एक स्थानिक आकृति का कुल सतह क्षेत्र एक नियमित प्रिज्म है। प्रिज्म आधार क्षेत्र: त्रिकोणीय से बहुभुज

समानांतर तलों में स्थित बहुभुज ABCDE और FHKMP को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे के तल पर गिराए गए लंबवत OO 1 को प्रिज्म की ऊंचाई कहा जाता है। समांतर चतुर्भुज ABHF, BCKH आदि। प्रिज्म के पार्श्व फलक कहलाते हैं, और आधारों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाली उनकी भुजाएँ CK, DM इत्यादि पार्श्व किनारे कहलाती हैं। एक प्रिज्म में, सभी पार्श्व किनारे समानांतर समतलों के बीच घिरे समानांतर सीधी रेखाओं के खंडों के रूप में एक दूसरे के बराबर होते हैं।
प्रिज्म को सीधी रेखा कहा जाता है ( चित्र.282,बी) या तिरछा ( चित्र.282, में) यह इस पर निर्भर करता है कि इसके पार्श्व किनारे आधारों से लंबवत हैं या झुके हुए हैं। एक सीधे प्रिज्म में, पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। पार्श्व किनारे को ऐसे प्रिज्म की ऊंचाई के रूप में लिया जा सकता है।
एक लंब प्रिज्म को नियमित प्रिज्म कहा जाता है यदि इसका आधार नियमित बहुभुज हो। ऐसे प्रिज्म में, सभी पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।
एक जटिल चित्र में एक प्रिज्म को चित्रित करने के लिए, किसी को उन तत्वों को जानना और चित्रित करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें यह शामिल है (एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक सपाट आकृति)।
और एकीकृत ड्राइंग में उनकी छवि (चित्र 283, ए - आई)

क) एक प्रिज्म का जटिल चित्रण। प्रिज्म का आधार प्रक्षेपण तल P 1 पर स्थित है; प्रिज्म का एक पार्श्व फलक प्रक्षेपण तल П 2 के समानांतर है।
बी) प्रिज्म डीईएफ का निचला आधार एक सपाट आकृति है - विमान पी 1 में स्थित एक नियमित त्रिकोण; त्रिभुज DE की भुजा x-अक्ष 12 के समानांतर है - क्षैतिज प्रक्षेपण दिए गए आधार के साथ विलीन हो जाता है और इसलिए, इसके प्राकृतिक आकार के बराबर है; ललाट प्रक्षेपण x12 अक्ष के साथ विलीन हो जाता है और प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर होता है।
ग) प्रिज्म एबीसी का ऊपरी आधार एक सपाट आकृति है - क्षैतिज तल में स्थित एक त्रिकोण। क्षैतिज प्रक्षेपण निचले आधार के प्रक्षेपण के साथ विलीन हो जाता है और इसे अपने साथ ढक लेता है, क्योंकि प्रिज्म सीधा है; ललाट प्रक्षेपण - प्रिज्म की ऊंचाई की दूरी पर, x 12 अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा।
d) ABED प्रिज्म का पार्श्व फलक एक सपाट आकृति है - ललाट तल में स्थित एक आयत। ललाट प्रक्षेपण - चेहरे के प्राकृतिक आकार के बराबर एक आयत; क्षैतिज प्रक्षेपण - प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर एक सीधी रेखा।
ई) और एफ) प्रिज्म एसीएफडी और सीबीईएफ के पार्श्व फलक समतल आकृतियाँ हैं - प्रक्षेपण तल पी 2 से 60 डिग्री के कोण पर स्थित क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमानों में स्थित आयतें। क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखाएँ हैं जो x-अक्ष 12 से 60° के कोण पर स्थित हैं, और प्रिज्म के आधार के किनारों के प्राकृतिक आकार के बराबर हैं; ललाट प्रक्षेपण - आयतें, जिनकी छवि प्राकृतिक आकार से छोटी होती है: प्रत्येक आयत की दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं।
छ) प्रिज्म का किनारा AD प्रक्षेपण के तल P 1 के लंबवत एक सीधी रेखा है। क्षैतिज प्रक्षेपण - बिंदु; ललाट - x 12 अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा, प्रिज्म के पार्श्व किनारे (प्रिज्म की ऊंचाई) के बराबर।
ज) ऊपरी आधार की भुजा AB एक सीधी रेखा है, जो समतल P 1 और P 2 के समानांतर है। क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण सीधे, x12 अक्ष के समानांतर और प्रिज्म के दिए गए आधार के किनारे के बराबर होते हैं। ललाट प्रक्षेपण को प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर दूरी पर एक्स-अक्ष से 12 द्वारा अलग किया जाता है।
i) प्रिज्म के शीर्ष. बिंदु E - निचले आधार का शीर्ष समतल P 1 पर स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है; ललाट - x 12 अक्ष पर स्थित है। बिंदु C - ऊपरी आधार का शीर्ष - अंतरिक्ष में स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण में गहराई होती है; ललाट - किसी दिए गए प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर ऊंचाई।
यह संकेत करता है: किसी भी बहुफलक को डिज़ाइन करते समय, किसी को मानसिक रूप से उसे उसके घटक तत्वों में विभाजित करना चाहिए और उनके प्रतिनिधित्व का क्रम निर्धारित करना चाहिए, जिसमें क्रमिक ग्राफिक संचालन शामिल हैं।(चित्र 284 और चित्र 285) में प्रिज्म की एक जटिल ड्राइंग और एक दृश्य छवि (एक्सोनोमेट्री) करते समय अनुक्रमिक ग्राफिक संचालन के उदाहरण दिखाए जाते हैं।
(चित्र 284)।

दिया गया:
1. आधार प्रक्षेपण तल P 1 पर स्थित है।
2. आधार का कोई भी पक्ष x12 अक्ष के समानांतर नहीं है।
I. एकीकृत ड्राइंग।
मैं एक। हम निचले आधार को डिज़ाइन करते हैं - एक बहुभुज, जो स्थिति के अनुसार, विमान पी 1 में स्थित है।
मैं, बी. हम ऊपरी आधार को डिज़ाइन करते हैं - निचले आधार के बराबर एक बहुभुज जिसकी भुजाएं निचले आधार के समानांतर होती हैं, जो इस प्रिज्म की ऊंचाई एच द्वारा निचले आधार से दूरी पर होती है।
I C। हम प्रिज्म के पार्श्व किनारों को डिज़ाइन करते हैं - समानांतर में स्थित खंड; उनके क्षैतिज प्रक्षेपण वे बिंदु हैं जो आधारों के शीर्ष के प्रक्षेपणों के साथ विलीन हो जाते हैं; ललाट - एक ही नाम के आधारों के शीर्षों के प्रक्षेपण की सीधी रेखाओं के कनेक्शन से प्राप्त खंड (समानांतर)। निचले आधार के शीर्ष बी और सी के प्रक्षेपण से खींची गई पसलियों के ललाट प्रक्षेपण को धराशायी रेखाओं द्वारा अदृश्य के रूप में दर्शाया गया है।
मैं, श्रीमान दिया गया है: ऊपरी आधार पर बिंदु F का क्षैतिज प्रक्षेपण F 1 और पार्श्व फलक पर बिंदु K का ललाट प्रक्षेपण K 2। उनके दूसरे प्रक्षेपण के स्थानों को निर्धारित करना आवश्यक है।
बिंदु F के लिए. बिंदु F का दूसरा (ललाट) प्रक्षेपण F 2 ऊपरी आधार के प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, इस आधार के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान संचार की ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा निर्धारित होता है।
बिंदु K के लिए - बिंदु K का दूसरा (क्षैतिज) प्रक्षेपण K 1, पार्श्व चेहरे के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, चेहरे के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान संचार की ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा निर्धारित होता है।
द्वितीय. प्रिज्म सतह का खुलना- पार्श्व फलकों से बनी एक सपाट आकृति - आयत, जिसमें दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं, और अन्य दो आधार की संगत भुजाओं के बराबर होती हैं, और दो आधार एक दूसरे के बराबर होते हैं - अनियमित बहुभुज।
स्वीप के निर्माण के लिए आवश्यक आधारों और किनारों के प्राकृतिक आयाम, अनुमानों पर प्रकट होते हैं; उन पर और हम निर्माण करते हैं; एक सीधी रेखा पर, हम क्रमिक रूप से बहुभुज की भुजाओं AB, BC, CD, DE और EA को अलग रखते हैं - क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए प्रिज्म के आधार। बिंदु ए, बी, सी, डी, ई और ए से खींचे गए लंबों पर, हम ललाट प्रक्षेपण से ली गई इस प्रिज्म की ऊंचाई एच को अलग रखते हैं और निशानों के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। परिणामस्वरूप, हमें प्रिज्म के पार्श्व फलकों का विकास प्राप्त होता है।
यदि हम प्रिज्म के आधारों को इस स्कैन से जोड़ते हैं, तो हमें प्रिज्म की पूरी सतह का स्कैन मिलता है। प्रिज्म के आधारों को त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके संबंधित पार्श्व फलक से जोड़ा जाना चाहिए।
प्रिज्म के ऊपरी आधार पर, त्रिज्या R और R 1 का उपयोग करके, हम बिंदु F का स्थान निर्धारित करते हैं, और पार्श्व फलक पर, त्रिज्या R 3 और H 1 का उपयोग करके, बिंदु K निर्धारित करते हैं।
तृतीय. डिमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए. हम प्रिज्म के निचले आधार को बिंदु A, B, C, D और E के निर्देशांक के साथ चित्रित करते हैं (चित्र 284 I, a)।
तृतीय, बी. हम ऊपरी आधार को निचले आधार के समानांतर दर्शाते हैं, जो प्रिज्म की ऊँचाई H से दूरी पर है।
तृतीय, सी. हम पार्श्व किनारों को चित्रित करते हैं, जिसके लिए हम आधारों के संगत शीर्षों को सीधी रेखाओं से जोड़ते हैं। हम प्रिज्म के दृश्य और अदृश्य तत्वों को निर्धारित करते हैं और उन्हें संबंधित रेखाओं से रेखांकित करते हैं,
III, डी. हम प्रिज्म की सतह पर बिंदु F और K निर्धारित करते हैं - बिंदु F - ऊपरी आधार पर आयाम i और e का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है; बिंदु K - पार्श्व फलक पर i 1 और H" का उपयोग करते हुए।
किसी प्रिज्म की सममितीय छवि के लिए और बिंदु F और K के स्थान निर्धारित करने के लिए, उसी क्रम का पालन किया जाना चाहिए।
चित्र.285).

दिया गया:
1. आधार समतल P 1 पर स्थित है।
2. पार्श्व पसलियां समतल पी 2 के समानांतर हैं।
3. आधार का कोई भी पक्ष x-अक्ष 12 के समानांतर नहीं है
I. एकीकृत ड्राइंग।
मैं एक। हम इस स्थिति के अनुसार डिजाइन करते हैं: निचला आधार पी 1 विमान में स्थित एक बहुभुज है, और पार्श्व किनारा पी 2 विमान के समानांतर एक खंड है और पी 1 विमान की ओर झुका हुआ है।
मैं, बी. हम शेष किनारे के किनारों को डिज़ाइन करते हैं - पहले किनारे सीई के बराबर और समानांतर खंड।
I C। प्रिज्म के ऊपरी आधार को निचले आधार के बराबर और समानांतर बहुभुज के रूप में डिज़ाइन करते हुए, हमें प्रिज्म का एक जटिल चित्र प्राप्त होता है।
हम अनुमानों पर अदृश्य तत्वों को प्रकट करते हैं। बीएम रिब के ललाट प्रक्षेपण और आधार सीडी के किनारे के क्षैतिज प्रक्षेपण को धराशायी रेखाओं द्वारा अदृश्य के रूप में दर्शाया गया है।
I, d. पार्श्व चेहरे के प्रक्षेपण A 2 K 2 F 2 D 2 पर बिंदु Q के ललाट प्रक्षेपण Q 2 को देखते हुए; आपको इसका क्षैतिज प्रक्षेपण खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम प्रिज्म के चेहरे के प्रक्षेपण ए 2 के 2 एफ 2 डी 2 में बिंदु क्यू 2 के माध्यम से इस चेहरे के पार्श्व किनारों के समानांतर एक सहायक सीधी रेखा खींचते हैं। हम सहायक रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं और उस पर, संचार की ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग करके, हम बिंदु Q के वांछित क्षैतिज प्रक्षेपण Q 1 का स्थान निर्धारित करते हैं।
द्वितीय. प्रिज्म की सतह का स्कैन।
क्षैतिज प्रक्षेपण पर आधार के किनारों के प्राकृतिक आयाम और ललाट प्रक्षेपण पर पसलियों के आयाम होने से, इस प्रिज्म की सतह का पूर्ण खुलासा करना संभव है।
हम प्रिज्म को रोल करेंगे, इसे हर बार पार्श्व किनारे के चारों ओर घुमाएंगे, फिर समतल पर प्रिज्म का प्रत्येक पार्श्व फलक अपने प्राकृतिक आकार के बराबर एक निशान (समानांतर चतुर्भुज) छोड़ देगा। हम निम्नलिखित क्रम में एक साइड स्वीप बनाएंगे:
ए) बिंदु ए 2, बी 2, डी 2 से। . . ई 2 (आधारों के शीर्ष के ललाट प्रक्षेपण) हम पसलियों के प्रक्षेपण के लिए लंबवत सहायक सीधी रेखाएं खींचते हैं;
बी) त्रिज्या आर (आधार सीडी के किनारे के बराबर) के साथ हम बिंदु डी 2 से खींची गई सहायक सीधी रेखा पर बिंदु डी पर एक पायदान बनाते हैं; सीधे बिंदुओं सी 2 और डी को जोड़ने और ई 2 सी 2 और सी 2 डी के समानांतर सीधी रेखाएं खींचने पर, हमें साइड फेस सीईएफडी मिलता है;
ग) फिर, इसी तरह निम्नलिखित पार्श्व फलकों को जोड़कर, हम प्रिज्म के पार्श्व फलकों का विकास प्राप्त करते हैं। इस प्रिज्म की सतह का पूरा स्वीप प्राप्त करने के लिए, हम इसे आधार के संबंधित चेहरों से जोड़ते हैं।
तृतीय. आइसोमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए. हम प्रिज्म के निचले आधार और किनारे CE को निर्देशांक के अनुसार चित्रित करते हैं (

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सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी

प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) कहलाती है जोड़पार्श्व चेहरे के क्षेत्र. प्रिज्म की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होती है।

प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात पार्श्व किनारे की लंबाई।

सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई पार्श्व किनारों की लंबाई के बराबर है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रिज्म की पार्श्व सतह बराबर होती है

एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,

जहां a 1 और n आधार की पसलियों की लंबाई हैं, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व पसलियों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

व्यावहारिक कार्य

कार्य (22) . एक झुके हुए प्रिज्म में अनुभाग, पार्श्व किनारों के लंबवत और सभी पार्श्व किनारों को काटते हुए। यदि अनुभाग की परिधि p है और पार्श्व किनारे l हैं तो प्रिज्म की पार्श्व सतह ज्ञात करें।

समाधान। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को समानांतर अनुवाद के अधीन करें जो प्रिज्म के आधारों को जोड़ता है। इस मामले में, हमें एक सीधा प्रिज्म मिलता है, जिसमें मूल प्रिज्म का खंड आधार के रूप में कार्य करता है, और किनारे के किनारे एल के बराबर होते हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह मूल प्रिज्म के समान ही है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर है।

विषय का सामान्यीकरण

और अब आइए आपके साथ प्रिज्म के विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में क्या गुण हैं।

प्रिज्म गुण

सबसे पहले, एक प्रिज्म के लिए, उसके सभी आधार समान बहुभुज होते हैं;
दूसरे, एक प्रिज्म के लिए, उसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;
तीसरा, प्रिज्म जैसी बहुआयामी आकृति में, सभी किनारे बराबर होते हैं;

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रा सीधे और झुके हुए हो सकते हैं।

सीधा प्रिज्म क्या है?

यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल पर लंबवत है, तो ऐसे प्रिज्म को सीधी रेखा कहा जाता है।

यह स्मरण करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।

तिरछा प्रिज्म क्या है?

लेकिन यदि प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।

सही प्रिज्म क्या है?

यदि एक नियमित बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म नियमित होता है।

आइए अब उन गुणों को याद करें जो एक नियमित प्रिज्म में होते हैं।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

सबसे पहले, नियमित बहुभुज हमेशा एक नियमित प्रिज्म के आधार के रूप में काम करते हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे सदैव समान आयत होते हैं;
तीसरा, यदि हम पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो सही प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, एक नियमित प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पांचवां, यदि किसी नियमित प्रिज्म में पार्श्व फलक वर्गों के रूप में हों, तो ऐसी आकृति को, नियम के रूप में, अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रिज्म अनुभाग

आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:

गृहकार्य

और अब आइए समस्याओं को हल करके अध्ययन किए गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।

आइए एक झुका हुआ त्रिकोणीय प्रिज्म बनाएं, जिसके किनारों के बीच की दूरी होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी2 के बराबर होगी। इन मापदंडों के साथ, दिए गए प्रिज्म का पार्श्व किनारा ढूंढें।

क्या आप जानते हैं कि ज्यामितीय आकृतियाँ न केवल ज्यामिति पाठों में हमें घेरती रहती हैं, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में भी ऐसी वस्तुएँ होती हैं जो किसी न किसी ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती होती हैं।

प्रत्येक घर, स्कूल या कार्यस्थल पर एक कंप्यूटर होता है, जिसकी सिस्टम यूनिट एक सीधे प्रिज्म के रूप में होती है।

यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाएंगे तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।

शहर की मुख्य सड़क पर चलते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल पड़ी है जिसका आकार षट्कोणीय प्रिज्म जैसा है।

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

विभिन्न प्रिज्म एक दूसरे से भिन्न होते हैं। साथ ही, उनमें बहुत सी समानताएं हैं। किसी प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको यह पता लगाना होगा कि यह किस प्रकार का दिखता है।

सामान्य सिद्धांत

प्रिज्म कोई भी बहुफलक होता है जिसकी भुजाएँ एक समांतर चतुर्भुज के आकार की होती हैं। इसके अलावा, कोई भी बहुफलक इसके आधार पर हो सकता है - एक त्रिकोण से एक एन-गॉन तक। इसके अलावा, प्रिज्म के आधार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। पार्श्व चेहरों पर क्या लागू नहीं होता - वे आकार में काफी भिन्न हो सकते हैं।

समस्याओं को हल करते समय, केवल प्रिज्म के आधार का क्षेत्र ही सामने नहीं आता है। पार्श्व सतह को जानना आवश्यक हो सकता है, अर्थात वे सभी फलक जो आधार नहीं हैं। पूरी सतह पहले से ही उन सभी चेहरों का मिलन होगी जो प्रिज्म बनाते हैं।

कभी-कभी कार्यों में ऊंचाइयां दिखाई देने लगती हैं। यह आधारों के लंबवत है। एक बहुफलक का विकर्ण एक खंड है जो किन्हीं दो शीर्षों को जोड़े में जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे या झुके हुए प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल उनके और पार्श्व फलकों के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। यदि उनके ऊपरी और निचले फलकों में समान आकृतियाँ हैं, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।

त्रिकोणीय प्रिज्म

इसके आधार पर तीन शीर्षों वाली एक आकृति है, अर्थात एक त्रिभुज। यह अलग माना जाता है. यदि तब यह याद रखना पर्याप्त है कि इसका क्षेत्रफल पैरों के आधे उत्पाद से निर्धारित होता है।

गणितीय अंकन इस तरह दिखता है: S = ½ av.

आधार का क्षेत्रफल सामान्य रूप में ज्ञात करने के लिए सूत्र उपयोगी हैं: बगुला और वह जिसमें आधी भुजा को खींची गई ऊँचाई तक ले जाया जाता है।

पहला सूत्र इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c))। इस प्रविष्टि में एक अर्ध-परिधि (p) शामिल है, अर्थात, तीन भुजाओं का योग दो से विभाजित होता है।

दूसरा: एस = ½ एन ए * ए।

यदि आप किसी त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल जानना चाहते हैं, जो समबाहु है, तो त्रिभुज समबाहु बनता है। इसका अपना सूत्र है: S = ¼ a 2 * √3.

चतुर्भुज प्रिज्म

इसका आधार ज्ञात चतुर्भुजों में से कोई एक है। यह एक आयत या वर्ग, एक समांतर चतुर्भुज या एक समचतुर्भुज हो सकता है। प्रत्येक मामले में, प्रिज्म के आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको अपने स्वयं के सूत्र की आवश्यकता होगी।

यदि आधार एक आयत है, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: S = av, जहाँ a, b आयत की भुजाएँ हैं।

जब चतुर्भुज प्रिज्म की बात आती है, तो एक नियमित प्रिज्म के आधार क्षेत्र की गणना एक वर्ग के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। क्योंकि वही आधार पर स्थित है। एस = ए 2.

मामले में जब आधार एक समानांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता होगी: S \u003d a * n a। ऐसा होता है कि समांतर चतुर्भुज की एक भुजा और एक कोण दिया गया है। फिर, ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: na \u003d b * पाप ए। इसके अलावा, कोण ए पक्ष "बी" के निकट है, और ऊंचाई इस कोण के विपरीत है।

यदि एक समचतुर्भुज प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो उसके क्षेत्रफल को निर्धारित करने के लिए उसी सूत्र की आवश्यकता होगी जो एक समांतर चतुर्भुज के लिए होता है (क्योंकि यह उसका एक विशेष मामला है)। लेकिन आप इसका भी उपयोग कर सकते हैं: एस = ½ डी 1 डी 2। यहाँ d 1 और d 2 समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।

नियमित पंचकोणीय प्रिज्म

इस मामले में बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना शामिल है, जिनके क्षेत्रफल का पता लगाना आसान है। हालाँकि ऐसा होता है कि आंकड़े अलग-अलग संख्या में शीर्षों के साथ हो सकते हैं।

चूँकि प्रिज्म का आधार एक नियमित पंचभुज है, इसे पाँच समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। फिर प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ऐसे एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है (सूत्र ऊपर देखा जा सकता है), पांच से गुणा किया जाता है।

नियमित षट्कोणीय प्रिज्म

पंचकोणीय प्रिज्म के लिए वर्णित सिद्धांत के अनुसार आधार षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना संभव है। ऐसे प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र पिछले प्रिज्म के समान है। इसमें केवल छह से गुणा करना चाहिए।

सूत्र इस तरह दिखेगा: S = 3/2 और 2 * √3.

कार्य

नंबर 1. एक नियमित सीधी रेखा दी गई है। इसका विकर्ण 22 सेमी है, पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म के आधार और पूरी सतह के क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, लेकिन इसकी भुजा ज्ञात नहीं है। आप इसका मान वर्ग (x) के विकर्ण से ज्ञात कर सकते हैं, जो प्रिज्म के विकर्ण (d) और इसकी ऊँचाई (n) से संबंधित है। एक्स 2 = डी 2 - एन 2। दूसरी ओर, यह खंड "x" एक त्रिभुज में कर्ण है जिसके पैर वर्ग की भुजा के बराबर हैं। यानी x 2 = a 2 + a 2। इस प्रकार, यह पता चला है कि ए 2 \u003d (डी 2 - एन 2) / 2।

D के स्थान पर संख्या 22 रखें, और "n" को इसके मान - 14 से बदलें, यह पता चलता है कि वर्ग की भुजा 12 सेमी है। अब आधार क्षेत्र ज्ञात करना आसान है: 12 * 12 \u003d 144 सेमी 2।

संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको आधार क्षेत्रफल का मान दोगुना और भुजा का चौगुना जोड़ना होगा। उत्तरार्द्ध को आयत के सूत्र द्वारा खोजना आसान है: पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई और आधार के किनारे को गुणा करें। यानी 14 और 12, यह संख्या 168 सेमी 2 के बराबर होगी। प्रिज्म का कुल सतह क्षेत्रफल 960 सेमी 2 पाया गया।

उत्तर।प्रिज्म का आधार क्षेत्रफल 144 सेमी2 है। संपूर्ण सतह - 960 सेमी 2।

संख्या 2. दाना आधार पर 6 सेमी भुजा वाला एक त्रिभुज है। इस मामले में, पार्श्व फलक का विकर्ण 10 सेमी है। क्षेत्रफलों की गणना करें: आधार और पार्श्व सतह।

समाधान।चूँकि प्रिज्म नियमित है, इसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल ¼ के 6 वर्ग गुना और 3 के वर्गमूल के बराबर होता है। एक सरल गणना से परिणाम मिलता है: 9√3 सेमी 2। यह प्रिज्म के एक आधार का क्षेत्र है.

सभी पार्श्व फलक समान हैं और 6 और 10 सेमी की भुजाओं वाले आयत हैं। उनके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, इन संख्याओं को गुणा करना पर्याप्त है। फिर उन्हें तीन से गुणा करें, क्योंकि प्रिज्म में बिल्कुल इतने ही पार्श्व फलक हैं। फिर पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 घाव है।

उत्तर।क्षेत्रफल: आधार - 9√3 सेमी 2, प्रिज्म की पार्श्व सतह - 180 सेमी 2।

बहुकोणीय आकृति

स्टीरियोमेट्री के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य त्रि-आयामी निकाय हैं। शरीरकिसी सतह से घिरा हुआ अंतरिक्ष का एक हिस्सा है।

बहुतलवह पिंड जिसकी सतह पर सीमित संख्या में समतल बहुभुज होते हैं, कहलाता है। एक बहुफलक को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपनी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित हो। ऐसे समतल के उभयनिष्ठ भाग और बहुफलक की सतह को कहा जाता है किनारा. उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारे कहलाते हैं बहुफलक के किनारे, और शीर्ष बहुफलक के शीर्ष.

उदाहरण के लिए, एक घन में छह वर्ग होते हैं जो उसके फलक होते हैं। इसमें 12 किनारे (वर्गों की भुजाएँ) और 8 शीर्ष (वर्गों के शीर्ष) हैं।

सबसे सरल पॉलीहेड्रा प्रिज्म और पिरामिड हैं, जिनका हम आगे अध्ययन करेंगे।

चश्मे

प्रिज्म की परिभाषा और गुण

चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसमें समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त समानांतर विमानों में स्थित दो सपाट बहुभुज होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म आधार, और बहुभुजों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के पार्श्व किनारे.

प्रिज्म की ऊंचाईइसके आधारों के तलों के बीच की दूरी कहलाती है ()। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला वह खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण(). प्रिज्म कहा जाता है n-कोयलायदि इसका आधार एन-गॉन है।

किसी भी प्रिज्म में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो इस तथ्य से पता चलता है कि प्रिज्म के आधार समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं:

1. प्रिज्म के आधार बराबर हैं।

2. प्रिज्म के पार्श्व किनारे समानांतर और बराबर होते हैं।

प्रिज्म की सतह आधारों और से बनी होती है पार्श्व सतह. प्रिज्म की पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं (यह प्रिज्म के गुणों से पता चलता है)। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहा जाता है सीधायदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा, प्रिज्म कहा जाता है परोक्ष.

एक सीधे प्रिज्म के फलक आयत होते हैं। एक सीधे प्रिज्म की ऊँचाई उसके पार्श्व फलकों के बराबर होती है।

पूर्ण प्रिज्म सतहपार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्रों का योग है।

सही प्रिज्मआधार पर एक नियमित बहुभुज वाला लंब प्रिज्म कहलाता है।

प्रमेय 13.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्रिज्म की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है (या, समकक्ष, पार्श्व किनारे तक)।

सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं जिनके आधार प्रिज्म के आधार पर बहुभुज की भुजाएँ होती हैं, और ऊँचाई प्रिज्म के पार्श्व किनारे होती हैं। फिर, परिभाषा के अनुसार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

,

सीधे प्रिज्म के आधार का परिमाप कहाँ है?

समानांतर खात

यदि समांतर चतुर्भुज किसी प्रिज्म के आधार पर स्थित हों, तो इसे कहा जाता है समानांतर खात. समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

प्रमेय 13.2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

सबूत। उदाहरण के लिए, दो मनमाने विकर्णों पर विचार करें। क्योंकि समांतर चतुर्भुज के फलक समांतर चतुर्भुज हैं, फिर और, जिसका अर्थ है कि टी के अनुसार तीसरे के समानांतर दो सीधी रेखाएँ हैं। इसके अलावा, इसका मतलब यह है कि रेखाएँ और एक ही तल (तल) में स्थित हैं। यह तल समान्तर तलों को समान्तर रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, और समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार, इसके विकर्ण और प्रतिच्छेद और प्रतिच्छेद बिंदु आधे में विभाजित होते हैं, जिसे सिद्ध करना था।

एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है घनाभ. एक घनाभ के सभी फलक आयत हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई को इसके रैखिक आयाम (माप) कहा जाता है। तीन आकार हैं (चौड़ाई, ऊंचाई, लंबाई)।

प्रमेय 13.3. एक घनाभ में, किसी भी विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है (पायथागॉरियन टी को दो बार लगाने से सिद्ध हुआ)।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है घनक्षेत्र.

कार्य

13.1 कितने विकर्ण होते हैं एन- कार्बन प्रिज्म

13.2 एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म में, पार्श्व किनारों के बीच की दूरी 37, 13 और 40 है। बड़े पार्श्व पृष्ठ और विपरीत पार्श्व किनारे के बीच की दूरी ज्ञात करें।

13.3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के निचले आधार के किनारे के माध्यम से, एक विमान खींचा जाता है जो किनारे के चेहरों को खंडों के साथ काटता है, जिनके बीच का कोण होता है। प्रिज्म के आधार से इस तल का झुकाव कोण ज्ञात कीजिए।