एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड sabc में। ज्यामिति की मूल बातें: सही पिरामिड है

त्रिकोणीय पिरामिड एक त्रिभुज पर आधारित पिरामिड है। इस पिरामिड की ऊंचाई लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक नीचे की ओर है।

पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी भी त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)Sh, जहां S आधार क्षेत्र है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊंचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार क्षेत्र से विभाजित करना होगा, यह होगा: h \u003d (3V) / S। चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S का क्षेत्रफल और उसकी भुजा z, तो क्षेत्रफल सूत्र S=(1/2)γh के अनुसार: h = (2S)/γ, जहां h पिरामिड की ऊंचाई है, γ त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दोनों भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके: S = (1/2)γφsinQ, जहां γ, φ त्रिभुज की भुजाएं हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान ज्या की तालिका में अवश्य देखा जाना चाहिए, जो इंटरनेट पर है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य में त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें, यानी एक पिरामिड जिसमें सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं, किनारे γ के आकार को जानते हुए। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई होगी: h = γ√(2/3), जहां γ एक समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन का आयतन (वी) दिया गया है, तो पिछले चरण के सूत्र में आवश्यक चर को इसके समकक्ष से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जो कि किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया गया है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (नियमित) इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर होता है, जिसका वर्ग 3 के वर्गमूल से होता है। हम पिछले सूत्र में आधार क्षेत्र के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं, और हमें निम्नलिखित सूत्र मिलता है: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3)। एक टेट्राहेड्रोन का आयतन उसके किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, फिर किसी आकृति की ऊंचाई की गणना के लिए सूत्र से सभी चर को हटाया जा सकता है और केवल आकृति के त्रिकोणीय चेहरे के किनारे को छोड़ा जा सकता है। ऐसे पिरामिड के आयतन की गणना उसके फलक की लंबाई के गुणनफल को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके 12 से विभाजित करके की जा सकती है।

हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलता है: h \u003d 12 (γ 3 √2/12) / (γ 2 √3) \u003d (γ 3 √2) / (γ 2 √3) \u003d γ √ (2/3) \u003d (1/3) γ √ 6। इसके अलावा, एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को एक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (आर) को जानकर, आप टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई पा सकते हैं। टेट्राहेड्रोन के किनारे की लंबाई है: γ = 4R/√6। हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) जानकर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई 6 के वर्गमूल और त्रिज्या के बीच 12 अनुपात के बराबर होगी। हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। चतुर्भुज पिरामिड एक चतुर्भुज पर आधारित पिरामिड है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास: आयतन (V) और पिरामिड के आधार (S) का क्षेत्रफल है, तो पॉलीहेड्रॉन (h) की ऊंचाई की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - आयतन को 3 से गुणा करके क्षेत्रफल S से विभाजित करें: h = (3V) / S। ज्ञात पिरामिड के वर्गाकार आधार के साथ: दिया गया आयतन (V) और भुजा की लंबाई γ, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को भुजा की लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2; एच = 3वी/γ 2। नियमित पिरामिड की ऊंचाई h = SO वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जो आधार के निकट परिचालित है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। इसके अलावा, हम एक समकोण त्रिभुज में SOC पाते हैं (पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार): SO = √(SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।

वीडियो पाठ 2: पिरामिड चुनौती. पिरामिड आयतन

वीडियो पाठ 3: पिरामिड चुनौती. सही पिरामिड

भाषण: पिरामिड, इसका आधार, पार्श्व किनारे, ऊँचाई, पार्श्व सतह; त्रिकोणीय पिरामिड; सही पिरामिड

पिरामिड- यह एक त्रि-आयामी पिंड है जिसके आधार पर एक बहुभुज है, और इसके सभी फलक त्रिभुज से बने हैं।

पिरामिड का एक विशेष मामला एक शंकु है, जिसके आधार पर एक वृत्त स्थित है।

पिरामिड के मुख्य तत्वों पर विचार करें:

एपोथेमएक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को साइड फेस के निचले किनारे के मध्य से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह पिरामिड के मुख की ऊंचाई है।

चित्र में आप त्रिभुज ADS, ABS, BCS, CDS देख सकते हैं। यदि आप नामों को ध्यान से देखें, तो आप देख सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के नाम में एक सामान्य अक्षर है - S. यानी, इसका मतलब है कि सभी भुजाओं वाले फलक (त्रिकोण) एक बिंदु पर मिलते हैं, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है।

खंड ओएस, जो शीर्ष को आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है (त्रिकोण के मामले में, ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर), कहा जाता है पिरामिड की ऊंचाई.

विकर्ण खंड एक समतल है जो पिरामिड के शीर्ष से होकर गुजरता है, साथ ही आधार के विकर्णों में से एक है।

चूँकि पिरामिड की पार्श्व सतह में त्रिभुज होते हैं, पार्श्व सतह का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना और उन्हें जोड़ना आवश्यक है। फलकों की संख्या और आकार आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं के आकार और आकार पर निर्भर करता है।

पिरामिड में एकमात्र तल जिसमें शीर्ष नहीं होता, कहलाता है आधारपिरामिड.

चित्र में, हम देखते हैं कि आधार एक समांतर चतुर्भुज है, हालाँकि, कोई भी मनमाना बहुभुज हो सकता है।

गुण:

पिरामिड के पहले मामले पर विचार करें, जिसमें इसके किनारे समान लंबाई के हैं:

• ऐसे पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यदि आप ऐसे पिरामिड के शीर्ष को प्रक्षेपित करते हैं, तो इसका प्रक्षेपण वृत्त के केंद्र में स्थित होगा।
• पिरामिड के आधार पर बने कोण प्रत्येक फलक के लिए समान हैं।
• साथ ही, इस तथ्य के लिए पर्याप्त शर्त कि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक सर्कल का वर्णन किया जा सकता है, और यह भी कि सभी किनारे अलग-अलग लंबाई के हैं, आधार और चेहरे के प्रत्येक किनारे के बीच समान कोण माना जा सकता है।

यदि आपको कोई ऐसा पिरामिड मिलता है जिसके पार्श्व फलकों और आधार के बीच के कोण बराबर हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• आप पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने में सक्षम होंगे, जिसका शीर्ष बिल्कुल केंद्र की ओर निकला हुआ है।
• यदि आप प्रत्येक तरफ ऊंचाई के चेहरे को आधार तक खींचते हैं, तो वे समान लंबाई के होंगे।
• ऐसे पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, आधार की परिधि ज्ञात करना और इसे ऊँचाई की आधी लंबाई से गुणा करना पर्याप्त है।
• एसबीपी = 0.5पी ओसी एच।
• पिरामिड के प्रकार.
• पिरामिड के आधार पर कौन सा बहुभुज स्थित है, इसके आधार पर वे त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि हो सकते हैं। यदि एक नियमित बहुभुज (समान भुजाओं वाला) पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो ऐसे पिरामिड को नियमित कहा जाएगा।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

परिकल्पना:हमारा मानना ​​है कि पिरामिड के आकार की पूर्णता उसके आकार में अंतर्निहित गणितीय नियमों के कारण है।

लक्ष्य:एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड का अध्ययन करके, इसके स्वरूप की पूर्णता को समझाया।

कार्य:

1. पिरामिड की गणितीय परिभाषा दीजिए।

2. पिरामिड का एक ज्यामितीय निकाय के रूप में अध्ययन करें।

3. समझें कि मिस्रवासियों ने अपने पिरामिडों में कौन सा गणितीय ज्ञान रखा था।

निजी प्रश्न:

1. एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड क्या है?

2. पिरामिड की अनोखी आकृति को गणितीय रूप से कैसे समझाया जा सकता है?

3. पिरामिड के ज्यामितीय चमत्कारों की क्या व्याख्या है?

4. पिरामिड के आकार की पूर्णता क्या बताती है?

पिरामिड की परिभाषा.

पिरामिड (ग्रीक पिरामिड से, जीनस एन। पिरामिडोस) - एक बहुफलक, जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष (आकृति) के साथ त्रिकोण हैं। आधार के कोनों की संख्या के अनुसार पिरामिड त्रिभुजाकार, चतुष्कोणीय आदि होते हैं।

पिरामिड - एक स्मारकीय संरचना जिसमें पिरामिड का ज्यामितीय आकार होता है (कभी-कभी सीढ़ीदार या मीनार के आकार का भी)। तीसरी-दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व के प्राचीन मिस्र के फिरौन की विशाल कब्रों को पिरामिड कहा जाता है। ई., साथ ही ब्रह्माण्ड संबंधी पंथों से जुड़े मंदिरों के प्राचीन अमेरिकी स्तंभ (मेक्सिको, ग्वाटेमाला, होंडुरास, पेरू में)।

यह संभव है कि ग्रीक शब्द "पिरामिड" मिस्र की अभिव्यक्ति प्रति-एम-अस से आया है, यानी एक ऐसे शब्द से जिसका अर्थ पिरामिड की ऊंचाई है। प्रमुख रूसी मिस्रविज्ञानी वी. स्ट्रुवे का मानना ​​था कि ग्रीक "पुरम...जे" प्राचीन मिस्र के "पी"-एमआर" से आया है।

इतिहास से. अतानास्यान के लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" में सामग्री का अध्ययन करने के बाद। बुटुज़ोवा और अन्य, हमने सीखा कि: n-gon A1A2A3 ... An और n त्रिकोण RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 से बना एक बहुफलक पिरामिड कहलाता है। बहुभुज A1A2A3 ... An पिरामिड का आधार है, और त्रिकोण RA1A2, RA2A3, ..., PANA1 पिरामिड के पार्श्व चेहरे हैं, P पिरामिड का शीर्ष है, खंड RA1, RA2, ..., RAN पार्श्व किनारे हैं।

हालाँकि, पिरामिड की ऐसी परिभाषा हमेशा मौजूद नहीं थी। उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ, गणित पर सैद्धांतिक ग्रंथों के लेखक जो हमारे पास आए हैं, यूक्लिड, एक पिरामिड को उन विमानों से घिरी एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित करते हैं जो एक विमान से एक बिंदु तक परिवर्तित होते हैं।

लेकिन इस परिभाषा की आलोचना प्राचीन काल में ही की जा चुकी है। इसलिए हेरॉन ने पिरामिड की निम्नलिखित परिभाषा प्रस्तावित की: "यह एक बिंदु पर एकत्रित त्रिभुजों से घिरी एक आकृति है और जिसका आधार एक बहुभुज है।"

हमारा समूह, इन परिभाषाओं की तुलना करते हुए, इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि उनके पास "नींव" की अवधारणा का स्पष्ट सूत्रीकरण नहीं है।

हमने इन परिभाषाओं का अध्ययन किया और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे की परिभाषा पाई, जिन्होंने 1794 में अपने काम "एलिमेंट्स ऑफ ज्योमेट्री" में पिरामिड को इस प्रकार परिभाषित किया है: "पिरामिड एक भौतिक आकृति है जो त्रिकोणों द्वारा एक बिंदु पर एकत्रित होने और एक सपाट आधार के विभिन्न पक्षों पर समाप्त होने से बनती है।"

हमें ऐसा लगता है कि अंतिम परिभाषा पिरामिड का स्पष्ट विचार देती है, क्योंकि यह इस तथ्य को संदर्भित करती है कि आधार समतल है। पिरामिड की एक और परिभाषा 19वीं सदी की पाठ्यपुस्तक में दिखाई देती है: "पिरामिड एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित एक ठोस कोण है।"

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड।

वह। पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका एक फलक (आधार) एक बहुभुज है, शेष फलक (भुजाएँ) त्रिभुज हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष (पिरामिड का शीर्ष) है।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक खींचे गये लम्ब को कहा जाता है ऊंचाईएचपिरामिड.

एक मनमाना पिरामिड के अलावा, वहाँ भी हैं दायां पिरामिड,जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और छोटा पिरामिड.

चित्र में - पिरामिड PABCD, ABCD - इसका आधार, PO - ऊँचाई।

पूर्ण सतह क्षेत्र एक पिरामिड उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों के योग को कहा जाता है।

Sfull = Sside + Sbase,कहाँ साइडपार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है।

पिरामिड आयतन सूत्र के अनुसार पाया जाता है:

वी=1/3एसबेस एच, जहां सोसन. - आधार क्षेत्र एच- ऊंचाई।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: साइड। =1/2पी एच, जहां P आधार का परिमाप है, एच- पार्श्व फलक की ऊंचाई (नियमित पिरामिड का एपोटेम)। यदि पिरामिड को आधार के समानांतर विमान A'B'C'D' द्वारा पार किया जाता है, तो:

1) पार्श्व किनारों और ऊंचाई को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया गया है;

2) खंड में, आधार के समान एक बहुभुज A'B'C'D' प्राप्त होता है;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width=”287” ऊंचाई=”151”>

काटे गए पिरामिड के आधारसमान बहुभुज ABCD और A`B`C`D` हैं, पार्श्व फलक समलंब चतुर्भुज हैं।

ऊंचाईकाटे गए पिरामिड - आधारों के बीच की दूरी।

छोटा किया गया आयतनपिरामिड सूत्र द्वारा पाया जाता है:

वी=1/3 एच(एस + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" संरेखित करें = "बाएं" चौड़ाई = "91" ऊंचाई = "96"> एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: Sside = ½ (P + P') एच, जहां P और P' आधारों की परिधि हैं, एच- पार्श्व चेहरे की ऊँचाई (दावतों द्वारा नियमित रूप से काटे गए का प्रतीक

पिरामिड के खंड.

पिरामिड के शीर्ष से गुजरने वाले तलों द्वारा इसके खंड त्रिभुज हैं।

पिरामिड के दो गैर-आसन्न पार्श्व किनारों से गुजरने वाले खंड को कहा जाता है विकर्ण खंड.

यदि अनुभाग पार्श्व किनारे और आधार के किनारे पर एक बिंदु से होकर गुजरता है, तो यह पक्ष पिरामिड के आधार के तल पर इसका निशान होगा।

पिरामिड के मुख पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरने वाला एक खंड, और आधार के तल पर खंड का दिया गया निशान, तो निर्माण निम्नानुसार किया जाना चाहिए:

दिए गए चेहरे के तल और पिरामिड अनुभाग के निशान का प्रतिच्छेदन बिंदु ढूंढें और इसे नामित करें;

किसी दिए गए बिंदु और परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं;

· अगले चेहरों के लिए इन चरणों को दोहराएं.

, जो एक समकोण त्रिभुज के पैरों के अनुपात 4:3 से मेल खाता है। पैरों का यह अनुपात 3:4:5 भुजाओं वाले प्रसिद्ध समकोण त्रिभुज से मेल खाता है, जिसे "संपूर्ण", "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण कहा जाता है। इतिहासकारों के अनुसार, "मिस्र" त्रिकोण को एक जादुई अर्थ दिया गया था। प्लूटार्क ने लिखा कि मिस्रवासियों ने ब्रह्मांड की प्रकृति की तुलना एक "पवित्र" त्रिकोण से की; उन्होंने प्रतीकात्मक रूप से ऊर्ध्वाधर पैर की तुलना पति से, आधार की तुलना पत्नी से और कर्ण की तुलना दोनों से पैदा होने वाली चीज़ से की।

त्रिभुज 3:4:5 के लिए, समानता सत्य है: 32 + 42 = 52, जो पाइथागोरस प्रमेय को व्यक्त करता है। क्या यह वह प्रमेय नहीं है जिसे मिस्र के पुजारी त्रिभुज 3:4:5 के आधार पर एक पिरामिड बनाकर कायम रखना चाहते थे? पाइथागोरस प्रमेय को स्पष्ट करने के लिए इससे बेहतर उदाहरण ढूंढना कठिन है, जो पाइथागोरस द्वारा खोजे जाने से बहुत पहले मिस्रवासियों को ज्ञात था।

इस प्रकार, मिस्र के पिरामिडों के सरल रचनाकारों ने अपने ज्ञान की गहराई से दूर के वंशजों को प्रभावित करने की कोशिश की, और उन्होंने इसे चेप्स के पिरामिड के लिए "मुख्य ज्यामितीय विचार" के रूप में चुनकर हासिल किया - "सुनहरा" समकोण त्रिभुज, और खफरे के पिरामिड के लिए - "पवित्र" या "मिस्र" त्रिकोण।

अक्सर, वैज्ञानिक अपने शोध में स्वर्ण खंड के अनुपात के साथ पिरामिडों के गुणों का उपयोग करते हैं।

गोल्डन सेक्शन की निम्नलिखित परिभाषा गणितीय विश्वकोश शब्दकोश में दी गई है - यह एक हार्मोनिक डिवीजन है, चरम और औसत अनुपात में विभाजन - खंड एबी को दो भागों में इस तरह विभाजित करना कि इसका अधिकांश एसी पूरे खंड एबी और उसके छोटे हिस्से सीबी के बीच औसत आनुपातिक हो।

एक खंड के स्वर्ण खंड की बीजगणितीय खोज एबी = एसमीकरण a: x = x: (a - x) को हल करने के लिए कम करता है, जहाँ से x लगभग 0.62a के बराबर है। x अनुपात को भिन्न 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 2, 3, 5, 8, 13, 21 फाइबोनैचि संख्याएं हैं।

खंड AB के स्वर्ण खंड का ज्यामितीय निर्माण निम्नानुसार किया जाता है: बिंदु B पर, AB के लंबवत को बहाल किया जाता है, खंड BE \u003d 1/2 AB उस पर रखा जाता है, A और E जुड़े होते हैं, DE \u003d BE को स्थगित कर दिया जाता है और अंत में, AC \u003d AD, फिर समानता AB: CB \u003d 2: 3 पूरी हो जाती है।

स्वर्णिम अनुपात अक्सर कला, वास्तुकला के कार्यों में उपयोग किया जाता है और प्रकृति में पाया जाता है। अपोलो बेल्वेडियर, पार्थेनन की मूर्ति इसके ज्वलंत उदाहरण हैं। पार्थेनन के निर्माण के दौरान इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई के अनुपात का उपयोग किया गया था और यह अनुपात 0.618 है। हमारे आस-पास की वस्तुएँ भी सुनहरे अनुपात का उदाहरण प्रदान करती हैं, उदाहरण के लिए, कई पुस्तकों की बाइंडिंग की चौड़ाई और लंबाई का अनुपात 0.618 के करीब है। पौधों के एक सामान्य तने पर पत्तियों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, कोई यह देख सकता है कि पत्तियों के प्रत्येक दो जोड़े के बीच, तीसरा स्वर्ण अनुपात (स्लाइड्स) के स्थान पर स्थित होता है। हम में से प्रत्येक अपने "हाथों में" सुनहरा अनुपात "पहनता है" - यह उंगलियों के फालेंजों का अनुपात है।

कई गणितीय पपीरी की खोज के लिए धन्यवाद, मिस्र के वैज्ञानिकों ने कलन और माप की प्राचीन मिस्र प्रणालियों के बारे में कुछ सीखा है। उनमें निहित कार्यों को शास्त्रियों द्वारा हल किया जाता था। सबसे प्रसिद्ध में से एक है रिहंद मैथमेटिकल पेपिरस। इन पहेलियों का अध्ययन करके, मिस्र के वैज्ञानिकों ने सीखा कि प्राचीन मिस्रवासी वजन, लंबाई और आयतन के मापों की गणना करते समय उत्पन्न होने वाली विभिन्न मात्राओं से कैसे निपटते थे, जो अक्सर भिन्नों का उपयोग करते थे, साथ ही वे कोणों से कैसे निपटते थे।

प्राचीन मिस्रवासी एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई और आधार के अनुपात के आधार पर कोणों की गणना करने की एक विधि का उपयोग करते थे। वे किसी भी कोण को ढाल की भाषा में व्यक्त करते थे। ढलान ढाल को एक पूर्णांक के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया था, जिसे "सीकेड" कहा जाता था। फ़राओ के समय के गणित में, रिचर्ड पिलिन्स बताते हैं: “एक नियमित पिरामिड का सेक्ड आधार के तल पर चार त्रिकोणीय चेहरों में से किसी एक का झुकाव है, जिसे ऊंचाई की प्रति ऊर्ध्वाधर इकाई क्षैतिज इकाइयों की nवीं संख्या द्वारा मापा जाता है। इस प्रकार, माप की यह इकाई झुकाव के कोण के हमारे आधुनिक कोटैंजेंट के बराबर है। इसलिए, मिस्र का शब्द "सेकेड" हमारे आधुनिक शब्द "ग्रेडिएंट" से संबंधित है।

पिरामिडों की संख्यात्मक कुंजी उनकी ऊंचाई और आधार के अनुपात में निहित है। व्यावहारिक रूप से, पिरामिड के निर्माण के दौरान झुकाव के सही कोण की लगातार जांच करने के लिए आवश्यक टेम्पलेट बनाने का यह सबसे आसान तरीका है।

मिस्रविज्ञानी हमें यह समझाने में प्रसन्न होंगे कि प्रत्येक फिरौन अपनी वैयक्तिकता को व्यक्त करने के लिए उत्सुक था, इसलिए प्रत्येक पिरामिड के झुकाव के कोणों में अंतर था। लेकिन एक और कारण भी हो सकता है. शायद वे सभी अलग-अलग अनुपात में छिपे अलग-अलग प्रतीकात्मक संघों को मूर्त रूप देना चाहते थे। हालाँकि, खफरे के पिरामिड का कोण (त्रिभुज (3:4:5) पर आधारित) रिहंद गणितीय पेपिरस में पिरामिड द्वारा प्रस्तुत तीन समस्याओं में दिखाई देता है। इसलिए यह दृष्टिकोण प्राचीन मिस्रवासियों को अच्छी तरह से ज्ञात था।

मिस्र के वैज्ञानिकों के प्रति निष्पक्ष रहने के लिए जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रवासी 3:4:5 त्रिकोण को नहीं जानते थे, मान लीजिए कि कर्ण 5 की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था। लेकिन पिरामिडों से संबंधित गणितीय समस्याओं को हमेशा अनुक्रमित कोण के आधार पर हल किया जाता है - ऊंचाई और आधार का अनुपात। चूँकि कर्ण की लंबाई का कभी उल्लेख नहीं किया गया था, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया कि मिस्रवासियों ने कभी भी तीसरी भुजा की लंबाई की गणना नहीं की।

गीज़ा के पिरामिडों में प्रयुक्त ऊंचाई-से-आधार अनुपात निस्संदेह प्राचीन मिस्रवासियों को ज्ञात था। यह संभव है कि प्रत्येक पिरामिड के लिए ये अनुपात मनमाने ढंग से चुने गए हों। हालाँकि, यह मिस्र की सभी प्रकार की ललित कलाओं में संख्यात्मक प्रतीकवाद से जुड़े महत्व का खंडन करता है। यह बहुत संभव है कि ऐसे रिश्ते महत्वपूर्ण महत्व के थे, क्योंकि वे विशिष्ट धार्मिक विचार व्यक्त करते थे। दूसरे शब्दों में, गीज़ा का पूरा परिसर एक सुसंगत डिजाइन के अधीन था, जिसे किसी प्रकार के दिव्य विषय को प्रतिबिंबित करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। इससे पता चलेगा कि डिज़ाइनरों ने तीनों पिरामिडों के लिए अलग-अलग कोण क्यों चुने।

द सीक्रेट ऑफ ओरियन में, बाउवल और गिल्बर्ट ने गीज़ा के पिरामिडों के ओरियन तारामंडल के साथ, विशेष रूप से ओरियन बेल्ट के सितारों के साथ संबंध के पुख्ता सबूत प्रस्तुत किए। वही तारामंडल आइसिस और ओसिरिस के मिथक में मौजूद है, और प्रत्येक पिरामिड को तीन मुख्य देवताओं - ओसिरिस, आइसिस और होरस में से एक की छवि के रूप में मानने का कारण है।

चमत्कार "ज्यामितीय"।

मिस्र के भव्य पिरामिडों में से एक विशेष स्थान रखता है फिरौन चेओप्स का महान पिरामिड (खुफू). चेप्स के पिरामिड के आकार और आकार के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें यह याद रखना चाहिए कि मिस्रवासियों ने किस प्रणाली का उपयोग किया था। मिस्रवासियों की लंबाई की तीन इकाइयाँ थीं: "क्यूबिट" (466 मिमी), सात "हथेलियों" (66.5 मिमी) के बराबर, जो बदले में, चार "उंगलियों" (16.6 मिमी) के बराबर थी।

आइए यूक्रेनी वैज्ञानिक निकोलाई वास्युटिंस्की की अद्भुत पुस्तक "गोल्डन प्रोपोर्शन" (1990) में दिए गए तर्क का पालन करते हुए चेप्स पिरामिड (चित्र 2) के आकार का विश्लेषण करें।

अधिकांश शोधकर्ता इस बात से सहमत हैं कि उदाहरण के लिए, पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई, जीएफके बराबर है एल= 233.16 मीटर। यह मान लगभग 500 "हाथ" से मेल खाता है। 500 "क्यूबिट" का पूर्ण अनुपालन तब होगा जब "क्यूबिट" की लंबाई 0.4663 मीटर के बराबर मानी जाए।

पिरामिड की ऊंचाई ( एच) शोधकर्ताओं द्वारा 146.6 से 148.2 मीटर तक अलग-अलग अनुमान लगाया गया है। और पिरामिड की स्वीकृत ऊंचाई के आधार पर, इसके ज्यामितीय तत्वों के सभी अनुपात बदल जाते हैं। पिरामिड की ऊंचाई के अनुमान में अंतर का क्या कारण है? तथ्य यह है कि, कड़ाई से बोलते हुए, चेप्स का पिरामिड छोटा कर दिया गया है। इसके ऊपरी मंच का आकार आज लगभग 10 ´10 मीटर है, और एक सदी पहले यह 6 ´ 6 मीटर था। यह स्पष्ट है कि पिरामिड का शीर्ष ध्वस्त हो गया था, और यह मूल के अनुरूप नहीं है।

पिरामिड की ऊंचाई का अनुमान लगाते समय, संरचना के "ड्राफ्ट" जैसे भौतिक कारक को ध्यान में रखना आवश्यक है। लंबे समय तक, भारी दबाव (निचली सतह के 1 एम 2 प्रति 500 ​​टन तक पहुंचने) के प्रभाव में, पिरामिड की ऊंचाई इसकी मूल ऊंचाई की तुलना में कम हो गई।

पिरामिड की मूल ऊँचाई कितनी थी? यदि आपको पिरामिड का मूल "ज्यामितीय विचार" मिल जाए तो इस ऊंचाई को फिर से बनाया जा सकता है।

चित्र 2।

1837 में, अंग्रेज कर्नल जी. वाइज़ ने पिरामिड के चेहरों के झुकाव के कोण को मापा: यह बराबर निकला ए= 51°51"। यह मान आज भी अधिकांश शोधकर्ताओं द्वारा मान्यता प्राप्त है। कोण का संकेतित मान स्पर्शरेखा (टीजी) से मेल खाता है ए) 1.27306 के बराबर। यह मान पिरामिड की ऊंचाई के अनुपात से मेल खाता है एसीइसके आधार का आधा भाग सीबी(चित्र 2), अर्थात्। एसी / सीबी = एच / (एल / 2) = 2एच / एल.

और यहां शोधकर्ता बड़े आश्चर्य में थे! ए= 1.27306, हम देखते हैं कि ये मान एक दूसरे के बहुत करीब हैं। अगर हम कोण लें ए\u003d 51°50", अर्थात इसे केवल एक चाप मिनट कम करना है, तो मान ए 1.272 के बराबर हो जायेगा अर्थात यह के मान से मेल खा जायेगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 1840 में जी. वाइज ने अपने माप को दोहराया और स्पष्ट किया कि कोण का मूल्य ए=51°50"।

इन मापों ने शोधकर्ताओं को निम्नलिखित अत्यंत रोचक परिकल्पना की ओर अग्रसर किया: चेप्स के पिरामिड का त्रिभुज ASV संबंध AC पर आधारित था / सीबी = = 1,272!

अब एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें एबीसी, जिसमें पैरों का अनुपात है एसी / सीबी= (चित्र 2). यदि अब आयत की भुजाओं की लंबाई एबीसीद्वारा निरूपित करें एक्स, य, जेड, और उस अनुपात को भी ध्यान में रखें य/एक्स= , फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लंबाई जेडसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

यदि स्वीकार करें एक्स = 1, य= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png' width='143' ऊंचाई='27'>

चित्र तीन"स्वर्णिम" समकोण त्रिभुज.

एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं टी:सुनहरा" समकोण त्रिभुज।

फिर, यदि हम इस परिकल्पना को आधार के रूप में लेते हैं कि चेप्स पिरामिड का मुख्य "ज्यामितीय विचार" "सुनहरा" समकोण त्रिभुज है, तो यहां से चेप्स पिरामिड की "डिज़ाइन" ऊंचाई की गणना करना आसान है। यह इसके बराबर है:

एच = (एल/2) ´ = 148.28 मीटर।

आइए अब हम चेप्स के पिरामिड के लिए कुछ अन्य संबंध प्राप्त करें, जो "सुनहरे" परिकल्पना से अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से, हम पिरामिड के बाहरी क्षेत्र और उसके आधार के क्षेत्र का अनुपात पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पैर की लंबाई लेते हैं सीबीप्रति इकाई, अर्थात्: सीबी= 1. लेकिन फिर पिरामिड के आधार की भुजा की लंबाई जीएफ= 2, और आधार का क्षेत्रफल ईएफजीएचके बराबर होगा SEFGH = 4.

आइए अब चेप्स पिरामिड के पार्श्व फलक के क्षेत्रफल की गणना करें एसडी. क्योंकि ऊंचाई अबत्रिकोण एईएफके बराबर है टी, तो पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर होगा एसडी = टी. तब पिरामिड के चारों पार्श्व फलकों का कुल क्षेत्रफल 4 के बराबर होगा टी, और पिरामिड के कुल बाहरी क्षेत्रफल और आधार क्षेत्रफल का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के बराबर होगा! यह वही है - चेप्स के पिरामिड का मुख्य ज्यामितीय रहस्य!

चेप्स के पिरामिड के "ज्यामितीय चमत्कारों" के समूह में पिरामिड के विभिन्न आयामों के बीच संबंधों के वास्तविक और काल्पनिक गुण शामिल हैं।

एक नियम के रूप में, वे कुछ "स्थिरांक" की खोज में प्राप्त किए जाते हैं, विशेष रूप से, संख्या "पाई" (लुडोल्फ संख्या), 3.14159 के बराबर...; प्राकृतिक लघुगणक का आधार "ई" (नेपियर की संख्या) 2.71828 के बराबर...; संख्या "एफ", "गोल्डन सेक्शन" की संख्या, उदाहरण के लिए, 0.618 ... आदि के बराबर।

उदाहरण के लिए, आप नाम बता सकते हैं: 1) हेरोडोटस की संपत्ति: (ऊंचाई) 2 = 0.5 सेंट। मुख्य एक्स एपोथेम; 2) वी. की संपत्ति कीमत: ऊंचाई: 0.5 सेंट. ओएसएन = "Ф" का वर्गमूल; 3) एम. ईस्ट की संपत्ति: आधार की परिधि: 2 ऊंचाई = "पाई"; एक अलग व्याख्या में - 2 बड़े चम्मच। मुख्य : ऊँचाई = "पाई"; 4) जी. रेबर की संपत्ति: अंकित वृत्त की त्रिज्या: 0.5 सेंट. मुख्य = "एफ"; 5) के. क्लेपिश की संपत्ति: (सेंट मुख्य।) 2: 2 (सेंट मुख्य। एक्स एपोथेम) = (सेंट मुख्य। डब्ल्यू एपोथेम) = 2 (सेंट मुख्य। एक्स एपोथेम): ((2 सेंट मुख्य। एक्स एपोथेम) + (सेंट मुख्य) 2)। वगैरह। आप ऐसी बहुत सी संपत्तियों के बारे में सोच सकते हैं, खासकर यदि आप दो पड़ोसी पिरामिडों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, "ए. अरेफ़िएव के गुण" के रूप में यह उल्लेख किया जा सकता है कि चेप्स के पिरामिड और खफ़्रे के पिरामिड के आयतन के बीच का अंतर मेनक्योर के पिरामिड के आयतन के दोगुने के बराबर है...

विशेष रूप से, "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार पिरामिडों के निर्माण पर कई दिलचस्प प्रावधान डी. हैम्बिज की पुस्तकों "वास्तुकला में गतिशील समरूपता" और एम. गीक "प्रकृति और कला में अनुपात के सौंदर्यशास्त्र" में दिए गए हैं। याद रखें कि "गोल्डन सेक्शन" ऐसे अनुपात में खंड का विभाजन है जब भाग ए भाग बी से कई गुना अधिक है, ए पूरे खंड ए + बी से कितनी गुना कम है। अनुपात ए / बी संख्या "Ф" \u003d 1.618 के बराबर है ... "गोल्डन सेक्शन" का उपयोग न केवल व्यक्तिगत पिरामिडों में, बल्कि गीज़ा में पूरे पिरामिड परिसर में दर्शाया गया है।

हालाँकि, सबसे दिलचस्प बात यह है कि चेप्स के एक ही पिरामिड में इतनी सारी अद्भुत संपत्तियाँ "नहीं" हो सकती हैं। एक निश्चित संपत्ति को एक-एक करके लेते हुए, आप इसे "समायोजित" कर सकते हैं, लेकिन एक बार में वे फिट नहीं होते - वे मेल नहीं खाते, वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं। इसलिए, यदि, उदाहरण के लिए, सभी गुणों की जाँच करते समय, शुरू में पिरामिड के आधार का एक ही पक्ष (233 मीटर) लिया जाए, तो विभिन्न गुणों वाले पिरामिडों की ऊँचाई भी भिन्न होगी। दूसरे शब्दों में, पिरामिडों का एक निश्चित "परिवार" है, जो बाह्य रूप से चेप्स के समान है, लेकिन विभिन्न गुणों के अनुरूप है। ध्यान दें कि "ज्यामितीय" गुणों में कुछ भी विशेष रूप से चमत्कारी नहीं है - आकृति के गुणों से, बहुत कुछ पूरी तरह से स्वचालित रूप से उत्पन्न होता है। एक "चमत्कार" को केवल प्राचीन मिस्रवासियों के लिए स्पष्ट रूप से असंभव चीज़ माना जाना चाहिए। इसमें, विशेष रूप से, "ब्रह्मांडीय" चमत्कार शामिल हैं, जिसमें चेप्स पिरामिड या गीज़ा पिरामिड परिसर के माप की तुलना कुछ खगोलीय मापों से की जाती है और "सम" संख्याएं इंगित की जाती हैं: दस लाख गुना, एक अरब गुना कम, और इसी तरह। आइए कुछ "लौकिक" संबंधों पर विचार करें।

इनमें से एक कथन यह है: "यदि हम पिरामिड के आधार के किनारे को वर्ष की सटीक लंबाई से विभाजित करते हैं, तो हमें पृथ्वी की धुरी का ठीक 10 मिलियनवां भाग मिलता है।" गणना करें: 233 को 365 से विभाजित करें, हमें 0.638 मिलता है। पृथ्वी की त्रिज्या 6378 किमी है।

एक अन्य कथन वास्तव में पिछले कथन के विपरीत है। एफ. नोएटलिंग ने बताया कि यदि आप उनके द्वारा आविष्कृत "मिस्र की कोहनी" का उपयोग करते हैं, तो पिरामिड का किनारा "सौर वर्ष की सबसे सटीक अवधि, एक दिन के निकटतम अरबवें हिस्से में व्यक्त" - 365.540.903.777 के अनुरूप होगा।

पी. स्मिथ का कथन: "पिरामिड की ऊंचाई पृथ्वी से सूर्य की दूरी का ठीक एक अरबवां हिस्सा है।" हालाँकि आमतौर पर 146.6 मीटर की ऊँचाई ली जाती है, स्मिथ ने इसे 148.2 मीटर के रूप में लिया। आधुनिक रडार माप के अनुसार, पृथ्वी की कक्षा की अर्ध-प्रमुख धुरी 149.597.870 + 1.6 किमी है। यह पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी है, लेकिन पेरिहेलियन पर यह एपहेलियन की तुलना में 5,000,000 किलोमीटर कम है।

अंतिम जिज्ञासु कथन:

"यह कैसे समझाया जाए कि चेप्स, खाफ़्रे और मेनक्योर के पिरामिडों का द्रव्यमान पृथ्वी, शुक्र, मंगल ग्रह के द्रव्यमान की तरह एक दूसरे से संबंधित है?" चलिए हिसाब लगाते हैं. तीन पिरामिडों का द्रव्यमान इस प्रकार संबंधित है: खफरे - 0.835; चेप्स - 1,000; मिकेरिन - 0.0915। तीन ग्रहों के द्रव्यमान का अनुपात: शुक्र - 0.815; भूमि - 1,000; मंगल - 0.108.

तो, संदेह के बावजूद, आइए बयानों के निर्माण की प्रसिद्ध सद्भाव पर ध्यान दें: 1) पिरामिड की ऊंचाई, "अंतरिक्ष में जाने वाली" रेखा के रूप में - पृथ्वी से सूर्य तक की दूरी से मेल खाती है; 2) पिरामिड के आधार का वह भाग जो "सब्सट्रेट" के सबसे करीब है, अर्थात पृथ्वी के, पृथ्वी की त्रिज्या और पृथ्वी के परिसंचरण के लिए जिम्मेदार है; 3) पिरामिड का आयतन (पढ़ें - द्रव्यमान) पृथ्वी के निकटतम ग्रहों के द्रव्यमान के अनुपात के अनुरूप है। एक समान "सिफर" का पता लगाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, मधुमक्खी की भाषा में, जिसका विश्लेषण कार्ल वॉन फ्रिस्क ने किया है। हालाँकि, हम अभी इस पर टिप्पणी करने से बचते हैं।

पिरामिडों का आकार

पिरामिडों की प्रसिद्ध चतुष्फलकीय आकृति तुरंत प्रकट नहीं हुई। सीथियनों ने मिट्टी की पहाड़ियों - बैरो के रूप में दफ़नियाँ बनाईं। मिस्रवासियों ने पत्थर की "पहाड़ियाँ" बनाईं - पिरामिड। 28वीं शताब्दी ईसा पूर्व में ऊपरी और निचले मिस्र के एकीकरण के बाद ऐसा पहली बार हुआ, जब तीसरे राजवंश के संस्थापक, फिरौन जोसर (ज़ोसर) को देश की एकता को मजबूत करने के कार्य का सामना करना पड़ा।

और यहाँ, इतिहासकारों के अनुसार, tsar की "देवीकरण की नई अवधारणा" ने केंद्रीय शक्ति को मजबूत करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। हालाँकि शाही दफ़नाने अधिक भव्यता से प्रतिष्ठित थे, वे सैद्धांतिक रूप से दरबारी रईसों की कब्रों से भिन्न नहीं थे, वे वही संरचनाएँ थीं - मस्तबास। ममी वाले ताबूत वाले कक्ष के ऊपर, छोटे पत्थरों की एक आयताकार पहाड़ी डाली गई थी, जहाँ बड़े पत्थर के खंडों की एक छोटी सी इमारत रखी गई थी - "मस्ताबा" (अरबी में - "बेंच")। अपने पूर्ववर्ती, सनाख्त के मस्तबा के स्थान पर, फिरौन जोसर ने पहला पिरामिड बनवाया। यह कदम रखा गया था और एक वास्तुशिल्प रूप से दूसरे वास्तुशिल्प रूप में, एक मस्तबा से पिरामिड तक एक दृश्यमान संक्रमणकालीन चरण था।

इस तरह, फिरौन को ऋषि और वास्तुकार इम्होटेप द्वारा "बढ़ाया" गया था, जिसे बाद में एक जादूगर माना गया और यूनानियों द्वारा भगवान एस्क्लेपियस के साथ पहचाना गया। ऐसा लग रहा था मानो एक पंक्ति में छह मस्तबा खड़े किये गये हों। इसके अलावा, पहले पिरामिड का क्षेत्रफल 1125 x 115 मीटर था, जिसकी अनुमानित ऊंचाई 66 मीटर थी (मिस्र के माप के अनुसार - 1000 "हथेलियाँ")। सबसे पहले, वास्तुकार ने एक मस्तबा बनाने की योजना बनाई, लेकिन आयताकार नहीं, बल्कि योजना में चौकोर। बाद में इसका विस्तार किया गया, लेकिन चूंकि विस्तार नीचे किया गया था, इसलिए दो सीढ़ियां बन गईं।

इस स्थिति ने वास्तुकार को संतुष्ट नहीं किया, और एक विशाल सपाट मस्तबा के शीर्ष मंच पर, इम्होटेप ने तीन और रख दिए, जो धीरे-धीरे शीर्ष की ओर कम हो रहे थे। कब्र पिरामिड के नीचे थी।

कई और चरणबद्ध पिरामिड ज्ञात हैं, लेकिन बाद में निर्माता अधिक परिचित टेट्राहेड्रल पिरामिड बनाने लगे। हालाँकि, त्रिकोणीय या कहें तो अष्टकोणीय क्यों नहीं? एक अप्रत्यक्ष उत्तर इस तथ्य से मिलता है कि लगभग सभी पिरामिड पूरी तरह से चार प्रमुख बिंदुओं पर उन्मुख हैं, और इसलिए उनकी चार भुजाएँ हैं। इसके अलावा, पिरामिड एक "घर" था, जो एक चतुर्भुज दफन कक्ष का एक खोल था।

लेकिन चेहरों के झुकाव के कोण का कारण क्या है? "अनुपात का सिद्धांत" पुस्तक में एक पूरा अध्याय इसके लिए समर्पित है: "पिरामिड के कोण क्या निर्धारित कर सकते हैं।" विशेष रूप से, यह संकेत दिया गया है कि "पुराने साम्राज्य के महान पिरामिड जिस छवि की ओर आकर्षित होते हैं वह शीर्ष पर समकोण वाला एक त्रिकोण है।

अंतरिक्ष में, यह एक अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन है: एक पिरामिड जिसमें आधार के किनारे और भुजाएं बराबर होती हैं, चेहरे समबाहु त्रिकोण होते हैं। हैम्बिज, गीक और अन्य की पुस्तकों में इस विषय पर कुछ विचार दिए गए हैं।

सेमीऑक्टाहेड्रोन के कोण का क्या लाभ है? पुरातत्वविदों और इतिहासकारों के वर्णन के अनुसार, कुछ पिरामिड अपने ही वजन से ढह गए। जिस चीज़ की आवश्यकता थी वह एक "स्थायित्व कोण" थी, एक ऐसा कोण जो ऊर्जावान रूप से सबसे विश्वसनीय था। विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य रूप से, इस कोण को सूखी रेत के ढेर में शीर्ष कोण से लिया जा सकता है। लेकिन सटीक डेटा प्राप्त करने के लिए, आपको मॉडल का उपयोग करना होगा। मजबूती से तय की गई चार गेंदों को लेते हुए, आपको उन पर पांचवीं गेंद रखनी होगी और झुकाव के कोण को मापना होगा। हालाँकि, यहां आप गलती कर सकते हैं, इसलिए, एक सैद्धांतिक गणना मदद करती है: आपको गेंदों के केंद्रों को रेखाओं (मानसिक रूप से) से जोड़ना चाहिए। आधार पर, आपको त्रिज्या के दोगुने के बराबर भुजा वाला एक वर्ग मिलता है। वर्ग पिरामिड का सिर्फ आधार होगा, जिसके किनारों की लंबाई भी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होगी।

इस प्रकार 1:4 प्रकार की गेंदों की घनी पैकिंग हमें एक नियमित अर्ध-ऑक्टाहेड्रोन देगी।

हालाँकि, कई पिरामिड, समान रूप की ओर आकर्षित होते हुए भी, इसे बरकरार क्यों नहीं रखते? संभवतः पिरामिड पुराने हो रहे हैं। प्रसिद्ध कहावत के विपरीत:

"दुनिया में हर चीज समय से डरती है, और समय पिरामिड से डरता है", पिरामिड की इमारतों की उम्र होनी चाहिए, उनमें न केवल बाहरी अपक्षय की प्रक्रियाएं हो सकती हैं, बल्कि आंतरिक "संकोचन" की प्रक्रियाएं भी हो सकती हैं, जिससे पिरामिड निचले हो सकते हैं। सिकुड़न इसलिए भी संभव है क्योंकि, जैसा कि डी. डेविडोविट्स के कार्यों से पता चला है, प्राचीन मिस्रवासी चूने के चिप्स से, दूसरे शब्दों में, "कंक्रीट" से ब्लॉक बनाने की तकनीक का इस्तेमाल करते थे। ये प्रक्रियाएं ही हैं जो काहिरा से 50 किमी दक्षिण में स्थित मेडम पिरामिड के विनाश का कारण बता सकती हैं। यह 4600 वर्ष पुराना है, आधार का आयाम 146 x 146 मीटर, ऊंचाई 118 मीटर है। वी. ज़मारोव्स्की पूछते हैं, "यह इतना विकृत क्यों है?" "समय के विनाशकारी प्रभावों और "अन्य इमारतों के लिए पत्थर के उपयोग" के सामान्य संदर्भ यहां फिट नहीं होते हैं।

आखिरकार, इसके अधिकांश ब्लॉक और फेसिंग स्लैब अभी भी अपनी जगह पर बने हुए हैं, इसके तल पर खंडहरों में। "जैसा कि हम देखेंगे, कई प्रावधान किसी को भी यह सोचने पर मजबूर कर देते हैं कि चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड भी" सिकुड़ गया "है। किसी भी मामले में, सभी प्राचीन छवियों पर, पिरामिड नुकीले हैं ...

पिरामिडों का आकार नकल द्वारा भी उत्पन्न किया जा सकता है: कुछ प्राकृतिक पैटर्न, "चमत्कारी पूर्णता", कहते हैं, अष्टफलक के रूप में कुछ क्रिस्टल।

ऐसे क्रिस्टल हीरे और सोने के क्रिस्टल हो सकते हैं। फिरौन, सूर्य, सोना, हीरा जैसी अवधारणाओं के लिए बड़ी संख्या में "प्रतिच्छेदन" संकेत विशेषता हैं। हर जगह - महान, प्रतिभाशाली (शानदार), महान, दोषरहित इत्यादि। समानताएं आकस्मिक नहीं हैं.

सौर पंथ, जैसा कि आप जानते हैं, प्राचीन मिस्र के धर्म का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था। आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में से एक, "स्काई खुफू" या "स्काई खुफू" में कहा गया है, "इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पिरामिडों में सबसे महान के नाम का अनुवाद कैसे करते हैं," इसका मतलब था कि राजा सूर्य है। यदि खुफ़ु ने अपनी शक्ति के तेज में स्वयं को दूसरा सूर्य होने की कल्पना की, तो उसका पुत्र जेडेफ़-रा मिस्र के राजाओं में से पहला बन गया, जिसने स्वयं को "रा का पुत्र", अर्थात सूर्य का पुत्र कहना शुरू किया। लगभग सभी लोगों द्वारा सूर्य को "सौर धातु", सोना के रूप में दर्शाया गया था। "चमकीले सोने की बड़ी डिस्क" - जिसे मिस्रवासी हमारे दिन का प्रकाश कहते थे। मिस्रवासी सोने को बहुत अच्छी तरह से जानते थे, वे इसके मूल स्वरूप को जानते थे, जहाँ सोने के क्रिस्टल अष्टफलक के रूप में दिखाई दे सकते हैं।

"रूपों के नमूने" के रूप में "सन स्टोन" - एक हीरा - भी यहाँ दिलचस्प है। हीरे का नाम अरब जगत से आया, "अल्मास" - सबसे कठोर, सबसे कठोर, अविनाशी। प्राचीन मिस्रवासी हीरे को जानते थे और इसके गुण काफी अच्छे हैं। कुछ लेखकों के अनुसार, उन्होंने ड्रिलिंग के लिए हीरे के कटर के साथ कांस्य पाइप का भी उपयोग किया।

दक्षिण अफ्रीका अब हीरों का मुख्य आपूर्तिकर्ता है, लेकिन पश्चिम अफ्रीका भी हीरों से समृद्ध है। माली गणराज्य के क्षेत्र को वहां "डायमंड लैंड" भी कहा जाता है। इस बीच, यह माली के क्षेत्र में है कि डोगोन रहते हैं, जिनके साथ पेलियोविसिट परिकल्पना के समर्थक कई उम्मीदें रखते हैं (नीचे देखें)। प्राचीन मिस्रवासियों के इस क्षेत्र से संपर्क का कारण हीरे नहीं हो सकते। हालाँकि, एक तरह से या किसी अन्य, यह संभव है कि हीरे और सोने के क्रिस्टल के अष्टधातु की नकल करके ही प्राचीन मिस्रवासियों ने फिरौन को हीरे की तरह "अविनाशी" और सोने की तरह "शानदार" सूर्य के पुत्रों के रूप में प्रतिष्ठित किया, जिनकी तुलना केवल प्रकृति की सबसे अद्भुत रचनाओं से की जा सकती है।

निष्कर्ष:

एक ज्यामितीय निकाय के रूप में पिरामिड का अध्ययन करने, उसके तत्वों और गुणों से परिचित होने के बाद, हम पिरामिड के आकार की सुंदरता के बारे में राय की वैधता के बारे में आश्वस्त हुए।

हमारे शोध के परिणामस्वरूप, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि मिस्रवासियों ने, सबसे मूल्यवान गणितीय ज्ञान एकत्र करके, इसे एक पिरामिड में समाहित किया। इसलिए, पिरामिड वास्तव में प्रकृति और मनुष्य की सबसे उत्तम रचना है।

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ज्यामिति का अध्ययन करने से बहुत पहले छात्रों को पिरामिड की अवधारणा का सामना करना पड़ता है। विश्व के प्रसिद्ध मिस्र के महान अजूबों को दोष दें। इसलिए, इस अद्भुत बहुफलक का अध्ययन शुरू करते समय, अधिकांश छात्र पहले से ही इसकी स्पष्ट रूप से कल्पना करते हैं। उपरोक्त सभी दृश्य सही स्थिति में हैं। क्या हुआ है सही पिरामिड, और इसमें क्या गुण हैं और इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

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परिभाषा

पिरामिड की कई परिभाषाएँ हैं। प्राचीन काल से ही यह बहुत लोकप्रिय रहा है।

उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने इसे एक ठोस आकृति के रूप में परिभाषित किया, जिसमें विमान शामिल हैं, जो एक से शुरू होकर एक निश्चित बिंदु पर एकत्रित होते हैं।

हेरॉन ने अधिक सटीक सूत्रीकरण प्रदान किया। उन्होंने जोर देकर कहा कि यह एक आंकड़ा है त्रिभुज के रूप में एक आधार और तल है,एक बिंदु पर एकत्रित होना।

आधुनिक व्याख्या के आधार पर, पिरामिड को एक स्थानिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसमें एक निश्चित के-गॉन और के फ्लैट त्रिकोणीय आंकड़े होते हैं, जिसमें एक सामान्य बिंदु होता है।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें, इसमें कौन से तत्व शामिल हैं?

• के-गॉन को चित्र का आधार माना जाता है;
• 3-कोण वाली आकृतियाँ पार्श्व भाग की भुजाओं के रूप में उभरी हुई हैं;
• ऊपरी भाग, जहाँ से पार्श्व तत्वों की उत्पत्ति होती है, शीर्ष कहलाता है;
• शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड किनारों कहलाते हैं;
• यदि एक सीधी रेखा को ऊपर से चित्र के तल तक 90 डिग्री के कोण पर उतारा जाए, तो आंतरिक स्थान में घिरा उसका भाग पिरामिड की ऊंचाई है;
• हमारे बहुफलक के किनारे के किसी भी पार्श्व तत्व में, आप एक लंब खींच सकते हैं, जिसे एपोथेम कहा जाता है।

किनारों की संख्या की गणना सूत्र 2*k का उपयोग करके की जाती है, जहां k, k-गोन की भुजाओं की संख्या है। पिरामिड जैसे बहुफलक के कितने फलक हैं यह अभिव्यक्ति k + 1 द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण!एक नियमित आकार का पिरामिड एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति है जिसका आधार तल समान भुजाओं वाला k-गॉन है।

बुनियादी गुण

सही पिरामिड अनेक गुण हैंजो उसके लिए अद्वितीय हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

1. आधार सही रूप का एक चित्र है.
2. पिरामिड के किनारों, पार्श्व तत्वों को सीमित करते हुए, समान संख्यात्मक मान हैं।
3. पार्श्व तत्व समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
4. आकृति की ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र में पड़ता है, जबकि यह एक साथ अंकित और वर्णित का केंद्रीय बिंदु है।
5. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार तल पर एक ही कोण पर झुकी हुई हैं।
6. आधार के संबंध में सभी पार्श्व सतहों का झुकाव कोण समान है।

सभी सूचीबद्ध गुणों के लिए धन्यवाद, तत्व गणना का प्रदर्शन बहुत सरल हो गया है। उपरोक्त गुणों के आधार पर हम ध्यान देते हैं दो संकेत:

1. ऐसी स्थिति में जब बहुभुज एक वृत्त में फिट बैठता है, तो पार्श्व फलकों का आधार के साथ समान कोण होगा।
2. बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते समय, शीर्ष से निकलने वाले पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई समान होगी और आधार के साथ कोण समान होंगे।

वर्ग आधारित है

नियमित चतुर्भुज पिरामिड - एक वर्ग पर आधारित बहुफलक।

इसके चार पार्श्व फलक हैं, जो दिखने में समद्विबाहु हैं।

एक समतल पर, एक वर्ग को दर्शाया गया है, लेकिन वे एक नियमित चतुर्भुज के सभी गुणों पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, यदि किसी वर्ग की भुजा को उसके विकर्ण से जोड़ना आवश्यक है, तो निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: विकर्ण वर्ग की भुजा और दो के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है।

एक नियमित त्रिभुज पर आधारित

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड एक बहुफलक है जिसका आधार एक नियमित 3-गॉन है।

यदि आधार एक नियमित त्रिभुज है, और पार्श्व किनारे आधार के किनारों के बराबर हैं, तो ऐसी आकृति चतुष्फलक कहलाता है।

चतुष्फलक के सभी फलक समबाहु 3-गॉन होते हैं। इस मामले में, आपको कुछ बिंदुओं को जानना होगा और गणना करते समय उन पर समय बर्बाद नहीं करना होगा:

• किसी भी आधार पर पसलियों के झुकाव का कोण 60 डिग्री है;
• सभी आंतरिक फलकों का मान भी 60 डिग्री है;
• कोई भी चेहरा आधार के रूप में कार्य कर सकता है;
• आकृति के अंदर समान तत्व खींचे गए हैं।

एक बहुफलक के अनुभाग

किसी भी बहुफलक में होते हैं कई प्रकार के अनुभागविमान। अक्सर स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम में वे दो के साथ काम करते हैं:

• अक्षीय;
• समानांतर आधार.

एक अक्षीय खंड एक पॉलीहेड्रॉन को एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करके प्राप्त किया जाता है जो शीर्ष, पार्श्व किनारों और अक्ष से होकर गुजरता है। इस मामले में, अक्ष शीर्ष से खींची गई ऊँचाई है। काटने वाला तल सभी फलकों के साथ प्रतिच्छेदन रेखाओं द्वारा सीमित होता है, परिणामस्वरूप हमें एक त्रिभुज मिलता है।

ध्यान!एक नियमित पिरामिड में, अक्षीय खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

यदि काटने वाला विमान आधार के समानांतर चलता है, तो परिणाम दूसरा विकल्प है। इस मामले में, हमारे पास आधार के समान एक आकृति का संदर्भ है।

उदाहरण के लिए, यदि आधार एक वर्ग है, तो आधार के समानांतर अनुभाग भी एक वर्ग होगा, केवल छोटे आकार का।

इस स्थिति के तहत समस्याओं को हल करते समय, आकृतियों की समानता के संकेतों और गुणों का उपयोग किया जाता है, थेल्स प्रमेय पर आधारित. सबसे पहले, समानता के गुणांक को निर्धारित करना आवश्यक है।

यदि विमान को आधार के समानांतर खींचा जाता है, और यह पॉलीहेड्रॉन के ऊपरी हिस्से को काट देता है, तो निचले हिस्से में एक नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड प्राप्त होता है। तब काटे गए बहुफलक के आधारों को समान बहुभुज कहा जाता है। इस मामले में, पार्श्व फलक समद्विबाहु समलम्बाकार हैं। अक्षीय खंड भी समद्विबाहु है।

एक काटे गए पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए, एक अक्षीय खंड में, यानी एक ट्रेपेज़ॉइड में ऊंचाई खींचना आवश्यक है।

सतही क्षेत्र

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हल की जाने वाली मुख्य ज्यामितीय समस्याएं हैं पिरामिड का सतह क्षेत्र और आयतन ज्ञात करना।

सतह क्षेत्र दो प्रकार के होते हैं:

• पार्श्व तत्वों का क्षेत्र;
• संपूर्ण सतह क्षेत्र.

शीर्षक से ही स्पष्ट है कि यह किस बारे में है। पार्श्व सतह में केवल पार्श्व तत्व शामिल हैं। इससे यह पता चलता है कि इसे खोजने के लिए, आपको बस पार्श्व तलों के क्षेत्रफलों को जोड़ना होगा, यानी समद्विबाहु 3-गॉन के क्षेत्रफलों को। आइए पार्श्व तत्वों के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करें:

1. एक समद्विबाहु 3-गॉन का क्षेत्रफल Str=1/2(aL) है, जहां a आधार का पक्ष है, L एपोथेम है।
2. पार्श्व तलों की संख्या आधार पर के-गॉन के प्रकार पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में चार पार्श्व तल होते हैं। इसलिए, चार आकृतियों Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L के क्षेत्रफलों को जोड़ना आवश्यक है। अभिव्यक्ति को इस तरह से सरल बनाया गया है क्योंकि मान 4a=POS, जहां POS आधार की परिधि है। और अभिव्यक्ति 1/2 * रोसन इसकी अर्ध-परिधि है।
3. तो, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक नियमित पिरामिड के पार्श्व तत्वों का क्षेत्रफल आधार के अर्ध-परिधि और एपोथेम के उत्पाद के बराबर है: Sside \u003d Rosn * L।

पिरामिड की पूरी सतह का क्षेत्रफल पार्श्व तलों और आधार के क्षेत्रफलों के योग से बनता है: Sp.p. = Sside + Sbase।

जहाँ तक आधार के क्षेत्रफल की बात है तो यहाँ बहुभुज के प्रकार के अनुसार सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड का आयतनआधार समतल क्षेत्र और ऊंचाई को तीन से विभाजित करने के गुणनफल के बराबर है: V=1/3*Sbase*H, जहां H बहुफलक की ऊंचाई है।

ज्यामिति में नियमित पिरामिड क्या है?

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के गुण