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समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें- इसका अर्थ है सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए सामान्य समाधान खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई हल नहीं है।
समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको एक अज्ञात को हटाने की आवश्यकता है, अर्थात दो अज्ञात वाले दो समीकरणों से, एक अज्ञात के साथ एक समीकरण बनाएं। अज्ञात में से किसी एक को हटाने के तीन तरीके हैं: प्रतिस्थापन, तुलना, जोड़ या घटाव।
प्रतिस्थापन विधि
प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, एक समीकरण में एक अज्ञात को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना और परिणाम को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, जिसके बाद केवल एक अज्ञात होगा। फिर हम इस अज्ञात का मान ज्ञात करते हैं और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, उसके बाद हम दूसरे अज्ञात का मान ज्ञात करते हैं।
समीकरणों की प्रणाली के समाधान पर विचार करें:
हम परिणामी समीकरण को यह पता लगाने के लिए हल करते हैं कि क्या बराबर है वाई. एक अज्ञात के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, आप संबंधित विषय में देख सकते हैं।
| 3(2 + 4वाई) - 2वाई = 16 |
| 6 + 12वाई - 2वाई = 16 |
| 6 + 10वाई = 16 |
| 10वाई = 16 - 6 |
| 10वाई = 10 |
| वाई = 10: 10 |
| वाई = 1 |
हमने यह तय किया है वाई= 1. अब, संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए एक्स, मान बदलें वाईपरिवर्तित पहले समीकरण में, जहाँ हमने पहले पाया था कि कौन सा व्यंजक बराबर है एक्स:
एक्स = 2 + 4वाई= 2 + 4 1 = 2 + 4 = 6
उत्तर: एक्स = 6, वाई = 1.
तुलना विधि
तुलना विधि प्रतिस्थापन का एक विशेष मामला है। तुलना द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको दोनों समीकरणों में खोजने की जरूरत है कि कौन सी अभिव्यक्ति एक ही अज्ञात के बराबर होगी और परिणामी अभिव्यक्तियों को एक दूसरे के बराबर करना होगा। परिणामी समीकरण आपको एक अज्ञात के मूल्य का पता लगाने की अनुमति देता है। इस मान का उपयोग करके, दूसरे अज्ञात के मान की गणना की जाती है।
उदाहरण के लिए, सिस्टम समाधान के लिए:
हम प्राप्त भावों से एक समीकरण बनाते हैं:
अब हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्ससिस्टम के पहले या दूसरे समीकरण में और मूल्य पाएं वाई:
उत्तर: एक्स = 6, वाई = 1.
जोड़ने या घटाने की विधि
जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको बाएँ और दाएँ भागों को जोड़कर दो समीकरणों में से एक समीकरण बनाने की आवश्यकता होती है, जबकि अज्ञात में से एक को परिणामी समीकरण से बाहर रखा जाना चाहिए। दोनों समीकरणों में गुणांकों को बराबर करके अज्ञात को समाप्त किया जा सकता है।
सिस्टम पर विचार करें:
अब एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के लिए दोनों समीकरणों को टुकड़े-टुकड़े जोड़ते हैं:
अब एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पहले से दूसरे समीकरण को भागों से घटाएं:
उत्तर: एक्स = 6, वाई = 1.
ऊपर चर्चा की गई समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, योग विधि का उपयोग किया गया था, जो निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है:
सिस्टम के किसी भी समीकरण को सिस्टम में शामिल समीकरणों को जोड़कर (या घटाकर) समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस मामले में, समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है जिसका मूल के समान समाधान होता है।
विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।
समीकरण प्रणाली का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में किया जाता है, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करते समय किया जाता है।
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण सही समानता बन जाते हैं या यह साबित करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।
रेखीय समीकरण
ax+by=c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिसका मूल्य पाया जाना चाहिए, b, चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसके ग्राफ को प्लॉट करके समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार
सबसे सरल दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण हैं।
F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहाँ F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।
समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका मतलब ऐसे मूल्यों (x, y) को खोजना है जिनके लिए सिस्टम एक वास्तविक समानता बन जाता है, या यह स्थापित करना है कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।
बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।
यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समतुल्य कहा जाता है।
रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना भाग शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।
चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन चर या अधिक वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।
सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, वे मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकते हैं।
समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए सरल और जटिल तरीके
ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी तरीके संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। गणित के स्कूल के पाठ्यक्रम में क्रमचय, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।
हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिथ्म कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।
सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम की 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है।
प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान
प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मूल्य को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एकल चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है
आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उदाहरण दें:
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।
प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणनाओं के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।
रैखिक विषम समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:
बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान
अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।
इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय जोड़ उपयोगी होता है जब समीकरणों में अंश और दशमलव संख्याएँ होती हैं।
समाधान क्रिया एल्गोरिथम:
- समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
- परिणामी अभिव्यक्ति शब्द को शब्द से जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
- शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
एक नया चर शुरू करके समाधान विधि
एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है, अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।
विधि का उपयोग एक नए चर को पेश करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। दर्ज अज्ञात के संबंध में नया समीकरण हल किया गया है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विविक्तकर का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।
प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विविक्तकर का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विविक्तकर है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक समाधान है: x= -b / 2*a।
परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।
सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि
3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। विधि में समन्वय अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को प्लॉट करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।
ग्राफिक पद्धति में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मानों को मनमाने ढंग से चुना गया था: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।
दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।
निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई हल नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग-अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।
मैट्रिक्स और इसकी किस्में
मैट्रिसेस का उपयोग रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - स्तंभ हैं।
एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों में से एक के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।
एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई एक में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।
समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम
समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, गुणांक और समीकरणों के मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।
एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।
मैट्रिक्स के कॉलम को सख्ती से वेरिएबल्स के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।
मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।
उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प
उलटा मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 उलटा मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |क| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तब सिस्टम के पास समाधान है।
निर्धारक की आसानी से दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए गणना की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में कॉलम और पंक्ति संख्या तत्वों की पुनरावृत्ति न हो।
मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान
बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बोझिल प्रविष्टियों को कम करना संभव बनाती है।
उदाहरण में, एक nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक सदिश है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।
गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान
उच्च गणित में, गॉस पद्धति का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।
गॉसियन विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ समाधानों के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ एक अभिव्यक्ति है।
सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।
ग्रेड 7 के लिए स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, गॉसियन समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:
जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का समाधान आपको चर x n में से एक का पता लगाने की अनुमति देगा।
प्रमेय 5, जिसका पाठ में उल्लेख किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को एक समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।
मिडिल स्कूल के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना मुश्किल है, लेकिन गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में पढ़ने वाले बच्चों की सरलता विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।
रिकॉर्डिंग गणना में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:
समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक सिस्टम में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।
सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाएं एक पंक्ति के साथ की जाती हैं। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।
नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें एक विकर्ण 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात, मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।
यह अंकन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।
समाधान के किसी भी तरीके के नि: शुल्क आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के एक विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद हैं।
सिस्टम को हल करेंदो अज्ञात के साथ - इसका मतलब है चर मूल्यों के सभी जोड़े खोजना जो दिए गए समीकरणों में से प्रत्येक को संतुष्ट करते हैं। ऐसी प्रत्येक जोड़ी कहलाती है सिस्टम समाधान.
उदाहरण:
मानों की जोड़ी \(x=3\);\(y=-1\) पहली प्रणाली का एक समाधान है, क्योंकि \(x\) और \(y) के बजाय इन ट्रिपल और माइनस वाले को प्रतिस्थापित करते समय \), दोनों समीकरण वैध समानता बन जाते हैं \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases)\)
परंतु \(x=1\); \(y=-2\) - पहली प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि प्रतिस्थापन के बाद दूसरा समीकरण "एकाग्र नहीं होता है" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(मामले)\)
ध्यान दें कि ऐसे जोड़े अक्सर छोटे लिखे जाते हैं: "\(x=3\); \(y=-1\)" के बजाय वे इस तरह लिखते हैं: \((3;-1)\).
रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?
रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के तीन मुख्य तरीके हैं:
- प्रतिस्थापन विधि।
-
\(\शुरू(मामले)13x+9y=17\\12x-2y=26\अंत(मामले)\)
दूसरे समीकरण में, प्रत्येक पद सम है, इसलिए हम समीकरण को \(2\) से विभाजित करके सरल करते हैं।
\(\शुरू(मामले)13x+9y=17\\6x-y=13\अंत(मामले)\)
रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि प्रतिस्थापन विधि यहाँ सबसे सुविधाजनक है। दूसरे समीकरण से y को व्यक्त करते हैं।
\(\शुरू(केस)13x+9y=17\\y=6x-13\end(केस)\)
पहले समीकरण में \(6x-13\) को \(y\) से बदलें।
\(\शुरू(केस)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(केस)\)
पहला समीकरण सामान्य हो गया है। हम इसे हल करते हैं।
आइए पहले कोष्ठक खोलें।
\(\शुरू(मामले)13x+54x-117=17\\y=6x-13\अंत(मामले)\)
आइए \(117\) को दाईं ओर ले जाएँ और समान पद दें।
\(\शुरू(मामले)67x=134\\y=6x-13\अंत(मामले)\)
पहले समीकरण के दोनों पक्षों को \(67\) से विभाजित करें।
\(\शुरू (केस)x=2\\y=6x-13\end(केस)\)
हुर्रे, हमें \(x\) मिल गया! दूसरे समीकरण में इसके मान को प्रतिस्थापित करें और \(y\) खोजें।
\(\शुरू (मामलों)x=2\\y=12-13\end(मामलों)\)\(\Leftrightarrow\)\(\शुरू (मामलों)x=2\\y=-1\end (मामलों )\)
चलिए उत्तर लिखते हैं।
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