पिरामिड। कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडबहुफलक कहा जाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (चित्र 16)। एक त्रिकोणीय पिरामिड जिसमें सभी किनारे समान होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड को साइड फेस का साइड कहा जाता है जो बेस से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड अपने शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। सभी तरफ की पसलियाँ सही पिरामिडएक दूसरे के बराबर हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

साइड सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के क्षेत्रफल और आधार का योग है।

प्रमेयों

1. यदि एक पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों को समान रूप से आधार के तल पर झुकाया जाता है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

2. यदि एक पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान होती है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी चेहरे समान रूप से आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ वी- आयतन;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पी- आधार की परिधि;

हा- एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस पक्ष

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार के समानांतर आधार और काटने वाले विमान के बीच संलग्न पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है (चित्र 17)। सही कटा हुआ पिरामिड एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार के बीच संलग्न होता है और पिरामिड के आधार के समानांतर एक काटने वाला विमान होता है।

नींवछोटा पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - चतुर्भुज। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को इसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक छोटा पिरामिड एक ऐसा खंड है जो इसके शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक पर स्थित नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक कटे हुए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक विमान कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

एक काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले ठिकानों के क्षेत्र;

एस भरा हुआकुल सतह क्षेत्र है;

एस पक्षपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्न सूत्र सत्य है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

हा- एक नियमित छंटे हुए पिरामिड का अंतःत्रिज्या।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º है। आधार के समतल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व फलक के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण होगा एदो लंबों के बीच: अर्थात पिरामिड के शीर्ष को त्रिकोण के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिचित वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी). साइड रिब के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एस.बी) किनारे के बीच का कोण है और बेस प्लेन पर इसका प्रक्षेपण है। पसली के लिए एस.बीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा खोजने के लिए आपको पैरों को जानने की जरूरत है इसलिएऔर ओबी. खंड की लंबाई दें बी.डी 3 है ए. डॉट के बारे मेंरेखा खंड बी.डीभागों में बांटा गया है: और हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुष्कोणीय पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधार के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका मतलब है कि आधारों का क्षेत्रफल और सूत्र में सभी डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार छंटे हुए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का साइड फेस एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ियम है। ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। आधार स्थिति द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात है। कहां से ढूंढो ए 1 इएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत ए 1 पर एसी. ए 1 इ\u003d 2 सेमी, चूंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। खोजने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) का चित्रण करेंगे। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले ठिकानों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूँकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीकखुदा सर्कल की त्रिज्या है और ओमउत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

साइड फेस एरिया:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व चेहरा पिरामिड के आधार के समतल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र एसएबीसीडीक्षेत्रों और समलंब के क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

हम इस कथन का उपयोग करते हैं कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे समान रूप से आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेबेस प्लेन के लिए। एक सपाट आकृति के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने में समस्या कम हो गई थी ए बी सी डी. एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे मेंट्रेपेज़ॉइड में खुदे हुए एक वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्बाकार में अंकित किया जा सकता है, तब या पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास है

ज्यामिति में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। सबसे आम आकृतियों में से एक पिरामिड है। इस लेख में, हम पूर्ण और छोटे दोनों प्रकार के पिरामिडों पर विचार करेंगे।

पिरामिड एक त्रि-आयामी आकृति के रूप में

के बारे में सभी जानते हैं मिस्र के पिरामिड, इसलिए यह किस आकृति के बारे में अच्छी तरह से दर्शाया गया है चर्चा की जाएगी. फिर भी, मिस्र की पत्थर की संरचनाएँ पिरामिडों के एक विशाल वर्ग का केवल एक विशेष मामला हैं।

सामान्य मामले में विचाराधीन ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिसका प्रत्येक शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़ा होता है जो आधार तल से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषाएक एन-गॉन और एन त्रिकोण से मिलकर एक आकृति की ओर जाता है।

किसी भी पिरामिड में n+1 फलक, 2*n किनारे और n+1 शीर्ष होते हैं। चूंकि विचाराधीन आंकड़ा एक पूर्ण पॉलीहेड्रॉन है, चिह्नित तत्वों की संख्या यूलर समीकरण का पालन करती है:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

आधार पर स्थित बहुभुज पिरामिड का नाम देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पंचकोणीय, और इसी तरह। विभिन्न आधारों वाले पिरामिडों का एक समूह नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है।

जिस बिंदु पर आकृति के n त्रिकोण जुड़े हुए हैं उसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। यदि एक लंब को इससे आधार पर उतारा जाता है और यह इसे ज्यामितीय केंद्र में काटता है, तो ऐसी आकृति को एक सीधी रेखा कहा जाएगा। यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो एक झुका हुआ पिरामिड होता है।

एक सीधी आकृति, जिसका आधार एक समबाहु (समकोणीय) एन-गॉन द्वारा बनता है, नियमित कहलाता है।

पिरामिड मात्रा सूत्र

पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, हम समाकलन कलन का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम आकृति को आधार के समानांतर छेदक तलों द्वारा अनंत संख्या में पतली परतों में विभाजित करते हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा ऊंचाई एच और साइड लम्बाई एल के साथ एक चतुष्कोणीय पिरामिड दिखाता है, जिसमें एक पतली अनुभागीय परत चतुर्भुज के साथ चिह्नित होती है।

ऐसी प्रत्येक परत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

ए(जेड) = ए 0 *(एच-जेड) 2/एच 2।

यहाँ A 0 आधार का क्षेत्रफल है, z ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का मान है। यह देखा जा सकता है कि यदि z = 0, तो सूत्र मान A 0 देता है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की संपूर्ण ऊँचाई पर समाकलन की गणना करनी चाहिए, अर्थात्:

वी = ∫ एच 0 (ए (जेड) * डीजेड)।

निर्भरता ए (जेड) को प्रतिस्थापित करना और प्रतिपक्षी की गणना करना, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

वी = -ए 0 *(एच-जेड) 3/(3*एच 2) | एच 0 \u003d 1/3 * ए 0 * एच।

हमने पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त किया है। V का मान ज्ञात करने के लिए, यह आधार के क्षेत्रफल से आकृति की ऊँचाई को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणाम को तीन से विभाजित करें।

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति एक मनमाने प्रकार के पिरामिड के आयतन की गणना के लिए मान्य है। यही है, इसे झुकाया जा सकता है, और इसका आधार मनमाना एन-गॉन हो सकता है।

और इसकी मात्रा

उपरोक्त पैराग्राफ में प्राप्त हुआ सामान्य सूत्रमात्रा के लिए एक पिरामिड के मामले में निर्दिष्ट किया जा सकता है सही नींव. ऐसे आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

ए 0 = एन / 4 * एल 2 * सीटीजी (पीआई / एन)।

यहाँ L, n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई है। प्रतीक पाई संख्या पाई है।

A 0 के लिए सामान्य सूत्र में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक नियमित पिरामिड का आयतन प्राप्त करते हैं:

वी n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

उदाहरण के लिए, के लिए त्रिकोणीय पिरामिडयह सूत्र निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर जाता है:

वी 3 \u003d 3/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (60 ओ) \u003d √3 / 12 * एल 2 * एच।

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए, आयतन सूत्र रूप लेता है:

वी 4 \u003d 4/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (45 ओ) \u003d 1/3 * एल 2 * एच।

नियमित पिरामिडों की मात्रा निर्धारित करने के लिए उनके आधार के पक्ष और आकृति की ऊंचाई को जानने की आवश्यकता होती है।

पिरामिड छोटा कर दिया

मान लीजिए कि हमने एक मनमाना पिरामिड लिया है और इसकी पार्श्व सतह के एक हिस्से को काट दिया है जिसमें शीर्ष है। शेष आकृति को छोटा पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो n-gonal आधार और n trapezoids होते हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। यदि काटने वाला विमान आकृति के आधार के समानांतर था, तो समानांतर समान आधारों के साथ एक छोटा पिरामिड बनता है। अर्थात्, उनमें से एक की भुजाओं की लंबाई दूसरे की लंबाई को कुछ गुणांक k से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।

ऊपर दिया गया आंकड़ा एक छोटा नियमित दिखाता है यह देखा जा सकता है कि इसका ऊपरी आधार, निचले वाले की तरह, एक नियमित षट्भुज द्वारा बनता है।

उपरोक्त के समान अभिन्न कलन का उपयोग करके सूत्र निकाला जा सकता है:

वी = 1/3 * एच * (ए 0 + ए 1 + √ (ए 0 * ए 1))।

जहाँ A 0 और A 1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) ठिकानों के क्षेत्र हैं। वेरिएबल एच काटे गए पिरामिड की ऊंचाई को दर्शाता है।

चेप्स के पिरामिड का आयतन

मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड में मौजूद आयतन के निर्धारण की समस्या को हल करना उत्सुक है।

1984 में, ब्रिटिश इजिप्टोलॉजिस्ट मार्क लेहनर और जॉन गुडमैन ने चेप्स पिरामिड के सटीक आयामों की स्थापना की। इसकी मूल ऊंचाई 146.50 मीटर (वर्तमान में लगभग 137 मीटर) थी। औसत लंबाईसंरचना के चारों पक्षों में से प्रत्येक 230.363 मीटर था। पिरामिड का आधार उच्च परिशुद्धता के साथ चौकोर है।

आइए इस विशालकाय पत्थर का आयतन निर्धारित करने के लिए दिए गए आंकड़ों का उपयोग करें। चूँकि पिरामिड एक नियमित चतुष्कोणीय है, तो सूत्र इसके लिए मान्य है:

संख्याओं में प्लगिंग, हम प्राप्त करते हैं:

वी 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 मीटर 3।

चेप्स के पिरामिड का आयतन लगभग 2.6 मिलियन मी 3 है। तुलना के लिए, हम ध्यान दें कि ओलंपिक पूल की मात्रा 2.5 हजार मी 3 है। यानी पूरे चेप्स पिरामिड को भरने के लिए 1000 से अधिक ऐसे पूलों की जरूरत होगी!

- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक छोटा पिरामिड एक कटा हुआ शीर्ष वाला पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के साइड फेस ट्रैपेज़ॉइड हैं;
• एक नियमित छंटे हुए पिरामिड की पार्श्व पसलियाँ समान लंबाई की होती हैं और समान कोण पर आधार से झुकी होती हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित छंटे हुए पिरामिड में, चेहरे समान होते हैं समद्विबाहु ट्रेपेज़ोइड्स, जिसका क्षेत्रफल बराबर है। वे एक कोण पर आधार से भी झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूँकि कटे हुए पिरामिड के किनारे ट्रेपेज़ोइड्स हैं, इसलिए आपको मापदंडों की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना होगा ट्रेपेज़ॉइड क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, क्षेत्र की गणना के लिए एक और सूत्र लागू किया जा सकता है। चूँकि आधार पर इसकी सभी भुजाएँ, फलक और कोण बराबर हैं, इसलिए आधार और अंतःत्रिज्या के परिमापों को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्रफल भी निकाला जा सकता है।

यदि, एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में शर्तों के अनुसार, एपोटेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी जाती है, तो क्षेत्र की परिधि के योग के आधे उत्पाद के माध्यम से गणना की जा सकती है आधार और अंतःत्रिज्या:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया। एपोटेम एल\u003d 5 सेमी, बड़े आधार में चेहरे की लंबाई है ए\u003d 6 सेमी, और चेहरा छोटे आधार पर है बी\u003d 4 सेमी काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना करें।

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचभुज हैं। इसका मतलब यह है कि आधार पाँच समान भुजाओं वाली एक आकृति है। बड़े आधार का परिमाप ज्ञात कीजिए:

उसी तरह, हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित छंटे हुए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, हमने परिधि और अंतःत्रिज्या के माध्यम से एक नियमित छंटे हुए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोनों के माध्यम से और इन्हीं आधारों के क्षेत्र में.

आइए गणना का एक उदाहरण देखें। याद रखें कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से छोटे पिरामिड पर लागू होता है।

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड दिया जाए। निचले आधार का फलक a = 6 सेमी है, और ऊपरी b का फलक = 4 सेमी है। आधार पर द्वितल कोण β = 60° है। एक नियमित छंटे हुए पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पहले, आधारों के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं। यह देखते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्ग क्षेत्र. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्गाकार, ये मान समान हैं। बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल फ़ार्मुलों को जानने के बाद, हमने आसानी से विभिन्न मूल्यों के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।

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