चेकर्ड पेपर पर टेट्राहेड्रॉन। एक चतुष्फलक का आयतन

बच्चों के लिए एंटीपीयरेटिक्स एक बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियां होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की जरूरत होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?

पाठ का पाठ विवरण:

नमस्कार हम विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं: "रेखाओं और विमानों की समानता।"

मुझे लगता है कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि आज हम पॉलीहेड्रा के बारे में बात करेंगे - बहुभुज से बने ज्यामितीय निकायों की सतहें।

अर्थात्, चतुष्फलक।

हम योजना के अनुसार पॉलीहेड्रा का अध्ययन करेंगे:

1. चतुष्फलक की परिभाषा

2. चतुष्फलक के तत्व

3. चतुष्फलक का विकास

4. विमान पर छवि

1. एक त्रिभुज ABC बनाएँ

2. बिंदु D इस त्रिभुज के तल में स्थित नहीं है

3. बिंदु D को त्रिभुज ABC के शीर्षों से खंडों द्वारा जोड़ें। हमें त्रिभुज DAB, DBC और DCA प्राप्त होते हैं।

परिभाषा: चार त्रिभुजों ABC, DAB, DBC और DCA से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है।

पदनाम: डीएबीसी।

टेट्राहेड्रॉन के तत्व

वे त्रिभुज जो चतुष्फलक बनाते हैं, फलक कहलाते हैं, उनकी भुजाएँ किनारे होती हैं, और उनके शीर्ष चतुष्फलक के शीर्ष होते हैं।

एक चतुष्फलक के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?

एक चतुष्फलक के चार फलक, छह किनारे और चार शीर्ष होते हैं।

चतुष्फलक के दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं।

आकृति में, किनारे AD और BC, BD और AC, CD और AB विपरीत हैं।

कभी-कभी टेट्राहेड्रॉन के चेहरों में से एक को बाहर निकाल दिया जाता है और इसका आधार कहा जाता है, और अन्य तीन को साइड फेस कहा जाता है।

टेट्राहेड्रॉन खुल रहा है।

कागज से टेट्राहेड्रॉन बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित स्कैन की आवश्यकता होगी,

इसे मोटे कागज में स्थानांतरित किया जाना चाहिए, कट आउट, बिंदीदार रेखाओं के साथ मुड़ा हुआ और सरेस से जोड़ा हुआ।

चतुष्फलक को तल पर दर्शाया गया है

विकर्णों के साथ एक उत्तल या गैर-उत्तल चतुर्भुज के रूप में। धराशायी लाइनें अदृश्य किनारों का प्रतिनिधित्व करती हैं।

पहले चित्र में, AC एक अदृश्य किनारा है,

दूसरे पर - ईके, एलके और केएफ।

चतुष्फलक पर कई विशिष्ट समस्याओं को हल करते हैं:

5 सेमी के किनारे वाले नियमित टेट्राहेड्रॉन के विकास क्षेत्र का पता लगाएं।

समाधान। चतुष्फलक का जाल बनाते हैं

(स्क्रीन पर एक टेट्राहेड्रॉन स्वीप दिखाई देता है)

इस चतुष्फलक में चार समबाहु त्रिभुज होते हैं, इसलिए, एक नियमित चतुष्फलक का विकास क्षेत्र चतुष्फलक के कुल सतह क्षेत्र या चार नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

हम सूत्र का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल खोज रहे हैं:

तब हमें टेट्राहेड्रॉन का क्षेत्रफल बराबर मिलता है:

सूत्र में किनारे की लंबाई a \u003d 5 सेमी,

यह पता चला है

उत्तर: एक नियमित चतुष्फलक का क्षेत्रफल

बिंदु M, N और K से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें।

ए) वास्तव में, हम अंक एम और एन (वे चेहरे एडीसी से संबंधित हैं), अंक एम और के (वे चेहरे एडीबी से संबंधित हैं), अंक एन और के (चेहरे डीबीसी) को जोड़ते हैं। चतुष्फलक का खंड त्रिभुज MKN है।

बी) अंक एम और के (चेहरे एडीबी से संबंधित), बिंदु के और एन (चेहरे डीसीबी से संबंधित) को कनेक्ट करें, फिर एमके और एबी को चौराहे पर जारी रखें और बिंदु पी डालें। रेखा पीएन और बिंदु T एक ही समतल ABC में स्थित है और अब हम प्रत्येक फलक के साथ सरल रेखा MK के प्रतिच्छेदन का निर्माण कर सकते हैं। नतीजा एक चतुर्भुज एमकेएनटी है, जो वांछित खंड है।

इस पाठ में, हम चतुष्फलक और उसके तत्वों (चतुष्फलक का किनारा, सतह, फलक, शीर्ष) को देखेंगे। और हम वर्गों के निर्माण के लिए सामान्य विधि का उपयोग करके टेट्राहेड्रॉन में वर्गों के निर्माण के लिए कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की समानता

पाठ: चतुष्फलक। चतुष्फलक में वर्गों के निर्माण की समस्याएँ

टेट्राहेड्रॉन कैसे बनाया जाए? एक मनमाना त्रिकोण लें एबीसी. मनमाना बिंदु डीइस त्रिभुज के तल में नहीं पड़ा हुआ है। हमें 4 त्रिकोण मिलते हैं। इन 4 त्रिभुजों द्वारा बनाई गई सतह को चतुष्फलक (चित्र 1.) कहा जाता है। इस सतह से घिरे आंतरिक बिंदु भी चतुष्फलक का हिस्सा हैं।

चावल। 1. टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी

टेट्राहेड्रॉन के तत्व
ए,बी, सी, डी - एक चतुर्भुज के शिखर.
अब, एसी, विज्ञापन, ईसा पूर्व, बी.डी, सीडी - एक चतुर्भुज के किनारे.
एबीसी, अब्द, बीडीसी, एडीसी - टेट्राहेड्रॉन के चेहरे.

टिप्पणी:आप विमान ले सकते हैं एबीसीपीछे टेट्राहेड्रॉन बेस, और फिर बिंदु डीहै एक चतुष्फलक का शीर्ष. टेट्राहेड्रॉन का प्रत्येक किनारा दो विमानों का प्रतिच्छेदन है। उदाहरण के लिए, रिब अबविमानों का चौराहा है अबडीऔर एबीसी. चतुष्फलक का प्रत्येक शीर्ष तीन तलों का प्रतिच्छेदन है। शिखर एविमानों में पड़ा है एबीसी, अबडी, एडीसाथ. डॉट एतीन चिह्नित विमानों का चौराहा है। यह तथ्य इस प्रकार लिखा गया है: ए= एबीसी ∩ अबडी ∩ एसीडी.

टेट्राहेड्रॉन की परिभाषा

इसलिए, चतुर्पाश्वीयचार त्रिकोणों द्वारा गठित एक सतह है।

चतुष्फलक का किनारा- टेट्राहेड्रॉन के दो विमानों के चौराहे की रेखा।

6 माचिस की तीलियों से 4 बराबर त्रिभुज बनाइए। विमान पर समस्या का समाधान संभव नहीं है। और अंतरिक्ष में करना आसान है। चलो एक चतुष्फलक लेते हैं। 6 मैच इसके किनारे हैं, टेट्राहेड्रॉन के चार चेहरे और चार बराबर त्रिकोण होंगे। समस्या हल हो गई।

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. डॉट एमटेट्राहेड्रॉन के किनारे के अंतर्गत आता है अब, डॉट एनटेट्राहेड्रॉन के किनारे के अंतर्गत आता है मेंडीऔर डॉट आरकिनारे का है डीसाथ(अंक 2।)। समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमएनपी.

चावल। 2. टास्क 2 के लिए आरेखण - समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करना

समाधान:
टेट्राहेड्रॉन के चेहरे पर विचार करें डीरवि. बिंदु के इस किनारे में एनऔर पीचेहरे हैं डीरवि, और इसलिए टेट्राहेड्रॉन। लेकिन बात की शर्त से एन, पीकटिंग प्लेन के हैं। साधन, एनपीदो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा है: फलक तल डीरविऔर काटने वाला विमान। आइए मान लें कि रेखाएं एनपीऔर रविसमानांतर नहीं हैं। वे एक ही विमान में लेटे हैं डीरवि।रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एनपीऔर रवि. आइए इसे निरूपित करें इ(चित्र 3.)।

चावल। 3. कार्य के लिए आरेखण 2. बिंदु ई ढूँढना

डॉट इसेक्शन प्लेन के अंतर्गत आता है एमएनपी, क्योंकि यह लाइन पर है एनपी, और सीधी रेखा एनपीपूरी तरह से खंड के तल में स्थित है एमएनपी.

डॉट भी इविमान में पड़ा है एबीसीक्योंकि यह एक रेखा पर स्थित है रविहवाई जहाज से बाहर एबीसी.

हमें वह मिल गया खाना- विमानों के चौराहे की रेखा एबीसीऔर एमएनपी,क्योंकि अंक इऔर एमदो विमानों में एक साथ लेटें - एबीसीऔर एमएनपी।बिंदुओ को जोडो एमऔर इ, और लाइन जारी रखें खानालाइन के साथ चौराहे पर एसी. रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु खानाऔर एसीनिरूपित क्यू.

तो इस मामले में एनपीक्यूएम- वांछित खंड।

चावल। 4. समस्या 2 के लिए आरेखण। समस्या 2 का समाधान

अब उस मामले पर विचार करें जब एनपीसमानांतर ईसा पूर्व. अगर सीधा एनपीकिसी रेखा के समानांतर, उदाहरण के लिए, एक रेखा रविहवाई जहाज से बाहर एबीसी, फिर सीधी रेखा एनपीपूरे विमान के समानांतर एबीसी.

वांछित खंड विमान एक सीधी रेखा से होकर गुजरता है एनपी, विमान के समानांतर एबीसी, और समतल को एक सीधी रेखा में काटता है एमक्यू. तो चौराहे की रेखा एमक्यूएक सीधी रेखा के समानांतर एनपी. हम पाते हैं एनपीक्यूएम- वांछित खंड।

डॉट एमपक्ष में है एडीमेंचतुर्पाश्वीय एबीसीडी. एक बिंदु से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एमआधार के समानांतर एबीसी.

चावल। 5. कार्य 3 के लिए आरेखण समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
काटने का विमान φ विमान के समानांतर एबीसीशर्त से, फिर यह विमान φ सीधी रेखाओं के समानांतर अब, एसी, रवि.
हवाई जहाज में अबडीएक बिंदु के माध्यम से एमचलो एक सीधी रेखा खींचते हैं पी क्यूसमानांतर अब(चित्र 5)। सीधा पी क्यूविमान में पड़ा है अबडी. इसी तरह प्लेन में एसीडीएक बिंदु के माध्यम से आरचलो एक सीधी रेखा खींचते हैं जनसंपर्कसमानांतर एसी. एक बिंदु मिला आर. दो प्रतिच्छेदन रेखाएँ पी क्यूऔर जनसंपर्कविमान पीक्यूआरक्रमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हैं अबऔर एसीविमान एबीसी, इसलिए विमान एबीसीऔर पीक्यूआरसमानांतर हैं। पीक्यूआर- वांछित खंड। समस्या हल हो गई।

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. डॉट एम- आन्तरिक बिन्दु, चतुष्फलक फलक का बिन्दु अबडी. एन- खंड का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 6.)। एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करें समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 6. कार्य 4 के लिए आरेखण

समाधान:
हल करने के लिए, हम एक सहायक विमान का निर्माण करते हैं डीएम.एन.. लाइन करने दो डीएमरेखा AB को एक बिंदु पर काटती है को(चित्र 7.)। तब, अनुसूचित जातिडीविमान का एक भाग है डीएम.एन.और एक चतुष्फलक। हवाई जहाज में डीएम.एन.झूठ और सीधा समुद्री मील दूर, और परिणामी रेखा अनुसूचित जाति. तो यदि समुद्री मील दूरसमानांतर नहीं अनुसूचित जाति, फिर वे किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं आर. डॉट आरऔर रेखा के प्रतिच्छेदन का वांछित बिंदु होगा समुद्री मील दूरऔर विमान एबीसी.

चावल। 7. समस्या के लिए आरेखण 4. समस्या का समाधान 4

डैन टेट्राहेड्रॉन एबीसीडी. एम- चेहरे का आंतरिक बिंदु अबडी. आर- चेहरे का आंतरिक बिंदु एबीसी. एन- किनारे का आंतरिक बिंदु डीसाथ(चित्र 8.)। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एम, एनऔर आर.

चावल। 8. कार्य 5 के लिए आरेखण समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें

समाधान:
पहले मामले पर विचार करें, जब रेखा एम.एन.विमान के समानांतर नहीं एबीसी. पिछली समस्या में, हमने रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किया था एम.एन.और विमान एबीसी. यही वह बिंदु है को, यह सहायक विमान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है डीएम.एन., अर्थात। क र ते हैं डीएमऔर एक बिंदु प्राप्त करें एफ. हम खर्च करते हैं सीएफ़और चौराहे पर एम.एन.कोई बात समझना को.

चावल। 9. कार्य के लिए आरेखण 5. बिंदु K ढूँढना

चलो एक सीधी रेखा खींचते हैं के.आर. सीधा के.आरसेक्शन के प्लेन और प्लेन दोनों में स्थित है एबीसी. अंक प्राप्त करना आर 1और आर 2. कनेक्ट आर 1और एमऔर निरंतरता पर हमें एक बिंदु मिलता है एम 1. बिंदी को जोड़ना आर 2और एन. नतीजतन, हम वांछित क्रॉस सेक्शन प्राप्त करते हैं आर 1 आर 2 एनएम 1. पहले मामले में समस्या हल हो गई है।
दूसरे मामले पर विचार करें, जब रेखा एम.एन.विमान के समानांतर एबीसी. विमान एमएनपीसीधी रेखा से जाता है एम.एन.विमान के समानांतर एबीसीऔर विमान को पार करता है एबीसीकिसी लाइन के साथ आर 1 आर 2, फिर सीधी रेखा आर 1 आर 2इस रेखा के समानांतर एम.एन.(चित्र 10.)।

चावल। 10. समस्या के लिए आरेखण 5. वांछित खंड

अब एक रेखा खींचते हैं आर 1 एमऔर एक बिंदु प्राप्त करें एम 1.आर 1 आर 2 एनएम 1- वांछित खंड।

इसलिए, हमने चतुष्फलक पर विचार किया है, चतुष्फलक पर कुछ विशिष्ट कार्यों को हल किया है। अगले पाठ में, हम बॉक्स को देखेंगे।

1. आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, सही और पूरक - एम।: मेनमोसाइन, 2008। - 288 पी। : बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफ़ाइल स्तर)

2. शार्गिन I. F. - M .: बस्टर्ड, 1999. - 208 p .: बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

3. ई.वी. पोटोस्क्यूएव, एल.आई. ज़वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम। : बस्टर्ड, 008. - 233 पी। :बीमार। ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित के गहन और प्रोफाइल अध्ययन के साथ सामान्य शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

अतिरिक्त वेब संसाधन

2. चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण कैसे करें। अंक शास्त्र ()।

3. शैक्षणिक विचारों का त्योहार ()।

"टेट्राहेड्रॉन" विषय पर होमवर्क कार्य करें, टेट्राहेड्रॉन के किनारे, टेट्राहेड्रॉन के चेहरे, कोने और टेट्राहेड्रॉन की सतह को कैसे ढूंढें

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफ़ाइल स्तर) आई। एम। स्मिर्नोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, सुधारा और पूरक - एम.: मेनमोज़िना, 2008. - 288 पी.: बीमार। टास्क 18, 19, 20 पेज 50

2. बिंदु इमध्य शिरा एमएचतुर्पाश्वीय IAWS. बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें बी, सीऔर इ.

3. MAVS चतुष्फलक में, बिंदु M AMB फलक से संबंधित है, P बिंदु BMC फलक से और K बिंदु AC किनारे से संबंधित है। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा चतुष्फलक के एक खंड का निर्माण करें एम, आर, के.

4. समतल द्वारा चतुष्फलक के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन से आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं?

टिप्पणी. यह ज्यामिति की समस्याओं वाले पाठ का हिस्सा है (खंड ठोस ज्यामिति, पिरामिड के बारे में समस्याएं)। यदि आपको ज्यामिति में किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, जो यहां नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें। कार्यों में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय, sqrt () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक होता है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में इंगित किया जाता है.सरल मूल भावों के लिए, चिह्न "√" का उपयोग किया जा सकता है. नियमित टेट्राहेड्रॉनएक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है जिसमें सभी फलक समबाहु त्रिभुज हैं।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के लिए, किनारों पर सभी डायहेड्रल कोण और कोने पर सभी ट्राइहेड्रल कोण बराबर होते हैं

एक चतुष्फलक में 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के लिए मूल सूत्र तालिका में दिए गए हैं।

कहाँ:
एस - नियमित टेट्राहेड्रॉन का सतह क्षेत्र
वी - मात्रा
एच - ऊंचाई को आधार से कम किया गया
आर - टेट्राहेड्रोन में खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या
आर - परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या
ए - रिब लंबाई

व्यावहारिक उदाहरण

काम.
√3 के बराबर प्रत्येक किनारे के साथ त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र खोजें

समाधान.
चूंकि त्रिकोणीय पिरामिड के सभी किनारे समान हैं, यह सही है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र S = a 2 √3 है।
तब
एस = 3√3

उत्तर: 3√3

काम.
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे 4 सेमी हैं पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए

समाधान.
चूंकि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में पिरामिड की ऊंचाई को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, जो परिचालित चक्र का केंद्र भी है, फिर

एओ = आर = √3 / 3a
एओ = 4√3 / 3

इस प्रकार पिरामिड OM की ऊँचाई को समकोण त्रिभुज AOM से ज्ञात किया जा सकता है

एओ 2 + ओएम 2 = एएम 2
ओम 2 = एएम 2 - एओ 2
ओम 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ओम 2 = 16 - 16/3
ओम = √(32/3)
ओएम = 4√2 / √3

पिरामिड का आयतन सूत्र V = 1/3 Sh द्वारा पाया जाता है
इस स्थिति में, हम सूत्र S \u003d √3/4 a 2 द्वारा आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

वी = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
वी=16√2/3

उत्तर: 16√2/3 सेमी

खंड: अंक शास्त्र

पाठ की तैयारी और संचालन के लिए योजना:

I. प्रारंभिक चरण:

त्रिकोणीय पिरामिड के ज्ञात गुणों की पुनरावृत्ति।
संभव के बारे में परिकल्पना को सामने रखना, पहले नहीं माना गया, टेट्राहेड्रॉन की विशेषताएं।
इन परिकल्पनाओं पर शोध करने के लिए समूहों का गठन।
प्रत्येक समूह के लिए कार्यों का वितरण (इच्छा को ध्यान में रखते हुए)।
कार्य के लिए जिम्मेदारियों का वितरण।

द्वितीय। मुख्य मंच:

परिकल्पना समाधान।
एक शिक्षक के साथ परामर्श।
काम का रूप।

तृतीय। अंतिम चरण:

परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।

पाठ मकसद:

छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य बनाना और व्यवस्थित करना; निर्दिष्ट विषय पर अतिरिक्त सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें; गैर-मानक समस्याओं को हल करने में ज्ञान को कैसे लागू किया जाए, उनमें सरल घटकों को देखने के लिए सिखाने के लिए;
अतिरिक्त साहित्य के साथ काम करने वाले छात्रों के कौशल का निर्माण करने के लिए, विश्लेषण करने की क्षमता में सुधार करने के लिए, सामान्यीकरण, वे जो पढ़ते हैं उसमें मुख्य बात पाते हैं, नई चीजों को साबित करते हैं; छात्रों के संचार कौशल विकसित करना;
एक ग्राफिक संस्कृति की खेती करें।

प्रारंभिक चरण (1 पाठ):

छात्र का संदेश "महान पिरामिड का रहस्य"।
पिरामिड के प्रकारों की विविधता के बारे में शिक्षक का परिचयात्मक भाषण।
चर्चागत प्रश्न:

किन आधारों पर अनियमित त्रिभुजाकार पिरामिडों को जोड़ा जा सकता है

त्रिभुज के लम्बकेन्द्र से हमारा क्या तात्पर्य है, और चतुष्फलक का लम्बकेन्द्र किसे कहा जा सकता है

क्या एक आयताकार टेट्राहेड्रॉन में ऑर्थोसेंटर होता है?

किस टेट्राहेड्रॉन को आइसोहेड्रल कहा जाता है, इसमें क्या गुण हो सकते हैं

विभिन्न टेट्राहेड्रा पर विचार करने, उनके गुणों पर चर्चा करने के परिणामस्वरूप, अवधारणाएँ स्पष्ट होती हैं और एक निश्चित संरचना प्रकट होती है:

एक नियमित चतुष्फलक के गुणों पर विचार करें। (परिशिष्ट)

गुण 1-4 स्लाइड 1 का उपयोग करके मौखिक रूप से सिद्ध किए गए हैं।

गुण 1: सभी किनारे बराबर होते हैं।

गुण 2: सभी तलीय कोण 60° के होते हैं।

संपत्ति 3: चतुष्फलक के किन्हीं तीन शीर्षों पर समतल कोणों का योग 180° होता है।

संपत्ति 4: यदि टेट्राहेड्रॉन नियमित है, तो इसके किसी भी कोने को विपरीत फलक के ऑर्थोसेंटर में प्रक्षेपित किया जाता है।

दिया गया:

एबीसीडी एक नियमित टेट्राहेड्रॉन है

एएच - ऊंचाई

सिद्ध करना:

एच - ऑर्थोसेंटर

सबूत:

1) बिंदु एच किसी भी बिंदु ए, बी, सी के साथ मिल सकता है। मान लीजिए एच? बी, एच? सी

2) एएच + (एबीसी) => एएच + बीएच, एएच + सीएच, एएच + डीएच,

3) एबीएच, बीसीएच, एडीएच पर विचार करें

एडी - सामान्य => एबीएच, बीसीएच, एडीएच => बीएच = सीएच = डीएच

AB \u003d AC \u003d AD t. H - ABC का ऑर्थोसेंटर है

Q.E.D.

पहले पाठ में गुण 5-9 को परिकल्पना के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।

प्रत्येक समूह को अपना गृहकार्य मिलता है:

गुणों में से एक सिद्ध करें।

एक प्रस्तुति के साथ एक औचित्य तैयार करें।

द्वितीय। मुख्य चरण (एक सप्ताह के भीतर):

परिकल्पना समाधान।
एक शिक्षक के साथ परामर्श।
काम का रूप।

तृतीय। अंतिम चरण (1-2 पाठ):

प्रस्तुतियों का उपयोग करते हुए परिकल्पना का प्रतिनिधित्व और बचाव।

अंतिम पाठ के लिए सामग्री तैयार करते समय, छात्र ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु की विशेषताओं के बारे में निष्कर्ष पर आते हैं, हम इसे "अद्भुत" बिंदु कहने के लिए सहमत हैं।

संपत्ति 5: परिचालित और खुदा हुआ क्षेत्रों के केंद्र मेल खाते हैं।

दिया गया:

डीएबीसी एक नियमित टेट्राहेड्रॉन है

लगभग 1 - वर्णित क्षेत्र का केंद्र

ओ - उत्कीर्ण गोले का केंद्र

एन अंकित क्षेत्र के चेहरे एबीसी के साथ संपर्क का बिंदु है

सिद्ध करें: O 1 = O

सबूत:

माना OA = OB = OD = OC परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है

ड्रॉप ऑन + (एबीसी)

AON = CON - आयताकार, पाद के साथ और कर्ण => AN = CN

ओम + (बीसीडी) छोड़ें

COM DOM - आयताकार, पैर और कर्ण के साथ => CM = DM

पैरा 1 से CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON, OM - उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के लिए, एक गोले के साथ इसकी पारस्परिक व्यवस्था की संभावना है - इसके सभी किनारों के साथ एक निश्चित गोले के साथ संपर्क। इस तरह के गोले को कभी-कभी "अर्ध-खुला हुआ" गोला कहा जाता है।

संपत्ति 6: विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड और इन किनारों के लंबवत एक अर्ध-खुदा गोले की त्रिज्या हैं।

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;

एएल = बीएल, एके = सीके, एएस = डीएस,

बीपी = सीपी, बीएम = डीएम, सीएन = डीएन।

सिद्ध करना:

एलओ = ओके = ओएस = ओएम = ऑन = ओपी

सबूत।

चतुष्फलक ABCD - नियमित => AO= BO = CO = DO

त्रिभुजों AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD पर विचार करें।

AO=BO=>?AOB – समद्विबाहु =>
राजभाषा - माध्यिका, ऊंचाई, द्विभाजक
AO=CO=>?AOC– समद्विबाहु =>
OK - माध्यिका, ऊँचाई, द्विभाजक
CO=DO=>?COD– समद्विबाहु =>
ON- माध्यिका, ऊंचाई, द्विभाजक AOB=> AOC= COD=
बीओ=डीओ=>?बीओडी–समद्विबाहु => बीओडी=बीओसी=एओडी
ओएम– माध्यिका, ऊंचाई, द्विभाजक
AO=DO=>?AOD– समद्विबाहु =>
ओएस - मंझला, ऊंचाई, द्विभाजक
बीओ = सीओ =>? बीओसी – समद्विबाहु =>
ओपी– माध्यिका, ऊंचाई, द्विभाजक
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - समान OL, OK, ON, OM, OS, OP त्रिज्या में ऊँचाई

गोले के समद्विबाहु त्रिभुज

परिणाम:

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन में अर्ध-खुदा हुआ गोला होता है।

संपत्ति 7:यदि चतुष्फलक नियमित है, तो चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे परस्पर लंबवत होते हैं।

दिया गया:

DABC एक नियमित चतुष्फलक है;

एच - ऑर्थोसेंटर

सिद्ध करना:

सबूत:

डीएबीसी - नियमित चतुष्फलक =>?एडीबी - समबाहु

(एडीबी) (ईडीसी) = ईडी

ईडी - एडीबी ऊंचाई => ईडी + एबी,

एबी + सीई, => एबी + (ईडीसी) => एबी + सीडी।

अन्य किनारों की लंबवतता इसी तरह सिद्ध होती है।

संपत्ति 8: सममिति के छह तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। चार सीधी रेखाएँ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो चेहरों के समतलों के लंबवत चेहरों के पास स्थित वृत्तों के केंद्रों के माध्यम से खींची जाती हैं, और बिंदु O परिधि वाले गोले का केंद्र है।

दिया गया:

एबीसीडी एक नियमित टेट्राहेड्रॉन है

सिद्ध करना:

हे वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;

समरूपता के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं;

सबूत।

सीजी + बी.डी बीसीडी - समबाहु => जीओ + बीडी (तीन जीओ + बीडी लंबवत के प्रमेय द्वारा)

बीजी = जीडी, क्योंकि एजी - एबीडी औसत

एबीडी (एबीडी)=> ? बीओडी - समद्विबाहु => बीओ = डीओ

ईडी + एबी, जैसा ABD - समबाहु => OE + AD (तीन लंबवत प्रमेय द्वारा)

बीई = एई, क्योंकि DE - माध्यिका? ABD

ABD (ABD) =>?AOB - समद्विबाहु =>BO=AO

(एओबी) (एबीडी) = एबी

ऑन + (एबीसी) ऑफ + एसी (तीनों द्वारा

बीएफ + एसी, क्योंकि ABC - समबाहु लम्ब)

एएफ = एफसी, क्योंकि बीएफ - माध्यिका? एबीसी

ABC (ABC) => AOC - समद्विबाहु => AO = CO

(एओसी)? (एबीसी) = एसी

बीओ = एओ =>एओ = बीओ = सीओ = डीओ गोलाकार त्रिज्या हैं,

AO = CO चतुष्फलक ABCD के परिगत है

(एबीआर) (एसीजी) = एओ

(बीसीटी) (एबीआर) = बीओ

(एसीजी) (बीसीटी) = सीओ

(एडीएच) (सीईडी) = डीओ

एबी + (एबीआर) (एबीआर) (बीसीटी) (एसीजी) (एडीएच) (सीईडी) (बीडीएफ)

इस तरह:

बिंदु O परिधि वाले गोले का केंद्र है,

सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

संपत्ति 9: चतुष्फलक के शीर्षों से ओर्थोसेंटरों से गुजरने वाले लंबों के बीच का अधिक कोण 109°28 है"

दिया गया:

ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;

हे वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;

सिद्ध करना:

सबूत:

1)एएस - ऊंचाई

ASB = 90 o OSB आयताकार

2) (नियमित टेट्राहेड्रॉन की संपत्ति के अनुसार)

3)AO=BO - परिबद्ध गोले की त्रिज्या

4) 70°32"

6) एओ=बीओ=सीओ=डीओ =>?एओडी=?एओसी=?एओडी=?सीओडी=?बीओडी=?बीओसी

नियमित चतुष्फलक की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है

खुदा क्षेत्र का केंद्र है

अर्ध-खुदा क्षेत्र का केंद्र है

परिचालित क्षेत्र का केंद्र है

चतुष्फलक का केन्द्रक है

चतुष्फलक के फलकों - आधारों वाले चार समान नियमित त्रिकोणीय पिरामिडों का शीर्ष है।

निष्कर्ष।

(शिक्षक और छात्र पाठ का सारांश देते हैं। छात्रों में से एक रासायनिक तत्वों की संरचनात्मक इकाई के रूप में टेट्राहेड्रा पर एक संक्षिप्त रिपोर्ट के साथ बोलता है।)

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन और उसके "आश्चर्यजनक" बिंदु के गुणों का अध्ययन किया जाता है।

यह पाया गया कि केवल ऐसे टेट्राहेड्रॉन का आकार, जिसमें उपरोक्त सभी गुण हैं, साथ ही एक "आदर्श" बिंदु भी सिलिकेट्स और हाइड्रोकार्बन के अणुओं द्वारा कब्जा किया जा सकता है। या अणुओं में कई नियमित टेट्राहेड्रा शामिल हो सकते हैं। वर्तमान में, चतुष्फलक न केवल प्राचीन सभ्यता, गणित के प्रतिनिधि के रूप में जाना जाता है, बल्कि पदार्थों की संरचना के आधार के रूप में भी जाना जाता है।

सिलिकेट नमक जैसे पदार्थ होते हैं जिनमें ऑक्सीजन के साथ सिलिकॉन यौगिक होते हैं। उनका नाम लैटिन शब्द "सिलेक्स" - "फ्लिंट" से आया है। सिलिकेट अणुओं का आधार टेट्राहेड्रा के रूप वाले परमाणु मूलक हैं।

सिलिकेट्स रेत, और मिट्टी, और ईंट, और कांच, और सीमेंट, और तामचीनी, और तालक, और अभ्रक, और पन्ना, और पुखराज हैं।

सिलिकेट पृथ्वी की पपड़ी का 75% से अधिक (और लगभग 87% क्वार्ट्ज के साथ) और 95% से अधिक आग्नेय चट्टानें बनाते हैं।

सिलिकेट की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक सामान्य ऑक्सीजन परमाणु के माध्यम से दो या दो से अधिक सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रा के पारस्परिक संयोजन (बहुलकीकरण) की क्षमता है।

अणुओं के एक ही रूप में हाइड्रोकार्बन संतृप्त होते हैं, लेकिन वे कार्बन और हाइड्रोजन के सिलिकेट्स के विपरीत होते हैं। अणुओं का सामान्य सूत्र

हाइड्रोकार्बन में प्राकृतिक गैस शामिल है।

आयताकार और आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रा के गुणों पर विचार करना आवश्यक है।

साहित्य।

पोटापोव वी.एम., तातारिनचिक एस.एन. "ऑर्गेनिक केमिस्ट्री", मॉस्को 1976।
बाबरिन वी.पी. "महान पिरामिडों का रहस्य", सेंट पीटर्सबर्ग, 2000
Sharygin I. F. "ज्यामिति में समस्याएं", मास्को, 1984
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश।
"स्कूल निर्देशिका", मास्को, 2001।

इसके सभी फलक एक दूसरे के बराबर त्रिभुज हैं। समफलकीय चतुष्फलक का विकास एक त्रिभुज है जिसे तीन मध्य रेखाओं द्वारा चार समान त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है। एक समफलकीय चतुष्फलक में, ऊँचाइयों के आधार, ऊँचाइयों के मध्यबिंदु, और फलकों की ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गोले (12 बिन्दुओं के गोले) की सतह पर स्थित होते हैं (एक के लिए यूलर वृत्त का अनुरूप) त्रिकोण)।

समफलकीय चतुष्फलक के गुण:

इसके सभी फलक समान (सर्वांगसम) होते हैं।
क्रॉसिंग किनारे जोड़े में बराबर हैं।
त्रिफलकीय कोण बराबर होते हैं।
सम्मुख द्वितल कोण बराबर होते हैं।
एक ही किनारे पर आधारित दो समतल कोण बराबर होते हैं।
प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
चतुष्फलक का विकास एक त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज है।
वर्णित समानांतर चतुर्भुज आयताकार है।
चतुष्फलक में सममिति के तीन अक्ष होते हैं।
क्रॉसिंग किनारों के सामान्य लंबवत जोड़े में लंबवत होते हैं।
माध्यिका रेखाएँ जोड़ीदार लंबवत होती हैं।
फलकों के परिमाप बराबर हैं।
फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
चतुष्फलक की ऊँचाई बराबर होती है।
शीर्षों को विपरीत फलकों के गुरुत्व केन्द्रों से जोड़ने वाले खंड बराबर होते हैं।
फलकों के निकट वर्णित वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
चतुष्फलक के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र परिबद्ध क्षेत्र के केंद्र के साथ मेल खाता है।
गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उत्कीर्ण गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है।
परिचालित गोले का केंद्र खुदे हुए गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है।
खुदा हुआ गोला इन चेहरों के चारों ओर घेरे हुए हलकों के केंद्रों पर चेहरों को छूता है।
बाहरी इकाई मानदंडों का योग (इकाई वैक्टर चेहरों के लंबवत) शून्य है।
सभी द्वितल कोणों का योग शून्य होता है।

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन

शीर्षों से विपरीत फलकों तक गिराई गई सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन के गुण:

टेट्राहेड्रॉन की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
चतुष्फलक की ऊँचाइयों के आधार फलकों के लम्बकेन्द्र होते हैं।
चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे लंबवत होते हैं।
चतुष्फलक के विपरीत किनारों के वर्गों का योग बराबर होता है।
चतुष्फलक के विपरीत किनारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड समान होते हैं।
विपरीत डायहेड्रल कोणों के कोसाइन के उत्पाद बराबर हैं।
चेहरों के क्षेत्रों के वर्गों का योग विपरीत किनारों के उत्पादों के वर्गों के योग से चार गुना कम है।
पर ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनप्रत्येक चेहरे के 9-बिंदु मंडल (यूलर मंडल) एक ही क्षेत्र (24-बिंदु क्षेत्र) से संबंधित हैं।
पर ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉनगुरुत्वाकर्षण के केंद्र और चेहरों की ऊंचाइयों के चौराहे के बिंदु, साथ ही टेट्राहेड्रॉन की प्रत्येक ऊंचाई के खंडों को शीर्ष से 2: 1 के अनुपात में ऊंचाई के चौराहे के बिंदु तक विभाजित करने वाले बिंदु झूठ बोलते हैं एक गोला (12 बिंदुओं का गोला)।

आयताकार चतुष्फलक

एक कोने से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत होते हैं। एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज से एक समतल चतुर्भुज को काटकर एक आयताकार चतुर्भुज प्राप्त किया जाता है।

वायरफ्रेम टेट्राहेड्रॉन

यह एक चतुष्फलक है जो निम्न में से किसी भी स्थिति को पूरा करता है:

सभी किनारों को छूने वाला एक गोला है,
क्रॉसिंग किनारों की लंबाई के योग समान हैं,
विपरीत किनारों पर द्वितल कोणों का योग बराबर होता है,
चेहरों में खुदा हुआ मंडल जोड़े में स्पर्श करता है,
चतुष्फलक के विकास पर प्राप्त सभी चतुर्भुज परिबद्ध हैं,
उनमें खुदे हुए हलकों के केंद्रों से चेहरों पर लंबवत एक बिंदु पर प्रतिच्छेद किया जाता है।

तुलनीय चतुर्भुज

एक समानुपाती चतुष्फलक के गुण:

द्वि-ऊंचाई समान हैं। एक चतुष्फलक की द्विऊंचाई दो प्रतिच्छेदी किनारों (ऐसे किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं) के समान लम्बवत् होते हैं।
किसी भी समतल पर चतुष्फलक का प्रक्षेपण द्विमध्य, एक रोम्बस है। बिमेडियंसचतुष्फलक अपने अन्तर्विभाजक किनारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड कहलाते हैं (कोई सामान्य कोने नहीं हैं)।
परिबद्ध समांतर चतुर्भुज के फलक समान होते हैं।
निम्नलिखित संबंध पूरे होते हैं: $4a^2(a_1)^2- (b^2+(b_1)^2-c^2-(c_1)^2)^2=4b^2(b_1)^2- (c^2+(c_1) ^2-a^2-(a_1)^2)^2=4c^2(c_1)^2- (a^2+(a_1)^2-b^2-(b_1)^2)^2$ , कहाँ $ए$ और $a_1$ , $बी$ और $बी_1$ , $सी$ और $c_1$ - विपरीत किनारों की लंबाई।
टेट्राहेड्रॉन के विपरीत किनारों की प्रत्येक जोड़ी के लिए, उनमें से एक के माध्यम से खींचे गए विमान और दूसरे के मध्य बिंदु लंबवत हैं।
एक समानुपाती चतुष्फलक के वर्णित समांतर चतुर्भुज में एक गोले को अंकित किया जा सकता है।

इनसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉन

इस प्रकार में, चतुष्फलक के शीर्षों को विपरीत फलकों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक केंद्रित चतुष्फलक के गुण:

टेट्राहेड्रोन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड विपरीत कोने (टेट्राहेड्रोन माध्य) के साथ हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु चतुष्फलक के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।
टिप्पणी. यदि पिछली स्थिति में हम चेहरों के गुरुत्व केंद्रों को चेहरों के ऑर्थोसेंटरों से बदल दें, तो यह एक नई परिभाषा में बदल जाएगा ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन. यदि हम उन्हें फलकों में खुदे हुए वृत्तों के केंद्रों से प्रतिस्थापित करते हैं, जिन्हें कभी-कभी अंत:केंद्र भी कहा जाता है, तो हमें चतुष्फलक के एक नए वर्ग की परिभाषा मिलती है - केन्द्रित.
चतुष्फलक के शीर्षों को विपरीत फलकों में अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इन चेहरों के एक सामान्य किनारे पर खींचे गए दो चेहरों के कोणों के समद्विभाजकों का एक सामान्य आधार होता है।
विपरीत किनारों की लंबाई के उत्पाद बराबर हैं।
इन किनारों के तीन सिरों से गुजरने वाले किसी भी गोले के साथ एक ही शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों के चौराहे के दूसरे बिंदुओं से बना त्रिभुज समबाहु है।

नियमित टेट्राहेड्रॉन

यह एक समफलकीय चतुष्फलक है, जिसके सभी फलक नियमित त्रिभुज हैं। यह पाँच प्लेटोनिक ठोसों में से एक है।

एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के गुण:

चतुष्फलक के सभी किनारे बराबर होते हैं
चतुष्फलक के सभी फलक समान होते हैं
सभी फलकों के परिमाप और क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
नियमित टेट्राहेड्रॉन एक ही समय में है ऑर्थोसेंट्रिक, वायरफ्रेम, आइसोहेड्रल, इनसेंट्रिक और अनुरूप।
एक चतुष्फलक नियमित है यदि यह निम्न प्रकार के चतुष्फलक में से किन्हीं दो से संबंधित है: ऑर्थोसेंट्रिक, वायरफ्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक, आइसोहेड्रल.
यदि यह है तो एक टेट्राहेड्रॉन नियमित है समकोणीयऔर निम्न प्रकार के टेट्राहेड्रा में से एक है: ऑर्थोसेंट्रिक, वायरफ्रेम, इनसेंट्रिक, आनुपातिक.
एक ऑक्टाहेड्रोन को नियमित टेट्राहेड्रॉन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, ऑक्टाहेड्रॉन के चार (आठ में से) चेहरों को टेट्राहेड्रॉन के चार चेहरों के साथ संरेखित किया जाएगा, ऑक्टाहेड्रॉन के सभी छह कोने टेट्राहेड्रॉन के छह किनारों के केंद्रों के साथ संरेखित होंगे। .
एक नियमित टेट्राहेड्रॉन में एक खुदा हुआ ऑक्टाहेड्रोन (केंद्र में) और चार टेट्राहेड्रा (कोने के साथ) होते हैं, और इन टेट्राहेड्रा और ऑक्टाहेड्रोन के किनारे नियमित टेट्राहेड्रॉन के किनारों के आधे आकार के होते हैं।
एक नियमित टेट्राहेड्रॉन को एक क्यूब में दो तरह से अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, टेट्राहेड्रॉन के चार कोने क्यूब के चार कोने के साथ संरेखित होंगे।
एक नियमित टेट्राहेड्रॉन को एक आईकोसाहेड्रॉन में अंकित किया जा सकता है, इसके अलावा, टेट्राहेड्रॉन के चार शीर्षों को आईकोसाहेड्रॉन के चार शीर्षों के साथ संरेखित किया जाएगा।
एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के क्रॉसिंग किनारे परस्पर लंबवत होते हैं।

एक चतुष्फलक का आयतन

चतुष्फलक का आयतन (चिन्ह को ध्यान में रखते हुए) जिसके शीर्ष बिन्दुओं पर हैं $\mathbf(r)_1 (x_1,y_1,z_1),$ $\mathbf(r)_2 (x_2,y_2,z_2),$ $\mathbf(r)_3 (x_3,y_3,z_3),$ $\mathbf(r)_4 (x_4,y_4,z_4),$ के बराबर होती है

वी = \frac16 \begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 और y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 और y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 और y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),

या

$वी = \frac(1)(3)\ S H,$

कहाँ $एस$ किसी भी चेहरे का क्षेत्र है, और $एच$ क्या इस चेहरे पर ऊंचाई कम है।

किनारे की लंबाई के संदर्भ में टेट्राहेड्रॉन का आयतन केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त किया गया है:

288 \cdot वी^2 = 0 और 1 और 1 और 1 और 1 \\ 1 और 0 और d_(12)^2 और d_(13)^2 और d_(14)^2 \\ 1 और d_(12)^2 और 0 और d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 और d_(34)^2 और 0\end(vmatrix).

इस सूत्र में एक समान निर्धारक के माध्यम से हीरोन के सूत्र के एक प्रकार के रूप में त्रिकोण के क्षेत्र के लिए एक फ्लैट एनालॉग है।
दो विपरीत किनारों की लंबाई के संदर्भ में एक चतुष्फलक का आयतन एऔर बीआड़ी-तिरछी रेखाओं की तरह जो दूरी में हटा दी जाती हैं एचएक दूसरे से और एक दूसरे के साथ एक कोण बनाते हैं $फी$ , सूत्र द्वारा पाया जाता है:

$वी = \frac(1)(6) अब ज \sin \phi ।$

वी = \frac(1)(3)\ एबीसी \sqrt (डी),

कहाँ $डी = \शुरू(vmatrix)1 & \cos \\gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \\alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).$

अंतिम सूत्र के विमान के लिए एक एनालॉग इसके दो पक्षों की लंबाई के संदर्भ में एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है एऔर बी, एक शीर्ष से निकलकर उनके बीच एक कोण बनाता है $गामा$ :

एस = \frac(1)(2)\ ab \sqrt (डी),

कहाँ $डी = \शुरू(vmatrix)1 & \cos \\gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).$

सूक्ष्म जगत में टेट्राहेड्रा

परमाणु ऑर्बिटल्स के एसपी 3 संकरण के दौरान एक नियमित टेट्राहेड्रॉन बनता है (उनकी कुल्हाड़ियों को एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के कोने पर निर्देशित किया जाता है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक नियमित टेट्राहेड्रॉन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए, कई अणु जिनमें केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होता है, इस पॉलीहेड्रॉन का रूप लेते हैं
सीएच 4 मीथेन अणु
सल्फेट आयन SO 4 2-, फॉस्फेट आयन PO 4 3-, परक्लोरेट आयन ClO 4 - और कई अन्य आयन
डायमंड सी 2.5220 एंग्स्ट्रॉम के बराबर किनारे वाला एक टेट्राहेड्रॉन है
फ्लोराइट सीएएफ 2, 3, 8626 एंग्स्ट्रॉम के बराबर किनारे वाला टेट्राहेड्रॉन
स्पैलेराइट, ZnS, टेट्राहेड्रॉन 3.823 एंग्स्ट्रॉम के बराबर किनारे के साथ
कॉम्प्लेक्स आयन - , 2- , 2- , 2+
सिलिकेट, जिनकी संरचना सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रॉन 4- पर आधारित है

प्रकृति में टेट्राहेड्रा

कुछ फल, एक ओर उनमें से चार होने के कारण, नियमित के करीब टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष पर स्थित होते हैं। यह डिज़ाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को छूने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के शीर्ष पर स्थित हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान पारस्परिक व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है।

इंजीनियरिंग में टेट्राहेड्रा

यह सभी देखें

सिम्प्लेक्स - एन-डायमेंशनल टेट्राहेड्रॉन

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साहित्य

मैटिज़न वी। ई।, डबरोव्स्की। टेट्राहेड्रॉन "क्वांटम" की ज्यामिति से, नंबर 9, 1988, पी.66।
ज़स्लावस्की ए। ए। // गणितीय शिक्षा, सेर। 3 (2004), संख्या 8, पीपी 78-92।

सही

सही
गैर उत्तल

उत्तल

सूत्र,
प्रमेय,
सिद्धांतों

अन्य

टेट्राहेड्रोन की विशेषता का एक अंश

चौथे दिन, जुबोव्स्की वैल पर आग लग गई।
पियरे को तेरह अन्य लोगों के साथ मर्चेंट के घर के कैरिज हाउस में क्रीमियन फोर्ड ले जाया गया। सड़कों पर चलते हुए, पियरे पूरे शहर में उठने वाले धुएँ पर घुट रहा था। हर तरफ से आग की लपटें दिखाई दे रही थीं। पियरे अभी तक जले हुए मास्को का अर्थ नहीं समझ पाए और इन आग को डरावनी दृष्टि से देखा।
पियरे एक और चार दिनों के लिए क्रीमियन फोर्ड के पास एक घर के कैरिज हाउस में रहे, और इन दिनों के दौरान, फ्रांसीसी सैनिकों की बातचीत से, उन्हें पता चला कि यहाँ हर कोई हर दिन मार्शल के फैसले की उम्मीद कर रहा था। क्या मार्शल, पियरे सैनिकों से नहीं सीख सके। एक सैनिक के लिए, जाहिर है, मार्शल सत्ता में सर्वोच्च और कुछ हद तक रहस्यमय कड़ी लग रहा था।
ये पहले दिन, 8 सितंबर तक, जिस दिन कैदियों को दूसरी पूछताछ के लिए ले जाया गया, पियरे के लिए सबसे कठिन थे।

एक्स
8 सितंबर को, एक बहुत ही महत्वपूर्ण अधिकारी ने कैदियों के लिए खलिहान में प्रवेश किया, जिस सम्मान के साथ उनके साथ गार्डों ने व्यवहार किया। यह अधिकारी, शायद एक कर्मचारी अधिकारी, अपने हाथों में एक सूची के साथ, पियरे को बुलाते हुए सभी रूसियों को एक रोल कॉल किया: celui qui n "avoue pas son nom [वह जो अपना नाम नहीं बोलता]। और, उदासीनता और आलसी रूप से सभी कैदियों को देखते हुए, उन्होंने गार्ड को आदेश दिया कि मार्शल के पास ले जाने से पहले अधिकारी को ठीक से कपड़े पहनना और उन्हें साफ करना उचित होगा। एक घंटे बाद सैनिकों की एक कंपनी आई, और पियरे और तेरह अन्य लोगों को मेडेन फील्ड में ले जाया गया। ... दिन साफ था, बारिश के बाद धूप थी, और हवा असामान्य रूप से साफ थी। धुआं नीचे नहीं उतरा, जिस दिन पियरे को जुबोव्स्की वैल के गार्डहाउस से बाहर निकाला गया था, साफ हवा में खंभे में धुआं उठा आग की लपटें कहीं दिखाई नहीं दे रही थीं, लेकिन चारों ओर से धुएं के खंभे उठ रहे थे, और पूरे मास्को, जो पियरे देख सकते थे, एक आग थी। हर तरफ चूल्हे और चिमनियों के साथ बंजर भूमि और कभी-कभी जली हुई दीवारें दिखाई दे रही थीं। पत्थर के घरों के। पियरे ने आग की लपटों को देखा और शहर के परिचित क्वार्टरों को नहीं पहचाना। कुछ जगहों पर कोई जीवित चर्चों को देख सकता था। क्रेमलिन, अविनाशी, अपने टावरों और इवान द ग्रेट के साथ दूर से सफेद हो गया। पास में, नोवो देवीची कॉन्वेंट का गुंबद तेजी से चमक रहा था, और घंटियाँ और सीटी वहाँ से विशेष रूप से जोर से सुनाई दे रही थीं। इस ब्लागॉवेस्ट ने पियरे को याद दिलाया कि यह रविवार था और वर्जिन के जन्म का पर्व था। लेकिन ऐसा लगता था कि इस छुट्टी को मनाने वाला कोई नहीं था: हर जगह आग की तबाही थी, और रूसी लोगों में से केवल कभी-कभार चीर-फाड़ करने वाले, भयभीत लोग थे जो फ्रांसीसी को देखकर छिप गए थे।
जाहिर है, रूसी घोंसला बर्बाद और नष्ट हो गया था; लेकिन जीवन के इस रूसी आदेश के विनाश के पीछे, पियरे ने अनजाने में महसूस किया कि इस बर्बाद घोंसले के ऊपर उसका अपना, पूरी तरह से अलग, लेकिन दृढ़ फ्रांसीसी आदेश स्थापित किया गया था। उन्होंने इसे उन लोगों की नज़र से महसूस किया, जो प्रसन्नता और प्रसन्नता से, सैनिकों की नियमित पंक्तियों में मार्च कर रहे थे, जो उन्हें अन्य अपराधियों के साथ ले जा रहे थे; उसने इसे एक जुड़वां गाड़ी में कुछ महत्वपूर्ण फ्रांसीसी अधिकारी की नज़र से महसूस किया, जो एक सैनिक द्वारा संचालित था, जो उसकी ओर बढ़ा। उन्होंने इसे मैदान के बाईं ओर से आने वाले रेजिमेंटल संगीत की प्रफुल्लित ध्वनियों से महसूस किया, और उन्होंने विशेष रूप से इस सूची से इसे महसूस किया और समझा कि फ्रांसीसी अधिकारी, जो आज सुबह पहुंचे थे, ने कैदियों को बुलाया। पियरे को कुछ सैनिकों द्वारा ले जाया गया, एक स्थान पर ले जाया गया, दूसरे दर्जनों लोगों के साथ; ऐसा लगता था कि वे उसके बारे में भूल सकते हैं, उसे दूसरों के साथ मिला सकते हैं। लेकिन नहीं: पूछताछ के दौरान दिए गए उनके जवाब उनके नाम के रूप में उनके पास लौट आए: सेलुई क्वि एन "एवोए पस बेटा नाम। और इस नाम के तहत, जो पियरे के लिए भयानक था, अब उन्हें कहीं ले जाया गया, निस्संदेह आत्मविश्वास के साथ, पर लिखा गया उनके चेहरे कि अन्य सभी कैदी और वह वही थे जिनकी जरूरत थी, और उन्हें वहीं ले जाया जा रहा था जहां उनकी जरूरत थी। पियरे को एक तुच्छ चिप की तरह महसूस हुआ जो उसके लिए एक अज्ञात के पहियों में गिर गया था, लेकिन सही ढंग से ऑपरेटिंग मशीन .
पियरे और अन्य अपराधियों को मेडन फील्ड के दाईं ओर ले जाया गया, मठ से दूर नहीं, एक विशाल बगीचे के साथ एक बड़े सफेद घर में। यह प्रिंस शचरबातोव का घर था, जिसमें पियरे अक्सर मालिक से मिलने जाते थे और जिसमें अब, जैसा कि उन्होंने सैनिकों की बातचीत से सीखा, मार्शल, ड्यूक ऑफ एकमुल, खड़ा था।
उन्हें बरामदे में लाया गया और एक-एक करके वे घर में प्रवेश करने लगे। पियरे को छठे स्थान पर लाया गया। एक ग्लास गैलरी के माध्यम से, एक वेस्टिब्यूल, पियरे से परिचित एक फ्रंट हॉल, उन्हें एक लंबे, निचले कार्यालय में ले जाया गया, जिसके दरवाजे पर एक सहायक खड़ा था।
दावत कमरे के अंत में टेबल के ऊपर बैठी थी, उसका चश्मा उसकी नाक पर था। पियरे उसके पास आया। दावत, अपनी आँखें उठाए बिना, ऐसा लग रहा था कि उसके सामने कोई कागज पड़ा हुआ है। बिना आँखें उठाए उसने धीरे से पूछा:
तुम कौन हो? [आप कौन हैं?]
पियरे चुप था क्योंकि वह शब्दों का उच्चारण करने में असमर्थ था। पियरे के लिए दावत सिर्फ एक फ्रांसीसी जनरल नहीं था; क्योंकि पियरे डावट एक ऐसा व्यक्ति था जो अपनी क्रूरता के लिए जाना जाता था। दावत के ठंडे चेहरे को देखते हुए, जो एक सख्त शिक्षक की तरह, धैर्य रखने और कुछ समय के लिए उत्तर की प्रतीक्षा करने के लिए सहमत हुए, पियरे ने महसूस किया कि देरी के हर सेकंड में उन्हें अपना जीवन खर्च करना पड़ सकता है; लेकिन वह नहीं जानता था कि क्या कहना है। उसने वही बात कहने की हिम्मत नहीं की जो उसने पहली पूछताछ में कही थी; किसी के पद और ओहदे को प्रकट करना खतरनाक और शर्मनाक दोनों था। पियरे चुप थे। लेकिन इससे पहले कि पियरे के पास कुछ भी तय करने का समय होता, दावत ने अपना सिर उठाया, अपना चश्मा अपने माथे पर उठाया, अपनी आँखें सिकोड़ लीं और पियरे की ओर गौर से देखा।
"मैं इस आदमी को जानता हूं," उसने मापा, ठंडी आवाज में कहा, जाहिर तौर पर पियरे को डराने के लिए गणना की गई थी। ठंड जो पहले पियरे की पीठ पर गिर गई थी, उसके सिर को एक शिकंजे की तरह पकड़ लिया।
- मोन जनरल, वोस ने पोवेज़ पस मी कनाईत्रे, जे ने वोस ऐ जमैस वु... [आप मुझे नहीं जान सकते, जनरल, मैंने आपको कभी नहीं देखा।]
- सी "एस्ट अन एस्पियन रुसे, [यह एक रूसी जासूस है]," डावट ने उसे बाधित किया, एक अन्य जनरल का जिक्र किया जो कमरे में था और जिसे पियरे ने नोटिस नहीं किया। और डावट दूर हो गया। उसकी आवाज में एक अप्रत्याशित उछाल के साथ, पियरे अचानक जल्दी से बोला।
"नॉन, मोनसिग्नॉरिटी," उन्होंने कहा, अचानक याद आया कि दावत एक ड्यूक था। - नॉन, मोनसिग्नॉरिटी, वोस एन "एवेज़ पस पु मी कनाईट्रे। जेई सुइस अन ऑफ़िसियर मिलिशियनेयर एट जेई एन" एआई पस क्विट मोस्कौ। [नहीं, योर हाइनेस… नहीं, योर हाइनेस, आप मुझे नहीं जान सकते थे। मैं एक पुलिस अधिकारी हूं और मैंने मास्को नहीं छोड़ा है।]
– आपका नाम? [आपका नाम?] डावट दोहराया।
- बेसोहोफ। [बेजुखोव।]
- क्यू "एस्ट सीई क्वि मी प्रोउवेरा क्यू वोस ने मेंटेज़ पास? [कौन मुझे साबित करेगा कि आप झूठ नहीं बोल रहे हैं?]
- महाशय! [महामहिम!] पियरे नाराज नहीं, बल्कि एक विनतीपूर्ण स्वर में रोया।
दावत ने अपनी आँखें उठाईं और पियरे की ओर गौर से देखा। कुछ सेकंड के लिए उन्होंने एक-दूसरे को देखा और इस लुक ने पियरे को बचा लिया। इस दृष्टि से युद्ध और न्याय की सभी स्थितियों के अतिरिक्त इन दो लोगों के बीच एक मानवीय संबंध स्थापित हुआ। उन दोनों ने उस एक मिनट में अस्पष्ट रूप से अनगिनत चीजों को महसूस किया और महसूस किया कि वे दोनों मानवता की संतान हैं, कि वे भाई हैं।
पहली नज़र में, डावट के लिए, जिन्होंने केवल अपनी सूची से अपना सिर उठाया, जहां मानव मामलों और जीवन को संख्या कहा जाता था, पियरे केवल एक परिस्थिति थी; और, बुरे काम को अपने विवेक में लिए बिना, दावत ने उसे गोली मार दी होगी; लेकिन अब उसने उसे एक आदमी के रूप में देखा। उसने एक पल के लिए सोचा।
– मुझे टिप्पणी करें prouverez vous la verite de CE que vous me dites? [आप मुझे अपने शब्दों का न्याय कैसे साबित करेंगे?] - डावट ने ठंडेपन से कहा।
पियरे ने रामबल को याद किया और अपनी रेजिमेंट का नाम रखा, और उसका अंतिम नाम, और वह गली जिस पर घर था।
- Vous n "etes pas ce que vous dites, [आप वह नहीं हैं जो आप कहते हैं।] - दावत ने फिर कहा।
पियरे, कांपती हुई, टूटी हुई आवाज में, अपनी गवाही की वैधता का प्रमाण देने लगा।
लेकिन उसी क्षण सहायक ने प्रवेश किया और डावट को कुछ सूचना दी।
एडजुटेंट द्वारा दी गई खबर पर दावत अचानक मुस्करा उठी और बटन दबाने लगी। वह स्पष्ट रूप से पियरे के बारे में पूरी तरह से भूल गया।
जब सहायक ने उसे कैदी की याद दिलाई, तो उसने भौंहें चढ़ाते हुए पियरे की दिशा में सिर हिलाया और उसे नेतृत्व करने के लिए कहा। लेकिन उसे कहाँ ले जाया जाना था - पियरे को नहीं पता था: वापस बूथ पर या निष्पादन की तैयार जगह पर, जो मेडेन फील्ड से गुजरते हुए, उसे उसके साथियों द्वारा दिखाया गया था।
उसने अपना सिर घुमाया और देखा कि सहायक फिर से कुछ पूछ रहा है।
- उई, संस डूटे! [हाँ, बिल्कुल!] - दावत ने कहा, लेकिन पियरे को नहीं पता था कि "हाँ" क्या है।
पियरे को याद नहीं था कि वह कैसे, कितनी देर और कहाँ चला। वह, पूर्ण संवेदनहीनता और स्तब्धता की स्थिति में, अपने आस-पास कुछ भी न देखकर, अपने पैरों को दूसरों के साथ तब तक हिलाता रहा जब तक कि सभी लोग रुक नहीं गए, और वह रुक गया। इस पूरे समय के लिए एक विचार पियरे के सिर में था। यह सोचा गया था कि आखिर किसने, किसने उसे मौत की सजा सुनाई। ये वही लोग नहीं थे जिन्होंने उनसे आयोग में पूछताछ की थी: उनमें से कोई भी नहीं चाहता था और जाहिर है, ऐसा नहीं कर सका। यह डावट नहीं था जिसने उसे इतनी मानवीय दृष्टि से देखा। एक और मिनट, और डावट समझ गए होंगे कि वे क्या गलत कर रहे हैं, लेकिन इस मिनट को प्रवेश करने वाले सहायक ने रोका। और यह सहायक, जाहिर है, कुछ भी बुरा नहीं चाहता था, लेकिन वह प्रवेश नहीं कर सकता था। किसने, आखिरकार, मार डाला, मार डाला, उसकी जान ले ली - पियरे अपनी सभी यादों, आकांक्षाओं, आशाओं, विचारों के साथ? ये किसने किया? और पियरे ने महसूस किया कि यह कोई नहीं था।
यह एक आदेश था, परिस्थितियों का भंडार था।
किसी तरह का आदेश उसे मार रहा था - पियरे, उसे उसके जीवन से वंचित कर रहा था, सब कुछ, उसे नष्ट कर रहा था।

प्रिंस शचरबातोव के घर से, कैदियों को सीधे मेडेन मठ के बाईं ओर मेडेन फील्ड के नीचे ले जाया गया, और बगीचे में ले जाया गया, जिस पर एक खंभा खड़ा था। चौकी के पीछे ताजा खोदी गई मिट्टी के साथ एक बड़ा गड्ढा था, और लोगों की एक बड़ी भीड़ गड्ढे और चौकी के चारों ओर एक अर्धवृत्त में खड़ी थी। भीड़ में कम संख्या में रूसी और बड़ी संख्या में नेपोलियन के सैनिक शामिल थे: विषम वर्दी में जर्मन, इटालियंस और फ्रेंच। खंभे के दाईं और बाईं ओर नीले रंग की वर्दी में लाल एपॉलेट्स, बूट्स और शकोस के साथ फ्रांसीसी सैनिकों के मोर्चों पर खड़ा था।
अपराधियों को एक निश्चित क्रम में रखा गया था, जो सूची में था (पियरे छठा था), और पद पर लाया गया। कई ड्रम अचानक दोनों तरफ से बजने लगे और पियरे को लगा कि इस आवाज से उसकी आत्मा का एक हिस्सा फटा हुआ लग रहा है। उसने सोचने और तर्क करने की क्षमता खो दी। वह केवल देख और सुन सकता था। और उसकी एक ही इच्छा थी - इच्छा कि जितनी जल्दी हो सके कुछ भयानक किया जाए, जो किया जाना था। पियरे ने अपने साथियों को देखा और उनकी जांच की।
किनारे से आए दो लोगों ने गार्ड का मुंडन कर दिया। एक लंबा, पतला है; दूसरा काला, रोएँदार, मांसल, चपटी नाक वाला है। तीसरा एक आंगन था, लगभग पैंतालीस साल पुराना, सफेद बाल और भरे-भरे शरीर के साथ। चौथा एक किसान था, बहुत सुंदर, घनी गोरी दाढ़ी और काली आँखों वाला। पाँचवाँ एक कारखाने में काम करने वाला, पीला, पतला साथी, अठारह साल का, एक ड्रेसिंग गाउन में था।
पियरे ने सुना कि फ्रांसीसी चर्चा कर रहे थे कि कैसे शूट किया जाए - एक समय में एक या दो बार? "दो," वरिष्ठ अधिकारी ने ठंडे और शांति से उत्तर दिया। सैनिकों के रैंकों में एक आंदोलन था, और यह ध्यान देने योग्य था कि हर कोई जल्दी में था - और वे जल्दी में नहीं थे जिस तरह से वे सभी के लिए समझने योग्य कार्य करने की जल्दी में थे, लेकिन उसी तरह के रूप में वे एक आवश्यक, लेकिन अप्रिय और समझ से बाहर कार्य को पूरा करने की जल्दी में हैं।
दुपट्टे में एक फ्रांसीसी अधिकारी ने अपराधियों की कतार के दाईं ओर संपर्क किया और रूसी और फ्रेंच में फैसला पढ़ा।
फिर दो जोड़े फ्रांसीसी अपराधियों के पास पहुंचे और अधिकारी के निर्देश पर किनारे पर खड़े दो गार्डों को ले गए। पहरेदार, चौकी तक जा रहे थे, रुक गए और जब वे थैले लाए, तो चुपचाप उनके चारों ओर देखा, जैसे एक गिरा हुआ जानवर एक उपयुक्त शिकारी को देखता है। एक अपने आप को क्रॉस करता रहा, दूसरे ने अपनी पीठ खुजाई और अपने होठों से मुस्कान जैसी हरकत की। सैनिकों ने अपने हाथों से जल्दी करते हुए, उनकी आंखों पर पट्टी बांधकर उन्हें एक चौकी से बांध दिया।
राइफलों के साथ निशानेबाजों के बारह आदमी रैंकों के पीछे से नपे-तुले, दृढ़ कदमों के साथ निकले और चौकी से आठ कदम दूर रुक गए। पियरे दूर हो गया ताकि यह न देख सके कि क्या आने वाला है। अचानक एक गड़गड़ाहट और गर्जना हुई, जो पियरे को सबसे भयानक गड़गड़ाहट की तुलना में जोर से लग रहा था, और उसने चारों ओर देखा। धुंआ था, और फ्रांसीसी, पीले चेहरे और कांपते हाथों के साथ, गड्ढे के पास कुछ कर रहे थे। वे अन्य दो को ले गए। उसी तरह, एक ही आँखों से, इन दोनों ने सभी को व्यर्थ, एक जैसी आँखों से, चुपचाप, सुरक्षा की माँग करते हुए और, जाहिर तौर पर, बिना समझे और विश्वास नहीं किया कि क्या होगा। वे विश्वास नहीं कर सकते थे, क्योंकि केवल वे ही जानते थे कि उनका जीवन उनके लिए कैसा था, और इसलिए यह नहीं समझते थे और विश्वास नहीं करते थे कि इसे छीना जा सकता है।
पियरे नहीं देखना चाहता था और फिर से दूर हो गया; लेकिन फिर, जैसे कि एक भयानक विस्फोट ने उसकी सुनवाई को मारा, और इन ध्वनियों के साथ उसने धुआं देखा, किसी का खून, और फ्रांसीसी के भयभीत चेहरे, पोस्ट पर फिर से कुछ कर रहे थे, एक दूसरे को कांपते हाथों से धक्का दे रहे थे। पियरे, भारी साँस लेते हुए, अपने चारों ओर देखा, मानो पूछ रहा हो: यह क्या है? पियरे के सभी लुक में यही सवाल था।