समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की सेवा आपको किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करेगी। हमारी साइट का उपयोग करके, आपको न केवल समीकरण का उत्तर मिलेगा, बल्कि एक विस्तृत समाधान भी मिलेगा, यानी परिणाम प्राप्त करने की प्रक्रिया का चरण-दर-चरण प्रदर्शन। हमारी सेवा हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी होगी सामान्य शिक्षा विद्यालयऔर उनके माता-पिता. छात्र परीक्षणों, परीक्षाओं की तैयारी कर सकेंगे, अपने ज्ञान का परीक्षण कर सकेंगे और माता-पिता अपने बच्चों द्वारा गणितीय समीकरणों के समाधान को नियंत्रित करने में सक्षम होंगे। समीकरणों को हल करने की क्षमता अनिवार्य आवश्यकतास्कूली बच्चों को. यह सेवा आपको गणितीय समीकरणों के क्षेत्र में स्वयं सीखने और आपके ज्ञान को बेहतर बनाने में मदद करेगी। इसके साथ, आप किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं: द्विघात, घन, अपरिमेय, त्रिकोणमितीय, आदि। ऑनलाइन सेवालेकिन अमूल्य, क्योंकि सही उत्तर के अलावा, आपको प्रत्येक समीकरण का विस्तृत समाधान भी मिलता है। ऑनलाइन समीकरण हल करने के लाभ. आप हमारी वेबसाइट पर किसी भी समीकरण को बिल्कुल निःशुल्क ऑनलाइन हल कर सकते हैं। सेवा पूरी तरह से स्वचालित है, आपको अपने कंप्यूटर पर कुछ भी इंस्टॉल करने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस डेटा दर्ज करना होगा और प्रोग्राम समाधान जारी कर देगा। किसी भी गणना त्रुटि या मुद्रण संबंधी त्रुटियों को बाहर रखा गया है। हमारे साथ किसी भी समीकरण को ऑनलाइन हल करना बहुत आसान है, इसलिए किसी भी प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए हमारी साइट का उपयोग करना सुनिश्चित करें। आपको केवल डेटा दर्ज करना होगा और गणना कुछ ही सेकंड में पूरी हो जाएगी। कार्यक्रम मानवीय हस्तक्षेप के बिना स्वतंत्र रूप से काम करता है, और आपको एक सटीक और विस्तृत उत्तर मिलता है। में समीकरण को हल करना सामान्य रूप से देखें. ऐसे समीकरण में, चर गुणांक और वांछित मूल आपस में जुड़े हुए हैं। किसी चर की उच्चतम शक्ति ऐसे समीकरण का क्रम निर्धारित करती है। इसके आधार पर, समीकरणों के लिए उपयोग करें विभिन्न तरीकेऔर समाधान खोजने के लिए प्रमेय। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने का अर्थ है सामान्य रूप में वांछित मूल ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको सबसे जटिल बीजगणितीय समीकरण को भी ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। आपके द्वारा निर्दिष्ट गुणांकों के संख्यात्मक मानों के लिए आप समीकरण का सामान्य समाधान और निजी दोनों प्राप्त कर सकते हैं। साइट पर बीजगणितीय समीकरण को हल करने के लिए, केवल दो फ़ील्ड को सही ढंग से भरना पर्याप्त है: दिए गए समीकरण के बाएँ और दाएँ भाग। चर गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरणों में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, और कुछ शर्तों को निर्धारित करके, समाधानों के सेट से विशेष समाधानों का चयन किया जाता है। द्विघात समीकरण। द्विघात समीकरण का रूप a>0 के लिए ax^2+bx+c=0 है। वर्ग रूप के समीकरणों के समाधान में x का मान ज्ञात करना शामिल है, जिस पर समानता ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 संतुष्ट होती है। ऐसा करने के लिए, विवेचक का मान सूत्र D=b^2-4ac द्वारा पाया जाता है। यदि विभेदक शून्य से भी कम, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है (मूल सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र से हैं), यदि शून्य के बराबर है, तो समीकरण का एक वास्तविक मूल है, और यदि विभेदक शून्य से बड़ा है, तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जो सूत्र द्वारा पाए जाते हैं: D = -b + - sqrt/2a। किसी द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करने के लिए, आपको बस ऐसे समीकरण के गुणांक (पूर्णांक, भिन्न या दशमलव मान) दर्ज करने होंगे। यदि समीकरण में घटाव चिह्न हैं, तो आपको समीकरण के संगत पदों के सामने ऋण लगाना होगा। तय करना द्विघात समीकरणऑनलाइन पैरामीटर के आधार पर भी संभव है, यानी समीकरण के गुणांक में चर। खोजने के लिए हमारी ऑनलाइन सेवा सामान्य समाधान. रेखीय समीकरण। समाधान के लिए रेखीय समीकरण(या समीकरणों की प्रणाली) व्यवहार में चार मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है। आइए प्रत्येक विधि का विस्तार से वर्णन करें। प्रतिस्थापन विधि. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने की आवश्यकता होती है। उसके बाद, अभिव्यक्ति को सिस्टम के अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए समाधान विधि का नाम, अर्थात् एक चर के स्थान पर शेष चर के माध्यम से उसकी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाता है। व्यवहार में, विधि को जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती है, हालांकि इसे समझना आसान है, इसलिए ऐसे समीकरण को ऑनलाइन हल करने से समय की बचत होगी और गणना आसान हो जाएगी। आपको बस समीकरण में अज्ञात की संख्या निर्दिष्ट करने और रैखिक समीकरणों से डेटा भरने की आवश्यकता है, फिर सेवा गणना करेगी। गॉस विधि. समतुल्य त्रिकोणीय प्रणाली पर पहुंचने के लिए यह विधि प्रणाली के सबसे सरल परिवर्तनों पर आधारित है। इससे एक-एक करके अज्ञात का निर्धारण होता है। व्यवहार में, ऐसे समीकरण को ऑनलाइन हल करना आवश्यक है विस्तृत विवरण, जिसकी बदौलत आप रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि में अच्छी तरह से महारत हासिल कर लेंगे। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को सही प्रारूप में लिखें और प्रणाली को सही ढंग से हल करने के लिए अज्ञात की संख्या को ध्यान में रखें। क्रैमर विधि. यह विधि उन मामलों में समीकरणों की प्रणालियों को हल करती है जहां सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान होता है। मुख्य गणितीय क्रियायहां मैट्रिक्स निर्धारकों की गणना है। क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों का समाधान ऑनलाइन किया जाता है, आपको पूर्ण और विस्तृत विवरण के साथ तुरंत परिणाम मिलता है। सिस्टम को गुणांकों से भरना और अज्ञात चर की संख्या चुनना ही पर्याप्त है। मैट्रिक्स विधि. इस विधि में मैट्रिक्स A में अज्ञात, कॉलम इस समीकरण का एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक गैर-शून्य होता है, अन्यथा सिस्टम में कोई समाधान नहीं होता है, या अनंत संख्या में समाधान होते हैं। मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों का समाधान व्युत्क्रम मैट्रिक्स A ज्ञात करना है।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। समीकरणों का प्रयोग मनुष्य प्राचीन काल से करता आ रहा है और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया है। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] की गणना करें यदि \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या बीजगणितीय रूप में दर्शायी जाती है, दूसरी - त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरलीकृत कर निम्नलिखित स्वरूप में लाने की आवश्यकता है

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

अभिव्यक्ति \ कहती है कि, सबसे पहले, हम मोइवर सूत्र के अनुसार गुणा करते हैं और 10वीं घात तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया था। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही बनाते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 मोड़ों को "मोड़ना" संभव है \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जिसमें दूसरी संख्या को बीजगणितीय रूप में लाना, फिर बीजगणितीय रूप में गुणन करना, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवाद करना और मोइवर सूत्र को लागू करना शामिल है:

मैं सम्मिश्र संख्याओं वाले समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन कहाँ हल कर सकता हूँ?

आप हमारी वेबसाइट https:// साइट पर समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को सेकंडों में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस अपना डेटा सॉल्वर में दर्ज करना है। आप हमारी वेबसाइट पर वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे Vkontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह से जुड़ें, हम आपकी मदद करने में हमेशा खुश रहेंगे।

भाव, समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ
साथ जटिल आंकड़े

आज के पाठ में हम सम्मिश्र संख्याओं के साथ विशिष्ट क्रियाओं पर काम करेंगे, साथ ही इन संख्याओं वाले व्यंजकों, समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की तकनीक में महारत हासिल करेंगे। यह कार्यशाला पाठ की निरंतरता है, और इसलिए यदि आप विषय से अपरिचित हैं, तो कृपया ऊपर दिए गए लिंक का अनुसरण करें। खैर, मेरा सुझाव है कि अधिक तैयार पाठक तुरंत तैयार हो जाएं:

उदाहरण 1

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , अगर । परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें और इसे जटिल तल पर चित्रित करें।

समाधान: तो, आपको "भयानक" अंश को प्रतिस्थापित करने, सरलीकरण करने और परिणामी अनुवाद करने की आवश्यकता है जटिल संख्यावी त्रिकोणमितीय रूप. प्लस लानत है.

निर्णय लेने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? चरणों में "फैंसी" बीजगणितीय अभिव्यक्ति से निपटना अधिक लाभदायक है। सबसे पहले, ध्यान कम बिखरा हुआ है, और दूसरी बात, यदि कार्य को श्रेय नहीं दिया गया है, तो त्रुटि ढूंढना बहुत आसान होगा।

1) आइए पहले अंश को सरल बनाएं। इसमें मान रखें, कोष्ठक खोलें और केश ठीक करें:

... हाँ, जटिल संख्याओं से ऐसा क्वासिमोडो निकला ...

मैं आपको याद दिलाता हूं कि परिवर्तनों के दौरान, पूरी तरह से सरल चीजों का उपयोग किया जाता है - बहुपदों के गुणन का नियम और पहले से ही सामान्य समानता। मुख्य बात यह है कि सावधान रहें और संकेतों में भ्रमित न हों।

2) अब हर अगला है। तो अगर:

ध्यान दें कि किसमें असामान्य व्याख्या का उपयोग किया जाता है योग वर्ग सूत्र. वैकल्पिक रूप से, आप यहां बदल सकते हैं उपसूत्र. निस्संदेह, परिणाम मेल खाएंगे।

3) और अंत में, संपूर्ण अभिव्यक्ति। तो अगर:

भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, हम अंश और हर को हर से जुड़े व्यंजक से गुणा करते हैं। हालाँकि, आवेदन करने के उद्देश्य से वर्ग सूत्रों का अंतरप्रारंभिक रूप से होना चाहिए (और निश्चित रूप से!)नकारात्मक वास्तविक भाग को दूसरे स्थान पर रखें:

और अब मुख्य नियम:

किसी भी स्थिति में हम जल्दबाजी नहीं करते! इसे सुरक्षित रखना और एक अतिरिक्त कदम निर्धारित करना बेहतर है।
जटिल संख्याओं वाले भावों, समीकरणों और प्रणालियों में अभिमानपूर्ण मौखिक गणनाएँ हमेशा की तरह भरा हुआ!

अंतिम चरण में एक अच्छा संकुचन हुआ और यह एक अच्छा संकेत है।

टिप्पणी : कड़ाई से बोलते हुए, सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संख्या 50 से विभाजन यहीं हुआ (याद रखें)। मैं अब तक इस बारीकियों के बारे में चुप रहा हूं और हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

आइए अपनी उपलब्धि को अक्षर से निरूपित करें

आइए परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें। सामान्यतया, यहां आप ड्राइंग के बिना भी काम कर सकते हैं, लेकिन जैसे ही इसकी आवश्यकता होगी, इसे अभी पूरा करना कुछ अधिक तर्कसंगत है:

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक की गणना करें:

यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर एक चित्र बनाते हैं। = 1 सेमी (2 टेट्राड सेल), तो परिणामी मान को एक नियमित रूलर का उपयोग करके जांचना आसान है।

आइए एक तर्क खोजें. चूँकि संख्या दूसरी समन्वय तिमाही में स्थित है, तो:

कोण को केवल एक चांदे द्वारा जांचा जाता है। यह ड्राइंग का निस्संदेह प्लस है।

इस प्रकार:- त्रिकोणमितीय रूप में वांछित संख्या।

की जाँच करें:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

अपरिचित अर्थसाइन और कोसाइन को खोजना सुविधाजनक है त्रिकोणमितीय तालिका.

उत्तर:

के लिए समान उदाहरण स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 2

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं , कहाँ । परिणामी संख्या को जटिल तल पर बनाएं और इसे घातांकीय रूप में लिखें।

कोशिश करें कि ट्यूटोरियल न छोड़ें। वे सरल लग सकते हैं, लेकिन प्रशिक्षण के बिना, "पोखर में उतरना" न केवल आसान है, बल्कि बहुत आसान है। तो आइए इस पर अपना हाथ डालें।

अक्सर समस्या एक से अधिक समाधान की अनुमति देती है:

उदाहरण 3

गणना करें यदि ,

समाधान: सबसे पहले, आइए मूल स्थिति पर ध्यान दें - एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, और दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में, और यहां तक ​​कि डिग्री के साथ भी। आइए इसे तुरंत अधिक परिचित रूप में फिर से लिखें: .

गणना किस रूप में की जानी चाहिए? जाहिर है, इस अभिव्यक्ति में पहला गुणन और आगे 10वीं घात तक वृद्धि शामिल है डी मोइवर फॉर्मूला, जो एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। इस प्रकार, पहले नंबर को परिवर्तित करना अधिक तर्कसंगत लगता है। इसका मॉड्यूल और तर्क खोजें:

हम त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के नियम का उपयोग करते हैं:
तो अगर

भिन्न को सही बनाते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि 4 मोड़ों को "मोड़ना" संभव है ( खुश।):

हल करने का दूसरा तरीकादूसरे नंबर को बीजगणितीय रूप में अनुवाद करना है , गुणा को बीजगणितीय रूप में करें, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवादित करें और डी मोइवर सूत्र का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक "अतिरिक्त" कार्रवाई। जो लोग चाहें वे समाधान का अंत तक अनुसरण कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि परिणाम मेल खाते हों।

शर्त परिणामी सम्मिश्र संख्या के रूप के बारे में कुछ नहीं कहती है, इसलिए:

उत्तर:

लेकिन "सुंदरता के लिए" या मांग पर, परिणाम को बीजगणितीय रूप में आसानी से दर्शाया जा सकता है:

अपने आप:

उदाहरण 4

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

यहां यह याद रखना जरूरी है शक्तियों के साथ क्रियाएँ, यद्यपि एक उपयोगी नियममैनुअल में नहीं, यह यहाँ है:।

और एक और महत्वपूर्ण नोट: उदाहरण को दो शैलियों में हल किया जा सकता है। पहला विकल्प है साथ काम करना दोसंख्याएँ और भिन्नों के साथ रखें। दूसरा विकल्प प्रत्येक संख्या को प्रपत्र में दर्शाना है दो संख्याओं का भागफल: और चार मंजिल से छुटकारा. औपचारिक दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि निर्णय कैसे लिया जाए, लेकिन एक सार्थक अंतर है! कृपया अच्छे से विचार करें:
एक सम्मिश्र संख्या है;
दो जटिल संख्याओं (और) का भागफल है, हालाँकि, संदर्भ के आधार पर, कोई यह भी कह सकता है: एक संख्या जिसे दो जटिल संख्याओं के भागफल के रूप में दर्शाया गया है।

त्वरित समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

भाव अच्छे हैं, लेकिन समीकरण बेहतर हैं:

जटिल गुणांक वाले समीकरण

वे "सामान्य" समीकरणों से किस प्रकार भिन्न हैं? गुणांक =)

उपरोक्त टिप्पणी के आलोक में, आइए इस उदाहरण से शुरुआत करें:

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

और गर्म खोज में एक तत्काल प्रस्तावना: मौलिक रूप सेसमीकरण का दाहिना भाग दो जटिल संख्याओं (और 13) के भागफल के रूप में स्थित है, और इसलिए संख्या के साथ स्थिति को फिर से लिखना खराब रूप होगा (भले ही इससे कोई त्रुटि न हो). वैसे, यह अंतर भिन्नों में अधिक स्पष्ट रूप से देखा जाता है - यदि, सापेक्ष रूप से कहा जाए, तो यह मान मुख्य रूप से समझा जाता है समीकरण का "पूर्ण" जटिल मूल, और संख्या के भाजक के रूप में नहीं , और इससे भी अधिक - संख्या के भाग के रूप में नहीं !

समाधान, सिद्धांत रूप में, चरण दर चरण भी तैयार किया जा सकता है, लेकिन अंदर इस मामले मेंखेल मोमबत्ती के लायक नहीं है. प्रारंभिक कार्य उन सभी चीज़ों को सरल बनाना है जिनमें अज्ञात "Z" शामिल नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण इस रूप में कम हो जाएगा:

आत्मविश्वास से औसत अंश को सरल बनाएं:

हम परिणाम को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और अंतर पाते हैं:

टिप्पणी : और फिर से मैं आपका ध्यान सार्थक बिंदु की ओर आकर्षित करता हूं - यहां हमने संख्या से संख्या को नहीं घटाया है, बल्कि भिन्नों को एक सामान्य हर में जोड़ दिया है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले से ही समाधान के दौरान संख्याओं के साथ काम करना मना नहीं है: हालाँकि, विचाराधीन उदाहरण में, ऐसी शैली उपयोगी से अधिक हानिकारक है =)

अनुपात के नियम के अनुसार, हम "z" व्यक्त करते हैं:

अब आप फिर से संयुक्त अभिव्यक्ति से विभाजित और गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश और हर की संदिग्ध रूप से समान संख्याएं सुझाव देती हैं अगली चाल:

उत्तर:

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम परिणामी मान को मूल समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

- मूल समीकरण का दाहिना पक्ष प्राप्त होता है, इसलिए मूल सही पाया जाता है।

...अभी-अभी...मैं आपके लिए कुछ और दिलचस्प चुनूंगा...रुको:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें

यह समीकरण रूप में परिवर्तित हो जाता है, और इसलिए रैखिक है। मुझे लगता है कि संकेत स्पष्ट है - इसके लिए आगे बढ़ें!

बेशक... आप इसके बिना कैसे रह सकते हैं:

जटिल गुणांकों वाला द्विघात समीकरण

सबक पर नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँहमने सीखा कि वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हो सकती हैं, जिसके बाद एक तार्किक प्रश्न उठता है: वास्तव में, गुणांक स्वयं जटिल क्यों नहीं हो सकते? मैं सामान्य मामला तैयार करूंगा:

मनमाना जटिल गुणांकों वाला द्विघात समीकरण (जिनमें से 1 या 2 या तीनों विशेष रूप से मान्य हो सकते हैं)यह है दो और केवल दोजटिल जड़ें (संभवतः इनमें से एक या दोनों वैध हैं). जबकि जड़ें (दोनों वास्तविक और गैर-शून्य काल्पनिक भाग के साथ)मेल खा सकता है (एकाधिक हो सकता है)।

जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है "स्कूल" समीकरण, कम्प्यूटेशनल तकनीक में कुछ अंतरों के साथ:

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: काल्पनिक इकाई पहले स्थान पर है, और, सिद्धांत रूप में, आप इससे छुटकारा पा सकते हैं (दोनों पक्षों को से गुणा करने पर)हालाँकि, इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है।

सुविधा के लिए, हम गुणांक लिखते हैं:

हम मुफ़्त सदस्य का "माइनस" नहीं खोते हैं! ... यह हर किसी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है - मैं समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखूंगा :

आइए विभेदक की गणना करें:

यहाँ मुख्य बाधा है:

आवेदन सामान्य सूत्रजड़ निष्कर्षण (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें नौसिखियों के लिए जटिल संख्याएँ) मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क से जुड़ी गंभीर कठिनाइयों से जटिल है (अपने लिए देखलो). लेकिन एक और, "बीजगणितीय" तरीका है! हम इस रूप में मूल की तलाश करेंगे:

आइए दोनों पक्षों को वर्गाकार करें:

दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

सिस्टम को चुनकर हल करना आसान है (अधिक गहन तरीका दूसरे समीकरण से व्यक्त करना है - पहले में स्थानापन्न करें, द्विघात समीकरण प्राप्त करें और हल करें). यह मानते हुए कि समस्या का लेखक कोई राक्षस नहीं है, हम इसकी परिकल्पना करते हैं और पूर्णांक हैं। पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि "x" सापेक्ष"y" से अधिक. इसके अलावा, सकारात्मक उत्पाद हमें बताता है कि अज्ञात एक ही चिह्न के हैं। पूर्वगामी के आधार पर, और दूसरे समीकरण पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम उन सभी जोड़ियों को लिखते हैं जो इससे मेल खाते हैं:

जाहिर है, सिस्टम का पहला समीकरण दो से संतुष्ट है अंतिम जोड़े, इस प्रकार:

मध्यवर्ती जांच से कोई नुकसान नहीं होगा:

जिसकी जांच होनी थी.

"कार्यशील" रूट के रूप में, आप चुन सकते हैं कोईअर्थ। यह स्पष्ट है कि "विपक्ष" के बिना संस्करण लेना बेहतर है:

वैसे, हम जड़ें ढूंढते हैं, बिना भूले, कि:

उत्तर:

आइए जाँच करें कि क्या पाई गई जड़ें समीकरण को संतुष्ट करती हैं :

1) स्थानापन्न:

सही समानता.

2) स्थानापन्न:

सही समानता.

इस प्रकार, समाधान सही पाया जाता है।

अभी चर्चा की गई समस्या से प्रेरित होकर:

उदाहरण 8

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

ध्यान दें कि का वर्गमूल विशुद्ध रूप से जटिलसंख्याएँ पूरी तरह से निकाली जाती हैं और सामान्य सूत्र का उपयोग किया जाता है , कहाँ , इसलिए दोनों विधियाँ नमूने में दिखाई गई हैं। दूसरी उपयोगी टिप्पणी इस तथ्य से संबंधित है कि स्थिरांक से जड़ का प्रारंभिक निष्कर्षण समाधान को बिल्कुल भी सरल नहीं बनाता है।

और अब आप आराम कर सकते हैं - इस उदाहरण में, आप थोड़ा डरे हुए होंगे :)

उदाहरण 9

समीकरण को हल करें और जांचें

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

लेख का अंतिम पैराग्राफ समर्पित है

सम्मिश्र संख्याओं वाले समीकरणों की प्रणाली

हमने आराम किया और... हम तनाव नहीं लेते =) आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें - दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली:

उदाहरण 10

समीकरणों की प्रणाली को हल करें. उत्तर को बीजगणितीय और घातांकीय रूपों में प्रस्तुत करें, चित्र में जड़ों को चित्रित करें।

समाधान: शर्त स्वयं बताती है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, अर्थात, हमें संतुष्ट करने वाली दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है प्रत्येक के लिएसिस्टम समीकरण.

सिस्टम को वास्तव में "बचकाना" तरीके से हल किया जा सकता है (एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें) , लेकिन इसका उपयोग करना कहीं अधिक सुविधाजनक है क्रैमर के सूत्र. गणना करना मुख्य निर्धारकसिस्टम:

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

मैं दोहराता हूं कि जल्दबाज़ी न करना और यथासंभव विस्तृत चरणों को निर्धारित करना बेहतर है:

हम अंश और हर को एक काल्पनिक इकाई से गुणा करते हैं और पहला मूल प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार:

संगत दाहिनी ओर, पी.टी.पी.

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

हम जड़ों को घातांकीय रूप में निरूपित करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल और तर्क ढूंढने होंगे:

1) - "दो" के चाप स्पर्शरेखा की गणना "खराब" तरीके से की गई है, इसलिए हम इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको मूल परिभाषाओं को समझने की आवश्यकता है। इस समीक्षा लेख का मुख्य उद्देश्य यह समझाना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के तरीके प्रस्तुत करना है। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या एक प्रकार की संख्या होती है z = ए + द्वि, कहाँ ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, और निरूपित करते हैं a = Re(z), b=Im(z).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है. मैं 2 = -1. विशेष रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0आई, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी ≠ 0, तो वह संख्या पूर्णतः काल्पनिक कहलाती है।

अब हम सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रस्तुत करते हैं।
दो जटिल संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

विचार करना z = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में परिमेय संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, इत्यादि। एम्बेडिंग की इस श्रृंखला को चित्र में देखा जा सकता है: एन - प्राकृतिक संख्याएं, जेड - पूर्णांक, क्यू - तर्कसंगत, आर - वास्तविक, सी - जटिल।

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

बीजगणितीय संकेतन.

एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें z = ए + द्वि, सम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहा जाता है बीजगणितीय. लेखन के इस रूप पर हम पहले ही पिछले अनुभाग में विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। निम्नलिखित उदाहरणात्मक रेखाचित्र का प्रयोग अक्सर किया जाता है

त्रिकोणमितीय रूप.

चित्र से पता चलता है कि संख्या z = ए + द्विअलग ढंग से लिखा जा सकता है. यह तो स्पष्ट है ए = आरसीओएस(φ), बी = आरएसआईएन(φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है। किसी सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहा जाता है त्रिकोणमितीय रूप. अंकन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात अर्थात् यदि तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है z = rcos(φ) + rsin(φ)i, वह z n = r n cos(nφ) + r n syn(nφ)i, इस सूत्र को कहा जाता है डी मोइवरे का सूत्र.

प्रदर्शनात्मक रूप.

विचार करना z = rcos(φ) + rsin(φ)iत्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या है, हम इसे एक अलग रूप में लिखते हैं z = r(cos(φ) + पाप(φ)i) = पुनः iφ, अंतिम समानता यूलर सूत्र से अनुसरण करती है, इसलिए हमें मिलता है नए रूप मेसम्मिश्र संख्या प्रविष्टियाँ: z = पुनः iφ, जिसे कहा जाता है ठोस. किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए अंकन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: z n = r n e inφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। समस्याओं को हल करने के लिए लेखन के इस रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। जाहिर है, इस समीकरण का विभेदक नकारात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन यह पता चला है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित का मुख्य प्रमेय बताता है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि घात n वाले किसी भी बहुपद में, उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए, बिल्कुल n जटिल मूल होते हैं। यह प्रमेय गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से लागू किया जाता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि एकता की बिल्कुल n भिन्न n-डिग्री जड़ें हैं।

कार्यों के मुख्य प्रकार

यह अनुभाग मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्याओं के लिए. परंपरागत रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को एक घात तक बढ़ाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना।
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग।

अब विचार करें सामान्य तकनीकेंइन समस्याओं का समाधान.

सम्मिश्र संख्याओं के साथ सरलतम अंकगणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करना पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार होता है, लेकिन यदि सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस स्थिति में उन्हें बीजगणितीय रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और ज्ञात नियमों के अनुसार संक्रियाएँ की जा सकती हैं।

बहुपदों के मूल ज्ञात करना आमतौर पर द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने तक ही सीमित होता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विभेदक गैर-ऋणात्मक है, तो इसकी जड़ें वास्तविक होंगी और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाई जाती हैं। यदि विवेचक नकारात्मक है, तो डी = -1∙ए 2, कहाँ एएक निश्चित संख्या है, तो हम विवेचक को रूप में निरूपित कर सकते हैं डी = (आइए) 2, इस तरह √D = i|a|, और फिर आप द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण. आइए ऊपर उल्लिखित द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 पर वापस लौटें।
विभेदक - डी = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घात तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आप किसी सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप में छोटी घात (2 या 3) तक बढ़ाना चाहते हैं, तो आप इसे प्रत्यक्ष गुणन द्वारा कर सकते हैं, लेकिन यदि डिग्री बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको इसकी आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातांकीय रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और दसवीं घात तक बढ़ाएँ।
हम z को घातांकीय रूप में लिखते हैं: z = √2 e iπ/4।
तब z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
आइए बीजगणितीय रूप पर वापस लौटें: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना घातांक की विपरीत क्रिया है, इसलिए इसे इसी तरह से किया जाता है। मूल निकालने के लिए अक्सर किसी संख्या को लिखने के घातांकीय रूप का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण. एकता की डिग्री 3 के सभी मूल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 के सभी मूल ज्ञात करते हैं, हम मूलों को घातांकीय रूप में खोजेंगे।
समीकरण में प्रतिस्थापित करें: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए φ = 2πk/3।
φ = 0, 2π/3, 4π/3 पर विभिन्न मूल प्राप्त होते हैं।
अतः 1 , e i2π/3 , e i4π/3 मूल हैं।
या बीजगणितीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में समस्याओं की एक विशाल विविधता शामिल है और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। यहां ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण दिया गया है:

राशि ज्ञात कीजिये पाप(x) + पाप(2x) + पाप(2x) + … + पाप(nx).

यद्यपि इस समस्या का निरूपण नहीं होता है प्रश्न मेंजटिल संख्याओं के बारे में, लेकिन उनकी सहायता से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि अब हम इस निरूपण को योग में प्रतिस्थापित कर दें, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग तक कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संचालन पर विचार किया गया, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन और संक्षेप में वर्णन किया गया सामान्य तरीकेउनके समाधानों के लिए, जटिल संख्याओं की संभावनाओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए विशेष साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

साहित्य

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"वोरोनिश राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय"

एग्लेब्रा और ज्योमेट्री की कुर्सी

जटिल आंकड़े

(चयनित कार्य)

अंतिम योग्यता कार्य

विशेषता 050201.65 गणित

(अतिरिक्त विशेषज्ञता के साथ 050202.65 सूचना विज्ञान)

द्वारा पूरा किया गया: 5वें वर्ष का छात्र

भौतिक और गणितीय

संकाय

वैज्ञानिक सलाहकार:

वोरोनिश - 2008

1 परिचय……………………………………………………...…………..…

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ…………………….

2.2. सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या………………

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

2.4. तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान के लिए सम्मिश्र संख्याओं के सिद्धांत का अनुप्रयोग……………………………………………………

2.5. सम्मिश्र संख्याएँ और पैरामीटर…………………………………….

3. निष्कर्ष………………………………………………………….

4. सन्दर्भों की सूची……………………………………………………

1 परिचय

गणित कार्यक्रम में स्कूल पाठ्यक्रमसंख्या सिद्धांत को समुच्चयों के उदाहरणों द्वारा प्रस्तुत किया जाता है प्राकृतिक संख्या, संपूर्ण, तर्कसंगत, तर्कहीन, अर्थात। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर जिनकी छवियां संपूर्ण संख्या रेखा को भरती हैं। लेकिन पहले से ही 8वीं कक्षा में नकारात्मक विभेदक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वास्तविक संख्याओं का पर्याप्त भंडार नहीं है। इसलिए, जटिल संख्याओं के साथ वास्तविक संख्याओं के भंडार को फिर से भरना आवश्यक था जिसके लिए वर्गमूल ऋणात्मक संख्याका अर्थ है.

अपने स्नातक विषय के रूप में "कॉम्प्लेक्स नंबर्स" विषय को चुनना योग्यता कार्य, इस तथ्य में निहित है कि एक जटिल संख्या की अवधारणा संख्यात्मक प्रणालियों के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार करती है, बीजगणितीय और ज्यामितीय सामग्री दोनों की समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के बारे में, किसी भी डिग्री के बीजीय समीकरणों को हल करने के बारे में, और मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के बारे में।

इस थीसिस कार्य में 82 समस्याओं के समाधान पर विचार किया गया है।

मुख्य खंड "कॉम्प्लेक्स नंबर" का पहला भाग बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ समस्याओं का समाधान प्रदान करता है, बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के लिए जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, संयुग्मन के संचालन को परिभाषित करता है, एक काल्पनिक इकाई की डिग्री, एक जटिल संख्या का मापांक, और नियम निष्कर्षण भी निर्धारित करता है वर्गमूलएक सम्मिश्र संख्या से.

दूसरे भाग में, जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या के लिए जटिल तल के बिंदुओं या सदिशों के रूप में समस्याओं का समाधान किया जाता है।

तीसरा भाग त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं से संबंधित है। सूत्रों का उपयोग किया जाता है: डी मोइवर और एक जटिल संख्या से जड़ का निष्कर्षण।

चौथा भाग तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।

अंतिम भाग "कॉम्प्लेक्स नंबर और पैरामीटर्स" की समस्याओं को हल करते समय, पिछले भागों में दी गई जानकारी का उपयोग और समेकित किया जाता है। अध्याय की समस्याओं की एक श्रृंखला जटिल तल में रेखाओं के परिवारों की परिभाषा के लिए समर्पित है, समीकरणों द्वारा दिया गया(असमानताएं) एक पैरामीटर के साथ। अभ्यास के भाग में, आपको एक पैरामीटर (फ़ील्ड सी पर) के साथ समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है। ऐसे कार्य हैं जहां एक जटिल चर एक साथ कई शर्तों को पूरा करता है। इस खंड की समस्याओं को हल करने की एक विशेषता उनमें से कई को एक पैरामीटर के साथ दूसरी डिग्री, तर्कहीन, त्रिकोणमितीय समीकरणों (असमानताओं, प्रणालियों) को हल करने में कम करना है।

प्रत्येक भाग की सामग्री की प्रस्तुति की एक विशेषता प्रारंभिक इनपुट है सैद्धांतिक संस्थापना, और बाद में समस्याओं को सुलझाने में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग।

अंत में थीसिसप्रयुक्त साहित्य की एक सूची प्रस्तुत की गई है। उनमें से अधिकांश में, सैद्धांतिक सामग्री को पर्याप्त विस्तार और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया जाता है, कुछ समस्याओं के समाधान पर विचार किया जाता है और स्वतंत्र समाधान के लिए व्यावहारिक कार्य दिए जाते हैं। विशेष ध्यानमैं ऐसे स्रोतों का उल्लेख करना चाहूँगा जैसे:

1. गोर्डिएन्को एन.ए., बेलीयेवा ई.एस., फर्स्टोव वी.ई., सेरेब्रीकोवा आई.वी. सम्मिश्र संख्याएँ और उनके अनुप्रयोग: पाठ्यपुस्तक। . सामग्री अध्ययन संदर्शिकाव्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया गया।

2. शक्लार्स्की डी.ओ., चेंटसोव एन.एन., याग्लोम आई.एम. प्रारंभिक गणित की चयनित समस्याएँ और प्रमेय। अंकगणित और बीजगणित. पुस्तक में बीजगणित, अंकगणित और संख्या सिद्धांत से संबंधित 320 समस्याएं हैं। अपनी प्रकृति से, ये कार्य मानक स्कूल कार्यों से काफी भिन्न होते हैं।

2. सम्मिश्र संख्याएँ (चयनित समस्याएँ)

2.1. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ

गणित और भौतिकी में कई समस्याओं का समाधान बीजगणितीय समीकरणों को हल करने तक कम हो जाता है, यानी। प्रपत्र के समीकरण

,

जहाँ a0 , a1 , …, an वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए, बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन गणित में सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक है। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक विभेदक वाले द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ऐसा सबसे सरल समीकरण समीकरण है

.

इस समीकरण का समाधान पाने के लिए, समीकरण के मूल को जोड़कर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करना आवश्यक है

.

आइए इस मूल को इस प्रकार निरूपित करें

. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, , या ,

इस तरह,

. काल्पनिक इकाई कहलाती है. इसकी सहायता से तथा वास्तविक संख्याओं के युग्म की सहायता से रूप की अभिव्यक्ति बनती है।

परिणामी अभिव्यक्ति को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता था क्योंकि उनमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते थे।

अत: सम्मिश्र संख्याओं को रूप का व्यंजक कहा जाता है

, और वास्तविक संख्याएं हैं, और कुछ प्रतीक हैं जो शर्त को पूरा करते हैं। संख्या को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है, और संख्या को उसका काल्पनिक भाग कहा जाता है। इन्हें निर्दिष्ट करने के लिए प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ हैं और इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

प्रपत्र की सम्मिश्र संख्याएँ

पूर्णतः काल्पनिक कहलाते हैं। रूप की दो सम्मिश्र संख्याएँ समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों, अर्थात्। यदि समानताएं, .

जटिल संख्याओं का बीजगणितीय अंकन उन पर बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार संचालन करना संभव बनाता है।