अपरिमेय odz समीकरण या जाँच करें। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके

इस लेख की सामग्री का पहला भाग अपरिमेय समीकरणों का एक विचार बनाता है। इसका अध्ययन करने के बाद, आप अपरिमेय समीकरणों को अन्य प्रकार के समीकरणों से आसानी से अलग कर सकते हैं। दूसरे भाग में, अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है, बड़ी संख्या में विशिष्ट उदाहरणों के लिए विस्तृत समाधान दिए गए हैं। यदि आप इस जानकारी में महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप लगभग निश्चित रूप से स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से लगभग किसी भी तर्कहीन समीकरण का सामना करेंगे। ज्ञान प्राप्त करने में गुड लक!

अपरिमेय समीकरण क्या होते हैं?

आइए पहले स्पष्ट करें कि अपरिमेय समीकरण क्या हैं। ऐसा करने के लिए, हम शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय द्वारा अनुशंसित पाठ्यपुस्तकों में उपयुक्त परिभाषाएँ पाएंगे रूसी संघ.

तर्कहीन समीकरणों और उनके समाधान के बारे में विस्तृत बातचीत बीजगणित के पाठों में आयोजित की जाती है और हाई स्कूल में विश्लेषण शुरू किया जाता है। हालाँकि, कुछ लेखक पहले इस तरह के समीकरणों का परिचय देते हैं। उदाहरण के लिए, जो लोग मोर्डकोविच ए जी की पाठ्यपुस्तकों के अनुसार अध्ययन करते हैं, वे 8 वीं कक्षा में पहले से ही अपरिमेय समीकरणों के बारे में सीखते हैं: पाठ्यपुस्तक बताती है कि

अपरिमेय समीकरणों के भी उदाहरण हैं, , , और इसी तरह। जाहिर है, उपरोक्त प्रत्येक समीकरण में, चिह्न के नीचे वर्गमूलचर x समाहित करता है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त परिभाषा के अनुसार ये समीकरण अपरिमेय हैं। यहां उन्हें हल करने के मुख्य तरीकों में से एक का तुरंत विश्लेषण किया गया है -। लेकिन हम समाधान विधियों के बारे में थोड़ा कम बात करेंगे, अभी के लिए हम अन्य पाठ्यपुस्तकों से अपरिमेय समीकरणों की परिभाषाएँ देंगे।

पाठ्यपुस्तकों में कोलमोगोरोव ए.एन. और कोलयागिन यू.एम.

परिभाषा

तर्कहीनवे समीकरण कहलाते हैं जिनमें मूल के चिन्ह के नीचे एक चर निहित होता है।

आइए हम इस परिभाषा और पिछले एक के बीच के मूलभूत अंतर पर ध्यान दें: यह केवल जड़ कहता है, न कि वर्गमूल, अर्थात, उस जड़ की डिग्री जिसके अंतर्गत चर स्थित है निर्दिष्ट नहीं है। इसका मतलब यह है कि जड़ न केवल वर्गाकार हो सकती है, बल्कि तीसरी, चौथी आदि भी हो सकती है। डिग्री। इस प्रकार, अंतिम परिभाषा समीकरणों के व्यापक सेट को परिभाषित करती है।

एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है, हम हाई स्कूल में अपरिमेय समीकरणों की इस व्यापक परिभाषा का उपयोग क्यों शुरू करते हैं? सब कुछ समझाने योग्य और सरल है: जब 8 वीं कक्षा में अपरिमेय समीकरणों से परिचित होता है, तो हम केवल वर्गमूल के बारे में अच्छी तरह से जानते हैं, किसी घनमूल के बारे में, चौथी की जड़ें और अधिक उच्च डिग्रीहम अभी तक नहीं जानते। और हाई स्कूल में, जड़ की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जाता है, हम इसके बारे में सीखते हैं, और अपरिमेय समीकरणों के बारे में बात करते समय, हम अब एक वर्गमूल तक सीमित नहीं हैं, लेकिन हमारा मतलब एक मनमानी डिग्री की जड़ से है।

स्पष्टता के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों के कई उदाहरण प्रदर्शित करेंगे। - यहाँ चर x घनमूल चिन्ह के नीचे स्थित है, इसलिए यह समीकरण अपरिमेय है। एक और उदाहरण: - यहाँ चर x वर्गमूल के चिन्ह के नीचे है और चौथी डिग्री की जड़ है, अर्थात यह भी एक अपरिमेय समीकरण है। यहाँ अधिक जटिल रूप के अपरिमेय समीकरणों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: और .

उपरोक्त परिभाषाएँ हमें यह ध्यान देने की अनुमति देती हैं कि किसी भी अपरिमेय समीकरण के रिकॉर्ड में जड़ों के संकेत हैं। यह भी स्पष्ट है कि यदि मूलों के चिह्न न हों तो समीकरण अपरिमेय नहीं होता। हालाँकि, मूल चिन्ह वाले सभी समीकरण अपरिमेय नहीं होते हैं। वास्तव में, एक अपरिमेय समीकरण में, मूल चिह्न के अंतर्गत एक चर होना चाहिए, यदि मूल चिह्न के अंतर्गत कोई चर नहीं है, तो समीकरण अपरिमेय नहीं है। एक दृष्टांत के रूप में, हम उन समीकरणों का उदाहरण देते हैं जिनमें जड़ें हैं लेकिन अपरिमेय नहीं हैं। समीकरण और अपरिमेय नहीं हैं, क्योंकि उनमें मूल चिह्न के अंतर्गत चर शामिल नहीं हैं - मूल के अंतर्गत संख्याएँ हैं, और मूल के चिह्न के अंतर्गत कोई चर नहीं हैं, इसलिए ये समीकरण अपरिमेय नहीं हैं।

यह उन चरों की संख्या का उल्लेख करने योग्य है जो अपरिमेय समीकरणों को लिखने में भाग ले सकते हैं। उपरोक्त सभी अपरिमेय समीकरणों में एक एकल चर x है, अर्थात वे एक चर वाले समीकरण हैं। हालाँकि, कुछ भी हमें दो, तीन, आदि के साथ अपरिमेय समीकरणों पर विचार करने से नहीं रोकता है। चर। आइए हम दो चरों वाले अपरिमेय समीकरण का एक उदाहरण दें और तीन चर के साथ।

ध्यान दें कि स्कूल में आपको अधिकतर एक चर वाले अपरिमेय समीकरणों के साथ काम करना पड़ता है। कई चर वाले अपरिमेय समीकरण बहुत कम आम हैं। वे रचना में पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, "समीकरणों की प्रणाली को हल करें" कार्य में "या, कहें, ज्यामितीय वस्तुओं के बीजगणितीय विवरण में, इसलिए मूल में एक केंद्र के साथ एक अर्धवृत्त, 3 इकाइयों का एक त्रिज्या, जो ऊपरी आधे विमान में स्थित है, समीकरण से मेल खाती है।

"तर्कहीन समीकरण" खंड में परीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों के कुछ संग्रह में ऐसे कार्य होते हैं जिनमें चर न केवल जड़ के चिह्न के अंतर्गत होता है, बल्कि कुछ अन्य कार्यों के चिह्न के अंतर्गत भी होता है, उदाहरण के लिए, मॉड्यूल, लघुगणक, आदि। . यहाँ एक उदाहरण है , पुस्तक से लिया गया है, और यहाँ - संग्रह से। पहले उदाहरण में, चर x लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है, और लघुगणक भी जड़ के चिह्न के अंतर्गत है, अर्थात, हमारे पास, इसलिए बोलने के लिए, एक अपरिमेय लघुगणक (या लघुगणक अपरिमेय) समीकरण है। दूसरे उदाहरण में, चर मॉड्यूल चिह्न के अंतर्गत है, और मॉड्यूल भी रूट चिह्न के अंतर्गत है, आपकी अनुमति से, इसे एक मॉड्यूल के साथ अपरिमेय समीकरण कहते हैं।

क्या इस तरह के समीकरण तर्कहीन माने जाते हैं? प्रश्न अच्छा है। ऐसा लगता है कि मूल चिह्न के नीचे एक चर है, लेकिन यह भ्रमित करता है कि यह "में नहीं है" शुद्ध फ़ॉर्म”, और एक या एक से अधिक कार्यों के हस्ताक्षर के तहत। दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए तर्कहीन समीकरणों को हमने कैसे परिभाषित किया, इसमें कोई विरोधाभास नहीं लगता है, लेकिन अन्य कार्यों की उपस्थिति के कारण कुछ हद तक अनिश्चितता है। हमारे दृष्टिकोण से, किसी को "चीजों को उनके उचित नामों से बुलाने" के बारे में कट्टर नहीं होना चाहिए। व्यवहार में, यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस प्रकार का है, केवल "समीकरण" कहना पर्याप्त है। और ये सभी जोड़ "तर्कहीन", "लघुगणक", आदि हैं। सामग्री को प्रस्तुत करने और समूहीकृत करने की सुविधा के लिए अधिकांश भाग के लिए सेवा करें।

अंतिम पैराग्राफ की जानकारी के आलोक में, ग्रेड 11 के लिए मोर्डकोविच ए जी द्वारा लिखित पाठ्यपुस्तक में दी गई अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा रुचिकर है

परिभाषा

तर्कहीनऐसे समीकरण कहलाते हैं जिनमें चर मूलांक के चिन्ह के नीचे या भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ने के चिन्ह के नीचे समाहित होता है।

यहां, रूट के चिह्न के अंतर्गत चर वाले समीकरणों के अलावा, भिन्नात्मक घात के चिह्न के अंतर्गत चर वाले समीकरणों को भी अपरिमेय माना जाता है। उदाहरण के लिए, इस परिभाषा के अनुसार, समीकरण तर्कहीन माना। अचानक क्यों? हम पहले से ही अपरिमेय समीकरणों में जड़ों के आदी हैं, लेकिन यहाँ यह एक जड़ नहीं है, बल्कि एक डिग्री है, और आप इस समीकरण को और अधिक कहना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, एक शक्ति कानून, और एक तर्कहीन नहीं? सब कुछ सरल है: इसे जड़ों के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और चर x पर दिए गए समीकरण के लिए (x 2 +2 x≥0 मानते हुए) इसे रूट का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है , और अंतिम समानता एक अपरिमेय समीकरण है जो हमें रूट साइन के तहत एक चर के साथ परिचित है। और भिन्नात्मक शक्तियों के आधार पर चर के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके ठीक उसी तरह हैं जैसे कि अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके (उनके बारे में) हम बात करेंगेअगले पैराग्राफ में)। अतः उन्हें तर्कहीन कहना और इस आलोक में विचार करना सुविधाजनक है। लेकिन आइए अपने आप से ईमानदार रहें: शुरू में हमारे पास समीकरण है , लेकिन नहीं , और भाषा संकेतन में जड़ की कमी के कारण मूल समीकरण को तर्कहीन कहने के लिए बहुत इच्छुक नहीं है। वही ट्रिक आपको शब्दावली के संबंध में ऐसे विवादास्पद बिंदुओं से दूर होने की अनुमति देती है: समीकरण को बिना किसी विशिष्ट विशिष्टताओं के केवल एक समीकरण कहने के लिए।

सबसे सरल अपरिमेय समीकरण

यह तथाकथित का उल्लेख करने योग्य है सबसे सरल तर्कहीन समीकरण. हम तुरंत कहते हैं कि यह शब्द बीजगणित की मुख्य पाठ्यपुस्तकों और विश्लेषण की शुरुआत में प्रकट नहीं होता है, लेकिन कभी-कभी समस्या पुस्तकों और मैनुअल में पाया जाता है, उदाहरण के लिए, में। इसे आम तौर पर स्वीकार्य नहीं माना जाना चाहिए, लेकिन यह जानने में कोई दिक्कत नहीं होती है कि आम तौर पर सबसे सरल तर्कहीन समीकरणों द्वारा क्या समझा जाता है। यह आमतौर पर फार्म के अपरिमेय समीकरणों को दिया गया नाम है , जहाँ f(x) और g(x) कुछ हैं। इस प्रकाश में, सबसे सरल तर्कहीन समीकरण कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण या .

इस तरह के नाम "सबसे सरल अपरिमेय समीकरण" की उपस्थिति की व्याख्या कैसे की जा सकती है? उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि अपरिमेय समीकरणों के समाधान के लिए अक्सर उन्हें फॉर्म में प्रारंभिक कमी की आवश्यकता होती है और आगे किसी भी मानक समाधान विधियों का अनुप्रयोग। यहाँ इस रूप में अपरिमेय समीकरणों को सरलतम कहा जाता है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

जड़ की परिभाषा से

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियों में से एक पर आधारित है। इसकी मदद से, सबसे सरल रूप के तर्कहीन समीकरणों को आमतौर पर हल किया जाता है , जहाँ f(x) और g(x) कुछ परिमेय व्यंजक हैं (हमने में सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों की परिभाषा दी है)। फार्म के अपरिमेय समीकरण , लेकिन जिसमें f(x) और/या g(x) गैर-तर्कसंगत व्यंजक हैं। हालाँकि, कई मामलों में ऐसे समीकरणों को अन्य तरीकों से हल करना अधिक सुविधाजनक होता है, जिसकी चर्चा निम्नलिखित पैराग्राफ में की जाएगी।

सामग्री को प्रस्तुत करने की सुविधा के लिए, हम अपरिमेय समीकरणों को सम मूल घातांकों के साथ अलग करते हैं, अर्थात समीकरण , 2 k=2, 4, 6, … , विषम मूल घातांक वाले समीकरणों से , 2 k+1=3, 5, 7, … हम उनके समाधान के लिए तुरंत दृष्टिकोण बताएंगे:

उपरोक्त दृष्टिकोण सीधे अनुसरण करते हैं और .

इसलिए, अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि जड़ की परिभाषा इस प्रकार है:

जड़ की परिभाषा के अनुसार, दाहिने हाथ की ओर संख्याओं के साथ सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करना सबसे सुविधाजनक है, यानी फॉर्म के समीकरण, जहां सी कुछ संख्या है। जब समीकरण के दाईं ओर एक संख्या होती है, तो एक सम मूल घातांक के साथ भी, आपको सिस्टम में जाने की आवश्यकता नहीं है: यदि C नहीं है एक नकारात्मक संख्या, तब एक सम घात के मूल की परिभाषा के अनुसार, और यदि C एक ऋणात्मक संख्या है, तो हम तुरंत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण के कोई मूल नहीं हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार एक सम घात का मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि चर x के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में नहीं बदलता है।

आइए विशिष्ट उदाहरणों पर चलते हैं।

हम सरल से जटिल की ओर बढ़ेंगे। आइए सबसे सरल अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके बाईं ओर एक सम डिग्री की जड़ है, और दाईं ओर - एक धनात्मक संख्या है, अर्थात फॉर्म के एक समीकरण को हल करने से, जहाँ C एक धनात्मक है संख्या। मूल की परिभाषा आपको दिए गए अपरिमेय समीकरण को हल करने से लेकर बिना मूल वाले सरल समीकरण C 2·k =f(x) को हल करने की अनुमति देती है।

इसी प्रकार, मूल की परिभाषा के द्वारा, दाहिनी ओर शून्य वाले सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल किया जाता है।

आइए हम अपरिमेय समीकरणों पर अलग से ध्यान दें, जिसके बाईं ओर एक सम डिग्री की जड़ है, जिसके चिन्ह के नीचे एक चर है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है। ऐसे समीकरणों का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर कोई हल नहीं होता है (हम परिचित होने के बाद जटिल जड़ों के बारे में बात करेंगे जटिल आंकड़े ). यह बहुत स्पष्ट है: एक समान डिग्री की जड़, परिभाषा के अनुसार, एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकती है।

पिछले उदाहरणों के अपरिमेय समीकरणों के बाएँ पक्ष सम घातों के मूल थे, और दाएँ पक्ष संख्याएँ थीं। अब चरों के साथ उदाहरणों पर विचार करें, अर्थात, हम इस रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करेंगे . उन्हें हल करने के लिए, जड़ का निर्धारण करके, सिस्टम में एक संक्रमण किया जाता है , जिसका मूल समीकरण के समान समाधान है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सिस्टम , जिसके समाधान के लिए मूल तर्कहीन समीकरण का समाधान , यांत्रिक रूप से नहीं, बल्कि यदि संभव हो, तो तर्कसंगत रूप से हल करना वांछनीय है। यह स्पष्ट है कि यह विषय से अधिक प्रश्न है " सिस्टम समाधान”, लेकिन फिर भी हम तीन बार सामना की जाने वाली स्थितियों को उदाहरणों के साथ सूचीबद्ध करते हैं:

1. उदाहरण के लिए, यदि इसके पहले समीकरण g 2 k (x)=f(x) का कोई हल नहीं है, तो असमानता g(x)≥0 को भी हल करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि पहले से ही समीकरण के समाधान की अनुपस्थिति से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

1. इसी प्रकार, यदि असमानता g(x)≥0 का कोई हल नहीं है, तो समीकरण g 2·k (x)=f(x) को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इसके बिना भी यह स्पष्ट है कि इस मामले में प्रणाली कोई समाधान नहीं है।

1. बहुत बार, असमानता g(x)≥0 बिल्कुल भी हल नहीं होती है, लेकिन केवल जाँच की जाती है कि समीकरण g 2·k (x)=f(x) के कौन से मूल इसे संतुष्ट करते हैं। उन सभी का समुच्चय जो असमानता को संतुष्ट करते हैं, प्रणाली का एक समाधान है, जिसका अर्थ है कि यह इसके समतुल्य मूल अपरिमेय समीकरण का भी एक समाधान है।

सम मूल घातांक वाले समीकरणों के बारे में पर्याप्त। यह प्रपत्र की विषम शक्तियों की जड़ों के साथ अपरिमेय समीकरणों पर ध्यान देने का समय है . जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, उन्हें हल करने के लिए, हम समतुल्य समीकरण को पास करते हैं , जिसे किसी भी उपलब्ध तरीके से हल किया जाता है।

इस पैराग्राफ के अंत में, हम उल्लेख करते हैं निर्णय सत्यापन. जड़ का निर्धारण करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधि संक्रमणों की समानता की गारंटी देती है। इसका मतलब यह है कि पाए गए समाधानों की जांच करना जरूरी नहीं है। इस पल को फायदे के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है यह विधिअपरिमेय समीकरणों को हल करना, क्योंकि अधिकांश अन्य विधियों में, समाधान में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है, जो आपको बाहरी जड़ों को काटने की अनुमति देता है। लेकिन एक ही समय में, यह याद रखना चाहिए कि मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करके जाँच करना कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होता है: अचानक, जहाँ एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि सामने आ गई है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की जाँच और फ़िल्टरिंग का मुद्दा बहुत महत्वपूर्ण है, इसलिए हम इस लेख के अगले पैराग्राफ में से एक में इस पर वापस लौटेंगे।

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाना

आगे की प्रस्तुति का तात्पर्य है कि पाठक को समतुल्य समीकरणों और समीकरणों-परिणामों का विचार है।

किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाने की विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है:

कथन

समीकरण के दोनों पक्षों को समान सम प्राकृतिक घात तक ऊपर उठाने से उपप्रमेय समीकरण प्राप्त होता है, और समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम प्राकृतिक घात तक ऊपर उठाने पर तुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

सबूत

आइए इसे एक चर वाले समीकरणों के लिए सिद्ध करें। कई चर वाले समीकरणों के लिए, उपपत्ति के सिद्धांत समान होते हैं।

मान लीजिए A(x)=B(x) मूल समीकरण है और x 0 इसका मूल है। चूँकि x 0 इस समीकरण का मूल है, तब A(x 0)=B(x 0) - वास्तविक संख्यात्मक समानता. हम संख्यात्मक समानता की इस संपत्ति को जानते हैं: वास्तविक संख्यात्मक समानता का शब्द-दर-समय गुणन सही संख्यात्मक समानता देता है। पद को पद 2 k से गुणा करें, जहाँ k है प्राकृतिक संख्या, सही संख्यात्मक समानताएँ A(x 0)=B(x 0) , यह हमें सही संख्यात्मक समानता A 2 k (x 0)=B 2 k (x 0) देगा। और परिणामी समानता का अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2 k (x)=B 2 k (x) का मूल है, जो मूल समीकरण से इसके दोनों भागों को एक समान सम प्राकृतिक शक्ति 2 k तक बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है।

समीकरण A 2·k (x)=B 2·k (x) की जड़ के अस्तित्व की संभावना को उचित ठहराने के लिए, जो मूल समीकरण A(x)=B(x) का मूल नहीं है, यह पर्याप्त है एक उदाहरण देने के लिए। अपरिमेय समीकरण पर विचार करें , और समीकरण , जो मूल से उसके दोनों भागों का वर्ग करके प्राप्त किया जाता है। यह जाँचना आसान है कि शून्य समीकरण का मूल है , वास्तव में, , जो समान 4=4 - सही समानता है। लेकिन साथ ही, शून्य समीकरण के लिए एक बाहरी जड़ है , चूँकि शून्य को प्रतिस्थापित करने के बाद हमें समानता प्राप्त होती है , जो कि 2=−2 के समान है, जो कि गलत है। इससे यह सिद्ध होता है कि मूल से प्राप्त समीकरण के दोनों भागों को एक समान सम घात से प्राप्त करने पर ऐसे मूल हो सकते हैं जो मूल समीकरण के लिए बाह्य हों।

अतः यह सिद्ध हुआ कि समीकरण के दोनों भागों को समान सम प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने से समीकरण-परिणाम होता है।

यह सिद्ध करना बाकी है कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही विषम प्राकृतिक घात तक ऊपर उठाने से एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण की प्रत्येक जड़ मूल से प्राप्त समीकरण की जड़ है, इसके दोनों भागों को एक विषम शक्ति तक बढ़ाकर, और इसके विपरीत, मूल से प्राप्त समीकरण की प्रत्येक जड़ अपने दोनों भागों को बढ़ाकर एक विषम शक्ति मूल समीकरण की जड़ है।

हमारे पास समीकरण A(x)=B(x) है। माना x 0 इसका मूल है। तब संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) सत्य है। वास्तविक संख्यात्मक समानता के गुणों का अध्ययन करते हुए, हमने सीखा कि वास्तविक संख्यात्मक समानता को शब्द से गुणा किया जा सकता है। शब्द को 2 k+1 से गुणा करने पर, जहाँ k एक प्राकृतिक संख्या है, सही संख्यात्मक समानता A(x 0)=B(x 0) की है, हम सही संख्यात्मक समानता प्राप्त करते हैं A 2 k+1 (x 0)=B 2 k +1 ( x 0) , जिसका अर्थ है कि x 0 समीकरण A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) का मूल है। अब पीछे हो। माना x 0 समीकरण का मूल है A 2 k+1 (x)=B 2 k+1 (x) । इसका अर्थ है कि संख्यात्मक समानता A 2 k+1 (x 0)=B 2 k+1 (x 0) सही है। किसी वास्तविक संख्या से विषम कोटि के मूल के अस्तित्व और उसकी अद्वितीयता के आधार पर समानता भी सत्य होगी। यह, बदले में, पहचान के कारण , जहाँ a कोई भी वास्तविक संख्या है जो मूल और घात के गुणों का अनुसरण करती है, को A(x 0)=B(x 0) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। और इसका अर्थ है कि x 0 समीकरण A(x)=B(x) का मूल है।

अतः यह सिद्ध हो गया है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक विषम घात तक ऊपर उठाने पर एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

सिद्ध कथन हमारे लिए ज्ञात शस्त्रागार की भरपाई करता है, जिसका उपयोग समीकरणों के एक और परिवर्तन के साथ समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है - समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना। समीकरण के दोनों भागों को एक ही विषम शक्ति तक उठाना एक परिवर्तन है जो एक परिणामी समीकरण की ओर ले जाता है, और एक समान शक्ति तक उठाना एक समान परिवर्तन है। समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाने की विधि इसी परिवर्तन पर आधारित है।

एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक उठाना मुख्य रूप से अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि में कुछ मामलोंयह परिवर्तन आपको जड़ों के संकेतों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना n की घात के लिए समीकरण देता है , जिसे बाद में समीकरण f(x)=g n (x) में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसमें अब बाईं ओर कोई मूल नहीं है। यह उदाहरण दिखाता है समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक बढ़ाने की विधि का सार: एक उपयुक्त परिवर्तन का उपयोग करते हुए, एक सरल समीकरण प्राप्त करें जिसमें इसके अंकन में मूलांक न हों, और इसके समाधान के माध्यम से, मूल अपरिमेय समीकरण का हल प्राप्त करें।

अब हम सीधे समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने की विधि के वर्णन पर आगे बढ़ सकते हैं। आइए मूल प्रतिपादकों के साथ सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करें, जो कि फॉर्म के समीकरण हैं , जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, f(x) और g(x) परिमेय व्यंजक हैं। विषम मूल घातांक वाले सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिद्म, जो कि रूप के समीकरण हैं , हम थोड़ी देर बाद देंगे। फिर हम और भी आगे बढ़ेंगे: हम समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात तक और अधिक जटिल अपरिमेय समीकरणों तक बढ़ाने की विधि का विस्तार करेंगे, जिसमें मूल चिह्नों के अंतर्गत जड़ें, कई मूल चिह्न, और इसी तरह की अन्य चीज़ें होंगी।

एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर:

उपरोक्त जानकारी से, यह स्पष्ट है कि एल्गोरिथम के पहले चरण के बाद, हम एक ऐसे समीकरण पर आएंगे जिसके मूल में मूल समीकरण के सभी मूल समाविष्ट हों, लेकिन ऐसे मूल भी हो सकते हैं जो मूल समीकरण के लिए बाह्य हों। इसलिए, एल्गोरिथ्म में बाहरी जड़ों को छानने के बारे में एक खंड होता है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुप्रयोग का विश्लेषण करें।

आइए एक सरल और काफी विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करके शुरू करें, जिसके दोनों पक्षों का वर्ग करने से एक द्विघात समीकरण बनता है जिसकी कोई जड़ नहीं है।

यहाँ एक उदाहरण दिया गया है जिसमें मूल अपरिमेय समीकरण से दोनों पक्षों का वर्ग करके प्राप्त समीकरण के सभी मूल मूल समीकरण के बाह्य हो जाते हैं। निष्कर्ष: इसकी कोई जड़ नहीं है।

अगला उदाहरण थोड़ा और जटिल है। इसका समाधान, पिछले दो के विपरीत, दोनों भागों को अब वर्ग में नहीं, बल्कि छठी शक्ति तक ले जाने की आवश्यकता है, और यह अब एक रैखिक या द्विघात समीकरण की ओर नहीं, बल्कि एक घन समीकरण की ओर ले जाएगा। यहां, एक चेक हमें दिखाएगा कि इसकी तीनों जड़ें शुरू में दिए गए अपरिमेय समीकरण की जड़ें होंगी।

और यहाँ हम और भी आगे जाते हैं। जड़ से छुटकारा पाने के लिए, आपको अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी डिग्री तक उठाना होगा, जो बदले में चौथी डिग्री के समीकरण की ओर ले जाएगा। सत्यापन से पता चलेगा कि चार संभावित जड़ों में से केवल एक अपरिमेय समीकरण की वांछित जड़ होगी, और बाकी बाहरी होंगे।

तीन हाल के उदाहरणनिम्नलिखित कथन का एक उदाहरण हैं: यदि, जब एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक समान सम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जिसकी जड़ें होती हैं, तो उनका बाद का सत्यापन यह दिखा सकता है कि

• या वे मूल समीकरण के लिए सभी बाहरी जड़ें हैं, और इसकी कोई जड़ नहीं है,
• या उनमें से कोई भी बाहरी जड़ें नहीं हैं, और वे सभी मूल समीकरण की जड़ें हैं,
• या बाहरी लोग उनमें से कुछ ही हैं।

यह एक विषम मूल प्रतिपादक के साथ सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने का समय है, जो कि फॉर्म के समीकरण हैं . हम संबंधित एल्गोरिदम लिखते हैं।

तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम एक समीकरण के दोनों पक्षों को समान विषम शक्ति तक ऊपर उठाकर:

• अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को समान विषम घात 2·k+1 तक बढ़ाया जाता है।
• परिणामी समीकरण हल हो गया है। इसका हल मूल समीकरण का हल है।

कृपया ध्यान दें: उपरोक्त एल्गोरिथम, एक समान रूट एक्सपोनेंट के साथ सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के विपरीत, इसमें बाहरी जड़ों के उन्मूलन के संबंध में एक खंड शामिल नहीं है। ऊपर, हमने दिखाया कि समीकरण के दोनों हिस्सों को एक विषम शक्ति तक उठाना समीकरण को बदलने के बराबर है, जिसका अर्थ है कि इस तरह के परिवर्तन से बाहरी जड़ें दिखाई नहीं देती हैं, इसलिए उन्हें छानने की कोई आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार, दोनों भागों को एक ही विषम शक्ति तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों का समाधान बाहरी लोगों को छांटे बिना किया जा सकता है। साथ ही, यह न भूलें कि एक समान शक्ति तक उठाने पर, चेक की आवश्यकता होती है।

इस तथ्य का ज्ञान अनुमति देता है कानूनी आधारएक अपरिमेय समीकरण को हल करते समय बाहरी मूलों की छंटाई न करें . खास करके इस मामले मेंसत्यापन "अप्रिय" गणनाओं से जुड़ा है। वैसे भी कोई बाहरी जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि यह एक विषम शक्ति, अर्थात् घन के लिए उठाया जाता है, जो एक समतुल्य परिवर्तन है। यह स्पष्ट है कि जाँच की जा सकती है, लेकिन आत्म-नियंत्रण के लिए और अधिक, समाधान की शुद्धता को अतिरिक्त रूप से सत्यापित करने के लिए।

आइए मध्यवर्ती परिणामों का योग करें। इस पैराग्राफ में, हमने, सबसे पहले, पहले से ही ज्ञात विभिन्न समीकरणों को हल करने के शस्त्रागार को एक और परिवर्तन द्वारा फिर से भर दिया है, जिसमें समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाना शामिल है। जब एक समान शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो यह परिवर्तन समतुल्य नहीं हो सकता है, और इसका उपयोग करते समय, बाहरी जड़ों को छानने के लिए जांच करना आवश्यक है। जब एक विषम शक्ति तक उठाया जाता है, तो निर्दिष्ट परिवर्तन समतुल्य होता है, और बाहरी जड़ों को फ़िल्टर करना आवश्यक नहीं होता है। और दूसरी बात, हमने सीखा कि कैसे इस परिवर्तन का उपयोग फॉर्म के सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाए , जहाँ n मूल घातांक है, f(x) और g(x) परिमेय व्यंजक हैं।

अब सामान्य दृष्टिकोण से समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात पर उठाने का समय आ गया है। यह हमें अपरिमेय समीकरणों को सरलतम अपरिमेय समीकरणों से अधिक जटिल रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए इसके आधार पर विधि का विस्तार करने की अनुमति देगा। चलिए इसके साथ आगे बढ़ते हैं।

वास्तव में, समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात तक बढ़ाकर समीकरणों को हल करते समय, हमें पहले से ही ज्ञात सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है: मूल समीकरण को कुछ परिवर्तनों द्वारा सरल समीकरण में बदल दिया जाता है, इसे और भी सरल समीकरण में बदल दिया जाता है, और इसी तरह, उन समीकरणों तक जिन्हें हम हल कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि इस तरह के परिवर्तनों की एक श्रृंखला में हम समीकरण के दोनों भागों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने का सहारा लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हम समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने की एक ही विधि के अनुसार कार्य कर रहे हैं। यह केवल यह पता लगाने के लिए रहता है कि समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही डिग्री तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किस प्रकार के परिवर्तन और किस क्रम में किया जाना चाहिए।

यहाँ समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात पर बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सामान्य तरीका दिया गया है:

• सबसे पहले, आपको मूल अपरिमेय समीकरण से सरल समीकरण की ओर बढ़ने की आवश्यकता है, जो आमतौर पर निम्नलिखित तीन क्रियाओं को चक्रीय रूप से निष्पादित करके प्राप्त किया जाता है:
  • रेडिकल (या इसी तरह की तकनीकों का अलगाव, उदाहरण के लिए, रेडिकल्स के उत्पाद का अलगाव, एक अंश का अलगाव जिसका अंश और / या भाजक जड़ है, जो दोनों तरफ से जड़ से छुटकारा पाना संभव बनाता है। समीकरण बाद में एक शक्ति के लिए उठाया जाता है)।
  • समीकरण के प्रकार का सरलीकरण।
• दूसरे, आपको परिणामी समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।
• अंत में, यदि हल करने की प्रक्रिया में कोरोलरी समीकरणों में परिवर्तन होते हैं (विशेष रूप से, यदि समीकरण के दोनों भागों को एक समान शक्ति तक बढ़ाया जाता है), तो बाहरी जड़ों को समाप्त किया जाना चाहिए।

आइए अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लाएं।

आइए एक उदाहरण हल करें जिसमें कट्टरपंथी का अलगाव अपने सबसे सरल रूप में अपरिमेय समीकरण को कम कर देता है, जिसके बाद यह दोनों भागों के वर्ग को पूरा करने के लिए बना रहता है, परिणामी समीकरण को हल करता है और एक चेक का उपयोग करके बाहरी जड़ों को हटा देता है।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण को हर में एक कट्टरपंथी के साथ एक अंश को अलग करके हल किया जा सकता है, जिसे समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके समाप्त किया जा सकता है। और फिर सब कुछ सरल है: परिणामी भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण को हल किया जाता है और बाहरी जड़ों को उत्तर में आने से रोकने के लिए एक जाँच की जाती है।

अपरिमेय समीकरण काफी विशेषता हैं, जिसके रिकॉर्ड में दो जड़ें हैं। वे आमतौर पर समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक बढ़ाकर सफलतापूर्वक हल किए जाते हैं। यदि जड़ों की एक ही डिग्री है, और उनके अलावा कोई अन्य शर्तें नहीं हैं, तो रेडिकल्स से छुटकारा पाने के लिए, रेडिकल को अलग करना और एक बार एक्सपोनेंटिएशन करना पर्याप्त है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है।

और यहाँ एक उदाहरण है जिसमें दो जड़ें भी हैं, उनके अलावा कोई पद भी नहीं है, लेकिन जड़ों की डिग्री अलग-अलग हैं। इस मामले में, रेडिकल के अलग-थलग होने के बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी शक्ति तक बढ़ाने की सलाह दी जाती है जो एक ही बार में दोनों रेडिकल्स से मुक्त हो जाए। इस तरह की डिग्री, उदाहरण के लिए, जड़ों का संकेतक है। हमारे मामले में, जड़ों की डिग्री 2 और 3 हैं, LCM(2, 3)=6 , इसलिए, हम दोनों भागों को छठी शक्ति तक बढ़ाएंगे। ध्यान दें कि हम मानक तरीके से भी कार्य कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में हमें दोनों भागों को दो बार एक शक्ति तक बढ़ाने का सहारा लेना होगा: पहले दूसरे से, फिर तीसरे से। हम दोनों समाधान दिखाएंगे।

अधिक जटिल मामलों में, समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात पर बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए, आपको एक घात को दो बार, कम बार - तीन बार, यहां तक ​​कि कम अक्सर - अधिक बार बढ़ाने का सहारा लेना पड़ता है। जो कहा गया है उसे दर्शाने वाला पहला अपरिमेय समीकरण में दो मूलांक और एक और पद शामिल है।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के समाधान के लिए भी लगातार दो घातांकों की आवश्यकता होती है। यदि हम मूलांक को अलग करना नहीं भूलते हैं, तो उसके अंकन में मौजूद तीन मूलांक से छुटकारा पाने के लिए दो घातांक पर्याप्त हैं।

एक तर्कहीन समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने की विधि आपको अपरिमेय समीकरणों से निपटने की अनुमति देती है जिसमें जड़ के नीचे एक और जड़ होती है। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण का समाधान है।

अंत में, तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित विधियों के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है कि एक अपरिमेय समीकरण के दोनों भागों को एक ही शक्ति तक बढ़ाने से, आगे के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समीकरण दे सकता है जिसमें एक समाधान की अनंत संख्या। एक समीकरण जिसके अपरिमित रूप से कई मूल हों, प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के परिणामस्वरूप और परिणामी समीकरण के रूप का बाद में सरलीकरण। उसी समय, स्पष्ट कारणों से, हम प्रतिस्थापन जाँच करने में सक्षम नहीं हैं। ऐसे मामलों में, किसी को या तो सत्यापन के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है, जिसके बारे में हम बात करेंगे, या किसी अन्य समाधान विधि के पक्ष में समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने की विधि को छोड़ देना चाहिए, उदाहरण के लिए, के पक्ष में एक तरीका जो मानता है।

हमने समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही घात पर बढ़ाकर सबसे विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के समाधान पर विचार किया है। अध्ययन किया गया सामान्य दृष्टिकोण अन्य अपरिमेय समीकरणों से निपटने की अनुमति देता है, यदि समाधान का यह तरीका उनके लिए बिल्कुल उपयुक्त है।

एक नए चर का परिचय देकर अपरिमेय समीकरणों को हल करना

अस्तित्व समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीके. वे आपको समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं अलग - अलग प्रकार. विशेष रूप से, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य विधियों का उपयोग किया जाता है। इस अनुच्छेद में, हम सामान्य तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - एक नया चर पेश करने की विधि, या यों कहें, सटीक अपरिमेय समीकरणों को हल करने में इसका उपयोग। विधि का सार और विवरण स्वयं लेख में निर्धारित किया गया है, जिसका लिंक पिछले वाक्य में दिया गया है। यहां हम व्यावहारिक भाग पर ध्यान केंद्रित करेंगे, अर्थात, हम एक नया चर पेश करके विशिष्ट तर्कहीन समीकरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

इस लेख के निम्नलिखित खंड अन्य सामान्य तरीकों से अपरिमेय समीकरणों के समाधान के लिए समर्पित हैं।

पहले हम प्रस्तुत करते हैं एक नया चर प्रस्तुत करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम. हम इसके तुरंत बाद आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे। तो एल्गोरिदम:

अब वादा किए गए स्पष्टीकरण के लिए।

एल्गोरिथम का दूसरा, तीसरा और चौथा चरण विशुद्ध रूप से तकनीकी हैं और अक्सर मुश्किल नहीं होते हैं। और मुख्य रुचि पहला कदम है - एक नए चर का परिचय। यहाँ मुद्दा यह है कि यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि एक नया चर कैसे पेश किया जाए, और कई मामलों में t g(x) के साथ बदलने के लिए एक सुविधाजनक अभिव्यक्ति दिखाने के लिए समीकरण के कुछ परिवर्तन करना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, एक नए चर का परिचय अक्सर एक रचनात्मक और जटिल प्रक्रिया होती है। अगला, हम सबसे बुनियादी और विशिष्ट उदाहरणों को छूने की कोशिश करेंगे जो यह बताते हैं कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नया चर कैसे पेश किया जाए।

हम प्रस्तुति के निम्नलिखित क्रम का पालन करेंगे:

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय एक नए चर को प्रस्तुत करने के सबसे सरल मामलों से शुरू करें।

आइए अपरिमेय समीकरण को हल करें , जिसे हमने पहले ही एक उदाहरण के रूप में थोड़ा अधिक उद्धृत किया है। जाहिर है, इस मामले में एक प्रतिस्थापन संभव है। यह हमें एक तर्कसंगत समीकरण की ओर ले जाएगा, जो, जैसा कि यह निकला, इसकी दो जड़ें हैं, जो उलटे होने पर, दो सरल अपरिमेय समीकरणों का एक सेट देगा, जिसका समाधान मुश्किल नहीं है। तुलना के लिए, हम दिखाते हैं वैकल्पिक तरीकापरिवर्तनों को पूरा करके समाधान जो सबसे सरल अपरिमेय समीकरण को जन्म देगा।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण में, एक नए चर को प्रस्तुत करने की संभावना भी स्पष्ट है। लेकिन इसमें यह उल्लेखनीय है कि इसे हल करते समय हमें मूल चर पर वापस नहीं लौटना पड़ता है। तथ्य यह है कि परिचय के बाद प्राप्त किया चर समीकरणइसका कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

तर्कहीन समीकरण , पिछले वाले की तरह, एक नया चर पेश करके आसानी से हल किया जाता है। इसके अलावा, पिछले वाले की तरह इसका कोई समाधान नहीं है। लेकिन जड़ों की अनुपस्थिति अन्य तरीकों से निर्धारित होती है: यहां चर की शुरूआत के बाद प्राप्त समीकरण के समाधान हैं, और रिवर्स प्रतिस्थापन के दौरान लिखे गए समीकरणों के सेट का कोई समाधान नहीं है, इसलिए मूल समीकरण का भी कोई समाधान नहीं है। आइए हम इस समीकरण के समाधान का विश्लेषण करें।

आइए उन उदाहरणों की श्रृंखला को पूरा करें जिनमें प्रतिस्थापन स्पष्ट है, एक तर्कहीन समीकरण के साथ जो जटिल दिखता है, जड़ के नीचे रूट को नोटेशन में शामिल करता है। एक नए चर का परिचय अक्सर समीकरण की संरचना को और अधिक समझने योग्य बनाता है, जो विशेष रूप से, के लिए सत्य है यह उदाहरण. वास्तव में, अगर हम स्वीकार करते हैं , तब मूल अपरिमेय समीकरण एक सरल अपरिमेय समीकरण में रूपांतरित हो जाता है , जिसे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके। हम एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान प्रस्तुत करते हैं, और तुलना के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके समाधान दिखाते हैं।

पिछले सभी उदाहरणों के रिकॉर्ड में कई समान अभिव्यक्तियाँ थीं, जिन्हें हमने एक नए चर के लिए लिया था। सब कुछ सरल और स्पष्ट था: हम उपयुक्त समान भाव देखते हैं और उनके बजाय हम एक नया चर पेश करते हैं, जो एक नए चर के साथ एक सरल समीकरण देता है। अब हम थोड़ा और आगे बढ़ेंगे - हम यह पता लगाएंगे कि अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिसमें प्रतिस्थापन के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति इतनी स्पष्ट नहीं है, लेकिन सरल परिवर्तनों का उपयोग करके इसे स्पष्ट रूप से देखना और निकालना काफी आसान है।

उन बुनियादी तकनीकों पर विचार करें जो आपको एक नए चर को पेश करने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति का स्पष्ट रूप से चयन करने की अनुमति देती हैं। पहला यह है। आइए बताते हैं कि क्या कहा गया है।

जाहिर है, अपरिमेय समीकरण में एक नया चर प्रस्तुत करने के लिए, x 2 +x=t लेना पर्याप्त है। क्या समीकरण में एक नया चर भी पेश करना संभव है ? यह एक संभावना है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि . अंतिम समानता समीकरण के समतुल्य परिवर्तन को संभव बनाती है, जिसमें अभिव्यक्ति को समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना शामिल है जो ODZ को नहीं बदलता है, जिससे मूल समीकरण से समतुल्य समीकरण में जाना संभव हो जाता है और इसे पहले ही हल कर लें। आइए अपरिमेय समीकरण का पूरा हल दिखाते हैं एक नया चर पेश करके।

आम कारक को ब्रैकेट करने के अलावा, एक तर्कहीन समीकरण में एक नया चर पेश करने के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से अलग करना संभव बनाता है? कुछ मामलों में, ये हैं, और। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

अपरिमेय समीकरण को हल करते समय हम एक नए चर का परिचय कैसे देंगे ? बेशक हम मान लेंगे। और यदि कार्य एक अपरिमेय समीकरण को हल करना था , क्या एक नया चर पेश करना संभव है ? स्पष्ट रूप से - दिखाई नहीं देता है, लेकिन ऐसी संभावना दिखाई देती है, क्योंकि इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर, जड़ की परिभाषा और जड़ों के गुणों के कारण, समानता सत्य है, जो हमें जाने की अनुमति देती है समतुल्य समीकरण .

पिछले उदाहरण के आधार पर एक छोटा सामान्यीकरण करते हैं। ऐसे मामलों में जहां एक रूट का एक्सपोनेंट दूसरे (k n और k) के एक्सपोनेंट का मल्टीपल होता है, आमतौर पर समानता का सहारा लिया जाता है और के रूप में एक नया चर पेश करें। इसलिए हमने समीकरण को हल करते हुए अभिनय किया . थोड़ा और आगे हम इस बारे में बात करेंगे कि असमान और गैर-एकाधिक मूल घातांक वाले अपरिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

यह अपरिमेय समीकरणों में एक नए चर के परिचय पर संक्षेप में ध्यान देने योग्य है जिसमें एक जड़, साथ ही एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति और / या इसकी कुछ डिग्री शामिल है। इन मामलों में, यह स्पष्ट है कि मूल को नए चर के रूप में लिया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, समीकरण को हल करते समय हम स्वीकार करेंगे मूल की परिभाषा के अनुसार, हम मूल समीकरण को रूप में बदल देंगे , और एक नया चर प्रस्तुत करने के बाद, हम द्विघात समीकरण 2·t 2 +3·t−2=0 पर पहुंचेंगे।

थोड़े अधिक जटिल मामलों में, मूल से मेल खाने वाले व्यंजक को निकालने के लिए समीकरण के एक और अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है। आइए इसे समझाते हैं। हम समीकरण में एक नया चर कैसे पेश करेंगे ? जाहिर है, एक्सप्रेशन x 2 +5 रेडिकल एक्सप्रेशन के साथ मेल खाता है, इसलिए, पिछले पैराग्राफ की जानकारी के अनुसार, हम रूट की परिभाषा के आधार पर समतुल्य समीकरण पास करेंगे और एक नया चर पेश करें जैसे . और अगर हम समीकरण के साथ काम नहीं कर रहे थे तो हम एक नया चर कैसे पेश करेंगे , और समीकरण के साथ ? हां और। बस इतना ही है कि मूल अभिव्यक्ति x 2 +5 को स्पष्ट रूप से हाइलाइट करने के लिए हमें पहले x 2 +1 को x 2 +5−4 के रूप में प्रस्तुत करना होगा। यानी, हम अपरिमेय समीकरण से करेंगे समकक्ष समीकरण के लिए पारित किया , फिर समीकरण के लिए , जिसके बाद हम आसानी से एक नया चर पेश करेंगे।

ऐसे मामलों में, एक नया चर शुरू करने के लिए एक और अधिक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है: जड़ को एक नए चर के रूप में लें और इस समानता के आधार पर, शेष पुराने चर को नए के माध्यम से व्यक्त करें। समीकरण के लिए हम स्वीकार करेंगे, इस समानता से हम x 2 को t के संदर्भ में t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), जहां से x 2 +1=t 2 −4 । यह हमें एक नए चर t 2 −4+3 t=0 के साथ समीकरण पास करने की अनुमति देता है। कौशल विकसित करने के लिए, हम एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करेंगे।

ऐसे उदाहरणों में एक नए चर की शुरूआत से भावों की जड़ों के संकेतों के तहत उपस्थिति हो सकती है जो पूर्ण वर्ग हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक तर्कहीन समीकरण में स्वीकार करते हैं, तो यह समीकरण की ओर ले जाएगा, जहां पहली मूल अभिव्यक्ति रैखिक द्विपद t−2 का वर्ग है, और दूसरी मूल अभिव्यक्ति रैखिक द्विपद t−3 का वर्ग है . और ऐसे समीकरणों से मॉड्यूल वाले समीकरणों की ओर बढ़ना सबसे अच्छा है: , , . यह इस तथ्य के कारण है कि इस तरह के समीकरणों में अनंत संख्या में जड़ें हो सकती हैं, जबकि समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करके उन्हें हल करने से प्रतिस्थापन परीक्षण की अनुमति नहीं होगी, और जड़ को निर्धारित करके हल करने से एक अपरिमेय असमानता को हल करने की आवश्यकता होगी। . हम इस तरह के एक उदाहरण का समाधान नीचे एक तर्कहीन समीकरण से एक मापांक के साथ एक समीकरण के संक्रमण पर अनुभाग में दिखाएंगे।

एक नया चर पेश करने की संभावना को देखना अभी भी कब आसान है? जब समीकरण में "उलटा" अंश होता है और (आपकी अनुमति से, हम उन्हें सादृश्य द्वारा पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम कहेंगे)। हम इस तरह के अंशों के साथ एक तर्कसंगत समीकरण कैसे हल करेंगे? हम इन भिन्नों में से एक को एक नए चर t के रूप में लेंगे, जबकि दूसरे भिन्न को नए चर के रूप में 1/t के रूप में व्यक्त किया जाएगा। तर्कहीन समीकरणों में, इस तरह से एक नया चर पेश करना पूरी तरह से व्यावहारिक नहीं है, क्योंकि जड़ों से और छुटकारा पाने के लिए, सबसे अधिक संभावना है, एक और चर को पेश करना होगा। नए चर के रूप में अंश की जड़ को तुरंत लेना बेहतर है। ठीक है, फिर किसी एक समानता का उपयोग करके मूल समीकरण को रूपांतरित करें और , जो आपको एक नए चर के साथ समीकरण पर जाने की अनुमति देगा। एक उदाहरण पर विचार करें।

पहले से ज्ञात प्रतिस्थापन विकल्पों के बारे में मत भूलना। उदाहरण के लिए, एक तर्कहीन समीकरण लिखने में, अभिव्यक्ति x+1/x और x 2 +1/x 2 दिखाई दे सकते हैं, जो एक नए चर x+1/x=t को पेश करने की संभावना के बारे में सोचते हैं। यह विचार संयोग से उत्पन्न नहीं होता है, क्योंकि जब हमने निर्णय लिया था तो हम पहले ही ऐसा कर चुके थे वापसी समीकरण. एक नया चर, साथ ही अन्य तरीकों को पेश करने की यह विधि, जो पहले से ही हमें ज्ञात है, को तर्कहीन समीकरणों के साथ-साथ अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम अधिक जटिल तर्कहीन समीकरणों की ओर मुड़ते हैं, जिसमें एक नए चर को प्रस्तुत करने के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति को समझना अधिक कठिन होता है। और आइए उन समीकरणों से शुरू करें जिनमें मूल भाव समान हैं, लेकिन, ऊपर चर्चा किए गए मामले के विपरीत, एक मूल का बड़ा घातांक दूसरे मूल के छोटे घातांक से विभाज्य नहीं है। आइए देखें कि ऐसे मामलों में एक नया चर पेश करने के लिए सही अभिव्यक्ति का चयन कैसे करें।

जब मूल भाव समान हों, और एक मूल k 1 का बड़ा घातांक दूसरे मूल k 2 के छोटे घातांक से समान रूप से विभाज्य न हो, तो घात LCM (k 1 , k 2) के मूल को एक के रूप में लिया जा सकता है। नया चर, जहां एलसीएम है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में, मूलों के घातांक 2 और 3 हैं, तीन दो का गुणज नहीं है, LCM(3, 2)=6, इसलिए नए चर को इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है . इसके अलावा, जड़ की परिभाषा, साथ ही जड़ों के गुण, आपको अभिव्यक्ति को स्पष्ट रूप से उजागर करने के लिए मूल समीकरण को बदलने की अनुमति देते हैं और फिर इसे एक नए चर के साथ बदल देते हैं। यहाँ एक पूर्ण और है विस्तृत समाधानयह समीकरण।

इसी तरह के सिद्धांतों के अनुसार, उन मामलों में एक नया चर पेश किया जाता है जहां जड़ों के नीचे के भाव डिग्री में भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक अपरिमेय समीकरण में चर केवल जड़ों के नीचे समाहित है, और जड़ें स्वयं और की तरह दिखती हैं, तो आपको मूल घातांक LCM(3, 4)=12 के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करनी चाहिए और लेना चाहिए। इस मामले में, जड़ों और डिग्री के गुणों के अनुसार, जड़ों और के रूप में रूपांतरित किया जाना चाहिए और क्रमशः, जो एक नए चर की शुरूआत की अनुमति देगा।

इसी तरह, एक अपरिमेय समीकरणों में कार्य कर सकता है जिसमें पारस्परिक रूप से पारस्परिक भिन्न होते हैं और विभिन्न घातांक वाले मूल होते हैं। अर्थात्, एक नए चर के रूप में, मूल संकेतकों के LCM के बराबर एक संकेतक के साथ एक रूट लेने की सलाह दी जाती है। ठीक है, तो एक नए चर के साथ समीकरण पर आगे बढ़ें, जो आपको समानता बनाने की अनुमति देता है और , जड़ की परिभाषा, और जड़ों और शक्तियों के गुण। एक उदाहरण पर विचार करें।

अब बात करते हैं उन समीकरणों की जिनमें एक नए चर को पेश करने की संभावना पर केवल संदेह किया जा सकता है, और जो एक सफल परिदृश्य में काफी गंभीर परिवर्तनों के बाद ही खुलता है। उदाहरण के लिए, सबसे स्पष्ट परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद ही एक अपरिमेय समीकरण रूप में कम हो जाता है, जो प्रतिस्थापन का रास्ता खोलता है . आइए इस उदाहरण के समाधान पर एक नजर डालते हैं।

अंत में, चलो कुछ एक्सोटिक्स जोड़ें। कभी-कभी एक से अधिक चरों को शामिल करके एक अपरिमेय समीकरण को हल किया जा सकता है। पाठ्यपुस्तक में समीकरणों को हल करने का यह तरीका प्रस्तावित है। वहाँ अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए यह दो चर पेश करने का प्रस्ताव है . पाठ्यपुस्तक प्रदान करता है लघु उपाय, आइए विवरण को पुनर्स्थापित करें।

गुणनखंडन द्वारा अपरिमेय समीकरणों को हल करना

एक नए चर को पेश करने की विधि के अलावा, अन्य सामान्य तरीकों का उपयोग अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से, कारककरण विधि. पिछले वाक्य में इंगित लिंक पर लेख में, इसका विस्तार से विश्लेषण किया गया है कि कारककरण विधि का उपयोग कब किया जाता है, इसका सार क्या है और यह किस पर आधारित है। यहाँ हम स्वयं विधि में नहीं, बल्कि तर्कहीन समीकरणों को हल करने में इसके उपयोग में अधिक रुचि रखते हैं। इसलिए, हम सामग्री को निम्नानुसार प्रस्तुत करते हैं: हम संक्षेप में विधि के मुख्य प्रावधानों को याद करते हैं, जिसके बाद हम विस्तार से गुणनखंडन द्वारा विशेषता अपरिमेय समीकरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

गुणनखंड विधि का उपयोग समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, जिसके बाएँ भागों में एक निश्चित गुणनफल होता है, और दाएँ भागों में शून्य होते हैं, अर्थात् रूप के समीकरणों को हल करने के लिए एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0, जहाँ f 1 , f 2 , …, f n कुछ फलन हैं। विधि का सार समीकरण को बदलना है एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0मूल समीकरण के लिए चर x पर।

सेट में संक्रमण के बारे में अंतिम वाक्य का पहला भाग प्रसिद्ध से आता है प्राथमिक स्कूलतथ्य: कई संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि संख्याओं में से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। ODZ के बारे में दूसरे भाग की उपस्थिति को इस तथ्य से समझाया गया है कि समीकरण से संक्रमण एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0समीकरणों के सेट के लिए f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0असमान हो सकता है और बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है, जिसे इस मामले में ODZ को ध्यान में रखकर समाप्त किया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बाहरी जड़ों को छानना, यदि यह सुविधाजनक है, न केवल ODZ के माध्यम से किया जा सकता है, बल्कि अन्य तरीकों से भी, उदाहरण के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करके जांच कर।

तो समीकरण को हल करने के लिए एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स) ... एफ एन (एक्स) = 0कारककरण विधि, जिसमें तर्कहीन विधि शामिल है, जिसकी आपको आवश्यकता है

• समीकरणों के समुच्चय पर जाएँ f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• सेट को हल करें,
• यदि समाधान के सेट में नहीं है, तो निष्कर्ष निकालें कि मूल समीकरण की कोई जड़ नहीं है। यदि जड़ें हैं, तो बाहरी जड़ों की निराई करें।

आइए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं।

विशिष्ट अपरिमेय समीकरणों के बाएँ हाथ के पक्ष जो गुणनखंडन विधि द्वारा हल किए जाते हैं, वे कई बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उत्पाद होते हैं, आमतौर पर रैखिक द्विपद और वर्ग त्रिपद, और उनके नीचे बीजगणितीय अभिव्यक्तियों वाली कई जड़ें होती हैं। दाहिनी ओर शून्य। ऐसे समीकरण उन्हें हल करने के प्रारंभिक कौशल प्राप्त करने के लिए आदर्श होते हैं। हम इसी तरह के समीकरण को हल करके शुरू करेंगे। ऐसा करने में, हम दो लक्ष्यों को प्राप्त करने का प्रयास करेंगे:

• अपरिमेय समीकरण को हल करते समय गुणनखंडन विधि एल्गोरिथम के सभी चरणों पर विचार करें,
• बाहरी जड़ों को छानने के तीन मुख्य तरीकों को याद करें (ODZ के अनुसार, ODZ शर्तों के अनुसार, और मूल समीकरण में समाधानों को सीधे प्रतिस्थापित करके)।

निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण इस अर्थ में विशिष्ट है कि जब इसे गुणनखंड विधि द्वारा हल किया जाता है, तो ODZ शर्तों के अनुसार बाहरी जड़ों को छानना सुविधाजनक होता है, न कि संख्यात्मक सेट के रूप में ODZ के अनुसार, क्योंकि यह है संख्यात्मक कारक के रूप में ODZ प्राप्त करना कठिन है। कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि डीएचएस को निर्धारित करने वाली शर्तों में से एक है तर्कहीन असमानता . बाहरी जड़ों की निराई करने के लिए निर्दिष्ट दृष्टिकोण इसके समाधान के बिना, इसके अलावा, कभी-कभी करना संभव बनाता है स्कूल का कोर्सगणितज्ञ आमतौर पर तर्कहीन असमानताओं के समाधान से परिचित नहीं होते हैं।

यह अच्छा है जब समीकरण के बाईं ओर एक उत्पाद है, और दाईं ओर शून्य है। इस मामले में, आप तुरंत समीकरणों के सेट पर जा सकते हैं, इसे हल कर सकते हैं, उन जड़ों को ढूंढ सकते हैं और हटा सकते हैं जो मूल समीकरण के लिए बाहरी हैं, जो वांछित समाधान देगा। लेकिन अधिक बार समीकरण एक अलग रूप लेते हैं। यदि एक ही समय में उन्हें गुणनखंडन विधि को लागू करने के लिए उपयुक्त रूप में बदलना संभव है, तो उचित परिवर्तनों को करने का प्रयास क्यों न करें। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर उत्पाद प्राप्त करने के लिए, वर्गों के अंतर का सहारा लेना पर्याप्त है।

समीकरणों का एक और वर्ग है जिसे आमतौर पर गुणनखंड विधि द्वारा हल किया जाता है। इसमें समीकरण शामिल हैं, जिनमें से दोनों भाग ऐसे उत्पाद हैं जिनमें एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में एक ही कारक है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण है . आप समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही कारक से विभाजित करके जा सकते हैं, लेकिन आपको उन मानों को अलग-अलग जांचना नहीं भूलना चाहिए जो इन भावों को शून्य में बदलते हैं, अन्यथा आप समाधान खो सकते हैं, क्योंकि समीकरण के दोनों हिस्सों को समान रूप से विभाजित करना अभिव्यक्ति एक गैर समकक्ष परिवर्तन हो सकता है। कारककरण विधि के अनुसार कार्य करना अधिक विश्वसनीय है, इससे जड़ों के नुकसान से बचने के लिए एक और सही समाधान संभव हो जाता है। यह स्पष्ट है कि इसके लिए आपको पहले समीकरण के बाईं ओर गुणनफल प्राप्त करना होगा, और दाईं ओर शून्य प्राप्त करना होगा। यह आसान है: यह अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है, इसके संकेत को बदल रहा है, और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर ले जाता है। आइए हम एक समान लेकिन थोड़े अधिक जटिल अपरिमेय समीकरण का पूर्ण समाधान दिखाते हैं।

किसी भी समीकरण (साथ ही साथ कई अन्य समस्याओं का समाधान) का समाधान ओडीजेड खोजकर शुरू करना उपयोगी होता है, खासकर अगर ओडीजेड खोजना आसान हो। इसके पक्ष में कुछ सबसे स्पष्ट तर्क यहां दिए गए हैं।

इसलिए, समीकरण को हल करने का कार्य प्राप्त करने के बाद, आपको बिना पीछे देखे परिवर्तन-गणना में भागना नहीं चाहिए, शायद केवल ODZ को देखें? यह निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

कार्यात्मक-चित्रमय विधि

कार्यात्मक-चित्रमय विधि- यह दूसरा है सामान्य विधिसमीकरणों को हल करना। किसी भी सामान्य विधि की तरह, यह आपको समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है विभिन्न प्रकारविशेष रूप से, इसका उपयोग अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। यह कार्यात्मक-चित्रमय पद्धति का यह अनुप्रयोग है जो हमें वर्तमान लेख के ढांचे में सबसे अधिक रुचि देता है।

कार्यात्मक-चित्रमय पद्धति में समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में कार्य, उनके गुण और रेखांकन शामिल हैं। यह एक बहुत शक्तिशाली साधन है। और किसी की तरह शक्तिशाली उपकरण, आमतौर पर इसका सहारा लिया जाता है जब सरल उपकरण शक्तिहीन होते हैं।

समीकरणों को हल करने के लिए कार्यात्मक-चित्रमय पद्धति की तीन मुख्य दिशाएँ हैं:

• पहला फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग है। इस दिशा को आलेखीय विधि कहते हैं।
• दूसरा बढ़ते और घटते कार्यों के गुणों का उपयोग करना है।
• तीसरा प्रतिबंधित कार्यों के गुणों का उपयोग करना है। संभवतः मूल्यांकन पद्धति के तहत, जिसमें हाल तककान से, वे कार्यात्मक-ग्राफिक पद्धति की इस दिशा को ठीक से समझते हैं।

ये तीन दिशाएँ तर्कहीन समीकरणों के भारी बहुमत से निपटना संभव बनाती हैं, जिसके लिए कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि आमतौर पर उपयुक्त होती है। निर्दिष्ट अनुक्रम में - रेखांकन का उपयोग, वृद्धि-घटाव का उपयोग, बंधे हुए कार्यों के गुणों का उपयोग - हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

ग्राफिक विधि

तो, आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए आलेखीय विधि से शुरू करें।

चित्रमय विधि के अनुसार, आपको चाहिए:

• सबसे पहले, एक समन्वय प्रणाली में, हल किए जा रहे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों के संगत फलन f और g के आलेखों को प्लॉट करें,
• दूसरे, उनके अनुसार तुलनात्मक स्थितिसमीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालें:
  • यदि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण का कोई हल नहीं है,
  • यदि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तो समीकरण की जड़ें इन बिंदुओं के भुज हैं।

ODZ के माध्यम से अपरिमेय समीकरणों को हल करना

बहुत बार, समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया का हिस्सा होता है। ODZ की तलाश के कारण अलग-अलग हो सकते हैं: समीकरण के परिवर्तनों को पूरा करने की आवश्यकता होती है, और जैसा कि आप जानते हैं, वे ODZ पर किए जाते हैं, समाधान की चुनी हुई विधि का अर्थ है ODZ खोजना, ODZ के अनुसार जाँच करना, आदि। और कुछ मामलों में, ODZ न केवल सहायक या नियंत्रण उपकरण के रूप में कार्य करता है, बल्कि आपको समीकरण का समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है। यहां हमारे दिमाग में दो स्थितियाँ हैं: जब ODZ एक खाली सेट है और जब ODZ संख्याओं का एक सीमित सेट है।

यह स्पष्ट है कि यदि किसी समीकरण का ODZ, विशेष रूप से अपरिमेय, एक रिक्त समुच्चय है, तो समीकरण का कोई हल नहीं है। अतः निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण के लिए चर x का ODZ एक रिक्त समुच्चय है, जिसका अर्थ है कि समीकरण का कोई हल नहीं है।

जब एक समीकरण के लिए एक चर का ODZ संख्याओं का एक परिमित समुच्चय होता है, तो इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करके क्रमिक रूप से जाँच करके, आप समीकरण का हल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसके लिए ODZ में दो संख्याएँ होती हैं, और प्रतिस्थापन दर्शाता है कि उनमें से केवल एक ही समीकरण का मूल है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह मूल ही समीकरण का एकमात्र समाधान है।

"अंश शून्य के बराबर है" के रूप के अपरिमेय समीकरणों का समाधान

कोई फार्म का समीकरण "अंश शून्य के बराबर है", विशेष रूप से अपरिमेय, इस समीकरण के लिए चर x के ODZ पर समीकरण f(x)=0 के तुल्य है। इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के दो दृष्टिकोण इस कथन से अनुसरण करते हैं:

यह स्पष्ट है कि समीकरण f(x)=0 को हल करने की तुलना में ODZ को खोजना आसान होने पर समीकरण को हल करने के लिए पहली विधि का सहारा लेना बेहतर है। इस स्थिति में, ODZ एक खाली सेट हो सकता है या इसमें कई संख्याएँ हो सकती हैं, इन मामलों में समीकरण f (x) = 0 को हल किए बिना करना संभव होगा (देखें)। आइए एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण को हल करें।

समीकरण f(x)=0 को हल करना काफी आसान है, तो समीकरण को हल करने के लिए दूसरा मुखर दृष्टिकोण बेहतर है। समीकरण f(x)=0 को हल करने के बाद, यह पाया जड़ों की जांच करने के लिए बनी हुई है, जो आमतौर पर निम्न तरीकों में से एक में किया जाता है:

• मूल समीकरण के भाजक में प्रतिस्थापन के माध्यम से, वे पाए गए मूल जो हर को शून्य या एक ऐसे व्यंजक में बदल देते हैं जिसका कोई अर्थ नहीं है, वे मूल नहीं हैं, और पाए गए मूल जो भाजक को गैर-शून्य संख्या में बदल देते हैं, वे मूल हैं मूल समीकरण का।
• सीधे ODZ से (जब ODZ काफी आसानी से पाया जाता है, जबकि "अंश बराबर शून्य" रूप के अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए पहला और दूसरा दृष्टिकोण व्यावहारिक रूप से समतुल्य हैं), ODZ से संबंधित जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं , और संबंधित नहीं - नहीं हैं।
• या ODZ की शर्तों के माध्यम से (ODZ को निर्धारित करने वाली शर्तों को लिखना अक्सर आसान होता है, लेकिन संख्यात्मक सेट के रूप में उनसे ODZ खोजना मुश्किल होता है), वे पाए गए रूट जो सभी को संतुष्ट करते हैं ODZ की शर्तें मूल समीकरण के मूल हैं, बाकी नहीं हैं।

अपरिमेय समीकरण संख्यात्मक समीकरणों को कम करना

मॉड्यूल पर जाएं

यदि एक अपरिमेय समीकरण के रिकॉर्ड में, एक समान डिग्री की जड़ के चिह्न के तहत, रूट के घातांक के बराबर एक घातांक के साथ कुछ अभिव्यक्ति की डिग्री है, तो हम मॉड्यूल में परिवर्तन कर सकते हैं। ऐसा परिवर्तन किसी एक के कारण होता है, जो सूत्र से मेल खाता है, जहां 2·m एक सम संख्या है, a कोई वास्तविक संख्या है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह परिवर्तन समीकरण के परिवर्तन के बराबर है। वास्तव में, इस तरह के परिवर्तन के साथ, जड़ को समान रूप से समान मॉड्यूल द्वारा बदल दिया जाता है, जबकि ODZ नहीं बदलता है।

एक विशिष्ट अपरिमेय समीकरण पर विचार करें, जिसे मापांक में पास करके हल किया जा सकता है।

क्या संभव होने पर मॉड्यूल पर स्विच करना हमेशा उचित होता है? अधिकांश मामलों में, ऐसा संक्रमण उचित है। अपवाद वे मामले हैं जब यह स्पष्ट है कि अपरिमेय समीकरण को हल करने के वैकल्पिक तरीकों में अपेक्षाकृत कम श्रम की आवश्यकता होती है। आइए एक अपरिमेय समीकरण लें जिसे मॉड्यूल में जाकर और कुछ अन्य तरीकों से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके या रूट का निर्धारण करके, और देखें कि कौन सा समाधान सबसे सरल और सबसे कॉम्पैक्ट होगा।

हल किए गए उदाहरण में, जड़ का निर्धारण करना सबसे बेहतर समाधान है: यह मापांक में संक्रमण के माध्यम से समाधान की तुलना में छोटा और सरल है, और समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करने की विधि द्वारा समाधान। क्या तीनों विधियों से समीकरण को हल करने से पहले हम यह जान सकते थे? आइए इसका सामना करते हैं, यह स्पष्ट नहीं था। इसलिए जब कई समाधान विधियों को देखा जाता है और यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि किसे प्राथमिकता दी जाए, तो यह उनमें से किसी के साथ समाधान प्राप्त करने का प्रयास करने योग्य है। अगर यह काम करता है, तो अच्छा है। यदि चुनी हुई विधि का परिणाम नहीं होता है या समाधान बहुत कठिन हो जाता है, तो यह दूसरी विधि का प्रयास करने के लायक है।

इस अनुच्छेद को समाप्त करने के लिए, आइए अपरिमेय समीकरण पर लौटें। पिछले पैराग्राफ में, हमने पहले ही इसे हल कर लिया था और देखा कि समीकरण के दोनों हिस्सों को कट्टरपंथी और वर्ग के अलगाव के माध्यम से हल करने का प्रयास संख्यात्मक समानता 0 = 0 और जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने में असमर्थता का कारण बना। और जड़ को निर्धारित करने का निर्णय तर्कहीन असमानता के समाधान से जुड़ा था, जो अपने आप में काफी कठिन है। अच्छा तरीकाइस अपरिमेय समीकरण का समाधान मॉड्यूल में संक्रमण है। आइए विस्तार से उपाय बताते हैं।

तर्कहीन समीकरणों का परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को रूपांतरित किए बिना उन्हें हल करना लगभग कभी भी पूरा नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों का अध्ययन करने के समय तक, हम पहले से ही समीकरणों के तुल्य रूपांतरणों से परिचित हो चुके होते हैं। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उनका उपयोग उसी तरह किया जाता है जैसे पहले अध्ययन किए गए प्रकार के समीकरणों को हल करते समय। आपने पिछले पैराग्राफ में तर्कहीन समीकरणों के ऐसे परिवर्तनों के उदाहरण देखे, और आप सहमत होंगे, वे काफी स्वाभाविक रूप से देखे गए थे, क्योंकि वे हमें अच्छी तरह से जानते हैं। ऊपर, हमने अपने लिए एक नए परिवर्तन के बारे में भी सीखा - समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही शक्ति तक बढ़ाना, जो अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट है, सामान्य स्थिति में यह समतुल्य नहीं है। इन सभी परिवर्तनों के बारे में विस्तार से बात करने लायक है ताकि उनके कार्यान्वयन के दौरान उत्पन्न होने वाले सभी सूक्ष्म बिंदुओं को जान सकें और गलतियों से बच सकें।

हम निम्नलिखित क्रम में अपरिमेय समीकरणों के परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे:

1. समान रूप से समान व्यंजकों वाले व्यंजकों को बदलना जो DPV को नहीं बदलते हैं।
2. किसी समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना या समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना।
3. उसी व्यंजक को जोड़ना जो समीकरण के दोनों पक्षों में DPV को नहीं बदलता है, या उसी व्यंजक को घटाना जो समीकरण के दोनों पक्षों से DPV को नहीं बदलता है।
4. समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिन्ह के साथ शब्दों का स्थानांतरण।
5. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा और भाग करना।
6. एक ही व्यंजक द्वारा समीकरण के दोनों भागों का गुणन और विभाजन, जो चर के स्वीकार्य मानों की सीमा को नहीं बदलता है और उस पर लुप्त नहीं होता है।
7. किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाएँ।

तो, सवालों के घेरे को रेखांकित किया गया है। आइए उदाहरणों से शुरू करते हैं।

हमारे लिए रुचि का पहला परिवर्तन समान रूप से समान भाव वाले समीकरण में भावों का प्रतिस्थापन है। हम जानते हैं कि यह समतुल्य है यदि परिवर्तन के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण के लिए ODZ मूल समीकरण के लिए ODZ के समान है। इससे यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के दौरान त्रुटियों की घटना के दो मुख्य कारण हैं: पहला ODZ में परिवर्तन है जो परिवर्तन के परिणामस्वरूप होता है, दूसरा एक अभिव्यक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन है जो है इसके समान नहीं। आइए इस प्रकार के विशिष्ट परिवर्तनों के उदाहरणों पर विचार करते हुए इन पहलुओं का विस्तार से और क्रम में विश्लेषण करें।

सबसे पहले, आइए समीकरणों के विशिष्ट परिवर्तनों पर ध्यान दें, जिसमें एक व्यंजक को एक ऐसे व्यंजक के साथ बदलना शामिल है जो समान रूप से इसके बराबर है, जो हमेशा समतुल्य होते हैं। यहाँ प्रासंगिक सूची है।

• नियमों और कारकों की पुनर्व्यवस्था। यह परिवर्तन तर्कहीन समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों ओर किया जा सकता है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, समीकरण के रूप को सरल बनाने के लिए समूह बनाने और फिर समान शर्तों को कम करने के लिए किया जा सकता है। शब्दों या कारकों की अदला-बदली स्पष्ट रूप से समीकरण का एक समान परिवर्तन है। यह समझ में आता है: मूल अभिव्यक्ति और पुनर्व्यवस्थित शब्दों या कारकों के साथ अभिव्यक्ति समान रूप से समान हैं (यदि, निश्चित रूप से, क्रमचय सही ढंग से किया जाता है), और यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन से ODZ नहीं बदलता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। उत्पाद x 3 x में अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर, आप पहले और दूसरे कारकों x और 3 को स्वैप कर सकते हैं, जो भविष्य में आपको मानक रूप में मूल चिन्ह के तहत बहुपद का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगा। और 4 + x + 5 के योग में समीकरण के दाईं ओर, आप 4 और x को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, जो भविष्य में आपको 4 और 5 को जोड़ने की अनुमति देगा। इन क्रमपरिवर्तन के बाद, अपरिमेय समीकरण का रूप ले लेगा, परिणामी समीकरण मूल के बराबर है।
• ब्रैकेट खोलना। समीकरणों के इस परिवर्तन की समानता स्पष्ट है: कोष्ठक के खुलने से पहले और बाद के भाव समान रूप से समान हैं और मान्य मानों की समान श्रेणी है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण लें . इसके समाधान के लिए कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। समीकरण के बाईं ओर और साथ ही समीकरण के दाईं ओर कोष्ठक खोलने पर, हम एक समतुल्य समीकरण पर पहुंचते हैं।
• समूहीकरण शर्तें और/या कारक। एक समीकरण का यह परिवर्तन, इसके सार में, किसी भी अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन है जो समीकरण का एक हिस्सा है जो एक अभिव्यक्ति के साथ समान रूप से समूहीकृत शब्दों या कारकों के बराबर है। जाहिर है, इससे ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, समीकरण का संकेतित परिवर्तन समतुल्य है। उदाहरण के लिए, आइए एक अपरिमेय समीकरण लें। शब्दों का क्रमपरिवर्तन (हमने इसके बारे में दो पैराग्राफ ऊपर बात की थी) और शब्दों का समूहीकरण हमें एक समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। शब्दों के ऐसे समूहीकरण का उद्देश्य स्पष्ट रूप से दिखाई देता है - निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन करने के लिए, जो हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देगा।
• सामान्य कारक को ब्रैकेट करना। यह स्पष्ट है कि सामान्य कारक को ब्रैकेट करने से पहले और सामान्य कारक को ब्रैकेट करने के बाद के भाव समान रूप से समान हैं। यह भी स्पष्ट है कि कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने से ODZ नहीं बदलता है। इसलिए, एक समीकरण का हिस्सा होने वाली अभिव्यक्ति में सामान्य कारक को ब्रैकेट से बाहर ले जाना समीकरण का समकक्ष परिवर्तन है। इस तरह के एक परिवर्तन का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक समीकरण के बाईं ओर एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए इसे गुणनखंडन विधि द्वारा हल करने के लिए। यहाँ विशिष्ट उदाहरण. एक तर्कहीन समीकरण पर विचार करें। इस समीकरण के बाईं ओर एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसके लिए आपको सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त होगा , मूल के समतुल्य, जिसे गुणनखंडन विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
• संख्यात्मक भावों को उनके मूल्यों से बदलना। यह स्पष्ट है कि यदि समीकरण रिकॉर्ड में कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्ति है, और हम इस संख्यात्मक अभिव्यक्ति को इसके मूल्य (सही ढंग से गणना) के साथ बदलते हैं, तो ऐसा प्रतिस्थापन समतुल्य होगा। वास्तव में, वास्तव में, वास्तव में, अभिव्यक्ति को उसके समान समान रूप से एक अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और उसी समय समीकरण का ODZ नहीं बदलता है। अत: अपरिमेय समीकरण में प्रतिस्थापित करना इस योग के मान से दो संख्याओं -3 और 1 का योग, जो -2 के बराबर है, हमें एक समतुल्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है। इसी तरह, हम अपरिमेय समीकरण के समतुल्य परिवर्तन कर सकते हैं , मूल चिह्न के अंतर्गत संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर रहा है (1+2=3 और ), यह परिवर्तन हमें समतुल्य समीकरण की ओर ले जाएगा .
• एक अपरिमेय समीकरण के रिकॉर्ड में मौजूद मोनोमियल और बहुपद के साथ क्रियाएं करना। यह स्पष्ट है कि सही निष्पादनइन कार्रवाइयों से एक समतुल्य समीकरण बन जाएगा। दरअसल, इस मामले में, अभिव्यक्ति को एक ऐसे अभिव्यक्ति से बदल दिया जाएगा जो इसके समान ही है और डीपीवी नहीं बदलेगा। उदाहरण के लिए, तर्कहीन समीकरण में आप एकपदी x 2 और 3 x 2 को जोड़ सकते हैं और एक समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं . एक अन्य उदाहरण: एक अपरिमेय समीकरण के बाईं ओर बहुपदों का घटाव एक समतुल्य परिवर्तन है जो एक समतुल्य समीकरण की ओर जाता है .

हम समीकरणों के परिवर्तनों पर विचार करना जारी रखते हैं, जिसमें भावों को समान रूप से समान भावों के साथ बदलना शामिल है। ऐसे परिवर्तन असमान भी हो सकते हैं, क्योंकि वे ODZ को बदल सकते हैं। विशेष रूप से, ODZ का विस्तार हो सकता है। यह तब हो सकता है जब शब्दों को जोड़ते समय, अंशों को कम करते समय, जब किसी उत्पाद को कई शून्य कारकों के साथ शून्य किया जाता है या शून्य अंश के साथ एक अंश होता है, और अक्सर जड़ों के गुणों के अनुरूप सूत्रों का उपयोग करते समय होता है। वैसे, जड़ों के गुणों के लापरवाह उपयोग से भी ODZ का संकुचन हो सकता है। और अगर समीकरणों को हल करते समय ODZ का विस्तार करने वाले परिवर्तन स्वीकार्य हैं (वे बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकते हैं, जो एक निश्चित तरीके से समाप्त हो जाते हैं), तो ODZ को संकीर्ण करने वाले परिवर्तनों को बिना असफल हुए छोड़ दिया जाना चाहिए, क्योंकि वे इसका कारण बन सकते हैं जड़ों की हानि। आइए इन बिंदुओं पर ध्यान दें।

पहला अपरिमेय समीकरण है . इसका समाधान समीकरण के रूप में परिवर्तन से शुरू होता है डिग्री के गुणों में से एक के आधार पर। यह परिवर्तन समतुल्य है, क्योंकि अभिव्यक्ति को समान रूप से समान अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और DPV नहीं बदलता है। लेकिन समीकरण का अगला परिवर्तन, रूट की परिभाषा के आधार पर किया गया, पहले से ही समीकरण का एक गैर-समतुल्य परिवर्तन हो सकता है, क्योंकि इस तरह के परिवर्तन से ODZ का विस्तार होता है। आइए इस समीकरण का पूरा हल दिखाते हैं।

दूसरा अपरिमेय समीकरण, यह दर्शाने के लिए उपयुक्त है कि जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों का रूपांतरण और मूल की परिभाषा गैर-समतुल्य हो सकती है, है . ठीक है, अगर आप अपने आप को इस तरह से निर्णय लेने की अनुमति नहीं देते हैं

या ऐसा

हम पहले मामले से शुरू करते हैं। पहला परिवर्तन मूल अपरिमेय समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए व्यंजक x+3 को व्यंजक से बदलने में शामिल है। ये भाव समान रूप से समान हैं। लेकिन इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, ODZ को सेट (−∞, −3)∪[−1, +∞) से सेट [−1, +∞) तक सीमित कर दिया गया है। और हम ODZ को संकीर्ण करने वाले सुधारों से परहेज करने पर सहमत हुए, क्योंकि वे जड़ों की हानि का कारण बन सकते हैं।

दूसरे मामले में क्या गलत है? से पिछले संक्रमण पर ODZ विस्तार नंबर −3 के लिए? इतना ही नहीं। मूल अपरिमेय समीकरण से पहला संक्रमण बड़ी चिंता का विषय है समीकरण के लिए . इस संक्रमण का सार व्यंजक x + 3 का व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापन है। लेकिन ये भाव समान रूप से समान नहीं हैं: x + 3 के लिए<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , जहां से यह इस प्रकार है .

तो फिर इस अपरिमेय समीकरण को कैसे हल करें ? यहां एक नया चर तुरंत पेश करना सबसे अच्छा है , जबकि (x+3) (x+1)=t 2 । आइए विस्तार से उपाय बताते हैं।

आइए हम समीकरणों के पहले परिवर्तन को संक्षेप में प्रस्तुत करें - एक अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन जो समीकरण का एक हिस्सा है जो एक अभिव्यक्ति के साथ समान रूप से बराबर है। हर बार इसे किए जाने पर, दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: पहली यह है कि अभिव्यक्ति को बिल्कुल समान समान अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है, और दूसरा यह है कि ODZ का संकुचन नहीं होता है। यदि, इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ, ODZ नहीं बदलता है, तो परिवर्तन के परिणामस्वरूप एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा। यदि इस तरह के प्रतिस्थापन के साथ ODZ का विस्तार होता है, तो बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और उन्हें छानने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए।

हम सूची के दूसरे परिवर्तन की ओर मुड़ते हैं - समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ना और समीकरण के दोनों पक्षों से समान संख्या घटाना। यह समीकरण का समतुल्य परिवर्तन है। आमतौर पर हम इसका सहारा लेते हैं जब समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष में समान संख्याएँ होती हैं, इन संख्याओं को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाकर हम भविष्य में उनसे छुटकारा पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर एक पद 3 है। समीकरण के दोनों ओर से त्रिगुण को घटाने पर समीकरण बनता है, जो संख्याओं के साथ जोड़-तोड़ करने के बाद रूप ले लेता है और आगे सरल करता है। परिणाम के अनुसार, विचाराधीन परिवर्तन में समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत संकेत के साथ एक शब्द के हस्तांतरण के साथ कुछ सामान्य है, लेकिन इस परिवर्तन के बारे में थोड़ी देर बाद। इस परिवर्तन को लागू करने के अन्य उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में, समीकरण के बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग को व्यवस्थित करने के लिए दोनों पक्षों में संख्या 3 को जोड़ना आवश्यक है और एक नए चर को पेश करने के लिए समीकरण को रूप में बदलना आवश्यक है।

रूपांतरण का एक सामान्यीकरण अभी विचार किया गया है, समीकरण के दोनों भागों के अतिरिक्त या एक ही अभिव्यक्ति के समीकरण के दोनों भागों से घटाव है। जब ODZ नहीं बदलता है तो समीकरणों का यह परिवर्तन समतुल्य होता है। यह परिवर्तन मुख्य रूप से उन्हीं शब्दों से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है जो समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर एक साथ होते हैं। आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए हमारे पास एक अपरिमेय समीकरण है। जाहिर है, समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों में एक पद है। इस व्यंजक को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाना उचित है: . हमारे मामले में, इस तरह के संक्रमण के दौरान, ODZ नहीं बदलता है, इसलिए किया गया परिवर्तन समतुल्य है। और यह एक सरल अपरिमेय समीकरण की ओर बढ़ने के लिए किया जाता है।

समीकरणों का अगला परिवर्तन, जिसे हम इस पैराग्राफ में स्पर्श करेंगे, समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में विपरीत चिन्ह के साथ शब्दों का स्थानांतरण है। समीकरण का यह परिवर्तन हमेशा समतुल्य होता है। इसके आवेदन का दायरा काफी विस्तृत है। इसकी मदद से, उदाहरण के लिए, समीकरण के एक हिस्से में कट्टरपंथी को अलग कर सकते हैं या समान शर्तों को इकट्ठा कर सकते हैं, ताकि बाद में उन्हें कम किया जा सके और इस तरह समीकरण के रूप को सरल बनाया जा सके। आइए एक उदाहरण लेते हैं। एक तर्कहीन समीकरण को हल करने के लिए पद −1 का चिह्न बदलकर −1 को दायीं ओर स्थानान्तरित करना संभव है, इससे एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होगा , जिसे आगे हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके।

हम समीकरण के दोनों भागों के गुणन या विभाजन को शून्य के अलावा एक ही संख्या से समीकरणों के परिवर्तन पर विचार करने के मार्ग के साथ आगे बढ़ते हैं। यह परिवर्तन समीकरण के समकक्ष परिवर्तन है। एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने का उपयोग मुख्य रूप से भिन्नों से पूर्ण संख्याओं में जाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए, इसके दोनों भागों को 8 से गुणा करें, जिससे एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है , जो आगे फॉर्म में कम हो गया है . संख्यात्मक गुणांक को कम करने के लिए समीकरण के दोनों भागों का विभाजन मुख्य रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, अपरिमेय समीकरण के दोनों पक्ष संख्यात्मक गुणांक 18 और 12 से विभाजित करने की सलाह दी जाती है, अर्थात 6 से, ऐसा विभाजन एक समतुल्य समीकरण देता है , जिससे हम बाद में समीकरण में जा सकते हैं , जिसके छोटे, लेकिन पूर्णांक गुणांक भी हैं।

समीकरण का अगला रूपांतरण एक ही व्यंजक द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों का गुणा और भाग है। यह परिवर्तन समतुल्य है जब अभिव्यक्ति जिसके द्वारा गुणा या भाग किया जाता है, चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को नहीं बदलता है और उस पर गायब नहीं होता है। आमतौर पर, दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से गुणा करना, उद्देश्यों के अनुसार, एक समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करने जैसा है। आगे के परिवर्तनों द्वारा अंशों से छुटकारा पाने के लिए अक्सर इस परिवर्तन का सहारा लिया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

हम तर्कहीन समीकरणों को बायपास नहीं करेंगे, जिसके समाधान के लिए समीकरण के दोनों भागों को एक ही अभिव्यक्ति से विभाजित करने का सहारा लेना होगा। थोड़ा ऊपर, हमने देखा कि ऐसा विभाजन एक समतुल्य परिवर्तन है यदि यह ODZ को प्रभावित नहीं करता है और ODZ पर यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है। लेकिन कभी-कभी ODZ पर गायब होने वाले एक्सप्रेशन पर विभाजन करना पड़ता है। ऐसा करना काफी संभव है, यदि एक ही समय में, इस व्यंजक के शून्यों को यह देखने के लिए अलग से जाँचा जाए कि क्या उनके बीच हल किए जा रहे समीकरण के कोई मूल हैं, अन्यथा ऐसे विभाजन के दौरान ये मूल खो सकते हैं।

अपरिमेय समीकरणों का अंतिम रूपांतरण, जिसके बारे में हम इस खंड में बात करेंगे, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाना है। इस परिवर्तन को अपरिमेय समीकरणों के लिए विशिष्ट कहा जा सकता है, क्योंकि यह व्यावहारिक रूप से अन्य प्रकार के समीकरणों को हल करने में उपयोग नहीं किया जाता है। जब हमने विश्लेषण किया तो हमने वर्तमान लेख में पहले ही इस परिवर्तन का उल्लेख किया था। इस परिवर्तन के कई उदाहरण भी हैं। हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे, लेकिन केवल यह याद रखें कि सामान्य मामले में यह परिवर्तन समतुल्य नहीं है। यह बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकता है। इसलिए, यदि हल करने की प्रक्रिया में हम इस परिवर्तन की ओर मुड़ते हैं, तो उनके बीच बाहरी जड़ों की उपस्थिति के लिए पाई गई जड़ों की जाँच की जानी चाहिए।

जड़ों को खोने के बारे में

किसी समीकरण को हल करते समय मूलों के नष्ट होने का क्या कारण हो सकता है? जड़ों के नुकसान का मुख्य कारण समीकरण का परिवर्तन है, जिसमें ODZ संकरा हो जाता है। इस बिंदु को समझने के लिए, आइए एक उदाहरण लेते हैं।

आइए एक अपरिमेय समीकरण लें , जिसे हम वर्तमान लेख में पहले ही हल कर चुके हैं। हमने समीकरण के निम्नलिखित रूपांतरणों के विरुद्ध चेतावनी देकर इसे हल करना शुरू किया

पहला परिवर्तन समीकरण से संक्रमण है समीकरण के लिए - ODZ को संकरा करता है। दरअसल, मूल समीकरण के लिए ODZ (−∞, −3)∪[−1, +∞) है, और परिणामी समीकरण के लिए यह [−1, +∞) है। यह विचार से अंतराल (−∞, −3) की हानि पर जोर देता है और, परिणामस्वरूप, इस अंतराल से समीकरण की सभी जड़ों का नुकसान होता है। हमारे मामले में, संकेतित परिवर्तन करते समय, समीकरण की सभी जड़ें, जो दो और हैं, खो जाएंगी।

इसलिए, यदि समीकरण के परिवर्तन से ODZ का संकुचन होता है, तो समीकरण की सभी जड़ें जो उस भाग में हैं जिस पर संकुचन हुआ है, खो जाएगा। यही कारण है कि हम डीएचएस को संकीर्ण करने वाले सुधारों का सहारा नहीं लेने का आग्रह करते हैं। हालाँकि, एक चेतावनी है।

यह आरक्षण उन रूपांतरणों पर लागू होता है जिनमें ODZ को एक या अधिक संख्याओं द्वारा सीमित किया जाता है। सबसे विशिष्ट परिवर्तन, जिसमें कई अलग-अलग संख्याएँ ODZ से बाहर हो जाती हैं, समीकरण के दोनों भागों का एक ही व्यंजक में विभाजन है। यह स्पष्ट है कि इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देते समय, केवल वे जड़ें जो संख्याओं के इस परिमित सेट में हैं, जो ODZ को कम करने पर बाहर हो जाती हैं, खो सकती हैं। इसलिए, यदि इस सेट की सभी संख्याओं को अलग-अलग जांचा जाता है कि क्या उनके बीच समीकरण की जड़ें हल हो रही हैं, उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन द्वारा, और पाया जड़ों को उत्तर में शामिल किया गया है, तो इच्छित परिवर्तन किया जा सकता है आगे जड़ों को खोने के डर के बिना। उपरोक्त को एक उदाहरण से समझाते हैं।

तर्कहीन समीकरण पर विचार करें, जिसे पिछले पैराग्राफ में भी हल किया गया था। एक नया चर प्रस्तुत करके इस समीकरण को हल करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 1+x से विभाजित करना उपयोगी होता है। इस तरह के विभाजन के साथ, संख्या -1 ODZ से बाहर हो जाती है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने से एक गलत संख्यात्मक समानता () मिलती है, जिसका अर्थ है कि -1 समीकरण का मूल नहीं है। इस तरह की जाँच के बाद, आप रूट खोने के डर के बिना इच्छित विभाजन को सुरक्षित रूप से पूरा कर सकते हैं।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही अभिव्यक्ति से विभाजित करने के साथ-साथ जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन, ODZ के संकुचन की ओर जाता है। इसलिए आपको इस तरह के परिवर्तन करते समय बहुत सावधान रहने की जरूरत है और जड़ों को नुकसान न होने दें।

बाहरी जड़ों और उन्हें बाहर निकालने के तरीकों के बारे में

समीकरणों के विशाल बहुमत का समाधान समीकरणों के परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है। कुछ परिवर्तनों से उपप्रमेय समीकरण बन सकते हैं, और उपप्रमेय समीकरण के समाधानों में ऐसी जड़ें हो सकती हैं जो मूल समीकरण से असंगत हों। बाह्य मूल मूल समीकरण के मूल नहीं हैं, इसलिए उन्हें उत्तर में शामिल नहीं किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, उनका निस्तारण किया जाना चाहिए।

इसलिए, यदि समीकरण के परिवर्तनों की श्रृंखला में कम से कम एक परिणामी समीकरण हल किया जा रहा है, तो आपको बाहरी जड़ों का पता लगाने और छानने का ध्यान रखना होगा।

बाहरी जड़ों का पता लगाने और निकालने के तरीके उन कारणों पर निर्भर करते हैं जो उनकी संभावित उपस्थिति का कारण बनते हैं। और अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों की संभावित उपस्थिति के दो कारण हैं: पहला समीकरण के परिवर्तन के परिणामस्वरूप ODZ का विस्तार है, दूसरा समीकरण के दोनों भागों को एक समान शक्ति तक बढ़ाना है . आइए प्रासंगिक तरीकों पर एक नज़र डालें।

आइए बाहरी जड़ों को छानने के तरीकों से शुरू करें, जब उनके संभावित स्वरूप का एकमात्र कारण ODZ का विस्तार है। इस मामले में, निम्नलिखित तीन तरीकों में से एक में बाहरी जड़ों की निराई की जाती है:

• ओडीजेड के अनुसार। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण के लिए वेरिएबल का ODZ पाया जाता है और उसमें पाए गए रूट्स की जाँच की जाती है। वे जड़ें जो ODZ से संबंधित हैं, मूल समीकरण की जड़ें हैं, और जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, वे मूल समीकरण के लिए बाहरी जड़ें हैं।
• ODZ की शर्तों के माध्यम से। मूल समीकरण के लिए वेरिएबल के ODV को निर्धारित करने वाली शर्तों को लिखा जाता है, और पाए गए रूट्स को उनमें बदले में प्रतिस्थापित किया जाता है। वे मूल जो सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हैं, वे मूल हैं, और जो कम से कम एक प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करते हैं, वे मूल समीकरण के लिए बाह्य मूल हैं।
• मूल समीकरण में (या उसके समतुल्य किसी समीकरण में) प्रतिस्थापन द्वारा। मूल समीकरण में मूल जड़ों को बदले में प्रतिस्थापित किया जाता है, उनमें से वे, जब प्रतिस्थापित करते हैं, जो समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है, जड़ें होती हैं, और उनमें से, जब प्रतिस्थापित करते हैं, जो एक अभिव्यक्ति जो समझ में नहीं आती है, बाहरी जड़ें हैं मूल समीकरण के लिए

निम्नलिखित तर्कहीन समीकरण को हल करते समय, आइए उनमें से प्रत्येक के बारे में एक सामान्य विचार प्राप्त करने के लिए संकेतित तरीकों में से प्रत्येक में बाहरी जड़ों को हटा दें।

यह स्पष्ट है कि हम हर बार सभी ज्ञात तरीकों से बाहरी जड़ों की पहचान नहीं करेंगे और उनकी छंटाई नहीं करेंगे। बाहरी जड़ों को छानने के लिए, हम प्रत्येक मामले में सबसे उपयुक्त विधि चुनेंगे। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित उदाहरण में, ODZ की शर्तों के माध्यम से बाहरी जड़ों को छानना सबसे सुविधाजनक है, क्योंकि इन शर्तों के तहत ODZ को एक संख्यात्मक सेट के रूप में खोजना मुश्किल है।

अब बात करते हैं बाहरी जड़ों को छानने की, जब एक अपरिमेय समीकरण का समाधान समीकरण के दोनों भागों को एक सम घात तक बढ़ाकर किया जाता है। यहाँ, ODZ के माध्यम से या ODZ की शर्तों के माध्यम से स्क्रीनिंग अब मदद नहीं करेगी, क्योंकि यह हमें किसी अन्य कारण से उत्पन्न होने वाली बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की अनुमति नहीं देगी - समीकरण के दोनों भागों को समान शक्ति तक बढ़ाने के कारण . जब किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात पर उठाया जाता है तो बाह्य मूल क्यों दिखाई देते हैं? इस मामले में बाहरी जड़ों की उपस्थिति इस तथ्य से होती है कि गलत संख्यात्मक समानता के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाने से सही संख्यात्मक समानता मिल सकती है। उदाहरण के लिए, गलत संख्यात्मक समानता 3=−3, इसके दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, सही संख्यात्मक समानता 3 2 =(−3) 2 बन जाती है, जो 9=9 के समान है।

जब समीकरण के दोनों भागों को एक ही डिग्री तक उठाया जाता है तो बाहरी जड़ों की उपस्थिति के कारणों को सुलझा लिया गया है। यह इंगित करना बाकी है कि इस मामले में बाहरी जड़ें कैसे समाप्त हो जाती हैं। स्क्रीनिंग मुख्य रूप से मूल समीकरण में या उसके समतुल्य किसी भी समीकरण में पाए गए संभावित जड़ों को प्रतिस्थापित करके की जाती है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ प्रदर्शित करते हैं।

लेकिन यह एक अन्य विधि को ध्यान में रखने योग्य है जो आपको उन मामलों में बाहरी जड़ों को बाहर निकालने की अनुमति देता है जहां एक अकेले कट्टरपंथी के साथ तर्कहीन समीकरण के दोनों हिस्सों को समान शक्ति तक बढ़ाया जाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय , जहां 2·k एक सम संख्या है, समीकरण के दोनों भागों को एक ही घात पर उठाकर, बाह्य जड़ों को छानने का काम शर्त g(x)≥0 के माध्यम से किया जा सकता है (अर्थात, वास्तव में, एक अपरिमेय समीकरण को हल करना रूट निर्धारित करके)। यह विधि अक्सर बचाव के लिए आती है जब प्रतिस्थापन के माध्यम से बाहरी जड़ों को बाहर निकालना जटिल गणनाओं से जुड़ा होता है। निम्नलिखित उदाहरण जो कहा गया है उसका एक अच्छा उदाहरण है।

साहित्य

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2. मोर्डकोविच ए जी।बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 11। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए जी मोर्डकोविच, पी वी सेमेनोव। - दूसरा संस्करण।, मिटा दिया। - एम .: मेमनोसिन, 2008. - 287 पी।: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01027-2।
3. बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / ए.एन. कोल्मोगोरोव, ए.एम. अब्रामोव, यू.पी. डुडनित्सिन और अन्य; ईडी। ए.एन. कोलमोगोरोवा.- 14वां संस्करण.- एम.: एनलाइटनमेंट, 2004.- 384 पी.: बीमार.- आईएसबीएन 5-09-013651-3.
4. बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [यू। एम. कोलयागिन, एम.वी. तकाचेवा, एन.ई. फेडोरोवा, एम.आई. शाबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2010.- 368 पी .: बीमार-आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।
5. अंक शास्त्र। USE-2012 (C1, C3) का बढ़ा हुआ स्तर। विषयगत परीक्षण। समीकरण, असमानताएं, सिस्टम / एफ.एफ. लिसेंको, एस. यू. कुलाबुखोव द्वारा संपादित। - रोस्तोव-ऑन-डॉन: लीजन-एम, 2011. - 112 पी. - (परीक्षा के लिए तैयार होना) आईएसबीएन 978-5-91724-094-7
6. स्नातक 2004। गणित। परीक्षा के लिए पॉडकोटोवका के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. आई. वी. बोइकोव, एल.डी. रोमानोवा।

समीकरण अपरिमेय कहलाते हैं यदि उनमें मूल चिह्न के अंतर्गत कोई अज्ञात मात्रा होती है। ये, उदाहरण के लिए, समीकरण हैं

कई मामलों में, एक बार या बार-बार समीकरण के दोनों हिस्सों के घातांक को लागू करके, अपरिमेय समीकरण को एक डिग्री या दूसरे के बीजगणितीय समीकरण में कम करना संभव है (जो मूल समीकरण का एक परिणाम है)। चूँकि समीकरण को एक घात तक ऊपर उठाने पर, बाहरी समाधान दिखाई दे सकते हैं, फिर, बीजगणितीय समीकरण को हल करने के बाद, जिसके लिए हमने यह अपरिमेय समीकरण दिया है, हमें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके मिली हुई जड़ों की जाँच करनी चाहिए और केवल उन्हें ही रखना चाहिए जो इसे संतुष्ट करते हैं, और बाकी को त्याग दें - बाहरी।

तर्कहीन समीकरणों को हल करते समय, हम खुद को केवल उनकी वास्तविक जड़ों तक ही सीमित रखते हैं; समीकरणों के अंकन में सम कोटि की सभी जड़ें अंकगणितीय अर्थ में समझी जाती हैं।

अपरिमेय समीकरणों के कुछ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

A. वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत अज्ञात वाले समीकरण। यदि इस समीकरण में केवल एक वर्गमूल है, जिसके चिन्ह के नीचे कोई अज्ञात है, तो इस मूल को पृथक किया जाना चाहिए, अर्थात समीकरण के एक भाग में रखा जाना चाहिए, और अन्य सभी पदों को दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाना चाहिए। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, हमने पहले ही स्वयं को अपरिमेयता से मुक्त कर लिया है और इसके लिए एक बीजगणितीय समीकरण प्राप्त कर लिया है

उदाहरण 1. समीकरण को हल कीजिए।

समाधान। हम समीकरण के बाईं ओर मूल को अलग करते हैं;

हम परिणामी समीकरण को वर्ग करते हैं:

हम इस समीकरण की जड़ें पाते हैं:

सत्यापन से पता चलता है कि केवल मूल समीकरण को संतुष्ट करता है।

यदि समीकरण में x वाले दो या दो से अधिक मूल शामिल हैं, तो वर्ग को कई बार दोहराया जाना चाहिए।

उदाहरण 2. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:

हल, क) हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

हम जड़ को अलग करते हैं:

परिणामी समीकरण फिर से चुकता है:

परिवर्तनों के बाद, हम निम्नलिखित के लिए प्राप्त करते हैं द्विघात समीकरण:

इसे हल करो:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि इसकी जड़ है, लेकिन यह इसके लिए एक बाहरी जड़ है।

बी) उदाहरण को उसी तरह हल किया जा सकता है जैसे उदाहरण ए) हल किया गया था। हालाँकि, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि इस समीकरण के दाईं ओर अज्ञात मात्रा नहीं है, हम अलग तरीके से आगे बढ़ेंगे। हम समीकरण को उसके बायीं ओर संयुग्मी व्यंजक से गुणा करते हैं; हम पाते हैं

दाईं ओर योग और अंतर का गुणनफल है, यानी वर्गों का अंतर। यहाँ से

इस समीकरण के बाईं ओर वर्गमूलों का योग था; अब प्राप्त समीकरण के बाईं ओर समान मूलों का अंतर है। आइए दिए गए और प्राप्त समीकरणों को लिखें:

इन समीकरणों का योग लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

हम अंतिम समीकरण को वर्गाकार करते हैं और सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं

यहाँ से हम पाते हैं। जाँच करने पर हमें विश्वास हो जाता है कि केवल संख्या ही इस समीकरण के मूल के रूप में कार्य करती है। उदाहरण 3. समीकरण को हल कीजिए

यहाँ, पहले से ही करणी चिह्न के नीचे, हमारे पास वर्ग त्रिपद हैं।

समाधान। हम समीकरण को उसके बाईं ओर संयुग्मित अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं:

दिए गए एक से अंतिम समीकरण घटाएं:

आइए इस समीकरण का वर्ग करें:

पिछले समीकरण से हम पाते हैं। जाँच करके हम आश्वस्त हैं कि केवल संख्या x \u003d 1 ही इस समीकरण की जड़ के रूप में कार्य करती है।

B. तीसरी डिग्री के मूल वाले समीकरण। तर्कहीन समीकरणों की प्रणाली। हम खुद को ऐसे समीकरणों और प्रणालियों के अलग-अलग उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण 4. समीकरण को हल कीजिए

समाधान। आइए हम समीकरण (70.1) को हल करने के दो तरीके दिखाते हैं। पहला तरीका। आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों का घन करें (सूत्र देखें (20.8)):

(यहाँ हमने समीकरण का उपयोग करके घनमूलों के योग को संख्या 4 से बदल दिया है)।

तो हमारे पास

यानी, सरलीकरण के बाद,

जिससे दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दूसरा तरीका। चलो रखो

समीकरण (70.1) के रूप में लिखा जाएगा। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि। समीकरण (70.1) से हम सिस्टम में चले गए हैं

सिस्टम टर्म के पहले समीकरण को दूसरे द्वारा शब्द से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

अपरिमेय समीकरणों का समाधान।

इस लेख में, हम हल करने के तरीकों के बारे में बात करेंगे सबसे सरल तर्कहीन समीकरण।

अपरिमेय समीकरणएक समीकरण कहा जाता है जिसमें रूट के चिह्न के तहत अज्ञात होता है।

आइए दो प्रकार देखें तर्कहीन समीकरण, जो पहली नज़र में बहुत समान हैं, लेकिन वास्तव में एक दूसरे से बहुत अलग हैं।

(1)

(2)

पहले समीकरण में हम देखते हैं कि अज्ञात तीसरे दर्जे के मूल के चिह्न के नीचे है। हम एक ऋणात्मक संख्या से एक विषम मूल निकाल सकते हैं, इसलिए इस समीकरण में मूल चिन्ह के नीचे के व्यंजक पर या समीकरण के दाईं ओर के व्यंजक पर कोई प्रतिबंध नहीं है। जड़ से छुटकारा पाने के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:

समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक विषम शक्ति तक बढ़ाते समय, हम बाहरी जड़ें प्राप्त करने से डर नहीं सकते।

उदाहरण 1. आइए समीकरण को हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ाएँ। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:

आइए सभी शर्तों को एक दिशा में ले जाएं और एक्स को ब्रैकेट से बाहर निकालें:

हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं, हमें मिलता है:

उत्तर: (0;1;2)

आइए दूसरे समीकरण पर करीब से नज़र डालें: . समीकरण के बाईं ओर वर्गमूल है, जो केवल गैर-ऋणात्मक मान लेता है। इसलिए, समीकरण के हल होने के लिए, दायां पक्ष भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए, निम्नलिखित शर्त समीकरण के दाईं ओर लगाई गई है:

शीर्षक="g(x)>=0"> - это !} जड़ों के अस्तित्व की शर्त.

इस तरह के एक समीकरण को हल करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना होगा:

(3)

वर्ग निकालने से बाहरी जड़ें मिल सकती हैं, इसलिए हमें समीकरणों की आवश्यकता है:

शीर्षक="f(x)>=0"> (4)!}

हालाँकि, असमानता (4) स्थिति (3) से अनुसरण करती है: यदि किसी अभिव्यक्ति का वर्ग समानता के दाईं ओर है, और किसी भी अभिव्यक्ति का वर्ग केवल गैर-नकारात्मक मान ले सकता है, तो बाईं ओर भी गैर होना चाहिए -नकारात्मक। इसलिए, स्थिति (4) स्वचालित रूप से स्थिति (3) और हमारे से अनुसरण करती है समीकरण सिस्टम के बराबर है:

शीर्षक="delim(lbrace)(मैट्रिक्स(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

उदाहरण 2।आइए समीकरण को हल करें:

.

आइए एक समकक्ष प्रणाली पर चलते हैं:

शीर्षक="delim(lbrace)(मैट्रिक्स(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

हम सिस्टम के पहले समीकरण को हल करते हैं और जाँचते हैं कि कौन सी जड़ें असमानता को संतुष्ट करती हैं।

असमानता शीर्षक="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

उत्तर: एक्स = 1

ध्यान!यदि हम हल करने की प्रक्रिया में समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, या तो आपको एक समतुल्य प्रणाली पर स्विच करने की आवश्यकता है, या समाधान के अंत में, एक जांच करें: जड़ों को ढूंढें और उन्हें मूल समीकरण में स्थानापन्न करें।

उदाहरण 3. आइए समीकरण को हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें दोनों पक्षों का वर्ग भी निकालना होगा। आइए ODZ और इस समीकरण में जड़ों के अस्तित्व की स्थिति से परेशान न हों, लेकिन समाधान के अंत में हम जांच करेंगे।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

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वे समीकरण जिनमें एक चर जड़ के चिन्ह के नीचे निहित होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक अपरिमेय समीकरण को एक तर्कसंगत समीकरण के साथ बदलने (कुछ परिवर्तनों की मदद से) की संभावना पर आधारित होते हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अधिकतर, समीकरण के दोनों पक्षों को समान शक्ति तक उठाया जाता है। इस मामले में, एक समीकरण प्राप्त होता है, जो मूल का एक परिणाम है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) यदि रूट इंडेक्स एक सम संख्या है, तो रेडिकल एक्सप्रेशन गैर-ऋणात्मक होना चाहिए; जड़ का मान भी गैर-ऋणात्मक है (सम घातांक वाले मूल की परिभाषा);

2) यदि रूट इंडेक्स एक विषम संख्या है, तो रेडिकल एक्सप्रेशन कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; इस स्थिति में, मूल का चिह्न वही है जो मूल व्यंजक का चिह्न है।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 \u003d 1;
हम -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और समान शर्तों की कमी करते हैं।
एक्स 2 \u003d 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें, इसके लिए हम चर x के मानों को मूल समीकरण में बदल देंगे।
इंतिहान।
जब x 1 \u003d -2 - सत्य:
जब एक्स 2 \u003d -2- सच।
इससे पता चलता है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल -2 और 2 हैं।

उदाहरण 2प्रश्न हल करें .

इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह ही विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरह से करेंगे।

आइए हम इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। वर्गमूल की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इस समीकरण में दो शर्तों को एक साथ संतुष्ट होना चाहिए:

दिए गए समीकरण का ODZ: x।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें =+ 2.

इस समीकरण में ODZ ढूँढना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
एक्स 1 = 1; x2=0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 \u003d 0 एक अतिरिक्त जड़ है।
उत्तर: x 1 \u003d 1।

उदाहरण 4समीकरण x = हल करें।

इस उदाहरण में, ODZ को खोजना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;).

चलो इस समीकरण के दोनों पक्षों को वर्ग करते हैं, परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 \u003d x + 1 मिलता है। इस समीकरण की जड़ें:

मिली जड़ों की जांच करना मुश्किल है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों मूल ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों मूल मूल समीकरण के मूल हैं। इसका परिणाम त्रुटि होगा। इस मामले में, तर्कहीन समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:

एक्स + 10 और X 0 और x 2 \u003d x + 1, जिससे यह इस प्रकार है कि अपरिमेय समीकरण के लिए ऋणात्मक जड़ बाहरी है और इसे त्याग दिया जाना चाहिए।

उदाहरण 5।समीकरण हल करें += 7।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को चौकोर करें और समान शर्तों को कम करें, शर्तों को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करें और दोनों भागों को 0.5 से गुणा करें। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
= 12, (*) जो मूल का एक परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का फिर से वर्ग करें। हमें समीकरण (x + 5) (20 - x) = 144 मिलता है, जो कि मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 = 0 के रूप में घटाया गया है।

यह समीकरण (जो मूल एक का परिणाम भी है) की जड़ें x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11 हैं। दोनों जड़ें, जैसा कि परीक्षण से पता चलता है, मूल समीकरण को संतुष्ट करती हैं।

निरसित। x 1 = 4, x 2 = 11।

टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय छात्र प्रायः समीकरणों जैसे (*) में मूल व्यंजकों का गुणा करते हैं, अर्थात् समीकरण = 12 के स्थान पर वे समीकरण लिखते हैं। = 12. इससे त्रुटियां नहीं होतीं, क्योंकि समीकरण समीकरणों के परिणाम होते हैं। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन गैर-समतुल्य समीकरण देता है।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, सबसे पहले किसी एक मूलांक को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव था। तब एक मूलांक समीकरण के बाईं ओर रहेगा, और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद, समीकरण के बाईं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। इस तकनीक (कट्टरपंथी का एकांत) का उपयोग अक्सर अपरिमेय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें- = 3.

पहले रेडिकल को अलग करने के बाद, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
=+ 3, जो मूल के बराबर है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, जो समीकरण के समतुल्य है

4x - 5 = 3(*). यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हुए, हम समीकरण पर पहुँचते हैं
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), या

7x2 - 13x - 2 = 0।

यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, और दूसरा x 2 =- नहीं।

उत्तर: एक्स = 2।

ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, किसी एक मूलांक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों भागों का वर्ग कर रहे थे, तो हमें बल्कि बोझिल परिवर्तन करने होंगे।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, मूलांक के अलगाव के अलावा, अन्य विधियों का भी उपयोग किया जाता है। अज्ञात को बदलने की विधि (एक सहायक चर को पेश करने की विधि) का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।