तीन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। दो रेखाओं के बीच का कोण

एक। दो रेखाएँ दी गई हैं। ये रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में बताया गया था, विभिन्न धनात्मक और ऋणात्मक कोण बनाती हैं, जो न्यून या अधिक कोण हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम कोई दूसरा कोण आसानी से खोज सकते हैं।

संयोग से, ये सभी कोने अंकीय मूल्यस्पर्शरेखा समान है, अंतर केवल चिह्न में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण। संख्याएँ पहली और दूसरी पंक्तियों के निर्देशक सदिशों के अनुमान हैं। इन सदिशों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों में से एक के बराबर है। इसलिए, सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्या कम हो जाती है, हम प्राप्त करते हैं

सरलता के लिए, हम एक न्यून धनात्मक कोण को समझने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर एक ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र (1) द्वारा हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाता है कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो हमेशा कोण की दिशा को वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्रों (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि चित्र से देखना आसान है। 53 सूत्र के दाईं ओर प्राप्त चिह्न (1) इंगित करेगा कि कौन सा - तीव्र या अधिक - कोण पहली के साथ दूसरी पंक्ति बनाता है।

(वास्तव में, चित्र 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के वैक्टर के बीच का कोण या तो रेखाओं के बीच के वांछित कोण के बराबर है, या उससे ± 180° भिन्न है।)

डी। यदि रेखाएँ समांतर हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी समांतर हैं।दो सदिशों के समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। प्रत्यक्ष

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों की लंबवतता की स्थिति को लागू करते हुए, हम दो रेखाओं की लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। प्रत्यक्ष

लंबवत क्योंकि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। किसी बिंदु से होकर किसी रेखा के समानांतर एक रेखा खींचिए

निर्णय इस प्रकार किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा दिए गए एक के समानांतर है, तो इसके निर्देशन वेक्टर के लिए हम दी गई रेखा के समान ही ले सकते हैं, अर्थात, प्रक्षेपण ए और बी के साथ एक वेक्टर और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा रूप में (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लम्बवत बिंदु से एक रेखा खींचिए

यहां, अनुमान ए के साथ एक वेक्टर और एक निर्देशन वेक्टर के रूप में लेना अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसके लिए एक वेक्टर लंबवत जीतना आवश्यक है। इसलिए इस सदिश के अनुमानों को इस शर्त के अनुसार चुना जाना चाहिए कि दोनों सदिश लंबवत हैं, यानी शर्त के अनुसार

इस स्थिति को अनंत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन इसे लेने का सबसे आसान तरीका है। फिर वांछित रेखा का समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा।

उदाहरण। एक लंब रेखा में एक बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ प्रपत्र के समीकरणों द्वारा दी गई हों

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण कोण के बराबरउनके दिशा वैक्टर के बीच। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर के निर्देशांक a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण का कोसाइन:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे कार्य करता है:

काम। बिंदु E और F को घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में चिह्नित किया गया है - किनारों के मध्य बिंदु A 1 B 1 और B 1 C 1, क्रमशः। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्षों को क्रमशः AB, AD, और AA 1 के साथ निर्देशित किया जाता है। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए हमारी रेखाओं के लिए दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें बिंदुओं A = (0; 0; 0) और E = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूँकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर एई की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए एई = (0.5; 0; 1)।

अब आइए बीएफ वेक्टर से निपटें। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के मध्य। अपने पास:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा सदिश तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण का कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण का कोसाइन है, इसलिए हमारे पास है:

काम। नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म एबीसीए 1 बी 1 सी 1 में, जिनमें से सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु डी और ई चिह्नित हैं - क्रमशः किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1। रेखाओं AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, x- अक्ष AB के साथ निर्देशित है, z - AA 1 के साथ। हम y अक्ष को निर्देशित करते हैं ताकि OXY तल ABC तल के साथ मेल खाता हो। यूनिट सेगमेंट एबी = 1 के बराबर है। वांछित लाइनों के लिए दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजें।

पहले, आइए AD सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: A = (0; 0; 0) और D = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - सेगमेंट ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि वेक्टर AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, इसलिए हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

अब आइए सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदु B = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु E के साथ - खंड C 1 B 1 के मध्य - थोड़ा और जटिल। अपने पास:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

काम। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु K और L चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु A 1 B 1 और B 1 C 1, क्रमश। रेखाओं AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: हम निर्देशांक की उत्पत्ति को निचले आधार के केंद्र में रखते हैं, x-अक्ष को FC के साथ निर्देशित करते हैं, y-अक्ष को खंडों AB और DE के मध्यबिंदुओं के माध्यम से निर्देशित करते हैं, और z-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

अब आइए कोण का कोज्या ज्ञात करें:

काम। सही चतुर्भुज पिरामिड SABCD, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु E और F चिह्नित हैं - क्रमशः SB और SC भुजाओं के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं: मूल बिंदु A पर है, x और y अक्षों को क्रमशः AB और AD के साथ निर्देशित किया जाता है, और z अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः सेगमेंट एसबी और एससी के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

अंक जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर एई और बीएफ के निर्देशांक पाते हैं:

वेक्टर एई के निर्देशांक बिंदु ई के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु ए मूल है। यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी हों, तो तेज़ कोनेइन पंक्तियों के बीच परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक हैं। यदि С 1 = λС भी है, तो रेखाएँ संपाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा की दूरी Ax + Vy + C \u003d 0 के रूप में परिभाषित की गई है

.

सबूत।मान लें कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांकों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो गुजरता है दिया बिंदु M 0 किसी दी गई रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को रूप में बदलते हैं:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

तब, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; φ= पी /4।

उदाहरण. दिखाएं कि रेखाएं 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज के शीर्ष A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण ज्ञात करते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊँचाई का समीकरण है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। कश्मीर =। फिर वाई =। क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण यह दिशा. दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। समानांतरता और दो रेखाओं की लंबता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , वाई 1) किसी दिए गए दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

वाई - वाई 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , वाई 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , वाई 1) और बी(एक्स 2 , वाई 2) इस प्रकार लिखा जाता है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के चौराहे के बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक कि यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं

वाई = क 1 एक्स + बी 1 ,

वाई = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंश के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य रूप से देखें

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

बी) उस मामले के लिए जब सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा लाइनें दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

ए) इस मामले में जब रेखाएं समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, तो उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनकी ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत होती है, यानी।

इस स्थिति को रूप में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

ख) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हों, तो उनकी लम्बवत्ता (आवश्यक और पर्याप्त) की समानता को पूरा करने की शर्त है।

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. समीकरणों की प्रणाली (6) को हल करके दो रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक पाए जाते हैं। रेखाएँ (6) यदि और केवल यदि प्रतिच्छेद करती हैं

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक दी गई रेखा l के समानांतर और दूसरी लंबवत है।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह टिनी है, जैसे कि आप अपने लिए वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, तब विश्राम में मदद मिलेगी, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, पहले खंड पर चलते हैं, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मिजाज रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो लाइन कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर होना:;

3) या एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें:।

डमी के लिए मदद : कृपया चौराहे का गणितीय चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रविष्टि का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात्, एक ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है जो समानताएँ हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं: . प्रत्येक समीकरण से यह अनुसरण करता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, अगर समीकरण के सभी गुणांक -1 (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक से गुणा करें 2 से कम करने पर, आपको वही समीकरण मिलता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि चर पर उनके गुणांक समानुपाती होते हैं: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के संगत गुणांकों की समानुपातिकता की जाँच करते हैं :

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि उनके चर के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएँ पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है, और दूसरे समीकरण से: इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, अभी विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह कोलीनियरिटी के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथम के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक और सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

हिसाब लगाना आपसी व्यवस्थाप्रत्यक्ष:

समाधानसीधी रेखाओं के निर्देशक वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिशों का पता लगाते हैं: .

, इसलिए सदिश समरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस के मामले में, मैं चौराहे पर संकेत के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और सीधे कश्ची द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं की एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहाँ निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि समानता सच है या नहीं:

इस प्रकार,

सी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश समरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर हैं या संपाती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलीनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आम तौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएं मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप सेकंड के एक मामले में शाब्दिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करने के लिए सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे कुछ भी पेश करने का कोई कारण नहीं दिखता है स्वतंत्र समाधानज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक समांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए जो बिंदु से गुजरती है।

समाधान: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि "सीई" रेखा का निर्देशन वेक्टर भी "डी" रेखा के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं की दिशा सदिश एक ही है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरलीकृत नहीं है, तो सदिश समरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से कई लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएँ बिना किसी रेखाचित्र के समानांतर कैसे हैं।

आत्मनिरीक्षण के उदाहरण आज रचनात्मक रहेंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समान्तर बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए

हल करने के लिए एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। अधिकांश छोटा रास्ता- पाठ के अंत में।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा सा काम किया है और बाद में उनके पास लौटेंगे। संयोग रेखाओं का मामला बहुत कम रुचि का है, इसलिए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जिससे आप अच्छी तरह से परिचित हों स्कूल के पाठ्यक्रम:

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं?

अगर सीधा बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यहां तुम्हारे लिए है दो की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथएक समतल पर दो अन्तर्विभाजक (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधानहल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाएँ खींचना है और ड्राइंग से सीधे चौराहे के बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:. जाँचने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, बिंदु के निर्देशांक सिस्टम के समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार किया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, बेशक, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य कमियां हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के बच्चे इस तरह से निर्णय लेते हैं, मुद्दा यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के शब्दवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। कार्य को आसानी से कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है। स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) सरल रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए एक क्रिया एल्गोरिथ्म का विकास विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

एक जोड़ी जूते अभी तक पुराने नहीं हुए हैं, जैसा कि हम पाठ के दूसरे खंड में पहुंचे:

लम्बवत रेखायें। एक बिन्दु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दिए गए के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे खींचे?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा की दिशा सदिश का पता लगाना अच्छा होगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म्... नारंगी आसमान, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिशों को निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और डॉट।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान को बिंदुवार व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम उस तक कम से कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंब के साथ आंदोलन होगा। अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को परंपरागत रूप से निरूपित किया जाता है ग्रीक अक्षर"आरओ", उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको केवल सूत्र में संख्याओं को सावधानी से प्रतिस्थापित करने और गणना करने की आवश्यकता है:

उत्तर:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई है। यदि आप चित्र बनाते हैं चेकदार कागज 1 इकाई के पैमाने पर। \u003d 1 सेमी (2 कोशिकाएं), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी चित्र के अनुसार एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक को खोजना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिथम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य और एक छोर के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जाँचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

यहां गणना में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर आपको गिनने की अनुमति देकर बहुत मदद करता है सामान्य अंश. कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे.

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के अपरिमित रूप से अनेक तरीके हैं। पाठ के अंत में बहस करना, लेकिन अपने लिए अनुमान लगाने का बेहतर प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जंब:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे स्वतः ही पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके बीच के कोण के रूप में 4 कोणों में से किसी को भी लिया जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉल" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक रूप से उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि .

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा से प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाएंगे, उनमें नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्य से नहीं लेना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए भाजक पर करीब से ध्यान दें - यह बिल्कुल ऐसा ही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं की दिशा वैक्टर:

यदि , तब सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश ओर्थोगोनल होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के वेक्टरों को निर्देशित करने के स्केलर उत्पाद की गणना करें:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (चित्र देखें। प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, ठीक है। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं की अदला-बदली करने की आवश्यकता है, अर्थात दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको सीधे से शुरू करने की आवश्यकता है .

कोनाअंतरिक्ष में रेखाओं के बीच हम किसी को भी कॉल करेंगे आसन्न कोने, डेटा के समानांतर एक मनमाने बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बनता है।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी जाएँ:

स्पष्ट रूप से, रेखाओं के बीच के कोण φ को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूंकि , फिर हमें प्राप्त होने वाले वैक्टरों के बीच कोण के कोसाइन के सूत्र के अनुसार

समानांतरता और दो रेखाओं की लम्बवत्ता की स्थिति उनके दिशा सदिशों की समांतरता और लम्बवत्ता की शर्तों के समतुल्य हैं और:

दो सीधे समानांतर हैंअगर और केवल अगर उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, यानी एल 1 समानांतर एल 2 अगर और केवल अगर समानांतर .

दो सीधे सीधायदि और केवल यदि संगत गुणांकों के गुणनफलों का योग शून्य के बराबर है: .

पर लाइन और प्लेन के बीच का लक्ष्य

लाइन करने दो डी- समतल θ के लंबवत नहीं;
डी′- सीधी रेखा का प्रक्षेपण डीविमान के लिए θ;
सीधी रेखाओं के बीच का सबसे छोटा कोण डीऔर डीहम बुलाएंगे रेखा और समतल के बीच का कोण.
आइए इसे φ=( के रूप में निरूपित करें डी,θ)
अगर डी⊥θ , तब ( डी,θ)=π/2

अरे→जे→क→− आयताकार समन्वय प्रणाली।
समतल समीकरण:

θ: कुल्हाड़ी+द्वारा+जेड+डी=0

हम मानते हैं कि रेखा एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा दी गई है: डी[एम 0,पी→]
वेक्टर एन→(ए,बी,सी)⊥θ
फिर यह वैक्टर के बीच के कोण को खोजने के लिए बनी हुई है एन→ और पी→, इसे γ=( के रूप में निरूपित करें एन→,पी→).

यदि कोण γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

यदि कोण γ>π/2 , तो आवश्यक कोण φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

तब, रेखा और समतल के बीच का कोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ एपी 1+बीपी 2+सीपी 3∣ ∣ √ए 2+बी 2+सी 2√पी 21+पी 22+पी 23

प्रश्न 29. द्विघात रूप की अवधारणा। द्विघात रूपों की साइन-निश्चितता।

द्विघात रूप j (x 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक चर x 1, x 2, ..., x nरूप का योग कहा जाता है
, (1)

कहाँ ऐज कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें गुणांक कहा जाता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम यह मान सकते हैं ऐज = एक जी.

द्विघात रूप कहा जाता है वैध,अगर ऐज ओ जीआर। द्विघात रूप का मैट्रिक्सइसके गुणांकों से बना मैट्रिक्स कहा जाता है। द्विघात रूप (1) एक अद्वितीय सममित मैट्रिक्स से मेल खाता है
अर्थात। ए टी = ए. इसलिए, द्विघात रूप (1) को मैट्रिक्स रूप j में लिखा जा सकता है ( एक्स) = एक्स टी आह, कहाँ एक्स टी = (एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन). (2)

और इसके विपरीत, कोई भी सममित मैट्रिक्स (2) चर के अंकन तक एक अद्वितीय द्विघात रूप से मेल खाता है।

द्विघात रूप का पदइसके मैट्रिक्स की कोटि कहलाती है। द्विघात रूप कहा जाता है गैर पतित,अगर इसका मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है ए. (याद रखें कि मैट्रिक्स एगैर-पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक गैर-शून्य है)। अन्यथा, द्विघात रूप पतित है।

सकारात्मक रूप से निश्चित(या सख्ती से सकारात्मक) अगर

जे ( एक्स) > 0 , किसी के लिए भी एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

आव्यूह एसकारात्मक निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) को सकारात्मक निश्चित भी कहा जाता है। इसलिए, एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप एक अद्वितीय सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स और इसके विपरीत से मेल खाता है।

द्विघात रूप (1) कहा जाता है नकारात्मक निश्चित(या सख्ती से नकारात्मक) अगर

जे ( एक्स) < 0, для любого एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

इसी तरह ऊपर की तरह, एक नकारात्मक-निश्चित द्विघात मैट्रिक्स को नकारात्मक-निश्चित भी कहा जाता है।

इसलिए, एक धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) न्यूनतम (अधिकतम) मान j ( एक्स*) = 0 के लिए एक्स* = (0, 0, …, 0).

ध्यान दें कि अधिकांश द्विघात रूप चिन्ह-निश्चित नहीं हैं, अर्थात, वे न तो धनात्मक हैं और न ही ऋणात्मक। ऐसे द्विघात रूप न केवल समन्वय प्रणाली के मूल में, बल्कि अन्य बिंदुओं पर भी गायब हो जाते हैं।

कब एन> 2, द्विघात रूप की साइन-निश्चितता की जांच के लिए विशेष मानदंड की आवश्यकता होती है। आइए उन पर विचार करें।

मेजर माइनरद्विघात रूप को नाबालिग कहा जाता है:

अर्थात् ये क्रम 1, 2, ... के अवयस्क हैं। एनमैट्रिक्स ए, ऊपरी बाएँ कोने में स्थित है, उनमें से अंतिम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है ए.

सकारात्मक निश्चितता के लिए मानदंड (सिल्वेस्टर कसौटी)

एक्स) = एक्स टी आहसकारात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग एसकारात्मक थे, अर्थात्: एम 1 > 0, एम 2 > 0, …, एम एन > 0. नकारात्मक निश्चितता का मानदंड द्विघात रूप j के लिए ( एक्स) = एक्स टी आहऋणात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके सम क्रम के प्रमुख अवयस्क धनात्मक हैं, और विषम क्रम वाले ऋणात्मक हैं, अर्थात: एम 1 < 0, एम 2 > 0, एम 3 < 0, …, (–1)एन