ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा। ट्रेपेज़ियम, एक ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा, त्रिभुज

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ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के खंड को ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा कहा जाता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा कैसे खोजें और यह इस आकृति के अन्य तत्वों से कैसे संबंधित है, हम नीचे बताएंगे।

मिडलाइन प्रमेय

चलिए एक समलंब बनाते हैं जिसमें AD बड़ा आधार है, BC छोटा आधार है, EF मध्य रेखा है। आइए आधार AD को बिंदु D से आगे बढ़ाएं। रेखा BF बनाएं और इसे तब तक जारी रखें जब तक कि यह बिंदु O पर आधार AD की निरंतरता के साथ प्रतिच्छेद न करे। त्रिभुजों ∆BCF और ∆DFO पर विचार करें। कोण ∟BCF = ∟DFO ऊर्ध्वाधर के रूप में। CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, क्योंकि वीएस // एओ। इसलिए, त्रिभुज ∆BCF = ∆DFO। अतः भुजाएँ BF = FO हैं।

अब ∆ABO और ∆EBF पर विचार करें। ∟ABO दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है। परंपरा के अनुसार BE/AB = ½, BF/BO = ½ क्योंकि ∆BCF = ∆DFO। इसलिए, त्रिभुज ABO और EFB समरूप हैं। इसलिए पक्षों का अनुपात EF / AO = ½, साथ ही अन्य पक्षों का अनुपात।

हम EF = ½ AO पाते हैं। रेखाचित्र दर्शाता है कि AO = AD + DO। DO = BC बराबर त्रिभुजों की भुजाओं के रूप में, इसलिए AO = AD + BC। इसलिए EF = ½ AO = ½ (AD + BC)। वे। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई आधारों के योग का आधा है।

क्या किसी समलम्बाकार की मध्य रेखा हमेशा आधारों के योग के आधे के बराबर होती है?

मान लीजिए कि एक विशेष मामला है जहां EF ≠ ½ (AD + BC)। तब BC ≠ DO, अत: ∆BCF ≠ ∆DCF। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि उनके बीच दो समान कोण और भुजाएँ हैं। इसलिए, प्रमेय सभी परिस्थितियों में सत्य है।

मध्य रेखा की समस्या

मान लीजिए, हमारे चतुर्भुज ABCD AD // BC में, ∟A=90°, ∟С = 135°, AB = 2 सेमी, विकर्ण AC भुजा के लंबवत है। समलंब EF की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।

यदि ∟A = 90°, तो ∟B = 90°, अतः ∆ABC आयताकार है।

∟बीसीए = ∟बीसीडी - ∟एसीडी। परंपरा के अनुसार ∟ACD = 90°, इसलिए ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°।

यदि एक समकोण त्रिभुज ∆ABS में एक कोण 45° का है, तो इसमें पाद बराबर होंगे: AB = BC = 2 सेमी.

कर्ण AC \u003d √ (AB² + BC²) \u003d √8 सेमी।

∆ACD पर विचार कीजिए। ∟ACD = 90° परंपरा के अनुसार। ∟CAD = ∟BCA = 45° समलंब चतुर्भुज के समान्तर आधारों के छेदक द्वारा बने कोणों के रूप में। इसलिए, पाद AC = CD = √8।

कर्ण AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 सेमी.

चतुर्भुज EF की माध्यिका रेखा = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 सेमी।

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा

पहले, आइए याद करें कि किस आकृति को ट्रेपेज़ॉइड कहा जाता है।

परिभाषा 1

समलम्बाकार एक चतुर्भुज होता है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होती हैं।

इस मामले में, समांतर पक्षों को ट्रैपेज़ॉयड के आधार कहा जाता है, और समांतर नहीं - ट्रैपेज़ॉयड के किनारे।

परिभाषा 2

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।

ट्रेपेज़ियम मिडलाइन प्रमेय

अब हम इस प्रमेय को समलम्बाकार की मध्य रेखा पर प्रस्तुत करते हैं और इसे सदिश विधि से सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 1

ट्रेपोज़ॉइड की मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके योग के आधे के बराबर होती है।

सबूत।

हमें $AD\ और \ BC$ आधारों के साथ एक समलम्बाकार $ABCD$ दिया जाए। और $MN$ को इस समलम्बाकार की मध्य रेखा होने दें (चित्र 1)।

चित्रा 1. ट्रैपेज़ॉयड की मध्य रेखा

आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$।

वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। अगला, हम सदिश योग के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है

दूसरी ओर

अंतिम दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि $M$ और $N$ ट्रेपेज़ॉइड की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं, हमारे पास है

हम पाते हैं:

इस तरह

उसी समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ कोडायरेक्शनल हैं और इसलिए, समरेख हैं), हमें वह $MN||AD$ मिलता है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ट्रेपोज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

समलंब की भुजाएँ क्रमशः $15\cm$ और $17\cm$ हैं। समलम्बाकार का परिमाप $52\cm$ है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

ट्रैपेज़ॉइड की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।

भुजाओं का योग है

इसलिए, चूँकि परिमाप $52\ cm$ है, आधारों का योग है

इसलिए, प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर:$10\cm$.

उदाहरण 2

वृत्त के व्यास के सिरे इसकी स्पर्शरेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए हमें केंद्र $O$ और व्यास $AB$ वाला एक वृत्त दिया जाए। स्पर्शरेखा $l$ बनाएं और $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ की दूरी बनाएं। आइए $OH$ की त्रिज्या बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2।

चूंकि $AD$ और $BC$ स्पर्शरेखा की दूरी हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूंकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए $OH | \बाएं|विज्ञापन\दाएं||BC$. इस सब से हम पाते हैं कि $ABCD$ एक समलंब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं

ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र। अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र पर विचार करेंगे। ऐसा क्यों है और आप इसे कैसे समझ सकते हैं? अगर कोई समझ है, तो उसे सीखने की जरूरत नहीं है। यदि आप केवल यह सूत्र देखना चाहते हैं और क्या जरूरी है, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम में।

एक चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज के दो पक्ष समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समांतर नहीं हैं वे ट्रैपेज़ॉयड के आधार हैं। अन्य दो भुजाएँ कहलाती हैं।

यदि भुजाएँ समान हैं, तो समलम्बाकार को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि पक्षों में से एक आधार के लंबवत है, तो ऐसे ट्रेपोज़ॉइड को आयताकार कहा जाता है।

शास्त्रीय रूप में, ट्रेपेज़ॉइड को निम्नानुसार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, छोटा शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी इसका चित्रण करने से मना नहीं करता है और इसके विपरीत। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा।
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। माध्यिका रेखा ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।

अब आइए गहराई से देखें। बिल्कुल क्यों?

आधारों के साथ एक चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ एल, और कुछ अतिरिक्त निर्माण करते हैं: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचते हैं जब तक कि वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

*अनिवार्य पदनामों से बचने के लिए कोने और अन्य बिंदुओं के पत्र पदनाम जानबूझकर दर्ज नहीं किए जाते हैं।

देखिए त्रिभुजों की समता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 समान हैं। त्रिकोण की समानता से तत्वों की समानता होती है, अर्थात् पैर (वे क्रमशः नीले और लाल रंग में इंगित किए जाते हैं)।

अब ध्यान ! यदि हम निचले आधार से नीले और लाल खंडों को मानसिक रूप से "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का किनारा है) होगा। इसके अलावा, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" करते हैं, तो हमें ट्रेपोज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।

समझ गया? यह पता चला है कि आधारों का योग चतुर्भुज के दो मध्य के बराबर होगा:

एक और व्याख्या देखें

चलिए निम्नलिखित करते हैं - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का निर्माण करें जो बिंदु A और B से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों में बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा संकेत)। इसका मतलब है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में चिह्नित किया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब एक त्रिभुज पर विचार करें:

*इस समलम्बाकार की माध्यिका रेखा और त्रिभुज की माध्यिका रेखा संपाती है।

यह ज्ञात है कि त्रिभुज इसके समांतर आधार के आधे के बराबर है, अर्थात:

ठीक है समझ आ गया। अब ट्रेपेज़ियम के क्षेत्र के बारे में।

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

यही है, यह पता चला है कि यह मिडलाइन और ऊंचाई के उत्पाद के बराबर है:

आपने शायद पहले ही गौर कर लिया है कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को चतुर्भुज से काटते हैं और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखते हैं:

तब हमें अपने समलम्बाकार के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल में एक आयत मिलता है। इस आयत का क्षेत्रफल मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन यहाँ बिंदु लिखित रूप में नहीं है, बल्कि समझ में है।

*पीडीएफ प्रारूप में लेख की सामग्री को डाउनलोड (देखें) करें

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, सिकंदर।

इस लेख में, आपके लिए ट्रेपोज़ॉइड के साथ कार्यों का एक और चयन किया गया है। स्थितियाँ किसी न किसी तरह इसकी मध्य रेखा से जुड़ी होती हैं। विशिष्ट कार्यों के खुले बैंक से कार्य प्रकार लिए जाते हैं। आप चाहें तो अपने सैद्धान्तिक ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं। ब्लॉग में पहले से ही ऐसे कार्य शामिल हैं जिनकी शर्तें संबंधित हैं, साथ ही साथ। संक्षेप में मध्य रेखा के बारे में:

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। यह आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

समस्याओं को हल करने से पहले, आइए एक सैद्धांतिक उदाहरण पर विचार करें।

एक चतुर्भुज ABCD दिया है। विकर्ण AC मध्य रेखा के साथ प्रतिच्छेद करने पर एक बिंदु K, विकर्ण BD एक बिंदु L बनाता है। सिद्ध कीजिए कि खंड KL आधारों के अंतर के आधे के बराबर है।

आइए पहले इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक समलम्बाकार की मध्य रेखा किसी भी खंड को द्विभाजित करती है जिसके सिरे उसके आधार पर स्थित होते हैं। यह निष्कर्ष खुद बताता है। आधारों के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले एक खंड की कल्पना करें, यह इस चतुर्भुज को दो अन्य में विभाजित करेगा। यह पता चला है कि ट्रेपोज़ॉइड के आधारों के समानांतर एक खंड और दूसरी तरफ के मध्य भाग से गुजरते हुए इसके मध्य से होकर गुजरेगा।

यह थेल्स प्रमेय पर भी आधारित है:

यदि दो सीधी रेखाओं में से एक पर कई समान खंडों को क्रमिक रूप से अलग रखा जाता है और दूसरी सीधी रेखा को पार करते हुए उनके सिरों के माध्यम से समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे दूसरी सीधी रेखा पर समान खंडों को काट देंगे।

अर्थात्, इस स्थिति में, K, AC के मध्य में है और L, BD के मध्य में है। अतः EK त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है, LF त्रिभुज DCB की मध्य रेखा है। त्रिभुज की मध्य रेखा के गुण के अनुसार:

अब हम खण्ड KL को आधारों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

सिद्ध किया हुआ!

यह उदाहरण यूं ही नहीं दिया गया है। स्वतंत्र समाधान के कार्यों में ऐसा ही एक कार्य है। केवल यह नहीं कहता है कि विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड मध्य रेखा पर स्थित है। कार्यों पर विचार करें:

27819. यदि किसी समलम्बाकार का आधार 30 और 16 है, तो उसकी मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।

हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

27820. समलंब की मध्य रेखा 28 है और छोटा आधार 18 है। समलंब का बड़ा आधार ज्ञात कीजिए।

आइए बड़े आधार को व्यक्त करें:

इस प्रकार:

27836. समद्विबाहु समलम्बाकार के बड़े आधार पर एक अधिक कोण के शीर्ष से गिरा हुआ लम्ब इसे 10 और 4 लंबाई वाले भागों में विभाजित करता है। इस समलंब की मध्य रेखा का पता लगाएं।

मध्य रेखा खोजने के लिए, आपको आधारों को जानना होगा। आधार AB खोजना आसान है: 10+4=14। डीसी खोजें।

आइए दूसरा लंब DF बनाएँ:

खंड AF, FE और EB क्रमशः 4, 6 और 4 के बराबर होंगे। क्यों?

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में, बड़े आधार पर गिराए गए लंबवत इसे तीन खंडों में विभाजित करते हैं। उनमें से दो, जो कटे हुए समकोण त्रिभुज के पाद हैं, एक दूसरे के बराबर हैं। तीसरा खंड छोटे आधार के बराबर है, क्योंकि संकेतित ऊंचाइयों का निर्माण करते समय, एक आयत बनता है, और आयत में विपरीत भुजाएँ समान होती हैं। इस कार्य में:

इस प्रकार डीसी = 6। हम गणना करते हैं:

27839. समलंब के आधारों का अनुपात 2:3 है, और मध्य रेखा 5 है। छोटा आधार ज्ञात कीजिए।

आइए आनुपातिकता x के गुणांक का परिचय दें। फिर एबी = 3x, डीसी = 2x। हम लिख सकते हैं:

इसलिए, छोटा आधार 2∙2=4 है।

27840. एक समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप 80 है, इसकी मध्य रेखा पार्श्व भुजा के बराबर है। ट्रेपेज़ॉइड के किनारे का पता लगाएं।

स्थिति के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

यदि हम मध्य रेखा को x से निरूपित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

दूसरा समीकरण पहले से ही लिखा जा सकता है:

27841. समलंब की मध्य रेखा 7 है, और इसका एक आधार दूसरे से 4 अधिक है। समलंब का बड़ा आधार ज्ञात कीजिए।

आइए छोटे आधार (DC) को x के रूप में निरूपित करें, फिर बड़ा आधार (AB) x + 4 के बराबर होगा। हम रिकॉर्ड कर सकते हैं

हमें पता चला कि छोटा आधार पाँच से पहले है, जिसका अर्थ है कि बड़ा आधार 9 के बराबर है।

27842. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा 12 है। विकर्णों में से एक इसे दो खंडों में विभाजित करता है, जिसका अंतर 2 है। ट्रैपेज़ॉइड का बड़ा आधार खोजें।

यदि हम खण्ड ईओ की गणना करें तो हम आसानी से समलंब के बड़े आधार का पता लगा सकते हैं। यह त्रिभुज ADB में मध्य रेखा है, और AB=2∙EO है।

हमारे पास क्या है? ऐसा कहा जाता है कि मध्य रेखा 12 के बराबर है और खंडों EO और OF के बीच का अंतर 2 के बराबर है। हम दो समीकरण लिख सकते हैं और सिस्टम को हल कर सकते हैं:

यह स्पष्ट है कि इस मामले में गणना के बिना संख्याओं की एक जोड़ी का चयन करना संभव है, ये 5 और 7 हैं। लेकिन, फिर भी, हम सिस्टम को हल करेंगे:

अतः EO=12–5=7. इस प्रकार, बड़ा आधार AB=2∙EO=14 के बराबर है।

27844. एक समद्विबाहु समलंब में, विकर्ण लंबवत होते हैं। समलम्बाकार की ऊँचाई 12 है। इसकी मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।

तुरंत, हम ध्यान दें कि एक समद्विबाहु समलम्बाकार में विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से खींची गई ऊँचाई समरूपता के अक्ष पर स्थित होती है और समलम्बाकार को दो समान आयताकार समलम्बाकार में विभाजित करती है, अर्थात, इस ऊँचाई के आधार आधे में विभाजित होते हैं।

ऐसा लगता है कि औसत रेखा की गणना करने के लिए हमें आधार खोजने होंगे। यहाँ एक छोटा सा गतिरोध उत्पन्न होता है ... कैसे, ऊँचाई को जानते हुए, इस मामले में, आधारों की गणना करें? और कैसे नहीं! एक निश्चित ऊंचाई और 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करने वाले विकर्णों के साथ ऐसे कई समलम्बाकार बनाए जा सकते हैं। हो कैसे?

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के सूत्र को देखें। आखिरकार, हमें स्वयं आधारों को जानने की आवश्यकता नहीं है, यह उनके योग (या अर्ध-योग) को जानने के लिए पर्याप्त है। यह हम कर सकते हैं।

चूँकि विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ऊँचाई EF के साथ बनते हैं:

उपरोक्त से यह पता चलता है कि एफओ=डीएफ=एफसी, और ओई=एई=ईबी। अब आइए लिखते हैं कि DF और AE खंडों के माध्यम से व्यक्त की गई ऊँचाई किसके बराबर है:

अतः मध्य रेखा 12 है।

* सामान्य तौर पर, यह एक समस्या है, जैसा कि आप समझते हैं, मौखिक खाते के लिए। लेकिन मुझे यकीन है कि प्रदान की गई विस्तृत व्याख्या आवश्यक है। और इसलिए ... यदि आप आकृति को देखते हैं (बशर्ते कि निर्माण के दौरान विकर्णों के बीच का कोण देखा जाता है), समानता FO=DF=FC, और OE=AE=EB तुरंत आपकी आंख पकड़ लेती है।

प्रोटोटाइप के भाग के रूप में, ट्रेपेज़ोइड्स के साथ प्रकार के कार्य भी होते हैं। यह एक सेल में एक शीट पर बनाया गया था और मध्य रेखा को खोजने के लिए आवश्यक है, सेल का किनारा आमतौर पर 1 होता है, लेकिन एक और मान हो सकता है।

27848. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा का पता लगाएं ए बी सी डीयदि वर्ग कोशिकाओं की भुजाएँ 1 हैं।

यह सरल है, हम कोशिकाओं द्वारा आधारों की गणना करते हैं और सूत्र का उपयोग करते हैं: (2 + 4) / 2 = 3

यदि बेस को सेल ग्रिड के कोण पर बनाया गया है, तो दो तरीके हैं। उदाहरण के लिए!

एक चतुर्भुज चतुर्भुज का एक विशेष मामला है जिसमें पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है। "ट्रेपेज़ॉइड" शब्द ग्रीक शब्द τράπεζα से आया है, जिसका अर्थ है "टेबल", "टेबल"। इस लेख में हम ट्रेपेज़ियम के प्रकार और उसके गुणों पर विचार करेंगे। इसके अलावा, हम यह पता लगाएंगे कि इस उदाहरण के अलग-अलग तत्वों की गणना कैसे करें, समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण, मध्य रेखा, क्षेत्र, आदि। सामग्री को प्राथमिक लोकप्रिय ज्यामिति की शैली में प्रस्तुत किया गया है, जो कि आसानी से सुलभ है। प्रपत्र।

सामान्य जानकारी

सबसे पहले, आइए समझते हैं कि चतुर्भुज क्या है। यह आकृति एक बहुभुज की एक विशेष स्थिति है जिसमें चार भुजाएँ और चार शीर्ष हैं। चतुर्भुज के दो शीर्ष जो आसन्न नहीं हैं विपरीत कहलाते हैं। यही बात दो असम्बद्ध भुजाओं के बारे में भी कही जा सकती है। मुख्य प्रकार के चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज, आयत, रोम्बस, वर्ग, ट्रेपेज़ॉइड और डेल्टॉइड हैं।

तो, ट्रैपेज़ पर वापस। जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, इस आकृति की दो भुजाएँ समानांतर हैं। उन्हें आधार कहा जाता है। अन्य दो (गैर-समानांतर) भुजाएँ हैं। परीक्षाओं और विभिन्न परीक्षणों की सामग्री में, ट्रेपेज़ोइड्स से संबंधित कार्य अक्सर पाए जा सकते हैं, जिसके समाधान के लिए अक्सर छात्र को ज्ञान की आवश्यकता होती है जो कार्यक्रम द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम छात्रों को कोणों और विकर्णों के गुणों के साथ-साथ एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा से परिचित कराता है। लेकिन इसके अलावा, उल्लिखित ज्यामितीय आकृति में अन्य विशेषताएं हैं। लेकिन उन पर और बाद में ...

ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार

यह आकृति कई प्रकार की होती है। हालांकि, अक्सर उनमें से दो पर विचार करने की प्रथा है - समद्विबाहु और आयताकार।

1. एक आयताकार चतुर्भुज एक ऐसी आकृति है जिसमें एक भुजा आधारों के लंबवत होती है। इसमें दो कोण होते हैं जो हमेशा नब्बे अंश के होते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलंब एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसका अर्थ है कि आधारों पर कोण भी युग्मवार बराबर होते हैं।

ट्रेपोज़ॉइड के गुणों का अध्ययन करने के लिए कार्यप्रणाली के मुख्य सिद्धांत

मुख्य सिद्धांत तथाकथित कार्य दृष्टिकोण का उपयोग है। वास्तव में, इस आकृति के नए गुणों को ज्यामिति के सैद्धांतिक पाठ्यक्रम में पेश करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उन्हें विभिन्न समस्याओं (प्रणालीगत से बेहतर) को हल करने की प्रक्रिया में खोजा और तैयार किया जा सकता है। इसी समय, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि शिक्षक जानता है कि शैक्षिक प्रक्रिया के एक या दूसरे समय में छात्रों के लिए कौन से कार्य निर्धारित किए जाने चाहिए। इसके अलावा, ट्रैपेज़ॉइड की प्रत्येक संपत्ति को कार्य प्रणाली में एक महत्वपूर्ण कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दूसरा सिद्धांत ट्रेपेज़ियम के "उल्लेखनीय" गुणों के अध्ययन का तथाकथित सर्पिल संगठन है। इसका तात्पर्य किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति की व्यक्तिगत विशेषताओं के लिए सीखने की प्रक्रिया में वापसी से है। इस प्रकार, छात्रों के लिए उन्हें याद रखना आसान होता है। उदाहरण के लिए, चार बिंदुओं की संपत्ति। यह समानता के अध्ययन और बाद में वैक्टर की मदद से दोनों में सिद्ध किया जा सकता है। और आकृति की भुजाओं से सटे त्रिभुजों के समान क्षेत्रफल को न केवल उन त्रिभुजों के गुणों को लागू करके सिद्ध किया जा सकता है, जो एक ही रेखा पर स्थित भुजाओं के समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के गुण हैं, बल्कि सूत्र S = 1/2 का उपयोग करके भी (एबी * पाप α)। इसके अलावा, आप एक खुदा हुआ समलम्बाकार या एक समकोण त्रिभुज पर एक परिबद्ध समलम्बाकार आदि पर काम कर सकते हैं।

स्कूल पाठ्यक्रम की सामग्री में एक ज्यामितीय आकृति की "आउट-ऑफ-प्रोग्राम" विशेषताओं का उपयोग उन्हें पढ़ाने के लिए एक कार्य तकनीक है। अन्य विषयों से गुजरते समय अध्ययन किए गए गुणों के लिए निरंतर अपील छात्रों को ट्रेपोज़ॉइड का गहरा ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देती है और कार्यों को हल करने की सफलता सुनिश्चित करती है। तो, आइए इस अद्भुत आकृति का अध्ययन करना शुरू करें।

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड के तत्व और गुण

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, इस ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ बराबर होती हैं। इसे राइट ट्रैपेज़ॉइड के रूप में भी जाना जाता है। यह इतना उल्लेखनीय क्यों है और इसे ऐसा नाम क्यों मिला? इस आकृति की विशेषताओं में यह तथ्य शामिल है कि आधार पर न केवल भुजाएँ और कोने समान हैं, बल्कि विकर्ण भी हैं। साथ ही, एक समद्विबाहु समलंब के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। लेकिन वह सब नहीं है! सभी ज्ञात समलम्बों में से केवल एक समद्विबाहु के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इस आकृति के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है, और केवल इस शर्त के तहत चतुर्भुज के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है। विचाराधीन ज्यामितीय आकृति की अगली संपत्ति यह है कि आधार शीर्ष से सीधी रेखा पर विपरीत शीर्ष के प्रक्षेपण तक की दूरी जिसमें यह आधार शामिल है, मध्य रेखा के बराबर होगा।

अब आइए जानें कि एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड के कोण कैसे ज्ञात करें। इस समस्या के समाधान पर विचार करें, बशर्ते कि आकृति की भुजाओं के आयाम ज्ञात हों।

समाधान

आमतौर पर, एक चतुर्भुज को आमतौर पर ए, बी, सी, डी अक्षरों से दर्शाया जाता है, जहां बीएस और एडी आधार होते हैं। एक समद्विबाहु समलंब में, भुजाएँ समान होती हैं। हम मानेंगे कि उनका आकार X है, और आधारों का आकार Y और Z (क्रमशः छोटा और बड़ा) है। गणना करने के लिए, कोण B से ऊँचाई H खींचना आवश्यक है। परिणाम एक समकोण त्रिभुज ABN है, जहाँ AB कर्ण है, और BN और AN पैर हैं। हम पैर के आकार की गणना करते हैं: हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं, और परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं। हम इसे एक सूत्र के रूप में लिखते हैं: (Z-Y) / 2 \u003d F. अब, गणना करने के लिए त्रिकोण के न्यून कोण, हम कॉस फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। हमें निम्न रिकॉर्ड मिलता है: cos(β) = Х/F। अब हम कोण की गणना करते हैं: β=arcos (Х/F)। इसके अलावा, एक कोण को जानने के बाद, हम दूसरे को निर्धारित कर सकते हैं, इसके लिए हम प्राथमिक अंकगणितीय ऑपरेशन करते हैं: 180 - β। सभी कोण परिभाषित हैं।

इस समस्या का दूसरा समाधान भी है। शुरुआत में, हम कोने बी से ऊंचाई एच कम करते हैं। हम बीएन पैर के मूल्य की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पादों के वर्गों के योग के बराबर होता है। हमें मिलता है: बीएन \u003d √ (एक्स2-एफ2)। अगला, हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन tg का उपयोग करते हैं। नतीजतन, हमारे पास: β = आर्कटग (बीएन / एफ)। तीखा कोना मिला। अगला, हम पहली विधि के समान ही निर्धारित करते हैं।

एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड के विकर्णों की संपत्ति

आइए पहले चार नियम लिखें। यदि एक समद्विबाहु चतुर्भुज में विकर्ण लंबवत हैं, तो:

आकृति की ऊंचाई दो से विभाजित आधारों के योग के बराबर होगी;

इसकी ऊँचाई और मध्य रेखा बराबर होती है;

वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जहां ;

यदि पार्श्व पक्ष को एच और एम खंडों में संपर्क के बिंदु से विभाजित किया जाता है, तो यह इन खंडों के उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है;

चतुर्भुज, जो स्पर्शरेखा बिंदुओं, ट्रेपेज़ॉइड के शीर्ष और खुदे हुए वृत्त के केंद्र से बना है, एक वर्ग है जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर है;

किसी आकृति का क्षेत्रफल आधारों के गुणनफल और आधारों के आधे योग और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

समान ट्रेपेज़ियम

यह विषय इस एक के गुणों का अध्ययन करने के लिए बहुत सुविधाजनक है।उदाहरण के लिए, विकर्ण चतुर्भुज को चार त्रिकोणों में विभाजित करते हैं, और जो आधारों से सटे हैं वे समान हैं, और पक्षों के बराबर हैं। इस कथन को त्रिभुजों का एक गुण कहा जा सकता है जिसमें समलंब को इसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया गया है। इस कथन का प्रथम भाग दो कोणों में समानता की कसौटी से सिद्ध होता है। दूसरे भाग को सिद्ध करने के लिए नीचे दी गई विधि का उपयोग करना बेहतर है।

प्रमेय का प्रमाण

हम स्वीकार करते हैं कि एबीएसडी (एडी और बीएस - ट्रैपेज़ॉयड के आधार) का आंकड़ा विकर्ण वीडी और एसी द्वारा विभाजित है। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु O है। हमें चार त्रिकोण मिलते हैं: AOS - निचले आधार पर, BOS - ऊपरी आधार पर, ABO और SOD किनारों पर। यदि खंड BO और OD उनके आधार हैं, तो त्रिकोण SOD और BOS की एक सामान्य ऊंचाई है। हम पाते हैं कि उनके क्षेत्रों (पी) के बीच का अंतर इन खंडों के बीच के अंतर के बराबर है: पीबीओएस / पीएसओडी = बीओ / ओडी = के। इसलिए, पीएसओडी = पीबीओएस / के। इसी प्रकार, BOS और AOB त्रिभुजों की एक समान ऊँचाई होती है। हम खंड CO और OA को उनके आधार के रूप में लेते हैं। हमें PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K और PAOB \u003d PBOS / K मिलता है। इससे यह पता चलता है कि पीएसओडी = पीएओबी।

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्रों को सलाह दी जाती है कि वे निम्न समस्या को हल करके परिणामी त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच एक संबंध खोजें, जिसमें ट्रेपेज़ॉइड को इसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया गया है। यह ज्ञात है कि त्रिभुजों BOS और AOD के क्षेत्रफल बराबर हैं, समलम्बाकार का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। पीएसओडी \u003d पीएओबी के बाद से, इसका मतलब है कि पीएबीएसडी \u003d पीबीओएस + पीएओडी + 2 * पीएसओडी। त्रिभुजों BOS और AOD की समानता से यह इस प्रकार है कि BO / OD = √ (PBOS / PAOD)। इसलिए, पीबीओएस/पीएसओडी = बीओ/ओडी = √(पीबीओएस/पीएओडी)। हमें पीएसओडी = √ (पीबीओएस * पीएओडी) मिलता है। फिर पीएबीएसडी = पीबीओएस+पीएओडी+2*√(पीबीओएस*पीएओडी) = (√पीबीओएस+√पीएओडी)2.

समानता गुण

इस विषय को विकसित करना जारी रखते हुए, हम समलंबों की अन्य दिलचस्प विशेषताओं को सिद्ध कर सकते हैं। तो, समानता का उपयोग करके, आप एक खंड की संपत्ति को साबित कर सकते हैं जो आधारों के समानांतर इस ज्यामितीय आकृति के विकर्णों के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित बिंदु से गुजरता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: खंड RK की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है, जो बिंदु O से होकर गुजरता है। त्रिभुज AOD और BOS की समानता से, यह अनुसरण करता है कि AO/OS=AD/BS। त्रिभुज AOP और ASB की समानता से, यह इस प्रकार है कि AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD)। यहाँ से हमें वह RO \u003d BS * AD / (BS + AD) मिलता है। इसी तरह, त्रिकोण DOK और DBS की समानता से, यह OK \u003d BS * AD / (BS + AD) का अनुसरण करता है। यहाँ से हम पाते हैं कि RO=OK और RK=2*BS*AD/(BS+AD). विकर्णों के चौराहे के बिंदु से गुजरने वाला खंड, आधारों के समानांतर और दो पक्षों को जोड़ने वाला, आधे में चौराहे के बिंदु से विभाजित होता है। इसकी लंबाई आकृति के आधारों का हार्मोनिक माध्य है।

एक समलंब के निम्नलिखित गुण पर विचार करें, जिसे चार बिंदुओं का गुण कहा जाता है। विकर्णों (O) के प्रतिच्छेदन बिंदु, पक्षों (E) की निरंतरता के चौराहों के साथ-साथ आधारों के मध्य बिंदु (T और W) हमेशा एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। यह समानता विधि द्वारा आसानी से सिद्ध होता है। परिणामी त्रिभुज BES और AED समरूप हैं, और उनमें से प्रत्येक में माध्यिकाएँ ET और EZH शीर्ष E पर कोण को समान भागों में विभाजित करती हैं। इसलिए, बिंदु E, T और W एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं। उसी तरह, अंक टी, ओ, और जी एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह सब त्रिकोण बीओएस और एओडी की समानता से होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चारों बिंदु - E, T, O और W - एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

समान ट्रेपेज़ोइड्स का उपयोग करते हुए, छात्रों को उस खंड (LF) की लंबाई का पता लगाने के लिए कहा जा सकता है जो आकृति को दो समान भागों में विभाजित करता है। यह खंड आधारों के समानांतर होना चाहिए। चूंकि परिणामी ट्रैपेज़ोइड्स एएलएफडी और एलबीएसएफ समान हैं, तो बीएस/एलएफ = एलएफ/बीपी। यह इस प्रकार है कि एलएफ = √ (बीएस * बीपी)। हम पाते हैं कि वह खंड जो ट्रेपेज़ॉइड को दो समान भागों में विभाजित करता है, की लंबाई आकृति के आधारों की लंबाई के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।

निम्नलिखित समानता संपत्ति पर विचार करें। यह एक खंड पर आधारित है जो समलम्बाकार को दो समान आकार के आकृतियों में विभाजित करता है। हम स्वीकार करते हैं कि ट्रैपेज़ॉयड एबीएसडी सेगमेंट एन द्वारा दो समान लोगों में बांटा गया है। शीर्ष B से, ऊँचाई को छोड़ दिया जाता है, जिसे खंड EH द्वारा दो भागों - B1 और B2 में विभाजित किया जाता है। हमें मिलता है: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 और PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2। अगला, हम एक ऐसी प्रणाली की रचना करते हैं जिसका पहला समीकरण है (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 और दूसरा (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. यह इस प्रकार है कि B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) और BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1)। हम पाते हैं कि ट्रेपेज़ॉइड को दो समान भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधारों की लंबाई के औसत वर्ग के बराबर है: √ (((BS2 + AD2) / 2)।

समानता अनुमान

इस प्रकार, हमने सिद्ध किया है कि:

1. ट्रैपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड AD और BS के समानांतर है और BS और AD के अंकगणितीय माध्य (ट्रेपेज़ॉइड के आधार की लंबाई) के बराबर है।

2. AD और BS के समानांतर विकर्णों के चौराहे के बिंदु O से गुजरने वाली रेखा संख्या AD और BS (2 * BS * AD / (BS + AD)) के हार्मोनिक माध्य के बराबर होगी।

3. वह खंड जो ट्रैपेज़ॉइड को समान रूप से विभाजित करता है, बीएस और एडी के आधारों के ज्यामितीय माध्य की लंबाई है।

4. एक तत्व जो एक आकृति को दो समान भागों में विभाजित करता है, औसत वर्ग संख्या AD और BS की लंबाई होती है।

सामग्री को समेकित करने और विचार किए गए खंडों के बीच संबंध को समझने के लिए, छात्र को उन्हें एक विशिष्ट समलंब के लिए बनाने की आवश्यकता है। वह आसानी से मध्य रेखा और उस खंड को प्रदर्शित कर सकता है जो बिंदु O से होकर गुजरता है - आकृति के विकर्णों का प्रतिच्छेदन - आधारों के समानांतर। लेकिन तीसरा और चौथा कहां होगा? यह उत्तर छात्र को औसत के बीच वांछित संबंध की खोज की ओर ले जाएगा।

एक रेखा खंड जो समलंब के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाता है

इस चित्र के निम्नलिखित गुण पर विचार कीजिए। हम स्वीकार करते हैं कि खंड MH आधारों के समानांतर है और विकर्णों को समद्विभाजित करता है। आइए चौराहों के बिंदुओं को W और W कहते हैं। यह खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होगा। आइए इसका अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। MSH - त्रिभुज ABS की मध्य रेखा, यह BS / 2 के बराबर है। MS - त्रिभुज ABD की मध्य रेखा, यह AD / 2 के बराबर है। तब हम पाते हैं कि ShShch = MSch-MSh, इसलिए, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2।

ग्रैविटी केंद्र

आइए देखें कि किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के लिए यह तत्व कैसे निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, विपरीत दिशाओं में आधारों का विस्तार करना आवश्यक है। इसका मतलब क्या है? निचले आधार को ऊपरी आधार से जोड़ना आवश्यक है - किसी भी पक्ष में, उदाहरण के लिए, दाईं ओर। और निचले हिस्से को ऊपर की ओर बाईं ओर की लंबाई से बढ़ाया जाता है। इसके बाद, हम उन्हें एक विकर्ण से जोड़ते हैं। आकृति के मध्य रेखा के साथ इस खंड का प्रतिच्छेदन बिंदु समलंब के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

खुदा और परिचालित ट्रेपेज़ोइड्स

आइए ऐसे आंकड़ों की विशेषताएं सूचीबद्ध करें:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज को केवल एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि वह समद्विबाहु हो।

2. एक वृत्त के चारों ओर एक चतुर्भुज का वर्णन किया जा सकता है, बशर्ते कि उनके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

उत्कीर्ण चक्र के परिणाम:

1. वर्णित चतुर्भुज की ऊँचाई हमेशा दो त्रिज्याओं के बराबर होती है।

2. वर्णित ट्रैपोज़ाइड का पार्श्व पक्ष सर्कल के केंद्र से समकोण पर देखा जाता है।

पहला कोरोलरी स्पष्ट है, और दूसरे को साबित करने के लिए यह स्थापित करना आवश्यक है कि एसओडी कोण सही है, जो वास्तव में मुश्किल भी नहीं होगा। लेकिन इस संपत्ति का ज्ञान हमें समस्याओं को हल करने में समकोण त्रिभुज का उपयोग करने की अनुमति देगा।

अब हम इन परिणामों को समद्विबाहु समलम्बाकार के लिए निर्दिष्ट करते हैं, जो एक वृत्त में खुदा हुआ है। हम पाते हैं कि ऊँचाई आकृति के आधारों का ज्यामितीय माध्य है: H=2R=√(BS*AD)। ट्रैपेज़ोइड्स (दो ऊंचाइयों को खींचने का सिद्धांत) के लिए समस्याओं को हल करने की मुख्य तकनीक का अभ्यास करते हुए, छात्र को निम्नलिखित कार्य को हल करना चाहिए। हम स्वीकार करते हैं कि BT समद्विबाहु आकृति ABSD की ऊँचाई है। एटी और टीडी सेगमेंट ढूंढना जरूरी है। ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करना मुश्किल नहीं होगा।

अब आइए जानें कि परिचालित ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र का उपयोग करके किसी वृत्त की त्रिज्या का निर्धारण कैसे किया जाए। हम शीर्ष B से आधार AD की ऊँचाई कम करते हैं। चूँकि वृत्त एक ट्रेपेज़ॉइड में खुदा हुआ है, फिर BS + AD \u003d 2AB या AB \u003d (BS + AD) / 2। त्रिभुज ABN से हम sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD) पाते हैं। पीएबीएसडी \u003d (बीएस + एडी) * बीएन / 2, बीएन \u003d 2 आर। हमें PABSD \u003d (BS + HELL) * R मिलता है, यह R \u003d PABSD / (BS + HELL) का अनुसरण करता है।