एक सीधी रेखा का समीकरण जो दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है: उदाहरण, समाधान। एक समानांतर रेखा का समीकरण

दो अंक दिए जाएं एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और एम 2 (एक्स 2, वाई 2). हम एक सीधी रेखा के समीकरण को (5) के रूप में लिखते हैं, जहाँ कअभी तक अज्ञात गुणांक के रूप में:

बिंदु के बाद से एम 2किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक समीकरण (5) को संतुष्ट करते हैं: . यहाँ से व्यक्त करने और इसे समीकरण (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं:

अगर इस समीकरण को ऐसे रूप में फिर से लिखा जा सकता है जिसे याद रखना आसान हो:

(6)

उदाहरण।बिंदुओं M 1 (1.2) और M 2 (-2.3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए

समाधान. . समानुपात के गुण का उपयोग करते हुए, और आवश्यक परिवर्तन करते हुए, हम एक सरल रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं:

दो रेखाओं के बीच का कोण

दो पंक्तियों पर विचार करें एल 1और एल 2:

एल 1: , , और

एल 2: , ,

φ उनके बीच का कोण है ()। चित्रा 4 दिखाता है:।

यहाँ से , या

सूत्र (7) का उपयोग करके, रेखाओं के बीच के कोणों में से एक को निर्धारित किया जा सकता है। दूसरा कोण है।

उदाहरण. दो सीधी रेखाएँ समीकरण y=2x+3 और y=-3x+2 द्वारा दी गई हैं। इन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान. यह समीकरणों से देखा जा सकता है कि k 1 \u003d 2, और k 2 \u003d-3। इन मानों को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं

. तो इन रेखाओं के बीच का कोण है।

समानांतरता और दो रेखाओं की लंबवतता के लिए शर्तें

अगर सीधा एल 1और एल 2समानांतर हैं, तो φ=0 और टीजीφ=0. सूत्र (7) से यह इस प्रकार है , जहां से के 2 \u003d के 1. इस प्रकार, दो रेखाओं की समानता के लिए शर्त उनके ढलानों की समानता है।

अगर सीधा एल 1और एल 2लंबवत, फिर φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1। . इस प्रकार, दो सीधी रेखाओं के लम्बवत् होने की शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में व्युत्क्रमानुपाती और चिन्ह में विपरीत हों।

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय। यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा की दूरी Ax + Vy + C \u003d 0 के रूप में परिभाषित की गई है

सबूत। मान लें कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

x 1 और y 1 निर्देशांकों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दिए गए बिंदु M 0 से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत है।

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को रूप में बदलते हैं:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

तब, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण।रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3x + 7; वाई = 2x + 1।

के 1 \u003d -3; के 2 = 2tgj= ; जे = पी/4.

उदाहरण।दिखाएं कि रेखाएं 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण।त्रिभुज के शीर्ष A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम भुजा AB: का समीकरण ज्ञात करते हैं; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊँचाई का समीकरण है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b।

कश्मीर =। फिर वाई =। क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, फिर इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहाँ से b \u003d 17. कुल: .

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

एक बिंदु से रेखा की दूरी बिंदु से रेखा पर गिराए गए लंब की लंबाई से निर्धारित होती है।

यदि रेखा प्रक्षेपण तल के समानांतर है (एच | | पी 1), फिर बिंदु से दूरी निर्धारित करने के लिए एसीधे करने के लिए एचबिंदु से एक लंब गिराना आवश्यक है एक्षैतिज करने के लिए एच.

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें, जब रेखा सामान्य स्थिति में होती है। बिंदु से दूरी निर्धारित करना आवश्यक होने दें एमसीधे करने के लिए एसामान्य स्थिति।

परिभाषा कार्य समानांतर रेखाओं के बीच की दूरीपिछले वाले की तरह ही हल किया गया। एक रेखा पर एक बिन्दु लिया जाता है और उससे दूसरी रेखा पर लंब खींचा जाता है। लंब की लंबाई समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होती है।

दूसरे क्रम का वक्रवर्तमान कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में दूसरी डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा है। सामान्य स्थिति में, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

जहाँ A, B, C, D, E, F वास्तविक संख्याएँ हैं और कम से कम एक संख्या A 2 + B 2 + C 2 ≠0 है।

घेरा

मंडल केंद्र- यह समतल C (a, b) के बिंदु से समदूरस्थ समतल में बिंदुओं का स्थान है।

सर्कल निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:

जहाँ x, y वृत्त पर एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक हैं, R वृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त समीकरण का चिन्ह

1. x, y वाला कोई पद नहीं है

2. x 2 और y 2 पर गुणांक बराबर हैं

अंडाकार

अंडाकारएक समतल में बिंदुओं के स्थान को कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की दूरियों का योग इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं को foci (स्थिर मान) कहा जाता है।

दीर्घवृत्त का विहित समीकरण:

X और y दीर्घवृत्त से संबंधित हैं।

a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्धवृत्त है

b दीर्घवृत्त का लघु अर्धवृत्त है

दीर्घवृत्त में सममिति OX और OY के 2 अक्ष हैं। दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्ष इसकी कुल्हाड़ियाँ हैं, उनके चौराहे का बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र है। वह अक्ष जिस पर फोकस स्थित होते हैं, कहलाते हैं फोकल अक्ष. कुल्हाड़ियों के साथ दीर्घवृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु दीर्घवृत्त का शीर्ष है।

संपीड़न (खिंचाव) अनुपात: ε = सी/ए- विलक्षणता (दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता), यह जितना छोटा होता है, उतना ही कम दीर्घवृत्त फोकल अक्ष के साथ विस्तारित होता है।

यदि दीर्घवृत्त के केंद्र केंद्र С(α, β) में नहीं हैं

अतिशयोक्ति

अतिशयोक्तिएक विमान में बिंदुओं का स्थान कहा जाता है, दूरी में अंतर का पूर्ण मूल्य, जिनमें से प्रत्येक इस विमान के दो दिए गए बिंदुओं से, फॉसी कहा जाता है, शून्य से भिन्न एक स्थिर मान है।

अतिपरवलय का विहित समीकरण

एक अतिपरवलय में समरूपता के 2 अक्ष होते हैं:

ए - समरूपता का वास्तविक अर्धवृत्त

बी - समरूपता का काल्पनिक अर्धवृत्त

एक अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख:

परवलय

परवलयएक दिए गए बिंदु F, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, से समान दूरी पर बिंदुओं का स्थान है।

विहित परवलय समीकरण:

Y 2 \u003d 2px, जहाँ p फोकस से डायरेक्ट्रिक्स (पैराबोला पैरामीटर) की दूरी है

यदि परवलय का शीर्ष C (α, β) है, तो परवलय का समीकरण (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

यदि फोकल अक्ष को y- अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो परवलय समीकरण का रूप लेगा: x 2 \u003d 2qy

दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण। लेख में" " मैंने आपको दिए गए फ़ंक्शन ग्राफ़ और इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के साथ व्युत्पन्न खोजने के लिए प्रस्तुत समस्याओं को हल करने के दूसरे तरीके का विश्लेषण करने का वादा किया था। हम इस विधि का पता लगाएंगे , देखिये जरूर! क्योंअगला?

तथ्य यह है कि वहाँ एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग किया जाएगा। बेशक, कोई इस सूत्र को दिखा सकता है और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकता है। लेकिन यह स्पष्ट करना बेहतर है कि यह कहां से आता है (यह कैसे प्राप्त होता है)। यह जरूरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो इसे तुरंत पुनर्स्थापित करेंमुश्किल नहीं होगा। सब कुछ नीचे विस्तृत है। इसलिए, हमारे पास निर्देशांक तल पर दो बिंदु A हैं(x 1; y 1) और B (x 2; y 2), संकेतित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ सीधा सूत्र है:

*अर्थात्, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=kx+b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

** यदि यह सूत्र केवल "याद" है, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की उच्च संभावना है जब एक्स. इसके अलावा, इंडेक्स को अलग-अलग तरीकों से निरूपित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका अर्थ समझना जरूरी है।

अब इस सूत्र की व्युत्पत्ति। सब कुछ बहुत आसान है!

त्रिभुज ABE और ACF एक न्यूनकोण के संदर्भ में समान हैं (समकोण त्रिभुजों की समानता का पहला संकेत)। यह इस प्रकार है कि संबंधित तत्वों के अनुपात समान हैं, अर्थात:

अब हम इन खंडों को बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई त्रुटि नहीं होगी (मुख्य बात पत्राचार रखना है):

नतीजा सीधी रेखा का एक ही समीकरण है। यह सब है!

यही है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अंक स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे निर्दिष्ट किए जाते हैं, इस सूत्र को समझने से आपको हमेशा एक सीधी रेखा का समीकरण मिलेगा।

वैक्टर के गुणों का उपयोग करके सूत्र को घटाया जा सकता है, लेकिन व्युत्पत्ति का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की समान समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित निष्कर्ष अधिक समझ में आता है))।

वेक्टर निर्देशांक >>> के माध्यम से आउटपुट देखें

दो दिए गए बिंदुओं A (x 1; y 1) और B (x 2; y 2) से गुजरने वाले निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा का निर्माण करें। आइए निर्देशांक के साथ रेखा पर एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; वाई). हम दो वैक्टर भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक पंक्ति) पर स्थित सदिशों के लिए, उनके संबंधित निर्देशांक आनुपातिक होते हैं, अर्थात:

- हम संबंधित निर्देशांक के अनुपात की समानता लिखते हैं:

एक उदाहरण पर विचार करें:

निर्देशांकों (2;5) और (7:3) वाले दो बिंदुओं से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आप खुद लाइन भी नहीं बना सकते। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि आप अनुपात बनाते समय पत्राचार को पकड़ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y=-2/5x+29/5 जाना y=-0.4x+5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि परिणामी समीकरण सही पाया गया है, इसे जांचना सुनिश्चित करें - बिंदुओं की स्थिति में इसमें डेटा निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। आपको सही समानताएं मिलनी चाहिए।

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

साभार, सिकंदर।

पुनश्च: यदि आप सामाजिक नेटवर्क में साइट के बारे में बताते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण वे समीकरण होते हैं जो एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से होकर एक दिशा सदिश के समानुपाती होती है।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा सदिश दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है एलकेवल यदि सदिश तथा समरेख हैं, अर्थात, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा सदिश के अनुमान हैं। चूंकि वेक्टर शून्य नहीं है, फिर सभी संख्याएं एम , एनऔर पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि कुल्हाड़ियों पर वेक्टर का अनुमान ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई वेक्टर और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान योज़ .

उदाहरण 1किसी समतल के लम्बवत् अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें और अक्ष के साथ इस समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुज़र रहा है आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ दिए गए समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूंकि अक्ष पर कोई बिंदु आउंस, निर्देशांक है, फिर, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए एक्स = वाई = 0, हमें 4 मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2। इसलिए, अक्ष के साथ दिए गए विमान का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक (0; 0; 2) हैं। चूंकि वांछित रेखा विमान के लंबवत है, यह अपने सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में काम कर सकता है दिया विमान।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में :

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर स्थित दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2अंतरिक्ष में बिन्दुओं से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान। हम सीधी रेखा के वांछित समीकरणों को सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में लिखते हैं:

.

चूंकि , तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत है ओए .

सीधे विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और, यानी, बिंदुओं के एक सेट के रूप में जो दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करता है।

सिस्टम के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई जगह में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करें

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों को लिखने के लिए या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, वे किन्हीं भी दो निर्देशांक तलों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं योज़और xOz .

समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एक भुज है एक्स= 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चरों वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका फैसला वाई = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। मान लीजिए कि दिए गए समीकरणों की प्रणाली में वाई= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका फैसला एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में वाई= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से होकर जाने वाली सरल रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या भाजक को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

यह लेख समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: इस प्रकार के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में देखें। आइए एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसकी उपपत्ति दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में कैसे परिवर्तन किया जाए। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करके समेकित करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को समतल पर दिया जाए।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसमें A x + B y + C \u003d 0 है, जहाँ A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है एक विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें A, B, C के मानों के एक निश्चित सेट के लिए A x + B y + C = 0 होता है।

सबूत

इस प्रमेय में दो बिंदु होते हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कि कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के अनुरूप हैं। इस प्रकार: ए एक्स 0 + बी वाई 0 + सी = 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्ष से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हमें एक नया समीकरण मिलता है जो A जैसा दिखता है (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के समतुल्य है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x) की लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है 0, वाई - वाई 0)। इस प्रकार, बिंदुओं का समुच्चय M (x, y) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सदिश n → = (A, B) की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन फिर सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 परिभाषित करता है एक ही पंक्ति। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध कर दिया है।

1. आइए सिद्ध करें कि समतल पर आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कोई भी सरल रेखा प्रथम घात A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

आइए विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा सेट करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य वेक्टर n → = (A , B) ।

चलो कुछ बिंदु M (x , y) - रेखा का एक अस्थायी बिंदु भी मौजूद है। इस स्थिति में, सदिश n → = (A , B) और M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणनफल शून्य है:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंत में समीकरण A x + B y + C = 0 प्राप्त करें।

इसलिए, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने पूरे प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

एक समीकरण जो दिखता हैए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह सीधी रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा और इसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण एक दी गई सीधी रेखा के अनुरूप होता है।

प्रमेय के प्रमाण से यह भी पता चलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। सी = 0।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से संबंधित है। इस रेखा का सामान्य वेक्टर वेक्टर है एन → = (2 , 3) ​​​​। चित्र में दी गई एक सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित का भी तर्क दिया जा सकता है: ड्राइंग में हम जो सीधी रेखा देखते हैं, वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम समीकरण λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं, सामान्य सीधी रेखा समीकरण के दोनों पक्षों को गैर-शून्य संख्या λ से गुणा करके। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के समतुल्य है, इसलिए, यह समतल में उसी रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक सीधी रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- रेखा A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्या A, B, C गैर-शून्य हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

आइए हम सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 बन जाता है। इस तरह का एक अधूरा सामान्य समीकरण एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान लेगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B ≠ 0, बिंदुओं (x, y) के स्थान को परिभाषित करता है, जिसके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी।
2. यदि A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, हमें एक अधूरा सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 मिलता है, जो y- अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 दें, तो अधूरा सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप ले लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, जब A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, अधूरा सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप ले लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। दरअसल, संख्याओं की जोड़ी (0 , 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाती है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0।

आइए उपरोक्त सभी प्रकार के एक सीधी रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण को आलेखीय रूप से चित्रित करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7 , - 11 से होकर गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

Y- अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C \u003d 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A ≠ 0 है। स्थिति उस बिंदु के निर्देशांक को भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सही है:

ए 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस स्थिति में, हमें मिलता है: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2। हम दोनों गुणांक A और C जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और रेखा का आवश्यक समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

चित्र एक सीधी रेखा दिखाता है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए शुरुआती डेटा को आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम आरेखण में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समानांतर है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + С = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है। B और C का मान ज्ञात कीजिए। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई सीधी रेखा इसके माध्यम से गुजरती है, सीधी रेखा B y + С = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: В · 3 + С = 0। चलिए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करते हैं। मान लें कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B · 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। B और C के ज्ञात मानों का उपयोग करते हुए, हम सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

उत्तर:वाई - 3 = 0।

समतल के दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, फिर इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0। सीधी रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष से इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को घटाएँ। हमें मिलता है: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य एक के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और एक है सामान्य वेक्टर एन → \u003d (ए, बी) .

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, वह सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के लिए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव बनाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर n → = (1 , - 2) . दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण को संकलित करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4। तब:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। सरल रेखा के सामान्य समीकरण का रूप A x + B y + C = 0 है। दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक A और B के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ⇔ 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब आइए समस्या की स्थिति द्वारा दिए गए बिंदु M0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें, जिससे होकर रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात - 3 - 2 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी = 11। आवश्यक सीधी रेखा समीकरण का रूप लेती है: x - 2 · y + 11 = 0 ।

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और एक बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इस बिंदु का केवल भुज ज्ञात है, और यह -3 के बराबर है। दिए गए बिंदु के समन्वय को निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

बिंदु M 0 के निर्देशांकों की पदवी को x 0 और y 0 के रूप में निर्धारित करते हैं। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूँकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब निम्नलिखित समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

परिभाषित करें y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं कि समतल में एक ही सरल रेखा के कई प्रकार के समीकरण होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसके समाधान के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक तरह के समीकरण को दूसरी तरह के समीकरण में बदलने का हुनर ​​बहुत काम आता है।

सबसे पहले, A x + B y + C = 0 के रूप के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A ≠ 0 है, तो हम पद B y को सामान्य समीकरण के दाईं ओर स्थानान्तरित करते हैं। बाईं ओर, हम A को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: A x + C A = - B y ।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A।

यदि B ≠ 0 है, तो हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल A x शब्द छोड़ते हैं, हम दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: A x \u003d - B y - C। हम - B को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, फिर: A x \u003d - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखते हैं: x - B = y + C B A ।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद करने की कोई जरूरत नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित एक में संक्रमण के दौरान क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का व्यापक समीकरण दिया गया है। इसे एक विहित समीकरण में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

समाधान

हम मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखते हैं। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम बाहर निकालते हैं - कोष्ठक में से 3; हम पाते हैं: 0 x = - 3 y - 4 3।

परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखते हैं: x - 3 = y - 4 3 0। इस प्रकार, हमने विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त किया है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, पहले विहित रूप में परिवर्तन किया जाता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए सामान्य समीकरण से कैननिकल में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब हम परिणामी विहित समीकरण के दोनों भागों को λ के बराबर लेते हैं, फिर:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

उत्तर:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B ≠ 0। बाईं ओर के संक्रमण के लिए, हम पद B y को छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हमें मिलता है: बी वाई = - ए एक्स - सी। आइए परिणामी समानता के दोनों भागों को B से विभाजित करें, जो शून्य से भिन्न है: y = - A B x - C B।

उदाहरण 7

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को ढलान समीकरण में बदलने की जरूरत है।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

उत्तर:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b \u003d 1 के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा परिवर्तन करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों भागों को - С से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के लिए गुणांक को भाजक में स्थानांतरित करते हैं:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

उदाहरण 8

सीधी रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

आइए 1 2 को दाईं ओर ले जाएँ: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 ।

समीकरण के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ।

उत्तर:एक्स - 1 2 + y 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण और ढलान के साथ समीकरण को समीकरण के बाईं ओर सभी शर्तों को एकत्रित करके आसानी से सामान्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में परिवर्तित किया जाता है:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से गुजरने के लिए, पहले विहित में परिवर्तन किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + ay λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सीधी रेखा x = - 1 + 2 · λ y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से कैननिकल में परिवर्तन करें:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

उत्तर:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंडों x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में परिवर्तन करना आवश्यक है।

समाधान:

आइए आवश्यक रूप में समीकरण को फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

सरल रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर, हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जिससे रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा को समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। उसी स्थान पर हमने संबंधित उदाहरण का विश्लेषण किया।

अब आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जिनमें पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। बिंदु M 0 (4 , 1) भी ज्ञात है जिससे होकर रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियाँ हमें बताती हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं, जबकि रेखा के एक सामान्य वेक्टर के रूप में जिसके समीकरण को लिखने की आवश्यकता है, हम रेखा n → \u003d (2, - 3) के निर्देशन वेक्टर को लेते हैं: 2 x - 3 वाई + 3 3 \u003d 0। अब हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को बनाने के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा रेखा x - 2 3 = y + 4 5 के लंबवत मूल बिंदु से होकर गुजरती है। दी गई सरल रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई रेखा का सामान्य सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिष्ट सदिश होगा।

तब n → = (3 , 5) . सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, अर्थात बिंदु O (0, 0) के माध्यम से। आइए दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

उत्तर: 3 x + 5 y = 0।

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परिभाषा।समतल में कोई भी रेखा प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दी जा सकती है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिरांक A, B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। यह प्रथम कोटि का समीकरण कहलाता है सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी \u003d 0, ए ≠ 0, बी ≠ 0 - रेखा उत्पत्ति के माध्यम से गुजरती है

ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0 (द्वारा + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए ≠ 0, सी ≠ 0 ( एक्स + सी \u003d 0) - रेखा ओय अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए ≠ 0 - सीधी रेखा ओय अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी ≠ 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर एक सरल रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटक (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई रेखा के लंबवत है।

उदाहरण. बिन्दु A(1, 2) से (3, -1) लम्बवत् गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. A = 3 और B = -1 पर, हम एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए, हम परिणामी व्यंजक में दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 3 - 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि दो बिंदु M1 (x1, y1, z1) और M2 (x2, y2, z2) अंतरिक्ष में दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सरल रेखा का समीकरण:

यदि कोई भी भाजक शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। समतल पर, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा समीकरण सरल है:

यदि x 1 ≠ x 2 और x = x 1 यदि x 1 = x 2 है।

अंश = k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान से सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल Ax + वू + C = 0 फॉर्म की ओर जाता है:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु और दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशन वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक स्थिति A α 1 + B α 2 = 0 को संतुष्ट करते हैं, को रेखा का निर्देशन वेक्टर कहा जाता है

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) के साथ और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण की तलाश करेंगे: एक्स + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C / A = -3 मिलता है, अर्थात। वांछित समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में आह + वू + सी = 0 सी≠0, तो, -सी द्वारा विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: या

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक ए x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओय अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x - y + 1 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए खंडों में इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1।

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + Vy + C = 0 को संख्या से गुणा किया जाता है , जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण। सामान्यीकरण कारक के चिह्न ± को चुना जाना चाहिए ताकि μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण. रेखा 12x - 5y - 65 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने की आवश्यकता है।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या मूल से गुजरने वाली सीधी रेखाएँ।

उदाहरण. सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी2 है।

समाधान।सीधी रेखा समीकरण का रूप है: ab /2 = 8; अब = 16; ए=4, ए=-4। ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण. बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान. सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: , जहाँ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; एक्स 2 \u003d -2; वाई 2 \u003d -3।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी हों, तो इन रेखाओं के बीच के न्यूनकोण को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

.

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक हैं। यदि С 1 = λС भी है, तो रेखाएँ संपाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी रेखा के लम्बवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा की दूरी Ax + Vy + C \u003d 0 के रूप में परिभाषित की गई है

.

सबूत।मान लें कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांकों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दिए गए बिंदु M 0 से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को रूप में बदलते हैं:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

तब, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; φ= π /4।

उदाहरण. दिखाएं कि रेखाएं 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज के शीर्ष A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण ज्ञात करते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊँचाई का समीकरण है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। कश्मीर =। फिर वाई =। क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।