के साथ समस्याओं का समाधान करना जटिल आंकड़ेमूल परिभाषाओं को समझना आवश्यक है। इस समीक्षा लेख का मुख्य उद्देश्य यह बताना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के तरीके प्रस्तुत करती हैं। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या का रूप है जेड = ए + द्वि, कहाँ ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है, और निरूपित करते हैं ए = रे (जेड), बी = आईएम (जेड).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 \u003d -1. विशेष रूप से, किसी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0 आई, जहां a वास्तविक है। अगर ए = 0और बी ≠ 0, तो संख्या को विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है।

अब हम सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रारंभ करते हैं।
दो सम्मिश्र संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 मैंऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

विचार करना जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में परिमेय संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, इत्यादि। निवेश की इस श्रृंखला को चित्र में देखा जा सकता है: N - पूर्णांकों, Z पूर्णांक हैं, Q परिमेय हैं, R वास्तविक हैं, C जटिल हैं।

जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व

बीजगणितीय संकेतन।

एक जटिल संख्या पर विचार करें जेड = ए + द्विसम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहते हैं बीजगणितीय. लेखन के इस रूप के बारे में हम पिछले अनुभाग में पहले ही विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। अक्सर निम्नलिखित चित्रकारी ड्राइंग का उपयोग करें

त्रिकोणमितीय रूप।

यह आंकड़ा से देखा जा सकता है कि संख्या जेड = ए + द्विअलग लिखा जा सकता है। जाहिर है कि ए = आरसीओ (φ), बी = आरएसआईएन (φ), आर=|जेड|, इस तरह z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) एक जटिल संख्या का तर्क कहा जाता है। सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहते हैं त्रिकोणमितीय रूप. संकेतन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक है, अर्थात्, यदि z = rcos(φ) + rsin(φ)i, वह z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, यह सूत्र कहलाता है डी मोइवर का सूत्र.

प्रदर्शनकारी रूप।

विचार करना z = rcos(φ) + rsin(φ)iत्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या है, हम इसे एक अलग रूप में लिखते हैं z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, अंतिम समानता यूलर सूत्र से आती है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं नए रूप मेजटिल संख्या प्रविष्टियाँ: z = पुनः iφ, जिसे कहा जाता है ठोस. एक सम्मिश्र संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए संकेतन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: जेड एन = आर एन ई इनφ, यहाँ एनजरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। समस्याओं को हल करने के लिए लेखन के इस रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

कल्पना कीजिए कि हमारे पास द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 है। जाहिर है, इस समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है, लेकिन यह पता चला है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित का मुख्य प्रमेय बताता है कि डिग्री एन के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। यह इस बात का अनुसरण करता है कि एन डिग्री के किसी भी बहुपद में उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए बिल्कुल n जटिल जड़ें होती हैं। यह प्रमेय गणित में एक बहुत महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से लागू होता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम यह है कि एकता के ठीक n विशिष्ट n-डिग्री मूल हैं।

मुख्य प्रकार के कार्य

यह खंड मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्या के लिए। परंपरागत रूप से, सम्मिश्र संख्याओं की समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घात में उठाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना।
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए जटिल संख्याओं का अनुप्रयोग।

अब विचार करें सामान्य तकनीकेंइन समस्याओं के समाधान।

पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ सबसे सरल अंकगणितीय संचालन करना होता है, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में उन्हें बीजगणितीय रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन किया जा सकता है।

बहुपदों की जड़ें खोजना आमतौर पर जड़ों को खोजने के लिए नीचे आता है द्विघात समीकरण. मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विवेचक गैर-ऋणात्मक है, तो इसके मूल वास्तविक होंगे और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाए जाते हैं। यदि विवेचक नकारात्मक है, तो डी = -1∙ए 2, कहाँ एएक निश्चित संख्या है, तो हम विवेचक को रूप में दर्शा सकते हैं डी = (आईए) 2, इस तरह √डी = आई|ए|, और फिर आप द्विघात समीकरण के मूलों के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण. आइए ऊपर बताए गए द्विघात समीकरण x 2 + x + 1 = 0 पर वापस आते हैं।
विवेचक - डी \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घात तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आप एक जटिल संख्या को बीजगणितीय रूप में एक छोटी शक्ति (2 या 3) तक उठाना चाहते हैं, तो आप इसे सीधे गुणा करके कर सकते हैं, लेकिन यदि डिग्री बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको इसकी आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और दसवीं शक्ति तक बढ़ाएँ।
हम z को चरघातांकी रूप में लिखते हैं: z = √2 e iπ/4 ।
तब z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
आइए बीजगणितीय रूप पर लौटें: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से मूल निकालना घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया है, इसलिए इसे इसी तरह से किया जाता है। जड़ों को निकालने के लिए, संख्या लिखने के घातीय रूप का प्रयोग अक्सर किया जाता है।

उदाहरण. एकता की डिग्री 3 के सभी मूल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 की सभी जड़ों को ढूंढते हैं, हम जड़ों को घातीय रूप में देखेंगे।
समीकरण में स्थानापन्न: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0 ।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए φ = 2πk/3।
विभिन्न मूल φ = 0, 2π/3, 4π/3 पर प्राप्त होते हैं।
अतः 1 , e i2π/3 , e i4π/3 मूल हैं।
या बीजगणितीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में बड़ी संख्या में समस्याएं शामिल हैं और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण दिया गया है:

राशि ज्ञात कीजिए पाप (एक्स) + पाप (2x) + पाप (2x) + … + पाप (एनएक्स).

हालांकि इस समस्या का सूत्रीकरण नहीं है प्रश्न मेंजटिल संख्याओं के बारे में, लेकिन उनकी मदद से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि अब हम इस प्रतिनिधित्व को योग में प्रतिस्थापित करते हैं, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग में कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संक्रियाओं पर विचार किया गया, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन किया गया और संक्षेप में वर्णित किया गया सामान्य तरीकेउनके समाधान, जटिल संख्याओं की संभावनाओं के अधिक विस्तृत अध्ययन के लिए, विशेष साहित्य का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है।

साहित्य

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sqrt/2a. एक द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करने के लिए, आपको केवल ऐसे समीकरण के गुणांक (पूर्ण संख्या, भिन्न या दशमलव मान) दर्ज करने की आवश्यकता है। यदि समीकरण में घटाव के चिह्न हैं, तो आपको समीकरण के संगत पदों के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा। आप पैरामीटर के आधार पर एक द्विघात समीकरण को ऑनलाइन भी हल कर सकते हैं, यानी समीकरण के गुणांकों में चर। खोजने के लिए हमारी ऑनलाइन सेवा सामान्य समाधान. रेखीय समीकरण। समाधान के लिए रेखीय समीकरण(या समीकरणों की प्रणाली) अभ्यास में चार मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है। आइए प्रत्येक विधि का विस्तार से वर्णन करें। प्रतिस्थापन विधि। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एक चर को अन्य के संदर्भ में व्यक्त करने की आवश्यकता होती है। उसके बाद, अभिव्यक्ति को सिस्टम के अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है। अतः समाधान विधि का नाम अर्थात् चर के स्थान पर शेष चरों के माध्यम से उसके व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। व्यवहार में, विधि को जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती है, हालांकि इसे समझना आसान है, इसलिए इस तरह के समीकरण को ऑनलाइन हल करने से समय की बचत होगी और गणना करना आसान हो जाएगा। आपको केवल समीकरण में अज्ञात की संख्या निर्दिष्ट करने और रैखिक समीकरणों से डेटा भरने की आवश्यकता है, फिर सेवा गणना करेगी। गॉस विधि। समतुल्य त्रिकोणीय प्रणाली पर पहुंचने के लिए विधि प्रणाली के सरलतम परिवर्तनों पर आधारित है। अज्ञात इससे एक-एक करके निर्धारित होते हैं। व्यवहार में, ऐसे समीकरण को ऑनलाइन हल करना आवश्यक है विस्तृत विवरण, जिसके लिए आप रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस पद्धति में अच्छी तरह से महारत हासिल करेंगे। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को सही प्रारूप में लिखें और सिस्टम को सही ढंग से हल करने के लिए अज्ञात की संख्या को ध्यान में रखें। क्रैमर की विधि। यह विधि उन मामलों में समीकरणों के सिस्टम को हल करती है जहां सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान होता है। मुख्य गणितीय क्रियायहाँ मैट्रिक्स निर्धारकों की गणना है। क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों का समाधान ऑनलाइन किया जाता है, आपको पूर्ण और विस्तृत विवरण के साथ तुरंत परिणाम मिलता है। सिस्टम को गुणांक के साथ भरने और अज्ञात चर की संख्या चुनने के लिए पर्याप्त है। मैट्रिक्स विधि। इस विधि में मैट्रिक्स ए में अज्ञात, कॉलम एक्स में अज्ञात, और कॉलम बी में मुक्त शर्तों के लिए गुणांक एकत्रित करना शामिल है। इस प्रकार, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को एक्सएक्स = बी फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में घटा दिया जाता है। इस समीकरण का केवल एक अनूठा समाधान है यदि मैट्रिक्स ए का निर्धारक गैर-शून्य है, अन्यथा सिस्टम में कोई समाधान नहीं है, या अनंत संख्या में समाधान हैं। मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों का समाधान व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए को खोजना है।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल से मनुष्य द्वारा समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग बढ़ता ही गया है। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें:

गणना \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] अगर \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या को बीजगणितीय रूप में दर्शाया गया है, दूसरा - त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरलीकृत करने और निम्नलिखित रूप में लाने की आवश्यकता है

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

अभिव्यक्ति \ कहती है कि, सबसे पहले, हम मोइवर सूत्र के अनुसार गुणा और 10वीं शक्ति तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया था। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ पाई)(3).\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही करने पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 फेरों को "मोड़ना" संभव है [(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जो दूसरी संख्या को बीजगणितीय रूप में लाने के लिए नीचे आता है, फिर बीजगणितीय रूप में गुणन करता है, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवादित करता है और मोइवर सूत्र लागू करता है:

मैं सम्मिश्र संख्याओं वाले समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन कहाँ हल कर सकता हूँ?

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व्यंजक, समीकरण, और समीकरणों की प्रणालियाँ
जटिल संख्या के साथ

आज के पाठ में हम जटिल संख्याओं के साथ विशिष्ट क्रियाओं पर काम करेंगे, साथ ही इन संख्याओं में मौजूद भावों, समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की तकनीक में महारत हासिल करेंगे। यह कार्यशाला पाठ की निरंतरता है, और इसलिए यदि आप विषय से अपरिचित हैं, तो कृपया ऊपर दिए गए लिंक का अनुसरण करें। खैर, मेरा सुझाव है कि अधिक तैयार पाठक तुरंत गर्म हो जाएं:

उदाहरण 1

सरलीकृत अभिव्यक्ति , अगर । परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में प्रस्तुत करें और इसे जटिल तल पर चित्रित करें।

समाधान: इसलिए, आपको "भयानक" अंश में स्थानापन्न करने, सरलीकरण करने और परिणामी अनुवाद करने की आवश्यकता है जटिल संख्या वी त्रिकोणमितीय रूप . प्लस धिक्कार है।

निर्णय लेने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? चरणों में "फैंसी" बीजगणितीय अभिव्यक्ति से निपटना अधिक लाभदायक है। सबसे पहले, ध्यान कम बिखरा हुआ है, और दूसरी बात, यदि कार्य को श्रेय नहीं दिया जाता है, तो त्रुटि ढूंढना बहुत आसान हो जाएगा।

1) पहले अंश को सरल करते हैं। इसमें मान रखें, कोष्ठक खोलें और केश को ठीक करें:

... हां, जटिल संख्याओं से ऐसा क्वासिमोडो निकला ...

मैं आपको याद दिलाता हूं कि परिवर्तनों के दौरान पूरी तरह से सरल चीजों का उपयोग किया जाता है - बहुपदों के गुणन का नियम और पहले से ही सामान्य समानता। मुख्य बात यह है कि सावधान रहें और संकेतों में भ्रमित न हों।

2) अब भाजक अगला है। तो अगर:

ध्यान दें कि किस असामान्य व्याख्या का उपयोग किया जाता है योग वर्ग सूत्र . वैकल्पिक रूप से, आप यहां बदल सकते हैं उपसूत्र। परिणाम, निश्चित रूप से, मेल खाएंगे।

3) और अंत में, पूरी अभिव्यक्ति। तो अगर:

भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करते हैं। हालांकि, आवेदन करने के प्रयोजनों के लिए वर्ग सूत्रों का अंतर प्रारंभिक रूप से होना चाहिए (और निश्चित रूप से!)नकारात्मक वास्तविक भाग को दूसरे स्थान पर रखें:

और अब मुख्य नियम:

किसी भी घटना में हम जल्दी नहीं करते हैं! इसे सुरक्षित खेलना और एक अतिरिक्त कदम निर्धारित करना बेहतर है।
अभिव्यक्तियों, समीकरणों और प्रणालियों में जटिल संख्या के साथ प्रकल्पित मौखिक गणना हमेशा की तरह भरा हुआ!

अंतिम चरण में एक अच्छा संकुचन था और यह एक अच्छा संकेत है।

टिप्पणी : कड़ाई से बोलते हुए, सम्मिश्र संख्या का सम्मिश्र संख्या 50 से विभाजन यहाँ हुआ (याद रखें कि)। मैं अब तक इस बारीकियों के बारे में चुप रहा हूं और हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

आइए अपनी उपलब्धि को पत्र से निरूपित करें

त्रिकोणमितीय रूप में परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं। सामान्यतया, यहां आप ड्राइंग के बिना कर सकते हैं, लेकिन जैसे ही इसकी आवश्यकता होती है, इसे अभी पूरा करना कुछ अधिक तर्कसंगत है:

एक जटिल संख्या के मापांक की गणना करें:

यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 टेट्राड सेल), फिर परिणामी मूल्य एक नियमित शासक का उपयोग करके जांचना आसान है।

आइए एक तर्क खोजें। चूंकि संख्या दूसरी समन्वय तिमाही में स्थित है, तो:

कोण को केवल एक प्रोट्रैक्टर द्वारा चेक किया जाता है। यह ड्राइंग का निस्संदेह प्लस है।

इस प्रकार: - त्रिकोणमितीय रूप में वांछित संख्या।

की जाँच करें:
जिसे सत्यापित किया जाना था।

अपरिचित अर्थसाइन और कोसाइन द्वारा खोजने के लिए सुविधाजनक है त्रिकोणमितीय तालिका .

उत्तर:

इसी तरह के उदाहरण के लिए स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 2

सरलीकृत अभिव्यक्ति , कहाँ । परिणामी संख्या को जटिल तल पर ड्रा करें और इसे घातीय रूप में लिखें।

कोशिश करें कि ट्यूटोरियल्स को स्किप न करें। वे सरल लग सकते हैं, लेकिन प्रशिक्षण के बिना, "एक पोखर में उतरना" आसान नहीं है, बल्कि बहुत आसान है। तो चलिए इस पर अपना हाथ बढ़ाते हैं।

अक्सर समस्या एक से अधिक समाधानों की अनुमति देती है:

उदाहरण 3

गणना करें यदि,

समाधान: सबसे पहले, आइए मूल स्थिति पर ध्यान दें - एक संख्या बीजगणितीय रूप में प्रस्तुत की जाती है, और दूसरी त्रिकोणमितीय रूप में, और यहां तक ​​​​कि डिग्री के साथ भी। आइए इसे तुरंत अधिक परिचित रूप में फिर से लिखें: .

गणना किस रूप में की जानी चाहिए? अभिव्यक्ति में, स्पष्ट रूप से, पहले गुणा और आगे 10वीं शक्ति तक ऊपर उठाना शामिल है डी मोइवर सूत्र , जो एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया है। इस प्रकार, पहली संख्या को परिवर्तित करना अधिक तर्कसंगत लगता है। इसका मॉड्यूल और तर्क खोजें:

हम त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं के गुणन के नियम का उपयोग करते हैं:
तो अगर

अंश को सही करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचे कि 4 घुमावों को "मोड़ना" संभव है ( खुश।):

हल करने का दूसरा तरीकादूसरी संख्या को बीजगणितीय रूप में अनुवादित करना है , बीजगणितीय रूप में गुणन करें, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवादित करें और डी मोइवर सूत्र का उपयोग करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक "अतिरिक्त" क्रिया। जो लोग चाहते हैं वे समाधान का अंत तक पालन कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि परिणाम मेल खाते हैं।

स्थिति परिणामी सम्मिश्र संख्या के रूप के बारे में कुछ नहीं कहती है, इसलिए:

उत्तर:

लेकिन "सुंदरता के लिए" या मांग पर, परिणाम को आसानी से बीजगणितीय रूप में दर्शाया जा सकता है:

अपने आप:

उदाहरण 4

सरलीकृत अभिव्यक्ति

यहाँ यह याद रखना आवश्यक है शक्तियों के साथ कार्रवाई , हालांकि एक उपयोगी नियममैनुअल में नहीं, यहाँ यह है:।

और एक और महत्वपूर्ण नोट: उदाहरण को दो शैलियों में हल किया जा सकता है। काम करने का पहला विकल्प है दोसंख्या और अंशों के साथ रखो। दूसरा विकल्प फॉर्म में प्रत्येक संख्या का प्रतिनिधित्व करना है दो संख्याओं का भागफल: और चार मंजिला से छुटकारा . औपचारिक दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे निर्णय लिया जाए, लेकिन एक सार्थक अंतर है! कृपया अच्छी तरह से विचार करें:
एक सम्मिश्र संख्या है;
दो सम्मिश्र संख्याओं ( और ) का भागफल है, हालाँकि, संदर्भ के आधार पर, यह भी कहा जा सकता है: एक संख्या जिसे दो सम्मिश्र संख्याओं के भागफल के रूप में दर्शाया जाता है।

त्वरित समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

भाव अच्छे हैं, लेकिन समीकरण बेहतर हैं:

जटिल गुणांक वाले समीकरण

से किस प्रकार भिन्न हैं "सामान्य" समीकरण? गुणांक =)

उपरोक्त टिप्पणी के आलोक में, आइए इस उदाहरण से शुरू करें:

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

और गर्म खोज में एक तत्काल प्रस्तावना: शुरू मेंसमीकरण का दाहिना भाग दो जटिल संख्याओं (और 13) के भागफल के रूप में स्थित है, और इसलिए संख्या के साथ स्थिति को फिर से लिखना गलत होगा (भले ही इससे कोई त्रुटि न हो). वैसे, यह अंतर अंशों में अधिक स्पष्ट रूप से देखा जाता है - यदि, अपेक्षाकृत बोलना, तो यह मान प्राथमिक रूप से समझा जाता है समीकरण का "पूर्ण" जटिल मूल, और संख्या के विभाजक के रूप में नहीं, और इससे भी अधिक - संख्या के भाग के रूप में नहीं!

समाधान, सिद्धांत रूप में, चरण दर चरण भी तैयार किया जा सकता है, लेकिन अंदर इस मामले मेंखेल मोमबत्ती के लायक नहीं है। प्रारंभिक कार्य वह सब कुछ सरल करना है जिसमें एक अज्ञात "Z" शामिल नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण को निम्न रूप में घटाया जाएगा:

औसत अंश को आत्मविश्वास से सरल करें:

हम परिणाम को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और अंतर पाते हैं:

टिप्पणी : और फिर से मैं आपका ध्यान सार्थक बिंदु की ओर आकर्षित करता हूं - यहां हमने संख्या को संख्या से घटाया नहीं है, लेकिन अंशों को एक सामान्य भाजक में जोड़ दिया है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले से ही समाधान के दौरान संख्याओं के साथ काम करने की मनाही नहीं है: , हालाँकि, विचाराधीन उदाहरण में, ऐसी शैली उपयोगी से अधिक हानिकारक है =)

समानुपात के नियम के अनुसार, हम "z" को व्यक्त करते हैं:

अब आप फिर से विभाजित कर सकते हैं और आसन्न अभिव्यक्ति से गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश और भाजक की संदिग्ध रूप से समान संख्याएं सुझाव देती हैं अगली चाल:

उत्तर:

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम परिणामी मान को मूल समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

- मूल समीकरण का दाहिना पक्ष प्राप्त होता है, इसलिए मूल सही पाया जाता है।

…अभी-अभी…मैं आपके लिए कुछ और दिलचस्प चुनूंगा…रुको:

उदाहरण 6

प्रश्न हल करें

यह समीकरण फॉर्म में कम हो जाता है, और इसलिए रैखिक है। मुझे लगता है कि संकेत स्पष्ट है - इसके लिए जाओ!

बेशक ... आप इसके बिना कैसे रह सकते हैं:

जटिल गुणांक के साथ द्विघात समीकरण

सबक पर डमी के लिए जटिल संख्याएं हमने सीखा कि वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हो सकती हैं, जिसके बाद एक तार्किक प्रश्न उठता है: वास्तव में, गुणांक स्वयं जटिल क्यों नहीं हो सकते हैं? मैं सामान्य मामला तैयार करूंगा:

मनमाना जटिल गुणांक के साथ द्विघात समीकरण (जिनमें से 1 या 2 या तीनों विशेष रूप से मान्य हो सकते हैं)यह है दो और केवल दोजटिल जड़ें (संभवतः इनमें से एक या दोनों मान्य हैं). जबकि जड़ें (दोनों वास्तविक और गैर-शून्य काल्पनिक भाग के साथ)संयोग हो सकता है (कई हो)।

जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है "स्कूल" समीकरण कम्प्यूटेशनल तकनीक में कुछ अंतरों के साथ:

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: काल्पनिक इकाई पहले स्थान पर है, और, सिद्धांत रूप में, आप इससे छुटकारा पा सकते हैं (दोनों पक्षों को से गुणा करने पर)हालाँकि, इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है।

सुविधा के लिए, हम गुणांक लिखते हैं:

हम मुक्त सदस्य का "ऋण" नहीं खोते हैं! ... यह सभी के लिए स्पष्ट नहीं हो सकता है - मैं समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखूंगा :

आइए विवेचक की गणना करें:

यहाँ मुख्य बाधा है:

आवेदन सामान्य सूत्रजड़ निकासी (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें डमी के लिए जटिल संख्याएं ) मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क से जुड़ी गंभीर कठिनाइयों से जटिल है (अपने लिए देखलो). लेकिन एक और, "बीजगणितीय" तरीका है! हम फॉर्म में रूट की तलाश करेंगे:

आइए दोनों पक्षों का वर्ग करें:

दो जटिल संख्याएँ समान होती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों। इस प्रकार, हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

सिस्टम को चुनकर हल करना आसान है (दूसरा समीकरण से व्यक्त करने का एक और गहन तरीका है - पहले में स्थानापन्न करें, द्विघात समीकरण प्राप्त करें और हल करें). यह मानते हुए कि समस्या का लेखक राक्षस नहीं है, हम इसकी परिकल्पना करते हैं और पूर्णांक हैं। पहले समीकरण से यह इस प्रकार है कि "x" सापेक्ष "वाई" से अधिक। इसके अलावा, सकारात्मक उत्पाद हमें बताता है कि अज्ञात एक ही संकेत के हैं। पूर्वगामी के आधार पर, और दूसरे समीकरण पर ध्यान केंद्रित करते हुए, हम उन सभी जोड़ियों को लिखते हैं जो इससे मेल खाते हैं:

जाहिर है, सिस्टम का पहला समीकरण दो से संतुष्ट है अंतिम जोड़े, इस प्रकार:

एक मध्यवर्ती जाँच से चोट नहीं लगेगी:

जिसकी जांच होनी थी।

आप "वर्किंग" रूट के रूप में चुन सकते हैं कोईअर्थ। यह स्पष्ट है कि संस्करण को "विपक्ष" के बिना लेना बेहतर है:

हम जड़ों को ढूंढते हैं, भूले बिना, कि:

उत्तर:

आइए देखें कि मिली जड़ें समीकरण को संतुष्ट करती हैं या नहीं :

1) स्थानापन्न:

सही समानता।

2) स्थानापन्न:

सही समानता।

इस प्रकार, समाधान सही पाया जाता है।

समस्या से प्रेरित होकर अभी चर्चा की:

उदाहरण 8

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि वर्गमूलसे विशुद्ध रूप से जटिलसंख्याएं पूरी तरह से निकाली गई हैं और सामान्य सूत्र का उपयोग कर रही हैं , कहाँ , इसलिए दोनों विधियों को नमूने में दिखाया गया है। दूसरी उपयोगी टिप्पणी इस तथ्य से संबंधित है कि स्थिरांक से मूल का प्रारंभिक निष्कर्षण समाधान को बिल्कुल भी सरल नहीं करता है।

और अब आप आराम कर सकते हैं - इस उदाहरण में, आप थोड़े डर के साथ उतरेंगे :)

उदाहरण 9

समीकरण को हल करें और जांचें

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

लेख का अंतिम पैराग्राफ समर्पित है

जटिल संख्याओं के साथ समीकरणों की प्रणाली

हमने आराम किया और... हम तनाव नहीं करते =) सबसे सरल मामले पर विचार करें - दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली:

उदाहरण 10

समीकरणों की प्रणाली को हल करें। उत्तर को बीजगणितीय और घातीय रूपों में प्रस्तुत करें, जड़ों को चित्र में चित्रित करें।

समाधान: स्थिति स्वयं बताती है कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, अर्थात, हमें संतुष्ट करने वाली दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है प्रत्येक के लिएसिस्टम समीकरण।

सिस्टम को वास्तव में "बचकाने" तरीके से हल किया जा सकता है (एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें ) , लेकिन यह उपयोग करने के लिए और अधिक सुविधाजनक है क्रैमर के सूत्र . गणना करना मुख्य निर्धारकप्रणाली:

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

मैं दोहराता हूं कि जल्दबाजी न करना बेहतर है और यथासंभव विस्तृत चरणों को निर्धारित करें:

हम अंश और हर को एक काल्पनिक इकाई से गुणा करते हैं और पहला मूल प्राप्त करते हैं:

इसी तरह:

संगत दाहिनी ओर, p.t.p.

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

हम घातीय रूप में जड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल और तर्क खोजने होंगे:

1) - "दो" के चाप स्पर्शरेखा की गणना "खराब" की जाती है, इसलिए हम इसे इस तरह छोड़ देते हैं: