किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने का गणितीय विश्लेषण। अनिश्चितताओं के प्रकटीकरण के माध्यम से सीमाओं को हल करना

उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि इसकी सीमा क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? आप यह नहीं समझ सकते कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं, आप पूरी तरह से नहीं समझ सकते हैं कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "पांच" पर पा सकते हैं। लेकिन अगर आप यह नहीं समझेंगे कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। इसके अलावा, निर्णयों के डिजाइन के नमूनों और डिजाइन के लिए मेरी सिफारिशों से खुद को परिचित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत की गई है।

और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए, हमें निम्नलिखित पद्धति संबंधी सामग्रियों की आवश्यकता है: उल्लेखनीय सीमाएँऔर त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं. मैनुअल को प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह अधिक सुविधाजनक है, इसके अलावा, उन्हें अक्सर ऑफ़लाइन एक्सेस करना पड़ता है।

अद्भुत सीमाओं के बारे में उल्लेखनीय क्या है? इन सीमाओं की उल्लेखनीयता इस तथ्य में निहित है कि उन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञों के महान दिमागों द्वारा सिद्ध किया गया था, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक और डिग्री के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। अर्थात्, सीमाएँ ज्ञात करते समय, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई उल्लेखनीय सीमाएँ हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में अंशकालिक छात्रों की दो उल्लेखनीय सीमाएँ हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक बहुत ही विशिष्ट चीज़ से होता है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा से।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "हे" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री की प्रस्तुति के संदर्भ में अधिक सुविधाजनक है)।

सीमाएं खोजने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें)। सीमाएँ. समाधान के उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की ज्या शून्य है), हर में, जाहिर है, शून्य भी। इस प्रकार, हमें फॉर्म की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, जिसे सौभाग्य से प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के क्रम में यह सिद्ध होता है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम आगे के पाठ में इसके ज्यामितीय अर्थ पर विचार करेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर व्यावहारिक कार्यों में, कार्यों को अलग ढंग से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में कोई सीमा दी गई है तो उसे बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए उसी रूप में हल करना होगा।

व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक प्राथमिक फ़ंक्शन, एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है। केवल यह महत्वपूर्ण है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त हो.

उदाहरण:
, , ,

यहाँ , , , , और सब कुछ गुलजार है - पहली अद्भुत सीमा लागू है।

और यहाँ अगली प्रविष्टि है - विधर्म:

क्यों? चूँकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे, सवाल बैकफ़िलिंग का है, लेकिन सीमा क्या है ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना सहज नहीं है, लगभग कभी भी किसी छात्र को निःशुल्क सीमा को हल करने और आसान क्रेडिट प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाएगी। हम्म्म... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर लगता है, यह परीक्षण में अमूल्य मदद कर सकता है, जब मुद्दा "दो" और "तीन" के बीच तय किया जाएगा, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या सबसे सरल उदाहरण को हल करने की पेशकश करने का निर्णय लेता है ("शायद वह (ए) अभी भी जानता है कि क्या?")।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर चलते हैं:

उदाहरण 1

सीमा ज्ञात करें

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर करते हैं):

तो, हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है, इसका इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में. सीमा चिन्ह के नीचे की अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा की तरह दिखती है, लेकिन यह बिल्कुल नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।

ऐसे मामलों में, हमें एक कृत्रिम उपकरण का उपयोग करके पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें हर में भी आने की आवश्यकता है"।
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब रिकार्ड ने परिचित आकार ले लिया है।
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो पहली अद्भुत सीमा को एक साधारण पेंसिल से चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई है और उत्पाद में गायब हो गई है:

अब केवल तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना बाकी है:

बहुमंजिला भिन्नों के सरलीकरण को कौन भूल गया है, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें हॉट स्कूल गणित सूत्र .

तैयार। अंतिम उत्तर:

यदि आप पेंसिल के निशानों का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो समाधान को इस प्रकार स्वरूपित किया जा सकता है:

“

हम पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हैं

“

उदाहरण 2

सीमा ज्ञात करें

पुनः हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। हम अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएँ. समाधान के उदाहरणहमने नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है। यहां - वही बात, हम डिग्रियों को गुणनफल (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

पिछले उदाहरण की तरह, हम एक पेंसिल से अद्भुत सीमाओं को रेखांकित करते हैं (यहाँ उनमें से दो हैं), और संकेत करते हैं कि वे एक की ओर प्रवृत्त होते हैं:

दरअसल, उत्तर तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मैं सोचता हूं कि नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले से ही समझते हैं।

उदाहरण 3

सीमा ज्ञात करें

हम अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न के नीचे शून्य प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसका खुलासा करना आवश्यक है। यदि सीमा में कोई स्पर्शरेखा है, तो इसे प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार लगभग हमेशा साइन और कोसाइन में परिवर्तित किया जाता है (वैसे, वे कोटैंजेंट के साथ भी ऐसा ही करते हैं, कार्यप्रणाली सामग्री देखें) गरम त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, तालिकाएँ और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर होती है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर प्रवृत्त होती है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर बोलते हुए, इसे एक इकाई में बदल दिया जाना चाहिए, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहां सब कुछ बिना किसी गुणा-भाग के सरल हो गया। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एकता में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

फलस्वरूप अनन्त की प्राप्ति होती है, ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा ज्ञात करें

हम अंश और हर में शून्य प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

प्राप्त अनिश्चितता (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने वाली सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

हम सीमा आइकन से परे निरंतर गुणक निकालते हैं:

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक अद्भुत सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष ज्या शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:

उदाहरण 5

सीमा ज्ञात करें

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

वेरिएबल को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं समाधान के तरीके सीमित करें.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध है कि:

इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी उल्लेखनीय सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है.

न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक जटिल फ़ंक्शन भी हो सकता है। केवल यह महत्वपूर्ण है कि वह अनंत के लिए प्रयास करे.

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

जब सीमा चिन्ह के नीचे का भाव घात में हो - यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक अनंत बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, यह किस सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, इसका विश्लेषण पाठ में किया गया था सीमाएँ. समाधान के उदाहरण.

यह देखना आसान है कि कब डिग्री का आधार, और प्रतिपादक - , अर्थात्, प्रपत्र की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता अभी दूसरी उल्लेखनीय सीमा की मदद से सामने आई है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली में नहीं होती, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। आप इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में, पैरामीटर का अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को एक घात तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति न बदले, हम इसे एक घात तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो हम एक पेंसिल से चिह्नित करते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक सुंदर पत्र में बदल गई है:

उसी समय, सीमा चिह्न स्वयं संकेतक पर चला जाता है:

उदाहरण 7

सीमा ज्ञात करें

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत आम है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

हम अभिव्यक्ति में सीमा चिह्न के अंतर्गत एक अपरिमित बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

परिणाम एक अनिश्चितता है. लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? आपको डिग्री का आधार बदलना होगा. हम इस तरह तर्क देते हैं: हर में हमारे पास है, जिसका अर्थ है कि हमें अंश में भी व्यवस्थित करने की आवश्यकता है।

सीमा की गणना करते समय, विचार करें निम्नलिखित बुनियादी नियम:

1. कार्यों के योग (अंतर) की सीमा, पदों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

2. कार्यों के उत्पाद की सीमा कारकों की सीमा के उत्पाद के बराबर है:

3. दो कार्यों के अनुपात की सीमा इन कार्यों की सीमाओं के अनुपात के बराबर है:

.

4. एक स्थिर कारक को सीमा चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

.

5. अचर की सीमा स्वयं अचर के बराबर होती है:

6. निरंतर कार्यों के लिए, सीमा और फ़ंक्शन प्रतीकों को आपस में बदला जा सकता है:

.

किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करना फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मान को प्रतिस्थापित करने से शुरू होना चाहिए। इसके अलावा, यदि 0 या ¥ का संख्यात्मक मान प्राप्त होता है, तो वांछित सीमा मिल जाती है।

उदाहरण 2.1.सीमा की गणना करें.

समाधान।

.

, , , , , रूप के भाव कहलाते हैं अनिश्चितताओं.

यदि रूप की अनिश्चितता प्राप्त होती है, तो सीमा ज्ञात करने के लिए, फ़ंक्शन को इस तरह से बदलना आवश्यक है कि इस अनिश्चितता को प्रकट किया जा सके।

रूप की अनिश्चितता आमतौर पर तब प्राप्त होती है जब दो बहुपदों के अनुपात की सीमा दी जाती है। इस मामले में, सीमा की गणना करने के लिए, बहुपदों को गुणनखंडित करने और एक सामान्य गुणनखंड द्वारा कम करने की अनुशंसा की जाती है। सीमा मान पर यह गुणक शून्य है एक्स .

उदाहरण 2.2.सीमा की गणना करें.

समाधान।

प्रतिस्थापित करने पर, हमें अनिश्चितता प्राप्त होती है:

.

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें:

;

हम एक सामान्य कारक से कम करते हैं और प्राप्त करते हैं

रूप की अनिश्चितता तब प्राप्त होती है जब दो बहुपदों के अनुपात की सीमा दी जाती है। इस मामले में, गणना के लिए दोनों बहुपदों को विभाजित करने की अनुशंसा की जाती है एक्स वरिष्ठ डिग्री में.

उदाहरण 2.3.सीमा की गणना करें.

समाधान।∞ को प्रतिस्थापित करने से रूप में अनिश्चितता उत्पन्न होती है, इसलिए हम अभिव्यक्ति के सभी पदों को इससे विभाजित करते हैं एक्स 3.

.

यहां इस बात का ध्यान रखा गया है कि.

जड़ों वाले फ़ंक्शन की सीमाओं की गणना करते समय, फ़ंक्शन को सहायक अभिव्यक्ति द्वारा गुणा और विभाजित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 2.4.सीमा की गणना करें

समाधान।

फॉर्म या (1) ∞ की अनिश्चितता के प्रकटीकरण के लिए सीमाओं की गणना करते समय, पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाएं अक्सर उपयोग की जाती हैं:

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं।

हां. आई. पेरेलमैन के उदाहरण पर विचार करें, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज समस्या में. बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के निर्माण में एक बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें।

बैंक को 100 डेन लगाने दीजिए. इकाइयां 100% प्रति वर्ष की दर से। यदि एक वर्ष के बाद ही ब्याज वाला धन स्थिर पूँजी में जोड़ दिया जाये तो इस समय तक 100 डेन. इकाइयां 200 मांद में बदल जाएगा।

अब देखते हैं कि 100 मांद क्या रूप लेंगी। इकाइयां, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में स्थिर पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन. इकाइयां 100 × 1.5 = 150, और अगले छह महीनों में - 150 × 1.5 = 225 (मौद्रिक इकाइयाँ) बढ़ जाएगी। यदि परिग्रहण प्रत्येक 1/3 वर्ष में किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 डेन। इकाइयां 100 × (1 + 1/3) 3'237 (डेन यूनिट) में बदल जाएगा।

हम ब्याज राशि जोड़ने की समय सीमा को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष इत्यादि तक बढ़ा देंगे। फिर 100 डेन में से. इकाइयां एक वर्ष बाद:

100 × (1 +1/10) 10 »259 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/100) 100 »270 (डेन यूनिट),

100 × (1+1/1000) 1000 »271 (डेन यूनिट)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, अर्जित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, बल्कि लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंचती है। 100% प्रति वर्ष पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हो हर सेकंड राजधानी में जोड़ा जाता है, क्योंकि

उदाहरण 2.5.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें

समाधान।

उदाहरण 2.6.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें .

समाधान।प्रतिस्थापित करने पर हमें अनिश्चितता प्राप्त होती है:

.

त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, हम अंश को उत्पाद में परिवर्तित करते हैं:

परिणाम स्वरूप हमें प्राप्त होता है

यहां दूसरी उल्लेखनीय सीमा पर विचार किया गया है।

उदाहरण 2.7.फ़ंक्शन सीमा की गणना करें

समाधान।

.

फॉर्म की अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, आप एल'हॉपिटल नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है।

प्रमेय.दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़े फलनों के अनुपात की सीमा उनके अवकलजों के अनुपात की सीमा के बराबर होती है

ध्यान दें कि यह नियम लगातार कई बार लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 2.8.पाना

समाधान।प्रतिस्थापित करते समय, हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता होती है। L'Hopital के नियम को लागू करने पर, हम पाते हैं

कार्य निरंतरता

किसी फ़ंक्शन का एक महत्वपूर्ण गुण निरंतरता है।

परिभाषा।कार्य पर विचार किया जाता है निरंतरयदि तर्क के मान में एक छोटा सा परिवर्तन फ़ंक्शन के मान में एक छोटा सा परिवर्तन लाता है।

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा गया है:

के अंतर्गत तथा चरों की वृद्धि को समझा जाता है, अर्थात अगले और पिछले मानों के बीच का अंतर: , (चित्र 2.3)

चित्र 2.3 - चरों की वृद्धि

एक फ़ंक्शन की परिभाषा से जो बिंदु पर निरंतर है, यह इस प्रकार है . इस समानता का अर्थ है तीन शर्तों की पूर्ति:

समाधान।समारोह के लिए बिंदु विराम के लिए संदिग्ध है, इसकी जाँच करें, एकतरफ़ा सीमाएँ खोजें

इस तरह, , साधन - विराम बिंदु

फ़ंक्शन व्युत्पन्न

हम सीमा के सिद्धांत पर तैयार उत्तरों का विश्लेषण करना जारी रखते हैं और आज हम केवल उस मामले पर ध्यान केंद्रित करेंगे जब किसी फ़ंक्शन में एक चर या अनुक्रम में एक संख्या अनंत की ओर बढ़ती है। अनंत की ओर रुझान वाले चर के साथ सीमा की गणना करने के निर्देश पहले दिए गए थे, यहां हम केवल व्यक्तिगत मामलों पर ध्यान देंगे जो सभी के लिए स्पष्ट और सरल नहीं हैं।

उदाहरण 35. हमारे पास भिन्न के रूप में एक अनुक्रम है, जहां अंश और हर मूल फलन हैं।
हमें सीमा ज्ञात करने की आवश्यकता है क्योंकि संख्या अनंत की ओर प्रवृत्त होती है।
यहां अंश में अतार्किकता को प्रकट करना आवश्यक नहीं है, बल्कि केवल जड़ों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें और पता लगाएं कि संख्या की उच्च डिग्री कहाँ निहित है।
पहले में, हमारे पास गुणनखंड n ^ 4 के साथ अंश की जड़ें हैं, अर्थात, n ^ 2 को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है।
हम हर के साथ भी ऐसा ही करेंगे।
इसके बाद, हम परिच्छेद में सीमा तक मूल अभिव्यक्तियों के मूल्य का अनुमान लगाते हैं।

हमें शून्य से विभाजन मिला, जो कि स्कूली पाठ्यक्रम में गलत है, लेकिन सीमा परिवर्तन में यह स्वीकार्य है।
केवल एक संशोधन के साथ, "यह मूल्यांकन करने के लिए कि कार्य किस ओर जाता है।"
इसलिए, सभी शिक्षक उपरोक्त प्रविष्टि को सही नहीं मान सकते, हालाँकि वे समझते हैं कि इससे परिणामी सीमा नहीं बदलेगी।
आइए सिद्धांत के अनुसार शिक्षकों की आवश्यकताओं के अनुसार संकलित उत्तर पर नजर डालें।
सरल बनाने के लिए, हम मूल के अंतर्गत केवल मुख्य परिवर्धन का मूल्यांकन करेंगे

इसके अलावा, अंश में डिग्री 2 है, हर में 2/3 है, इसलिए अंश तेजी से बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि सीमा अनंत की ओर बढ़ती है।
इसका चिह्न n^2, n^(2/3) पर कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए यह सकारात्मक है।

उदाहरण 36. आइए घातांकीय फलनों के विभाजन की सीमा के एक उदाहरण पर विचार करें। ऐसे कुछ व्यावहारिक उदाहरण हैं, इसलिए सभी छात्र आसानी से यह नहीं देख सकते कि उत्पन्न होने वाली अनिश्चितताओं को कैसे प्रकट किया जाए।
अंश और हर के लिए अधिकतम गुणक 8^n है, और इसे सरल बनाएं

इसके बाद, हम प्रत्येक पद के योगदान का अनुमान लगाते हैं
जैसे-जैसे चर अनंत तक जाता है, पद 3/8 शून्य हो जाते हैं, 3/8 के बाद से<1 (свойство степенно-показательной функции).

उदाहरण 37. अंश और हर के लिए सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड को भाज्य को फिर से लिखने से भाज्य वाले अनुक्रम की सीमा का पता चलता है।
इसके बाद, हम इसे कम करते हैं और अंश और हर में संख्या संकेतकों के मूल्य से सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
हमारे उदाहरण में, हर तेजी से बढ़ता है, इसलिए सीमा शून्य है।


यहाँ निम्नलिखित का प्रयोग किया गया है

भाज्य संपत्ति.

उदाहरण 38. L'Hopital के नियम को लागू किए बिना, हम भिन्न के अंश और हर में चर के अधिकतम मानों की तुलना करते हैं।
चूँकि हर में चर 4>2 का उच्चतम सूचकांक होता है, तो यह तेजी से बढ़ता है।
इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़ंक्शन की सीमा शून्य हो जाती है।

उदाहरण 39. हम भिन्न के अंश और हर से x ^ 4 लेकर अनंत से विभाजित रूप की एक विशेषता प्रकट करते हैं।
सीमा से गुजरने के परिणामस्वरूप, हमें अनंतता प्राप्त होती है।

उदाहरण 40
अंश और हर में चर की उच्चतम डिग्री 3 है, जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और स्टील के बराबर है।
हम x^3 निकालते हैं और सीमा तक मार्ग निष्पादित करते हैं

उदाहरण 41. हमारे पास अनंत की घात के प्रकार एक की विलक्षणता है।
और इसका मतलब यह है कि कोष्ठक और संकेतक में अभिव्यक्ति को दूसरी महत्वपूर्ण सीमा तक कम किया जाना चाहिए।
आइए हर के समान एक अभिव्यक्ति को उजागर करने के लिए अंश को लिखें।
इसके बाद, हम एक अभिव्यक्ति को पास करते हैं जिसमें एक इकाई और एक पद होता है।
डिग्री में आपको गुणक 1/(अवधि) का चयन करना होगा।
इस प्रकार, हम भिन्नात्मक फलन की सीमा की घात में घातांक प्राप्त करते हैं।

विलक्षणता को प्रकट करने के लिए दूसरी सीमा का उपयोग किया गया:

उदाहरण 42. हमारे पास अनंत की घात के प्रकार एक की विलक्षणता है।
इसे प्रकट करने के लिए, फ़ंक्शन को दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जाना चाहिए।
यह कैसे करें नीचे दिए गए सूत्र में विस्तार से दिखाया गया है।


आपको ऐसी ही कई समस्याएं मिल सकती हैं. उनका सार संकेतक में वांछित डिग्री प्राप्त करना है, और यह इकाइयों में कोष्ठक में शब्द के व्युत्क्रम के बराबर है।
इस प्रकार हमें घातांक प्राप्त होता है। आगे की गणना घातांक की डिग्री की सीमा की गणना करने के लिए कम हो गई है।
यहां घातांकीय फलन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि मान एक e=2.72>1 से अधिक है।

उदाहरण 43 एक भिन्न के हर में, हमारे पास अनंत घटा अनंत प्रकार की अनिश्चितता है, जो वास्तव में शून्य से विभाजन के बराबर है।
मूल से छुटकारा पाने के लिए, हम संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं, और फिर, वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके, हम हर को फिर से लिखते हैं।
हमें अनंत की अनिश्चितता को अनंत से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, इसलिए हम चर को अधिकतम सीमा तक निकाल लेते हैं और इसके द्वारा इसे कम कर देते हैं।
इसके बाद, हम प्रत्येक पद के योगदान का अनुमान लगाते हैं और अनंत पर फलन की सीमा ज्ञात करते हैं

सीमाएं गणित के सभी विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती हैं। सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको कई युक्तियों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न प्रकार के समाधानों में से बिल्कुल वही समाधान चुनना पड़ता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में, हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी मदद नहीं करेंगे, बल्कि हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कुछ विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमा की अवधारणा

पहला प्रश्न यह है कि सीमा क्या है और किसकी सीमा है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि यह उनके साथ है कि छात्र अक्सर उनका सामना करते हैं। लेकिन सबसे पहले, सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ परिवर्तनशील है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान अनिश्चित काल तक एक निश्चित संख्या तक पहुंचता है ए , वह ए इस मान की सीमा है.

किसी अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए f(x)=y सीमा संख्या है ए , जिसकी ओर फ़ंक्शन कब प्रवृत्त होता है एक्स एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए . डॉट ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे बहुत सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेज़ी से आप LIMIT- सीमा.

सीमा की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय स्पष्टीकरण भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष की तुलना में व्यावहारिक पक्ष में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम ऐसा कहते हैं एक्स किसी मान की ओर प्रवृत्त होता है, इसका मतलब यह है कि चर किसी संख्या का मान नहीं लेता है, बल्कि उसे असीम रूप से करीब लाता है।

आइए एक ठोस उदाहरण लें. चुनौती सीमा का पता लगाने की है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स=3 एक समारोह में. हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य की ओर प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर प्रवृत्त होता है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन द्वारा उतना ही छोटा मान लिया जाएगा। तो, असीमित विकास के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको केवल फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा ज्ञात करना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर प्रकार की अनिश्चितताएँ हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? युक्तियाँ प्रयोग करें!

भीतर अनिश्चितताएं

अनंत/अनंत रूप की अनिश्चितता

चलो एक सीमा हो:

यदि हम फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत प्राप्त होगा। सामान्य तौर पर, यह कहने लायक है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: किसी को यह ध्यान देना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदला जा सकता है कि अनिश्चितता खत्म हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को इससे विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में. क्या हो जाएगा?

ऊपर पहले से ही विचार किए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पद शून्य की ओर प्रवृत्त होंगे। तब सीमा का समाधान है:

प्रकार की अस्पष्टताओं को उजागर करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को इससे विभाजित करें एक्सउच्चतम स्तर तक.

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अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, मान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन x=-1 देता है 0 अंश और हर में. थोड़ा और करीब से देखें और आप देखेंगे कि हमारे पास अंश में एक द्विघात समीकरण है। आइए जड़ें खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आपको प्रकार की अस्पष्टता का सामना करना पड़ता है 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

उदाहरणों को हल करना आपके लिए आसान बनाने के लिए, यहां कुछ कार्यों की सीमाओं वाली एक तालिका दी गई है:

L'Hopital का नियम भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितताओं को दूर करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो हम अंश और हर का व्युत्पन्न तब तक लेते हैं जब तक कि अनिश्चितता गायब न हो जाए।

देखने में, L'Hopital का नियम इस प्रकार दिखता है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा, जिसमें अंश और हर के बजाय अंश और हर के व्युत्पन्न मौजूद होने चाहिए।

और अब एक वास्तविक उदाहरण:

एक सामान्य अनिश्चितता है 0/0 . अंश और हर के अवकलज लीजिए:

वोइला, अनिश्चितता जल्दी और सुरुचिपूर्ण ढंग से समाप्त हो जाती है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी का व्यवहार में अच्छा उपयोग कर सकेंगे और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर पा सकेंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और "बिल्कुल" शब्द से इस काम के लिए कोई समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।

आइए उदाहरणात्मक उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि x एक संख्यात्मक चर है, X इसके परिवर्तन की सीमा है। यदि X से संबंधित प्रत्येक संख्या x किसी संख्या y से संबद्ध है, तो वे कहते हैं कि सेट X पर एक फ़ंक्शन परिभाषित है, और y \u003d f (x) लिखें।
इस मामले में समुच्चय X एक समतल है जिसमें दो निर्देशांक अक्ष - 0X और 0Y हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक फ़ंक्शन y \u003d x 2 बनाएं। अक्ष 0X और 0Y X बनाते हैं - इसके परिवर्तन का क्षेत्र। चित्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है। इस मामले में, हम कहते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 सेट X पर परिभाषित है।

किसी फ़ंक्शन के सभी निजी मानों के सेट Y को मानों का सेट f(x) कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, मानों का सेट 0Y अक्ष के साथ अंतराल है जहां फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। चित्रित परवलय स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि f(x) > 0, क्योंकि x2 > 0. इसलिए, सीमा होगी। हम 0Y द्वारा मानों के सेट को देखते हैं।

सभी x की समग्रता को f(x) का डोमेन कहा जाता है। हम 0X द्वारा परिभाषाओं के सेट को देखते हैं और हमारे मामले में मान्य मानों की सीमा है [-; +].

एक बिंदु a (a या X से संबंधित है) को सेट X का सीमा बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु a के किसी भी पड़ोस में a के अलावा सेट X के बिंदु हैं।

यह समझने का समय है - किसी फ़ंक्शन की सीमा क्या है?

शुद्ध b, जिसकी ओर फ़ंक्शन तब प्रवृत्त होता है जब x संख्या a की ओर प्रवृत्त होता है, कहलाता है कार्य सीमा. इसे इस प्रकार लिखा गया है:

उदाहरण के लिए, f (x) = x 2। हमें यह पता लगाना होगा कि x 2 पर फ़ंक्शन की प्रवृत्ति क्या होती है (बराबर नहीं है)। सबसे पहले, आइए सीमा लिखें:

आइए चार्ट देखें.

0X अक्ष पर बिंदु 2 से होकर 0Y अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें। यह बिंदु (2;4) पर हमारे ग्राफ को पार कर जाएगा। आइए इस बिंदु से 0Y अक्ष पर एक लंब गिराएं - और हम बिंदु 4 पर पहुंच जाएंगे। हमारा फ़ंक्शन x 2 पर यही प्रयास करता है। यदि अब हम f (x) फ़ंक्शन में मान 2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो उत्तर होगा ऐसे ही बनें।

अब आगे बढ़ने से पहले सीमा गणना, हम बुनियादी परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं।

19वीं शताब्दी में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन लुईस कॉची द्वारा प्रस्तुत किया गया।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) को कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया है जिसमें बिंदु x = A है, लेकिन यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि f(A) का मान परिभाषित किया जाए।

फिर, कॉची की परिभाषा के अनुसार, कार्य सीमा f(x) x पर A की ओर झुकाव वाली कोई संख्या B होगी यदि प्रत्येक C > 0 के लिए एक संख्या D > 0 हो जैसे कि

वे। यदि x A पर फलन f(x) सीमा B द्वारा सीमित है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है

अनुक्रम सीमाएक निश्चित संख्या A को कहा जाता है यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या B > 0 के लिए एक ऐसी संख्या N है जिसके लिए n > N मामले में सभी मान असमानता को संतुष्ट करते हैं

यह सीमा दिखती है.

जिस अनुक्रम की एक सीमा होती है उसे अभिसारी कहा जाएगा, यदि नहीं तो अपसारी।

जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, सीमाएं लिम चिह्न द्वारा इंगित की जाती हैं, जिसके तहत चर के लिए कुछ शर्त लिखी जाती है, और फिर फ़ंक्शन स्वयं पहले से ही लिखा जाता है। ऐसे सेट को "शर्त के तहत फ़ंक्शन की सीमा ..." के रूप में पढ़ा जाएगा। उदाहरण के लिए:

फ़ंक्शन की सीमा है क्योंकि x 1 की ओर प्रवृत्त होता है।

अभिव्यक्ति "1 पर जाना" का अर्थ है कि x क्रमिक रूप से उन मानों को लेता है जो 1 के असीम रूप से करीब पहुंचते हैं।

अब यह स्पष्ट हो गया है कि इस सीमा की गणना करने के लिए, x के स्थान पर मान 1 रखना पर्याप्त है:

एक विशिष्ट संख्यात्मक मान के अलावा, x अनंत की ओर भी प्रवृत्त हो सकता है। उदाहरण के लिए:

अभिव्यक्ति x का अर्थ है कि x लगातार बढ़ रहा है और अनिश्चित काल तक अनंत की ओर बढ़ रहा है। इसलिए, x के स्थान पर अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि फलन 1-x की ओर प्रवृत्त होगा, लेकिन विपरीत चिह्न के साथ:

इस प्रकार, सीमा गणनाइसके विशिष्ट मान या एक निश्चित क्षेत्र को खोजने के लिए नीचे आता है जिसमें सीमा से घिरा फ़ंक्शन गिरता है।

पूर्वगामी के आधार पर, यह निम्नानुसार है कि सीमाओं की गणना करते समय, कई नियमों का उपयोग करना महत्वपूर्ण है:

यह महसूस करते हुए सीमा का सारऔर जमीनी नियम गणना सीमित करें, आपको उन्हें हल करने के तरीके के बारे में एक महत्वपूर्ण जानकारी मिलेगी। अगर कौन सी सीमा आपके लिए परेशानी का कारण बनेगी तो कमेंट में लिखें और हम आपकी मदद जरूर करेंगे।

ध्यान दें: न्यायशास्त्र कानूनों का विज्ञान है, जो संघर्षों और जीवन की अन्य कठिनाइयों में मदद करता है।