बच्चों के लिए एंटीपीयरेटिक्स एक बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियां होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की जरूरत होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
और क्या आपके पास है कैलकुलेटर पर निर्भरता? या क्या आपको लगता है कि कैलकुलेटर या वर्गों की तालिका का उपयोग करने के अलावा, गणना करना बहुत मुश्किल है, उदाहरण के लिए,।
ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे एक कैलकुलेटर से बंधे होते हैं और पोषित बटन दबाकर 0.7 से 0.5 गुणा भी करते हैं। वे कहते हैं, ठीक है, मैं अभी भी गणना करना जानता हूं, लेकिन अब मैं समय बचाऊंगा ... एक परीक्षा होगी ... फिर मैं तनाव में आऊंगा ...
तो तथ्य यह है कि वैसे भी परीक्षा में बहुत सारे "तनावपूर्ण क्षण" होंगे ... जैसा कि वे कहते हैं, पानी एक पत्थर को घिस देता है। इसलिए परीक्षा में छोटी-छोटी चीजें, अगर उनमें से बहुत कुछ हैं, तो आपको नीचे गिरा सकती हैं ...
आइए संभावित परेशानियों की संख्या को कम करें।
एक बड़ी संख्या का वर्गमूल निकालना
अब हम केवल उस स्थिति के बारे में बात करेंगे जब वर्गमूल निकालने का परिणाम एक पूर्णांक हो।
मामला एक
तो, हमें हर तरह से (उदाहरण के लिए, विवेचक की गणना करते समय) 86436 के वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता है।
हम संख्या 86436 को प्रमुख कारकों में विघटित करेंगे। हम 2 से विभाजित करते हैं, हमें 43218 मिलते हैं; फिर से हम 2 से विभाजित करते हैं, - हमें 21609 मिलता है। संख्या 2 से अधिक विभाज्य नहीं है। लेकिन चूंकि अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है (सामान्यतया, यह देखा जा सकता है कि यह 9 से विभाज्य भी है)। . एक बार फिर हम 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2401 मिलता है। 2401 3 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है। पांच से विभाज्य नहीं (0 या 5 के साथ समाप्त नहीं होता)।
हमें 7 से विभाज्यता का संदेह है। वास्तव में, a,
तो, पूर्ण आदेश!
मामला 2
हमें गणना करने की आवश्यकता है। जैसा कि ऊपर वर्णित है, उसी तरह कार्य करना असुविधाजनक है। कारक बनाने की कोशिश कर रहा है ...
संख्या 1849 2 से पूरी तरह विभाज्य नहीं है (यह सम नहीं है) ...
यह 3 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है (अंकों का योग 3 का गुणक नहीं है) ...
यह 5 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 5 या 0 नहीं है) ...
यह पूरी तरह से 7 से विभाज्य नहीं है, यह 11 से विभाज्य नहीं है, यह 13 से विभाज्य नहीं है ... अच्छा, इस तरह से सभी अभाज्य संख्याओं से गुजरने में हमें कितना समय लगेगा?
आइए थोड़ा अलग तरीके से बहस करें।
हम समझते हैं
हमने खोज को कम कर दिया। अब हम 41 से 49 तक की संख्याओं को छाँटते हैं। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि चूंकि संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो यह विकल्प 43 या 47 पर रुकने के लायक है - केवल ये संख्याएँ, जब चुकता होती हैं, तो अंतिम अंक देंगी 9.
ठीक है, यहाँ पहले से ही, निश्चित रूप से, हम 43 पर रुकते हैं। वास्तव में,
पी.एस.हम 0.7 को 0.5 से कैसे गुणा करें?
आपको 5 को 7 से गुणा करना चाहिए, शून्य और चिह्नों को अनदेखा करना चाहिए, और फिर अलग करना चाहिए, दाएँ से बाएँ, दो दशमलव स्थानों पर जाना चाहिए। हमें 0.35 मिलता है।
छात्र हमेशा पूछते हैं: “मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता? बिना कैलकुलेटर के किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करते हैं।
कैलकुलेटर की मदद के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?
कार्य वर्गमूल निष्कर्षणस्क्वायरिंग के विपरीत।
√81= 9 9 2 =81
यदि हम एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं, तो हमें समान संख्या प्राप्त होती है।
छोटी संख्याओं से जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने के बाद, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से बड़ी संख्या से, आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आइए इस पद्धति पर विचार करने के लिए एक उदाहरण का प्रयास करें।
उदाहरण: संख्या 676 का मूल निकालिए.
हम देखते हैं कि 20 2 \u003d 400, और 30 2 \u003d 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.
प्राकृतिक संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; 1; 4; 5; 6; 9.
संख्या 6 4 2 और 6 2 द्वारा दी गई है।
अत: यदि 676 में से मूल निकाला जाए, तो वह या तो 24 होगा या 26।
यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।
उत्तर: √676 = 26 .
अधिक उदाहरण: √6889 .
चूंकि 80 2 \u003d 6400, और 90 2 \u003d 8100, फिर 80< √6889 < 90.
संख्या 9 3 2 और 7 2 द्वारा दी गई है, तो √6889 या तो 83 या 87 है।
जाँच करें: 83 2 = 6889।
उत्तर: √6889 = 83 .
यदि आपको चयन विधि द्वारा हल करना कठिन लगता है, तो आप मूल व्यंजक का गुणनखण्ड कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, √893025 खोजें.
आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।
हम पाते हैं: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।
अधिक उदाहरण: √20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:
हमें √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 मिलता है।
बेशक, फैक्टरिंग के लिए विभाज्यता मानदंड और फैक्टरिंग कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
और अंत में, वहाँ है वर्गमूल नियम. आइए इस नियम को एक उदाहरण के साथ देखें।
√279841 की गणना करें.
एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएँ से बाएँ फलकों में विभाजित करते हैं जिनमें से प्रत्येक में 2 अंक होते हैं (बाएँ चरम फलक में एक अंक हो सकता है)। ऐसे लिखें 27'98'41
मूल का पहला अंक (5) प्राप्त करने के लिए, हम पहले बाएँ फलक (27) में निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग का वर्गमूल निकालते हैं।
फिर मूल के पहले अंक (25) का वर्ग पहले चेहरे से घटाया जाता है और अगले चेहरे (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया (ध्वस्त) किया जाता है।
परिणामी संख्या 298 के बाईं ओर, वे मूल (10) के दोहरे अंक को लिखते हैं, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 ≈ 2) के सभी दसियों की संख्या को विभाजित करते हैं, भागफल का अनुभव करते हैं (102 ∙ 2 = 204 298 से अधिक नहीं होना चाहिए) और रूट के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 से घटाया जाता है, और अगले पहलू (41) को अंतर (94) के लिए जिम्मेदार ठहराया (ध्वस्त) किया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, वे रूट के अंकों का दोहरा उत्पाद लिखते हैं (52 ∙ 2 = 104), इस उत्पाद द्वारा संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दसियों की संख्या को विभाजित करें, अनुभव भागफल (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिख दें।
हमें उत्तर मिला √279841 = 529।
इसी प्रकार निकालें दशमलव की जड़ें. केवल मूलांक संख्या को चेहरों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि अल्पविराम चेहरों के बीच हो।
उदाहरण. मान √0.00956484 ज्ञात कीजिए।
बस याद रखें कि यदि दशमलव अंश में विषम संख्या में दशमलव स्थान हैं, तो वर्गमूल को इससे बिल्कुल नहीं निकाला जाता है।
तो, अब आपने रूट निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपको सबसे अच्छा लगे और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको उन्हें हल करने की आवश्यकता है। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें।
साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।
आइए इस एल्गोरिथ्म पर एक उदाहरण के साथ विचार करें। पता लगाते हैं
पहला कदम। हम संख्या को जड़ के नीचे दो अंकों में विभाजित करते हैं (दाएं से बाएं):
दूसरा चरण। हम पहले फलक से वर्गमूल निकालते हैं, अर्थात संख्या 65 से हमें संख्या 8 प्राप्त होती है। पहले फलक के अंतर्गत हम संख्या 8 का वर्ग लिखते हैं और घटाते हैं। हम दूसरे फलक (59) को शेषफल से जोड़ते हैं:
(संख्या 159 पहला शेषफल है)।
तीसरा चरण। हम मिली हुई जड़ को दोगुना करते हैं और परिणाम को बाईं ओर लिखते हैं:
चौथा चरण। हम शेष (159) में दाईं ओर एक अंक अलग करते हैं, बाईं ओर हमें दसियों की संख्या मिलती है (यह 15 के बराबर है)। फिर हम 15 को मूल के पहले दोगुने अंक से विभाजित करते हैं, अर्थात 16 से, चूँकि 15, 16 से विभाज्य नहीं है, तो भागफल में हमें शून्य प्राप्त होता है, जिसे हम मूल का दूसरा अंक लिखते हैं। इसलिए, भागफल में हमें 80 नंबर मिला, जिसे हम फिर से दोगुना करते हैं, और अगले चेहरे को गिरा देते हैं
(संख्या 15901 दूसरा शेषफल है)।
पांचवां चरण। हम दूसरे शेषफल में दाईं ओर से एक अंक को अलग करते हैं और परिणामी संख्या 1590 को 160 से विभाजित करते हैं। परिणाम (संख्या 9) को मूल के तीसरे अंक के रूप में लिखा जाता है और संख्या 160 को निर्दिष्ट किया जाता है। परिणामी संख्या 1609 को 9 से गुणा किया जाता है। और हम निम्नलिखित शेष (1420) पाते हैं:
एल्गोरिथम में इंगित अनुक्रम में आगे की कार्रवाई की जाती है (रूट को आवश्यक डिग्री की सटीकता के साथ निकाला जा सकता है)।
टिप्पणी। यदि रूट एक्सप्रेशन एक दशमलव अंश है, तो इसके पूर्णांक भाग को दाएं से बाएं दो अंकों में विभाजित किया जाता है, भिन्नात्मक भाग को बाएं से दाएं दो अंकों में विभाजित किया जाता है, और रूट को निर्दिष्ट एल्गोरिथम के अनुसार निकाला जाता है।
उपचारात्मक सामग्री
1. संख्या का वर्गमूल लें: a) 32; बी) 32.45; ग) 249.5; डी) 0.9511।
छात्र हमेशा पूछते हैं: “मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता? बिना कैलकुलेटर के किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करते हैं।
कैलकुलेटर की मदद के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?
कार्य वर्गमूल निष्कर्षणस्क्वायरिंग के विपरीत।
√81= 9 9 2 =81
यदि हम एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं, तो हमें समान संख्या प्राप्त होती है।
छोटी संख्याओं से जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने के बाद, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से बड़ी संख्या से, आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आइए इस पद्धति पर विचार करने के लिए एक उदाहरण का प्रयास करें।
उदाहरण: संख्या 676 का मूल निकालिए.
हम देखते हैं कि 20 2 \u003d 400, और 30 2 \u003d 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.
प्राकृतिक संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; 1; 4; 5; 6; 9.
संख्या 6 4 2 और 6 2 द्वारा दी गई है।
अत: यदि 676 में से मूल निकाला जाए, तो वह या तो 24 होगा या 26।
यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।
उत्तर: √676 = 26 .
अधिक उदाहरण: √6889 .
चूंकि 80 2 \u003d 6400, और 90 2 \u003d 8100, फिर 80< √6889 < 90.
संख्या 9 3 2 और 7 2 द्वारा दी गई है, तो √6889 या तो 83 या 87 है।
जाँच करें: 83 2 = 6889।
उत्तर: √6889 = 83 .
यदि आपको चयन विधि द्वारा हल करना कठिन लगता है, तो आप मूल व्यंजक का गुणनखण्ड कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, √893025 खोजें.
आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।
हम पाते हैं: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।
अधिक उदाहरण: √20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:
हमें √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 मिलता है।
बेशक, फैक्टरिंग के लिए विभाज्यता मानदंड और फैक्टरिंग कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
और अंत में, वहाँ है वर्गमूल नियम. आइए इस नियम को एक उदाहरण के साथ देखें।
√279841 की गणना करें.
एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएँ से बाएँ फलकों में विभाजित करते हैं जिनमें से प्रत्येक में 2 अंक होते हैं (बाएँ चरम फलक में एक अंक हो सकता है)। ऐसे लिखें 27'98'41
मूल का पहला अंक (5) प्राप्त करने के लिए, हम पहले बाएँ फलक (27) में निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग का वर्गमूल निकालते हैं।
फिर मूल के पहले अंक (25) का वर्ग पहले चेहरे से घटाया जाता है और अगले चेहरे (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया (ध्वस्त) किया जाता है।
परिणामी संख्या 298 के बाईं ओर, वे मूल (10) के दोहरे अंक को लिखते हैं, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 ≈ 2) के सभी दसियों की संख्या को विभाजित करते हैं, भागफल का अनुभव करते हैं (102 ∙ 2 = 204 298 से अधिक नहीं होना चाहिए) और रूट के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 से घटाया जाता है, और अगले पहलू (41) को अंतर (94) के लिए जिम्मेदार ठहराया (ध्वस्त) किया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, वे रूट के अंकों का दोहरा उत्पाद लिखते हैं (52 ∙ 2 = 104), इस उत्पाद द्वारा संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दसियों की संख्या को विभाजित करें, अनुभव भागफल (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिख दें।
हमें उत्तर मिला √279841 = 529।
इसी प्रकार निकालें दशमलव की जड़ें. केवल मूलांक संख्या को चेहरों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि अल्पविराम चेहरों के बीच हो।
उदाहरण. मान √0.00956484 ज्ञात कीजिए।
बस याद रखें कि यदि दशमलव अंश में विषम संख्या में दशमलव स्थान हैं, तो वर्गमूल को इससे बिल्कुल नहीं निकाला जाता है।
तो, अब आपने रूट निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपको सबसे अच्छा लगे और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको उन्हें हल करने की आवश्यकता है। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, .
blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।
अध्याय प्रथम।
किसी दिए गए पूर्णांक से सबसे बड़े पूर्णांक वर्गमूल का निष्कर्षण।
170. प्रारंभिक अभ्युक्तियां।
ए)चूंकि हम इस अध्याय में संक्षिप्तता के लिए केवल वर्गमूल निकालने के बारे में बात करेंगे, "वर्ग" रूट के बजाय, हम बस "रूट" कहेंगे।
बी)यदि हम प्राकृतिक श्रृंखला की संख्याओं का वर्ग करते हैं: 1,2,3,4,5। . . , तो हमें वर्गों की निम्न तालिका मिलती है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144। .,
जाहिर है, ऐसे कई पूर्णांक हैं जो इस तालिका में नहीं हैं; इस तरह की संख्याओं से, निश्चित रूप से, पूरी जड़ निकालना असंभव है। इसलिए, यदि आप किसी पूर्णांक का मूल लेना चाहते हैं, उदाहरण के लिए। √4082 खोजने की आवश्यकता है, तो हम इस आवश्यकता को इस प्रकार समझने के लिए सहमत होंगे: यदि संभव हो तो 4082 से पूरी जड़ निकालें; यदि नहीं, तो हमें सबसे बड़ा पूर्णांक खोजना होगा जिसका वर्ग 4082 है (ऐसी संख्या 63 है, क्योंकि 63 2 \u003d 3969, और 64 2 \u003d 4090)।
वी)यदि यह संख्या 100 से कम है, तो इसका मूल गुणन तालिका में है; इसलिए √60 7 होगा, क्योंकि सेम 7 बराबर 49 है, जो 60 से कम है, और 8 64 के बराबर है, जो 60 से बड़ा है।
171. 10,000 से कम लेकिन 100 से बड़ी संख्या का मूल निकालना।बता दें कि √4082 खोजना जरूरी है। चूँकि यह संख्या 10,000 से कम है, तो इसका मूल √l0 000 = 100 से कम है। दूसरी ओर, यह संख्या 100 से अधिक है; इसलिए इसका मूल (या 10 के बराबर) से बड़ा है। (यदि, उदाहरण के लिए, इसे √ खोजने की आवश्यकता थी 120 , फिर हालांकि संख्या 120> 100, हालांकि √ 120 10 के बराबर है क्योंकि 11 2 = 121।) लेकिन कोई भी संख्या जो 10 से अधिक है लेकिन 100 से कम 2 अंक हैं; तो वांछित जड़ योग है:
दहाई + इकाई,
और इसलिए इसका वर्ग योग के बराबर होना चाहिए:
यह योग सबसे बड़ा वर्ग होना चाहिए, जिसमें 4082 शामिल है।
आइए उनमें से सबसे बड़ा लें, 36, और मान लें कि मूल के दसियों का वर्ग इस सबसे बड़े वर्ग के बराबर होगा। तब जड़ में दहाई की संख्या 6 होनी चाहिए। आइए अब जाँच करें कि यह हमेशा ऐसा ही होना चाहिए, अर्थात, मूल के दसियों की संख्या हमेशा मूल संख्या के सैकड़ों के सबसे बड़े पूर्णांक के बराबर होती है।
दरअसल, हमारे उदाहरण में, रूट के दसियों की संख्या 6 से अधिक नहीं हो सकती है, क्योंकि (7 dec।) 2 \u003d 49 सैकड़ों, जो 4082 से अधिक है। लेकिन यह 5 dec के बाद से 6 से कम नहीं हो सकता है। (इकाइयों के साथ) 6 डेस से कम है, और इस बीच (6 डेस।) 2 = 36 सैकड़ा, जो 4082 से कम है। और चूंकि हम सबसे बड़े पूर्णांक रूट की तलाश कर रहे हैं, हमें रूट के लिए 5 डेस नहीं लेना चाहिए, जब 6 दहाई बहुत अधिक नहीं है।
तो, हमें मूल के दसियों की संख्या मिली है, अर्थात् 6। हम इस संख्या को = चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं, यह याद रखते हुए कि इसका अर्थ मूल के दसियों से है। इसे चौक पर उठाने पर, हमें 36 शतक मिलते हैं। हम इन 36 सैकड़ों को मूल संख्या के 40 सैकड़ों में से घटाते हैं और इस संख्या के अन्य दो अंकों को हटा देते हैं। शेष 482 में 2 (6 dec.) (इकाइयां) + (इकाइयां) 2 होनी चाहिए। (6 dec.) (इकाई) का गुणनफल दहाई होना चाहिए; इसलिए, इकाइयों द्वारा दसियों के दोहरे उत्पाद को शेष के दसियों में खोजा जाना चाहिए, अर्थात 48 में (हम शेष 48 "2 में एक अंक को दाईं ओर से अलग करके उनकी संख्या प्राप्त करेंगे। जो अभी तक ज्ञात नहीं हैं) , तो हमें 48 में निहित संख्या प्राप्त करनी चाहिए। इसलिए, हम 48 को 12 से विभाजित करेंगे।
ऐसा करने के लिए, हम शेष के बाईं ओर और उसके पीछे एक लंबवत रेखा खींचते हैं (लक्ष्य के लिए बाईं ओर एक स्थान से बाईं ओर प्रस्थान करते हुए जो अब मिलेगा) हम मूल के पहले अंक को दोहराते हैं, अर्थात 12, और इसमें 48 को विभाजित करें।भागफल में हमें 4 प्राप्त होता है।
हालाँकि, कोई भी अग्रिम रूप से गारंटी नहीं दे सकता है कि संख्या 4 को मूल की इकाइयों के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि अब हमने शेष के दसियों की पूरी संख्या को 12 से विभाजित कर दिया है, जबकि उनमें से कुछ दहाई के दोहरे उत्पाद से संबंधित नहीं हो सकते हैं। इकाइयों द्वारा, लेकिन इकाइयों के वर्ग का हिस्सा हैं। इसलिए, संख्या 4 बड़ी हो सकती है। आपको उसका परीक्षण करना होगा। यह स्पष्ट रूप से उपयुक्त है यदि 2 (6 दिस.) 4 + 4 2 का योग शेष 482 से अधिक नहीं है।
नतीजतन, हम तुरंत दोनों का योग प्राप्त करते हैं। परिणामी गुणनफल 496 निकला, जो शेष 482 से अधिक है; तो 4 बड़ा है। फिर हम अगली छोटी संख्या 3 का परीक्षण इसी तरह करेंगे।
उदाहरण।
चौथे उदाहरण में, जब शेषफल के 47 दहाइयों को 4 से विभाजित करते हैं, तो हमें भागफल में 11 प्राप्त होता है। लेकिन चूँकि मूल का इकाई अंक दो अंकों की संख्या 11 या 10 नहीं हो सकता है, हमें सीधे संख्या 9 का परीक्षण करना चाहिए।
पांचवें उदाहरण में, वर्ग के पहले फलक में से 8 घटाने के बाद शेषफल 0 है, और अगला फलक भी शून्य से बना है। इससे पता चलता है कि अभीष्ट मूल में केवल 8 दहाई हैं, और इसलिए इकाई के स्थान पर शून्य रखा जाना चाहिए।
172. 10000 से बड़ी संख्या का मूल निकालना. इसे √35782 खोजने की आवश्यकता है। चूंकि मूल संख्या 10,000 से अधिक है, तो इसकी जड़ √10000 = 100 से अधिक है और इसलिए, इसमें 3 अंक या अधिक होते हैं। इसमें कितने भी अंक क्यों न हों, हम हमेशा इसे केवल दहाई और इकाई का योग ही मान सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, मूल 482 निकला, तो हम इसे 48 डेस के योग के रूप में मान सकते हैं। + 2 इकाइयां तब मूल के वर्ग में 3 पद होंगे:
(दि.) 2 + 2 (दि.) (अ.) + (अ.) 2 .
अब हम ठीक उसी तरह तर्क कर सकते हैं जैसे √4082 (पिछले पैराग्राफ में) खोजते समय। अंतर केवल इतना होगा कि 4082 के मूल की दहाई ज्ञात करने के लिए हमें 40 का मूल निकालना होगा, और यह गुणन तालिका का उपयोग करके किया जा सकता है; अब, दहाई√35782 प्राप्त करने के लिए, हमें 357 का मूल निकालना होगा, जो गुणन तालिका का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। लेकिन हम पिछले पैराग्राफ में बताई गई ट्रिक से √357 पा सकते हैं, क्योंकि संख्या 357 है< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.
अगला, हम उसी तरह आगे बढ़ते हैं जैसे हमने √4082 को खोजते समय किया था, अर्थात्: 3382 के शेष के बाईं ओर हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं और इसके बाद हम लिखते हैं (एक स्थान से रेखा से प्रस्थान करते हुए) मूल दसियों की संख्या का दोगुना, यानी। 36 (दो बार 18)। शेष में, हम दाईं ओर के एक अंक को अलग करते हैं और शेष की दसियों की संख्या, यानी 338, को 36 से विभाजित करते हैं। भागफल में हमें 9 प्राप्त होता है। हम इस संख्या का परीक्षण करते हैं, जिसके लिए हम इसे दाईं ओर 36 से जोड़ते हैं और इसे इससे गुणा करें। गुणनफल 3321 निकला, जो शेष से कम है। अतः 9 अंक अच्छा है, इसे हम मूल पर लिखते हैं।
सामान्य तौर पर, किसी भी पूर्ण संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, पहले उसके सैकड़ों का मूल निकालना होगा; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको इन सैकड़ों की संख्या से, यानी दी गई संख्या के हजारों में से रूट की तलाश करनी होगी; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको सैकड़ों, दसियों हज़ारों की संख्या से रूट लेना होगा, अर्थात दी गई संख्या के लाखों से, आदि।
उदाहरण।
पिछले उदाहरण में, पहले अंक को खोजने और उसके वर्ग को घटाने पर, हमें शेषफल में 0 प्राप्त होता है। हम अगले 2 अंक 51 को हटा देते हैं। 5 बटा 6 हमें 0 मिलता है हम 0 को रूट पर दूसरे स्थान पर रखते हैं और अगले 2 अंकों को शेष के लिए ध्वस्त कर देते हैं; हमें 5110 मिलते हैं। फिर हम हमेशा की तरह जारी रखते हैं।
इस उदाहरण में, वांछित मूल में केवल 9 सैकड़े होते हैं, और इसलिए दहाई और इकाई के स्थान पर शून्य लगाना चाहिए।
नियम। किसी दिए गए पूर्णांक का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे दाएँ हाथ से बाईं ओर, किनारे पर, प्रत्येक में 2 अंकों के साथ, पिछले एक को छोड़कर, जिसमें एक अंक हो सकता है, तोड़ दें।
मूल का पहला अंक ज्ञात करने के लिए पहले फलक का वर्गमूल निकालें।
दूसरा अंक ज्ञात करने के लिए, मूल के पहले अंक का वर्ग पहले फलक से घटाया जाता है, दूसरे फलक को शेष भाग के लिए ध्वस्त किया जाता है, और परिणामी संख्या के दसियों की संख्या को मूल के पहले अंक के दोगुने से विभाजित किया जाता है। ; परिणामी पूर्णांक का परीक्षण किया जाता है।
यह परीक्षण निम्नानुसार किया जाता है: ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे (शेष के बाईं ओर) वे रूट की दो बार पहले मिली संख्या लिखते हैं और इसके दाईं ओर, वे परीक्षण आकृति, परिणामी संख्या, के बाद इसके अलावा, संख्या को परीक्षण के आंकड़े से गुणा किया जाता है। यदि, गुणन के बाद, एक संख्या प्राप्त होती है जो शेष से अधिक है, तो परीक्षण का आंकड़ा अच्छा नहीं है और अगली छोटी संख्या का परीक्षण किया जाना चाहिए।
मूल की निम्नलिखित संख्याएँ इसी विधि से प्राप्त होती हैं।
यदि फलक को गिराने के बाद, परिणामी संख्या के दहाई की संख्या भाजक से कम हो जाती है, अर्थात मूल के पाए गए भाग के दोगुने से कम, तो जड़ में 0 लगा दिया जाता है, अगला फलक ध्वस्त कर दिया जाता है और कार्रवाई आगे भी जारी है।
173. मूल के अंकों की संख्या।मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया पर विचार करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल संख्या में जितने 2 अंक के फलक होते हैं उतने ही मूल में अंक होते हैं (बाईं ओर एक अंक हो सकता है)।
अध्याय दो।
पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं से अनुमानित वर्गमूल निकालना .
बहुपदों का वर्गमूल निकालते हुए, § 399 et seq के दूसरे भाग में जोड़ देखें।
174. एक सटीक वर्गमूल के चिन्ह।किसी दी गई संख्या का सटीक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसका वर्ग दी गई संख्या के ठीक बराबर होता है। आइए कुछ संकेतों को इंगित करते हैं जिनके द्वारा यह पता लगाया जा सकता है कि दी गई संख्या से सटीक रूट निकाला गया है या नहीं:
ए)यदि किसी दिए गए पूर्णांक से सटीक पूर्णांक रूट नहीं निकाला जाता है (शेष को निकालने पर प्राप्त किया जाता है), तो ऐसी संख्या से भिन्नात्मक सटीक रूट नहीं पाया जा सकता है, क्योंकि कोई भी अंश जो पूर्णांक के बराबर नहीं है, जब स्वयं से गुणा किया जाता है , गुणनफल में एक अंश भी देता है, पूर्णांक नहीं।
बी)चूंकि एक अंश की जड़ भाजक की जड़ से विभाजित अंश की जड़ के बराबर होती है, इसलिए अंश से या भाजक से निकाले जाने पर एक अलघुकरणीय अंश का सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सटीक जड़ को 4/5, 8/9 और 11/15 के अंशों से नहीं निकाला जा सकता है, क्योंकि पहले अंश में इसे हर से नहीं निकाला जा सकता है, दूसरे में - अंश से और तीसरे में - न तो से अंश और न ही भाजक से।
ऐसी संख्याओं से, जिनसे यथार्थ मूल निकालना असंभव है, केवल सन्निकट मूल ही निकाले जा सकते हैं।
175. अनुमानित जड़ 1 तक. किसी दी गई संख्या के 1 तक का अनुमानित वर्गमूल (पूर्णांक या भिन्नात्मक - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) एक पूर्णांक है जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करता है:
1) इस संख्या का वर्ग दी गई संख्या से अधिक नहीं है; 2) लेकिन इस संख्या का वर्ग 1 की वृद्धि दी गई संख्या से अधिक है। दूसरे शब्दों में, 1 तक का अनुमानित वर्गमूल किसी दी गई संख्या का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल होता है, यानी वह मूल जिसे हमने पिछले अध्याय में खोजना सीखा था। इस रूट को 1 तक अनुमानित कहा जाता है, क्योंकि एक सटीक रूट प्राप्त करने के लिए, 1 से कम कुछ भिन्न को इस अनुमानित रूट में जोड़ना होगा, इसलिए यदि हम किसी अज्ञात सटीक रूट के बजाय इस अनुमानित रूट को लेते हैं, तो हम बनाएंगे 1 से कम त्रुटि।
नियम। 1 की सटीकता के साथ अनुमानित वर्गमूल निकालने के लिए, आपको दी गई संख्या के पूर्णांक भाग का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल निकालना होगा।
इस नियम के अनुसार पाई गई संख्या एक नुकसान के साथ एक अनुमानित जड़ है, क्योंकि इसमें सटीक जड़ के लिए कुछ अंश (1 से कम) का अभाव है। यदि हम इस मूल को 1 से बढ़ाते हैं तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है जिसमें सटीक मूल पर कुछ आधिक्य होता है और यह आधिक्य 1 से कम होता है। अतिरेक। (नाम: कुछ गणितीय पुस्तकों में "कमी के साथ" या "अधिकता के साथ" को अन्य समकक्षों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: "कमी से" या "अतिरिक्त द्वारा"।)
176. 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित जड़. इसे √2.35104 को 1/10 तक खोजने की आवश्यकता है। इसका मतलब यह है कि ऐसे दशमलव अंश को खोजने की आवश्यकता है, जिसमें पूरी इकाइयां और दसवीं शामिल हों, और जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करे:
1) इस अंश का वर्ग 2.35104 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इसे 1/10 से बढ़ाते हैं, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 2.35104 से अधिक हो जाता है।
ऐसा अंश ज्ञात करने के लिए, हम पहले 1 तक का सन्निकट मूल ज्ञात करते हैं, अर्थात्, हम केवल पूर्णांक 2 से ही मूल निकालते हैं। हमें 1 प्राप्त होता है (और शेषफल 1 है)। हम संख्या 1 को रूट पर लिखते हैं और उसके बाद एक अल्पविराम लगाते हैं। अब हम दहाई की संख्या की तलाश करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम अल्पविराम के दाईं ओर 35 अंक को 1 के शेष के लिए नीचे ले जाते हैं, और निष्कर्षण जारी रखते हैं जैसे कि हम पूर्णांक 235 से रूट निकाल रहे थे। हम परिणामी संख्या 5 को रूट के स्थान पर लिखते हैं। दशमांश का। हमें मूलांक संख्या (104) के शेष अंकों की आवश्यकता नहीं है। निम्नलिखित से स्पष्ट है कि परिणामी संख्या 1.5 वास्तव में 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित जड़ होगी। यदि हम 1 की सटीकता के साथ 235 का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल ज्ञात करें, तो हमें 15 प्राप्त होगा। इसलिए:
15 2 < 235, लेकिन 16 2 >235।
इन सभी संख्याओं को 100 से भाग देने पर हम पाते हैं:
इसका मतलब यह है कि संख्या 1.5 वह दशमलव अंश है, जिसे हम 1/10 की सटीकता के साथ सन्निकट मूल कहते हैं।
हम इस विधि से 0.1 की सटीकता के साथ निम्नलिखित अनुमानित जड़ें भी पाते हैं:
177. 1/100 से 1/1000, आदि की सटीकता के साथ अनुमानित वर्गमूल।
इसे 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित √248 खोजने की आवश्यकता है। इसका अर्थ है: एक ऐसा दशमलव अंश ज्ञात करना, जिसमें पूर्णांक, दसवां और सौवां भाग शामिल हो और जो दो आवश्यकताओं को पूरा करे:
1) इसका वर्ग 248 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इस अंश को 1/100 से बढ़ाते हैं, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 248 से अधिक हो जाता है।
हम इस तरह के एक अंश को निम्नलिखित क्रम में पाएंगे: पहले हम एक पूर्णांक, फिर दसवां अंक, फिर सौवां अंक पाएंगे। एक पूर्णांक का वर्गमूल 15 पूर्णांक होगा। दसवें की संख्या प्राप्त करने के लिए, जैसा कि हमने देखा है, दशमलव बिंदु के दाईं ओर शेष 23 2 और अंकों को नीचे ले जाना आवश्यक है। हमारे उदाहरण में, ये संख्याएँ बिल्कुल भी मौजूद नहीं हैं, हम उनके स्थान पर शून्य लगाते हैं। उन्हें शेष को असाइन करना और कार्रवाई जारी रखना जैसे कि हम पूर्णांक 24,800 की जड़ खोज रहे थे, हम दसवां अंक 7 पाएंगे। यह सौवें अंक को खोजने के लिए शेष है। ऐसा करने के लिए, हम शेष 151 में 2 और शून्य जोड़ते हैं और निष्कर्षण जारी रखते हैं, जैसे कि हम पूर्णांक 2,480,000 का मूल ज्ञात कर रहे हों। हमें 15.74 प्राप्त होता है। निम्नलिखित से स्पष्ट है कि यह संख्या वास्तव में 1/100 के भीतर 248 का अनुमानित मूल है। यदि हम पूर्णांक 2,480,000 का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करें, तो हमें 1574 प्राप्त होगा; साधन:
1574 2 < 2,480,000 लेकिन 1575 2 > 2,480,000।
सभी संख्याओं को 10,000 (= 100 2) से भाग देने पर, हम पाते हैं:
तो 15.74 वह दशमलव अंश है जिसे हम 248 के 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।
1/1000 से 1/10000 आदि की सटीकता के साथ अनुमानित जड़ खोजने के लिए इस तकनीक को लागू करने पर, हम निम्नलिखित पाते हैं।
नियम। किसी दिए गए पूर्णांक या किसी दिए गए दशमलव अंश से 1/10 से 1/100 से 1/100 की सटीकता के साथ एक अनुमानित रूट निकालने के लिए, पहले 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित रूट खोजें, रूट से रूट निकालना पूर्णांक (यदि यह नहीं है, तो वे 0 पूर्णांकों के मूल के बारे में लिखते हैं)।
तो दशांश की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, शेष को ध्वस्त कर दिया जाता है, अल्पविराम के दाईं ओर कट्टरपंथी संख्या के 2 अंक (यदि वे नहीं हैं, तो दो शून्य को शेष के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है), और निष्कर्षण उसी तरह से जारी रहता है जैसे निकालने के दौरान किया जाता है एक पूर्णांक से जड़। परिणामी आकृति को दशमांश के स्थान पर मूल पर लिखा जाता है।
तो सौवें की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, दो संख्याओं को फिर से शेष के लिए ध्वस्त कर दिया जाता है, जो कि अभी-अभी ध्वस्त किए गए थे, आदि।
इस प्रकार, एक दशमलव अंश के साथ एक पूर्णांक से रूट निकालने पर, अल्पविराम से शुरू होने वाले प्रत्येक को 2 अंकों से विभाजित करना आवश्यक है, दोनों को बाईं ओर (संख्या के पूर्णांक भाग में) और दाईं ओर (आंशिक में) भाग)।
उदाहरण।
1) 1/100 रूट तक खोजें: a) √2; बी) √0.3;
पिछले उदाहरण में, हमने मूल के 4 दशमलव स्थानों को खोजने के लिए आवश्यक 4 चेहरों को बनाने के लिए 8 दशमलव स्थानों की गणना करके 3/7 को दशमलव में बदल दिया।
178. वर्गमूलों की तालिका का विवरण।इस पुस्तक के अंत में चार अंकों के साथ गणना की गई वर्गमूल की तालिका है। इस तालिका का उपयोग करके, आप एक पूर्णांक (या दशमलव अंश) का वर्गमूल तुरंत पा सकते हैं, जो चार अंकों से अधिक में व्यक्त नहीं किया गया है। इस तालिका को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, यह समझाने से पहले, हम ध्यान दें कि हम हमेशा तालिका की सहायता के बिना मूल संख्या पर एक नज़र डालकर वांछित रूट का पहला महत्वपूर्ण अंक पा सकते हैं; हम यह भी आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि किस दशमलव स्थान का अर्थ रूट का पहला अंक है और इसलिए, जहां रूट में, जब हमें इसके अंक मिलते हैं, तो हमें अल्पविराम लगाने की आवश्यकता होती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
1) √5"27,3 . पहला अंक 2 होगा, क्योंकि मूल संख्या के बाईं ओर 5 है; और 5 का मूल 2 है। इसके अलावा, चूंकि सभी चेहरों की मूल संख्या के पूर्णांक भाग में केवल 2 हैं, तो वांछित मूल के पूर्णांक भाग में 2 अंक होने चाहिए और इसलिए, इसके पहले अंक 2 का अर्थ होना चाहिए दसियों।
2) √9.041। स्पष्ट है कि इस मूल में पहला अंक 3 सरल मात्रक होगा।
3) √0.00"83"4 . पहला महत्वपूर्ण अंक 9 है, क्योंकि पहला महत्वपूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए जिस चेहरे से जड़ को निकालना होगा, वह 83 है, और 83 की जड़ 9 है। चूंकि वांछित संख्या में न तो पूर्णांक और न ही दसवां हिस्सा होगा, पहले अंक 9 का मतलब सौवां होना चाहिए।
4) √0.73 "85। पहला महत्वपूर्ण आंकड़ा 8 दसवां है।
5) √0.00 "00" 35 "7. पहला सार्थक अंक 5 हजारवां होगा।
आइए एक और टिप्पणी करें। मान लीजिए कि ऐसी संख्या से रूट निकालने की आवश्यकता है, जो उसमें कब्जा कर लिया गया एक को छोड़ने के बाद, ऐसी संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है: 5681। यह रूट निम्न में से एक हो सकता है:
यदि हम उन जड़ों को लेते हैं जिन्हें हमने एक पंक्ति से रेखांकित किया है, तो वे सभी संख्याओं की एक ही श्रृंखला द्वारा व्यक्त की जाएंगी, ठीक वही संख्याएँ जो 5681 से मूल निकालकर प्राप्त की जाती हैं (ये संख्याएँ 7, 5, 3, 7 होंगी ). इसका कारण यह है कि इन सभी उदाहरणों में जड़ के अंक ज्ञात करते समय जिन फलकों में मूलांक संख्या को विभाजित किया जाना है, वे फलक समान होंगे, इसलिए प्रत्येक मूल के अंक समान होंगे (केवल अल्पविराम की स्थिति निश्चित रूप से अलग होगा)। इसी तरह, सभी जड़ों में, हमारे द्वारा दो पंक्तियों के साथ रेखांकित, वही संख्याएं प्राप्त की जानी चाहिए, जो कि √568.1 व्यक्त करते हैं (ये संख्याएं 2, 3, 8, 3 होंगी), और उसी कारण से। इस प्रकार, अंक 5681 की एक ही श्रृंखला द्वारा दर्शाई गई संख्याओं (अल्पविराम को हटाकर) से जड़ों के अंक दो गुना (और केवल दो गुना) प्रकार के होंगे: या तो यह 7, 5, 3, 7 की श्रृंखला है, या 2, 3, 8, 3 की एक श्रृंखला। जाहिर है, संख्याओं की किसी अन्य श्रृंखला के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इसलिए, जैसा कि अब हम देखेंगे, तालिका में, मूल संख्या के अंकों की प्रत्येक पंक्ति जड़ों के लिए अंकों की 2 पंक्तियों से मेल खाती है।
अब हम टेबल की संरचना और इसका उपयोग कैसे करें, इसकी व्याख्या कर सकते हैं। स्पष्टीकरण की स्पष्टता के लिए, हमने यहां तालिका के पहले पृष्ठ की शुरुआत को चित्रित किया है।
यह तालिका कई पृष्ठों तक फैली हुई है। उनमें से प्रत्येक पर, बाईं ओर पहले कॉलम में 10, 11, 12 ... (99 तक) नंबर रखे गए हैं। ये संख्याएँ उस संख्या के पहले 2 अंकों को व्यक्त करती हैं जिससे वर्गमूल खोजा जा रहा है। ऊपरी क्षैतिज रेखा में (साथ ही नीचे की ओर) संख्याएँ हैं: 0, 1, 2, 3 ... 9, जो इस संख्या का तीसरा अंक हैं, और फिर आगे दाईं ओर संख्याएँ 1, 2 हैं , 3. . . 9, इस संख्या के चौथे अंक का प्रतिनिधित्व करता है। अन्य सभी क्षैतिज रेखाओं में, 2 चार अंकों की संख्याएँ रखी जाती हैं, जो संबंधित संख्याओं के वर्गमूलों को व्यक्त करती हैं।
किसी संख्या, पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किए गए वर्गमूल को खोजने के लिए इसे आवश्यक होने दें। सर्वप्रथम, हम सारणी की सहायता के बिना मूल का पहला अंक और उसकी श्रेणी ज्ञात करते हैं। फिर हम दी गई संख्या, यदि कोई हो, में अल्पविराम को हटा देते हैं। पहले मान लीजिए कि अल्पविराम को हटाने के बाद केवल 3 अंक शेष रह जाते हैं, उदाहरण के लिए। 114. हम सबसे बाएं कॉलम में तालिका में पहले 2 अंक, यानी 11 पाते हैं, और उनसे क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं, जब तक कि हम ऊर्ध्वाधर कॉलम तक नहीं पहुंच जाते, जिसके शीर्ष पर (और नीचे) तीसरा अंक है। संख्या का , अर्थात 4। इस स्थान पर हमें दो चार अंकों की संख्याएँ मिलती हैं: 1068 और 3376। इन दोनों में से कौन सी संख्या लेनी चाहिए और इसमें अल्पविराम कहाँ लगाना चाहिए, यह मूल के पहले अंक द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसका डिस्चार्ज, जो हमने पहले पाया था। इसलिए, यदि आपको √0.11 "4 खोजने की आवश्यकता है, तो रूट का पहला अंक 3 दसवां है, और इसलिए हमें रूट के लिए 0.3376 लेना चाहिए। यदि √1.14 खोजने की आवश्यकता होती है, तो रूट का पहला अंक होगा 1 होगा, और फिर हम 1.068 लेंगे।
इस प्रकार हम आसानी से पा सकते हैं:
√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, आदि।
आइए अब मान लें कि 4 अंकों द्वारा व्यक्त की गई संख्या (अल्पविराम को हटाकर) की जड़ को खोजने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए √7 "45.6। यह देखते हुए कि मूल का पहला अंक 2 दहाई है, हम संख्या के लिए पाते हैं 745, जैसा कि अब समझाया गया है, संख्या 2729 (हम केवल इस संख्या को एक उंगली से देखते हैं, लेकिन इसे लिखते नहीं हैं।) फिर हम इस संख्या से दाईं ओर टेबल के दाईं ओर (पीछे) तक आगे बढ़ते हैं। अंतिम बोल्ड लाइन) हम उस वर्टिकल कॉलम से मिलते हैं जो इस नंबर के चौथे अंक के ऊपर (और नीचे) चिह्नित है, यानी नंबर 6, और हम वहां नंबर 1 पाते हैं। यह वह सुधार होगा जिसे लागू किया जाना चाहिए (में) दिमाग) पहले मिली संख्या 2729 तक; हमें 2730 मिलता है। हम इस संख्या को लिखते हैं और इसमें उचित स्थान पर अल्पविराम लगाते हैं: 27.30।
इस प्रकार हम पाते हैं, उदाहरण के लिए:
√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 \u003d 0.2107, आदि।
यदि मूल संख्या केवल एक या दो अंकों में व्यक्त की जाती है, तो हम मान सकते हैं कि इन अंकों के बाद एक या दो शून्य हैं, और फिर तीन अंकों की संख्या के लिए समझाया गया है। उदाहरण के लिए √2.7 = √2.70 =1.643; √0.13 \u003d √0.13 "0 \u003d 0.3606, आदि।
अंत में, यदि मूल संख्या 4 से अधिक अंकों द्वारा व्यक्त की जाती है, तो हम उनमें से केवल पहले 4 को लेंगे, और बाकी को छोड़ देंगे, और त्रुटि को कम करने के लिए, यदि छोड़े गए अंकों में से पहला 5 या 5 से अधिक है, तो हम बरकरार अंकों के चौथे को l से बढ़ा देंगे। इसलिए:
√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; और इसी तरह।
टिप्पणी। तालिकाएं अनुमानित वर्गमूल, कभी-कभी कमी के साथ, कभी-कभी अधिकता के साथ, अर्थात्, इन अनुमानित जड़ों में से एक का संकेत देती हैं जो सटीक जड़ के करीब आती हैं।
179. साधारण भिन्नों से वर्गमूल निकालना।एक अप्रासंगिक अंश का सटीक वर्गमूल केवल तभी निकाला जा सकता है जब अंश के दोनों पद सटीक वर्ग हों। इस मामले में, अंश और भाजक से जड़ को अलग-अलग निकालने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए:
कुछ दशमलव परिशुद्धता के साथ एक साधारण अंश का अनुमानित वर्गमूल सबसे आसानी से पाया जा सकता है यदि हम पहले साधारण अंश को दशमलव में परिवर्तित करते हैं, इस अंश में दशमलव बिंदु के बाद दशमलव स्थानों की संख्या की गणना करते हैं, जो दशमलव की संख्या से दोगुनी होगी। वांछित जड़ में स्थान।
हालाँकि, आप अन्यथा कर सकते हैं। आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझाते हैं:
लगभग √ 5 / 24 ज्ञात कीजिए
चलिए हर को एक सटीक वर्ग बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के दोनों पदों को भाजक 24 से गुणा करना पर्याप्त होगा; लेकिन इस उदाहरण में, आप अन्यथा कर सकते हैं। हम 24 को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं: 24 \u003d 2 2 2 3। इस अपघटन से यह देखा जा सकता है कि यदि 24 को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद में प्रत्येक प्रमुख कारक को कई बार दोहराया जाएगा, और, इसलिए, भाजक एक वर्ग बन जाएगा:
यह कुछ सटीकता के साथ √30 की गणना करने और परिणाम को 12 से विभाजित करने के लिए बनी हुई है। इस मामले में, यह ध्यान में रखना चाहिए कि सटीकता की डिग्री दिखाने वाला अंश भी 12 से विभाजित करने से घट जाएगा। इसलिए, यदि हम 1/10 की सटीकता के साथ √30 पाते हैं और परिणाम को 12 से विभाजित करते हैं, तो हमें 1/120 (अर्थात् 54/120 और 55/120) की सटीकता के साथ अंश 5/24 का अनुमानित मूल मिलता है।
अध्याय तीन।
फंक्शन ग्राफएक्स = √ वाई .
180. उलटा समारोह।चलो एक समीकरण है जो परिभाषित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , उदाहरण के लिए, यह: वाई = एक्स 2 . हम कह सकते हैं कि यह न केवल निर्धारित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , लेकिन यह भी, इसके विपरीत, निर्धारित करता है एक्स के एक समारोह के रूप में पर , हालांकि एक निहित तरीके से। इस कार्य को स्पष्ट करने के लिए, हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है एक्स , ले रहा पर ज्ञात संख्या के लिए; इसलिए, हमने जो समीकरण लिया है, उससे हम पाते हैं: वाई = एक्स 2 .
y को x के फलन के रूप में परिभाषित करने वाले समीकरण को हल करने के बाद x के लिए प्राप्त बीजगणितीय व्यंजक y को परिभाषित करने वाले का व्युत्क्रम फलन कहलाता है।
तो समारोह एक्स = √ वाई समारोह उलटा वाई = एक्स 2 . यदि, जैसा कि प्रथागत है, स्वतंत्र चर को निरूपित किया जाता है एक्स , और आश्रित पर , तो हम अब प्राप्त प्रतिलोम फलन को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: वाई = √x . इस प्रकार, एक दिए गए (प्रत्यक्ष) के विपरीत एक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए, इस दिए गए फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले समीकरण से प्राप्त करना आवश्यक है एक्स निर्भर करना वाई और परिणामी व्यंजक में, प्रतिस्थापित करें वाई पर एक्स , ए एक्स पर वाई .
181. एक समारोह का ग्राफ वाई = √x . यह कार्य ऋणात्मक मान के साथ संभव नहीं है एक्स , लेकिन इसकी गणना किसी भी सकारात्मक मूल्य के लिए (किसी भी सटीकता के साथ) की जा सकती है एक्स , और ऐसे प्रत्येक मान के लिए, फ़ंक्शन को समान निरपेक्ष मान के साथ दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ। यदि परिचित हो √ हम केवल वर्गमूल के अंकगणितीय मान को निरूपित करते हैं, फिर फ़ंक्शन के इन दो मानों को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: वाई = ± √ एक्स इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आपको पहले इसके मानों की तालिका बनानी होगी। इस तालिका को संकलित करने का सबसे आसान तरीका प्रत्यक्ष फ़ंक्शन मानों की तालिका से है:
वाई = एक्स 2 .
|
एक्स |
||||||||||||
|
वाई |
यदि मान पर मूल्यों के रूप में लें एक्स , और इसके विपरीत:
वाई = ± √ एक्स
इन सभी मानों को रेखाचित्र पर रखने पर हमें निम्नलिखित आलेख प्राप्त होता है।
उसी आरेखण में, हमने (धराशायी रेखा) और प्रत्यक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ को चित्रित किया वाई = एक्स 2 . आइए इन दो चार्टों की तुलना करें।
182. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम कार्यों के रेखांकन के बीच संबंध।उलटा फ़ंक्शन मानों की तालिका संकलित करने के लिए वाई = ± √ एक्स हमने लिया एक्स वे संख्याएँ जो प्रत्यक्ष कार्य तालिका में हैं वाई = एक्स 2 के लिए मूल्यों के रूप में कार्य किया पर , और के लिए पर उन नंबरों को लिया; जो इस तालिका में के लिए मान थे एक्स . इससे यह पता चलता है कि दोनों ग्राफ़ समान हैं, केवल प्रत्यक्ष फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष इतना स्थित है पर - s कैसे व्युत्क्रम फलन का ग्राफ अक्ष के सापेक्ष स्थित होता है एक्स - ओव। नतीजतन, अगर हम ड्राइंग को एक सीधी रेखा के चारों ओर मोड़ते हैं ओए एक समकोण को समद्विभाजित करना xOy , ताकि आरेखण का वह भाग जिसमें अर्धअक्ष हो कहां , अर्ध-अक्ष वाले हिस्से पर गिरा ओह , वह कहां के साथ संगत ओह , सभी डिवीजन कहां डिवीजनों के साथ मेल खाता है ओह , और परवलय के बिंदु वाई = एक्स 2 ग्राफ पर संबंधित बिंदुओं के साथ मेल खाता है वाई = ± √ एक्स . उदाहरण के लिए डॉट्स एम और एन , जिसका क्रम 4 , और भुज 2 और - 2 , बिंदुओं से मेल खाता है एम" और एन" , जिसका भुज 4 , और निर्देशांक 2 और - 2 . यदि ये बिंदु मेल खाते हैं, तो इसका मतलब है कि रेखाएँ एमएम" और एनएन" के लिए सीधा ओएऔर इस सीधी रेखा को आधे में विभाजित करें। दोनों ग्राफ़ पर अन्य सभी प्रासंगिक बिंदुओं के लिए भी यही कहा जा सकता है।
इस प्रकार, व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्रत्यक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होना चाहिए, लेकिन ये ग्राफ़ अलग-अलग स्थित हैं, अर्थात् कोण के द्विभाजक के संबंध में सममित रूप से एक दूसरे के साथ बजरा . हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम फलन का ग्राफ कोण के समद्विभाजक के संबंध में प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ का प्रतिबिंब (दर्पण की तरह) है बजरा .
