"नहीं कोई भी नहीं एक बच्चा नहीं काबिल, औसत दर्जे का. महत्वपूर्ण, को यह दिमाग, यह प्रतिभा बनना आधार सफलता वी शिक्षण, को कोई भी नहीं एक विद्यार्थी नहीं अध्ययन नीचे उनका अवसर" (सुखोमलिंस्की वी.ए.)

गणितीय क्षमता क्या है? या क्या वे सामान्य मानसिक प्रक्रियाओं और व्यक्तित्व लक्षणों की गुणात्मक विशेषज्ञता के अलावा और कुछ नहीं हैं, यानी गणितीय गतिविधि के संबंध में विकसित सामान्य बौद्धिक क्षमताएं? क्या गणितीय क्षमता एकात्मक या अभिन्न गुण है? बाद के मामले में, हम गणितीय क्षमताओं की संरचना, इस जटिल शिक्षा के घटकों के बारे में बात कर सकते हैं। मनोवैज्ञानिक और शिक्षक सदी की शुरुआत से ही इन सवालों के जवाब तलाश रहे हैं, लेकिन गणितीय क्षमताओं की समस्या पर अभी भी कोई एक दृष्टिकोण नहीं है। आइए इस समस्या पर काम करने वाले कुछ प्रमुख विशेषज्ञों के काम का विश्लेषण करके इन मुद्दों को समझने का प्रयास करें।

मनोविज्ञान में सामान्य रूप से क्षमताओं की समस्या और विशेष रूप से स्कूली बच्चों की क्षमताओं की समस्या को बहुत महत्व दिया गया है। मनोवैज्ञानिकों के कई अध्ययनों का उद्देश्य विभिन्न प्रकार की गतिविधियों के लिए स्कूली बच्चों की क्षमताओं की संरचना को प्रकट करना है।

विज्ञान में, विशेष रूप से मनोविज्ञान में, क्षमताओं के सार, उनकी संरचना, उत्पत्ति और विकास के बारे में चर्चा जारी है। योग्यता की समस्या के पारंपरिक और नए दृष्टिकोणों के विवरण में जाने के बिना, हम विवाद के कुछ मुख्य बिंदुओं की ओर इशारा करते हैं। विभिन्न बिंदुक्षमता के बारे में मनोवैज्ञानिकों का दृष्टिकोण. हालाँकि, उनमें से इस समस्या के लिए कोई एक दृष्टिकोण नहीं है।

क्षमताओं के सार को समझने में अंतर सबसे पहले इस बात में पाया जाता है कि क्या उन्हें सामाजिक रूप से अर्जित संपत्ति माना जाता है या प्राकृतिक माना जाता है। कुछ लेखक क्षमताओं को किसी व्यक्ति की व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं के एक जटिल के रूप में समझते हैं जो इस गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं और इसके सफल कार्यान्वयन के लिए एक शर्त हैं, जो तैयारियों, मौजूदा ज्ञान, कौशल और क्षमताओं तक सीमित नहीं हैं। यहां आपको कई तथ्यों पर ध्यान देना चाहिए. सबसे पहले, क्षमता है व्यक्तिगत विशेषताएं, अर्थात्, जो एक व्यक्ति को दूसरे से अलग करता है। दूसरे, ये सिर्फ विशेषताएं नहीं हैं, बल्कि मनोवैज्ञानिक विशेषताएं हैं। और, अंत में, क्षमताएं सभी व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताएं नहीं हैं, बल्कि केवल वे हैं जो एक निश्चित गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं।

एक अलग दृष्टिकोण के साथ, के.के. में सबसे अधिक स्पष्ट। प्लैटोनोव के अनुसार, "व्यक्तित्व की गतिशील कार्यात्मक संरचना" के किसी भी गुण को एक क्षमता माना जाता है, यदि यह गतिविधियों के सफल विकास और प्रदर्शन को सुनिश्चित करता है। हालाँकि, जैसा कि वी.डी. ने उल्लेख किया है। शाद्रिकोव के अनुसार, "क्षमताओं के प्रति इस दृष्टिकोण के साथ, समस्या का ऑन्टोलॉजिकल पहलू स्थानांतरित हो जाता है उपार्जन, जिन्हें किसी व्यक्ति की शारीरिक और शारीरिक विशेषताओं के रूप में समझा जाता है, जो क्षमताओं के विकास का आधार बनते हैं। साइकोफिजियोलॉजिकल समस्या का समाधान क्षमताओं के संदर्भ में एक गतिरोध की ओर ले गया, क्योंकि मनोवैज्ञानिक श्रेणी के रूप में क्षमताओं को मस्तिष्क की संपत्ति के रूप में नहीं माना जाता था। सफलता का संकेत अब उत्पादक नहीं रह गया है, क्योंकि किसी गतिविधि की सफलता लक्ष्य, प्रेरणा और कई अन्य कारकों से निर्धारित होती है।" क्षमताओं के उनके सिद्धांत के अनुसार, क्षमताओं को केवल उनके व्यक्तिगत और व्यक्तिगत संबंधों के संबंध में विशेषताओं के रूप में उत्पादक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। सार्वभौमिक।

वी.डी. की प्रत्येक क्षमता के लिए सार्वभौमिक (सामान्य) शाद्रिकोव उस संपत्ति का नाम बताता है जिसके आधार पर एक विशिष्ट मानसिक कार्य का एहसास होता है। प्रत्येक गुण एक कार्यात्मक प्रणाली की एक अनिवार्य विशेषता है। इस संपत्ति का एहसास करने के लिए मानव विकासवादी विकास की प्रक्रिया में एक विशिष्ट कार्यात्मक प्रणाली का गठन किया गया था, उदाहरण के लिए, उद्देश्य दुनिया (धारणा) को पर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करने की संपत्ति या बाहरी प्रभावों (स्मृति) को पकड़ने की संपत्ति इत्यादि। . संपत्ति गतिविधि की प्रक्रिया में प्रकट होती है। इस प्रकार, अब क्षमताओं को सार्वभौमिक दृष्टिकोण से एक कार्यात्मक प्रणाली की संपत्ति के रूप में परिभाषित करना संभव है जो व्यक्तिगत मानसिक कार्यों को लागू करता है।

गुण दो प्रकार के होते हैं: वे जिनमें तीव्रता नहीं होती इसलिए वे उसे बदल नहीं सकते, और वे जिनमें तीव्रता होती है, अर्थात् वे कम या ज्यादा हो सकते हैं। मानविकी मुख्यतः पहले प्रकार के गुणों से संबंधित है, प्राकृतिक विज्ञान दूसरे प्रकार के गुणों से। मानसिक कार्यों की विशेषता उन गुणों से होती है जिनमें तीव्रता, गंभीरता का माप होता है। यह आपको किसी एक (अलग, व्यक्तिगत) के दृष्टिकोण से क्षमता निर्धारित करने की अनुमति देता है। एकल को संपत्ति की गंभीरता के माप द्वारा दर्शाया जाएगा;

इस प्रकार, ऊपर प्रस्तुत सिद्धांत के अनुसार, क्षमताओं को कार्यात्मक प्रणालियों के गुणों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो व्यक्तिगत मानसिक कार्यों को लागू करते हैं, जिनमें गंभीरता का एक व्यक्तिगत माप होता है, जो गतिविधियों के विकास और कार्यान्वयन की सफलता और गुणात्मक मौलिकता में प्रकट होता है। क्षमताओं की गंभीरता के एक व्यक्तिगत माप का मूल्यांकन करते समय, किसी भी गतिविधि को चिह्नित करते समय समान मापदंडों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है: उत्पादकता, गुणवत्ता और विश्वसनीयता (विचारित मानसिक कार्य के संदर्भ में)।

स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का अध्ययन करने के आरंभकर्ताओं में से एक उत्कृष्ट फ्रांसीसी गणितज्ञ ए. पोंकारे थे। उन्होंने रचनात्मक गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता बताई और उनके सबसे महत्वपूर्ण घटक - गणितीय अंतर्ज्ञान पर प्रकाश डाला। उसी समय से इस समस्या का अध्ययन प्रारम्भ हुआ। इसके बाद, मनोवैज्ञानिकों ने तीन प्रकार की गणितीय क्षमताओं की पहचान की - अंकगणित, बीजगणितीय और ज्यामितीय। साथ ही, गणितीय क्षमताओं की उपस्थिति का प्रश्न अघुलनशील रहा।

बदले में, शोधकर्ताओं डब्ल्यू. हेकर और टी. ज़िगेन ने चार मुख्य जटिल घटकों की पहचान की: स्थानिक, तार्किक, संख्यात्मक, प्रतीकात्मक, जो गणितीय क्षमताओं के "मूल" हैं। इन घटकों में, उन्होंने समझ, याद रखना और संचालन के बीच अंतर किया।

गणितीय सोच के मुख्य घटक के साथ-साथ चयनात्मक सोच की क्षमता, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक क्षेत्रों में निगमनात्मक तर्क की क्षमता, अमूर्त सोच की क्षमता, ए. ब्लैकवेल स्थानिक वस्तुओं में हेरफेर करने की क्षमता पर भी प्रकाश डालते हैं। वह मौखिक क्षमता और डेटा को उनके सटीक रूप में संग्रहीत करने की क्षमता को भी नोट करता है सख्त आदेशऔर अर्थ.

उनमें से एक महत्वपूर्ण हिस्सा आज रुचि का है। पुस्तक में, जिसे मूल रूप से "बीजगणित का मनोविज्ञान" कहा जाता था, ई. थार्नडाइक ने सबसे पहले इसका सूत्रीकरण किया आम हैं गणितीय क्षमताओं: प्रतीकों को संभालने, संबंधों को चुनने और स्थापित करने, सामान्यीकरण और व्यवस्थित करने, एक निश्चित तरीके से आवश्यक तत्वों और डेटा का चयन करने, विचारों और कौशल को एक प्रणाली में लाने की क्षमता। उन्होंने प्रकाश भी डाला विशेष बीजगणितीय क्षमताओं: सूत्रों को समझने और बनाने की क्षमता, मात्रात्मक संबंधों को एक सूत्र के रूप में व्यक्त करना, सूत्रों को बदलना, दिए गए मात्रात्मक संबंधों को व्यक्त करते हुए समीकरण लिखना, समीकरणों को हल करना, समान बीजगणितीय परिवर्तन करना, ग्राफिक रूप से दो मात्राओं की कार्यात्मक निर्भरता को व्यक्त करना आदि।

ई. थार्नडाइक के कार्यों के प्रकाशन के बाद से गणितीय क्षमताओं के सबसे महत्वपूर्ण अध्ययनों में से एक स्वीडिश मनोवैज्ञानिक आई. वर्डेलिन का है। वह गणितीय क्षमता की एक बहुत व्यापक परिभाषा देता है, जो प्रजनन और उत्पादक पहलुओं, समझ और अनुप्रयोग को दर्शाता है, लेकिन वह इन पहलुओं में से सबसे महत्वपूर्ण - उत्पादक पहलू पर ध्यान केंद्रित करता है, जिसे वह समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में तलाशता है। वैज्ञानिक का मानना ​​है कि शिक्षण पद्धति गणितीय क्षमताओं की प्रकृति को प्रभावित कर सकती है।

सबसे बड़े स्विस मनोवैज्ञानिक जे. पियागेट ने दिया बडा महत्वमानसिक संचालन, बुद्धि के ओटोजेनेटिक विकास में विशिष्ट डेटा से जुड़े थोड़ा औपचारिक विशिष्ट संचालन के चरण और सामान्यीकृत औपचारिक संचालन के चरण पर प्रकाश डालते हैं, जब ऑपरेटर संरचनाएं व्यवस्थित होती हैं। उन्होंने उत्तरार्द्ध को एन. बॉर्बकी द्वारा पहचानी गई तीन मूलभूत गणितीय संरचनाओं के साथ सहसंबद्ध किया: बीजगणितीय, क्रम संरचनाएं, और टोपोलॉजिकल। जे. पियागेट ने बच्चे के दिमाग में अंकगणितीय और ज्यामितीय संचालन के विकास और तार्किक संचालन की विशेषताओं में इन सभी प्रकार की संरचनाओं की खोज की। इसलिए गणित पढ़ाने की प्रक्रिया में गणितीय संरचनाओं और सोच की ऑपरेटर संरचनाओं के संश्लेषण की आवश्यकता के बारे में निष्कर्ष निकाला गया है।

मनोविज्ञान में, वी.ए. क्रुतेत्स्की। अपनी पुस्तक "स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान" में उन्होंने स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं की संरचना की निम्नलिखित सामान्य योजना दी है। सबसे पहले, गणितीय जानकारी प्राप्त करना गणितीय सामग्री की धारणा को औपचारिक बनाने, समस्या की संरचना को समझने की क्षमता है। दूसरे, गणितीय जानकारी का प्रसंस्करण मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकवाद, गणितीय प्रतीकों में सोचने की क्षमता, गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को जल्दी और व्यापक रूप से सामान्यीकृत करने की क्षमता के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता है। गणितीय तर्क की प्रक्रिया और प्रणाली के अनुरूप कार्यों को सीमित करने की क्षमता, मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता। इसके लिए गणितीय गतिविधि में विचार प्रक्रियाओं के लचीलेपन, स्पष्टता, सरलता, मितव्ययिता और निर्णयों की तर्कसंगतता की इच्छा की भी आवश्यकता होती है। विचार प्रक्रिया की दिशा को त्वरित और स्वतंत्र रूप से पुनर्गठित करने, विचार के सीधे से विपरीत दिशा में स्विच करने (गणितीय तर्क में विचार प्रक्रिया की उलटने की क्षमता) द्वारा यहां एक आवश्यक भूमिका निभाई जाती है। तीसरा, गणितीय जानकारी का भंडारण गणितीय स्मृति (गणितीय संबंधों, विशिष्ट विशेषताओं, तर्क और प्रमाण योजनाओं, समस्याओं को हल करने के तरीकों और उन तक पहुंचने के सिद्धांतों के लिए सामान्यीकृत स्मृति) है। और, अंत में, सामान्य सिंथेटिक घटक मन का गणितीय अभिविन्यास है। ऊपर उद्धृत सभी अध्ययन हमें यह बताने की अनुमति देते हैं कि सामान्य गणितीय तर्क का कारक सामान्य मानसिक क्षमताओं को रेखांकित करता है, और गणितीय क्षमताओं का एक सामान्य बौद्धिक आधार होता है।

क्षमताओं के सार की एक अलग समझ से, उनकी संरचना के प्रकटीकरण के लिए एक अलग दृष्टिकोण आता है, जो अलग-अलग लेखकों के लिए अलग-अलग गुणों के एक समूह के रूप में प्रकट होता है, जिन्हें अलग-अलग आधारों पर और अलग-अलग अनुपात में वर्गीकृत किया जाता है।

क्षमताओं की उत्पत्ति और विकास, गतिविधि के साथ उनके संबंध के प्रश्न का कोई एक उत्तर नहीं है। इस दावे के साथ कि किसी व्यक्ति में गतिविधि से पहले उसके कार्यान्वयन के लिए एक शर्त के रूप में क्षमताएं अपने सामान्य रूप में मौजूद होती हैं। एक और, विरोधाभासी दृष्टिकोण भी व्यक्त किया गया: बी.एम. की गतिविधि से पहले क्षमताएं मौजूद नहीं हैं। थर्मल। अंतिम प्रावधान एक गतिरोध की ओर ले जाता है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि ऐसा करने की क्षमता के बिना गतिविधि कैसे शुरू होती है। वास्तव में, उनके विकास के एक निश्चित स्तर पर क्षमताएं गतिविधि से पहले मौजूद होती हैं, और इसकी शुरुआत के साथ वे खुद को प्रकट करती हैं और फिर गतिविधि में विकसित होती हैं, अगर यह किसी व्यक्ति पर कभी भी अधिक मांग करती है।

हालाँकि, इससे कौशल और क्षमताओं के सहसंबंध का पता नहीं चलता है। इस समस्या का समाधान वी.डी. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। शाद्रिकोव। उनका मानना ​​है कि क्षमताओं और कौशल के बीच ऑन्कोलॉजिकल अंतर का सार इस प्रकार है: एक क्षमता को एक कार्यात्मक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, इसके आवश्यक तत्वों में से एक एक प्राकृतिक घटक है, जो क्षमताओं का कार्यात्मक तंत्र है, और कौशल को एक द्वारा वर्णित किया जाता है आइसोमोर्फिक प्रणाली, इसके मुख्य घटकों में से एक क्षमताएं हैं, जो इस प्रणाली में उन कार्यों को निष्पादित करती हैं जो क्षमताओं की प्रणाली में कार्यात्मक तंत्र को कार्यान्वित करती हैं। इस प्रकार, कौशल की कार्यात्मक प्रणाली, मानो क्षमताओं की प्रणाली से विकसित होती है। यह एकीकरण के माध्यमिक स्तर की एक प्रणाली है (यदि हम क्षमताओं की प्रणाली को प्राथमिक मानते हैं)।

सामान्य तौर पर क्षमताओं के बारे में बोलते हुए, यह बताया जाना चाहिए कि क्षमताएँ शैक्षिक और रचनात्मक विभिन्न स्तरों की होती हैं। सीखने की क्षमताएँ गतिविधियों को करने के पहले से ज्ञात तरीकों को आत्मसात करने, ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के अधिग्रहण से जुड़ी हैं। रचनात्मकता एक नए, मूल उत्पाद के निर्माण, गतिविधियों को करने के नए तरीके खोजने से जुड़ी है। इस दृष्टिकोण से, उदाहरण के लिए, गणित को आत्मसात करने, अध्ययन करने की क्षमता और रचनात्मक गणितीय क्षमताएं हैं। लेकिन, जैसा कि जे. हैडमार्ड ने लिखा, "छात्र के काम के बीच, समस्या को सुलझाना..., और रचनात्मक कार्य, अंतर केवल स्तर का है, क्योंकि दोनों कार्य समान प्रकृति के हैं"।

प्राकृतिक पूर्वापेक्षाएँ मायने रखती हैं, हालाँकि, वे वास्तव में क्षमताएँ नहीं हैं, बल्कि झुकाव हैं। झुकावों का अर्थ यह नहीं है कि व्यक्ति में तदनुरूप योग्यताएँ विकसित होंगी। क्षमताओं का विकास कई सामाजिक परिस्थितियों (पालन-पोषण, संचार की आवश्यकता, शिक्षा प्रणाली) पर निर्भर करता है।

योग्यता प्रकार:

1. प्राकृतिक (प्राकृतिक) क्षमताएँ।

मनुष्यों और जानवरों में आम हैं: धारणा, स्मृति, प्राथमिक संचार की क्षमता। इन क्षमताओं का सीधा संबंध जन्मजात प्रवृत्तियों से होता है। इन झुकावों के आधार पर, एक व्यक्ति, प्रारंभिक जीवन अनुभव की उपस्थिति में, सीखने के तंत्र के माध्यम से विशिष्ट क्षमताओं का विकास करता है।

2. विशिष्ट योग्यताएँ।

सामान्य: किसी व्यक्ति की सफलता का निर्धारण करें विभिन्न प्रकार केगतिविधियाँ (सोचने की क्षमता, भाषण, मैन्युअल आंदोलनों की सटीकता)।

विशेष: विशिष्ट गतिविधियों में किसी व्यक्ति की सफलता का निर्धारण करें, जिसके कार्यान्वयन के लिए एक विशेष प्रकार के निर्माण और उनके विकास (संगीत, गणितीय, भाषाई, तकनीकी, कलात्मक क्षमताओं) की आवश्यकता होती है।

इसके अलावा, क्षमताओं को सैद्धांतिक और व्यावहारिक में विभाजित किया गया है। सैद्धांतिक लोग किसी व्यक्ति के अमूर्त-सैद्धांतिक प्रतिबिंबों के प्रति झुकाव को पूर्व निर्धारित करते हैं, और व्यावहारिक लोग - ठोस व्यावहारिक कार्यों के लिए। अक्सर, सैद्धांतिक और व्यावहारिक क्षमताएं एक-दूसरे के साथ संयुक्त नहीं होती हैं। अधिकांश लोगों में किसी न किसी प्रकार की क्षमता होती है। एक साथ वे अत्यंत दुर्लभ हैं।

शैक्षिक और रचनात्मक क्षमताओं में भी एक विभाजन है। पहला प्रशिक्षण की सफलता, ज्ञान, कौशल को आत्मसात करने का निर्धारण करता है, और दूसरा खोजों और आविष्कारों की संभावना, सामग्री और आध्यात्मिक संस्कृति की नई वस्तुओं के निर्माण का निर्धारण करता है।

3. रचनात्मक क्षमताएँ।

यह, सबसे पहले, किसी व्यक्ति की परिचित और रोजमर्रा की चीज़ों या कार्यों पर विशेष नज़र डालने की क्षमता है। यह कौशल सीधे तौर पर व्यक्ति के क्षितिज पर निर्भर करता है। जितना अधिक वह जानता है, उसके लिए अध्ययन के तहत मुद्दे को विभिन्न कोणों से देखना उतना ही आसान होता है। एक रचनात्मक व्यक्ति न केवल अपनी मुख्य गतिविधि के क्षेत्र में, बल्कि संबंधित उद्योगों में भी, अपने आस-पास की दुनिया के बारे में और अधिक जानने का लगातार प्रयास करता रहता है। ज्यादातर मामलों में, एक रचनात्मक व्यक्ति, सबसे पहले, एक मौलिक सोच वाला व्यक्ति होता है, जो गैर-मानक समाधानों में सक्षम होता है।

क्षमता विकास स्तर:

• 1) झुकाव - क्षमताओं के लिए प्राकृतिक पूर्वापेक्षाएँ;
• 2) क्षमताएं - एक जटिल, अभिन्न, मानसिक गठन, गुणों और घटकों का एक प्रकार का संश्लेषण;
• 3) प्रतिभा - क्षमताओं का एक प्रकार का संयोजन जो किसी व्यक्ति को किसी भी गतिविधि को सफलतापूर्वक करने का अवसर प्रदान करता है;
• 4) महारत - एक विशेष प्रकार की गतिविधि में उत्कृष्टता;
• 5) प्रतिभा - विशेष क्षमताओं के विकास का एक उच्च स्तर (यह अत्यधिक विकसित क्षमताओं का एक निश्चित संयोजन है, क्योंकि एक अलग क्षमता, यहां तक ​​​​कि बहुत अधिक विकसित क्षमता को भी प्रतिभा नहीं कहा जा सकता है);
• 6) प्रतिभा - क्षमताओं के विकास का उच्चतम स्तर (सभ्यता के पूरे इतिहास में 400 से अधिक प्रतिभाएँ नहीं थीं)।

आम हैं मानसिक क्षमताओं- ये वो क्षमताएं हैं जो एक नहीं बल्कि कई तरह की गतिविधियों को करने के लिए जरूरी हैं। सामान्य मानसिक क्षमताओं में, उदाहरण के लिए, मानसिक गतिविधि, आलोचनात्मकता, व्यवस्थित, केंद्रित ध्यान जैसे मन के गुण शामिल हैं। मनुष्य स्वाभाविक रूप से सामान्य क्षमताओं से संपन्न है। किसी भी गतिविधि में उस गतिविधि में विकसित होने वाली सामान्य क्षमताओं के आधार पर महारत हासिल की जाती है।

जैसा कि वी.डी. शाद्रिकोव, " विशेष क्षमताएं"ऐसी सामान्य क्षमताएं हैं जिन्होंने गतिविधि की आवश्यकताओं के प्रभाव में दक्षता की विशेषताएं हासिल कर ली हैं। "विशेष योग्यताएं वे क्षमताएं हैं जो किसी एक विशिष्ट गतिविधि में सफल महारत हासिल करने के लिए आवश्यक हैं। ये क्षमताएं व्यक्तिगत निजी क्षमताओं की एकता का भी प्रतिनिधित्व करती हैं। उदाहरण के लिए, रचना में गणितीय क्षमताओंगणितीय स्मृति एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है; मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता; गणितीय सामग्री का तेज़ और व्यापक सामान्यीकरण; एक मानसिक ऑपरेशन से दूसरे मानसिक ऑपरेशन में आसान और मुफ्त स्विचिंग; स्पष्टता, मितव्ययता, तर्क की तार्किकता इत्यादि के लिए प्रयास करना। गणितीय गतिविधि की आवश्यकता से जुड़ी सभी विशेष क्षमताएं मन के गणितीय अभिविन्यास (जिसे स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों, धारणा के दौरान कार्यात्मक निर्भरता को अलग करने की प्रवृत्ति के रूप में समझा जाता है) की मूल क्षमता से एकजुट होती हैं।

ए. पोंकारे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि गणितीय क्षमताओं में सबसे महत्वपूर्ण स्थान तार्किक रूप से संचालन की एक श्रृंखला बनाने की क्षमता है जो किसी समस्या के समाधान की ओर ले जाएगी। इसके अलावा, एक गणितज्ञ के लिए यह पर्याप्त नहीं है अच्छी याददाश्तऔर ध्यान. पॉइन्केयर के अनुसार, गणित में सक्षम लोगों को उस क्रम को समझने की क्षमता से अलग किया जाता है जिसमें गणितीय प्रमाण के लिए आवश्यक तत्व स्थित होने चाहिए। इस प्रकार के अंतर्ज्ञान की उपस्थिति गणितीय रचनात्मकता का मूल तत्व है।

एल.ए. वेंगर गणितीय क्षमताओं को मानसिक गतिविधि की ऐसी विशेषताओं के रूप में संदर्भित करता है जैसे गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों का सामान्यीकरण, यानी, विभिन्न विशिष्ट अभिव्यक्तियों और कार्यों में सामान्य को देखने की क्षमता; बहुत अधिक विवरण के बिना "अनुबंधित", बड़ी इकाइयों और "आर्थिक रूप से" सोचने की क्षमता; प्रत्यक्ष से विपरीत विचार पर स्विच करने की क्षमता।

यह समझने के लिए कि गणित में सफलता प्राप्त करने के लिए अन्य किन गुणों की आवश्यकता है, शोधकर्ताओं ने गणितीय गतिविधि का विश्लेषण किया: समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया, प्रमाण के तरीके, तार्किक तर्क और गणितीय स्मृति की विशेषताएं। इस विश्लेषण से गणितीय क्षमताओं की संरचनाओं के विभिन्न रूपों का निर्माण हुआ, जो उनकी घटक संरचना में जटिल थे। साथ ही, अधिकांश शोधकर्ताओं की राय एक बात पर सहमत हुई: कि एकमात्र स्पष्ट गणितीय क्षमता नहीं है, और नहीं हो सकती है, यह एक संचयी विशेषता है जो विभिन्न मानसिक प्रक्रियाओं की विशेषताओं को दर्शाती है: धारणा, सोच, स्मृति, कल्पना।

सबसे ज्यादा हाइलाइट करना महत्वपूर्ण घटकगणितीय क्षमताएँ चित्र 1 में प्रस्तुत की गई हैं:

चित्र 1

कुछ शोधकर्ता तर्क और प्रमाण योजनाओं, समस्याओं को हल करने के तरीकों और उनसे निपटने के तरीकों के लिए गणितीय स्मृति को एक स्वतंत्र घटक के रूप में भी पहचानते हैं। उनमें से एक हैं वी.ए. क्रुतेत्स्की। वह गणितीय क्षमताओं को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: "गणित का अध्ययन करने की क्षमता से हमारा तात्पर्य व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं (मुख्य रूप से मानसिक गतिविधि की विशेषताएं) से है जो शैक्षिक गणितीय गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं और अन्य समान शर्तों पर, रचनात्मक महारत की सफलता निर्धारित करते हैं। गणित एक शैक्षिक विषय के रूप में, विशेष रूप से, गणित के क्षेत्र में ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की अपेक्षाकृत तेज़, आसान और गहरी महारत"।

अपने काम में, हम मुख्य रूप से इस विशेष मनोवैज्ञानिक के शोध पर भरोसा करेंगे, क्योंकि इस समस्या पर उनका शोध अभी भी सबसे वैश्विक है, और उनके निष्कर्ष सबसे प्रयोगात्मक रूप से प्रमाणित हैं।

इसलिए, वी.ए. क्रुतेत्स्की अलग है नौ अवयव गणितीय क्षमताएं:

• 1. गणितीय सामग्री को औपचारिक बनाने, सामग्री से रूप को अलग करने, विशिष्ट मात्रात्मक संबंधों और स्थानिक रूपों से अमूर्त करने और औपचारिक संरचनाओं, संबंधों और कनेक्शन की संरचनाओं के साथ काम करने की क्षमता;
• 2. गणितीय सामग्री को सामान्य बनाने की क्षमता, मुख्य चीज़ को अलग करना, अनावश्यक से अमूर्त करना, बाहरी रूप से भिन्न में सामान्य को देखना;
• 3. संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों के साथ काम करने की क्षमता;
• 4. साक्ष्य, औचित्य, निष्कर्ष की आवश्यकता से जुड़ी "सुसंगत, उचित रूप से विभाजित तार्किक तर्क" की क्षमता;
• 5. तर्क की प्रक्रिया को छोटा करने की क्षमता, मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता;
• 6. विचार प्रक्रिया को उलटने की क्षमता (प्रत्यक्ष से विपरीत विचार में परिवर्तन);
• 7. सोच का लचीलापन, एक मानसिक क्रिया से दूसरी मानसिक क्रिया पर स्विच करने की क्षमता, पैटर्न और स्टेंसिल के अवरोधक प्रभाव से मुक्ति;
• 8. गणितीय स्मृति. यह माना जा सकता है कि इसकी विशिष्ट विशेषताएं गणितीय विज्ञान की विशेषताओं से भी मिलती हैं, कि यह सामान्यीकरण, औपचारिक संरचनाओं, तार्किक योजनाओं के लिए एक स्मृति है;
• 9. स्थानिक निरूपण की क्षमता, जिसका सीधा संबंध गणित की ज्यामिति जैसी शाखा की उपस्थिति से है।

सूचीबद्ध घटकों के अलावा, ऐसे घटक भी हैं, जिनकी गणितीय क्षमताओं की संरचना में उपस्थिति उपयोगी होते हुए भी आवश्यक नहीं है। शिक्षक को किसी छात्र को गणित में सक्षम या अयोग्य के रूप में वर्गीकृत करने से पहले इस बात को ध्यान में रखना चाहिए। गणितीय प्रतिभा की संरचना में निम्नलिखित घटक अनिवार्य नहीं हैं:

• 1. एक अस्थायी विशेषता के रूप में विचार प्रक्रियाओं की गति।
• 2. कार्य की व्यक्तिगत गति महत्वपूर्ण नहीं है। विद्यार्थी धीरे-धीरे, धीरे-धीरे, लेकिन पूरी तरह और गहराई से सोच सकता है।
• 3. तेज और सटीक गणना करने की क्षमता (विशेषकर दिमाग में)। वास्तव में, कम्प्यूटेशनल क्षमताएं हमेशा वास्तविक गणितीय (रचनात्मक) क्षमताओं के निर्माण से जुड़ी नहीं होती हैं।
• 4. संख्याओं, संख्याओं, सूत्रों के लिए मेमोरी। जैसा कि शिक्षाविद् ए.एन. कोलमोगोरोव के अनुसार, कई उत्कृष्ट गणितज्ञों के पास इस प्रकार की कोई उत्कृष्ट स्मृति नहीं थी।

अधिकांश मनोवैज्ञानिक और शिक्षक, गणितीय क्षमताओं के बारे में बोलते हुए, वी.ए. की इसी संरचना पर भरोसा करते हैं। क्रुतेत्स्की। हालाँकि, इस स्कूल विषय के लिए क्षमता दिखाने वाले छात्रों की गणितीय गतिविधि के विभिन्न अध्ययनों की प्रक्रिया में, कुछ मनोवैज्ञानिकों ने गणितीय क्षमताओं के अन्य घटकों की पहचान की है। विशेष रूप से, हम परिणामों में रुचि रखते हैं अनुसंधान कार्यजिला परिषद गोरेलचेंको। उन्होंने गणित में सक्षम छात्रों में निम्नलिखित विशेषताएं देखीं। सबसे पहले, उन्होंने गणितीय क्षमताओं की संरचना के घटक को स्पष्ट और विस्तारित किया, जिसे आधुनिक मनोवैज्ञानिक साहित्य में "गणितीय अवधारणाओं का सामान्यीकरण" कहा गया और सामान्यीकरण और "संकुचन" के प्रति छात्र की सोच की दो विपरीत प्रवृत्तियों की एकता का विचार व्यक्त किया। गणितीय अवधारणाएँ. इस घटक में छात्रों द्वारा गणित में नई चीजें सीखने की आगमनात्मक और निगमनात्मक विधियों की एकता का प्रतिबिंब देखा जा सकता है। दूसरे, नए गणितीय ज्ञान को आत्मसात करने के दौरान छात्रों की सोच में द्वंद्वात्मक मूल बातें। यह इस तथ्य में प्रकट होता है कि लगभग किसी भी गणितीय तथ्य में, सबसे सक्षम छात्र इसके विपरीत तथ्य को देखते हैं, समझते हैं, या, कम से कम, अध्ययन के तहत घटना के सीमित मामले पर विचार करते हैं। तीसरा, उन्होंने उभरते नए गणितीय पैटर्न पर विशेष ध्यान दिया जो पहले से स्थापित पैटर्न के विपरीत हैं।

छात्रों की बढ़ी हुई गणितीय क्षमताओं और परिपक्व गणितीय सोच में उनके संक्रमण के विशिष्ट संकेतों में से एक को प्रमाणों में प्रारंभिक सत्य के रूप में स्वयंसिद्धों की आवश्यकता की अपेक्षाकृत प्रारंभिक समझ माना जा सकता है। स्वयंसिद्धों और स्वयंसिद्ध पद्धति का किफायती अध्ययन विकास के त्वरण में बहुत योगदान देता है निगमनात्मक सोचछात्र. यह भी देखा गया है कि गणितीय कार्य में सौंदर्य बोध अलग-अलग छात्रों के लिए अलग-अलग तरीकों से प्रकट होता है। अलग-अलग तरीकों से, अलग-अलग छात्र अपनी गणितीय सोच से मेल खाने वाले सौंदर्य बोध को शिक्षित करने और विकसित करने के प्रयास पर भी प्रतिक्रिया देते हैं। गणितीय क्षमताओं के संकेतित घटकों के अलावा जिन्हें विकसित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए, इस तथ्य को भी ध्यान में रखना आवश्यक है कि गणितीय गतिविधि की सफलता गुणों के एक निश्चित संयोजन का व्युत्पन्न है: गणित के प्रति एक सक्रिय सकारात्मक दृष्टिकोण, रुचि इसमें, इसमें संलग्न होने की इच्छा, विकास के उच्च स्तर पर एक भावुक व्यक्ति में बदल जाती है। जुनून। आप कई विशिष्ट विशेषताओं को भी उजागर कर सकते हैं, जैसे: परिश्रम, संगठन, स्वतंत्रता, उद्देश्यपूर्णता, दृढ़ता, साथ ही स्थिर बौद्धिक गुण, कठिन मानसिक कार्य से संतुष्टि की भावना, रचनात्मकता की खुशी, खोज, इत्यादि।

गतिविधियों के कार्यान्वयन के समय मानसिक अवस्थाओं के प्रदर्शन के लिए अनुकूल उपस्थिति, उदाहरण के लिए, रुचि की स्थिति, एकाग्रता, अच्छा "मानसिक" कल्याण, आदि। संबंधित क्षेत्र में ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का एक निश्चित कोष। संवेदी और मानसिक क्षेत्रों में कुछ व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताएं जो इस गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करती हैं।

गणित में सबसे अधिक सक्षम छात्र गणितीय सोच के एक विशेष सौंदर्य बोध से प्रतिष्ठित होते हैं। यह उन्हें गणित में कुछ सैद्धांतिक सूक्ष्मताओं को अपेक्षाकृत आसानी से समझने, गणितीय तर्क के दोषरहित तर्क और सुंदरता को पकड़ने, गणितीय अवधारणाओं की तार्किक संरचना में थोड़ी सी भी खुरदरापन, अशुद्धि को ठीक करने की अनुमति देता है। किसी गणितीय समस्या के मूल, अपरंपरागत, सुरुचिपूर्ण समाधान के लिए एक स्वतंत्र स्थिर प्रयास, किसी समस्या के समाधान के औपचारिक और अर्थ संबंधी घटकों की सामंजस्यपूर्ण एकता के लिए, शानदार अनुमान, कभी-कभी तार्किक एल्गोरिदम से आगे, कभी-कभी भाषा में अनुवाद करना मुश्किल होता है प्रतीकों की संख्या, सोच में एक अच्छी तरह से विकसित गणितीय दूरदर्शिता की भावना की उपस्थिति की गवाही देती है, जो गणित में सौंदर्यवादी सोच के पहलुओं में से एक है। गणितीय सोच के दौरान बढ़ी हुई सौंदर्य संबंधी भावनाएं मुख्य रूप से अत्यधिक विकसित गणितीय क्षमताओं वाले छात्रों में निहित हैं और, गणितीय सोच के सौंदर्यवादी गोदाम के साथ, स्कूली बच्चों में गणितीय क्षमताओं की उपस्थिति के एक महत्वपूर्ण संकेत के रूप में काम कर सकती हैं।

मनोविज्ञान में कुछ रुझानों के ऐसे प्रतिनिधियों जैसे ए. बिनेट, ई. थार्नडाइक और जी. रेव्स, और ए. पोंकारे और जे. हैडमार्ड जैसे उत्कृष्ट गणितज्ञों ने गणितीय क्षमताओं के अध्ययन में योगदान दिया। दिशाओं की व्यापक विविधता गणितीय क्षमताओं के अध्ययन के दृष्टिकोण में भी व्यापक विविधता निर्धारित करती है। सभी वैज्ञानिक इस बात से सहमत हैं कि गणितीय ज्ञान में महारत हासिल करने, उनके पुनरुत्पादन, स्वतंत्र अनुप्रयोग और किसी मूल के स्वतंत्र निर्माण से जुड़ी रचनात्मक गणितीय क्षमताओं के लिए सामान्य, "स्कूल" क्षमताओं के बीच अंतर करना आवश्यक है। सार्वजनिक मूल्यउत्पाद।

ए. रोजर्स गणितीय क्षमताओं के दो पहलुओं पर ध्यान देते हैं: प्रजनन (स्मृति के कार्य से जुड़ा) और उत्पादक (सोच के कार्य से जुड़ा)। डब्ल्यू. बेट्ज़ गणितीय क्षमताओं को गणितीय संबंधों के आंतरिक संबंध को स्पष्ट रूप से समझने की क्षमता और गणितीय अवधारणाओं में सटीक रूप से सोचने की क्षमता के रूप में परिभाषित करते हैं।

लेख "गणितीय सोच के मनोवैज्ञानिक" में, डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की ने "अचेतन विचार प्रक्रिया" को विशेष महत्व दिया, यह तर्क देते हुए कि "एक गणितज्ञ की सोच अचेतन क्षेत्र में गहराई से अंतर्निहित होती है, या तो इसकी सतह पर उभरती है, या गिरती है गहराई में. गणितज्ञ को अपने विचार के प्रत्येक चरण के बारे में पता नहीं होता, जैसे कि वह धनुष चालन में निपुण हो। किसी समस्या के तैयार समाधान की अचानक उपस्थिति, जिसे हम लंबे समय तक हल नहीं कर सकते, हम अचेतन सोच द्वारा समझाते हैं, जो कार्य से निपटती रहती है, और परिणाम चेतना की दहलीज से परे उभरता है। डी. मोर्दुचाई-बोल्टोव्स्की के अनुसार, हमारा दिमाग अवचेतन में श्रमसाध्य और जटिल कार्य करने में सक्षम है, जहां सभी "कच्चे" कार्य किए जाते हैं, और विचार का अचेतन कार्य चेतन की तुलना में और भी कम त्रुटि वाला होता है।

डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की गणितीय प्रतिभा और गणितीय सोच की पूरी तरह से विशिष्ट प्रकृति को नोट करते हैं। उनका तर्क है कि गणित करने की क्षमता हमेशा प्रतिभाशाली लोगों में भी अंतर्निहित नहीं होती है, गणितीय और गैर-गणितीय दिमाग के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है।

गणितीय क्षमताओं के निम्नलिखित घटक हैं:

• - "मजबूत स्मृति" (स्मृति, तथ्यों के बजाय, बल्कि विचारों और विचारों के लिए);
• - "बुद्धि" विचार के दो शिथिल रूप से जुड़े क्षेत्रों से अवधारणाओं को "एक निर्णय में गले लगाने" की क्षमता के रूप में, पहले से ज्ञात किसी दिए गए के समान कुछ खोजने के लिए, सबसे दूरस्थ, पूरी तरह से विषम वस्तुओं में कुछ समान खोजने के लिए;
• - "विचार की गति" (विचार की गति को उस कार्य से समझाया जाता है जो अचेतन मन चेतन मन की मदद के लिए करता है)।

डी. मोर्दुचाई-बोल्टोव्स्की गणितीय कल्पना के प्रकारों को अलग करते हैं जो विभिन्न प्रकार के गणितज्ञों - "बीजगणित" और "जियोमीटर" को रेखांकित करते हैं। आम तौर पर अंकगणितज्ञ, बीजगणितज्ञ और विश्लेषक, जिनकी खोज सफलता के मात्रात्मक प्रतीकों और उनके अंतर्संबंधों के सबसे अमूर्त रूप में की जाती है, "ज्यामिति" के बाद से कल्पना नहीं कर सकते हैं।

क्षमताओं का घरेलू सिद्धांत सबसे प्रमुख मनोवैज्ञानिकों के संयुक्त कार्य द्वारा बनाया गया था, जिनमें से बी.एम. टेप्लोव, साथ ही एल.एस. वायगोत्स्की, ए.एन. लियोन्टीव, एस.एल. रुबिनस्टीन और बी.जी. अनानयेव। गणितीय क्षमताओं की समस्या के सामान्य सैद्धांतिक अध्ययन के अलावा, वी.ए. क्रुतेत्स्की ने अपने मोनोग्राफ "स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान" के साथ गणितीय क्षमताओं की संरचना के प्रयोगात्मक विश्लेषण की नींव रखी। गणित का अध्ययन करने की क्षमता के तहत, वह व्यक्तिगत मनोवैज्ञानिक विशेषताओं (मुख्य रूप से मानसिक गतिविधि की विशेषताएं) को समझता है जो शैक्षिक गणितीय गतिविधि की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं और निर्धारित करते हैं, अन्य सभी चीजें समान होने पर, विशेष रूप से एक शैक्षिक विषय के रूप में गणित की रचनात्मक महारत की सफलता , ज्ञान और कौशल की अपेक्षाकृत त्वरित, आसान और गहरी महारत। , गणित में कौशल।

डी.एन. बोगोयावलेंस्की और एन.ए. मेनचिंस्काया, बच्चों की सीखने की क्षमता में व्यक्तिगत अंतर के बारे में बात करते हुए, मनोवैज्ञानिक गुणों की अवधारणा का परिचय देते हैं जो सीखने में सफलता निर्धारित करते हैं, अन्य सभी चीजें समान होती हैं।

गणितीय क्षमताएं एक जटिल संरचनात्मक मानसिक गठन, गुणों का एक प्रकार का संश्लेषण, मन का एक अभिन्न गुण है, जो इसके विभिन्न पहलुओं को कवर करता है और गणितीय गतिविधि की प्रक्रिया में विकसित होता है। यह सेट एकल गुणात्मक रूप से मूल संपूर्ण है - केवल विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए, हम अलग-अलग घटकों को अलग करते हैं, उन्हें पृथक गुणों के रूप में नहीं मानते हैं। ये घटक आपस में घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं और अपनी समग्रता में एक एकल प्रणाली बनाते हैं, जिसकी अभिव्यक्ति को "गणितीय प्रतिभा सिंड्रोम" कहा जाता है।

इस समस्या के विकास में एक महान योगदान वी.ए. द्वारा दिया गया था। क्रुतेत्स्की। उनके द्वारा एकत्र की गई प्रायोगिक सामग्री हमें उन घटकों के बारे में बात करने की अनुमति देती है जो गणितीय प्रतिभा जैसे मन के अभिन्न गुण की संरचना में महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। वी.ए. क्रुतेत्स्की ने स्कूली उम्र में गणितीय क्षमताओं की संरचना का एक चित्र प्रस्तुत किया:

• · गणितीय जानकारी प्राप्त करना (समस्या की औपचारिक संरचना को कवर करते हुए, गणितीय सामग्री की धारणा को औपचारिक बनाने की क्षमता)।
• गणितीय जानकारी का प्रसंस्करण
• ए) मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों, संख्यात्मक और संकेत प्रतीकवाद के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता। गणितीय प्रतीकों में सोचने की क्षमता.
• बी) गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को त्वरित और व्यापक रूप से सामान्यीकृत करने की क्षमता।
• सी) गणितीय तर्क की प्रक्रिया और संबंधित क्रियाओं की प्रणाली को कम करने की क्षमता। मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता।
• डी) गणितीय गतिविधि में विचार प्रक्रियाओं का लचीलापन।
• ई) निर्णयों की स्पष्टता, सरलता, मितव्ययिता और तर्कसंगतता के लिए प्रयास करना।
• ई) विचार प्रक्रिया की दिशा को जल्दी और स्वतंत्र रूप से पुनर्गठित करने की क्षमता, प्रत्यक्ष से विपरीत विचार पर स्विच करना (गणितीय तर्क में विचार प्रक्रिया की प्रतिवर्तीता)।
• · गणितीय जानकारी का भंडारण.

गणितीय स्मृति (गणितीय संबंधों के लिए सामान्यीकृत स्मृति, विशिष्ट विशेषताएं, तर्क योजनाएं, प्रमाण, समस्या समाधान के तरीके और उन तक पहुंचने के सिद्धांत)।

· सामान्य सिंथेटिक घटक. गणितीय मानसिकता.

गणितीय प्रतिभा की संरचना में वे घटक शामिल नहीं हैं जिनकी इस संरचना में उपस्थिति आवश्यक नहीं है। वे गणितीय प्रतिभा के संबंध में तटस्थ हैं। हालाँकि, संरचना में उनकी उपस्थिति या अनुपस्थिति (अधिक सटीक रूप से, विकास की डिग्री) गणितीय मानसिकता के प्रकार को निर्धारित करती है। एक अस्थायी विशेषता के रूप में विचार प्रक्रियाओं की गति, कार्य की व्यक्तिगत गति निर्णायक महत्व की नहीं है। एक गणितज्ञ धीरे-धीरे ही सही, लेकिन बहुत गहराई से और गहराई से सोच सकता है। गणना करने की क्षमता (अक्सर दिमाग में जल्दी और सटीक गणना करने की क्षमता) को भी तटस्थ घटकों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। यह ज्ञात है कि ऐसे लोग हैं जो अपने दिमाग में जटिल गणितीय गणनाओं (लगभग तात्कालिक वर्ग और तीन अंकों की संख्याओं का घन) को पुन: उत्पन्न करने में सक्षम हैं, लेकिन जो किसी भी जटिल समस्या को हल करने में सक्षम नहीं हैं। यह भी ज्ञात है कि ऐसे अभूतपूर्व "काउंटर" थे और अब भी हैं जिन्होंने गणित को कुछ भी नहीं दिया, और उत्कृष्ट गणितज्ञ ए. पॉइन्क्रेट ने अपने बारे में लिखा था कि त्रुटि के बिना जोड़ भी नहीं किया जा सकता है।

गणितीय प्रतिभा के संबंध में आंकड़ों, सूत्रों और संख्याओं की स्मृति तटस्थ है। जैसा कि शिक्षाविद् ए.एन. कोलोमोगोरोव के अनुसार, कई उत्कृष्ट गणितज्ञों के पास इस प्रकार की कोई उत्कृष्ट स्मृति नहीं थी।

स्थानिक प्रतिनिधित्व की क्षमता, अमूर्त गणितीय संबंधों और निर्भरताओं की कल्पना करने की क्षमता भी एक तटस्थ घटक का गठन करती है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय क्षमताओं की संरचना का आरेख छात्र की गणितीय क्षमताओं को संदर्भित करता है। यह कहना असंभव है कि किस हद तक इसे गणितीय क्षमताओं की संरचना की एक सामान्य योजना माना जा सकता है, किस हद तक इसका श्रेय सुस्थापित प्रतिभाशाली गणितज्ञों को दिया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में, क्षमताओं के गुणात्मक संयोजन के रूप में प्रतिभा प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में हमेशा विविध और अद्वितीय होती है। लेकिन प्रतिभा की गुणात्मक विविधता के साथ, प्रतिभा की संरचना में अंतर की कुछ बुनियादी टाइपोलॉजिकल विशेषताओं को रेखांकित करना, कुछ ऐसे प्रकारों को अलग करना हमेशा संभव होता है जो एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं, संबंधित क्षेत्र में समान रूप से उच्च उपलब्धियों के साथ अलग-अलग तरीकों से आते हैं। .

विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय प्रकारों का उल्लेख ए. पॉइन्क्रेट, जे. हैडमार्ड, डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की के कार्यों में किया गया है, लेकिन इन शब्दों के साथ वे गणित में रचनात्मकता के तार्किक, सहज तरीके को जोड़ते हैं।

घरेलू शोधकर्ताओं में एन.ए. मेनचिंस्काया। उन्होंने सापेक्ष प्रबलता वाले छात्रों को अलग किया: ए) अमूर्त पर आलंकारिक सोच सी) दोनों प्रकार की सोच का सामंजस्यपूर्ण विकास।

कोई यह नहीं सोच सकता कि विश्लेषणात्मक प्रकार केवल बीजगणित में और ज्यामितीय प्रकार ज्यामिति में दिखाई देता है। विश्लेषणात्मक गोदाम खुद को ज्यामिति में प्रकट कर सकता है, और ज्यामितीय एक - बीजगणित में। वी.ए. क्रुतेत्स्की ने प्रत्येक प्रकार का विस्तृत विवरण दिया।

विश्लेषणात्मक प्रकार. इस प्रकार की सोच को कमजोर दृश्य-आलंकारिक घटक पर एक बहुत अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक घटक की प्रबलता की विशेषता है। वे आसानी से अमूर्त योजनाओं के साथ काम करते हैं। उन्हें समस्याओं को हल करने में विषय या योजनाबद्ध विज़ुअलाइज़ेशन के उपयोग के लिए दृश्य समर्थन की कोई आवश्यकता नहीं है, यहां तक ​​​​कि जब समस्या में दिए गए गणितीय संबंध और निर्भरताएं दृश्य प्रतिनिधित्व का "सुझाव" देती हैं।

इस प्रकार के प्रतिनिधि दृश्य-आलंकारिक प्रतिनिधित्व की क्षमता में भिन्न नहीं होते हैं और इसलिए, अधिक कठिन और जटिल तार्किक-विश्लेषणात्मक समाधान पथ का उपयोग करते हैं जहां एक छवि पर निर्भरता बहुत सरल समाधान देती है। वे अमूर्त रूप में व्यक्त समस्याओं को बहुत सफलतापूर्वक हल करते हैं, जबकि ठोस-दृश्य रूप में व्यक्त समस्याओं को यथासंभव अमूर्त योजना में तब्दील करने का प्रयास करते हैं। ज्यामितीय आरेख या ड्राइंग के विश्लेषक से जुड़े संचालन की तुलना में अवधारणाओं के विश्लेषण से जुड़े संचालन को अंजाम देना आसान होता है।

• - ज्यामितीय प्रकार. इस प्रकार के प्रतिनिधियों की सोच एक बहुत अच्छी तरह से विकसित दृश्य-आलंकारिक घटक द्वारा विशेषता है। इस संबंध में, हम एक सुविकसित मौखिक-तार्किक घटक की प्रबलता के बारे में बात कर सकते हैं। ये छात्र अमूर्त सामग्री की अभिव्यक्ति की दृश्य व्याख्या की आवश्यकता महसूस करते हैं और इस संबंध में महान चयनात्मकता प्रदर्शित करते हैं। लेकिन यदि वे दृश्य समर्थन बनाने, समस्याओं को हल करने में वस्तुनिष्ठ या योजनाबद्ध विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो वे शायद ही अमूर्त योजनाओं के साथ काम करते हैं। वे हठपूर्वक दृश्य योजनाओं, छवियों, विचारों के साथ काम करने की कोशिश करते हैं, यहां तक ​​कि जहां समस्या को तर्क द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है, और दृश्य समर्थन का उपयोग अनावश्यक या कठिन है।
• - हार्मोनिक प्रकार. इस प्रकार को अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक और दृश्य-आलंकारिक घटकों के संतुलन की विशेषता है, जिसमें पूर्व प्रमुख भूमिका निभाता है। इस प्रकार के प्रतिनिधियों में स्थानिक प्रतिनिधित्व अच्छी तरह से विकसित हैं। वे अमूर्त संबंधों और निर्भरताओं की दृश्य व्याख्या में चयनात्मक हैं, लेकिन दृश्य छवियां और योजनाएं उनके मौखिक-तार्किक विश्लेषण के अधीन हैं। दृश्य छवियों का उपयोग करते हुए, ये छात्र स्पष्ट रूप से जानते हैं कि सामान्यीकरण की सामग्री विशेष मामलों तक सीमित नहीं है। इस प्रकार के प्रतिनिधि कई समस्याओं को हल करने के लिए आलंकारिक-ज्यामितीय दृष्टिकोण को सफलतापूर्वक लागू करते हैं।

स्थापित प्रकारों का एक सामान्य अर्थ होता है। कई अध्ययनों से उनकी उपस्थिति की पुष्टि होती है।

विदेशी मनोविज्ञान में, जे. पियागेट के अध्ययन के आधार पर स्कूली बच्चे के गणितीय विकास की उम्र से संबंधित विशेषताओं के बारे में विचार अभी भी व्यापक हैं। पियागेट का मानना ​​था कि एक बच्चा केवल 12 वर्ष की आयु तक अमूर्त सोच में सक्षम हो जाता है। एक किशोर के गणितीय तर्क के विकास के चरणों का विश्लेषण करते हुए, एल. शोआन इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि एक दृश्य-ठोस योजना में, एक छात्र 12-13 वर्ष की आयु तक सोचता है, और संचालन में महारत हासिल करने से जुड़े औपचारिक बीजगणित के संदर्भ में सोचता है, प्रतीक, 17 वर्ष की आयु तक विकसित होते हैं।

अध्ययन घरेलू मनोवैज्ञानिकअलग-अलग परिणाम दें. पी.पी. ब्लोंस्की ने एक किशोर के गहन विकास, सामान्यीकरण और अमूर्त सोच, साक्ष्य को साबित करने और समझने की क्षमता के बारे में लिखा। आई.वी. द्वारा अनुसंधान डबरोविना यह कहने का आधार देते हैं कि, छोटे स्कूली बच्चों की उम्र के संबंध में, हम निश्चित रूप से, विशेष प्रतिभा के मामलों को छोड़कर, गणितीय क्षमताओं की किसी भी गठित संरचना का दावा नहीं कर सकते हैं। इसलिए, "गणितीय क्षमता" की अवधारणा सशर्त है जब इसे छोटे स्कूली बच्चों - 7-10 वर्ष की आयु के बच्चों पर लागू किया जाता है; इस उम्र में गणितीय क्षमताओं के घटकों का अध्ययन करते समय, हम केवल ऐसे घटकों के प्रारंभिक रूपों के बारे में बात कर सकते हैं। लेकिन गणितीय क्षमताओं के व्यक्तिगत घटक प्राथमिक ग्रेड में पहले से ही बनते हैं।

प्रायोगिक प्रशिक्षण, जो मनोविज्ञान संस्थान (डी.बी. एल्कोनिन, वी.वी. डेविडोव) के कई स्कूलों में किया गया था, से पता चलता है कि एक विशेष शिक्षण पद्धति के साथ, युवा छात्र आमतौर पर सोचे जाने की तुलना में ध्यान भटकाने और तर्क करने की अधिक क्षमता हासिल कर लेते हैं। हालाँकि, हालाँकि छात्र की आयु विशेषताएँ काफी हद तक उन परिस्थितियों पर निर्भर करती हैं जिनमें सीखना होता है, यह मान लेना गलत होगा कि वे पूरी तरह से सीखने से निर्मित हैं। इसलिए, इस प्रश्न पर चरम दृष्टिकोण, जब यह माना जाता है कि प्राकृतिक मानसिक विकास में कोई नियमितता नहीं है, गलत है। शिक्षण की एक अधिक प्रभावी प्रणाली पूरी प्रक्रिया को "बन" सकती है, लेकिन कुछ सीमाओं तक, विकास का क्रम कुछ हद तक बदल सकता है, लेकिन विकास की रेखा को पूरी तरह से अलग चरित्र नहीं दे सकता है। यहां कोई मनमानी नहीं चल सकेगी. उदाहरण के लिए, जटिल गणितीय संबंधों और विधियों को सामान्य बनाने की क्षमता सरल गणितीय संबंधों को सामान्य बनाने की क्षमता से पहले नहीं बनाई जा सकती। इस प्रकार, आयु संबंधी विशेषताएं कुछ हद तक मनमानी अवधारणा हैं। इसलिए, सभी अध्ययन सीखने के प्रभाव में गणितीय क्षमताओं की संरचना के मुख्य घटकों के विकास की सामान्य दिशा पर, एक सामान्य प्रवृत्ति पर केंद्रित हैं।

विदेशी मनोविज्ञान में, ऐसे कार्य हैं जहां लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच की व्यक्तिगत गुणात्मक विशेषताओं की पहचान करने का प्रयास किया जाता है। वी. स्टर्न उस दृष्टिकोण से अपनी असहमति की बात करते हैं जिसके अनुसार पुरुषों और महिलाओं के मानसिक क्षेत्र में अंतर असमान शिक्षा का परिणाम है। उनकी राय में, कारण विभिन्न आंतरिक झुकावों में निहित हैं। इसलिए, महिलाएं अमूर्त सोच की ओर कम प्रवृत्त होती हैं और इस संबंध में कम सक्षम होती हैं।

अपने अध्ययन में, चौधरी स्पीयरमैन और ई. थार्नडाइक इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि "क्षमताओं के संबंध में।" बड़ा अंतरनहीं", लेकिन साथ ही वे लड़कियों में विवरण याद रखने, विवरण याद रखने की अधिक प्रवृत्ति देखते हैं।

में प्रासंगिक अनुसंधान घरेलू मनोविज्ञानआई.वी. डबरोविना और एस.आई. शापिरो के नेतृत्व में आयोजित किए गए थे। उन्हें लड़के और लड़कियों की गणितीय सोच में कोई गुणात्मक विशिष्ट विशेषताएँ नहीं मिलीं। जिन शिक्षकों से उनका साक्षात्कार लिया गया, उन्होंने भी इन मतभेदों की ओर ध्यान नहीं दिलाया।

बेशक, वास्तव में, लड़कों में गणितीय क्षमता दिखाने की अधिक संभावना होती है। गणितीय ओलंपियाड में लड़कियों की तुलना में लड़कों के जीतने की अधिक संभावना है। लेकिन इस वास्तविक अंतर को पुरुष और महिला व्यवसायों के व्यापक दृष्टिकोण के कारण, लड़कों और लड़कियों की शिक्षा में, परंपराओं में अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए। इससे यह तथ्य सामने आता है कि गणित अक्सर लड़कियों की रुचि के केंद्र से बाहर होता है।

उनमें से, एक विशेष स्थान पर दो मोनोग्राफिक कार्यों का कब्जा है - "द साइकोलॉजी ऑफ म्यूजिकल एबिलिटीज" और "द माइंड ऑफ ए कमांडर", जो क्षमताओं के मनोवैज्ञानिक अध्ययन के उत्कृष्ट उदाहरण बन गए हैं और इस समस्या के दृष्टिकोण के सार्वभौमिक सिद्धांतों को शामिल किया है। , जिसका उपयोग किसी भी प्रकार की क्षमताओं के अध्ययन में किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।

दोनों कार्यों में, बी.एम. टेप्लोव न केवल विशिष्ट प्रकार की गतिविधि का एक शानदार मनोवैज्ञानिक विश्लेषण देते हैं, बल्कि संगीत और सैन्य कला के उत्कृष्ट प्रतिनिधियों के उदाहरणों का उपयोग करते हुए, इन क्षेत्रों में उज्ज्वल प्रतिभाओं को बनाने वाले आवश्यक घटकों को प्रकट करते हैं। बी.एम. टेप्लोव ने सामान्य और विशेष योग्यताओं के अनुपात के मुद्दे पर विशेष ध्यान दिया, यह साबित करते हुए कि संगीत और सैन्य मामलों सहित किसी भी प्रकार की गतिविधि में सफलता न केवल विशेष घटकों पर निर्भर करती है (उदाहरण के लिए, संगीत में - श्रवण, की भावना) लय ), लेकिन से भी सामान्य सुविधाएंध्यान, स्मृति, बुद्धि. साथ ही, सामान्य मानसिक क्षमताएं विशेष क्षमताओं के साथ अटूट रूप से जुड़ी होती हैं और बाद के विकास के स्तर को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती हैं।

सामान्य क्षमताओं की भूमिका "द माइंड ऑफ़ ए कमांडर" कार्य में सबसे स्पष्ट रूप से प्रदर्शित की गई है। आइए हम इस कार्य के मुख्य प्रावधानों पर ध्यान दें, क्योंकि इनका उपयोग गणितीय क्षमताओं सहित मानसिक गतिविधि से जुड़ी अन्य प्रकार की क्षमताओं के अध्ययन में किया जा सकता है। कमांडर की गतिविधि का गहन अध्ययन करने के बाद, बी.एम. टेप्लोव ने दिखाया कि इसमें बौद्धिक कार्यों का क्या स्थान है। वे जटिल सैन्य स्थितियों का विश्लेषण प्रदान करते हैं, व्यक्तिगत महत्वपूर्ण विवरणों की पहचान करते हैं जो आगामी लड़ाइयों के परिणाम को प्रभावित कर सकते हैं। यह विश्लेषण करने की क्षमता है जो सही निर्णय लेने, युद्ध योजना तैयार करने में पहला आवश्यक कदम प्रदान करती है। विश्लेषणात्मक कार्य के बाद, संश्लेषण का चरण शुरू होता है, जो विवरणों की विविधता को एक पूरे में जोड़ना संभव बनाता है। बी.एम. टेप्लोव के अनुसार, कमांडर की गतिविधि के लिए उनके विकास के अनिवार्य उच्च स्तर के साथ विश्लेषण और संश्लेषण की प्रक्रियाओं के बीच संतुलन की आवश्यकता होती है।

एक कमांडर की बौद्धिक गतिविधि में स्मृति एक महत्वपूर्ण स्थान रखती है। इसका सार्वभौमिक होना ज़रूरी नहीं है. यह कहीं अधिक महत्वपूर्ण है कि यह चयनात्मक हो, अर्थात इसमें सबसे पहले, आवश्यक, आवश्यक विवरण बरकरार रहें। ऐसी स्मृति के एक उत्कृष्ट उदाहरण के रूप में, बी.एम. टेप्लोव नेपोलियन की स्मृति के बारे में बयानों का हवाला देते हैं, जिन्होंने इकाई संख्या से लेकर सैनिकों के चेहरों तक, उनकी सैन्य गतिविधियों से सीधे संबंधित हर चीज को याद किया था। उसी समय, नेपोलियन अर्थहीन सामग्री को याद करने में असमर्थ था, लेकिन वर्गीकरण के अधीन, एक निश्चित तार्किक कानून को तुरंत आत्मसात करने की महत्वपूर्ण विशेषता थी।

बी.एम. टेप्लोव इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि "सामग्री के आवश्यक और निरंतर व्यवस्थितकरण को खोजने और उजागर करने की क्षमता सबसे महत्वपूर्ण स्थितियां हैं जो विश्लेषण और संश्लेषण की एकता सुनिश्चित करती हैं, मानसिक गतिविधि के इन पहलुओं के बीच संतुलन जो काम को अलग करती हैं एक अच्छे कमांडर का दिमाग" (बी.एम.टेपलोव 1985, पृ.249)। उत्कृष्ट दिमाग के साथ-साथ कमांडर में कुछ व्यक्तिगत गुण भी होने चाहिए। सबसे पहले, यह साहस, दृढ़ संकल्प, ऊर्जा है, यानी, सैन्य नेतृत्व के संबंध में, आमतौर पर "इच्छा" की अवधारणा से दर्शाया जाता है। कोई कम महत्वपूर्ण नहीं व्यक्तिगत गुणवत्तातनाव सहनशीलता है. एक प्रतिभाशाली कमांडर की भावनात्मकता युद्ध के उत्साह की भावना और इकट्ठा होने और ध्यान केंद्रित करने की क्षमता के संयोजन में प्रकट होती है।

बी.एम. टेप्लोव ने कमांडर की बौद्धिक गतिविधि में अंतर्ज्ञान जैसे गुण की उपस्थिति को एक विशेष स्थान दिया। उन्होंने कमांडर के दिमाग की इस गुणवत्ता का विश्लेषण किया, इसकी तुलना एक वैज्ञानिक के अंतर्ज्ञान से की। उनके बीच बहुत कुछ समान है। बी.एम. टेप्लोव के अनुसार मुख्य अंतर, कमांडर के लिए तत्काल निर्णय लेने की आवश्यकता है, जिस पर ऑपरेशन की सफलता निर्भर हो सकती है, जबकि वैज्ञानिक समय सीमा तक सीमित नहीं है। लेकिन दोनों ही मामलों में, "अंतर्दृष्टि" से पहले कड़ी मेहनत की जानी चाहिए, जिसके आधार पर समस्या का एकमात्र सच्चा समाधान किया जा सकता है।

बी.एम. टेप्लोव द्वारा मनोवैज्ञानिक दृष्टिकोण से विश्लेषण और सामान्यीकृत प्रावधानों की पुष्टि गणितज्ञों सहित कई प्रमुख वैज्ञानिकों के कार्यों में पाई जा सकती है। तो, मनोवैज्ञानिक अध्ययन "गणितीय रचनात्मकता" में हेनरी पोंकारे ने उस स्थिति का विस्तार से वर्णन किया है जिसमें वह एक खोज करने में कामयाब रहे। इससे पहले एक लंबा प्रारंभिक कार्य किया गया था, जिसका एक बड़ा हिस्सा, वैज्ञानिक के अनुसार, अचेतन की प्रक्रिया थी। "अंतर्दृष्टि" के चरण के बाद आवश्यक रूप से दूसरा चरण आया - प्रमाण को क्रम में रखने और उसकी जाँच करने के लिए सावधानीपूर्वक सचेत कार्य। ए. पोंकारे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि गणितीय क्षमताओं में सबसे महत्वपूर्ण स्थान तार्किक रूप से संचालन की एक श्रृंखला बनाने की क्षमता है जो किसी समस्या के समाधान की ओर ले जाएगी। ऐसा प्रतीत होता है कि यह तार्किक सोच में सक्षम किसी भी व्यक्ति के लिए उपलब्ध होना चाहिए। हालाँकि, हर कोई गणितीय प्रतीकों के साथ उतनी आसानी से काम करने में सक्षम नहीं है जितना तार्किक समस्याओं को हल करते समय।

एक गणितज्ञ के लिए अच्छी याददाश्त और ध्यान होना ही पर्याप्त नहीं है। पॉइन्केयर के अनुसार, गणित में सक्षम लोगों को उस क्रम को समझने की क्षमता से अलग किया जाता है जिसमें गणितीय प्रमाण के लिए आवश्यक तत्व स्थित होने चाहिए। इस प्रकार के अंतर्ज्ञान की उपस्थिति गणितीय रचनात्मकता का मुख्य तत्व है। कुछ लोगों के पास यह सूक्ष्म भावना नहीं होती है और उनके पास मजबूत स्मृति और ध्यान नहीं होता है, और इसलिए वे गणित को समझने में सक्षम नहीं होते हैं। दूसरों में बहुत कम अंतर्ज्ञान होता है, लेकिन उनमें अच्छी याददाश्त और गहन ध्यान देने की क्षमता होती है, और इसलिए वे गणित को समझ सकते हैं और लागू कर सकते हैं। फिर भी अन्य लोगों में ऐसा विशेष अंतर्ज्ञान होता है और, उत्कृष्ट स्मृति के अभाव में भी, वे न केवल गणित को समझ सकते हैं, बल्कि गणितीय खोजें भी कर सकते हैं (पॉइंकेयर ए., 1909)।

यहां हम गणितीय रचनात्मकता के बारे में बात कर रहे हैं, जो कुछ ही लोगों के लिए सुलभ है। लेकिन, जैसा कि जे. हैडामर्ड ने लिखा है, "बीजगणित या ज्यामिति में किसी समस्या को हल करने वाले छात्र के काम और रचनात्मक कार्य के बीच, अंतर केवल स्तर और गुणवत्ता में होता है, क्योंकि दोनों कार्य समान प्रकृति के होते हैं" (हैडामर्ड जे. , पृष्ठ 98). यह समझने के लिए कि गणित में सफलता प्राप्त करने के लिए अभी भी किन गुणों की आवश्यकता है, शोधकर्ताओं ने गणितीय गतिविधि का विश्लेषण किया: समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया, प्रमाण के तरीके, तार्किक तर्क और गणितीय स्मृति की विशेषताएं। इस विश्लेषण से गणितीय क्षमताओं की संरचनाओं के विभिन्न रूपों का निर्माण हुआ, जो उनकी घटक संरचना में जटिल थे। साथ ही, अधिकांश शोधकर्ताओं की राय एक बात पर सहमत हुई - कि एकमात्र स्पष्ट गणितीय क्षमता नहीं है और न ही हो सकती है - यह एक संचयी विशेषता है जो विभिन्न मानसिक प्रक्रियाओं की विशेषताओं को दर्शाती है: धारणा, सोच, स्मृति, कल्पना।

गणितीय क्षमताओं के सबसे महत्वपूर्ण घटकों में गणितीय सामग्री को सामान्य बनाने की विशिष्ट क्षमता, स्थानिक प्रतिनिधित्व की क्षमता, अमूर्त सोच की क्षमता शामिल है। कुछ शोधकर्ता गणितीय क्षमताओं के एक स्वतंत्र घटक के रूप में तर्क और प्रमाण योजनाओं, समस्या समाधान विधियों और उनके दृष्टिकोण के सिद्धांतों के लिए गणितीय स्मृति को भी अलग करते हैं। सोवियत मनोवैज्ञानिक, जिन्होंने स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का अध्ययन किया, वी.ए. क्रुतेत्स्की गणितीय क्षमताओं की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं: एक शैक्षिक विषय के रूप में गणित की रचनात्मक महारत की सफलता के लिए शर्तें, विशेष रूप से, ज्ञान, कौशल की अपेक्षाकृत त्वरित, आसान और गहरी महारत और गणित के क्षेत्र में योग्यताएँ ”(क्रुत्स्की वी.ए., 1968)।

गणितीय क्षमताओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक का समाधान भी शामिल है - इस प्रकार की क्षमता के लिए प्राकृतिक पूर्वापेक्षाएँ, या झुकाव की खोज। झुकावों में व्यक्ति की जन्मजात शारीरिक और शारीरिक विशेषताएं शामिल होती हैं, जिन्हें क्षमताओं के विकास के लिए अनुकूल परिस्थितियाँ माना जाता है। कब काझुकावों को क्षमताओं के विकास के स्तर और दिशा को घातक रूप से पूर्व निर्धारित करने वाले कारक के रूप में माना जाता था। रूसी मनोविज्ञान के क्लासिक्स बी.एम. टेप्लोव और एस.एल. रुबिनशेटिन ने वैज्ञानिक रूप से झुकाव की ऐसी समझ की अवैधता को साबित किया और दिखाया कि क्षमताओं के विकास का स्रोत बाहरी और आंतरिक स्थितियों की घनिष्ठ बातचीत है। किसी भी तरह से किसी विशेष शारीरिक गुणवत्ता की गंभीरता किसी विशेष प्रकार की क्षमता के अनिवार्य विकास को इंगित नहीं करती है। यह इस विकास के लिए अनुकूल परिस्थिति ही हो सकती है। टाइपोलॉजिकल गुण जो झुकाव बनाते हैं और उनका एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, शरीर के कामकाज की ऐसी व्यक्तिगत विशेषताओं को दर्शाते हैं जैसे कार्य क्षमता की सीमा, तंत्रिका प्रतिक्रिया की गति विशेषताएँ, परिवर्तनों के जवाब में प्रतिक्रिया को पुनर्गठित करने की क्षमता बाहरी प्रभावों में.

तंत्रिका तंत्र के गुण, जो स्वभाव के गुणों से निकटता से संबंधित हैं, बदले में, व्यक्तित्व की चारित्रिक विशेषताओं की अभिव्यक्ति को प्रभावित करते हैं (वी.एस. मर्लिन, 1986)। चरित्र और क्षमताओं के विकास के लिए सामान्य प्राकृतिक आधार के बारे में विचार विकसित करते हुए बी.जी. अनानिएव ने गतिविधि की प्रक्रिया में क्षमताओं और चरित्र के बीच संबंधों के निर्माण की ओर इशारा किया, जिससे नए मानसिक गठन हुए, जिन्हें "प्रतिभा" और "व्यवसाय" शब्दों से दर्शाया गया। (अनानिएव बी.जी., 1980)। इस प्रकार, स्वभाव, क्षमताएं और चरित्र, जैसे कि व्यक्तित्व और व्यक्तित्व की संरचना में परस्पर संबंधित उप-संरचनाओं की एक श्रृंखला बनाते हैं, जिनका एक ही प्राकृतिक आधार होता है (ईए गोलूबेवा 1993)।

क्षमताओं और व्यक्तित्व के अध्ययन के लिए एक व्यापक टाइपोलॉजिकल दृष्टिकोण के बुनियादी सिद्धांतों को इस मोनोग्राफ के संबंधित अध्याय में ई.ए. गोलूबेवा द्वारा विस्तार से वर्णित किया गया है। सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांतों में से एक विभिन्न व्यक्तित्व विशेषताओं के निदान के लिए गुणात्मक विश्लेषण के साथ-साथ मापने के तरीकों का उपयोग है। इसके आधार पर, हमने गणितीय क्षमताओं का एक प्रायोगिक अध्ययन बनाया। हमारे विशिष्ट कार्य में तंत्रिका तंत्र के गुणों का निदान करना शामिल था, जिन्हें गणितीय क्षमताओं का निर्माण माना जाता था, गणितीय रूप से प्रतिभाशाली छात्रों की व्यक्तिगत विशेषताओं और उनकी बुद्धि की विशेषताओं का अध्ययन करना। प्रयोग मॉस्को में स्कूल नंबर 91 के आधार पर किए गए, जिसमें विशेष गणितीय कक्षाएं हैं। पूरे मॉस्को से हाई स्कूल के छात्रों को इन कक्षाओं में स्वीकार किया जाता है, जिनमें से ज्यादातर क्षेत्रीय और शहर ओलंपियाड के विजेता होते हैं जिन्होंने एक अतिरिक्त साक्षात्कार पास किया है। यहां गणित अधिक गहन कार्यक्रम के अनुसार पढ़ाया जाता है, एक अतिरिक्त पाठ्यक्रम पढ़ाया जाता है गणितीय विश्लेषण. यह अध्ययन ई.पी.गुसेवा और शिक्षक-प्रयोगकर्ता वी.एम.सपोझनिकोव के साथ संयुक्त रूप से किया गया था।

कक्षा 8-10 में जिन छात्रों के साथ हमें काम करने का मौका मिला, उन्होंने पहले ही अपनी रुचियों और झुकावों के बारे में निर्णय ले लिया है। वे अपने आगे के अध्ययन और कार्य को गणित से जोड़ते हैं। गणित में उनकी सफलता गैर-गणित कक्षाओं में छात्रों की सफलता से काफी अधिक है। लेकिन छात्रों के इस समूह के भीतर समग्र रूप से उच्च सफलता के बावजूद, महत्वपूर्ण व्यक्तिगत अंतर हैं। अध्ययन को इस प्रकार संरचित किया गया था। हमने पाठों के दौरान छात्रों का अवलोकन किया, विशेषज्ञों की मदद से उनके परीक्षण पत्रों का विश्लेषण किया, गणितीय क्षमताओं के कुछ घटकों की पहचान करने के उद्देश्य से हल करने के लिए प्रयोगात्मक कार्यों का प्रस्ताव दिया। इसके अलावा, छात्रों के साथ मनोवैज्ञानिक और मनोशारीरिक प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित की गई। बौद्धिक कार्यों के विकास के स्तर और मौलिकता का अध्ययन किया गया, उनकी व्यक्तिगत विशेषताओं और तंत्रिका तंत्र की टाइपोलॉजिकल विशेषताओं का पता चला। कुल मिलाकर, कई वर्षों के दौरान गणित में स्पष्ट योग्यता वाले 57 विद्यार्थियों की जांच की गई।

परिणाम

गणितीय रूप से प्रतिभाशाली बच्चों में वेक्सलर परीक्षण का उपयोग करके बौद्धिक विकास के स्तर के एक वस्तुनिष्ठ माप से पता चला कि उनमें से अधिकांश में सामान्य बुद्धि का स्तर बहुत उच्च है। हमारे द्वारा सर्वेक्षण किए गए कई छात्रों की सामान्य बुद्धि का संख्यात्मक मान 130 अंक से अधिक था। कुछ मानक वर्गीकरणों के अनुसार, इस परिमाण के मान केवल 2.2 जनसंख्या में पाए जाते हैं। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि अधिकांश मामलों में, हमने गैर-मौखिक पर मौखिक बुद्धि की प्रधानता देखी। स्पष्ट गणितीय क्षमताओं वाले बच्चों में अत्यधिक विकसित सामान्य और मौखिक बुद्धि की उपस्थिति का तथ्य अपने आप में अप्रत्याशित नहीं है। गणितीय क्षमताओं के कई शोधकर्ताओं ने यह नोट किया है उच्च डिग्रीमौखिक-तार्किक कार्यों का विकास है आवश्यक शर्तगणितीय क्षमता के लिए. इस मामले में, हम न केवल बुद्धि की मात्रात्मक विशेषताओं में रुचि रखते थे, बल्कि यह भी कि यह छात्रों की मनो-शारीरिक, प्राकृतिक विशेषताओं से कैसे संबंधित है। इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफिक तकनीक का उपयोग करके तंत्रिका तंत्र की व्यक्तिगत विशेषताओं का निदान किया गया। तंत्रिका तंत्र, पृष्ठभूमि और के गुणों के संकेतक के रूप में प्रतिक्रियाशील विशेषताएँइलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राम, जिसे 17-चैनल एन्सेफेलोग्राफ पर रिकॉर्ड किया गया था। इन संकेतकों के अनुसार, तंत्रिका तंत्र की ताकत, लचीलापन और सक्रियता का निदान किया गया।

हमने विश्लेषण के सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करते हुए पाया कि इस नमूने में मौखिक और सामान्य बुद्धि के उच्च स्तर वाले लोग मजबूत तंत्रिका तंत्र वाले थे। प्राकृतिक और मानवीय चक्र के विषयों में भी उनके पास उच्च ग्रेड थे। सामान्य शिक्षा स्कूलों के किशोर हाई स्कूल के छात्रों पर प्राप्त अन्य शोधकर्ताओं के अनुसार, कमजोर तंत्रिका तंत्र के मालिकों में उच्च स्तर की बुद्धि और बेहतर शैक्षणिक प्रदर्शन था (गोलूबेवा ई.ए. एट अल. 1974, कादिरोव बी.आर. 1977)। इस विसंगति का कारण संभवतः मुख्य रूप से प्रकृति में खोजा जाना चाहिए शिक्षण गतिविधियां. गणित की कक्षाओं में विद्यार्थियों को नियमित कक्षाओं के विद्यार्थियों की तुलना में काफी अधिक सीखने का भार अनुभव होता है। उनके साथ, अतिरिक्त ऐच्छिक आयोजित किए जाते हैं, इसके अलावा, अनिवार्य गृह और कक्षा असाइनमेंट के अलावा, वे उच्च शिक्षण संस्थानों की तैयारी से संबंधित कई कार्यों को हल करते हैं। इन लोगों की रुचियाँ बढ़ते हुए निरंतर मानसिक भार की ओर स्थानांतरित हो जाती हैं। गतिविधि की ऐसी स्थितियाँ सहनशक्ति, कार्य क्षमता पर बढ़ती माँगें लगाती हैं, और चूंकि तंत्रिका तंत्र की ताकत की संपत्ति की मुख्य, परिभाषित विशेषता पारलौकिक निषेध की स्थिति में प्रवेश किए बिना लंबे समय तक उत्तेजना का सामना करने की क्षमता है, तो, जाहिर है, वे जिन छात्रों में तंत्रिका तंत्र की ऐसी विशेषताएं होती हैं वे सबसे बड़ी प्रभावशीलता प्रदर्शित करते हैं। जैसे सहनशक्ति और प्रदर्शन।

वीए क्रुतेत्स्की ने गणित में सक्षम छात्रों की गणितीय गतिविधि का अध्ययन करते हुए, उनकी विशिष्ट विशेषता पर ध्यान आकर्षित किया - लंबे समय तक तनाव बनाए रखने की क्षमता, जब एक छात्र थकान प्रकट किए बिना लंबे समय तक और एकाग्रता के साथ अध्ययन कर सकता है। इन टिप्पणियों ने उन्हें यह सुझाव देने की अनुमति दी कि तंत्रिका तंत्र की ताकत जैसी संपत्ति प्राकृतिक पूर्वापेक्षाओं में से एक हो सकती है जो गणितीय क्षमताओं के विकास का पक्ष लेती है। हमें प्राप्त संबंध आंशिक रूप से इस धारणा की पुष्टि करते हैं। आंशिक रूप से ही क्यों? कई शोधकर्ताओं द्वारा गणित करने में सक्षम छात्रों की तुलना में गणित करने में सक्षम छात्रों में गणित करने की प्रक्रिया में थकान में कमी देखी गई। हमने नमूने की जांच की, जिसमें केवल सक्षम छात्र शामिल थे। हालाँकि, उनमें न केवल एक मजबूत तंत्रिका तंत्र के मालिक थे, बल्कि वे भी थे जिन्हें कमजोर तंत्रिका तंत्र के मालिकों के रूप में जाना जाता था। इसका मतलब यह है कि न केवल उच्च समग्र प्रदर्शन, जो इस प्रकार की गतिविधि में सफलता के लिए एक अनुकूल प्राकृतिक आधार है, गणितीय क्षमताओं के विकास को सुनिश्चित कर सकता है।

व्यक्तित्व लक्षणों के विश्लेषण से पता चला कि, सामान्य तौर पर, कमजोर तंत्रिका तंत्र वाले छात्रों के एक समूह के लिए, तर्कसंगतता, विवेकशीलता, दृढ़ता (J+ कारक), साथ ही स्वतंत्रता और आत्मनिर्भरता (Q2+ कारक) जैसे व्यक्तित्व लक्षण सामने आए। अधिक विशिष्ट होना. कारक जे पर उच्च अंक वाले व्यक्ति "सतर्क व्यक्तिवाद" दिखाते हुए, व्यवहार की योजना बनाने पर बहुत ध्यान देते हैं, अपनी गलतियों का विश्लेषण करते हैं। Q2 कारक पर उच्च अंक वे लोग हैं जो स्वतंत्र निर्णय लेने की प्रवृत्ति रखते हैं और उनके लिए जिम्मेदारी उठाने में सक्षम हैं। इस कारक को "सोच अंतर्मुखता" कहा जाता है। संभवतः, कमजोर तंत्रिका तंत्र के मालिक इस प्रकार की गतिविधि में सफलता प्राप्त करते हैं, जिसमें कार्य योजना, स्वतंत्रता जैसे गुणों का निर्माण भी शामिल है।

यह भी माना जा सकता है कि तंत्रिका तंत्र की इस संपत्ति के विभिन्न ध्रुव गणितीय क्षमताओं के विभिन्न घटकों से जुड़े हो सकते हैं। तो यह ज्ञात है कि तंत्रिका तंत्र की कमजोरी की विशेषता है अतिसंवेदनशीलता. यह वह है जो सत्य की सहज, अचानक समझ, "अंतर्दृष्टि" या अनुमान की क्षमता को रेखांकित कर सकती है, जो गणितीय क्षमताओं के महत्वपूर्ण घटकों में से एक है। और हालांकि ये सिर्फ एक धारणा है लेकिन इसकी पुष्टि यहां पाई जा सकती है ठोस उदाहरणगणितीय रूप से प्रतिभाशाली छात्रों के बीच। हम इसके केवल दो सबसे ज्वलंत उदाहरण देते हैं। वस्तुनिष्ठ साइकोफिजियोलॉजिकल डायग्नोस्टिक्स के परिणामों के आधार पर, डिमा को तंत्रिका तंत्र के मजबूत प्रकार के प्रतिनिधि के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। वह गणित कक्षा में "प्रथम परिमाण का तारा" है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वह बिना किसी प्रत्यक्ष प्रयास के, आसानी से शानदार सफलता प्राप्त कर लेता है। कभी थके होने की शिकायत नहीं करते. पाठ, गणित के पाठ उसके लिए आवश्यक निरंतर मानसिक जिम्नास्टिक हैं। गैर-मानक समाधान को विशेष प्राथमिकता दी जाती है, चुनौतीपूर्ण कार्यविचार के तनाव, गहन विश्लेषण, सख्त तार्किक अनुक्रम की आवश्यकता है। दीमा सामग्री की प्रस्तुति में अशुद्धियों की अनुमति नहीं देती है। भले ही शिक्षक समझाते समय तार्किक चूक कर दे, दीमा निश्चित रूप से इस पर ध्यान देगी। यह एक उच्च बौद्धिक संस्कृति द्वारा प्रतिष्ठित है। इसकी पुष्टि परीक्षण के नतीजों से भी होती है. परीक्षित समूह में दीमा के पास सामान्य बुद्धि का उच्चतम संकेतक है - 149 पारंपरिक इकाइयाँ।

एंटोन कमजोर प्रकार के तंत्रिका तंत्र के सबसे प्रतिभाशाली प्रतिनिधियों में से एक हैं, जिन्हें हमने गणितीय रूप से प्रतिभाशाली बच्चों के बीच देखा था। वह पाठ में बहुत जल्दी थक जाता है, लंबे समय तक और एकाग्र होकर काम करने में असमर्थ हो जाता है, अक्सर बिना पर्याप्त विचार-विमर्श के कुछ चीजें दूसरों पर छोड़ देता है। ऐसा होता है कि वह किसी समस्या को हल करने से इंकार कर देता है यदि उसे लगता है कि इसके लिए बहुत प्रयास की आवश्यकता होगी। हालाँकि, इन विशेषताओं के बावजूद, शिक्षक उनकी गणितीय क्षमताओं की बहुत सराहना करते हैं। तथ्य यह है कि उनके पास उत्कृष्ट गणितीय अंतर्ज्ञान है। अक्सर ऐसा होता है कि वह सबसे कठिन कार्यों को हल करने वाला पहला व्यक्ति होता है, अंतिम परिणाम देता है और समाधान के सभी मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देता है। यह "ज्ञानोदय" करने की क्षमता की विशेषता है। वह यह समझाने की जहमत नहीं उठाते कि ऐसा समाधान क्यों चुना गया, लेकिन सत्यापन करने पर यह इष्टतम और मौलिक निकला।

गणितीय क्षमताएँ अपनी संरचना में बहुत जटिल और बहुआयामी होती हैं। फिर भी, दो मुख्य प्रकार के लोग अपनी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिष्ठित हैं, जैसे कि, - ये "जियोमीटर" और "विश्लेषक" हैं। गणित के इतिहास में, इसके ज्वलंत उदाहरण पाइथागोरस और यूक्लिड (सबसे बड़े जियोमीटर), कोवालेव्स्काया और क्लेन (विश्लेषक, कार्यों के सिद्धांत के निर्माता) जैसे नाम हो सकते हैं। यह विभाजन मुख्य रूप से गणितीय सामग्री सहित वास्तविकता की धारणा की व्यक्तिगत विशेषताओं पर आधारित है। यह उस विषय से निर्धारित नहीं होता है जिस पर गणितज्ञ काम करता है: विश्लेषक ज्यामिति में विश्लेषक बने रहते हैं, जबकि ज्यामितिकार किसी भी गणितीय वास्तविकता को आलंकारिक रूप से समझना पसंद करते हैं। इस संबंध में, ए. पोंकारे के कथन को उद्धृत करना उचित है: "यह किसी भी तरह से ऐसा प्रश्न नहीं है जिस पर वे चर्चा कर रहे हैं जो उन्हें एक विधि या किसी अन्य का उपयोग करने के लिए मजबूर करता है। ज्यामिति के प्रश्नों से निपटते समय, जबकि अन्य ज्यामिति हैं, भले ही वे शुद्ध विश्लेषण में लगे हों। (जे. हेडमार्ड द्वारा उद्धृत, पृष्ठ 102)।

स्कूल अभ्यास में, प्रतिभाशाली छात्रों के साथ काम करते समय, ये अंतर न केवल गणित के विभिन्न वर्गों में महारत हासिल करने में अलग-अलग सफलता में प्रकट होते हैं, बल्कि समस्या समाधान के सिद्धांतों के प्रति अधिमान्य दृष्टिकोण में भी प्रकट होते हैं। कुछ छात्र सूत्रों, तार्किक तर्क की मदद से किसी भी समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं, जबकि अन्य, यदि संभव हो तो, स्थानिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, ये अंतर बहुत स्थिर हैं। निःसंदेह, छात्रों में ऐसे लोग भी हैं जिनके पास इन विशेषताओं का एक निश्चित संतुलन है। वे विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण के विभिन्न सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, गणित के सभी वर्गों में समान रूप से महारत हासिल करते हैं। समस्याओं को हल करने के दृष्टिकोण और उन्हें हल करने के तरीकों में छात्रों के बीच व्यक्तिगत अंतर हमारे द्वारा न केवल कक्षा में काम के दौरान छात्रों के अवलोकन के माध्यम से, बल्कि प्रयोगात्मक रूप से भी प्रकट किए गए थे। गणितीय क्षमताओं के व्यक्तिगत घटकों का विश्लेषण करने के लिए, शिक्षक-प्रयोगकर्ता वी.एम. सपोझनिकोव ने विशेष प्रयोगात्मक समस्याओं की एक श्रृंखला विकसित की। इस श्रृंखला में समस्याओं को हल करने के परिणामों के विश्लेषण से स्कूली बच्चों की मानसिक गतिविधि की प्रकृति और गणितीय सोच के आलंकारिक और विश्लेषणात्मक घटकों के बीच संबंध का एक उद्देश्यपूर्ण विचार प्राप्त करना संभव हो गया।

ऐसे छात्रों की पहचान की गई जो बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में बेहतर थे, साथ ही उन छात्रों की भी पहचान की गई जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में बेहतर थे। प्रयोग से पता चला कि छात्रों में विश्लेषणात्मक प्रकार की गणितीय सोच के प्रतिनिधि हैं, जो मौखिक-तार्किक घटक की स्पष्ट प्रबलता की विशेषता है। उन्हें दृश्य योजनाओं की कोई आवश्यकता नहीं है, वे प्रतिष्ठित प्रतीकों के साथ काम करना पसंद करते हैं। जो छात्र ज्यामितीय कार्यों को पसंद करते हैं उनकी सोच में दृश्य-आलंकारिक घटक की अधिक गंभीरता होती है। ये छात्र गणितीय संबंधों और निर्भरताओं की अभिव्यक्ति में दृश्य प्रतिनिधित्व और व्याख्या की आवश्यकता महसूस करते हैं।

प्रयोगों में भाग लेने वाले गणितीय रूप से प्रतिभाशाली छात्रों की कुल संख्या में से, सबसे प्रतिभाशाली "विश्लेषकों" और "जियोमीटर" को अलग कर दिया गया, जो दो चरम समूहों को बनाते थे। "विश्लेषकों" के समूह में 11 लोग शामिल थे, जो मौखिक-तार्किक प्रकार की सोच के सबसे प्रमुख प्रतिनिधि थे। "जियोमीटर" के समूह में उज्ज्वल दृश्य-आलंकारिक प्रकार की सोच वाले 5 लोग शामिल थे। तथ्य यह है कि "जियोमीटर" के उत्कृष्ट प्रतिनिधियों के समूह के लिए बहुत कम छात्रों का चयन किया गया था, हमारी राय में, निम्नलिखित परिस्थिति से समझाया जा सकता है। गणितीय प्रतियोगिताओं और ओलंपियाड का संचालन करते समय, सोच के दृश्य-आलंकारिक घटकों की भूमिका को पर्याप्त रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। प्रतिस्पर्धी कार्यों में, ज्यामिति में समस्याओं का अनुपात कम है - 4-5 कार्यों में से, सबसे अच्छा, एक का उद्देश्य छात्रों में स्थानिक प्रतिनिधित्व की पहचान करना है। इस प्रकार, चयन के दौरान, जैसा कि यह था, एक ज्वलंत दृश्य-आलंकारिक प्रकार की सोच वाले संभावित रूप से सक्षम जियोमीटर गणितज्ञों को "काट दिया गया" है। हमारे पास उपलब्ध सभी साइकोफिजियोलॉजिकल और मनोवैज्ञानिक संकेतकों के लिए समूह अंतर (छात्र का टी-टेस्ट) की तुलना करने की सांख्यिकीय पद्धति का उपयोग करके आगे का विश्लेषण किया गया।

यह ज्ञात है कि आई.पी. पावलोव की टाइपोलॉजिकल अवधारणा में, तंत्रिका तंत्र के गुणों के शारीरिक सिद्धांत के अलावा, विशेष रूप से मानव प्रकार की उच्च तंत्रिका गतिविधि का वर्गीकरण शामिल था, जो सिग्नल सिस्टम के अनुपात में भिन्न होता है। ये "कलाकार" हैं, पहले सिग्नल सिस्टम की प्रबलता के साथ, "विचारक", दूसरे सिग्नल सिस्टम की प्रबलता के साथ, और मध्य प्रकार, दोनों प्रणालियों के संतुलन के साथ। "विचारकों" के लिए सबसे विशेषता जानकारी को संसाधित करने का अमूर्त-तार्किक तरीका है, जबकि "कलाकारों" के पास वास्तविकता की एक ज्वलंत आलंकारिक समग्र धारणा है। बेशक, ये अंतर पूर्ण नहीं हैं, बल्कि केवल प्रतिक्रिया के प्रमुख रूपों को दर्शाते हैं। वही सिद्धांत "विश्लेषकों" और "जियोमीटर" के बीच अंतर को रेखांकित करते हैं। पूर्व पसंद करते हैं विश्लेषणात्मक तरीकोंकिसी भी गणितीय समस्या का समाधान, यानी, वे "विचारकों" के प्रकार के करीब हैं। "जियोमीटर" समस्याओं में आलंकारिक घटकों को अलग करते हैं, जिससे "कलाकारों" के लिए विशिष्ट तरीके से कार्य होता है।

में हाल तककई कार्य सामने आए जिनमें तंत्रिका तंत्र के मूल गुणों के सिद्धांत को विशेष रूप से मानव प्रकारों - "कलाकारों" और "विचारकों" के बारे में विचारों के साथ संयोजित करने का प्रयास किया गया। यह स्थापित किया गया है कि एक मजबूत, लचीला और सक्रिय तंत्रिका तंत्र के मालिक "कलात्मक" प्रकार के होते हैं, और कमजोर, निष्क्रिय और निष्क्रिय तंत्रिका तंत्र "सोच" प्रकार के होते हैं (पेचेनकोव वी.वी., 1989)। हमारे काम में, संकेतकों से विभिन्न गुणतंत्रिका तंत्र की, गणितीय सोच के प्रकारों का निदान करने में सबसे अधिक जानकारीपूर्ण साइकोफिजियोलॉजिकल विशेषता तंत्रिका तंत्र की ताकत-कमजोरी संपत्ति की विशेषता बन गई। "विश्लेषकों" के समूह में "जियोमीटर" के समूह की तुलना में अपेक्षाकृत कमजोर तंत्रिका तंत्र के मालिक शामिल थे। अर्थात्, तंत्रिका तंत्र की ताकत-कमजोरी की संपत्ति के संदर्भ में समूहों के बीच जो अंतर हमने पहचाना, वह पहले प्राप्त परिणामों के अनुरूप निकला। तंत्रिका तंत्र के दो अन्य गुणों (लैबिलिटी, सक्रियण) के लिए, हमें सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर नहीं मिला, इस तथ्य के बावजूद कि उभरते रुझान प्रारंभिक मान्यताओं का खंडन नहीं करते हैं।

भी आयोजित किया गया तुलनात्मक विश्लेषणकैटेल प्रश्नावली का उपयोग करके प्राप्त व्यक्तित्व लक्षणों के निदान के परिणाम। समूहों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर दो कारकों - एच और जे द्वारा स्थापित किए गए थे। कारक एच के अनुसार, "विश्लेषकों" के समूह को आम तौर पर सीमित हितों (एच-) के साथ अपेक्षाकृत अधिक संयमित के रूप में चित्रित किया जा सकता है। आमतौर पर साथ वाले लोग कम अंकइस कारक के अनुसार, वे बंद हैं, लोगों के साथ अतिरिक्त संपर्क की तलाश नहीं करते हैं। इस व्यक्तिगत कारक के अनुसार "जियोमीटर" के समूह में बड़े मूल्य (एच+) होते हैं और यह एक निश्चित लापरवाही, सामाजिकता से भिन्न होता है। ऐसे लोगों को संचार में कठिनाइयों का अनुभव नहीं होता है, वे कई और इच्छुक संपर्क बनाते हैं, वे अप्रत्याशित परिस्थितियों में नहीं खोते हैं। वे कलात्मक हैं, महत्वपूर्ण भावनात्मक तनाव झेलने में सक्षम हैं। जे कारक के अनुसार, जो आम तौर पर व्यक्तिवाद जैसे व्यक्तित्व गुण की विशेषता बताता है, "विश्लेषकों" के समूह में उच्च औसत समूह मूल्य होते हैं। इसका मतलब यह है कि उनमें तर्कसंगतता, विवेकशीलता, दृढ़ता की विशेषता है। लोग जिनके पास है अधिक वजनइस कारक के अनुसार, वे बंद रहकर और व्यक्तिगत रूप से कार्य करते हुए, अपने व्यवहार की योजना बनाने पर बहुत ध्यान देते हैं।

उनके विपरीत, "जियोमीटर" समूह से संबंधित लोग ऊर्जावान और अभिव्यंजक हैं। वे संयुक्त कार्यों को पसंद करते हैं, वे समूह हितों में शामिल होने और एक ही समय में अपनी गतिविधि दिखाने के लिए तैयार हैं। उभरते मतभेदों से पता चलता है कि गणितीय रूप से प्रतिभाशाली छात्रों के अध्ययन किए गए समूह दो कारकों पर सबसे अधिक भिन्न होते हैं, जो एक ओर, एक निश्चित भावनात्मक अभिविन्यास (संयम, विवेक - लापरवाही, अभिव्यक्ति) की विशेषता रखते हैं, दूसरी ओर, विशेषताएं अंत वैयक्तिक संबंध(अलगाव - सामाजिकता)। दिलचस्प बात यह है कि इन लक्षणों का वर्णन काफी हद तक ईसेनक द्वारा प्रस्तावित बहिर्मुखी-अंतर्मुखी के प्रकारों के विवरण से मेल खाता है। बदले में, इन प्रकारों की एक निश्चित मनो-शारीरिक व्याख्या होती है। बहिर्मुखी लोग मजबूत, लचीले, सक्रिय होते हैं, अंतर्मुखी कमजोर, निष्क्रिय, निष्क्रिय होते हैं। साइकोफिजियोलॉजिकल विशेषताओं का एक ही सेट विशेष रूप से मानव प्रकार की उच्च तंत्रिका गतिविधि - "कलाकारों" और "विचारकों" के लिए प्राप्त किया गया था।

हमारे परिणाम हमें साइकोफिजियोलॉजिकल, मनोवैज्ञानिक संकेतों और गणितीय सोच के प्रकारों के बीच संबंध के कुछ सिंड्रोम बनाने की अनुमति देते हैं।

"विश्लेषक" "जियोमीटर" (अमूर्त-तार्किक प्रकार की सोच) (दृश्य-आलंकारिक प्रकार की सोच)

कमजोर एन.एस. मजबूत एन.एस.
विवेक लापरवाही
अलगाव सामाजिकता
अंतर्मुखी बहिर्मुखी

इस प्रकार, गणितीय रूप से प्रतिभाशाली स्कूली बच्चों के हमारे व्यापक अध्ययन ने प्रयोगात्मक रूप से मनोवैज्ञानिक और मनो-शारीरिक कारकों के एक निश्चित संयोजन की उपस्थिति की पुष्टि करना संभव बना दिया है जो गणितीय क्षमताओं के विकास के लिए अनुकूल आधार बनाते हैं। यह इस प्रकार की क्षमता की अभिव्यक्ति में सामान्य और विशेष दोनों क्षणों पर लागू होता है।

स्कूली बच्चों की गणितीय और खेल क्षमताओं के विकास की विशेषताएं

2.1 गणितीय क्षमताओं की मनोवैज्ञानिक संरचना

क्षमता छात्र गणित खेल

गणित ज्ञान, सोच, विकास का एक उपकरण है। यह रचनात्मक संवर्धन के अवसरों से समृद्ध है। एक भी स्कूली विषय एक विचारशील व्यक्ति की शिक्षा में गणित की संभावनाओं का मुकाबला नहीं कर सकता। मानसिक विकास में गणित के विशेष महत्व को 18वीं शताब्दी में एम.वी. द्वारा नोट किया गया था। लोमोनोसोव: "गणित बाद में पढ़ाया जाना चाहिए, यह दिमाग को व्यवस्थित करता है।"

क्षमताओं का आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण है। इसके अनुसार, क्षमताओं को सामान्य और विशेष में विभाजित किया जाता है, जो कुछ प्रकार की गतिविधि और संचार में किसी व्यक्ति की सफलता निर्धारित करते हैं, जहां एक विशेष प्रकार के झुकाव और उनके विकास की आवश्यकता होती है (गणितीय, तकनीकी, साहित्यिक और भाषाई, कलात्मक और रचनात्मक, खेल) , वगैरह।)।

गणितीय क्षमताएं न केवल अच्छी याददाश्त और ध्यान से निर्धारित होती हैं। एक गणितज्ञ के लिए, तत्वों के क्रम को समझने में सक्षम होना और इन डेटा के साथ काम करने की क्षमता होना महत्वपूर्ण है। यह अजीब अंतर्ज्ञान गणितीय क्षमता का आधार है।

मनोविज्ञान में ए. बिनेट, ई. थार्नडाइक और जी. रेव्स जैसे वैज्ञानिकों और ए. पॉइंकेरे और जे. हैडमार्ड जैसे उत्कृष्ट गणितज्ञों ने गणितीय क्षमताओं के अध्ययन में योगदान दिया। दिशाओं की व्यापक विविधता गणितीय क्षमताओं के अध्ययन के दृष्टिकोण में भी व्यापक विविधता निर्धारित करती है। बेशक, गणितीय क्षमताओं का अध्ययन एक परिभाषा से शुरू होना चाहिए। इस प्रकार के प्रयास बार-बार किए गए हैं, लेकिन गणितीय क्षमताओं की अभी भी कोई स्थापित, संतोषजनक परिभाषा नहीं है। एकमात्र बात जिस पर सभी शोधकर्ता सहमत हैं, शायद, यह राय है कि गणितीय ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए सामान्य, "स्कूल" क्षमताओं, उनके पुनरुत्पादन और स्वतंत्र अनुप्रयोग और स्वतंत्र निर्माण से जुड़ी रचनात्मक गणितीय क्षमताओं के बीच अंतर करना आवश्यक है। मूल और सामाजिक मूल्य का उत्पाद।

1918 में, ए. रोजर्स के काम में, गणितीय क्षमताओं के दो पक्षों पर ध्यान दिया गया, प्रजनन (स्मृति के कार्य से जुड़ा) और उत्पादक (सोच के कार्य से जुड़ा)। डब्ल्यू. बेट्ज़ गणितीय क्षमताओं को गणितीय संबंधों के आंतरिक संबंध को स्पष्ट रूप से समझने की क्षमता और गणितीय अवधारणाओं में सटीक रूप से सोचने की क्षमता के रूप में परिभाषित करते हैं।

रूसी लेखकों के कार्यों में से, 1918 में प्रकाशित डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की के मूल लेख "गणितीय सोच का मनोविज्ञान" का उल्लेख करना आवश्यक है। लेखक, एक विशेषज्ञ गणितज्ञ, ने एक आदर्शवादी स्थिति से लिखा, उदाहरण के लिए, "अचेतन विचार प्रक्रिया" को विशेष महत्व देते हुए, यह तर्क देते हुए कि "एक गणितज्ञ की सोच अचेतन क्षेत्र में गहराई से अंतर्निहित है, जो अब इसकी सतह पर आ रही है, अब गहराई में उतर रहा है। एक गणितज्ञ को अपने विचार के प्रत्येक चरण के बारे में पता नहीं होता है, जैसे धनुष की गति का एक गुणी व्यक्ति" [ऑप। से 13, पृ. 45]। किसी समस्या के तैयार समाधान की चेतना में अचानक उपस्थिति, जिसे हम लंबे समय तक हल नहीं कर सकते, - लेखक लिखते हैं, - हम अचेतन सोच से समझाते हैं, जो कार्य से निपटना जारी रखता है, और परिणाम सामने आता है चेतना की दहलीज [उद्धरण] से 13, पृ. 48]. मोर्दुचाई-बोल्टोव्स्की के अनुसार, हमारा दिमाग अवचेतन में श्रमसाध्य और जटिल कार्य करने में सक्षम है, जहां सभी "कच्चे" कार्य किए जाते हैं, और विचार का अचेतन कार्य चेतन से भी कम त्रुटि वाला होता है।

लेखक गणितीय प्रतिभा और गणितीय सोच की पूरी तरह से विशिष्ट प्रकृति को नोट करता है। उनका तर्क है कि गणित करने की क्षमता हमेशा प्रतिभाशाली लोगों में भी अंतर्निहित नहीं होती है, गणितीय और गैर-गणितीय दिमाग के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है। गणितीय क्षमताओं के घटकों को अलग करने का मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की का प्रयास बहुत दिलचस्प है। वह इन घटकों को विशेष रूप से संदर्भित करता है:

* "मजबूत स्मृति", "उस प्रकार की वस्तुओं के लिए स्मृति जिससे गणित संबंधित है", स्मृति तथ्यों के बजाय, बल्कि विचारों और विचारों के लिए।

* "बुद्धि", जिसे विचार के दो शिथिल रूप से जुड़े क्षेत्रों से अवधारणाओं को "एक निर्णय में गले लगाने" की क्षमता के रूप में समझा जाता है, दिए गए के समान पहले से ज्ञात कुछ में खोजने के लिए, सबसे दूर प्रतीत होने वाले पूर्ण रूप से कुछ समान खोजने के लिए विषम वस्तुएं.

* विचार की गति (विचार की गति को उस कार्य से समझाया जाता है जो अचेतन सोच चेतन की मदद के लिए करती है)। लेखक के अनुसार, अचेतन सोच चेतन की तुलना में बहुत तेजी से आगे बढ़ती है।

डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की गणितीय कल्पना के प्रकारों पर भी अपने विचार व्यक्त करते हैं जो विभिन्न प्रकार के गणितज्ञों - "जियोमीटर" और "बीजगणित" को रेखांकित करते हैं। आम तौर पर अंकगणितज्ञ, बीजगणितज्ञ और विश्लेषक, जिनकी खोज सफलता के मात्रात्मक प्रतीकों और उनके अंतर्संबंधों के सबसे अमूर्त रूप में की जाती है, एक "जियोमीटर" की तरह कल्पना नहीं कर सकते हैं।

डी.एन. बोगोयावलेंस्की और एन.ए. मेनचिंस्काया, बच्चों की सीखने की क्षमता में व्यक्तिगत अंतर के बारे में बात करते हुए, मनोवैज्ञानिक गुणों की अवधारणा का परिचय देते हैं जो सीखने में सफलता निर्धारित करते हैं, अन्य सभी चीजें समान होती हैं। वे "क्षमता" शब्द का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन संक्षेप में संबंधित अवधारणा ऊपर दी गई परिभाषा के करीब है।

गणितीय क्षमताएं एक जटिल संरचनात्मक मानसिक गठन, गुणों का एक प्रकार का संश्लेषण, मन का एक अभिन्न गुण है, जो इसके विभिन्न पहलुओं को कवर करता है और गणितीय गतिविधि की प्रक्रिया में विकसित होता है। यह सेट एकल गुणात्मक रूप से मूल संपूर्ण है - केवल विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए, हम अलग-अलग घटकों को अलग करते हैं, किसी भी तरह से उन्हें पृथक गुणों के रूप में नहीं मानते हैं। ये घटक बारीकी से जुड़े हुए हैं, एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं और अपनी समग्रता में एक एकल प्रणाली बनाते हैं, जिसकी अभिव्यक्तियाँ हम पारंपरिक रूप से "गणितीय प्रतिभा का सिंड्रोम" कहते हैं।

गणितीय क्षमताओं की संरचना के बारे में बोलते हुए, इस समस्या के विकास में वी.ए. के योगदान पर ध्यान दिया जाना चाहिए। क्रुतेत्स्की। उनके द्वारा एकत्र की गई प्रायोगिक सामग्री हमें उन घटकों के बारे में बात करने की अनुमति देती है जो गणितीय प्रतिभा जैसे मन के अभिन्न गुण की संरचना में महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

स्कूली उम्र में गणितीय क्षमताओं की संरचना की सामान्य योजना

1. गणितीय जानकारी प्राप्त करना

ए) समस्या की औपचारिक संरचना को कवर करते हुए गणितीय सामग्री की धारणा को औपचारिक बनाने की क्षमता।

2. गणितीय जानकारी का प्रसंस्करण।

ए) मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकवाद के क्षेत्र में तार्किक सोच की क्षमता। गणितीय प्रतीकों में सोचने की क्षमता.

बी) गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को त्वरित और व्यापक रूप से सामान्यीकृत करने की क्षमता।

सी) गणितीय तर्क की प्रक्रिया और संबंधित क्रियाओं की प्रणाली को कम करने की क्षमता। मुड़ी हुई संरचनाओं में सोचने की क्षमता।

डी) गणितीय गतिविधि में विचार प्रक्रियाओं का लचीलापन।

ई) निर्णयों की स्पष्टता, सरलता, मितव्ययिता और तर्कसंगतता के लिए प्रयास करना।

ई) विचार प्रक्रिया की दिशा को जल्दी और स्वतंत्र रूप से पुनर्गठित करने की क्षमता, प्रत्यक्ष से विपरीत विचार पर स्विच करना (गणितीय तर्क में विचार प्रक्रिया की प्रतिवर्तीता)।

3. गणितीय जानकारी का भंडारण.

ए) गणितीय स्मृति (गणितीय संबंधों के लिए सामान्यीकृत स्मृति, विशिष्ट विशेषताएं, तर्क और प्रमाण योजनाएं, समस्या समाधान के तरीके और उनके दृष्टिकोण के सिद्धांत)

4. सामान्य सिंथेटिक घटक.

ए) मन का गणितीय अभिविन्यास।

गणितीय प्रतिभा की संरचना में वे घटक शामिल नहीं हैं जिनकी इस संरचना में उपस्थिति आवश्यक नहीं है (यद्यपि उपयोगी है)। इस अर्थ में, वे गणितीय प्रतिभा के संबंध में तटस्थ हैं। हालाँकि, संरचना में उनकी उपस्थिति या अनुपस्थिति (अधिक सटीक रूप से, विकास की डिग्री) गणितीय मानसिकता के प्रकार को निर्धारित करती है।

1. एक अस्थायी विशेषता के रूप में विचार प्रक्रियाओं की गति।

कार्य की व्यक्तिगत गति महत्वपूर्ण नहीं है। एक गणितज्ञ धीरे-धीरे ही सही, लेकिन बहुत गहराई से और गहराई से सोच सकता है।

2. कम्प्यूटेशनल क्षमताएं (अक्सर दिमाग में जल्दी और सटीक गणना करने की क्षमता)। यह ज्ञात है कि ऐसे लोग हैं जो अपने दिमाग में जटिल गणितीय गणना करने में सक्षम हैं (लगभग तात्कालिक वर्ग और तीन अंकों की संख्याओं का घन), लेकिन जो किसी भी जटिल समस्या को हल करने में सक्षम नहीं हैं।

यह भी ज्ञात है कि ऐसे अभूतपूर्व "काउंटर" थे और अब भी हैं जिन्होंने गणित को कुछ भी नहीं दिया, और उत्कृष्ट गणितज्ञ ए. पोंकारे ने अपने बारे में लिखा कि त्रुटि के बिना जोड़ भी नहीं किया जा सकता है।

3. संख्याओं, सूत्रों, संख्याओं के लिए मेमोरी। जैसा कि शिक्षाविद् ए.एन. कोलमोगोरोव के अनुसार, कई उत्कृष्ट गणितज्ञों के पास इस प्रकार की कोई उत्कृष्ट स्मृति नहीं थी।

4. स्थानिक प्रतिनिधित्व की क्षमता.

5. अमूर्त गणितीय संबंधों और निर्भरताओं की कल्पना करने की क्षमता।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि गणितीय क्षमताओं की संरचना की योजना छात्र की गणितीय क्षमताओं को संदर्भित करती है। यह नहीं कहा जा सकता कि किस हद तक इसे गणितीय क्षमताओं की संरचना की एक सामान्य योजना माना जा सकता है, किस हद तक इसका श्रेय सुस्थापित प्रतिभाशाली गणितज्ञों को दिया जा सकता है।

गणितीय मानसिकता के प्रकार.

यह सर्वविदित है कि विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में, क्षमताओं के गुणात्मक संयोजन के रूप में प्रतिभा हमेशा प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में विविध और अद्वितीय होती है। लेकिन प्रतिभा की गुणात्मक विविधता के साथ, प्रतिभा की संरचना में कुछ बुनियादी टाइपोलॉजिकल अंतरों को रेखांकित करना, एक दूसरे से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न कुछ प्रकारों को अलग करना और विभिन्न तरीकों से संबंधित क्षेत्र में समान रूप से उच्च उपलब्धियां हासिल करना हमेशा संभव होता है।

विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय प्रकारों का उल्लेख ए. पोंकारे, जे. हैडमार्ड, डी. मोर्दुखाई-बोल्टोव्स्की के कार्यों में किया गया है, लेकिन इन शब्दों के साथ वे गणित में रचनात्मकता का एक तार्किक, सहज तरीका जोड़ते हैं।

घरेलू शोधकर्ताओं में एन.ए. मेनचिंस्काया। उन्होंने निम्नलिखित सापेक्ष प्रबलता वाले विद्यार्थियों को चुना: क) अमूर्त की तुलना में आलंकारिक सोच; बी) आलंकारिक पर अमूर्त और सी) दोनों प्रकार की सोच का सामंजस्यपूर्ण विकास।

कोई यह नहीं सोच सकता कि विश्लेषणात्मक प्रकार केवल बीजगणित में और ज्यामितीय प्रकार ज्यामिति में दिखाई देता है। विश्लेषणात्मक गोदाम खुद को ज्यामिति में प्रकट कर सकता है, और ज्यामितीय एक - बीजगणित में। वी.ए. क्रुतेत्स्की ने प्रत्येक प्रकार का विस्तृत विवरण दिया।

विश्लेषणात्मक प्रकार.

इस प्रकार के प्रतिनिधियों की सोच को कमजोर दृश्य-आलंकारिक घटक पर एक बहुत अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक घटक की स्पष्ट प्रबलता की विशेषता है। वे आसानी से अमूर्त योजनाओं के साथ काम करते हैं। उन्हें समस्याओं को हल करने में विषय या योजनाबद्ध विज़ुअलाइज़ेशन के उपयोग के लिए दृश्य समर्थन की कोई आवश्यकता नहीं है, यहां तक ​​​​कि जब समस्या में दिए गए गणितीय संबंध और निर्भरताएं दृश्य प्रतिनिधित्व का "सुझाव" देती हैं।

इस प्रकार के प्रतिनिधि दृश्य-आलंकारिक प्रतिनिधित्व की क्षमता में भिन्न नहीं होते हैं और इसलिए, अधिक कठिन और जटिल तार्किक-विश्लेषणात्मक समाधान पथ का उपयोग करते हैं जहां एक छवि पर निर्भरता बहुत सरल समाधान देती है। वे अमूर्त रूप में व्यक्त समस्याओं को बहुत सफलतापूर्वक हल करते हैं, जबकि ठोस-दृश्य रूप में व्यक्त समस्याओं को यथासंभव अमूर्त योजना में तब्दील करने का प्रयास करते हैं। अवधारणाओं के विश्लेषण से जुड़े संचालन ज्यामितीय आरेख या ड्राइंग के विश्लेषण से जुड़े संचालन की तुलना में उनके द्वारा आसान तरीके से किए जाते हैं।

ज्यामितीय प्रकार

इस प्रकार के प्रतिनिधियों की सोच एक बहुत अच्छी तरह से विकसित दृश्य-आलंकारिक घटक द्वारा विशेषता है। इस संबंध में, हम सशर्त रूप से एक अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक घटक पर प्रभुत्व की बात कर सकते हैं। ये छात्र अमूर्त सामग्री की अभिव्यक्ति की दृश्य व्याख्या की आवश्यकता महसूस करते हैं और इस संबंध में महान चयनात्मकता प्रदर्शित करते हैं। लेकिन यदि वे दृश्य समर्थन बनाने, समस्याओं को हल करने में वस्तुनिष्ठ या योजनाबद्ध दृश्य का उपयोग करने में विफल रहते हैं, तो वे शायद ही अमूर्त योजनाओं के साथ काम करते हैं। वे हठपूर्वक दृश्य योजनाओं, छवियों, विचारों के साथ काम करने की कोशिश करते हैं, यहां तक ​​कि जहां समस्या को तर्क द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है, और दृश्य समर्थन का उपयोग अनावश्यक या कठिन है।

हार्मोनिक प्रकार.

इस प्रकार को अच्छी तरह से विकसित मौखिक-तार्किक और दृश्य-आलंकारिक घटकों के सापेक्ष संतुलन की विशेषता है, जिसमें पूर्व प्रमुख भूमिका निभाता है। इस प्रकार के प्रतिनिधियों में स्थानिक प्रतिनिधित्व अच्छी तरह से विकसित हैं। वे अमूर्त संबंधों और निर्भरताओं की दृश्य व्याख्या में चयनात्मक हैं, लेकिन दृश्य छवियां और योजनाएं उनके मौखिक-तार्किक विश्लेषण के अधीन हैं। दृश्य छवियों का उपयोग करते हुए, ये छात्र स्पष्ट रूप से जानते हैं कि सामान्यीकरण की सामग्री विशेष मामलों तक सीमित नहीं है। वे कई समस्याओं को हल करने के लिए आलंकारिक-ज्यामितीय दृष्टिकोण को भी सफलतापूर्वक लागू करते हैं।

स्थापित प्रकारों का एक सामान्य अर्थ प्रतीत होता है। उनकी उपस्थिति की पुष्टि कई अध्ययनों से होती है [सीआईटी। 10 तक, पी. 115]।

गणितीय क्षमताओं की आयु विशेषताएं।

विदेशी मनोविज्ञान में, जे. पियागेट के प्रारंभिक अध्ययनों के आधार पर स्कूली बच्चे के गणितीय विकास की उम्र से संबंधित विशेषताओं के बारे में विचार अभी भी व्यापक हैं। पियागेट का मानना ​​था कि एक बच्चा केवल 12 वर्ष की आयु तक अमूर्त सोच में सक्षम हो जाता है। एक किशोर के गणितीय तर्क के विकास के चरणों का विश्लेषण करते हुए, एल. स्कोएन इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि दृश्य-विशिष्ट के संदर्भ में, एक स्कूली बच्चा 12-13 साल की उम्र तक सोचता है, और औपचारिक बीजगणित के संदर्भ में सोचता है, जो संचालन में महारत हासिल करने से जुड़ा है। प्रतीक, केवल 17 वर्ष की आयु तक विकसित होते हैं।

घरेलू मनोवैज्ञानिकों का एक अध्ययन अलग-अलग परिणाम देता है। अधिक पी.पी. ब्लोंस्की ने एक किशोर (11-14 वर्ष) में सामान्यीकरण और अमूर्त सोच, साक्ष्य को साबित करने और समझने की क्षमता के गहन विकास के बारे में लिखा।

एक वाजिब सवाल उठता है: हम युवा छात्रों के संबंध में गणितीय क्षमताओं के बारे में किस हद तक बात कर सकते हैं? आई.वी. के नेतृत्व में अनुसंधान। डबरोविना, इस प्रश्न का उत्तर इस प्रकार देने का आधार देती है। बेशक, विशेष प्रतिभा के मामलों को छोड़कर, हम इस युग के संबंध में गणितीय क्षमताओं की किसी भी गठित संरचना के बारे में बात नहीं कर सकते हैं। इसलिए, "गणितीय क्षमताओं" की अवधारणा सशर्त है जब इसे छोटे स्कूली बच्चों - 7-10 वर्ष की आयु के बच्चों पर लागू किया जाता है, इस उम्र में गणितीय क्षमताओं के घटकों का अध्ययन करते समय, हम आमतौर पर केवल ऐसे घटकों के प्राथमिक रूपों के बारे में बात कर सकते हैं। लेकिन गणितीय क्षमताओं के व्यक्तिगत घटक प्राथमिक ग्रेड में पहले से ही बनते हैं।

प्रायोगिक प्रशिक्षण, जो मनोविज्ञान संस्थान (डी.बी. एल्कोनिन, वी.वी. डेविडॉव) के कर्मचारियों द्वारा कई स्कूलों में किया गया था, से पता चलता है कि एक विशेष शिक्षण पद्धति के साथ, युवा छात्र आमतौर पर जितना सोचा जाता है उससे अधिक ध्यान भटकाने और तर्क करने की क्षमता हासिल कर लेते हैं। हालाँकि, हालाँकि छात्र की आयु विशेषताएँ काफी हद तक उन परिस्थितियों पर निर्भर करती हैं जिनमें सीखना होता है, यह मान लेना गलत होगा कि वे पूरी तरह से सीखने से निर्मित हैं। इसलिए, इस प्रश्न पर चरम दृष्टिकोण, जब यह माना जाता है कि प्राकृतिक मानसिक विकास में कोई नियमितता नहीं है, गलत है। एक अधिक प्रभावी शिक्षण प्रणाली पूरी प्रक्रिया को "बन" सकती है, लेकिन कुछ सीमाओं तक, विकास का क्रम कुछ हद तक बदल सकता है, लेकिन विकास की रेखा को पूरी तरह से अलग चरित्र नहीं दे सकता है।

यहां कोई मनमानी नहीं चल सकेगी. उदाहरण के लिए, जटिल गणितीय संबंधों और विधियों को सामान्य बनाने की क्षमता सरल गणितीय संबंधों को सामान्य बनाने की क्षमता से पहले नहीं बनाई जा सकती।

इस प्रकार, जिन आयु विशेषताओं का उल्लेख किया गया है वे कुछ हद तक मनमानी अवधारणा हैं। इसलिए, सभी अध्ययन सीखने के प्रभाव में गणितीय क्षमताओं की संरचना के मुख्य घटकों के विकास की सामान्य दिशा पर, एक सामान्य प्रवृत्ति पर केंद्रित हैं।

गणितीय क्षमताओं की विशेषताओं में लिंग अंतर।

क्या लिंग भेद का गणितीय क्षमताओं के विकास की प्रकृति और संबंधित क्षेत्र में उपलब्धि के स्तर पर कोई प्रभाव पड़ता है? क्या स्कूली उम्र में लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच की गुणात्मक रूप से अनूठी विशेषताएं हैं?

विदेशी मनोविज्ञान में ऐसे कार्य होते हैं जहाँ लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच की कुछ गुणात्मक विशेषताओं की पहचान करने का प्रयास किया जाता है। वी. स्टर्न उस दृष्टिकोण से अपनी असहमति की बात करते हैं, जिसके अनुसार पुरुषों और महिलाओं के मानसिक क्षेत्र में अंतर असमान शिक्षा का परिणाम है। उनकी राय में, कारण विभिन्न आंतरिक झुकावों में निहित हैं। इसलिए, महिलाएं अमूर्त सोच की ओर कम प्रवृत्त होती हैं और इस संबंध में कम सक्षम होती हैं। चौधरी स्पीयरमैन और ई. थार्नडाइक के मार्गदर्शन में भी अध्ययन किए गए, वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि "क्षमताओं के संदर्भ में कोई बड़ा अंतर नहीं है", लेकिन साथ ही उन्होंने लड़कियों में विस्तार से बताने की अधिक प्रवृत्ति देखी, याद रखें विवरण।

घरेलू मनोविज्ञान में प्रासंगिक शोध आई.वी. के मार्गदर्शन में किया गया। डबरोविना और एस.आई. शापिरो, उन्हें लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच में कोई गुणात्मक विशिष्ट विशेषताएं नहीं मिलीं। जिन शिक्षकों से उनका साक्षात्कार लिया गया, उन्होंने भी इन मतभेदों की ओर ध्यान नहीं दिलाया।

बेशक, वास्तव में, लड़कों में गणितीय क्षमता दिखाने की अधिक संभावना होती है।

गणितीय ओलंपियाड में लड़कियों की तुलना में लड़कों के जीतने की अधिक संभावना है। लेकिन इस वास्तविक अंतर को पुरुष और महिला व्यवसायों के व्यापक दृष्टिकोण के कारण, लड़कों और लड़कियों की शिक्षा में, परंपराओं में अंतर के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए।

इससे यह तथ्य सामने आता है कि गणित अक्सर लड़कियों की रुचि के केंद्र से बाहर होता है।

1. गणितीय क्षमताएं न केवल अच्छी याददाश्त और ध्यान से निर्धारित होती हैं। एक गणितज्ञ के लिए, तत्वों के क्रम को समझने में सक्षम होना और इन डेटा के साथ काम करने की क्षमता होना महत्वपूर्ण है। यह अजीब अंतर्ज्ञान गणितीय क्षमता का आधार है।

2. आयु संबंधी विशेषताएं - यह कुछ हद तक मनमानी अवधारणा है। इसलिए, सभी अध्ययन सीखने के प्रभाव में गणितीय क्षमताओं की संरचना के मुख्य घटकों के विकास की सामान्य दिशा पर, एक सामान्य प्रवृत्ति पर केंद्रित हैं।

3. घरेलू मनोविज्ञान में प्रासंगिक अध्ययनों से लड़कों और लड़कियों की गणितीय सोच में कोई गुणात्मक विशिष्ट विशेषताएं सामने नहीं आईं।

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वी.ए. क्रुतेत्स्की। गणितीय क्षमता और व्यक्तित्व

सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सक्षम गणितज्ञों की विशेषता और गणित के क्षेत्र में सफल गतिविधि के लिए बिल्कुल आवश्यक है "व्यवसाय में झुकाव और क्षमताओं की एकता", गणित के प्रति एक चुनिंदा सकारात्मक दृष्टिकोण में व्यक्त, गहरी और प्रभावी की उपस्थिति संबंधित क्षेत्र में रुचि, उसमें संलग्न होने की इच्छा और आवश्यकता, काम के प्रति जुनून। इस काम के लिए उत्साह का अनुभव किए बिना गणित के क्षेत्र में एक रचनात्मक कार्यकर्ता बनना असंभव है - यह खोज की इच्छा को जन्म देता है, काम करने की क्षमता, गतिविधि को जुटाता है। गणित के प्रति योग्यता के बिना, इसके लिए कोई वास्तविक योग्यता नहीं हो सकती। यदि छात्र को गणित के प्रति कोई झुकाव महसूस नहीं होता है, तो अच्छी योग्यताएं भी गणित में पूरी तरह से सफल महारत सुनिश्चित करने की संभावना नहीं रखती हैं। यहां झुकाव और रुचि की भूमिका इस तथ्य पर निर्भर करती है कि गणित में रुचि रखने वाला व्यक्ति गहनता से इसमें लगा रहता है, और परिणामस्वरूप, सख्ती से अभ्यास करता है और अपनी क्षमताओं का विकास करता है। गणितज्ञ स्वयं लगातार इस ओर इशारा करते हैं, उनका पूरा जीवन और कार्य इसकी गवाही देते हैं...

प्रतिभाशाली छात्रों की जो विशेषताएँ हमने संकलित की हैं, वे स्पष्ट रूप से इंगित करती हैं कि क्षमताएँ केवल झुकाव की उपस्थिति या गणितीय गतिविधि (इसके अपेक्षाकृत प्रारंभिक रूपों में) की एक विशिष्ट आवश्यकता की उपस्थिति में ही प्रभावी ढंग से विकसित होती हैं। बिना किसी अपवाद के, हमने जितने भी बच्चों को देखा, उनमें गणित के प्रति गहरी रुचि, उसमें शामिल होने की प्रवृत्ति, गणित में ज्ञान प्राप्त करने और समस्याओं को हल करने की अदम्य इच्छा थी।

एक और चरित्र गुण एक सच्चे वैज्ञानिक की विशेषता है - स्वयं के प्रति एक आलोचनात्मक रवैया, अपनी क्षमताओं, अपनी उपलब्धियों, विनम्रता, अपनी क्षमताओं के प्रति एक सही रवैया। यह ध्यान में रखना चाहिए कि एक सक्षम छात्र के प्रति गलत दृष्टिकोण के साथ - उसकी प्रशंसा करना, उसकी उपलब्धियों को अत्यधिक बढ़ा-चढ़ाकर बताना, उसकी क्षमताओं का विज्ञापन करना, दूसरों पर उसकी श्रेष्ठता पर जोर देना - उसके चुने हुएपन, विशिष्टता, संक्रमण में विश्वास पैदा करना बहुत आसान है उनमें "दंभ का लगातार वायरस" है।

और अंत में, आखिरी. किसी व्यक्ति का गणितीय विकास उसकी सामान्य संस्कृति के स्तर को ऊपर उठाए बिना असंभव है। व्यक्ति को व्यक्तित्व के सर्वांगीण, सामंजस्यपूर्ण विकास के लिए सदैव प्रयास करना चाहिए। गणित को छोड़कर हर चीज के प्रति एक प्रकार का "शून्यवाद", क्षमताओं का तीव्र एकतरफा, "एकतरफा" विकास गणितीय गतिविधि में सफलता में योगदान नहीं दे सकता है।

गणितीय प्रतिभा की संरचना की योजना का विश्लेषण करते हुए, हम देख सकते हैं कि गणितीय गतिविधि के अवधारणात्मक, बौद्धिक और स्मरणीय पहलुओं की विशेषताओं में कुछ क्षणों का एक सामान्य अर्थ होता है ... इसलिए, संरचना की एक विस्तारित योजना का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एक अलग, अत्यंत संक्षिप्त सूत्र: गणितीय प्रतिभा को गणितीय संबंधों, संख्यात्मक और संकेत प्रतीकवाद और गणितीय मानसिकता के क्षेत्र में एक सामान्यीकृत, जटिल और लचीली सोच की विशेषता है। गणितीय सोच की यह विशेषता गणितीय जानकारी के प्रसंस्करण की गति में वृद्धि की ओर ले जाती है (जो कि बड़ी मात्रा में जानकारी को छोटी मात्रा में बदलने से जुड़ी होती है - सामान्यीकरण और तह के कारण) और, परिणामस्वरूप, न्यूरोसाइकिक ताकतों की बचत होती है ... ये क्षमताएं सक्षम, औसत और अक्षम छात्रों में अलग-अलग डिग्री तक व्यक्त की जाती हैं। सक्षम लोगों के लिए, कुछ शर्तों के तहत, ऐसे संगठन "मौके से" बनाए जाते हैं, न्यूनतम मात्रा में व्यायाम के साथ। असमर्थों में इनका निर्माण अत्यंत कठिनाई से होता है। हालाँकि, औसत छात्रों के लिए, ऐसे संघों के क्रमिक गठन के लिए एक आवश्यक शर्त विशेष रूप से संगठित अभ्यास, प्रशिक्षण की एक प्रणाली है।

गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता

प्रश्न उठता है: हमने जिन घटकों की पहचान विशेष रूप से गणितीय क्षमताओं से की है, वे किस हद तक हैं?

आइए इस दृष्टिकोण से उन मुख्य क्षमताओं में से एक पर विचार करें जिन्हें हमने गणितीय प्रतिभा की संरचना में पहचाना है - गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को सामान्य बनाने की क्षमता। बेशक, सामान्यीकरण करने की क्षमता स्वभाव से एक सामान्य क्षमता है और आमतौर पर इसकी विशेषता होती है सामान्य सम्पतिसीखने की क्षमता

लेकिन इस मामले में, हम सामान्यीकरण करने की क्षमता के बारे में नहीं, बल्कि संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकवाद में व्यक्त मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों को सामान्य बनाने की क्षमता के बारे में बात कर रहे हैं।

हम अपने दृष्टिकोण को कैसे उचित ठहरा सकते हैं कि गणितीय सामग्री को सामान्य बनाने की क्षमता एक विशिष्ट क्षमता है?

सबसे पहले, इस तथ्य से कि यह क्षमता एक विशिष्ट क्षेत्र में ही प्रकट होती है और अन्य क्षेत्रों में संबंधित क्षमता की अभिव्यक्ति के साथ सहसंबद्ध नहीं हो सकती है ... दूसरे शब्दों में, एक व्यक्ति; सामान्यतः प्रतिभाशाली, गणित में औसत दर्जे का हो सकता है। डि स्कूल में मेंडेलीव को गणित और भौतिकी के क्षेत्र में बड़ी सफलता मिली और भाषा विषयों में शून्य और एक प्राप्त हुए। जैसा। पुश्किन ने, जीवनी संबंधी आंकड़ों के आधार पर, लिसेयुम में अध्ययन के दौरान, गणित पर बहुत आँसू बहाए, बहुत काम किया, लेकिन "ध्यान देने योग्य सफलता नहीं दिखाई।"

सच है, गणितीय और, उदाहरण के लिए, साहित्यिक प्रतिभा के कई मामले और संयोजन हैं। गणितज्ञ एस. कोवालेव्स्काया एक प्रतिभाशाली लेखिका थीं, उनके साहित्यिक कार्यों को बहुत महत्व दिया जाता था। 19वीं सदी के प्रसिद्ध गणितज्ञ वी.वाई.ए. बुनाकोवस्की एक कवि थे। गणित के अंग्रेजी प्रोफेसर सी.एल. डोडसन (19वीं सदी) बच्चों के प्रतिभाशाली लेखक थे जिन्होंने लुईस कैरोल के छद्म नाम से लिखा था प्रसिद्ध पुस्तक"एक अद्भुत दुनिया में एलिस"। दूसरी ओर, कवि वी.जी. बेनेडिकटोव ने अंकगणित पर एक लोकप्रिय पुस्तक लिखी। जैसा। ग्रिबॉयडोव ने विश्वविद्यालय के गणितीय संकाय में सफलतापूर्वक अध्ययन किया। प्रसिद्ध नाटककार ए.वी. सुखोवो-कोबिलिन ने मॉस्को विश्वविद्यालय में गणितीय शिक्षा प्राप्त की, गणित में महान क्षमता दिखाई और प्राप्त की स्वर्ण पदक. गणित में गंभीरता से रुचि रखने वाले एन.वी. गोगोल. एम.यू. लेर्मोंटोव को गणितीय समस्याओं को हल करने का बहुत शौक था। एल.एन. अंकगणित पढ़ाने की पद्धति में गंभीरता से लगे हुए हैं। टॉल्स्टॉय.

दूसरे, कोई कई विदेशी अध्ययनों की ओर इशारा कर सकता है जिन्होंने (हालांकि केवल परीक्षण पद्धति और सहसंबंध और कारक विश्लेषण पर आधारित) खुफिया संकेतक के बीच एक कमजोर सहसंबंध दिखाया है (यह ज्ञात है कि सामान्यीकरण करने की क्षमता सबसे महत्वपूर्ण में से एक है) सामान्य बुद्धि की विशेषताएँ) और गणित में उपलब्धि के लिए परीक्षण।

तीसरा, अपनी बात को पुष्ट करने के लिए हम स्कूल में बच्चों के शैक्षिक संकेतकों (ग्रेड) का उल्लेख कर सकते हैं। कई शिक्षक बताते हैं कि जल्दी और गहराई से सामान्यीकरण करने की क्षमता अन्य विषयों में छात्र की सीखने की गतिविधि को चिह्नित किए बिना किसी एक विषय में खुद को प्रकट कर सकती है। हमारे कुछ विषय, जिन्होंने उदाहरण के लिए, गणित के क्षेत्र में "मौके से" सामान्यीकरण करने की क्षमता दिखाई, साहित्य, इतिहास या भूगोल के क्षेत्र में यह क्षमता नहीं थी। इसके विपरीत मामले भी थे: जिन छात्रों ने साहित्य, इतिहास या जीव विज्ञान में सामग्री को अच्छी तरह से संक्षेप और व्यवस्थित किया, उन्होंने गणित के क्षेत्र में समान क्षमता नहीं दिखाई।

उपरोक्त सभी हमें निम्नलिखित रूप में गणितीय क्षमताओं की विशिष्टता पर एक स्थिति तैयार करने की अनुमति देते हैं। - एक छात्र की मानसिक गतिविधि की कुछ विशेषताएं केवल उसकी गणितीय गतिविधि को चिह्नित कर सकती हैं, खुद को केवल साधनों द्वारा व्यक्त स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों के क्षेत्र में प्रकट कर सकती हैं। संख्यात्मक और संकेत प्रतीकवाद, और उसकी गतिविधियों के अन्य प्रकारों की विशेषता नहीं, अन्य क्षेत्रों में संबंधित अभिव्यक्तियों के साथ सहसंबंध नहीं रखते हैं। इस प्रकार, मानसिक क्षमताएं जो प्रकृति में सामान्य हैं (उदाहरण के लिए, सामान्यीकरण करने की क्षमता) कई मामलों में विशिष्ट क्षमताओं (गणितीय वस्तुओं, संबंधों और कार्यों को सामान्यीकृत करने की क्षमता) के रूप में कार्य कर सकती हैं।

गणित की दुनिया - संख्यात्मक और प्रतीकात्मक प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त मात्रात्मक और स्थानिक संबंधों की दुनिया, बहुत विशिष्ट और मौलिक है। गणितज्ञ स्थानिक और मात्रात्मक संबंधों के सशर्त प्रतीकात्मक पदनामों से निपटता है, उनके साथ सोचता है, जोड़ता है, उनके साथ काम करता है। और इस बहुत ही अजीब दुनिया में, बहुत विशिष्ट गतिविधि की प्रक्रिया में, सामान्य क्षमता इतनी रूपांतरित हो जाती है, इतनी रूपांतरित हो जाती है कि, प्रकृति में सामान्य रहते हुए, यह पहले से ही एक विशिष्ट क्षमता के रूप में प्रकट होती है।

बेशक, एक सामान्य क्षमता की विशिष्ट अभिव्यक्तियों की उपस्थिति किसी भी तरह से उसी सामान्य क्षमता की अन्य अभिव्यक्तियों की संभावना को बाहर नहीं करती है (जैसे किसी व्यक्ति की गणित करने की क्षमता अन्य क्षेत्रों में भी उसकी क्षमता को बाहर नहीं करती है)।

गणितीय क्षमताओं की प्रकृति पर कुछ विचार

हमारे अध्ययन की सामग्री - कई साहित्य का विश्लेषण, बचपन और वयस्कता में अत्यधिक उच्च गणितीय प्रतिभा के मामलों का विश्लेषण (बाद वाला - जीवनी सामग्री पर आधारित) - हमें कुछ तथ्यों को उजागर करने की अनुमति देता है जो प्रश्न उठाने के लिए विशेष रुचि रखते हैं गणितीय प्रतिभा की प्रकृति के बारे में। ये तथ्य हैं:

1. अक्सर (हालांकि अनिवार्य नहीं) गणित में क्षमताओं का बहुत जल्दी गठन, अक्सर प्रतिकूल परिस्थितियों में (उदाहरण के लिए, माता-पिता के स्पष्ट विरोध के साथ जो क्षमताओं की इतनी जल्दी उज्ज्वल अभिव्यक्ति से डरते हैं) और पहले व्यवस्थित और उद्देश्यपूर्ण प्रशिक्षण के अभाव में;
2. गणित के प्रति गहरी रुचि और झुकाव, अक्सर कम उम्र में ही प्रकट हो जाता है;
3. गणित के क्षेत्र में महान (और अक्सर चयनात्मक) प्रदर्शन, गहन गणित की प्रक्रिया में अपेक्षाकृत कम थकान के साथ जुड़ा हुआ;
4. ऐसे लोगों को चिह्नित करना जो गणित में बहुत सक्षम हैं, गणितीय संबंधों के चश्मे के माध्यम से कई घटनाओं को देखने, उन्हें गणितीय श्रेणियों के संदर्भ में महसूस करने की एक अजीब प्रवृत्ति के रूप में योग का गणितीय अभिविन्यास।

यह सब हमें विशेष (हम इस पर जोर देते हैं!) गणितीय प्रतिभा के मामलों में मस्तिष्क की जन्मजात कार्यात्मक विशेषताओं की भूमिका के बारे में एक परिकल्पना को सामने रखने की अनुमति देते हैं - कुछ लोगों का मस्तिष्क उत्तेजनाओं को आसपास से अलग करने के लिए विशिष्ट रूप से उन्मुख (ट्यून्ड) होता है। दुनिया जैसे स्थानिक और संख्यात्मक संबंधों और प्रतीकों और इस प्रकार की उत्तेजनाओं से इष्टतम ढंग से काम करना। गणितीय विशेषता वाली उत्तेजनाओं के जवाब में, कनेक्शन अपेक्षाकृत तेज़ी से, आसानी से, कम प्रयास और कम प्रयास के साथ बनते हैं। इसी तरह, गणित करने में असमर्थता (हमारा मतलब चरम मामलों से भी है) के मूल कारण गणितीय सामान्यीकृत संबंधों, कार्यात्मक निर्भरता, संख्यात्मक अमूर्त और प्रतीकों और उनके साथ संचालन की कठिनाई जैसे उत्तेजनाओं को अलग करने में बड़ी कठिनाई होती है। दूसरे शब्दों में, कुछ लोगों में मस्तिष्क की संरचना और कार्यात्मक विशेषताओं की ऐसी जन्मजात विशेषताएं होती हैं जो गणितीय क्षमताओं के विकास के लिए बेहद अनुकूल (या, इसके विपरीत, बहुत प्रतिकूल) होती हैं।

और पवित्र प्रश्न पर; "क्या कोई गणितज्ञ बन सकता है या क्या उन्हें जन्म लेना होगा?" - हम काल्पनिक रूप से इस प्रकार उत्तर देंगे: “आप एक साधारण गणितज्ञ बन सकते हैं; एक उत्कृष्ट, प्रतिभाशाली गणितज्ञ का जन्म होना आवश्यक है। हालाँकि, यहाँ हम मौलिक नहीं हैं - कई प्रख्यात वैज्ञानिक भी यही कहते हैं। हम पहले ही शिक्षाविद् ए.एन. के शब्दों का हवाला दे चुके हैं। कोलमोगोरोव: "प्रतिभा, प्रतिभा ... गणित के क्षेत्र में ... प्रकृति द्वारा हर किसी को नहीं दी जाती है।" शिक्षाविद् आई.ई. टैम: "कुछ नया बनाएं... केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली लोग ही ऐसा कर सकते हैं" (हम वैज्ञानिक रचनात्मकता के बारे में बात कर रहे हैं उच्च स्तर. - वीसी.) यह सब अभी तक केवल परिकल्पना के तौर पर ही कहा गया है।

गणितीय क्षमताओं की शारीरिक प्रकृति की व्याख्या इस क्षेत्र में आगे के शोध के लिए एक महत्वपूर्ण कार्य है। मनोविज्ञान और शरीर विज्ञान के विकास का वर्तमान स्तर कुछ विशिष्ट मानव क्षमताओं की शारीरिक प्रकृति और शारीरिक तंत्र पर सवाल उठाना संभव बनाता है।

क्रुतेत्स्की वी.ए. स्कूली बच्चों की गणितीय क्षमताओं का मनोविज्ञान। एम., 1968, पीपी. 380-390, 397-400