बच्चों के लिए एंटीपीयरेटिक्स एक बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियां होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की जरूरत होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
सुनहरे खंड के सिद्धांत के अनुसार बनाए गए आयत से एक भुजा वाले वर्ग को काटकर, हमें उसी संपत्ति के साथ एक नया, घटा हुआ आयत मिलता है
स्वर्ण अनुभाग (सुनहरा अनुपात, चरम और औसत अनुपात में विभाजन, हार्मोनिक विभाजन, फिदियास संख्या) - एक निरंतर मात्रा का विभाजन ऐसे अनुपात में होता है जिसमें बड़ा हिस्सा छोटे से संबंधित होता है, क्योंकि पूरी मात्रा अधिक से अधिक होती है। उदाहरण के लिए, एक खंड का विभाजन एसीदो भागों में ताकि इसका अधिकांश भाग अबछोटे का है रविपूरे खंड की तरह एसीका अर्थ है अब(यानी | अब| / |रवि| = |एसी| / |अब|).
यह अनुपात आमतौर पर ग्रीक अक्षर ϕ (पदनाम τ भी पाया जाता है) द्वारा निरूपित किया जाता है। यह इसके बराबर है:
उपरोक्त अनुपात को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के जोड़े देते हुए, "गोल्डन हार्मोनीज़" का सूत्र:
संख्या के मामले में, पैरामीटर एम = 1.
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, चरम और औसत अनुपात में खंड का विभाजन (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों (सी. 300 ई.पू.) में पाया जाता है, जहां इसका उपयोग नियमित पेंटागन बनाने के लिए किया जाता है।
सीपूर्वाह्नशब्द "गोल्डन सेक्शन"गोल्डनर श्नीट) 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा पेश किया गया था।
गणितीय गुण
पांच-नुकीले तारे में सुनहरा अनुपात
— तर्कहीनबीजगणितीय संख्या, निम्नलिखित में से किसी भी समीकरण का सकारात्मक समाधान
एक निरंतर अंश के रूप में प्रतिनिधित्व किया
के लिए जिसके उपयुक्त अंश क्रमागत फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात हैं। इस प्रकार, 
.
एक नियमित पांच-नुकीले तारे में, प्रत्येक खंड को उस खंड द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसे सुनहरे अनुपात में काटता है (अर्थात, नीले खंड का हरे रंग से अनुपात, लाल से नीले रंग की तरह, हरे से बैंगनी की तरह, बराबर होता है)।
स्वर्ण खंड का निर्माण
यहाँ एक और दृष्टिकोण है:
ज्यामितीय निर्माण
गोल्डन सेक्शन कट अबनिम्नानुसार बनाया जा सकता है: बिंदु पर बीके लिए लंबवत पुनर्स्थापित किया गया अब, उस पर एक खंड रखना ईसा पूर्वआधे के बराबर अब, खंड पर एसीकटौती स्थगित करें विज्ञापन, के बराबर एसी − सीबी, और अंत में, खंड पर अबकटौती स्थगित करें ऐ, के बराबर विज्ञापन. तब
स्वर्ण अनुपात और सद्भाव
यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि "गोल्डन सेक्शन" वाली वस्तुओं को लोगों द्वारा सबसे अधिक सामंजस्यपूर्ण माना जाता है। तूतनखामेन के मकबरे से चेप्स, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के पिरामिड के अनुपात से कथित तौर पर संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे खंड के अनुपात का उपयोग किया था। आर्किटेक्ट ले कॉर्बूसियर ने "पाया" कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे अनुपात के अनुरूप हैं। वास्तुकार हेसिरा, जिसे उनके नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, में मापने के उपकरण हैं जिनमें सुनहरे खंड के अनुपात तय किए गए हैं। पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया गया था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण मंडल आदि के अनुपात भी शामिल हैं।
कला में "गोल्डन सेक्शन"
सुनहरा अनुपात और दृश्य केंद्र
लियोनार्डो दा विंची के बाद से, कई कलाकारों ने सचेत रूप से "स्वर्ण खंड" के अनुपात का उपयोग किया है।
यह ज्ञात है कि सर्गेई ईसेनस्टीन ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार कृत्रिम रूप से फिल्म बैटलशिप पोटेमकिन का निर्माण किया था। उसने टेप को पांच भागों में तोड़ दिया। पहले तीन में, जहाज पर कार्रवाई होती है। पिछले दो में - ओडेसा में, जहां विद्रोह सामने आ रहा है। शहर में यह परिवर्तन बिल्कुल सुनहरे अनुपात के बिंदु पर होता है। हाँ, और प्रत्येक भाग में एक मोड़ है, जो सुनहरे खंड के नियम के अनुसार होता है। फ्रेम, दृश्य, एपिसोड में, विषय के विकास में एक निश्चित छलांग है: कथानक, मनोदशा। ईसेनस्टीन का मानना था कि, चूंकि इस तरह का संक्रमण सुनहरे खंड बिंदु के करीब है, इसलिए इसे सबसे प्राकृतिक और प्राकृतिक माना जाता है।
फिल्म कला में स्वर्ण अनुपात नियम के उपयोग का एक और उदाहरण विशेष बिंदुओं पर फ्रेम के मुख्य घटकों का स्थान है - "दृश्य केंद्र"। अक्सर चार बिंदुओं का उपयोग किया जाता है, जो समतल के संबंधित किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित होते हैं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त उदाहरणों में, "गोल्डन सेक्शन" का अनुमानित मूल्य दिखाई दिया: यह सत्यापित करना आसान है कि न तो 3/2 और न ही 5/3 गोल्डन सेक्शन के मान के बराबर है।
रूसी वास्तुकार ज़ोल्तोव्स्की ने भी सुनहरे अनुपात का इस्तेमाल किया।
सुनहरे अनुपात की आलोचना
ऐसी राय है कि कला, वास्तुकला और प्रकृति में स्वर्ण खंड का महत्व अतिशयोक्तिपूर्ण है और गलत गणनाओं पर आधारित है।
आयतों के इष्टतम पहलू अनुपात (कागज A0 और गुणकों की शीट के आकार, फोटोग्राफिक प्लेटों के आकार (6:9, 9:12) या फिल्म फ्रेम (अक्सर 2:3), फिल्म और टेलीविजन स्क्रीन के आकार के बारे में चर्चा करते समय - उदाहरण के लिए , 3:4 या 9:16 ) का विभिन्न तरीकों से परीक्षण किया गया। ऐसा पता चला कि ज्यादातर लोग सोना नहीं समझते हैंअनुभाग इष्टतम के रूप में और इसके अनुपात को "बहुत लम्बा" मानता है।
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सुनहरा अनुपात
1. परिचय 2 . स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
3
. दूसरा सुनहरा अनुपात
4। Zo कमल त्रिकोण (पेंटाग्राम)
5
.
स्वर्ण खंड का इतिहास
6
. सुनहरा अनुपात और समरूपता 7. फाइबोनैचि श्रृंखला 8 . सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात
9
. प्रकृति में गठन के सिद्धांत
1
0
. मानव शरीर और सुनहरा अनुपात
1
1
. मूर्तिकला में स्वर्ण अनुपात
1
2
. वास्तुकला में सुनहरा अनुपात
1
3
. संगीत में सुनहरा अनुपात
1
4
. कविता में स्वर्णिम अनुपात
1
5
. फोंट और घरेलू सामानों में सुनहरा अनुपात
1
6
. पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर
1
7
. पेंटिंग में सुनहरा अनुपात
1
8
.
गोल्डन अनुपात और छवि धारणा
19.
तस्वीरों में सुनहरा अनुपात
2
0
. स्वर्ण अनुपात और स्थान 2 1। निष्कर्ष 2 2 . ग्रन्थसूची
परिचय
प्राचीन काल से, लोग इस सवाल के बारे में चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं।.
बेशक, सुंदरता के सभी नियम कुछ सूत्रों में समाहित नहीं हो सकते, लेकिन गणित का अध्ययन करके हम सुंदरता के कुछ शब्दों की खोज कर सकते हैं।- सुनहरा अनुपात.
हमारा काम यह पता लगाना है कि सुनहरा अनुपात क्या है और यह स्थापित करना है कि मानवता ने सोने का उपयोग कहाँ पाया है।वें खंड। आपने शायद इस तथ्य पर ध्यान दिया है कि हम वस्तुओं और आसपास की वास्तविकता की घटनाओं को अलग तरह से मानते हैं। विकार, निराकारता, अनुपातहीनता को हम कुरूप समझते हैं और प्रतिकारक प्रभाव उत्पन्न करते हैं। और वस्तुओं और परिघटनाओं को माप, समीचीनता और सामंजस्य की विशेषता के रूप में सुंदर माना जाता है और हमें प्रशंसा, आनंद, उत्साह की भावना पैदा करता है।
अपनी गतिविधि में एक व्यक्ति लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो सुनहरे अनुपात को आधार के रूप में उपयोग करते हैं।ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच के पास आकर उस पर बैठ जाएं। कहाँ बैठोगे - बीच में? या शायद बहुत किनारे से? नहीं, सबसे अधिक संभावना एक या दूसरे नहीं। आप इस तरह बैठेंगे कि आपके शरीर के सापेक्ष बेंच के एक हिस्से का दूसरे से अनुपात लगभग 1.62 होगा। एक साधारण सी बात, बिलकुल सहज... एक बेंच पर बैठकर आपने एक "सुनहरा अनुपात" तैयार किया। सुनहरे अनुपात को वापस ज्ञात किया गया था प्राचीन मिस्रऔर बाबुल, भारत और चीन। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त विद्यालय बनाया जहाँ "स्वर्ण खंड" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति और फिडियास - उनकी अमर मूर्तियां बनाईं। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्मांड "स्वर्ण खंड" के अनुसार व्यवस्थित है। और अरस्तू ने नैतिक कानून के "सुनहरे खंड" के पत्राचार को पाया। लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार करेंगे, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी अपने मठों की दीवारों पर "गोल्डन सेक्शन" के पेंटाग्राम खींचेंगे, जो शैतान से बचेंगे। वहीं, वैज्ञानिक - पचो सेएल और आइंस्टीन से पहले - वे खोजेंगे, लेकिन इसका सटीक अर्थ कभी नहीं खोज पाएंगे। दशमलव बिंदु के बाद एक अंतहीन श्रृंखला - 1.6180339887... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय चीज: यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "सुनहरा खंड" क्या है। लेकिन आप निश्चित रूप से इस अनुपात को समुद्र के गोले के वक्रों में, और फूलों के रूप में, और भृंगों के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। सब कुछ जीवित और सब कुछ सुंदर - सब कुछ ईश्वरीय नियम का पालन करता है, जिसका नाम "सुनहरा खंड" है। तो "सुनहरा खंड" क्या है?.. यह आदर्श, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटनाया नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है। अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "गोल्डन सेक्शन" वह और दूसरा, और तीसरा दोनों है। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में ... और यही उनका सच्चा रहस्य है, उनका महान रहस्य है।
सुंदरता के एक वस्तुनिष्ठ मूल्यांकन के लिए एक विश्वसनीय उपाय खोजना शायद मुश्किल है, और यहाँ केवल तर्क से काम नहीं चलेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव जिनके लिए सुंदरता की खोज जीवन का अर्थ था, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया, यहाँ मदद मिलेगी। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये भी सटीक विज्ञान के लोग हैं - सबसे पहले, गणितज्ञ।
अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, एक व्यक्ति ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। पूरे में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक दूसरे से और पूरे से एक निश्चित संबंध में होते हैं।स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।
गोल्डन सेक्शन - हार्मोनिक अनुपात
गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है: a: b = c: d।
रेखाखंड AB को निम्न प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
--
दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
--
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);
--
इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी।
आखिरी वाला गोल्डन डिवीजन है.
सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा हर चीज से संबंधित है
ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।
बिंदु B से, आधा AB के बराबर एक लंब को पुनर्स्थापित किया जाता है। परिणामी बिंदु C बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान हैं अक्सर इस्तमल होता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा भाग 38 भाग है।
सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:एक्स 2 - एक्स - 1 = 0। इस समीकरण का हल:
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दूसरा स्वर्ण खंड बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" ने Tsvetan Tsekov-Karandash "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" का एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44: 56 का एक और अनुपात देता है। यह अनुपात वास्तु शास्त्र में पाया जाता है। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा से जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले चौराहे तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E, खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है। यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड की रेखा के बीच में स्थित है और मध्य पंक्तिआयत। स्वर्ण त्रिकोण आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं। पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको नियमित पेंटागन बनाना होगा। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठा हुआ, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर CE = ED खंड को चिह्नित करें। एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित पेंटागन की एक भुजा की लंबाई DC है। हम खंड डीसी को सर्कल पर सेट करते हैं और एक नियमित पंचकोण बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचकोण के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है। सरल रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर तीन बार मनमाना आकार का एक खंड O बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB के लिए एक लंबवत रेखा खींचते हैं, बिंदु P के दाईं और बाईं ओर हम खंड O को हटा देते हैं। परिणामी बिंदु बिंदु डी और डी 1 बिंदु ए के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। हम खंड डीडी 1 को लाइन एडी 1 पर रखते हैं, बिंदु सी प्राप्त करते हैं। उन्होंने सुनहरे अनुपात के अनुपात में लाइन एडी 1 को विभाजित किया। Ad1 और dd1 पंक्तियों का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है। स्वर्ण खंड का इतिहास
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि प्राचीन ग्रीक दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्ण विभाजन के अपने ज्ञान को मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स, मंदिरों, घरेलू सामानों और सजावट के पिरामिड के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। वास्तुकार खेसिरा, जो अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर दर्शाया गया है, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं। यूनानी कुशल ज्यामिति थे। यहाँ तक कि अंकगणित भी उनके बच्चों को ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार था। प्लेटो भी स्वर्ण मंडल के बारे में जानता था। प्लेटो के इसी नाम के डायलॉग में पाइथागोरसियन टिमियस कहते हैं: "दो चीजों के लिए तीसरे के बिना पूरी तरह से जुड़ा होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक ऐसी चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखे। यह सबसे अच्छा अनुपात द्वारा किया जा सकता है, क्योंकि अगर तीन संख्याओं में यह गुण है कि औसत जितना छोटा है उतना ही मध्य में बड़ा है, और इसके विपरीत, माध्य जितना छोटा है उतना माध्य बड़ा है, तो अंतिम और पहला मध्य होगा, और मध्य पहला और आखिरी। चूंकि यह वही होगा, यह एक पूर्ण बना देगा। प्लेटो दो प्रकार के त्रिभुजों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण करता है: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज को वह मानता है जिसमें कर्ण सबसे छोटे पैरों से दोगुना बड़ा होता है (ऐसी आयत आधा समबाहु होती है, बेबीलोनियों की मुख्य आकृति, इसमें 1: 3 का अनुपात होता है) 1/2 , जो सुनहरे अनुपात से लगभग 1/25 भिन्न है, और थाइमरडिंग द्वारा इसे "सुनहरे अनुपात का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिभुजों का उपयोग करते हुए, प्लेटो चार नियमित पॉलीहेड्रा बनाता है, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) से जोड़ता है। और केवल पाँच में से अंतिम विद्यमान है नियमित पॉलीहेड्रा- डोडेकाहेड्रॉन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, स्वर्गीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।
इकोसैहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन डोडकाहेड्रॉन (या, जैसा कि माना जाता था, ब्रह्मांड ही, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, क्रमशः, टेट्राहेड्रॉन, ऑक्टाहेड्रॉन, आईकोसैहेड्रोन और क्यूब द्वारा प्रतीक) की खोज का सम्मान हिप्पसस से संबंधित है, जो बाद में एक जहाज़ की तबाही में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में स्वर्ण खंड के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाले को स्वर्गीय दुनिया में मुख्य भूमिका सौंपी गई, जिस पर बाद में नाबालिग भाई लुका पैसिओली ने जोर दिया। पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया गया था। पोम्पीयन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण मंडल के अनुपात भी शामिल हैं। प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है. यूक्लिड के बाद, हाइपसिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण विभाजन का अध्ययन किया। मध्ययुगीन यूरोपवे यूक्लिड के "शुरुआत" के अरबी अनुवादों से सुनहरे विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैंपानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को सख्ती से रखा गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे। मध्य युग में, पेंटाग्राम को दानव बना दिया गया था (जैसा कि, वास्तव में, बहुत कुछ जिसे प्राचीन बुतपरस्ती में दैवीय माना जाता था) और गुप्त विज्ञान में आश्रय पाया। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इसलिए, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे के उस काल में व्यापक प्रचलन प्राप्त किया: लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन। इसकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, महानतम गणितज्ञफिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1496 में, मोरो के ड्यूक के निमंत्रण पर, वह मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली की पुस्तक "ऑन डिवाइन प्रॉपोर्शन" (डी डिविना प्रॉपोरियोन, 1497, 1509 में वेनिस में प्रकाशित) को शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और अद्वितीयता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात एक सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता है और हर चीज में और उसके प्रत्येक भाग में सब कुछ का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए सुनहरा अनुपात (भले ही वह बड़ा या छोटा हो) समान है, इसे बदला नहीं जा सकता है या अन्यथा मन द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण होने का आह्वान किया, जिसे अन्यथा पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि) और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ होने का आह्वान किया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमाईस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे एक शरीर के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है जिसे डोडेकाहेड्रॉन कहा जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।
लियोनार्डो दा विंची ने भी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर ज्यादा ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात वाले आयत प्राप्त किए। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है। उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहा था। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो जानता है कि इसे दूसरों को कैसे सिखाया जाए, जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही वह है जो मैंने करने के लिए निर्धारित किया है।" ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पैसिओली से मिला। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर विस्तार से मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विकसित करता है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि से। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर। 16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने सुनहरे अनुपात को जारी रखने का आह्वान किया। उन्होंने लिखा, "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगले कार्यकाल, और वही अनुपात अनंत तक रहता है"। सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और कमी (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में किया जा सकता है। यदि मनमाना लंबाई की एक सीधी रेखा पर, खंड m को अलग करें, तो हम खंड M को अलग करते हैं। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर निकाल दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में फिर से सुनहरा खंड "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने अपना काम "सौंदर्यशास्त्र अनुसंधान" प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया। ज़ीज़िंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण सूचक है। पुरुष शरीर के अनुपात में 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव होता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि। ज़ाइज़िंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपातों को सबसे विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, वास्तु संरचनाओं का अध्ययन किया गया विभिन्न युग, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि यह रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त हुए, ज़ीज़िंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा में और दूसरी दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में गोल्डन डिवीजन" की हकदार थी। 1876 में, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीज़िंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने शुरुआती यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है। XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा। स्वर्णिम अनुपात और समरूपता समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना। स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थैतिक और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता आंदोलन, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है। फिबोन रो ए एफ एच और
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को अरबी अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनकी गणितीय कृति द बुक ऑफ द एबैकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुई, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात में आता है। इसलिए, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह अनुपात प्रतीक Ф द्वारा दर्शाया गया है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाकर या इसे अनंत तक कम कर देता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ है। जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, उंगली के प्रत्येक पोर की लंबाई अगले पोर की लंबाई से F-अनुपात में संबंधित है। सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में समान संबंध देखा जाता है। यह कनेक्शन किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली दूसरे की तुलना में बिना किसी दृश्य पैटर्न के लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है - जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। उंगलियों पर दूरी, ए से बी से सी से डी से ई तक चिह्नित, सभी एफ अनुपात में एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे कि एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।
इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह ही F अनुपात मॉडल में फिट बैठती है।
सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं के सिद्धांत और सुनहरे अनुपात को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके 10 हल करता है- यू हिल्बर्ट की समस्या। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है। इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है। उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वेट 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला, पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक-दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग 2 = 1 + 1 है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "बाइनरी" श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या हो सकता है कि यह सूत्र हमें कुछ नए के साथ नए संख्यात्मक सेट दे अद्वितीय गुण? दरअसल, चलिए एक संख्यात्मक पैरामीटर एस सेट करते हैं, जो किसी भी मान को ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले एक से एस चरणों से अलग। अगर nवाँ पदइस श्रृंखला द्वारा चिह्नित किया जाएगाएस (एन), तो हम प्राप्त करते हैं सामान्य सूत्र? एस (एन) = ? एस (एन - 1) + ? एस (एन - एस - 1)। स्पष्ट रूप से, S = 0 के साथ, इस सूत्र से हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, S = 1 के साथ - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, जिसमें S = 2, 3, 4. संख्याओं की नई श्रृंखला, जिन्हें S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगोल्डन एस-अनुपात गोल्डन एस-सेक्शन समीकरण x का सकारात्मक मूल हैएस+1 - एक्स एस - 1 = 0। यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, आधे में खंड का विभाजन प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड। पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्या के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-नंबर्स के न्यूमेरिकल इनवेरिएंट हैं। प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. सोरोको "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में। यह पता चला है, उदाहरण के लिए, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुण होते हैं (तापीय रूप से स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्व एक दूसरे से संबंधित हों गोल्डन एस-अनुपातों में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना तालमेल के विकास के लिए मूलभूत महत्व की हो सकती है - नया क्षेत्रविज्ञान जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है। गोल्डन एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक वाले गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एन्कोडिंग संख्याओं की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे S-अनुपात हैं, S> 0 के लिए अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि थीं, तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" कर देती हैं। तथ्य यह है कि पहले प्राकृतिक संख्या "खोजी" गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मूलभूत सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया। नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार एक नया, अपरिमेय प्रणाली है, जो मूलभूत सिद्धांत के रूप में है, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं। ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृतिक संख्याहमेशा परिमित के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री का योग। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है। प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बना, विकसित हुआ, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने के लिए प्रयासरत रहा। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में प्राप्त होती है - ऊपर की ओर विकास या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना। खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे प्रकट करते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे से दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है।सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में नहीं कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी। सर्पिल रूप से मुड़ी हुई खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचा गया सर्पिल उसी के नाम से पुकारा जाता है। उसके कदमों की वृद्धि सदैव एकसमान होती है। वर्तमान में, इंजीनियरिंग में आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ों की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी।
सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन कोन, अनानास, कैक्टि, आदि में सर्पिल देखा गया था। वनस्पति विज्ञानियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस) पर पत्तियों की व्यवस्था में, सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, स्वर्ण खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान सर्पिल हो रहा है। हिरन का डरा हुआ झुंड सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। Zo सुनहरा सर्पिल चक्रों से निकटता से संबंधित है। आधुनिक विज्ञानअराजकता के बारे में सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न रूपों का अध्ययन करता है, जो पहले अज्ञात थे। चित्र 6 में प्रसिद्ध मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को दिखाया गया है, जो जूलियन श्रृंखला कहे जाने वाले अलग-अलग पैटर्न के अनंत शब्दकोश से एक पृष्ठ है। कुछ विद्वान मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को इससे जोड़ते हैं जेनेटिक कोडकोशिका नाभिक। खंडों में लगातार वृद्धि से उनकी कलात्मक जटिलता में अद्भुत फ्रैक्टल का पता चलता है। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह सब अधिक महत्वपूर्ण है क्योंकि मैंडलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों ही मानव मन की खोज नहीं हैं। वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के दायरे से उत्पन्न होते हैं। जैसा कि डॉक्टर आर पेनरोस ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं।" सर्पिल चक्रों से निकटता से जुड़ा हुआ है। अराजकता का आधुनिक विज्ञान सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न फ्रैक्टल का अध्ययन करता है।
सड़क के किनारे की जड़ी-बूटियों के बीच, एक निश्छल पौधा उगता है - कासनी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।
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| चावल। . कासनी |
एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आँखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।
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| चावल। . जरायुज छिपकली |
पक्षी के अंडों के ऐसे रूप आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे खंड के अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के खोल की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।
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| चावल। . पक्षी का अंडा |
हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों के लिए काफी सुलभ हैं।
अति सुंदर सुंदरता के सभी आंकड़े जो बर्फ के टुकड़े, सभी कुल्हाड़ियों, मंडलियों और ज्यामितीय आकृतियों को बनाते हैं, वे भी हमेशा बिना किसी अपवाद के, सुनहरे खंड के पूर्ण स्पष्ट सूत्र के अनुसार निर्मित होते हैं।
सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणक रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक आईकोसाहेड्रॉन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन कोट बना होता है 252 इकाइयों की प्रोटीन कोशिकाएं एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित होती हैं। आइकोसैहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ होती हैं, और इन कोनों से स्पाइक जैसी संरचनाएँ निकलती हैं।
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| एडेनो वायरस |
क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर एक अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: एक सूक्ष्म जीव की संरचना में भी, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं। इस मामले मेंवायरस में, एक स्पष्ट इरादा और एक उचित डिजाइन 16 है। यह परियोजना लोगों द्वारा बनाई गई सबसे उन्नत वास्तुशिल्प परियोजनाओं के साथ अपनी पूर्णता और निष्पादन की सटीकता में अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, शानदार वास्तुकार बकमिंस्टर फुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएं। डोडकाहेड्रॉन और आईकोसाहेड्रॉन के त्रि-आयामी मॉडल भी एककोशिकीय समुद्री सूक्ष्मजीव रेडिओलेरियन (बीमर्स) के कंकाल की संरचना में मौजूद हैं, जिनमें से कंकाल सिलिका से बना है। Radiolarians एक बहुत ही उत्तम, असामान्य सुंदरता का अपना शरीर बनाते हैं। उनका आकार एक नियमित द्वादशफलक है। इसके अलावा, छद्म-विस्तार-अंग और अन्य असामान्य रूप-विकास इसके प्रत्येक कोने से बढ़ते हैं। महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया। हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है। "गोल्डन" समरूपता की नियमितता प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होती है। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिएथम्स और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं। मानव शरीर और स्वर्ण खंड सभी मानव हड्डियाँ सुनहरे खंड के अनुपात में होती हैं।
हमारे शरीर के विभिन्न भागों के अनुपात एक संख्या बनाते हैं जो सुनहरे अनुपात के बहुत करीब है। यदि ये अनुपात सुनहरे अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है।
यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो व्यक्ति की ऊंचाई 1.618 की संख्या के बराबर होती है।
कंधे के स्तर से सिर के मुकुट तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है
नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक की दूरी और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 होती है
ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका तक की दूरी 1:1.618 है
दरअसल, किसी व्यक्ति के चेहरे में सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति ही मानवीय आंखों के लिए सुंदरता का आदर्श है।
ठोड़ी की नोक से भौंहों की शीर्ष रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
चेहरे की ऊंचाई / चेहरे की चौड़ाई
नाक के आधार / नाक की लंबाई के लिए होठों के जंक्शन का केंद्र बिंदु।
चेहरे की ऊंचाई / ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी
मुंह की चौड़ाई / नाक की चौड़ाई
नाक की चौड़ाई / नासिका छिद्रों के बीच की दूरी
पुतली दूरी / भौंह दूरी अब बस अपनी हथेली को अपने पास लाने के लिए और अपनी तर्जनी को ध्यान से देखने के लिए पर्याप्त है, और आपको तुरंत इसमें गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला मिल जाएगा।
हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली में तीन फालेंज होते हैं। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो फालंजों का योग स्वर्ण खंड संख्या (अंगूठे के अपवाद के साथ) देता है।
इसके अलावा मध्यमा और कनिष्ठिका के बीच का अनुपात भी होता हैसुनहरा अनुपातएक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियों में 3 फालेंज होते हैं (अंगूठे के अपवाद के साथ)। प्रत्येक हाथ में 5 अंगुलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो अंगुलियों के दो अंगुलियों के अपवाद के साथ, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएं 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएं हैं।
यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर लोगों में फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी ऊंचाई के बराबर होती है। सुनहरे अनुपात की सच्चाई हमारे भीतर और हमारे भीतर हैअंतरिक्ष
किसी व्यक्ति के फेफड़े बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रोंची दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बाएं) लंबी होती है और दूसरी (दाएं) छोटी होती है।
यह पाया गया कि यह विषमता ब्रोंची की शाखाओं में, सभी छोटे वायुमार्गों में जारी है।
इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रोंची की लंबाई का अनुपात भी सुनहरा अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।
में भीतरी कानमनुष्य का एक अंग होता हैकोक्लीअ ("घोंघा"), जो ध्वनि कंपन को प्रसारित करने का कार्य करता है। यह हड्डी जैसी संरचना द्रव से भरी होती है और घोंघे के रूप में भी बनाई जाती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणकीय सर्पिल आकार = 73 होता है? 43"। हृदय के धड़कने के साथ रक्तचाप में परिवर्तन होता है। यह अपने संकुचन (सिस्टोल) के समय हृदय के बाएं वेंट्रिकल में अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुँच जाता है। दिल के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा, स्वस्थ व्यक्ति में रक्तचाप 115-125 मिमी एचजी के बराबर अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) के विश्राम के क्षण में, दबाव घटकर 70-80 मिमी एचजी हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) से न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, जो कि सुनहरे अनुपात के करीब है।यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 है, और डायस्टोलिक रक्तचाप 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में दिल का काम एक ही सिद्धांत के अनुसार अनुकूलित किया जाता है - सुनहरे अनुपात का नियम।
डीएनए अणु में दो लंबवत जुड़े हुए हेलिक्स होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल 34 एंग्स्ट्रॉम लंबा और 21 एंग्स्ट्रॉम चौड़ा है। (1 एंग्स्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ मिलियनवां हिस्सा है)। डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना
तो 21 और 34 फाइबोनैचि संख्याओं के क्रम में एक के बाद एक संख्याएं हैं, यानी डीएनए अणु के लॉगरिदमिक हेलिक्स की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला 1: 1.618 रखता है।
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मूर्तिकला में स्वर्ण खंड
प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कर्मों के वंशजों की याद में संरक्षित करने के लिए, महत्वपूर्ण घटनाओं को बनाए रखने के लिए मूर्तिकला संरचनाएं, स्मारक बनाए गए हैं। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों का संबंध स्वर्ण खंड के सूत्र से जुड़ा था। "सुनहरे खंड" के अनुपात सौंदर्य के सामंजस्य का आभास देते हैं, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने कामों में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर पूर्ण मानव शरीर को "स्वर्ण खंड" के संबंध में विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडेरे की प्रसिद्ध मूर्ति में सुनहरे अनुपात से विभाजित भाग होते हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फिदियास अक्सर अपने कार्यों में "स्वर्ण खंड" का उपयोग करते थे। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़्यूस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनोस की मूर्ति थी।  अपोलो बेल्वेडियर की प्रतिमा का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई गर्भनाल रेखा द्वारा स्वर्ण खंड में विभाजित है।  |
वास्तुकला में स्वर्ण खंड
"सुनहरे खंड" पर पुस्तकों में कोई टिप्पणी पा सकता है कि वास्तुकला में, चित्रकला के रूप में, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और अगर एक तरफ एक इमारत में कुछ अनुपात "सुनहरा खंड" बनाते हैं, तब अन्य बिंदुओं से देखने पर वे भिन्न दिखाई देंगे। "गोल्डन सेक्शन" निश्चित लंबाई के आकार का सबसे अधिक आराम का अनुपात देता है।
पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) प्राचीन ग्रीक वास्तुकला के सबसे सुंदर कार्यों में से एक है।
  आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। इमारत के अनुपात को संख्या Ф = 0.618 की विभिन्न डिग्री के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ... पार्थेनॉन में छोटी भुजाओं पर 8 स्तंभ और लंबी भुजाओं पर 17 स्तंभ हैं। कगार पूरी तरह से पेंटाइल मार्बल के वर्गों से बने हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था, उसके बड़प्पन ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम है, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई का इसकी लंबाई से अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मोहरा के कुछ फैलाव मिलेंगे। पार्थेनन के फर्श की योजना पर, आप "सुनहरी आयतें" भी देख सकते हैं:  हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डे पेरिस) की इमारत में और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं:   न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; मैक्सिकन पिरामिड में भी यही घटना पाई जाती है। लंबे समय तक यह माना जाता था कि प्राचीन रस के वास्तुकारों ने बिना किसी विशेष गणितीय गणना के सब कुछ "आंख से" बनाया था। हालाँकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी आर्किटेक्ट गणितीय अनुपातों को अच्छी तरह से जानते थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है। प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम। काजाकोव ने अपने काम में व्यापक रूप से "गोल्डन सेक्शन" का इस्तेमाल किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन काफी हद तक उन्होंने आवासीय भवनों और सम्पदा की कई पूर्ण परियोजनाओं में खुद को प्रकट किया। उदाहरण के लिए, क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में "सुनहरा खंड" पाया जा सकता है। एम। काजाकोव की परियोजना के अनुसार, मास्को में गोलित्सिन अस्पताल बनाया गया था, जिसे वर्तमान में एन.आई. के नाम पर पहला क्लिनिकल अस्पताल कहा जाता है। पिरोगोव ( लेनिन्स्की प्रॉस्पेक्ट, डी।  मास्को में पेट्रोव्स्की पैलेस। एम.एफ की परियोजना के अनुसार निर्मित। काजाकोव।  मॉस्को की एक और वास्तुशिल्प कृति - पशकोव हाउस - वी। बाजेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है।  V. Bazhenov की अद्भुत रचना ने आधुनिक मास्को के केंद्र के कलाकारों की टुकड़ी में मजबूती से प्रवेश किया, इसे समृद्ध किया। 1812 में बुरी तरह जल जाने के बावजूद इस घर का बाहरी स्वरूप आज तक लगभग अपरिवर्तित रहा है। बहाली के दौरान, इमारत ने अधिक विशाल रूपों का अधिग्रहण किया। इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जो केवल निचली मंजिल की ड्राइंग से पता चलता है। आर्किटेक्ट के कई कथन आज ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी. बाजेनोव ने कहा: "आर्किटेक्चर के तीन मुख्य विषय हैं: सुंदरता, शांति और इमारत की ताकत ... इसे प्राप्त करने के लिए, अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान सामान्य रूप से एक गाइड के रूप में कार्य करता है, और सभी उनमें से एक आम नेता कारण है।" |
संगीत के किसी भी टुकड़े की एक समय अवधि होती है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" में अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर एक संगीत कार्य के गतिशील और अंतराष्ट्रीय परिणति बिंदु हो सकते हैं। एक "जलवायु घटना" से जुड़े संगीत के एक टुकड़े के अलग-अलग समय अंतराल, एक नियम के रूप में, गोल्डन अनुपात के अनुपात में हैं।
1925 में वापस, कला इतिहासकार एलएल सबनीव ने 42 लेखकों द्वारा 1770 संगीत कार्यों का विश्लेषण करते हुए दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से या तो विषय, या स्वर, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो प्रत्येक के संबंध में हैं अन्य। सुनहरा अनुपात। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली होगा, उतना ही अधिक होगा अधिकउनके कार्यों में सुनहरे खंड पाए गए। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना के एक विशेष सामंजस्य की छाप देता है। यह परिणाम सभी 27 चोपिन दृष्टिकोणों पर सबनीव द्वारा सत्यापित किया गया था। उनमें उन्हें 178 स्वर्ण खंड मिले। उसी समय, यह पता चला कि न केवल एट्यूड्स के बड़े हिस्से को गोल्डन सेक्शन के संबंध में अवधि से विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के एट्यूड्स के हिस्सों को अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।
संगीतकार और वैज्ञानिक एम. ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध सोनाटा "अप्पसियोनाटा" में उपायों की संख्या की गणना की और कई दिलचस्प संख्यात्मक अनुपात पाए। विशेष रूप से, विकास में - सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषय गहन रूप से विकसित होते हैं और कुंजियाँ एक दूसरे की जगह लेती हैं - दो मुख्य खंड होते हैं। पहले में 43.25 बार हैं, दूसरे में 26.75 हैं। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 सुनहरा अनुपात देता है।
अर्न्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शूबर्ट (91%) के पास सबसे बड़ी संख्या में काम हैं जिनमें गोल्डन सेक्शन मौजूद है।
यदि संगीत ध्वनियों का सामंजस्यपूर्ण क्रम है, तो कविता भाषण का सामंजस्यपूर्ण क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। कविता में सुनहरा अनुपात मुख्य रूप से कविता के एक निश्चित क्षण की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है (चरमोत्कर्ष, शब्दार्थ मोड़, मुख्य विचारकाम करता है) सुनहरे अनुपात में कविता की कुल पंक्तियों की संख्या के विभाजन बिंदु के कारण पंक्ति में। इसलिए, यदि कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्ण खंड का पहला बिंदु 62 वीं पंक्ति (62%), दूसरा - 38 वें (38%), आदि पर पड़ता है। "यूजीन वनगिन" सहित अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की रचनाएँ - सुनहरे अनुपात का बेहतरीन पत्राचार! शोता रुस्तवेली और एम.यूयू की रचनाएँ। लेर्मोंटोव भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत पर बने हैं।
Stradivarius ने लिखा है कि की मदद से
स्वर्णिम अनुपात, उन्होंने इसके लिए स्थानों का निर्धारण कियाएफ उनके प्रसिद्ध वायलिन के शरीर पर आकार के कटआउट। कविता में स्वर्ण खंड पुश्किन की कविता इन पदों से काव्य कृतियों का अध्ययन अभी शुरू ही हुआ है। और आपको ए एस पुष्किन की कविता से शुरू करने की जरूरत है। आखिरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का एक उदाहरण हैं, जो उच्चतम स्तर के सामंजस्य का उदाहरण हैं। ए एस पुष्किन की कविता के साथ, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का उपाय। काव्य रचनाओं की संरचना में बहुत कुछ इस कला को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और अस्थिर सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप होता है - अपनी लय और माधुर्य। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, संगीत सद्भाव के पैटर्न और इसके परिणामस्वरूप, सुनहरा अनुपात दिखाई देगा। आइए कविता के आकार से शुरू करें, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या। ऐसा लगता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालांकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, कविताओं का विश्लेषण ए.एस. पुश्किन ने इस दृष्टिकोण से दिखाया कि छंदों का आकार बहुत असमान रूप से वितरित किया जाता है; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।
कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ संगीत के टुकड़ों की तरह होती हैं; उनके पास चरमोत्कर्ष बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की एक कविता पर विचार करें। पुश्किन "शोमेकर": एक मोची ने एक बार एक चित्र की तलाश की
और उसने जूतों में त्रुटि बताई;
कलाकार ने तुरंत कूची लेकर अपने आप को सुधारा,
यहाँ, अकीम्बो, मोची ने जारी रखा:
"मुझे लगता है कि चेहरा थोड़ा टेढ़ा है …
क्या वह छाती बहुत नग्न नहीं है?
यहाँ एपेल्स ने अधीरता से बाधित किया:
"जज, मेरे दोस्त, बूट के ऊपर नहीं!"
मेरे मन में एक दोस्त है:
मुझे नहीं पता कि यह कौन सा विषय है।
वह पारखी थे, हालांकि गैर-मौखिक रूप से सख्त थे,
लेकिन शैतान उसे प्रकाश का न्याय करने के लिए उठाता है:
जूतों को आंकने की कोशिश करें!
लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" को दो भागों में विभाजित किया गया है: कथावाचक को संबोधित एक परिचय और केवल एक श्लोक पर कब्जा कर लिया ("मुझे बताओ, चाचा, यह बिना कारण के नहीं है ..."), और मुख्य भाग, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है। जो दो समान भागों में विभाजित है। उनमें से पहले में, लड़ाई की उम्मीद को बढ़ते तनाव के साथ वर्णित किया गया है, दूसरे में - कविता के अंत की ओर तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ लड़ाई। इन भागों के बीच की सीमा काम का चरमोत्कर्ष है और इसे सुनहरे खंड से विभाजित करने के बिंदु पर आती है। कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ हैं, यानी 91 पंक्तियाँ। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618 = 56.238) से विभाजित करते हुए, हम सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु 57वें पद की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!"। यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित अपेक्षा के समापन बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (युद्ध की अपेक्षा) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का वर्णन) को खोलता है। इस प्रकार, कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करते हुए, कविता में सुनहरा अनुपात बहुत सार्थक भूमिका निभाता है। शोता रुस्तवेली की कविता शोता रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। जॉर्जियाई वैज्ञानिक शिक्षाविद् जी.वी. की कविता के ये गुण। Tsereteli कवि द्वारा कविता के रूप के निर्माण और उसकी कविताओं के निर्माण में कवि द्वारा सुनहरे अनुपात के सचेत उपयोग के लिए इसका श्रेय देता है। रुस्तवेली की कविता में 1587 श्लोक हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 शब्दांश होते हैं और प्रत्येक आधी पंक्ति में 8 अक्षरों के दो समान भागों में विभाजित होते हैं। सभी आधी पंक्तियों को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: A - समान खंडों वाली आधी रेखा और समान संख्या में शब्दांश (4 + 4); बी - एक विषम विभाजन के साथ दो असमान भागों (5 + 3 या 3 + 5) में एक अर्ध-रेखा। इस प्रकार, आधी रेखा B में, अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक अनुमान है।
यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में 1587 छंदों में से आधे से अधिक (863) स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार निर्मित हैं। हमारे समय में पैदा हुआ नई तरहकला - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग, संगीत की नाटकीयता को आत्मसात कर लिया। छायांकन के उत्कृष्ट कार्यों में स्वर्णिम खंड की अभिव्यक्तियों की तलाश करना वैध है। ऐसा करने वाले पहले विश्व सिनेमा की उत्कृष्ट कृति "बैटलशिप पोटेमकिन" के निर्माता, फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन थे। इस चित्र के निर्माण में, वह सद्भाव के मूल सिद्धांत - स्वर्णिम अनुपात को मूर्त रूप देने में सफल रहे। जैसा कि ईसेनस्टीन ने स्वयं नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत (फिल्म का अपॉजी बिंदु) के मस्तूल पर लाल झंडा सुनहरे अनुपात के बिंदु पर उड़ता है, जिसे फिल्म के अंत से गिना जाता है। फोंट और घरेलू वस्तुओं में स्वर्णिम अनुपात विशेष प्रकार दृश्य कलाप्राचीन ग्रीस को सभी प्रकार के जहाजों के निर्माण और पेंटिंग पर प्रकाश डालना चाहिए। सुरुचिपूर्ण रूप में, सुनहरे खंड के अनुपात का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।
मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, घरेलू सामानों पर, प्राचीन मिस्र के लोग अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित करते थे। एक खड़े व्यक्ति के चलने, बैठने आदि की छवि के सिद्धांत स्थापित किए गए थे। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों से अलग-अलग रूपों और छवियों की योजनाओं को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन ग्रीक कलाकारों ने कैनन का उपयोग करने का तरीका जानने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएँ कीं। बाहरी पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर ध्वनि आवाज़।
यह ज्ञात है कि दर्द का कारण बनने वाली ध्वनि की अधिकतम मात्रा 130 डेसिबल है।
यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो मानव चीख की प्रबलता के लिए विशिष्ट हैं।
यदि अब हम 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करें, तो हमें 50 डेसिबल प्राप्त होता है, जो मानव भाषण की प्रबलता के अनुरूप है।
अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को 2.618 के सुनहरे अनुपात के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसाहट से मेल खाता है।
इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।
हवा मैं नमी। 18-20® के तापमान पर, 40-60% की आर्द्रता सीमा इष्टतम मानी जाती है।
इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएं प्राप्त की जा सकती हैं यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को सुनहरे अनुपात से दो बार विभाजित किया जाए: 100 / 2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618 = 61.8% (ऊपरी सीमा)।
हवा का दबाव। 0.5 एमपीए के वायु दाब पर, एक व्यक्ति अप्रिय उत्तेजना का अनुभव करता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि बिगड़ जाती है। 0.3 - 0.35 एमपीए के दबाव में, केवल अल्पकालिक ऑपरेशन की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव पर, इसे 8 मिनट से अधिक समय तक काम करने की अनुमति नहीं है।
ये सभी विशेषता पैरामीटर सुनहरे अनुपात से जुड़े हुए हैं: 0.5 / 1.618 = 0.31 एमपीए; 0.5 / 2.618 = 0.19 एमपीए।
बाहर हवा का तापमान। बाहरी हवा के तापमान के सीमा पैरामीटर, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण, उत्पत्ति) संभव है, तापमान 0 से + (57-58) ® С तक है। जाहिर है, पहली सीमा पर स्पष्टीकरण देने की जरूरत नहीं है।
हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं। यह हमें दो सीमाएँ देता है:
दोनों सीमाएँ मानव शरीर के तापमान की विशेषता हैं: पहला तापमान से मेल खाता है दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी तापमान से मेल खाती है।पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन
पुनर्जागरण में वापस, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ ऐसे बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या लंबवत। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे समतल के संबंधित किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।
उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था। पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, कोई लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान नहीं दे सकता है। उनकी पहचान इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने खुद कहा: "कोई भी व्यक्ति जो गणितज्ञ नहीं है, मेरे कामों को पढ़ने की हिम्मत न करे।"
उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं किए गए कई आविष्कारों का अनुमान लगाया था।
इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, उनके समकालीनों ने पहले ही इसे पहचान लिया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने अपने विचारों की सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि कई हस्तलिखित रेखाचित्रों, नोट्स को भावी पीढ़ी के लिए छोड़ दिया। जो कहते हैं "दुनिया में हर कोई।"
उन्होंने अवैध लिखावट में और अपने बाएं हाथ से दाएं से बाएं लिखा। यह मौजूद दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।
मोना लिसा (जियोकोंडा) के चित्र ने कई वर्षों से शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया कि ड्राइंग की रचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है जो एक नियमित स्टार पेंटागन के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।
एक बार लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डी ले जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा के चित्र को चित्रित करने का आदेश मिला। महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपने रूप की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो एक चित्र बनाने के लिए सहमत हुए। उसका मॉडल उदास और दुखी था, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनने के बाद वह जीवंत और दिलचस्प हो गई।
परी कथा
एक बार की बात है एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन स्मार्ट, और उनमें से एक इधर-उधर। और फिर पिता के लिए मौत आ गई। अपने जीवन से अलग होने से पहले, उसने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: "मेरे बेटों, मैं जल्द ही मर जाऊंगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोंपड़ी को बंद कर दो और अपनी खुशी बनाने के लिए दुनिया के छोर पर चले जाओ।" आप में से प्रत्येक को कुछ सीखने दें, जिससे कि वह अपना भरण-पोषण कर सके।" पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे तीन साल बाद अपने मूल ग्रोव के समाशोधन में लौटने के लिए सहमत हुए, दुनिया भर में फैल गए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ काटकर उसे काट डाला, उससे एक औरत बनाई, थोड़ा चला और इंतजार किया। दूसरा भाई लौटा, उसने एक लकड़ी की महिला को देखा और, चूंकि वह एक दर्जी था, एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर की तरह, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने और कीमती पत्थरों से सजाया - आखिरकार, वह एक जौहरी था। अंत में चौथा भाई आ गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल सुनना जानता था कि पृथ्वी, पेड़, घास, पशु और पक्षी क्या कह रहे थे, वह रास्ता जानता था खगोलीय पिंडऔर वह अद्भुत गीत गा सकता था। उसने ऐसा गीत गाया कि झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रोने लगे। इस गाने से उन्होंने उस महिला को पुनर्जीवित किया, वह मुस्कुराई और आहें भरी। भाई उसके पास दौड़े और प्रत्येक ने एक ही बात चिल्लाई: "तुम्हें मेरी पत्नी बनना चाहिए।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: "तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो।"
और तुम, जिसने मेरी आत्मा को मुझमें फूंका और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन के लिए अकेले तुम्हारी जरूरत है".
कहानी समाप्त करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा को देखा, उसका चेहरा रोशनी से जगमगा उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, मानो किसी सपने से जागते हुए, उसने आहें भरीं, अपना हाथ उसके चेहरे पर फेर दिया, और बिना कुछ बोले अपने स्थान पर चली गई, अपने हाथों को जोड़ लिया और अपनी सामान्य मुद्रा ग्रहण कर ली। लेकिन काम हो गया - कलाकार ने उदासीन मूर्ति को जगाया; आनंद की मुस्कान, उसके चेहरे से धीरे-धीरे गायब हो रही थी, उसके मुंह के कोनों में बनी हुई थी और कांप रही थी, उसके चेहरे को एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ा धूर्त अभिव्यक्ति दे रही थी, जैसे कि एक व्यक्ति जिसने एक रहस्य सीखा है और ध्यान से उसे रख रहा है, नहीं कर सकता उसकी विजय को रोकें। लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को याद करने से डरते हुए, धूप की यह किरण जिसने उनके उबाऊ मॉडल को रोशन किया ...
यह नोट करना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया था, लेकिन सभी ने मानव शरीर की संरचना के बारे में लियोनार्डो के गहरे ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इस रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में कामयाब रहे। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यक्ति और चित्र के एक अभूतपूर्व साथी परिदृश्य के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की सहजता, मुद्रा की सरलता, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह एक पारदर्शी धुंध के साथ आकृति को ढँक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास था, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गया। बाढ़ के आदेशों की याद दिलाने से उसे कोई मदद नहीं मिली।
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आई। आई। शिश्किन की पेंटिंग "पाइन ग्रोव" में सुनहरा खंड I. I. शिश्किन की इस प्रसिद्ध पेंटिंग में, सुनहरे खंड के रूप स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। चीड़ के पेड़ के दाहिनी ओर सूर्य से प्रकाशित एक टीला है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य पाइन के बाईं ओर कई पाइन हैं - यदि आप चाहें, तो आप गोल्डन सेक्शन और आगे के अनुसार चित्र को सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं। |
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चमकीले ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की तस्वीर में उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार की मंशा के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र देती है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, तो कहें, वह तेजी से विकसित होने वाली कार्रवाई के साथ एक तस्वीर बनाता है, जैसे ज्यामितीय योजनारचना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।
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 वी. आई. सुरिकोव। बोयार मोरोज़ोवा। उसकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को सौंपी गई है। यह उच्चतम वृद्धि के बिंदु और चित्र के कथानक के निम्नतम पतन के बिंदु से बंधा हुआ है। 1) यह मोरोज़ोवा के हाथ का उदय है जिसमें दो अंगुलियों के साथ क्रॉस का चिह्न उच्चतम बिंदु के रूप में है। 2) यह उसी रईस के लिए एक बेबस हाथ है, लेकिन इस बार यह एक बूढ़ी औरत का हाथ है - एक गरीब पथिक, एक ऐसा हाथ जिसके नीचे से मुक्ति की आखिरी उम्मीद के साथ-साथ स्लेज का अंत भी निकल जाता है . और "उच्चतम बिंदु" के बारे में क्या? पहली नज़र में, हमारे पास एक स्पष्ट विरोधाभास है: आखिरकार, खंड A1B1, जो 0.618 है ... चित्र के दाहिने किनारे से, हाथ से नहीं गुजरता है, यहां तक कि महानुभाव के सिर या आंख से भी नहीं, बल्कि रईस के मुँह के सामने कहीं है! |
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| मोना लिसा का चित्र इस तथ्य से आकर्षित करता है कि चित्र की रचना "सुनहरे त्रिभुजों" पर बनी है (अधिक सटीक रूप से, त्रिभुजों पर जो एक नियमित तारे के आकार के पंचकोण के टुकड़े हैं)। | |
Sandro Botticelli की पेंटिंग से अधिक काव्यात्मक कोई पेंटिंग नहीं है, और महान Sandro के पास अपने "वीनस" से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकली के लिए, उनका शुक्र प्रकृति में व्याप्त "सुनहरे खंड" के सार्वभौमिक सद्भाव के विचार का अवतार है।
 शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात का यकीन दिलाता है।  रफएल "एथेंस स्कूल" राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन उस दौर के कई कलाकारों की तरह उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध फ्रेस्को "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां पुरातनता के महान दार्शनिकों का समाज विज्ञान के मंदिर में आयोजित होता है, हमारा ध्यान सबसे बड़े प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड के समूह द्वारा आकर्षित किया जाता है, जो एक जटिल ड्राइंग का विश्लेषण करता है। दो त्रिकोणों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे आयत में 5/8 के पहलू अनुपात के साथ अंकित किया जा सकता है। यह चित्र वास्तुकला के ऊपरी भाग में सम्मिलित करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। त्रिभुज का ऊपरी कोना दर्शकों के निकटतम क्षेत्र में आर्क के कीस्टोन के खिलाफ रहता है, निचला एक - दृष्टिकोण के लुप्त बिंदु पर, और साइड सेक्शन मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है। . राफेल के "मासूमों के नरसंहार" में सुनहरा सर्पिल |
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सुनहरे खंड के विपरीत, गतिशीलता, उत्तेजना की भावना शायद एक और सरल ज्यामितीय आकृति - एक सर्पिल में सबसे स्पष्ट है। राफेल द्वारा 1509 - 1510 में बनाई गई मल्टी-फिगर रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्ति चित्र बनाए, तो यह कथानक की गतिशीलता और नाटक से अलग है। राफेल ने कभी भी अपने विचार को पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी द्वारा उकेरा गया था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर मासूमों के नरसंहार को उकेरा था।
यदि, राफेल की प्रारंभिक रेखाचित्र पर, हम मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचते हैं - वह बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियाँ बच्चे के टखने के चारों ओर बंद हो जाती हैं - एक बच्चे के आंकड़ों के साथ, एक महिला उसे खुद से पकड़ती है, एक योद्धा के साथ उठाई हुई तलवार, और फिर स्केच के दाहिने हिस्सों पर एक ही समूह के आंकड़ों के साथ (आकृति में, ये रेखाएँ लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ते हैं, फिर एक सुनहरा सर्पिल होता है बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया। वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर इसकी जाँच की जा सकती है।
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स्वर्ण अनुपात और छवि धारणा
गोल्डन सेक्शन एल्गोरिथम के अनुसार निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण बनाने के लिए मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से ज्ञात है। गोल्डन रेशियो सबसे उत्तम एकीकृत संपूर्ण की भावना देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। यह खिड़कियों, चित्रों और लिफाफों, टिकटों, व्यवसाय कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या एफ के बारे में कुछ भी नहीं पता हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना में, साथ ही साथ घटनाओं के अनुक्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को ढूंढता है।
अध्ययन आयोजित किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन और प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), 1:1.62 (31:50 मिमी) के पहलू अनुपात के साथ एक "गोल्डन सेक्शन" आयत और 1:2.31 (26:26: 60 मिमी)।
 सामान्य अवस्था में आयतों का चयन करते समय, 1/2 मामलों में एक वर्ग को वरीयता दी जाती है। दायाँ गोलार्द्ध सुनहरे अनुपात को प्राथमिकता देता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्द्ध लम्बी अनुपातों की ओर आकर्षित होता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार करता है। इन आयतों की नकल करते समय, निम्नलिखित देखा गया। जब दाहिना गोलार्द्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था। जब बायाँ गोलार्द्ध सक्रिय था, तो सभी आयतों के अनुपात विकृत हो गए थे, आयतों को फैला दिया गया था (एक वर्ग को आयत के रूप में 1: 1.2 के पहलू अनुपात के साथ खींचा गया था; फैला हुआ आयत का अनुपात तेजी से बढ़ा और 1: 2.8 तक पहुँच गया) . "सुनहरा" आयत का सबसे दृढ़ता से विकृत अनुपात; प्रतियों में इसका अनुपात आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया। अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब अनुपात और लम्बी प्रबलता होती है। औसतन, अनुपात 1:2 है, जबकि दाहिना गोलार्द्ध सुनहरे खंड के अनुपात को पसंद करता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर चला जाता है और पैटर्न को फैलाता है। अब कुछ आयत बनाएँ, उनकी भुजाएँ मापें और पक्षानुपात ज्ञात करें। आपके पास कौन सा गोलार्द्ध है? |
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फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 स्थित बिंदुओं पर फ्रेम के प्रमुख घटकों का स्थान है। इसे निम्न उदाहरण द्वारा स्पष्ट किया जा सकता है।
यहां एक बिल्ली की तस्वीर है, जो फ्रेम में मनमाने स्थान पर स्थित है।
अब फ्रेम के प्रत्येक तरफ से कुल लंबाई के 1.62 के अनुपात में, सशर्त रूप से फ्रेम को खंडों में विभाजित करें। खंडों के चौराहे पर मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे, जिसमें छवि के आवश्यक प्रमुख तत्वों को रखा जाना चाहिए। आइए हमारी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर स्थानांतरित करें। स्वर्णिम अनुपात और स्थान खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के एक जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला का प्रयोग करते हुए सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरियों में नियमितता और व्यवस्था पाई थी।
हालांकि, एक मामला जो कानून के खिलाफ लग रहा था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था।आकाश के इस हिस्से के ध्यान केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह उन्नीसवीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसकी मदद से, वे जीवित प्राणियों, और मानव निर्मित संरचनाओं, और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये तथ्य इसकी अभिव्यक्ति की स्थितियों से संख्या श्रृंखला की स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।
आकाशगंगा के दो स्वर्ण सर्पिल डेविड के स्टार के साथ संगत हैं। एक सफेद सर्पिल में आकाशगंगा से निकलने वाले तारों पर ध्यान दें। एक सर्पिल से ठीक 180® एक और खुला हुआ सर्पिल आता है। ... लंबे समय तक, खगोलविदों का मानना था कि जो कुछ भी है वह वही है जो हम देखते हैं; अगर कुछ दिखाई देता है, तो वह मौजूद है। उन्होंने या तो वास्तविकता के अदृश्य हिस्से पर बिल्कुल ध्यान नहीं दिया, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में बहुत बड़ा है। दृश्यमान पक्षऔर शायद अधिक महत्वपूर्ण। ... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। वास्तव में, हमारा असली घर अदृश्य ब्रह्मांड है... ब्रह्मांड में, मानव जाति के लिए ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें सभी पिंड एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं, जो स्वर्ण खंड के सूत्र के अनुरूप है। हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में सुनहरा अनुपात है
निष्कर्ष प्रकृति, जिसे पूरी दुनिया अपने रूपों की विविधता के रूप में समझती है, इसमें दो भाग होते हैं: जीवित और निर्जीव प्रकृति। कृतियों के लिए निर्जीव प्रकृतिउच्च स्थिरता, कम परिवर्तनशीलता की विशेषता, मानव जीवन के पैमाने को देखते हुए। एक व्यक्ति पैदा होता है, रहता है, बूढ़ा होता है, मरता है, लेकिन ग्रेनाइट के पहाड़ वही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में थे। वन्यजीवों की दुनिया हमें पूरी तरह से अलग दिखाई देती है - मोबाइल, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें विविधता और रचनात्मक संयोजनों की मौलिकता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "गोल्डन सेक्शन का नियम" संचालित होता है। आधुनिक विश्व में प्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के कारण विज्ञान का विशेष महत्व है। के लिए महत्वपूर्ण कार्य वर्तमान चरणमनुष्य और प्रकृति के सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, समाज के सामने दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और अन्य समस्याओं का अध्ययन है। इस पत्र में, मानव जाति के इतिहास के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर जीवित और निर्जीव प्रकृति पर "सुनहरे खंड" के गुणों के प्रभाव और समग्र रूप से ग्रह पर विचार किया गया था। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, एक बार फिर दुनिया की अनुभूति की प्रक्रिया की भव्यता पर आश्चर्य हो सकता है, इसके नए पैटर्न की खोज और निष्कर्ष निकाला जा सकता है: सुनहरे खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और उच्चतम अभिव्यक्ति हैकार्यात्मक कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की पूर्णता। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम बहुत विविध नहीं हैं और सबसे विविध संरचनाओं में इसका पता लगाया जा सकता है। यह प्रकृति की एकता का प्रकटीकरण है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान पैटर्न के प्रकटीकरण के आधार पर इस तरह की एकता के विचार ने पाइथागोरस से आज तक अपनी प्रासंगिकता बनाए रखी है।वां। 51
स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
गणित में, अनुपात (लैटिन समानुपात) दो अनुपातों की समानता है: a: b = c: d।
रेखाखंड AB को निम्न प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);
इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी।
उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का सुनहरा विभाजन या विभाजन है।
सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा हर चीज से संबंधित है
ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।
बिंदु B से, आधा AB के बराबर एक लंब को पुनर्स्थापित किया जाता है। परिणामी बिंदु C बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अपरिमेय अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का बड़ा भाग 62 है, और छोटा भाग 38 भाग है।
सुनहरे खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
एक्स 2 - एक्स - 1 = 0।
इस समीकरण का हल:
सुनहरे खंड के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा की एक रोमांटिक आभा पैदा की।
दूसरा सुनहरा अनुपात
बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने Tsvetan Tsekov-Karandash "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" का एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44: 56 का एक अलग अनुपात देता है।
विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा से जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले चौराहे तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E, खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।
यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।
स्वर्ण त्रिकोण
आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।
पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको नियमित पेंटागन बनाना होगा। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठा हुआ, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर CE = ED खंड को चिह्नित करें। एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित पेंटागन की एक भुजा की लंबाई DC है। हम खंड डीसी को सर्कल पर सेट करते हैं और एक नियमित पंचकोण बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचकोण के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।
पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।
सरल रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर तीन बार मनमाना आकार का एक खंड O बिछाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB के लिए एक लंबवत रेखा खींचते हैं, बिंदु P के दाईं और बाईं ओर हम खंड O को हटा देते हैं। परिणामी बिंदु बिंदु डी और डी 1 बिंदु ए के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। हम खंड डीडी 1 को लाइन एडी 1 पर रखते हैं, बिंदु सी प्राप्त करते हैं। उन्होंने सुनहरे अनुपात के अनुपात में लाइन एडी 1 को विभाजित किया। Ad1 और dd1 पंक्तियों का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।
स्वर्ण खंड का इतिहास
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था पाइथागोरस, प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व)। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्ण विभाजन के अपने ज्ञान को मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले करबुसिएरपाया गया कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात स्वर्ण मंडल के मूल्यों के अनुरूप हैं। वास्तुकार खेसिरा, जो अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर दर्शाया गया है, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।
यूनानी कुशल ज्यामिति थे। यहाँ तक कि अंकगणित भी उनके बच्चों को ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार था।
प्लेटो(427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण मंडल के बारे में जानते थे। उनका डायलॉग" तिमाईस» पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्य संबंधी विचारों और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के मुद्दों के लिए समर्पित है।
पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, कम्पास पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन दुनिया के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया गया था। पोम्पीयन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण मंडल के अनुपात भी शामिल हैं।
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, स्वर्णिम विभाजन का सबसे पहले उल्लेख किया गया है " शुरुआत» यूक्लिड. "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइपसिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्यकालीन यूरोप में हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से सुनहरे विभाजन के साथ मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैंपानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को सख्ती से रखा गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।
पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में, विशेष रूप से वास्तुकला में, इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी। लियोनार्डो दा विंसीएक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उसने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय एक भिक्षु की पुस्तक दिखाई दी लुका पैसिओली, और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, जो इटली में फाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1496 में, मोरो के ड्यूक के निमंत्रण पर, वह मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान में मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात वेनिस में शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में से, भिक्षु लुका पैसिओली अपने "ईश्वरीय सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं हुए (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड पवित्र आत्मा का देवता है)।
लियोनार्डो दा विंची ने भी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर ज्यादा ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात वाले आयत प्राप्त किए। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।
उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, उन्होंने उन्हीं समस्याओं पर काम किया अल्ब्रेक्ट ड्यूरर. वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैं यही करने के लिए निकला हूं।"
ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पैसिओली से मिला। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर विस्तार से मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विकसित करता है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि से। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।
16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लरस्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा जाता है। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।
केप्लर ने सुनहरे अनुपात को स्व-निरंतर कहा। "यह इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," उन्होंने लिखा, "कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद तक जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला कार्यकाल, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"
सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और कमी (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में किया जा सकता है।
यदि मनमाना लंबाई की एक सीधी रेखा पर, खंड m को अलग करें, तो हम खंड M को अलग करते हैं। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में फिर से सुनहरा खंड "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के एक जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंगअपना काम सौंदर्यशास्त्र जांच प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।
ज़ीज़िंगबहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण सूचक है। पुरुष शरीर के अनुपात में 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव होता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1, 13 वर्ष की आयु तक 1.6 तथा 21 वर्ष की आयु तक पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड के अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होते हैं - कंधे की लंबाई, प्रकोष्ठ और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।
ज़ाइज़िंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपातों को सबसे विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर शोध के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि यह रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त हुए, ज़ीज़िंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा में और दूसरी दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में गोल्डन डिवीजन" की हकदार थी। 1876 में, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीज़िंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने शुरुआती यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।
XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा।
फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि (बोनैकी का पुत्र) के रूप में जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनकी गणितीय कृति द बुक ऑफ द एबैकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुई, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ता है "एक जोड़ी से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने निम्नलिखित संख्याओं की श्रृंखला बनाई:
संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात में आता है। इसलिए, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह अनुपात प्रतीक Ф द्वारा दर्शाया गया है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाकर या इसे अनंत तक कम कर देता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा सब कुछ है।
फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों के बारे में भी बताया: किसी वस्तु को तौलने के लिए इस्तेमाल किए जा सकने वाले वज़न की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्न प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...
सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात
फाइबोनैचि श्रृंखलाकेवल एक गणितीय घटना ही रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं था कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन के कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए।
वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं के सिद्धांत और सुनहरे अनुपात को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच ने हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।
इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है।
उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और भार 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक-दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग 2 = 1 + 1 है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "बाइनरी श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या हो सकता है कि यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट प्रदान करे?
दरअसल, चलिए एक संख्यात्मक पैरामीटर एस सेट करते हैं, जो किसी भी मान को ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले एक से एस चरणों से अलग। यदि हम इस श्रृंखला के n वें सदस्य को φS (n) द्वारा निरूपित करते हैं, तो हमें सामान्य सूत्र φS (n) = φS (n - 1) + φS (n - S - 1) प्राप्त होता है।
जाहिर है, S = 0 के साथ, इस सूत्र से हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, जिसमें S = 1 - फाइबोनैचि श्रृंखला, S = 2, 3, 4 के साथ। संख्याओं की नई श्रृंखला, जिन्हें S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है।
सामान्य शब्दों में, गोल्डन एस-अनुपात गोल्डन एस-सेक्शन समीकरण xS+1 - xS - 1 = 0 का सकारात्मक मूल है।
यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, आधे में खंड का विभाजन प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड।
पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्या के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-नंबर्स के न्यूमेरिकल इनवेरिएंट हैं।
प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. सोरोको "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में। यह पता चला है, उदाहरण के लिए, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुण होते हैं (तापीय रूप से स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्व एक दूसरे से संबंधित हों गोल्डन एस-अनुपातों में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना सहक्रियाशीलता के विकास के लिए मूलभूत महत्व की हो सकती है, विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।
गोल्डन एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक वाले गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
एन्कोडिंग संख्याओं की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे S-अनुपात हैं, S> 0 के लिए अपरिमेय संख्याएँ हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, जैसा कि तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" करती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्या "खोजी" गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मूलभूत सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।
नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार एक नया, अपरिमेय प्रणाली है, जो मूलभूत सिद्धांत के रूप में है, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।
ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृतिक संख्या हमेशा परिमित संख्या के रूप में प्रदर्शित होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की शक्तियों का योग है। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है।
प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत
सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बना, विकसित हुआ, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने के लिए प्रयासरत रहा। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में पूरी होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना।
खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे प्रकट करते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे से दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है।सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में नहीं कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।
सर्पिल रूप से मुड़ी हुई खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचा गया सर्पिल उसी के नाम से पुकारा जाता है। उसके कदमों की वृद्धि सदैव एकसमान होती है। वर्तमान में, इंजीनियरिंग में आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ों की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन कोन, अनानास, कैक्टि, आदि में सर्पिल देखा गया था। वनस्पति विज्ञानियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस) पर पत्तियों की व्यवस्था में, सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, स्वर्ण खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान सर्पिल हो रहा है। हिरन का डरा हुआ झुंड सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।
सड़क के किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक निश्छल पौधा उगता है - कासनी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।
प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाती है, रुकती है, एक पत्ता छोड़ती है, लेकिन पहले से पहले से छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन करती है, लेकिन कम बल से, एक छोटे आकार और इजेक्शन के एक पत्ते को फिर से छोड़ती है। यदि पहले बहिर्वाह को 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38, चौथा 24 और इसी तरह आगे। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग धीरे-धीरे सुनहरे खंड के अनुपात में कम होते गए।
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| चावल। 13. चिकोरी |
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| चावल। 14. जरायुज छिपकली |
छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आँखों को भाने वाले अनुपात पकड़े जाते हैं - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।
पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की आकार देने की प्रवृत्ति - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता से लगातार टूटती है। यहां विकास की दिशा में लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है।
प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में, संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।
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| चावल। 15. पक्षी का अंडा |
महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया।
हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।
जीवित जीवों के जीन संरचनाओं में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, "सुनहरा" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिएथम्स और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।
सुनहरा अनुपात और समरूपता
समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।
स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थैतिक और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता आंदोलन, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है।
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सूत्रों की जानकारी: कोवालेव एफ.वी. पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन। के।: विस्का स्कूल, 1989। |
यह सभी देखें: अर्न्स्ट न्यूफ़र्ट। इमारत की डिजाइन। माप प्रणाली |
ब्रह्मांड में और भी बहुत कुछ हैं अनसुलझे रहस्य, जिनमें से कुछ वैज्ञानिक पहले से ही पहचानने और वर्णन करने में सक्षम हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को उजागर करने, उसके आकार और किसी व्यक्ति द्वारा इष्टतम दृश्य धारणा का निर्माण करने का आधार बनता है, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।
सुनहरा अनुपात
स्वर्ण खंड के आकार को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की संरचना और कार्यों में पूर्णता को रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। संख्याओं की प्रकृति पर प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा किए गए शोध के परिणामस्वरूप सुनहरे अनुपात के सिद्धांत की स्थापना की गई थी।
यह खंड विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), बड़े से छोटे का अनुपात उनकी राशि (पूरे खंड के) के अनुपात के बराबर होगा:
परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1=0,जिसे इस रूप में हल किया गया है x=(1±√5)/2.
यदि हम 1/x अनुपात पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…
प्राचीन विचारकों द्वारा सुनहरे अनुपात के उपयोग का प्रमाण यूक्लिड की "शुरुआत" की पुस्तक में दिया गया है, जिसे तीसरी शताब्दी में लिखा गया था। बीसी, जिन्होंने इस नियम का इस्तेमाल नियमित 5-गोंन्स बनाने के लिए किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आकृति पवित्र मानी जाती है, क्योंकि यह सममित और विषम दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।
फाइबोनैचि संख्या
पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबाची, जो बाद में फाइबोनैचि के रूप में जानी गई, 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक पहली बार संख्याओं का एक पैटर्न देते हैं, जिसमें प्रत्येक संख्या का योग होता है। पिछले 2 अंकों में से। फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।
वैज्ञानिक ने भी कई पैटर्न का हवाला दिया:
- श्रृंखला से कोई भी संख्या, अगले द्वारा विभाजित, एक मान के बराबर होगी जो 0.618 तक जाती है। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्या ऐसी कोई संख्या नहीं देती है, लेकिन जैसे-जैसे आप अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ते हैं, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होगा।
- यदि आप श्रृंखला की संख्या को पिछले एक से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
- एक संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर 0.382 की ओर रुझान वाला मान दिखाई देगा।
गोल्डन सेक्शन, फाइबोनैचि संख्या (0.618) के कनेक्शन और पैटर्न का अनुप्रयोग न केवल गणित में पाया जा सकता है, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।
आर्किमिडीज का सर्पिल और सुनहरा आयत
सर्पिल, प्रकृति में बहुत सामान्य, आर्किमिडीज़ द्वारा खोजे गए थे, जिन्होंने उसका समीकरण भी निकाला था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। जब इसे अनट्विस्ट किया जाता है, तो एक लम्बाई प्राप्त होती है जिस अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं को लागू किया जा सकता है, चरण वृद्धि समान रूप से होती है।
फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच के समानांतर को एक "सुनहरा आयत" बनाकर भी देखा जा सकता है, जिसकी भुजाएँ 1.618:1 के समानुपाती होती हैं। इसे एक बड़े आयत से छोटे आयत की ओर ले जाकर बनाया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई पंक्ति से संख्याओं के बराबर हो। इसका निर्माण वर्ग "1" से शुरू होकर उल्टे क्रम में किया जा सकता है। इस आयत के कोनों को उनके चौराहे के केंद्र में रेखाओं से जोड़ने पर, एक फाइबोनैचि या लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है।
सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास
मिस्र के कई प्राचीन स्थापत्य स्मारकों को सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाया गया था: चेओप्स और अन्य के प्रसिद्ध पिरामिड प्राचीन ग्रीस के वास्तुकारों ने व्यापक रूप से उन्हें वास्तुशिल्प वस्तुओं, जैसे मंदिरों, एम्फीथिएटर, स्टेडियमों के निर्माण में इस्तेमाल किया। उदाहरण के लिए, इस तरह के अनुपात प्राचीन पार्थेनन मंदिर (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में उपयोग किए गए थे जो प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृति बन गए थे, जो गणितीय नियमितता के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते थे।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई, और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन फ्रांसिस्कन भिक्षु एल. पैसिओली डी बोर्गो "डिवाइन प्रॉपोर्शन" (1509) की पुस्तक के साथ, पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन सेक्शन" तय किया। साथ ही, सुनहरे अनुपात के 12 गुणों को वैज्ञानिक रूप से सिद्ध किया गया था, और लेखक ने इस बारे में बात की कि यह प्रकृति में, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।
विट्रुवियन मैन लियोनार्डो
1492 में लियोनार्डो दा विंची ने विट्रुवियस की पुस्तक का चित्रण किया था, जिसमें 2 पदों पर एक व्यक्ति की आकृति को भुजाओं तक विस्तारित किया गया था। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में खुदी हुई है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विटरुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया है।
भुजाओं और पैरों के अंत से समदूरस्थ बिंदु के रूप में शरीर का केंद्र नाभि है, भुजाओं की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर होती है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के ऊपर से बालों तक की दूरी = 1/7, छाती के ऊपर से सिर के ऊपर तक = 1/6 आदि।
तब से, ड्राइंग का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया गया है।
"स्वर्ण अनुपात" शब्द का प्रयोग लियोनार्डो द्वारा मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को दर्शाने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के शीर्ष तक की दूरी से उसी तरह संबंधित होती है जैसे ऊंचाई पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक होती है। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान की जाती है और 1.618 तक जाती है।
ये सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपात अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली कार्यों को बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
16वीं-19वीं शताब्दी में स्वर्णिम अनुपात का अध्ययन
सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या का प्रयोग करके, अनुसंधान कार्यअनुपात के मुद्दे पर एक सदी से अधिक समय से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत को विकसित कर रहे थे। इसके लिए उन्होंने एक खास कंपास भी बनाया था।
16वीं शताब्दी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे खंड के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई। केपलर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने पहली बार वनस्पति विज्ञान में इन नियमों को लागू किया था।
एक नई "खोज" ने 19वीं शताब्दी में सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा की। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफेसर ज़ीसिग द्वारा "एस्थेटिक रिसर्च" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्ष रूप से बढ़ाया और घोषणा की कि वे सभी के लिए सार्वभौमिक हैं प्राकृतिक घटनाएं. उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामस्वरूप शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, प्रकोष्ठ हाथ, उँगलियाँ आदि।
कला वस्तुओं (vases, स्थापत्य संरचनाएं), संगीत स्वर, कविता लिखते समय आकार का भी अध्ययन किया गया था - ज़ीसिग ने यह सब खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से प्रदर्शित किया, उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की जाती है।
प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरा अनुपात
पौधे और पशु जगत में समरूपता के रूप में बनने की प्रवृत्ति होती है, जो विकास और गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं, कई पौधों और जानवरों में निहित एक पैटर्न है।
हमारे आस-पास की प्रकृति को फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:
- किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरी, दी गई संख्या 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 और इसी तरह की श्रृंखला से संबंधित है;
- सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानस कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में घुमावदार सर्पिल में दो पंक्तियों में व्यवस्थित होते हैं;
- पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
- अंडे का आकार, यदि आप सशर्त रूप से इसके विस्तृत भाग के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं;
- मानव हाथ पर उंगलियों के आकार का अनुपात।
और, ज़ाहिर है, सबसे दिलचस्प रूप सर्पिल घोंघे के गोले, वेब पर पैटर्न, एक तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना हैं - जिनमें से सभी में फिबोनाची का अनुक्रम शामिल है नंबर।
कला में सुनहरे अनुपात का उपयोग
कला में स्वर्ण खंड के उपयोग के उदाहरणों की तलाश करने वाले शोधकर्ता विभिन्न वास्तु वस्तुओं और चित्रों की विस्तार से जाँच करते हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियों को जाना जाता है, जिसके निर्माता सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर की मूर्तियाँ और
लियोनार्डो दा विंची की कृतियों में से एक - "मोना लिसा का चित्र" - कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रहा है। उन्होंने पाया कि काम की संरचना में पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" होते हैं, जो एक साथ एक नियमित पेंटागन-स्टार में एकजुट होते हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात का प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात के बारे में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रूप से रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।
वास्तुकला में सुनहरा अनुपात
एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार बनाई गई वास्तु कृतियों का अध्ययन किया: मिस्र के पिरामिड, पैन्थियॉन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।
पार्थेनन, प्राचीन ग्रीस (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) की सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक है, जिसमें 8 स्तंभ हैं और अलग-अलग तरफ 17 हैं, इसकी ऊंचाई से पक्षों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके पहलुओं पर फैलाव "गोल्डन सेक्शन" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाया गया है।
जिन वैज्ञानिकों ने आविष्कार किया और वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के अनुपात के मॉड्यूलर सिस्टम में सुधार को सफलतापूर्वक लागू किया, वे फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर थे। मॉड्यूलर मानव शरीर के कुछ हिस्सों में एक सशर्त विभाजन से जुड़ी माप प्रणाली पर आधारित है।
रूसी वास्तुकार एम. काजाकोव, जिन्होंने मास्को में कई आवासीय भवनों का निर्माण किया, साथ ही क्रेमलिन में सीनेट की इमारतों और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन.आई. पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिकल) उन वास्तुकारों में से एक थे, जिन्होंने रूस में कानूनों का इस्तेमाल किया था। सुनहरे अनुपात के बारे में डिजाइन और निर्माण।
डिजाइन में अनुपात लागू करना
फैशन डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के आदर्श अनुपात नहीं होते हैं।
लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तु वस्तुओं की मदद से वॉल्यूमेट्रिक पार्क रचनाएँ बनाते समय, "ईश्वरीय अनुपात" के पैटर्न को भी लागू किया जा सकता है। आखिरकार, पार्क की रचना को आगंतुक पर एक छाप बनाने पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए, जो इसमें स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और रचना केंद्र खोजने में सक्षम होगा।
पार्क के सभी तत्व इस तरह के अनुपात में हैं कि ज्यामितीय संरचना, आपसी व्यवस्था, प्रकाश व्यवस्था और रोशनी की मदद से वे एक व्यक्ति पर सद्भाव और पूर्णता की छाप देते हैं।
साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में गोल्डन सेक्शन का अनुप्रयोग
डीएनए जीन संरचना में, अंतरिक्ष प्रणालियों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, सुनहरे खंड और फाइबोनैचि संख्या के नियम भी ऊर्जा संक्रमण में प्रकट होते हैं।
इसी तरह की प्रक्रियाएं मानव शरीर में होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिएम्स में प्रकट होती हैं, अंगों की क्रिया में, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।
आधुनिक साइबरनेटिक्स और सूचना विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। नौसिखिए प्रोग्रामरों को हल करने के लिए दिए जाने वाले सरल कार्यों में से एक सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना है।
सुनहरे अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध
20वीं शताब्दी के मध्य से, मानव जीवन पर सुनहरे अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि नाटकीय रूप से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों से: गणितज्ञ, जातीय शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, आदि
1970 के दशक से, संयुक्त राज्य अमेरिका में फिबोनाची त्रैमासिक प्रकाशित किया गया है, जहां इस विषय पर काम प्रकाशित किए जाते हैं। प्रेस में काम दिखाई देता है जिसमें ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में गोल्डन सेक्शन और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोडिंग जानकारी, रासायनिक अनुसंधान, जैविक आदि के लिए।
यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्ष की पुष्टि करता है कि सुनहरा अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से जुड़ा हुआ है और हमारे आसपास की दुनिया की कई कृतियों और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि प्राचीन ग्रीक दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्ण विभाजन के अपने ज्ञान को मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती I के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। वास्तुकार खेसिरा, जो अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर दर्शाया गया है, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।
यूनानी कुशल ज्यामिति थे। यहाँ तक कि अंकगणित भी उनके बच्चों को ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार था।
प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के लिए समर्पित है, विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के सवालों के लिए।
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। नवरे (तीसरी शताब्दी)। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को ईर्ष्या से संरक्षित किया गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था, वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।
पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेष रूप से वास्तुकला दोनों में इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच गोल्डन डिवीजन में रुचि बढ़ी। लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी और लियोनार्डो ने अपना विचार छोड़ दिया। विज्ञान के समकालीनों और इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, जो इटली में फाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का की छात्रा थीं, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थीं। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात वेनिस में शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक सुनहरे अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में से, भिक्षु लुका पैसिओली अपने "ईश्वरीय सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं हुए (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड पवित्र आत्मा का देवता है)।
लियोनार्डो दा विंची ने भी गोल्डन डिवीजन के अध्ययन पर ज्यादा ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागनों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात वाले आयत प्राप्त किए। इसलिए उन्होंने इस विभाग को स्वर्ण खंड का नाम दिया। और इसलिए यह आज भी जारी है।
उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहा था। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैं यही करने के लिए निकला हूं।” अल्ब्रेक्ट ड्यूरर विस्तार से मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विकसित करता है। उन्होंने अपने अनुपात की व्यवस्था में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।
16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधों की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व की ओर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को निरंतर जारी रहने वाला कहा है। अनंत।"
सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और कमी (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में किया जा सकता है।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक कैनन में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर निकाल दिया"। 19वीं शताब्दी के मध्य में गोल्डन रेशियो की फिर से "खोज" की गई। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीज़िंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। Zeising अन्य परिघटनाओं से संबंध के बिना सुनहरे अनुपात पर विचार करता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीज़िंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।
ज़ाइज़िंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपातों को सबसे विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर शोध के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि यह रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त हुए, ज़ीज़िंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया, जिसे एक दिशा में और दूसरी दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में गोल्डन डिवीजन" की हकदार थी। 1876 में, ज़ीज़िंग के इस काम को रेखांकित करते हुए रूस में एक छोटी सी किताब प्रकाशित हुई थी।
XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत प्रकट हुए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक बढ़ा।
विज्ञान ने कला को नहीं बल्कि उनमें निगल लिया है ऐतिहासिक कालजब गणित और कला का अभिसरण हुआ, तो इससे दोनों के विकास को गति मिली।
सुनहरे अनुपात की अवधारणा
आइए जानें कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों, लियोनार्डो दा विंची की पेंटिंग "मोना लिसा", एक सूरजमुखी, एक घोंघा, एक बर्फ के टुकड़े, एक आकाशगंगा और मानव उंगलियों के बीच क्या आम है?
गणित में, अनुपात (लैटिन समानुपात) दो अनुपातों की समानता है: a: b = c: d।
गोल्डन सेक्शन एक सेगमेंट का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा सेगमेंट बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा खुद छोटे हिस्से से संबंधित होता है।
रेखाखंड AB को बिंदु C द्वारा दो भागों में निम्न प्रकार से विभाजित किया जा सकता है:
- दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
- किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे हिस्से अनुपात नहीं बनाते हैं);
- चरम और औसत अनुपात में इस तरह से कि AB: AC \u003d AC: BC।
आखिरी वाला गोल्डन डिवीजन है।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है। बीसी = 1/2 एबी; सीडी = बीसी
बिंदु B से, आधा AB के बराबर एक लंब को पुनर्स्थापित किया जाता है। परिणामी बिंदु C बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC प्लॉट किया जाता है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, तो AE \u003d 0.618 ..., BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 के अनुमानित मान और 0.38 का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा भाग 38 भाग है।
दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो बिंदु A से एक रेखा से जुड़ा है। समकोण ACD समद्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले चौराहे तक एक रेखा खींची जाती है। बिंदु E, खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।
आयत के दूसरे स्वर्ण खंड की रेखा स्वर्ण खंड की रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में है।
पेंटाग्राम
आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।
एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण।
पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको नियमित पेंटागन बनाना होगा। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर उठा हुआ, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर CE = ED खंड को चिह्नित करें। एक वृत्त में खुदे हुए एक नियमित पेंटागन की एक भुजा की लंबाई DC है। हम खंड डीसी को सर्कल पर सेट करते हैं और एक नियमित पंचकोण बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचकोण के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात में खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं और पार्श्व पार्श्व पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।
फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि (बोनैकी का पुत्र) के रूप में जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में, उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया था। कार्यों में से एक पढ़ता है "एक जोड़ी से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर चिंतन करते हुए, फाइबोनैचि ने निम्नलिखित संख्याओं की श्रृंखला बनाई: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि।
इस श्रृंखला को फिबोनाची श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है, और श्रृंखला के आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात के करीब है। इसके अलावा, अनुक्रम में 13वें नंबर के बाद, यह विभाजन परिणाम श्रृंखला के अनंत तक स्थिर हो जाता है। यह मध्य युग में विभाजन की निरंतर संख्या थी जिसे दैवीय अनुपात कहा जाता था, और अब इसे स्वर्ण खंड, स्वर्णिम माध्य या स्वर्ण अनुपात के रूप में संदर्भित किया जाता है। बीजगणित में, इस संख्या को ग्रीक अक्षर φ (phi) द्वारा निरूपित किया जाता है।
तो सुनहरा अनुपात 1:1.618 है
इसलिए, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक φ द्वारा निरूपित किया जाता है। यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है।
फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना बनी रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं होता कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आते थे। . वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं के सिद्धांत और सुनहरे अनुपात को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।
सुनहरा आयत और सुनहरा सर्पिल
ज्यामिति में, भुजाओं के सुनहरे अनुपात वाले आयत को सुनहरा कहा जाने लगा। इसकी लंबी भुजाएँ छोटी भुजाओं से संबंधित हैं - 1.168: 1 के अनुपात में।
स्वर्ण आयत में भी कई अद्भुत गुण होते हैं। सुनहरे आयत में से एक वर्ग को काटकर, जिसकी भुजा आयत की छोटी भुजा के बराबर होती है, हमें फिर से एक छोटा सुनहरा आयत मिलता है। इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखा जा सकता है। जैसे-जैसे हम वर्गों को काटते रहेंगे, हमें छोटे और छोटे सुनहरे आयत मिलते जाएंगे। इसके अलावा, वे एक लघुगणकीय सर्पिल में स्थित होंगे, जो महत्वपूर्ण है गणितीय मॉडलप्राकृतिक वस्तुएँ। सर्पिल का ध्रुव प्रारंभिक आयत के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है और पहला लंबवत कट जाता है। इसके अलावा, बाद के सभी घटते हुए सुनहरे आयतों के विकर्ण इन विकर्णों पर स्थित हैं। बेशक, एक सुनहरा त्रिकोण भी है।
