रेखाओं के बीच कोण का कोसाइन कैलकुलेटर। एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी हों, तो तेज़ कोनेइन पंक्तियों के बीच परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक हैं। यदि С 1 = λС भी है, तो रेखाएँ संपाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा की दूरी Ax + Vy + C \u003d 0 के रूप में परिभाषित की गई है

.

सबूत।मान लें कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांकों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो गुजरता है दिया बिंदु M 0 किसी दी गई रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को रूप में बदलते हैं:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

तब, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; φ= पी /4।

उदाहरण. दिखाएं कि रेखाएं 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज के शीर्ष A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण ज्ञात करते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊँचाई का समीकरण है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। कश्मीर =। फिर वाई =। क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण यह दिशा. दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। समानांतरता और दो रेखाओं की लंबता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , वाई 1) किसी दिए गए दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

वाई - वाई 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , वाई 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , वाई 1) और बी(एक्स 2 , वाई 2) इस प्रकार लिखा जाता है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के चौराहे के बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक कि यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं

वाई = क 1 एक्स + बी 1 ,

वाई = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंश के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य रूप से देखें

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

बी) उस स्थिति के लिए जब सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा लाइनें दी जाती हैं, उनके समानांतरवाद के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

ए) इस मामले में जब रेखाएँ समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, तो उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि उनकी ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत होती है, अर्थात।

इस स्थिति को रूप में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

ख) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनकी लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की समानता को पूरा करने की शर्त है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. समीकरणों की प्रणाली (6) को हल करके दो रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक पाए जाते हैं। रेखाएँ (6) यदि और केवल यदि प्रतिच्छेद करती हैं

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक दी गई रेखा l के समानांतर और दूसरी लंबवत है।

गणित की परीक्षा की तैयारी कर रहे प्रत्येक छात्र के लिए "रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना" विषय को दोहराना उपयोगी होगा। जैसा कि आँकड़े दिखाते हैं, प्रमाणन परीक्षण पास करते समय, स्टीरियोमेट्री के इस खंड में कार्य कठिनाइयाँ पैदा करते हैं एक लंबी संख्याछात्र। साथ ही, सीधी रेखाओं के बीच कोण खोजने की आवश्यकता वाले कार्य यूएसई में मूल और दोनों में पाए जाते हैं प्रोफ़ाइल स्तर. इसका मतलब है कि हर किसी को उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए।

बुनियादी क्षण

अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था 4 प्रकार की होती है। वे संयोग कर सकते हैं, प्रतिच्छेद कर सकते हैं, समानांतर या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। उनके बीच का कोण तीव्र या सीधा हो सकता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में लाइनों के बीच के कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, समाधान में, मास्को और अन्य शहरों में स्कूली बच्चे स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप शास्त्रीय निर्माणों द्वारा कार्य को पूरा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, यह स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांतों और प्रमेयों को सीखने लायक है। कार्य को एक समतलमितीय समस्या में लाने के लिए छात्र को तार्किक रूप से तर्क करने और चित्र बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

आप सरल सूत्रों, नियमों और एल्गोरिदम का उपयोग करके वेक्टर-समन्वय विधि का भी उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में मुख्य बात सभी गणनाओं को सही ढंग से करना है। रूढ़िवादिता और अन्य विषयों में अपनी समस्या समाधान कौशल को निखारें स्कूल का कोर्सशैक्षिक परियोजना "शकोल्कोवो" आपकी मदद करेगी।

एक। मान लीजिए दो रेखाएँ दी गई हैं। ये रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में इंगित किया गया था, विभिन्न धनात्मक और ऋणात्मक कोण बनाती हैं, जो तीव्र या अधिक कोण हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम कोई दूसरा कोण आसानी से खोज सकते हैं।

संयोग से, ये सभी कोने अंकीय मूल्यस्पर्शरेखा समान है, अंतर केवल चिह्न में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण। संख्याएँ पहली और दूसरी पंक्तियों के निर्देशक सदिशों के अनुमान हैं। इन सदिशों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों में से एक के बराबर है। इसलिए, सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्या कम हो जाती है, हम प्राप्त करते हैं

सरलता के लिए, हम एक न्यून धनात्मक कोण को समझने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर एक ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र (1) द्वारा हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाता है कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो, हमेशा कोण की दिशा को वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्रों (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि चित्र से देखना आसान है। 53 सूत्र के दाईं ओर प्राप्त चिह्न (1) इंगित करेगा कि कौन सा - तीव्र या अधिक - कोण पहली के साथ दूसरी पंक्ति बनाता है।

(दरअसल, चित्र 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के सदिशों के बीच का कोण या तो रेखाओं के बीच वांछित कोण के बराबर है, या उससे ± 180° भिन्न है।)

डी। यदि रेखाएँ समांतर हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी समांतर हैं।दो सदिशों के समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। प्रत्यक्ष

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों की लंबवतता की स्थिति को लागू करते हुए, हम दो रेखाओं की लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। प्रत्यक्ष

लंबवत क्योंकि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। किसी बिंदु से होकर किसी रेखा के समानांतर एक रेखा खींचिए

निर्णय इस प्रकार किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा दिए गए एक के समानांतर है, तो इसके निर्देशन वेक्टर के लिए हम दी गई रेखा के समान ही ले सकते हैं, अर्थात, प्रक्षेपण ए और बी के साथ एक वेक्टर और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा रूप में (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लम्बवत बिंदु से एक रेखा खींचिए

यहां, अनुमान ए के साथ एक वेक्टर और एक निर्देशन वेक्टर के रूप में लेना अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसके लिए एक वेक्टर लंबवत जीतना आवश्यक है। इसलिए इस सदिश के अनुमानों को इस शर्त के अनुसार चुना जाना चाहिए कि दोनों सदिश लंबवत हैं, यानी शर्त के अनुसार

इस स्थिति को अनंत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन इसे लेने का सबसे आसान तरीका है। फिर वांछित रेखा का समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा।

उदाहरण। एक लंब रेखा में एक बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ प्रपत्र के समीकरणों द्वारा दी गई हों

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण कोण के बराबरउनके दिशा वैक्टर के बीच। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण का कोसाइन:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे कार्य करता है:

काम। बिंदु E और F को घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में चिह्नित किया गया है - किनारों के मध्य बिंदु A 1 B 1 और B 1 C 1, क्रमशः। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्षों को क्रमशः AB, AD, और AA 1 के साथ निर्देशित किया जाता है। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए हमारी रेखाओं के लिए दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें बिंदुओं A = (0; 0; 0) और E = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूँकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर एई की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए एई = (0.5; 0; 1)।

अब आइए बीएफ वेक्टर से निपटें। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के मध्य। अपने पास:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा सदिश तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण का कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन है, इसलिए हमारे पास है:

काम। एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिनमें से सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक डी और ई चिह्नित हैं - क्रमशः किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1। रेखाओं AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, x- अक्ष AB के साथ निर्देशित है, z - AA 1 के साथ। हम y अक्ष को निर्देशित करते हैं ताकि OXY तल ABC तल के साथ मेल खाता हो। यूनिट सेगमेंट एबी = 1 के बराबर है। वांछित लाइनों के लिए दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजें।

पहले, आइए AD सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: A = (0; 0; 0) और D = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - सेगमेंट ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि वेक्टर AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, इसलिए हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

अब आइए सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदु B = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु E के साथ - खंड C 1 B 1 के मध्य - थोड़ा और कठिन। अपने पास:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

काम। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु K और L चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु A 1 B 1 और B 1 C 1, क्रमश। रेखाओं AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: हम निर्देशांक की उत्पत्ति को निचले आधार के केंद्र में रखते हैं, एक्स-अक्ष को एफसी के साथ निर्देशित करते हैं, वाई-अक्ष को सेगमेंट एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से निर्देशित करते हैं, और जेड-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

अब आइए कोण का कोज्या ज्ञात करें:

काम। सही चतुर्भुज पिरामिड SABCD, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु E और F चिह्नित हैं - क्रमशः SB और SC भुजाओं के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, x और y अक्षों को क्रमशः AB और AD के साथ निर्देशित किया जाता है, और z अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः सेगमेंट एसबी और एससी के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

अंक जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर एई और बीएफ के निर्देशांक पाते हैं:

वेक्टर एई के निर्देशांक बिंदु ई के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु ए मूल है। यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है: