सीमा की गणना करते समय, विचार करें निम्नलिखित बुनियादी नियम:

1. कार्यों के योग (अंतर) की सीमा, पदों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

2. कार्यों के उत्पाद की सीमा कारकों की सीमा के उत्पाद के बराबर है:

3. दो कार्यों के अनुपात की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के अनुपात के बराबर है:

.

4. एक स्थिर कारक को सीमा चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

.

5. अचर की सीमा स्वयं अचर के बराबर होती है:

6. निरंतर कार्यों के लिए, सीमा और फ़ंक्शन प्रतीकों को आपस में बदला जा सकता है:

.

किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करना फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मान को प्रतिस्थापित करने से शुरू होना चाहिए। इसके अलावा, यदि 0 या ¥ का संख्यात्मक मान प्राप्त होता है, तो वांछित सीमा मिल जाती है।

उदाहरण 2.1.सीमा की गणना करें.

समाधान।

.

, , , , , रूप के भाव कहलाते हैं अनिश्चितताओं.

यदि रूप की अनिश्चितता प्राप्त होती है, तो सीमा ज्ञात करने के लिए, फ़ंक्शन को इस तरह से बदलना आवश्यक है कि इस अनिश्चितता को प्रकट किया जा सके।

रूप की अनिश्चितता आमतौर पर तब प्राप्त होती है जब दो बहुपदों के अनुपात की सीमा दी जाती है। इस मामले में, सीमा की गणना करने के लिए, बहुपदों को गुणनखंडित करने और एक सामान्य गुणनखंड द्वारा कम करने की अनुशंसा की जाती है। सीमा मान पर यह गुणक शून्य है एक्स .

उदाहरण 2.2.सीमा की गणना करें.

समाधान।

प्रतिस्थापित करने पर, हमें अनिश्चितता प्राप्त होती है:

.

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें:

;

हम एक सामान्य कारक से कम करते हैं और प्राप्त करते हैं

रूप की अनिश्चितता तब प्राप्त होती है जब दो बहुपदों के अनुपात की सीमा दी जाती है। इस मामले में, गणना के लिए दोनों बहुपदों को विभाजित करने की अनुशंसा की जाती है एक्स वरिष्ठ डिग्री में.

उदाहरण 2.3.सीमा की गणना करें.

समाधान।∞ को प्रतिस्थापित करने से रूप में अनिश्चितता उत्पन्न होती है, इसलिए हम अभिव्यक्ति के सभी पदों को इससे विभाजित करते हैं एक्स 3.

.

यहां इस बात का ध्यान रखा गया है कि.

जड़ों वाले फ़ंक्शन की सीमाओं की गणना करते समय, फ़ंक्शन को सहायक अभिव्यक्ति द्वारा गुणा और विभाजित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 2.4.सीमा की गणना करें

समाधान।

फॉर्म या (1) ∞ की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए सीमाओं की गणना करते समय, पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाएं अक्सर उपयोग की जाती हैं:

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं।

हां. आई. पेरेलमैन के उदाहरण पर विचार करें, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज समस्या में. बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के निर्माण में एक बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें।

बैंक को 100 डेन लगाने दीजिए. इकाइयां 100% प्रति वर्ष की दर से। यदि एक वर्ष के बाद ही ब्याज वाला धन स्थिर पूँजी में जोड़ दिया जाये तो इस समय तक 100 डेन. इकाइयां 200 मांद में बदल जाएगा।

अब देखते हैं कि 100 मांद क्या रूप लेंगी। इकाइयां, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में स्थिर पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन. इकाइयां 100 × 1.5 = 150, और अगले छह महीनों में - 150 × 1.5 = 225 (मौद्रिक इकाइयाँ) बढ़ जाएगी। यदि परिग्रहण प्रत्येक 1/3 वर्ष में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 डेन। इकाइयां 100 × (1 + 1/3) 3'237 (डेन यूनिट) में बदल जाएगा।

हम ब्याज राशि जोड़ने की समय सीमा को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष इत्यादि तक बढ़ा देंगे। फिर 100 डेन में से. इकाइयां एक वर्ष बाद:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/100) 100 »270 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/1000) 1000 »271 (डेन यूनिट)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, बल्कि लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंचती है। 100% प्रति वर्ष पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हो हर सेकंड राजधानी में जोड़ा जाता है, क्योंकि

उदाहरण 2.5.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें

समाधान।

उदाहरण 2.6.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें .

समाधान।प्रतिस्थापित करने पर हमें अनिश्चितता प्राप्त होती है:

.

त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, हम अंश को उत्पाद में परिवर्तित करते हैं:

परिणाम स्वरूप हमें प्राप्त होता है

यहां दूसरी उल्लेखनीय सीमा पर विचार किया गया है।

उदाहरण 2.7.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें

समाधान।

.

फॉर्म की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, आप एल'हॉपिटल नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है।

प्रमेय.दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़े फलनों के अनुपात की सीमा उनके अवकलजों के अनुपात की सीमा के बराबर होती है

ध्यान दें कि यह नियम लगातार कई बार लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 2.8.पाना

समाधान।प्रतिस्थापित करते समय, हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता होती है। L'Hopital के नियम को लागू करने पर, हम पाते हैं

कार्य निरंतरता

किसी फ़ंक्शन का एक महत्वपूर्ण गुण निरंतरता है।

परिभाषा।कार्य पर विचार किया जाता है निरंतरयदि तर्क के मान में एक छोटा सा परिवर्तन फ़ंक्शन के मान में एक छोटा सा परिवर्तन लाता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा गया है:

के अंतर्गत तथा चरों की वृद्धि को समझा जाता है, अर्थात अगले और पिछले मानों के बीच का अंतर: , (चित्र 2.3)

चित्र 2.3 - चरों की वृद्धि

एक फ़ंक्शन की परिभाषा से जो बिंदु पर निरंतर है, यह इस प्रकार है . इस समानता का अर्थ है तीन शर्तों की पूर्ति:

समाधान।समारोह के लिए बिंदु विराम के लिए संदिग्ध है, इसकी जाँच करें, एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें

इस तरह, , साधन - विराम बिंदु

फ़ंक्शन व्युत्पन्न

स्थिर संख्या एबुलाया आप LIMIT दृश्यों(x n ) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिएε > 0 एक संख्या N ऐसी है जो सभी मानों को दर्शाती है एक्स एन, जिसके लिए n>N, असमानता को संतुष्ट करता है

|एक्स एन - ए|< ε. (6.1)

इसे इस प्रकार लिखें: या x n →एक।

असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है

ए-ε< x n < a + ε, (6.2)

जिसका मतलब है कि अंक एक्स एन, कुछ संख्या n>N से शुरू करके, अंतराल के अंदर स्थित है (a-ε, ए + ε ), अर्थात। किसी भी छोटे में गिरनाε -बिंदु का पड़ोस ए.

वह अनुक्रम जिसकी एक सीमा होती है, कहलाता है अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा किसी अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सामान्यीकरण है, क्योंकि किसी अनुक्रम की सीमा को पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f(n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है एन.

मान लीजिए कि एक फलन f(x) दिया गया है और मान लीजिए ए - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन D(f), अर्थात ऐसा बिंदु, जिसके किसी पड़ोस में समुच्चय D(f) से भिन्न बिंदु हों ए. डॉट एसेट D(f) से संबंधित हो भी सकता है और नहीं भी।

परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) परएक्स→a if तर्क मानों के किसी अनुक्रम (x n ) के लिए ए, संगत अनुक्रम (f(x n)) की सीमा A समान है।

इस परिभाषा को कहा जाता है हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या " अनुक्रम की भाषा में”.

परिभाषा 2. अचर संख्या A कहलाती है आप LIMIT कार्यएफ(एक्स) परएक्स→ए यदि, एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε दी गई है, कोई ऐसा δ पा सकता है>0 (ε पर निर्भर करता है), जो सभी के लिए है एक्समें लेटा हुआε-किसी संख्या का पड़ोस ए, अर्थात। के लिए एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 < एक्स-ए< ε , फ़ंक्शन f(x) के मान निहित होंगेε-संख्या A का पड़ोस, अर्थात्।|एफ(एक्स)-ए|< ε.

इस परिभाषा को कहा जाता है कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या “भाषा में ε - δ “.

परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फ़ंक्शन f(x) x → के रूप में हैएक है आप LIMITए के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

. (6.3)

इस घटना में कि अनुक्रम (f(x n)) सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सआपकी सीमा तक ए, तो हम कहेंगे कि फलन f(x) है अनंत सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:

एक वेरिएबल (अर्थात एक अनुक्रम या फ़ंक्शन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाता है असीम रूप से छोटा.

वह चर जिसकी सीमा अनन्त के बराबर हो, कहलाता है असीम रूप से बड़ा.

व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग करें।

प्रमेय 1 . यदि हर सीमा मौजूद है

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी. 0/0 जैसे भाव, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा खोजने को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है।

प्रमेय 2. (6.7)

वे। विशेष रूप से, एक स्थिर घातांक पर डिग्री के आधार पर सीमा को पार करना संभव है, ;

(6.8)

(6.9)

प्रमेय 3.

(6.10)

(6.11)

कहाँ इ » 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (6.10) और (6.11) को प्रथम कहा जाता है अद्भुत सीमाऔर दूसरी उल्लेखनीय सीमा.

सूत्र (6.11) के परिणाम व्यवहार में भी उपयोग किए जाते हैं:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेष रूप से सीमा

यदि एक्स → a और एक ही समय में x > a, फिर x लिखें→a + 0. यदि, विशेष रूप से, a = 0, तो प्रतीक 0+0 के स्थान पर +0 लिखा जाता है। इसी प्रकार, यदि x→ए और एक ही समय में एक्स ए-0. नंबर और तदनुसार नाम दिए गए हैं। सही सीमाऔर बाईं सीमा कार्यएफ(एक्स) बिंदु पर ए. फ़ंक्शन f(x) की सीमा x→ के रूप में मौजूद होने के लिएa के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है . फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है निरंतर बिंदु पर x 0 यदि सीमा

. (6.15)

शर्त (6.15) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

,

अर्थात्, किसी फ़ंक्शन के चिह्न के नीचे की सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

यदि समानता (6.15) का उल्लंघन होता है, तो हम ऐसा कहते हैं परएक्स = एक्सओ समारोहएफ(एक्स) यह है अंतर।फ़ंक्शन y = 1/x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D(f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D(f) से बिंदु शामिल हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं है। मान f(x o)= f(0) परिभाषित नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन में बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।

फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है एक बिंदु पर दाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा

,

और एक बिंदु पर बाईं ओर निरंतर x हे यदि सीमा

.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाएं और बाएं दोनों तरफ इसकी निरंतरता के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन के लिए एक बिंदु पर निरंतर होना एक्स ओउदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, सबसे पहले, कि एक सीमित सीमा हो, और दूसरी बात, कि यह सीमा f(x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दो शर्तों में से कम से कम एक भी पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन में अंतराल होगा।

1. यदि सीमा मौजूद है और f(x o) के बराबर नहीं है, तो वे ऐसा कहते हैं समारोहएफ(एक्स) बिंदु परएक्सओ के पास है पहली तरह का ब्रेक,या कूदना.

2. यदि सीमा है+∞ या -∞ या अस्तित्व में नहीं है, तो हम कहते हैं कि में बिंदुएक्स ओ फ़ंक्शन में ब्रेक है दूसरे प्रकार का.

उदाहरण के लिए, x पर फ़ंक्शन y = ctg x→ +0 की सीमा +∞ के बराबर होती है, इसलिए, बिंदु x=0 पर इसमें दूसरी तरह की असंततता है। फलन y = E(x) (पूर्णांक भाग)। एक्स) पूर्णांक एब्सिस्सा वाले बिंदुओं पर पहली तरह की विसंगतियां, या छलांग होती हैं।

वह फ़ंक्शन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरवी. एक सतत फलन को एक ठोस वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के नियम के अनुसार योगदान में वृद्धि, देश की जनसंख्या में वृद्धि, रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, बैक्टीरिया का गुणन आदि।

विचार करना हां. आई. पेरेलमैन का उदाहरण, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज समस्या में. संख्या इएक सीमा है . बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के निर्माण में एक बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दीजिए. इकाइयां 100% प्रति वर्ष की दर से। यदि एक वर्ष के बाद ही ब्याज वाला धन स्थिर पूँजी में जोड़ दिया जाये तो इस समय तक 100 डेन. इकाइयां 200 मांद में बदल जाएगा। अब देखते हैं कि 100 मांद क्या रूप लेंगी। इकाइयां, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में स्थिर पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन. इकाइयां 100 तक बढ़ो× 1.5 = 150, और अगले छह महीने के बाद - 150 पर× 1.5 = 225 (डेन यूनिट)। यदि परिग्रहण प्रत्येक 1/3 वर्ष में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 डेन। इकाइयां 100 में बदलो× (1 +1/3) 3 » 237 (डेन. इकाइयाँ)। हम ब्याज राशि जोड़ने की समय सीमा को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष इत्यादि तक बढ़ा देंगे। फिर 100 डेन में से. इकाइयां एक वर्ष बाद:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/100) 100 »270 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/1000) 1000 »271 (डेन यूनिट)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, बल्कि लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंचती है। 100% प्रति वर्ष पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हो सीमा के कारण हर सेकंड पूंजी में जोड़ा गया

उदाहरण 3.1.किसी संख्या अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध करें कि अनुक्रम x n =(n-1)/n की सीमा 1 के बराबर है।

समाधान।हमें यह साबित करना होगा जो भी होε > 0 हम लेते हैं, इसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N है जैसे कि सभी n N के लिए असमानता|xn-1|< ε.

कोई भी e > 0 लें। चूँकि ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, तो N खोजने के लिए असमानता को हल करना पर्याप्त है 1/n< इ। अत: n>1/ e और, इसलिए, N को 1/ के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता हैई , एन = ई(1/ ई ). इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि सीमा।

उदाहरण 3.2 . किसी सामान्य पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए .

समाधान।सीमा योग प्रमेय लागू करें और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करें। एन के लिए→ ∞ प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते। इसलिए, हम पहले परिवर्तन करते हैं एक्स एन, पहले पद के अंश और हर को विभाजित करना एन 2, और दूसरा एन. फिर, भागफल सीमा प्रमेय और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:

.

उदाहरण 3.3. . पाना ।

समाधान। .

यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री की सीमा आधार की सीमा की डिग्री के बराबर है।

उदाहरण 3.4 . पाना ( ).

समाधान।अंतर सीमा प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है ∞-∞ . आइए सामान्य पद के सूत्र को रूपांतरित करें:

.

उदाहरण 3.5 . एक फलन f(x)=2 1/x दिया गया है। साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।हम अनुक्रम के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करते हैं। 0 पर अभिसरण करने वाला एक अनुक्रम (x n) लें, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f(x n)= अलग-अलग अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। माना x n = 1/n. जाहिर है, फिर तो हद हो गई आइए अब इस रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य पद x n = -1/n वाला अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी प्रवृत्त है। इसलिए, कोई सीमा नहीं है.

उदाहरण 3.6 . साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।मान लीजिए x 1 , x 2 ,..., x n ,... एक अनुक्रम है जिसके लिए
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n ) विभिन्न x n → ∞ के लिए कैसे व्यवहार करता है

यदि x n = p n, तो पाप x n = पाप p सभी के लिए n = 0 एनऔर सीमा यदि
xn=2 p n+ p /2, फिर पाप x n = पाप(2 p n+ p /2) = पाप पी /2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा. इस प्रकार अस्तित्व में नहीं है.

ऑनलाइन सीमा की गणना के लिए विजेट

शीर्ष बॉक्स में, पाप(x)/x के बजाय, वह फ़ंक्शन दर्ज करें जिसकी सीमा आप खोजना चाहते हैं। निचले बॉक्स में, वह संख्या दर्ज करें जिसकी ओर x की प्रवृत्ति होती है और कैलकुलर बटन पर क्लिक करें, वांछित सीमा प्राप्त करें। और यदि आप परिणाम विंडो में ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

फ़ंक्शंस दर्ज करने के नियम: sqrt(x) - वर्गमूल, cbrt(x) - घनमूल, exp(x) - घातांक, ln(x) - प्राकृतिक लघुगणक, पाप(x) - साइन, cos(x) - कोसाइन, टैन (x) - स्पर्शरेखा, cot(x) - कोटैंजेंट, आर्क्सिन(x) - आर्क्साइन, आर्ककोस(x) - आर्ककोसाइन, आर्कटैन(x) - आर्कटैंजेंट। संकेत: * गुणन, / विभाजन, ^ घातांक, के बजाय अनंतताअनंतता। उदाहरण: फ़ंक्शन को sqrt(tan(x/2)) के रूप में दर्ज किया गया है।

जरूरत पड़ने पर यह ऑनलाइन गणित कैलकुलेटर आपकी मदद करेगा फ़ंक्शन सीमा की गणना करें. कार्यक्रम समाधान सीमित करेंन केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि नेतृत्व भी करता है स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत समाधान, अर्थात। सीमा गणना की प्रगति प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी में, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

फ़ंक्शन एक्सप्रेशन दर्ज करें

सीमा की गणना करें

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थोड़ा सा सिद्धांत.

x-> x 0 पर फ़ंक्शन की सीमा

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) को किसी सेट X पर परिभाषित किया गया है और बिंदु \(x_0 \in X \) या \(x_0 \notin X \)

X से x 0 के अलावा अन्य बिंदुओं का एक क्रम लें:
एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , ..., एक्स एन , ... (1)
x* में परिवर्तित हो रहा है। इस अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान एक संख्यात्मक अनुक्रम भी बनाते हैं
एफ(एक्स 1), एफ(एक्स 2), एफ(एक्स 3), ..., एफ(एक्स एन), ... (2)
और कोई इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है।

परिभाषा. संख्या A को बिंदु x \u003d x 0 (या x -> x 0) पर फ़ंक्शन f (x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x के मानों के किसी अनुक्रम (1) के लिए जो x 0 में परिवर्तित होता है, x 0 से भिन्न, मान फ़ंक्शन का संगत अनुक्रम (2) संख्या A में परिवर्तित होता है।

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

फ़ंक्शन f(x) की बिंदु x 0 पर केवल एक सीमा हो सकती है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि अनुक्रम
(f(x n)) की केवल एक सीमा है।

किसी फ़ंक्शन की सीमा की एक और परिभाषा है।

परिभाषासंख्या A को बिंदु x = x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी भी संख्या \(\varepsilon > 0 \) के लिए एक संख्या \(\delta > 0 \) मौजूद है जैसे कि सभी के लिए \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) असमानता को संतुष्ट करते हुए \(|x-x_0| तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| ध्यान दें कि असमानताएं \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| पहली परिभाषा एक संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की धारणा पर आधारित है, इसलिए इसे अक्सर "अनुक्रम भाषा" परिभाषा कहा जाता है। दूसरी परिभाषा को "\(\varepsilon - \delta) कहा जाता है \)" परिभाषा।
किसी फ़ंक्शन की सीमा की ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, और आप किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए इनमें से जो भी अधिक सुविधाजनक हो, उसका उपयोग कर सकते हैं।

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "अनुक्रमों की भाषा में" हेइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है, और किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को "भाषा में \(\varepsilon - \delta \)" को कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है।

x->x 0 - और x->x 0 + पर फ़ंक्शन सीमा

निम्नलिखित में, हम किसी फ़ंक्शन की एकतरफा सीमाओं की अवधारणाओं का उपयोग करेंगे, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f (x) की दाहिनी (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 में परिवर्तित होता है, जिसके तत्व x n x 0 से अधिक (कम) हैं, तो संबंधित अनुक्रम (2) ए में परिवर्तित हो जाता है।

प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

कोई किसी फ़ंक्शन की एकतरफ़ा सीमा की समतुल्य परिभाषा "\(\varepsilon - \delta \)" भाषा में दे सकता है:

परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की दाईं (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी \(\varepsilon > 0 \) के लिए \(\delta > 0 \) मौजूद है जैसे कि सभी x के लिए संतोषजनक है असमानताएँ \(x_0 प्रतीकात्मक प्रविष्टियाँ:

\((\forall \varepsilon > 0) (\existes \delta > 0) (\forall x, \; x_0

विषय 4.6 सीमाओं की गणना

किसी फ़ंक्शन की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि इसे सीमा बिंदु पर परिभाषित किया गया है या नहीं। लेकिन प्राथमिक कार्यों की सीमाओं की गणना करने के अभ्यास में, यह परिस्थिति आवश्यक है।

1. यदि फ़ंक्शन प्राथमिक है और यदि तर्क का सीमा मान उसकी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो फ़ंक्शन की सीमा की गणना तर्क के सीमा मान के एक साधारण प्रतिस्थापन तक कम हो जाती है, क्योंकि प्राथमिक फलन f (x) की सीमा x के लिए प्रयासरत हूंए , जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल है, x= पर फ़ंक्शन के निजी मान के बराबर है ए, अर्थात। lim f(x)=f( ए) .

2. यदि x अनंत तक जाता हैया तर्क उस संख्या की ओर जाता है जो फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित नहीं है, तो ऐसे प्रत्येक मामले में, फ़ंक्शन की सीमा खोजने के लिए एक विशेष अध्ययन की आवश्यकता होती है।

सीमाओं के गुणों के आधार पर निम्नलिखित सबसे सरल सीमाएँ हैं, जिनका उपयोग सूत्रों के रूप में किया जा सकता है:

किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करने के अधिक जटिल मामले:

प्रत्येक पर अलग से विचार किया जाता है।

यह अनुभाग अनिश्चितताओं को प्रकट करने के मुख्य तरीके प्रस्तुत करेगा।

1. मामला कब x के लिए प्रयासरत हूंए फलन f(x) दो अतिसूक्ष्म मात्राओं के अनुपात को दर्शाता है

ए) सबसे पहले आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि फ़ंक्शन की सीमा प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा नहीं पाई जा सकती है और, तर्क में संकेतित परिवर्तन के साथ, यह दो अनंत मात्राओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। 0 की ओर प्रवृत्त होने वाले कारक द्वारा अंश को कम करने के लिए परिवर्तन किए जाते हैं। किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा के अनुसार, तर्क x इसके सीमा मान की ओर प्रवृत्त होता है, कभी भी इसके साथ मेल नहीं खाता है।

सामान्य तौर पर, यदि किसी फ़ंक्शन की सीमा मांगी जाती है x के लिए प्रयासरत हूंए , तो यह याद रखना चाहिए कि x मान नहीं लेता है ए, अर्थात। x, a के बराबर नहीं है.

बी) बेज़आउट का प्रमेय लागू किया गया है। यदि आप एक भिन्न की सीमा की तलाश कर रहे हैं जिसका अंश और हर बहुपद हैं जो सीमा बिंदु x \u003d पर 0 में बदल जाते हैं ए, तो उपरोक्त प्रमेय के अनुसार, दोनों बहुपद x- द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हैं ए.

ग) अंश या हर को अपरिमेय से संयुग्मित अभिव्यक्ति से गुणा करने पर अंश या हर में अपरिमेयता नष्ट हो जाती है, फिर सरलीकरण के बाद अंश कम हो जाता है।

घ) पहली उल्लेखनीय सीमा (4.1) का उपयोग किया जाता है।

ई) हम अनंतिम तुल्यता प्रमेय और निम्नलिखित बी.एम. का उपयोग करते हैं:

2. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) दो असीम रूप से बड़ी मात्राओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है

a) भिन्न के अंश और हर को अज्ञात की उच्चतम घात से विभाजित करें।

बी) सामान्य तौर पर, आप नियम का उपयोग कर सकते हैं

3. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) एक अपरिमित मान और एक अपरिमित रूप से बड़े मान के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करता है

भिन्न को ऐसे रूप में परिवर्तित किया जाता है जिसका अंश और हर एक साथ 0 या अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं, अर्थात। केस 3, केस 1 या केस 2 में बदल जाता है।

4. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) दो सकारात्मक अनंत बड़ी मात्राओं के अंतर को दर्शाता है

यह मामला निम्न में से किसी एक तरीके से प्रजाति 1 या 2 तक कम हो गया है:

ए) भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना;

बी) फ़ंक्शन का भिन्न के रूप में परिवर्तन;

ग) अतार्किकता से छुटकारा पाना।

5. मामला जब x के लिए प्रयासरत हूंए फ़ंक्शन f(x) एक घात का प्रतिनिधित्व करता है जिसका आधार 1 की ओर झुकता है और जिसका घातांक अनंत की ओर झुकता है।

फ़ंक्शन को दूसरी उल्लेखनीय सीमा (4.2) का उपयोग करने के लिए इस तरह से रूपांतरित किया जाता है।

उदाहरण।पाना .

क्योंकि x 3 की ओर प्रवृत्त होता है, तो भिन्न का अंश संख्या 3 2 +3 *3+4=22 की ओर प्रवृत्त होता है, और हर संख्या 3+8=11 की ओर प्रवृत्त होता है। इस तरह,

उदाहरण

यहाँ पर भिन्न का अंश और हर है x 2 की ओर प्रवृत्त है 0 (रूप की अनिश्चितता) की ओर प्रवृत्त होते हैं, हम अंश और हर को गुणनखंडों में विघटित करते हैं, हमें lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) मिलता है

उदाहरण

हम अंश और हर को अंश से संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं, हमारे पास है

अंश में कोष्ठक खोलने पर हमें प्राप्त होता है

उदाहरण

लेवल 2 उदाहरण। आइए हम आर्थिक गणना में किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा के अनुप्रयोग का एक उदाहरण दें। एक सामान्य वित्तीय लेनदेन पर विचार करें: एक राशि उधार देना एस 0 इस शर्त के साथ कि एक समयावधि के बाद टीराशि वापस कर दी जाएगी अनुसूचित जनजाति. आइए मूल्य को परिभाषित करें आर सापेक्ष वृद्धि FORMULA

आर=(एस टी -एस 0)/एस 0 (1)

परिणामी मूल्य को गुणा करके सापेक्ष वृद्धि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है आर 100 से.

सूत्र (1) से मूल्य निर्धारित करना आसान है अनुसूचित जनजाति:

अनुसूचित जनजाति= एस 0 (1 + आर)

कई पूर्ण वर्षों को कवर करने वाले दीर्घकालिक ऋणों की गणना करते समय, एक चक्रवृद्धि ब्याज योजना का उपयोग किया जाता है। इसमें यह तथ्य शामिल है कि यदि प्रथम वर्ष के लिए राशि एस(1 +) में 0 वृद्धि होती है आर) बार, फिर दूसरे वर्ष के लिए (1 +)। आर) गुना राशि बढ़ जाती है एस 1 = एस 0 (1 + आर), वह है एस 2 = एस 0 (1 + आर) 2 . इसी तरह, यह पता चला है एस 3 = एस 0 (1 + आर) 3 . उपरोक्त उदाहरणों से, आप राशि की वृद्धि की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं एनचक्रवृद्धि ब्याज योजना के अनुसार गणना करते समय वर्ष:

एस एन= एस 0 (1 + आर) एन.

वित्तीय गणना में, ऐसी योजनाओं का उपयोग किया जाता है जहां चक्रवृद्धि ब्याज की गणना वर्ष में कई बार की जाती है। साथ ही, यह निर्धारित करता है वार्षिक दर आरऔर प्रति वर्ष भुगतान की संख्या क. एक नियम के रूप में, संचय नियमित अंतराल पर किए जाते हैं, यानी प्रत्येक अंतराल की लंबाई टी केवर्ष का हिस्सा है. फिर कुछ समय के लिए टीवर्ष (यहाँ) टीजरूरी नहीं कि पूर्णांक हो) अनुसूचित जनजातिसूत्र द्वारा गणना की गई

(2)

संख्या का पूर्णांक भाग कहां है, जो स्वयं संख्या के समान है, यदि, उदाहरण के लिए, टी? पूर्णांक.

चलो वार्षिक दर है आरऔर उत्पादित एनप्रति वर्ष नियमित अंतराल पर संचयन। फिर वर्ष के लिए राशि एस 0 को सूत्र द्वारा निर्धारित मान तक बढ़ाया जाता है

(3)

सैद्धांतिक विश्लेषण और वित्तीय गतिविधि के अभ्यास में, "निरंतर अर्जित ब्याज" की अवधारणा अक्सर सामने आती है। लगातार अर्जित ब्याज पर स्विच करने के लिए, सूत्र (2) और (3) में क्रमशः संख्याओं को अनिश्चित काल तक बढ़ाना आवश्यक है कऔर एन(अर्थात लक्ष्य कऔर एनअनंत तक) और गणना करें कि फलन किस सीमा तक प्रवृत्त होंगे अनुसूचित जनजातिऔर एस 1 . आइए इस प्रक्रिया को सूत्र (3) पर लागू करें:

ध्यान दें कि घुंघराले ब्रेसिज़ की सीमा दूसरी उल्लेखनीय सीमा के समान है। यह वार्षिक दर पर इस प्रकार है आरलगातार अर्जित ब्याज पर, राशि एस 1 वर्ष के लिए 0 का मान बढ़ा दिया गया है एस 1* , जो सूत्र से निर्धारित होता है

एस 1 * = एस 0 एर (4)

अब योग बताइये एस 0 ब्याज सहित उधार दिया गया है एनवर्ष में एक बार नियमित अंतराल पर। निरूपित दोबारावार्षिक दर जिस पर वर्ष के अंत में राशि एस 0 को एक मान तक बढ़ा दिया गया है एस 1 * सूत्र (4) से। ऐसे में हम यही कहेंगे दोबारा- यह वार्षिक ब्याज दर एनवर्ष में एक बार, वार्षिक प्रतिशत के बराबर आरनिरंतर संचयन के साथ.सूत्र (3) से हम प्राप्त करते हैं

एस* 1 = एस 0 (1 + आर ई / एन) एन

अंतिम सूत्र और सूत्र (4) के सही भागों को अंतिम में मानकर उन्हें बराबर करना टी= 1, हम मात्राओं के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं आरऔर दोबारा:

वित्तीय गणना में इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

सीमा का सिद्धांत- गणितीय विश्लेषण के अनुभागों में से एक, जिसमें कोई भी महारत हासिल कर सकता है, अन्य शायद ही सीमाओं की गणना करते हैं। सीमाएँ खोजने का प्रश्न काफी सामान्य है, क्योंकि इसमें दर्जनों तरकीबें हैं समाधान सीमित करेंविभिन्न प्रकार के। समान सीमाएँ L'Hopital के नियम द्वारा और इसके बिना दोनों ही पाई जा सकती हैं। ऐसा होता है कि अतिसूक्ष्म कार्यों की एक श्रृंखला में शेड्यूल आपको जल्दी से वांछित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। ट्रिक्स और ट्रिक्स का एक सेट है जो आपको किसी भी जटिलता के फ़ंक्शन की सीमा खोजने की अनुमति देता है। इस लेख में, हम मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने का प्रयास करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आती हैं। हम यहां सीमा का सिद्धांत और परिभाषा नहीं देंगे, इंटरनेट पर ऐसे कई संसाधन हैं जहां इसे चबाया जाता है। इसलिए, आइए व्यावहारिक गणना करें, यहीं से आप शुरू करते हैं "मुझे नहीं पता! मुझे नहीं पता कैसे! हमें सिखाया नहीं गया!"

प्रतिस्थापन विधि द्वारा सीमाओं की गणना

उदाहरण 1 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
लिम((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
समाधान: सिद्धांत रूप में, इस प्रकार के उदाहरणों की गणना सामान्य प्रतिस्थापन द्वारा की जाती है

हद है 18/11 की.
ऐसी सीमाओं के भीतर कुछ भी जटिल और बुद्धिमान नहीं है - उन्होंने मूल्य को प्रतिस्थापित किया, गणना की, प्रतिक्रिया में सीमा लिख ​​दी। हालाँकि, ऐसी सीमाओं के आधार पर, सभी को सिखाया जाता है कि, सबसे पहले, आपको फ़ंक्शन में एक मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, सीमाएं जटिल हो जाती हैं, अनंतता, अनिश्चितता और इसी तरह की अवधारणा पेश करती हैं।

अनंत प्रकार की अनिश्चितता के साथ सीमा को अनंत से विभाजित किया जाता है। अनिश्चितता प्रकटीकरण के तरीके

उदाहरण 2 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=अनंत).
समाधान: बहुपद द्वारा विभाजित रूप बहुपद की एक सीमा दी गई है, और चर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

उस मान का एक सरल प्रतिस्थापन जिसके लिए चर को सीमाएं मिलनी चाहिए, मदद नहीं करेगा, हमें अनंत से विभाजित अनंत रूप की अनिश्चितता मिलती है।
सीमा का पॉट सिद्धांत सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम अंश या हर में "x" की सबसे बड़ी डिग्री ढूंढना है। इसके बाद, इस पर अंश और हर को सरल बनाया जाता है और फ़ंक्शन की सीमा पाई जाती है

चूँकि जब चर अनंत तक जाता है तो मान शून्य हो जाता है, उन्हें उपेक्षित कर दिया जाता है, या अंतिम अभिव्यक्ति में शून्य के रूप में लिखा जाता है

अभ्यास से तुरंत, आप दो निष्कर्ष प्राप्त कर सकते हैं जो गणना में एक संकेत हैं। यदि चर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है और अंश की डिग्री हर की डिग्री से अधिक है, तो सीमा अनंत के बराबर होती है। अन्यथा, यदि हर में बहुपद अंश की तुलना में उच्च क्रम का है, तो सीमा शून्य है।
सीमा सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है

यदि हमारे पास भिन्नों के बिना एक साधारण लॉग के रूप का एक फ़ंक्शन है, तो इसकी सीमा अनंत के बराबर है

अगले प्रकार की सीमाएँ शून्य के निकट कार्यों के व्यवहार से संबंधित हैं।

उदाहरण 3 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
हल: यहाँ बहुपद का अग्रणी गुणक निकालने की आवश्यकता नहीं है। इसके ठीक विपरीत, अंश और हर की सबसे छोटी घात ज्ञात करना और सीमा की गणना करना आवश्यक है

x^2 मान; जब चर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है तो x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है इसलिए, उन्हें उपेक्षित कर दिया जाता है, इस प्रकार हमें प्राप्त होता है

कि सीमा 2.5 है.

अब आप जानते हैं किसी फ़ंक्शन की सीमा कैसे ज्ञात करेंएक प्रकार का बहुपद जिसे एक बहुपद से विभाजित किया जाता है यदि चर अनंत या 0 की ओर जाता है। लेकिन यह उदाहरणों का केवल एक छोटा और आसान हिस्सा है। निम्नलिखित सामग्री से आप सीखेंगे किसी फ़ंक्शन की सीमाओं की अनिश्चितताओं को कैसे उजागर करें.

प्रकार 0/0 की अनिश्चितता और इसकी गणना के तरीकों के साथ सीमा

सभी को तुरंत वह नियम याद आ जाता है जिसके अनुसार आप शून्य से भाग नहीं दे सकते। हालाँकि, इस संदर्भ में सीमा के सिद्धांत का अर्थ है अतिसूक्ष्म कार्य।
आइए स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 4 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
समाधान: चर x = -1 का मान हर में रखने पर हमें शून्य मिलता है, अंश में भी वही मिलता है। तो हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता 0/0।
ऐसी अनिश्चितता से निपटना आसान है: आपको बहुपद को गुणनखंडित करने की आवश्यकता है, या यूं कहें कि एक ऐसे कारक का चयन करें जो फ़ंक्शन को शून्य में बदल देता है।

विघटित होने के बाद, फ़ंक्शन की सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की यही पूरी तकनीक है। यदि किसी बहुपद द्वारा विभाजित बहुपद के रूप की एक सीमा होती है तो हम भी ऐसा ही करते हैं।

उदाहरण 5 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
समाधान: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन दिखाता है
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
हमारे पास क्या है अनिश्चितता टाइप करें 0/0.
बहुपदों को उस कारक से विभाजित करें जो विलक्षणता का परिचय देता है


ऐसे शिक्षक हैं जो सिखाते हैं कि दूसरे क्रम के बहुपद, यानी "द्विघात समीकरण" के प्रकार को विवेचक के माध्यम से हल किया जाना चाहिए। लेकिन वास्तविक अभ्यास से पता चलता है कि यह लंबा और अधिक जटिल है, इसलिए निर्दिष्ट एल्गोरिदम के अनुसार सीमा के भीतर सुविधाओं से छुटकारा पाएं। इस प्रकार, हम फ़ंक्शन को सरल कारकों के रूप में लिखते हैं और सीमा में गणना करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी सीमाओं की गणना करने में कुछ भी जटिल नहीं है। आप जानते हैं कि सीमाओं का अध्ययन करते समय बहुपदों को कैसे विभाजित किया जाता है, कम से कम कार्यक्रम के अनुसार, आपको पहले ही पास हो जाना चाहिए।
कार्यों के बीच अनिश्चितता टाइप करें 0/0ऐसे भी हैं जिनमें संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को लागू करना आवश्यक है। परंतु यदि आप इन्हें नहीं जानते तो बहुपद को एकपदी से भाग देकर वांछित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण 6 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
लिम((x^2-9)/(x-3), x=3).
समाधान: हमारे पास 0/0 प्रकार की अनिश्चितता है। अंश में, हम संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

और वांछित सीमा की गणना करें

संयुग्म द्वारा गुणन द्वारा अनिश्चितता प्रकटीकरण विधि

यह विधि उन सीमाओं पर लागू होती है जिनमें तर्कहीन कार्य अनिश्चितता उत्पन्न करते हैं। गणना बिंदु पर अंश या हर शून्य हो जाता है और यह ज्ञात नहीं होता कि सीमा कैसे ज्ञात की जाए।

उदाहरण 7 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
समाधान:आइए चर को सीमा सूत्र में निरूपित करें

प्रतिस्थापित करते समय, हमें 0/0 प्रकार की अनिश्चितता प्राप्त होती है।
सीमा के सिद्धांत के अनुसार, इस विलक्षणता को दरकिनार करने की योजना में एक अपरिमेय अभिव्यक्ति को उसके संयुग्म द्वारा गुणा करना शामिल है। अभिव्यक्ति को अपरिवर्तित रखने के लिए, हर को समान मान से विभाजित किया जाना चाहिए

वर्गों के अंतर के नियम से, हम अंश को सरल बनाते हैं और फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते हैं

हम उन शब्दों को सरल बनाते हैं जो सीमा में विलक्षणता पैदा करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं

उदाहरण 8 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
समाधान: प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से पता चलता है कि सीमा में 0/0 के रूप की विलक्षणता है।

अंश के संयुग्म द्वारा विस्तार, गुणा और भाग करना

वर्गों का अंतर लिखिए

हम उन शब्दों को सरल बनाते हैं जो एक विलक्षणता का परिचय देते हैं और फ़ंक्शन की सीमा पाते हैं

उदाहरण 9 किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
समाधान: सूत्र में ड्यूस को प्रतिस्थापित करें

पाना अनिश्चितता 0/0.
हर को संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा किया जाना चाहिए, और अंश में, द्विघात समीकरण को हल करें या विलक्षणता को ध्यान में रखते हुए गुणनखंड करें। चूँकि यह ज्ञात है कि 2 एक मूल है, तो दूसरा मूल विएटा प्रमेय द्वारा पाया जाता है

इस प्रकार, हम अंश को फॉर्म में लिखते हैं

और लिमिट में डाल दें

वर्गों के अंतर को कम करने से, हमें अंश और हर में मौजूद विशेषताओं से छुटकारा मिल जाता है

उपरोक्त तरीके से आप कई उदाहरणों में एकवचनता से छुटकारा पा सकते हैं, और अनुप्रयोग को हर जगह ध्यान देना चाहिए जहां प्रतिस्थापित करने पर जड़ों का दिया गया अंतर शून्य हो जाता है। अन्य प्रकार की सीमाएँ घातीय कार्यों, अतिसूक्ष्म कार्यों, लघुगणक, एकवचन सीमाओं और अन्य तकनीकों से संबंधित हैं। लेकिन आप इसके बारे में नीचे दिए गए सीमाओं वाले लेखों में पढ़ सकते हैं।