विभिन्न हरों के साथ सरल भिन्नों की तुलना। भिन्न तुलना

इस पाठ में हम सीखेंगे कि भिन्नों की एक दूसरे से तुलना कैसे करें। ये बहुत उपयोगी कौशल, जो अधिक जटिल समस्याओं की एक पूरी श्रेणी को हल करने के लिए आवश्यक है।

सबसे पहले, मैं आपको भिन्नों की समानता की परिभाषा याद दिला दूं:

यदि ad = bc हो तो भिन्न a /b और c /d को समान कहा जाता है।

1. 5/8 = 15/24 क्योंकि 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 क्योंकि 3 18 = 2 27 = 54.

अन्य सभी मामलों में, भिन्न असमान हैं, और निम्नलिखित में से एक कथन उनके लिए सत्य है:

1. भिन्न a /b भिन्न c /d से बड़ा है;
2. भिन्न a/b भिन्न c/d से कम है।

भिन्न a /b को भिन्न c /d से बड़ा कहा जाता है यदि a /b − c /d > 0.

एक भिन्न x /y को भिन्न s /t से छोटा कहा जाता है यदि x /y - s /t< 0.

पद का नाम:

इस प्रकार, भिन्नों की तुलना उनके घटाव तक कम हो जाती है। प्रश्न: "इससे अधिक" (>) और "इससे कम" अंकन के साथ भ्रमित न हों (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. चेक का विस्तारित हिस्सा हमेशा बड़ी संख्या की ओर निर्देशित होता है;
2. जैकडॉ की तीखी नाक हमेशा कम संख्या का संकेत देती है।

अक्सर ऐसे कार्यों में जहां आप संख्याओं की तुलना करना चाहते हैं, वे उनके बीच "∨" चिन्ह लगा देते हैं। यह एक जैकडॉ है जिसकी नाक नीचे की ओर है, जो संकेत देता है: बड़ी संख्या अभी तक निर्धारित नहीं की गई है।

काम। संख्याओं की तुलना करें:

परिभाषा का अनुसरण करते हुए, हम भिन्नों को एक दूसरे से घटाते हैं:

प्रत्येक तुलना में, हमें भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता थी। विशेष रूप से, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करना और लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना। मैंने जानबूझकर इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो "भिन्नों का जोड़ और घटाव" पाठ पर एक नज़र डालें - यह बहुत आसान है।

दशमलव तुलना

दशमलव भिन्नों के मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। यहां कुछ भी घटाने की जरूरत नहीं है - बस अंकों की तुलना करें। यह याद रखना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए मैं "दशमलव भिन्नों का गुणा और भाग" पाठ को दोहराने का सुझाव देता हूं - इसमें भी बस कुछ ही मिनट लगेंगे।

एक धनात्मक दशमलव X, धनात्मक दशमलव Y से बड़ा होता है यदि उसका दशमलव स्थान इस प्रकार हो:

1. भिन्न X में इस अंक का अंक भिन्न Y में संगत अंक से बड़ा है;
2. भिन्न X और Y में दिए गए से पुराने सभी अंक समान हैं।

1. 12.25 > 12.16. पहले दो अंक समान हैं (12 = 12), और तीसरा बड़ा है (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

दूसरे शब्दों में, हम क्रमिक रूप से दशमलव स्थानों को देख रहे हैं और अंतर की तलाश कर रहे हैं। इस मामले में, एक बड़ी संख्या एक बड़े भिन्न से मेल खाती है।

हालाँकि, इस परिभाषा को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव बिंदु तक अंकों को कैसे लिखें और तुलना करें? याद रखें: दशमलव रूप में लिखी गई किसी भी संख्या को बाईं ओर शून्य की कोई भी संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (हम बात कर रहे हैंवरिष्ठ स्तर के बारे में)
2. 2300.5 > 0.0025, क्योंकि 0.0025 = 0000.0025 - बाईं ओर तीन शून्य जोड़े गए। अब आप देख सकते हैं कि अंतर पहले बिट से शुरू होता है: 2 > 0.

बेशक, शून्य के साथ दिए गए उदाहरणों में एक स्पष्ट गणना थी, लेकिन अर्थ बिल्कुल यही है: बाईं ओर लुप्त अंक भरें, और फिर तुलना करें।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

1. 0.029 > 0.007. पहले दो अंक समान हैं (00 = 00), फिर अंतर शुरू होता है (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. यहां आपको शून्यों को सावधानीपूर्वक गिनने की जरूरत है। दोनों भिन्नों में पहले 5 अंक शून्य हैं, लेकिन आगे पहले भिन्न में 3 है, और दूसरे में - 0। जाहिर है, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501. आइए बाईं ओर 3 शून्य जोड़कर दूसरे अंश को 0000.99501 के रूप में फिर से लिखें। अब सब कुछ स्पष्ट है: 1 > 0 - अंतर पहले अंक में पाया जाता है।

दुर्भाग्य से, उपरोक्त तुलना योजना दशमलव भागसार्वभौमिक नहीं. यह विधि केवल तुलना ही कर सकती है सकारात्मक संख्या. सामान्य स्थिति में, कार्य का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. एक धनात्मक अंश सदैव ऋणात्मक अंश से बड़ा होता है;
2. उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार दो सकारात्मक भिन्नों की तुलना की जाती है;
3. दो ऋणात्मक भिन्नों की तुलना इसी प्रकार की जाती है, लेकिन अंत में असमानता का चिह्न उलट जाता है।

अच्छा, क्या यह कमज़ोर नहीं है? अब विचार करें ठोस उदाहरण- और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

काम। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0.192 > -0.39. भिन्न ऋणात्मक हैं, 2 अंक भिन्न हैं। 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > -11.3. एक धनात्मक संख्या सदैव ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है;
4. 19.032 > 0.091. यह देखने के लिए कि अंतर पहले से ही 1 अंक में है, दूसरे अंश को 00.091 के रूप में फिर से लिखना पर्याप्त है;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. अंतर पहली श्रेणी में है.

यह पता लगाने के लिए कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है, दो असमान भिन्नों की आगे तुलना की जाती है। दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है, जिसे हम नीचे बनाएंगे, और हम समान और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना करते समय इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम दिखाएंगे कि भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना समान अंशों के साथ उनकी तुलना कैसे की जाए, और यह भी विचार करें कि एक साधारण भिन्न की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से कैसे की जाए।

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समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करनामूलतः समान शेयरों की संख्या की तुलना है। उदाहरण के लिए, एक साधारण भिन्न 3/7 3 भाग 1/7 निर्धारित करता है, और एक भिन्न 8/7 8 भाग 1/7 से मेल खाता है, इसलिए समान हर 3/7 और 8/7 के साथ भिन्नों की तुलना करने से संख्या 3 और 8 की तुलना होती है, यानी अंशों की तुलना होती है।

इन विचारों से यह निष्कर्ष निकलता है समान हर वाली भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान हर वाली दो भिन्नों में बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है और छोटी वह भिन्न होती है जिसका अंश छोटा होता है।

बताया गया नियम बताता है कि समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के नियम को लागू करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

कौन सा भिन्न बड़ा है: 65/126 या 87/126?

समाधान।

तुलना की गई साधारण भिन्नों के हर बराबर हैं, और भिन्न 87/126 का अंश 87 भिन्न 65/126 के अंश 65 से बड़ा है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, भिन्न 87/126, भिन्न 65/126 से बड़ा है।

उत्तर:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनासमान हर वाले भिन्नों की तुलना करने तक इसे कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको केवल तुलना करने की आवश्यकता है सामान्य भिन्नएक सामान्य विभाजक की ओर ले जाएं।

तो, विभिन्न हरों के साथ दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

• भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ;
• परिणामी भिन्नों की समान हरों से तुलना करें।

आइए एक उदाहरण समाधान पर नजर डालें.

उदाहरण।

भिन्न 5/12 की तुलना भिन्न 9/16 से करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम अलग-अलग हर वाले इन भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (एक सामान्य हर में भिन्नों को कम करने के नियम और उदाहरण देखें)। एक सामान्य हर के रूप में, LCM(12, 16)=48 के बराबर सबसे छोटा सामान्य हर लें। तब भिन्न 5/12 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:12=4 होगा, और भिन्न 9/16 का अतिरिक्त गुणनखंड संख्या 48:16=3 होगा। हम पाते हैं और .

परिणामी भिन्नों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है। इसलिए, भिन्न 5/12, भिन्न 9/16 से छोटा है। यह विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना को पूरा करता है।

उत्तर:

आइए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका जानें, जो आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाए बिना और इस प्रक्रिया से जुड़ी सभी कठिनाइयों के बिना तुलना करने की अनुमति देगा।

भिन्नों a/b और c/d की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य हर bd में घटाया जा सकता है, जो तुलना किए गए भिन्नों के हर के गुणनफल के बराबर है। इस मामले में, भिन्नों a/b और c/d के अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः संख्याएँ d और b हैं, और मूल भिन्नों को भिन्नों में बदल दिया जाता है और एक सामान्य हर bd के साथ। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के नियम को याद करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल भिन्नों ए/बी और सी/डी की तुलना को ए डी और सी बी के उत्पादों की तुलना करने के लिए कम कर दिया गया है।

इससे निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: यदि a d>b c , तो , और यदि a d

इस प्रकार विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने पर विचार करें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों 5/18 और 23/86 की तुलना करें।

समाधान।

इस उदाहरण में, a=5 , b=18 , c=23 और d=86 । आइए गुणनफल a d और b c की गणना करें। हमारे पास a d=5 86=430 और b c=18 23=414 है। चूँकि 430>414, भिन्न 5/18, भिन्न 23/86 से बड़ा है।

उत्तर:

समान अंश-गणक से भिन्नों की तुलना करना

समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना निश्चित रूप से पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके की जा सकती है। हालाँकि, ऐसे भिन्नों की तुलना का परिणाम इन भिन्नों के हरों की तुलना करके प्राप्त करना आसान है।

ऐसा है समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान अंश वाली दो भिन्नों में से जिसका हर छोटा हो वह बड़ी होती है और जिसका हर बड़ा हो वह छोटी होती है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें.

उदाहरण।

भिन्नों 54/19 और 54/31 की तुलना करें।

समाधान।

चूँकि तुलना की गई भिन्नों के अंश बराबर हैं, और भिन्न 54/19 का हर 19, भिन्न 54/31 के हर 31 से कम है, तो 54/19, 54/31 से बड़ा है।

हम भिन्नों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। आज हम इनकी तुलना के बारे में बात करेंगे. विषय रोचक एवं उपयोगी है. यह शुरुआती लोगों को सफेद कोट में एक वैज्ञानिक की तरह महसूस करने की अनुमति देगा।

भिन्नों की तुलना करने का सार यह पता लगाना है कि दोनों भिन्नों में से कौन सा बड़ा या छोटा है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि दोनों भिन्नों में से कौन बड़ा या छोटा है, अधिक (>) या कम (जैसे) का उपयोग करें।<).

गणितज्ञों ने पहले से ही तैयार नियमों का ध्यान रखा है जो आपको तुरंत इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देते हैं कि कौन सा भिन्न बड़ा है और कौन सा छोटा है। इन नियमों को सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है.

हम इन सभी नियमों को देखेंगे और यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि ऐसा क्यों होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

तुलना की जाने वाली भिन्न भिन्न-भिन्न आती हैं। सबसे सफल मामला तब होता है जब भिन्नों के हर समान होते हैं, लेकिन अंश अलग-अलग होते हैं। इस मामले में, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

समान हर वाली दो भिन्नों में से बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है। और तदनुसार, वह छोटी भिन्न होगी, जिसमें अंश छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और उत्तर दें कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा है। यहां हर तो एक ही है, लेकिन अंश अलग-अलग हैं। भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। अत: अंश इससे बड़ा है। तो हम जवाब देते हैं. अधिक आइकन (>) का उपयोग करके उत्तर दें

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे पिज़्ज़ा से बड़ा है।

समान अंश-गणक से भिन्नों की तुलना करना

अगली स्थिति में हम तब पहुँच सकते हैं जब भिन्नों के अंश समान होते हैं, लेकिन हर भिन्न होते हैं। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है। इसलिए बड़े हर वाला भिन्न छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों और की तुलना करें। इन भिन्नों का अंश समान होता है। भिन्न का हर भिन्न से छोटा होता है। अतः भिन्न, भिन्न से बड़ा है। तो हम उत्तर देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज़्ज़ा के बारे में सोचें जो तीन और चार भागों में विभाजित है। पिज़्ज़ा से ज़्यादा पिज़्ज़ा:

हर कोई इस बात से सहमत है कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

अक्सर ऐसा होता है कि आपको विभिन्न अंशों और विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करनी पड़ती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों और की तुलना करें। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इनमें से कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है, आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर में लाना होगा। तब यह निर्धारित करना आसान हो जाएगा कि कौन सा भिन्न बड़ा या छोटा है।

आइए भिन्नों को समान (सामान्य) हर पर लाएँ। दोनों भिन्नों के हर (LCM) ज्ञात कीजिए। भिन्नों और उस संख्या के हरों का LCM 6 है।

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 3 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

आइए अब दूसरा अतिरिक्त कारक खोजें। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2 का अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों की तुलना कैसे की जाती है। समान हर वाली दो भिन्नों में से बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है:

नियम तो नियम है, और हम यह पता लगाने का प्रयास करेंगे कि इससे अधिक क्यों। ऐसा करने के लिए, भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करें। भिन्न में कुछ भी चुनने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह भिन्न पहले से ही सही है।

भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

अब आप आसानी से समझ सकते हैं कि इससे ज्यादा क्यों। आइए इन अंशों को पिज़्ज़ा के रूप में बनाएं:

2 साबूत पिज़्ज़ा और पिज़्ज़ा, पिज़्ज़ा से भी ज़्यादा।

मिश्रित संख्याओं का घटाव. कठिन मामले.

मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, कभी-कभी आप पाते हैं कि चीजें उतनी आसानी से नहीं चल रही हैं जितनी आप चाहते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी उदाहरण को हल करते समय उत्तर वह नहीं होता जो होना चाहिए।

संख्याओं को घटाते समय, न्यूनतम को घटाव से अधिक होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य प्रतिक्रिया प्राप्त होगी।

उदाहरण के लिए, 10−8=2

10 - कम हो गया

8 - घटाया गया

2 - अंतर

माइनस 10 घटाए गए 8 से बड़ा है, इसलिए हमें सामान्य उत्तर 2 मिला।

अब देखते हैं कि यदि मीनूएंड सबट्रेंड से कम है तो क्या होता है। उदाहरण 5−7=−2

5 - कम हो गया

7 - घटाया गया

−2 का अंतर है

इस मामले में, हम उन संख्याओं से आगे निकल जाते हैं जिनके हम आदी हैं और खुद को नकारात्मक संख्याओं की दुनिया में पाते हैं, जहां चलना हमारे लिए बहुत जल्दी है, और खतरनाक भी। इसके साथ कार्य करने के लिए नकारात्मक संख्याएँ, हमें एक उपयुक्त गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता है, जो हमें अभी तक प्राप्त नहीं हुई है।

यदि, घटाव के उदाहरणों को हल करते समय, आप पाते हैं कि न्यूनतम घटाव से कम है, तो आप ऐसे उदाहरण को अभी के लिए छोड़ सकते हैं। ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद ही उनके साथ काम करने की अनुमति है।

भिन्नों के साथ भी यही स्थिति है। मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में ही सामान्य उत्तर प्राप्त करना संभव होगा। और यह समझने के लिए कि क्या घटाया गया अंश घटाए गए अंश से बड़ा है, आपको इन अंशों की तुलना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए एक उदाहरण हल करें।

यह एक घटाव उदाहरण है. इसे हल करने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि घटाया गया अंश घटाए गए अंश से बड़ा है या नहीं। इससे अधिक

इसलिए हम सुरक्षित रूप से उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे हल कर सकते हैं:

आइए अब इस उदाहरण को हल करें

जांचें कि क्या घटाया गया अंश, घटाये गये अंश से बड़ा है। हमने पाया कि यह कम है:

इस मामले में, रुकना और आगे की गणना जारी न रखना अधिक उचित है। जब हम ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करेंगे तो हम इस उदाहरण पर लौटेंगे।

घटाने से पहले मिश्रित संख्याओं की जांच करना भी वांछनीय है। उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, जांचें कि क्या घटाई गई मिश्रित संख्या घटाई गई संख्या से अधिक है। ऐसा करने के लिए, हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में अनुवादित करते हैं:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें मिलीं। ऐसे भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें समान (सामान्य) हर पर लाना होगा। हम यह विस्तार से नहीं बताएंगे कि यह कैसे करना है। यदि आपको परेशानी हो रही है, तो दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को समान हर तक घटाने के बाद, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अब हमें भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। ये समान हर वाले भिन्न हैं। समान हर वाली दो भिन्नों में से बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है।

भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। अतः भिन्न, भिन्न से बड़ा है।

इसका मतलब यह है कि मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा है।

इसलिए हम अपने उदाहरण पर वापस जा सकते हैं और साहसपूर्वक इसे हल कर सकते हैं:

उदाहरण 3किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

जांचें कि क्या मीनूएंड सबट्रेंड से अधिक है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर वाली भिन्नें मिलीं। हम इन भिन्नों को एक ही (सामान्य) हर में लाते हैं।

न केवल अभाज्य संख्याओं की तुलना की जा सकती है, बल्कि भिन्नों की भी तुलना की जा सकती है। आख़िरकार, एक भिन्न वही संख्या है, उदाहरण के लिए, और पूर्णांकों. आपको केवल उन नियमों को जानना होगा जिनके द्वारा भिन्नों की तुलना की जाती है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना।

यदि दो भिन्नों के हर समान हों तो ऐसे भिन्नों की तुलना करना आसान होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उनके अंशों की तुलना करने की आवश्यकता है। बड़े भिन्न का अंश भी बड़ा होता है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

भिन्नों \(\frac(7)(26)\) और \(\frac(13)(26)\) की तुलना करें।

दोनों भिन्नों के हर समान हैं, 26 के बराबर हैं, इसलिए हम अंशों की तुलना करते हैं। संख्या 13, 7 से बड़ी है। हमें प्राप्त होता है:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना।

यदि किसी भिन्न का अंश समान हो, तो बड़ी भिन्न वह होती है जिसका हर छोटा होता है।

यदि आप जीवन से एक उदाहरण दें तो आप इस नियम को समझ सकते हैं। हमारे पास केक है. 5 या 11 मेहमान हमसे मिलने आ सकते हैं। अगर 5 मेहमान आएंगे तो हम केक को 5 बराबर टुकड़ों में काटेंगे और अगर 11 मेहमान आएंगे तो हम केक को 11 बराबर टुकड़ों में बांट लेंगे. अब सोचिए कि किस स्थिति में एक मेहमान के पास केक का एक टुकड़ा होगा बड़ा आकार? बेशक, जब 5 मेहमान आएंगे तो केक का टुकड़ा बड़ा होगा.

या कोई अन्य उदाहरण. हमारे पास 20 कैंडी हैं। हम 4 दोस्तों को समान रूप से कैंडी बांट सकते हैं या 10 दोस्तों के बीच समान रूप से कैंडी बांट सकते हैं। किस स्थिति में प्रत्येक मित्र के पास अधिक मिठाइयाँ होंगी? निःसंदेह, जब हम केवल 4 मित्रों से विभाजित होते हैं, तो प्रत्येक मित्र के पास कैंडी की संख्या अधिक होगी। आइए इस समस्या को गणितीय रूप से जांचें।

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

यदि हम इन भिन्नों को हल करते हैं, तो हमें संख्याएँ \(\frac(20)(4) = 5\) और \(\frac(20)(10) = 2\) प्राप्त होती हैं। हमें वह 5 > 2 प्राप्त होता है

यह समान अंशों के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें.

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करें \(\frac(1)(17)\) और \(\frac(1)(15)\) .

चूँकि अंश समान होते हैं, वह भिन्न उतनी ही बड़ी होती है जहाँ हर कम होता है।

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

विभिन्न हर और अंश वाले भिन्नों की तुलना।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को कम करना होगा और फिर अंशों की तुलना करनी होगी।

भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(5)(7)\) की तुलना करें।

सबसे पहले, भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। यह संख्या 21 के बराबर होगी.

\(\begin(संरेखित)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5)(7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(संरेखित)\)

फिर हम अंशों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। समान हर वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम।

\(\begin(संरेखित)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

तुलना।

एक अनुचित भिन्न सदैव उचित भिन्न से बड़ा होता है।क्योंकि एक अनुचित भिन्न 1 से बड़ी होती है और एक उचित भिन्न 1 से कम होती है।

उदाहरण:
भिन्नों \(\frac(11)(13)\) और \(\frac(8)(7)\) की तुलना करें।

भिन्न \(\frac(8)(7)\) सही नहीं है और 1 से बड़ा है।

\(1 < \frac{8}{7}\)

भिन्न \(\frac(11)(13)\) सही है और 1 से कम है। तुलना करें:

\(1 > \frac(11)(13)\)

हमें मिलता है, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

संबंधित सवाल:
आप विभिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना कैसे करते हैं?
उत्तर: भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना और फिर उनके अंशों की तुलना करना आवश्यक है।

भिन्नों की तुलना कैसे करें?
उत्तर: सबसे पहले आपको यह तय करना होगा कि भिन्न किस श्रेणी से संबंधित हैं: उनके पास एक सामान्य हर है, उनके पास एक सामान्य अंश है, उनके पास एक सामान्य हर और अंश नहीं है, या आपके पास एक उचित और अनुचित भिन्न है। भिन्नों को वर्गीकृत करने के बाद उचित तुलना नियम लागू करें।

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना क्या है?
उत्तर: यदि भिन्नों के अंश समान हों, तो बड़ी भिन्न वह होती है जिसका हर छोटा होता है।

उदाहरण 1:
भिन्नों \(\frac(11)(12)\) और \(\frac(13)(16)\) की तुलना करें।

समाधान:
चूंकि कोई समान अंश या हर नहीं हैं, इसलिए हम विभिन्न हर के साथ तुलना नियम लागू करते हैं। हमें एक सामान्य विभाजक खोजने की जरूरत है। उभयनिष्ठ हर 96 के बराबर होगा। आइए भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएं। पहले भिन्न \(\frac(11)(12)\) को 8 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें, और दूसरे भिन्न \(\frac(13)(16)\) को 6 से गुणा करें।

\(\begin(ign)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13)(16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(संरेखित)\)

हम भिन्नों की तुलना अंशों से करते हैं, वह भिन्न बड़ी होती है जिसमें अंश बड़ा होता है।

\(\begin(संरेखण)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\\ \end(संरेखित)\)

उदाहरण #2:
एक इकाई के साथ उचित भिन्न की तुलना करें?

समाधान:
कोई भी उचित भिन्न सदैव 1 से कम होता है।

कार्य 1:
पिता और पुत्र फुटबॉल खेलते थे। 10 एप्रोच के बेटे ने गेट पर 5 बार प्रहार किया। और पिताजी ने 5 में से 3 बार गेट मारा। किसका परिणाम बेहतर है?

समाधान:
बेटे ने 10 संभावित तरीकों में से 5 बार प्रहार किया। हम भिन्न के रूप में लिखते हैं \(\frac(5)(10) \).
पिताजी ने 5 संभावित तरीकों में से 3 बार प्रहार किया। हम भिन्न को \(\frac(3)(5) \) के रूप में लिखते हैं।

भिन्नों की तुलना करें. हमारे पास अलग-अलग अंश और हर हैं, आइए इसे एक ही हर पर लाएं। उभयनिष्ठ हर 10 होगा.

\(\begin(ign)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5)(10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

उत्तर: पापा का रिजल्ट बेहतर है.