कहा जाएगा यदि उनकी भुजाओं के जोड़े सीधे कोण हों और उनके मान समान हों (चित्र 3)।

इस स्थिति में, कोण $MOA$ और $BOC$ लंबवत हैं और कोण $MOB$ और $AOC$ भी लंबवत हैं।

प्रमेय 2

लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

चित्र 3 पर विचार करें। आइए, उदाहरण के लिए, सिद्ध करें कि कोण $MOA$ कोण $BOC$ के बराबर है।