बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
अनुभाग: अंक शास्त्र
कक्षा: 9
एक अनिवार्य सीखने का परिणाम फॉर्म की असमानता को हल करने की क्षमता है:
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी ><0
एक द्विघात फलन के योजनाबद्ध ग्राफ़ पर आधारित।
अक्सर, नकारात्मक प्रथम गुणांक के साथ वर्ग असमानताओं को हल करते समय छात्र गलतियाँ करते हैं। पाठ्यपुस्तक ऐसे मामलों में असमानता को x 2 (उदाहरण संख्या 3) पर सकारात्मक गुणांक के साथ एक समकक्ष के साथ बदलने का प्रस्ताव करती है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र समझें कि उन्हें समाधान के लिए मूल असमानता के बारे में "भूलने" की जरूरत है ऊपर की ओर इशारा करने वाली शाखाओं के साथ एक परवलय को चित्रित करना आवश्यक है। आप अलग तरह से बहस कर सकते हैं.
मान लीजिए हमें असमानता को हल करने की आवश्यकता है:
-x 2 + 2x -5<0
सबसे पहले, पता लगाएं कि फ़ंक्शन y=-x 2 +2x-5 का ग्राफ़ OX अक्ष को काटता है या नहीं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:
समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए, फ़ंक्शन y \u003d -x 2 + 2x-5 का ग्राफ पूरी तरह से एक्स अक्ष और असमानता -x 2 + 2x-5 से नीचे है<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
हल करने की क्षमता का अभ्यास नंबर 111 और नंबर 119 पर किया जाता है। ऐसी असमानताओं x 2 +5>0, -x 2 -3≤0 पर विचार करना अनिवार्य है; 3x 2 >0 आदि।
बेशक, ऐसी असमानताओं को हल करते समय, आप परवलय का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, मजबूत छात्रों को ड्राइंग का सहारा लिए बिना, तुरंत उत्तर देना चाहिए। इस मामले में, स्पष्टीकरण की आवश्यकता आवश्यक है, उदाहरण के लिए: x के किसी भी मान के लिए x 2 ≥0 और x 2 +7>0। कक्षा की तैयारी के स्तर के आधार पर, आप स्वयं को इन संख्याओं तक सीमित कर सकते हैं या संख्या 120 संख्या 121 का उपयोग कर सकते हैं। उनमें सरल समान परिवर्तन करना आवश्यक है, इसलिए कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति होगी। ये नंबर मजबूत छात्रों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। यदि एक अच्छा परिणाम प्राप्त होता है और वर्ग असमानताओं के समाधान से कोई समस्या नहीं होती है, तो छात्रों को असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए आमंत्रित किया जा सकता है जिसमें एक या दोनों असमानताएँ वर्ग होती हैं (अभ्यास 193, 194)।
यह न केवल द्विघात असमानताओं को हल करना दिलचस्प है, बल्कि यह समाधान कहां लागू किया जा सकता है: पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण का अध्ययन करने के फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढना (व्यायाम 122-124)। सबसे उन्नत छात्रों के लिए, आप इस पर विचार कर सकते हैं प्रपत्र के मापदंडों के साथ द्विघात असमानताएँ:
Ax2+Bx+C>0 (≥0)
एक्स 2+बीएक्स+सी<0 (≤0)
जहां A,B,C मापदंडों के आधार पर अभिव्यक्ति हैं, A≠0,x अज्ञात हैं।
असमानता Ax 2 +Bx+C>0
निम्नलिखित योजनाओं के अनुसार जांच की गई:
1)यदि A=0, तो हमारे पास एक रैखिक असमानता Bx+C>0 है
2) यदि A≠0 और विवेचक D>0, तो हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कर सकते हैं और असमानता प्राप्त कर सकते हैं
ए(x-x1) (x-x2)>0
x 1 और x 2 समीकरण Ax 2 +Bx+C=0 के मूल हैं
3)यदि A≠0 और D<0 то если A>0 समाधान वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होगा; ए पर<0 решений нет.
बाकी असमानताओं का अध्ययन इसी प्रकार किया जा सकता है।
वर्ग असमानताओं को हल करते समय इसका उपयोग किया जा सकता है, इसलिए यह वर्ग त्रिपद का गुण है
1) यदि A>0 और D<0 то Ax2+Bx+C>0- सभी एक्स के लिए।
2) यदि ए<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
द्विघात असमानता को हल करते समय, फ़ंक्शन y=Ax2+Bx+C के ग्राफ़ के योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है
उदाहरण: सभी पैरामीटर मानों के लिए, असमानता को हल करें
एक्स 2 +2(बी+1)एक्स+बी 2 >0
डी=4(बी+1) 2 -4बी 2 =4बी 2 +8बी+4-4बी 2
1)डी<0 т.е. 2b+1<0
x 2 के सामने का गुणांक 1>0 के बराबर है, तो असमानता सभी x के लिए मान्य है, अर्थात। Х є आर
2) डी=0 => 2बी+1=0
फिर x 2 +x+0>0
x ½(-∞;-½) U (-½;∞)
3) डी>0 =>2बी+1>0
वर्ग त्रिपद की जड़ों का रूप इस प्रकार है:
एक्स 1 =-बी-1-√2बी+1
एक्स 2 = -बी-1 + √2बी + 1
असमानता का रूप ले लेती है
(x-x 1) (x-x 2)>0
अंतराल विधि का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित असमानता दीजिए
असमानताओं को हल करने के परिणामस्वरूप, छात्र को यह समझना चाहिए कि दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करने के लिए, परवलय शीर्षों के निर्देशांक खोजने, पैमाने का अवलोकन करने से लेकर ग्राफ बनाने की विधि के अत्यधिक विवरण को त्यागने का प्रस्ताव है। , कोई अपने आप को द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्केच की छवि तक सीमित कर सकता है।
वरिष्ठ स्तर पर, द्विघात असमानताओं का समाधान व्यावहारिक रूप से एक स्वतंत्र कार्य नहीं है, बल्कि किसी अन्य समीकरण या असमानता (लघुगणक, घातीय, त्रिकोणमितीय) के समाधान के एक घटक के रूप में कार्य करता है। इसलिए, छात्रों को यह सिखाना आवश्यक है कि द्विघात असमानताओं को शीघ्रता से कैसे हल किया जाए। आप ए.ए. द्वारा पाठ्यपुस्तक से उधार लिए गए तीन प्रमेयों का उल्लेख कर सकते हैं। किसेलेवा।
प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c, जहां a>0, के 2 भिन्न वास्तविक मूल (D>0) हैं।
फिर: 1) चर x के सभी मानों के लिए जो छोटे मूल से कम और बड़े मूल से बड़े हैं, वर्ग त्रिपद धनात्मक है
2) वर्गमूलों के बीच x के मानों के लिए, त्रिपद ऋणात्मक है।
प्रमेय 2. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c दिया गया है, जहां a>0 के 2 समान वास्तविक मूल हैं (D=0)। फिर वर्ग त्रिपद की जड़ों से भिन्न x के सभी मानों के लिए, वर्ग त्रिपद धनात्मक है .
प्रमेय 3. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c दिया गया है जहां a>0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है (D)<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
उदाहरण के लिए: असमानता को हल करें:
डी=1+288=289>0
समाधान है
X≤-4/3 और x≥3/2
उत्तर (-∞; -4/3] उ
उत्तर उल्टी तरफ रखे गए हैं, आप आवंटित समय बीत जाने के बाद उन्हें देख सकते हैं। शिक्षक के संकेत पर पाठ की शुरुआत में यह कार्य करना सबसे सुविधाजनक है। (ध्यान दें, तैयार हो जाएं, शुरू करें)। "स्टॉप" आदेश पर कार्य बाधित हो जाता है।
कक्षा की तैयारी के स्तर के आधार पर कार्य के घंटे निर्धारित किये जाते हैं। गति में वृद्धि विद्यार्थी के कार्य का सूचक है।
परीक्षा उत्तीर्ण करते समय द्विघात असमानताओं को हल करने की क्षमता छात्रों के लिए उपयोगी होगी। समूह बी की समस्याओं में, द्विघात असमानताओं को हल करने की क्षमता से संबंधित अधिक से अधिक कार्य होते हैं।
उदाहरण के लिए:
एक पत्थर उर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। जब तक पत्थर गिरा नहीं, तब तक वह जिस ऊंचाई पर स्थित है, उसका वर्णन सूत्र द्वारा किया जाता है
(h मीटर में ऊंचाई है, t फेंकने के बाद बीता हुआ सेकंड में समय है)।
पता लगाएं कि पत्थर कितने सेकंड में कम से कम 9 मीटर की ऊंचाई पर था।
इसे हल करने के लिए, आपको एक असमानता लिखनी होगी:
5t2+18t-9≥0
उत्तर: 2.4 से
सामग्री का अध्ययन करने के चरण में 9वीं कक्षा में पहले से ही छात्रों को परीक्षा से उदाहरण देना शुरू करना, हम पहले से ही परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, एक पैरामीटर वाले वर्ग असमानताओं को हल करने से समूह सी से समस्याओं को हल करना संभव हो जाता है।
ग्रेड 9 में विषय का अध्ययन करने के लिए एक गैर-औपचारिक दृष्टिकोण "व्युत्पन्न का अनुप्रयोग" "अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करना" "लघुगणकीय समाधान" जैसे विषयों पर "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत" पाठ्यक्रम में सामग्री को आत्मसात करने की सुविधा प्रदान करता है। और घातीय असमानताएँ" "तर्कहीन असमानताओं को हल करना"।
इस पाठ में, हम अंतराल विधि का उपयोग करके बढ़ी हुई जटिलता की तर्कसंगत असमानताओं को हल करना जारी रखेंगे। उदाहरणों में, अधिक जटिल संयुक्त कार्यों का उपयोग किया जाएगा और ऐसी असमानताओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाली विशिष्ट त्रुटियों पर विचार किया जाएगा।
थीम: आहारवास्तविक असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ
पाठ: तर्कसंगत असमानताओं को हल करनापीओवीअत्यधिक जटिलता
1. पाठ का विषय, परिचय
हमने तर्कसंगत समाधान किया असमानताउन्हें हल करने के लिए फॉर्म और अंतराल विधि का उपयोग किया गया था। फलन या तो रैखिक था, या भिन्नात्मक रैखिक, या बहुपद था।
2. समस्या समाधान
आइए दूसरे प्रकार की असमानताओं पर विचार करें।
1. असमानता का समाधान करें
हम समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके असमानता को बदलते हैं।
अब हम फ़ंक्शन का पता लगा सकते हैं 
बिना किसी मूल वाले फ़ंक्शन पर विचार करें।
आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें और पढ़ें (चित्र 1)।
फ़ंक्शन किसी के लिए भी सकारात्मक है।
चूंकि हमने वह स्थापित कर लिया है 
हम इस अभिव्यक्ति द्वारा असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित कर सकते हैं।
किसी भिन्न के धनात्मक होने के लिए, अंश में एक धनात्मक हर होना चाहिए। 
आइए एक फ़ंक्शन पर विचार करें.
आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें - एक परवलय, जिसका अर्थ है कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं (चित्र 2)।
2. असमानता का समाधान करें
फ़ंक्शन पर विचार करें 
1. परिभाषा का क्षेत्र
2. फलन शून्य
3. स्थिरता के अंतराल का चयन करें.
4. चिन्हों को व्यवस्थित करना (चित्र 3)।
यदि कोष्ठक विषम डिग्री में है, तो मूल से गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न बदल जाता है। यदि कोष्ठक सम घात पर है, तो फ़ंक्शन चिह्न नहीं बदलता है।
हमने एक सामान्य गलती की - हमने उत्तर में मूल को शामिल नहीं किया। इस मामले में, शून्य की समानता की अनुमति है, क्योंकि असमानता सख्त नहीं है।
ऐसी गलतियों से बचने के लिए यह याद रखना जरूरी है
उत्तर: 
हमने जटिल असमानताओं और संभावित विशिष्ट त्रुटियों के साथ-साथ उन्हें खत्म करने के तरीकों के लिए अंतराल विधि पर विचार किया।
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।
3. असमानता का समाधान करें
आइए प्रत्येक कोष्ठक का अलग-अलग गुणनखंड करें।
, इसलिए इस कारक को नजरअंदाज किया जा सकता है।
अब आप अंतराल विधि लागू कर सकते हैं.
विचार करना 
हम अंश और हर को इससे कम नहीं करेंगे, यह एक गलती है।
1. परिभाषा का क्षेत्र
2. हम फ़ंक्शन के शून्य पहले से ही जानते हैं
यह फ़ंक्शन का शून्य नहीं है, क्योंकि यह परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है - इस मामले में, हर शून्य के बराबर है।
3. चिन्ह स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें।
4. हम अंतरालों पर चिह्न लगाते हैं और उन अंतरालों का चयन करते हैं जो हमारी शर्तों को पूरा करते हैं (चित्र 4)।
3. निष्कर्ष
हमने बढ़ी हुई जटिलता की असमानताओं पर विचार किया है, लेकिन अंतराल विधि हमें उन्हें हल करने की कुंजी देती है, इसलिए हम भविष्य में इसका उपयोग करेंगे।
1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ। - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी.: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार।
3. यू. एन. मकर्यचेव, बीजगणित। ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए. संस्थान / यू. एन. मकारिचेव, एन. जी. मिंड्युक, के. आई. नेशकोव, आई. ई. फेओक्टिस्टोव। - 7वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008।
4. श्री ए. अलीमोव, यू. एम. कोल्यागिन, और यू. वी. सिदोरोव, बीजगणित। श्रेणी 9 16वां संस्करण. - एम., 2011. - 287 पी।
5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 12वां संस्करण, मिटाया गया। — एम.: 2010. — 224 पी.: बीमार।
6. बीजगणित. श्रेणी 9 2 घंटे पर। भाग 2. शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12वां संस्करण, रेव. — एम.: 2010.-223 पी.: बीमार।
1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार। क्रमांक 37; 45(ए, सी); 47(बी, डी); 49.
1. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल।
2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल।
3. कंप्यूटर विज्ञान, गणित और रूसी भाषा में प्रवेश परीक्षाओं के लिए ग्रेड 10-11 की तैयारी के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक और पद्धतिगत परिसर।
4. वर्चुअल ट्यूटर.
5. शिक्षा केंद्र "शिक्षा की तकनीक"।
6. कॉलेज अनुभाग. गणित में आरयू.
इससे पहले कि आप इसका पता लगाएं द्विघात असमानता को कैसे हल करेंआइए विचार करें कि किस असमानता को वर्ग कहा जाता है।
याद करना!
असमानता कहलाती है वर्ग, यदि अज्ञात "x" की उच्चतम (महानतम) शक्ति दो के बराबर है।
आइए उदाहरणों का उपयोग करके असमानता के प्रकार को निर्धारित करने का अभ्यास करें।
द्विघात असमानता को कैसे हल करें
पिछले पाठों में, हमने चर्चा की कि रैखिक असमानताओं को कैसे हल किया जाए। लेकिन रैखिक असमानताओं के विपरीत, वर्ग असमानताओं को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है।
महत्वपूर्ण!
द्विघात असमानता को रैखिक की तरह ही हल करना असंभव है!
द्विघात असमानता को हल करने के लिए एक विशेष विधि का प्रयोग किया जाता है, जिसे कहा जाता है अंतराल विधि.
अंतराल विधि क्या है?
अंतराल विधिद्विघात असमानताओं को हल करने का एक विशेष तरीका कहा जाता है। नीचे हम बताएंगे कि इस पद्धति का उपयोग कैसे करें और इसका ऐसा नाम क्यों रखा गया है।
याद करना!
अंतराल विधि का उपयोग करके द्विघात असमानता को हल करने के लिए, आपको चाहिए:
हम समझते हैं कि ऊपर वर्णित नियमों को केवल सिद्धांत में समझना मुश्किल है, इसलिए हम तुरंत उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके द्विघात असमानता को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करेंगे।
द्विघात असमानता को हल करने के लिए यह आवश्यक है।
अब, जैसा कि कहा गया है, चिह्नित बिंदुओं के बीच के अंतराल पर "मेहराब" बनाएं।
आइए अंतराल के अंदर संकेत लगाएं। दाएं से बाएं, बारी-बारी से, "+" से शुरू करके, हम संकेतों को नोट करते हैं।
हमें बस निष्पादित करना है, अर्थात वांछित अंतरालों का चयन करना है और उन्हें प्रतिक्रिया में लिखना है। आइए अपनी असमानता की ओर लौटें।
चूँकि हमारी असमानता में x 2 + x − 12 ", इसलिए हमें ऋणात्मक अंतराल की आवश्यकता है। आइए सभी नकारात्मक क्षेत्रों को एक संख्यात्मक अक्ष पर छायांकित करें और हम उन्हें उत्तर में लिखेंगे।
केवल एक अंतराल नकारात्मक निकला, जो संख्या " −3" और "4" के बीच है, इसलिए हम इसे प्रतिक्रिया में दोहरी असमानता के रूप में लिखते हैं
"-3"।
आइए द्विघात असमानता का उत्तर लिखें।
उत्तर:-3
वैसे, यह ठीक इसलिए है क्योंकि हम द्विघात असमानता को हल करते समय संख्याओं के बीच के अंतराल पर विचार करते हैं, जिससे अंतराल की विधि को इसका नाम मिला।
उत्तर प्राप्त करने के बाद, यह सुनिश्चित करने के लिए कि समाधान सही है, इसकी जाँच करना समझदारी है।
आइए कोई भी संख्या चुनें जो प्राप्त उत्तर के छायांकित क्षेत्र में है " −3" और इसे मूल असमानता में "x" के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। यदि हमें सही असमानता मिलती है, तो हमने पाया कि द्विघात असमानता का उत्तर सही है।
उदाहरण के लिए, अंतराल से संख्या "0" लें। इसे मूल असमानता "x 2 + x - 12" में प्रतिस्थापित करें।
एक्स 2 + एक्स − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (सही)
समाधान क्षेत्र से एक संख्या प्रतिस्थापित करने पर हमें सही असमानता प्राप्त हुई, जिसका अर्थ है कि उत्तर सही पाया गया।
अंतराल की विधि द्वारा समाधान का संक्षिप्त अंकन
द्विघात असमानता के समाधान का संक्षिप्त रिकॉर्ड " x 2 + x − 12 ” अंतराल की विधि इस प्रकार दिखाई देगी:
एक्स 2 + एक्स − 12
x2 + x − 12 = 0
एक्स 1 =
|
एक्स 2 =
|
||||||||||||||||||||
एक्स 1 =
|
एक्स 2 =
 उत्तर: x ≤ 0 ; एक्स ≥
एक उदाहरण पर विचार करें जहां एक वर्ग असमानता में "x 2" के सामने एक नकारात्मक गुणांक है। 12. डालिंगर वी.ए. प्रवेश परीक्षाओं में सामान्य गणित की गलतियाँ और उनसे कैसे बचें। - ओम्स्क: ओम्स्क आईयूयू का प्रकाशन गृह, 1991। 3. डालिंगर वी.ए. गणित में अंतिम और प्रवेश परीक्षा में सफलता सुनिश्चित करने के लिए सब कुछ। अंक 5. घातांकीय, लघुगणकीय समीकरण, असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ: पाठ्यपुस्तक। - ओम्स्क: ओमजीपीयू पब्लिशिंग हाउस, 1996। 4. डालिंगर वी.ए. गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: विशिष्ट त्रुटियां, उनके कारण और रोकथाम के तरीके: पाठ्यपुस्तक। - ओम्स्क: "प्रकाशक-पॉलीग्राफिस्ट", 2002। 5. डालिंगर वी.ए., जुबकोव ए.एन. गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए हैंडबुक: गणित में आवेदकों की गलतियों का विश्लेषण और उन्हें रोकने के उपाय। - ओम्स्क: ओमजीपीयू पब्लिशिंग हाउस, 1991। 6. कुतासोव ए.डी. घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण, असमानताएँ, प्रणालियाँ: शिक्षण सहायता N7। - रूसी मुक्त विश्वविद्यालय का प्रकाशन गृह, 1992। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय छात्रों द्वारा की गई गलतियाँ बहुत विविध हैं: समाधान के गलत डिज़ाइन से लेकर तार्किक त्रुटियों तक। इस लेख में इन और अन्य त्रुटियों पर चर्चा की जाएगी। 1. सबसे आम गलती यह है कि छात्र, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अतिरिक्त स्पष्टीकरण के बिना, ऐसे परिवर्तनों का उपयोग करते हैं जो समतुल्यता का उल्लंघन करते हैं, जिससे जड़ों का नुकसान होता है और बाहरी घोड़ों की उपस्थिति होती है। आइए इस प्रकार की त्रुटियों के विशिष्ट उदाहरण देखें, लेकिन पहले हम पाठक का ध्यान निम्नलिखित विचार की ओर आकर्षित करते हैं: बाहरी जड़ों को प्राप्त करने से डरो मत, उन्हें जांच कर त्याग दिया जा सकता है, जड़ों को खोने से डरो। ए) समीकरण हल करें: लॉग3(5 - एक्स) = 3 - लॉग3(-1 - एक्स)। छात्र अक्सर इस समीकरण को निम्नलिखित तरीके से हल करते हैं। log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0, x1 = -4; x2 = 8. छात्र अक्सर, बिना किसी अतिरिक्त तर्क के, उत्तर में दोनों संख्याएँ लिख देते हैं। लेकिन जैसा कि जाँच से पता चलता है, संख्या x = 8 मूल समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि x = 8 पर समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष अपना अर्थ खो देते हैं। जाँच से पता चलता है कि संख्या x = -4 दिए गए समीकरण का मूल है। बी) समीकरण हल करें मूल समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र सिस्टम द्वारा दिया गया है दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम आधार x में लघुगणक को पास करते हैं, हमें प्राप्त होता है हम देखते हैं कि x = 1 पर इस अंतिम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष परिभाषित नहीं हैं, लेकिन यह संख्या मूल समीकरण का मूल है (हम इसे प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित कर सकते हैं)। इस प्रकार, एक नए आधार पर औपचारिक परिवर्तन के कारण जड़ का नुकसान हुआ। मूल x = 1 को खोने से बचने के लिए, आपको यह निर्दिष्ट करना चाहिए कि नया आधार एक के अलावा कोई अन्य सकारात्मक संख्या होनी चाहिए, और मामले x = 1 पर अलग से विचार करें। 2. त्रुटियों, या बल्कि कमियों का एक पूरा समूह इस तथ्य में निहित है कि छात्र समीकरणों की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने पर उचित ध्यान नहीं देते हैं, हालांकि कुछ मामलों में यह ठीक यही डोमेन है जो समाधान की कुंजी है। आइए इस संबंध में एक उदाहरण देखें। प्रश्न हल करें आइए इस समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र खोजें, जिसके लिए हम असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं:
जहां से हमारे पास x = 0 है। आइए प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा जांचें कि क्या संख्या x = 0 मूल समीकरण का मूल है उत्तर: x = 0. 3. छात्रों की एक सामान्य गलती यह है कि वे आवश्यक स्तर पर अवधारणाओं, सूत्रों, प्रमेयों के निर्माण और एल्गोरिदम की परिभाषाओं को नहीं जानते हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरण से जो कहा गया है उसकी पुष्टि करें। प्रश्न हल करें
यहाँ इस समीकरण का एक ग़लत समाधान है: सत्यापन से पता चलता है कि x = -2 मूल समीकरण का मूल नहीं है। निष्कर्ष से ही पता चलता है कि दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। हालाँकि, ऐसा नहीं है. दिए गए समीकरण में x = -4 प्रतिस्थापित करके, हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक मूल है। आइए विश्लेषण करें कि जड़ क्यों खो गई। मूल समीकरण में, अभिव्यक्ति x और x + 3 एक ही समय में नकारात्मक या दोनों सकारात्मक हो सकते हैं, लेकिन समीकरण से गुजरते समय, ये समान अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक हो सकती हैं। परिणामस्वरूप, परिभाषा का क्षेत्र संकुचित हो गया, जिससे जड़ों का ह्रास हुआ। मूल को खोने से बचने के लिए, आप निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं: आइए मूल समीकरण में योग के लघुगणक से उत्पाद के लघुगणक की ओर बढ़ें। इस मामले में, बाहरी जड़ों की उपस्थिति संभव है, लेकिन आप प्रतिस्थापन द्वारा उनसे छुटकारा पा सकते हैं। 4. समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय की गई कई गलतियाँ इस तथ्य का परिणाम हैं कि छात्र अक्सर समस्याओं को एक टेम्पलेट के अनुसार, यानी सामान्य तरीके से हल करने का प्रयास करते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं. असमानता का समाधान करें इस असमानता को सामान्य एल्गोरिथम तरीकों से हल करने का प्रयास करने से कोई उत्तर नहीं मिलेगा। यहां समाधान में असमानता के क्षेत्र पर असमानता के बाईं ओर प्रत्येक पद के मूल्यों का अनुमान लगाना शामिल होना चाहिए। असमानता की परिभाषा का क्षेत्र खोजें:
अंतराल (9;10] से सभी x के लिए अभिव्यक्ति में सकारात्मक मान हैं (घातांकीय फ़ंक्शन के मान हमेशा सकारात्मक होते हैं)। अंतराल (9;10] से सभी x के लिए अभिव्यक्ति x - 9 में सकारात्मक मान हैं, और अभिव्यक्ति lg(x - 9) में नकारात्मक मान या शून्य हैं, फिर अभिव्यक्ति (- (x - 9) lg(x) - 9) धनात्मक या शून्य के बराबर है। अंत में, हमारे पास x∈ (9;10] है। ध्यान दें कि चर के ऐसे मानों के लिए, असमानता के बाईं ओर प्रत्येक पद सकारात्मक है (दूसरा पद शून्य के बराबर हो सकता है), जिसका अर्थ है कि उनका योग हमेशा शून्य से बड़ा होता है। इसलिए, मूल असमानता का समाधान अंतराल (9;10] है। 5. त्रुटियों में से एक समीकरणों के आलेखीय समाधान से संबंधित है। प्रश्न हल करें हमारे अनुभव से पता चलता है कि छात्र, इस समीकरण को ग्राफ़िक रूप से हल करते हैं (ध्यान दें कि इसे अन्य प्राथमिक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है), केवल एक मूल प्राप्त होता है (यह रेखा y = x पर स्थित एक बिंदु का भुज है), क्योंकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ ये परस्पर व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ हैं। वास्तव में, मूल समीकरण की तीन जड़ें हैं: उनमें से एक पहले समन्वय कोण y \u003d x के द्विभाजक पर स्थित बिंदु का भुज है, दूसरा मूल और तीसरा मूल है। ध्यान दें कि फॉर्म के समीकरण logax = ax 0 पर हैं< a < e-e всегда имеют три действительных корня. यह उदाहरण निम्नलिखित निष्कर्ष को सफलतापूर्वक दर्शाता है: समीकरण f(x) = g(x) का ग्राफिकल समाधान "परिपूर्ण" है यदि दोनों फ़ंक्शन मल्टीमोनोटोनिक हैं (उनमें से एक बढ़ता है और दूसरा घटता है), और गणितीय रूप से पर्याप्त रूप से सही नहीं है मोनोटोन कार्यों का मामला (दोनों या तो एक साथ घटते हैं या एक साथ बढ़ते हैं)। 6. कई सामान्य गलतियाँ इस तथ्य के कारण होती हैं कि छात्र कार्यात्मक दृष्टिकोण के आधार पर समीकरणों और असमानताओं को सही ढंग से हल नहीं करते हैं। हम इस प्रकार की विशिष्ट त्रुटियाँ दिखाएँगे. ए) समीकरण xx = x को हल करें। समीकरण के बाईं ओर का फ़ंक्शन घातीय-शक्ति है, और यदि ऐसा है, तो डिग्री के आधार पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाने चाहिए: x> 0, x ≠ 1. आइए दिए गए दोनों भागों का लघुगणक लें समीकरण: जहाँ से हमारे पास x = 1 है। लघुगणक के कारण मूल समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र सीमित नहीं हुआ। लेकिन फिर भी हमने समीकरण की दो जड़ें खो दी हैं; प्रत्यक्ष अवलोकन से, हम पाते हैं कि x = 1 और x = -1 मूल समीकरण की जड़ें हैं। बी) समीकरण हल करें पिछले मामले की तरह, हमारे पास एक घातीय-शक्ति फ़ंक्शन है, जिसका अर्थ है x > 0, x ≠ 1. मूल समीकरण को हल करने के लिए, हम किसी भी आधार में इसके दोनों भागों का लघुगणक लेते हैं, उदाहरण के लिए, आधार 10 में: यह मानते हुए कि दो कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है जब उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर है, जबकि दूसरा समझ में आता है, हमारे पास दो प्रणालियों का एक सेट है: पहली प्रणाली का कोई समाधान नहीं है; दूसरी प्रणाली से हमें x = 1 मिलता है। पहले लगाए गए प्रतिबंधों को देखते हुए, संख्या x = 1 मूल समीकरण का मूल नहीं होना चाहिए, हालांकि प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा हम यह सुनिश्चित करते हैं कि यह मामला नहीं है। 7. फॉर्म के एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा से जुड़ी कुछ त्रुटियों पर विचार करें। आइए एक उदाहरण के साथ त्रुटि दिखाएं। फ़ंक्शन की एकरसता का प्रकार निर्धारित करें। हमारे अभ्यास से पता चलता है कि अधिकांश छात्र इस मामले में केवल लघुगणक के आधार पर एकरसता का निर्धारण करते हैं, और 0 के बाद से< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает. नहीं! यह कार्य बढ़ता जा रहा है। दृश्य फ़ंक्शन के लिए सशर्त रूप से, आप लिख सकते हैं: बढ़ना (घटना)=घटना; बढ़ना (बढ़ना) = बढ़ना; घटना (घटना) = बढ़ना; घटना (बढ़ना)=घटना; 8. समीकरण हल करें यह कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा के तीसरे भाग से लिया गया है, जिसका मूल्यांकन अंकों द्वारा किया जाता है (अधिकतम अंक 4 है)। यहां एक समाधान है जिसमें त्रुटियां हैं, जिसका अर्थ है कि इसके लिए अधिकतम अंक नहीं दिया जाएगा। हम लघुगणक को आधार 3 पर घटाते हैं। समीकरण का रूप ले लेगा प्रबल करने से हमें प्राप्त होता है x1 = 1, x2 = 3. आइए बाहरी जड़ों की पहचान करने के लिए जाँच करें
अतः x = 1 मूल समीकरण का मूल है। इसलिए x = 3 मूल समीकरण का मूल नहीं है। आइए हम बताएं कि इस समाधान में त्रुटियां क्यों हैं। त्रुटि का सार यह है कि प्रविष्टि में दो बड़ी त्रुटियाँ हैं। पहली गलती: रिकॉर्ड का कोई मतलब ही नहीं बनता. दूसरी त्रुटि: यह सच नहीं है कि दो कारकों का उत्पाद, जिनमें से एक 0 है, आवश्यक रूप से शून्य है। शून्य तभी होगा जब एक कारक 0 हो और दूसरा कारक समझ में आता हो। यहाँ, बस, दूसरे गुणक का कोई मतलब नहीं है। 9. आइए हम उस त्रुटि पर लौटते हैं जिस पर पहले ही ऊपर टिप्पणी की जा चुकी है, लेकिन साथ ही हम कुछ नए तर्क भी देंगे। लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, वे समीकरण में चले जाते हैं। पहले समीकरण का प्रत्येक मूल दूसरे समीकरण का भी एक मूल है। आम तौर पर, इसका विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए, एक समीकरण से दूसरे समीकरण में जाते समय, अंत में मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा बाद की जड़ों की जांच करना आवश्यक है। जड़ों की जाँच करने के बजाय, समीकरण को समकक्ष प्रणाली से बदलने की सलाह दी जाती है यदि, लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय, अभिव्यक्तियाँ जहां n एक सम संख्या है, क्रमशः, सूत्रों के अनुसार रूपांतरित हो जाते हैं, , , फिर, चूंकि कई मामलों में समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र संकुचित हो गया है, इसकी कुछ जड़ें खो सकती हैं। इसलिए, इन सूत्रों को निम्नलिखित रूप में लागू करने की सलाह दी जाती है:
n एक सम संख्या है. इसके विपरीत, यदि लघुगणक समीकरण को हल करते समय, अभिव्यक्तियाँ, , , जहाँ n एक सम संख्या है, क्रमशः, अभिव्यक्तियों में परिवर्तित हो जाती हैं तब समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र विस्तारित हो सकता है, जिसके कारण बाहरी जड़ें प्राप्त करना संभव है। इसे ध्यान में रखते हुए, ऐसी स्थितियों में परिवर्तनों की समतुल्यता की निगरानी करना आवश्यक है और, यदि समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र विस्तारित होता है, तो परिणामी जड़ों की जांच करें। 10. प्रतिस्थापन का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, हम हमेशा पहले एक नए चर के संबंध में एक नई असमानता को हल करते हैं, और केवल इसके समाधान में हम पुराने चर में संक्रमण करते हैं। असमानता के बाईं ओर प्राप्त एक तर्कसंगत फ़ंक्शन की जड़ों को खोजने के चरण में, स्कूली बच्चे अक्सर गलती से उलटा संक्रमण कर लेते हैं। ऐसा नहीं करना चाहिए. 11. आइए असमानताओं के समाधान से संबंधित एक और त्रुटि का उदाहरण दें। असमानता का समाधान करें
यहां एक ग़लत समाधान है जो छात्र अक्सर पेश करते हैं। आइए मूल असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें। होगा: जहां से हमें एक गलत संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि दी गई असमानता का कोई समाधान नहीं है। परियोजना का समर्थन करें - लिंक साझा करें, धन्यवाद!
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