बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?
अनुभाग: अंक शास्त्र
कक्षा: 9
एक अनिवार्य सीखने का परिणाम फॉर्म की असमानताओं को हल करने की क्षमता है:
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ सी ><0
एक द्विघात फलन के योजनाबद्ध ग्राफ़ पर आधारित।
अक्सर, नकारात्मक प्रथम गुणांक के साथ द्विघात असमानताओं को हल करते समय छात्र गलतियाँ करते हैं। ऐसे मामलों में, पाठ्यपुस्तक x 2 (उदाहरण संख्या 3) पर एक सकारात्मक गुणांक के साथ असमानता को समकक्ष के साथ बदलने का सुझाव देती है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र समझें कि समस्या को हल करने के लिए उन्हें मूल असमानता के बारे में "भूलने" की आवश्यकता है; , उन्हें ऊपर की ओर इशारा करने वाली शाखाओं के साथ एक परवलय बनाने की आवश्यकता है। कोई अलग तरह से बहस कर सकता है.
मान लीजिए कि हमें असमानता को हल करने की आवश्यकता है:
–x 2 + 2x –5<0
सबसे पहले, आइए जानें कि फ़ंक्शन y=-x 2 +2x-5 का ग्राफ़ OX अक्ष को काटता है या नहीं। ऐसा करने के लिए, आइए समीकरण को हल करें:
समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए, फ़ंक्शन y=-x 2 +2x-5 का ग्राफ पूरी तरह से एक्स-अक्ष और असमानता -x 2 +2x-5 के नीचे स्थित है।<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
हल करने की क्षमता क्रमांक 111 और क्रमांक 119 पर विकसित की जाती है। निम्नलिखित असमानताओं x 2 +5>0, -x 2 -3≤0 पर विचार करना अनिवार्य है; 3x 2 >0 आदि।
बेशक, ऐसी असमानताओं को हल करते समय, आप परवलय का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, मजबूत छात्रों को ड्राइंग का सहारा लिए बिना तुरंत उत्तर देना चाहिए। इस मामले में, स्पष्टीकरण की आवश्यकता आवश्यक है, उदाहरण के लिए: x के किसी भी मान के लिए x 2 ≥0 और x 2 +7>0। कक्षा की तैयारी के स्तर के आधार पर, आप स्वयं को इन संख्याओं तक सीमित कर सकते हैं या संख्या 120 संख्या 121 का उपयोग कर सकते हैं। उनमें सरल समान परिवर्तन करना आवश्यक है, इसलिए यहां कवर की गई सामग्री को दोहराया जाएगा। ये कमरे मजबूत छात्रों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। यदि अच्छा परिणाम प्राप्त होता है और द्विघात असमानताओं को हल करने से कोई समस्या नहीं होती है, तो आप छात्रों से असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए कह सकते हैं जिसमें एक या दोनों असमानताएँ द्विघात हों (अभ्यास 193, 194)।
न केवल द्विघात असमानताओं को हल करना दिलचस्प है, बल्कि इस समाधान को और कहां लागू किया जा सकता है: मापदंडों के साथ एक द्विघात समीकरण का अध्ययन करने के फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढना (व्यायाम 122-124)। सबसे उन्नत छात्रों के लिए, आप प्रपत्र के मापदंडों के साथ द्विघात असमानताओं पर विचार कर सकते हैं:
एक्स 2 +बीएक्स+सी>0 (≥0)
एक्स 2 +बीएक्स+सी<0 (≤0)
जहां A,B,C मापदंडों के आधार पर अभिव्यक्ति हैं, A≠0,x अज्ञात हैं।
असमानता Ax 2 +Bx+C>0
इसका अध्ययन निम्नलिखित योजनाओं के अनुसार किया जाता है:
1)यदि A=0, तो हमारे पास रैखिक असमानता Bx+C>0 है
2) यदि A≠0 और विवेचक D>0 है, तो हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंड कर सकते हैं और असमानता प्राप्त कर सकते हैं
ए(x-x1) (x-x2)>0
x 1 और x 2 समीकरण Ax 2 +Bx+C=0 के मूल हैं
3)यदि A≠0 और D<0 то если A>0 समाधान वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R होगा; ए पर<0 решений нет.
शेष असमानताओं का अध्ययन इसी प्रकार किया जा सकता है।
इसका उपयोग द्विघात असमानताओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, इसलिए यह द्विघात त्रिपद का गुण है
1)यदि A>0 और D<0 то Ax2+Bx+C>0- सभी एक्स के लिए।
2)यदि ए<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
द्विघात असमानता को हल करते समय, फ़ंक्शन y=Ax2+Bx+C के ग्राफ़ के योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है
उदाहरण: सभी पैरामीटर मानों के लिए, असमानता को हल करें
एक्स 2 +2(बी+1)एक्स+बी 2 >0
डी=4(बी+1) 2 -4बी 2 =4बी 2 +8बी+4-4बी 2
1)डी<0 т.е. 2b+1<0
x 2 के सामने गुणांक 1>0 है, तो असमानता सभी x के लिए संतुष्ट है, अर्थात। एक्स є आर
2) डी=0 => 2बी+1=0
फिर x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) डी>0 =>2बी+1>0
एक वर्ग त्रिपद की जड़ें हैं:
एक्स 1 =-बी-1-√2बी+1
एक्स 2 =-बी-1+√2बी+1
असमानता का रूप ले लेती है
(x-x 1) (x-x 2)>0
अंतराल विधि का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
स्वतंत्र समाधान के लिए निम्नलिखित असमानता दीजिए
असमानताओं को हल करने के परिणामस्वरूप, छात्र को यह समझना चाहिए कि दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करने के लिए, परवलय के शीर्षों के निर्देशांक खोजने से लेकर ग्राफ बनाने की विधि में अत्यधिक विवरण को त्यागने का प्रस्ताव है। स्केल, और कोई अपने आप को एक द्विघात फलन के ग्राफ का रेखाचित्र बनाने तक ही सीमित कर सकता है।
वरिष्ठ स्तर पर, द्विघात असमानताओं को हल करना व्यावहारिक रूप से एक स्वतंत्र कार्य नहीं है, बल्कि किसी अन्य समीकरण या असमानता (लघुगणक, घातीय, त्रिकोणमितीय) को हल करने के एक घटक के रूप में कार्य करता है। इसलिए, छात्रों को द्विघात असमानताओं को धाराप्रवाह तरीके से हल करना सिखाना आवश्यक है। आप ए.ए. द्वारा पाठ्यपुस्तक से उधार लिए गए तीन प्रमेयों का उल्लेख कर सकते हैं। किसेलेवा।
प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c दिया गया है, जहां a>0, 2 अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं (D>0)।
फिर: 1) चर x के सभी मानों के लिए छोटे मूल से कम और बड़े मूल से अधिक के लिए, वर्ग त्रिपद धनात्मक है
2) वर्गमूलों के बीच x के मानों के लिए, त्रिपद ऋणात्मक है।
प्रमेय 2. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c दिया गया है, जहां a>0 के 2 समान वास्तविक मूल हैं (D=0)। फिर वर्ग त्रिपद की जड़ों से भिन्न x के सभी मानों के लिए, वर्ग त्रिपद धनात्मक है .
प्रमेय 3. मान लीजिए कि एक वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c दिया गया है जहां a>0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है (D)<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
उदाहरण के लिए: असमानता का समाधान किया जाना चाहिए:
डी=1+288=289>0
समाधान है
X≤-4/3 और x≥3/2
उत्तर (-∞; -4/3] उ
उत्तर उल्टी तरफ रखे गए हैं और आवंटित समय बीत जाने के बाद देखे जा सकते हैं। शिक्षक के संकेत पर पाठ की शुरुआत में यह कार्य करना सबसे सुविधाजनक है। (ध्यान दें, तैयार हो जाइए, चलिए शुरू करते हैं)। "स्टॉप" कमांड कार्य को बाधित करता है।
कक्षा की तैयारी के स्तर के आधार पर कार्य के घंटे निर्धारित किये जाते हैं। गति में वृद्धि विद्यार्थी के कार्य का सूचक है।
एकीकृत राज्य परीक्षा देते समय द्विघात असमानताओं को हल करने की क्षमता छात्रों के लिए भी उपयोगी होगी। समूह बी की समस्याओं में, द्विघात असमानताओं को हल करने की क्षमता से संबंधित कार्य तेजी से सामने आ रहे हैं।
उदाहरण के लिए:
एक पत्थर उर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। जब तक पत्थर गिर नहीं जाता, तब तक वह जिस ऊंचाई पर स्थित होता है, उसका वर्णन सूत्र द्वारा किया जाता है
(एच - ऊंचाई मीटर में, टी - फेंकने के क्षण से बीता हुआ सेकंड में समय)।
पता लगाएं कि पत्थर कितने सेकंड में कम से कम 9 मीटर की ऊंचाई पर था।
इसे हल करने के लिए असमानता पैदा करना आवश्यक है:
5t 2 +18t-9≥0
उत्तर: 2.4 से
सामग्री का अध्ययन करने के चरण में 9वीं कक्षा में पहले से ही छात्रों को एकीकृत राज्य परीक्षा के उदाहरण देना शुरू करते हुए, हम पहले से ही परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं; एक पैरामीटर वाली द्विघात असमानताओं को हल करने से समूह सी से समस्याओं को हल करना संभव हो जाता है।
9वीं कक्षा में विषय का अध्ययन करने के लिए एक गैर-औपचारिक दृष्टिकोण से "व्युत्पन्न का अनुप्रयोग" "अंतराल की विधि द्वारा असमानताओं को हल करना" जैसे विषयों पर "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत" पाठ्यक्रम की सामग्री में महारत हासिल करना आसान हो जाता है। "लघुगणकीय और घातीय असमानताओं को हल करना" "तर्कहीन असमानताओं को हल करना"।
इस पाठ में हम अंतराल विधि का उपयोग करके उन्नत तर्कसंगत असमानताओं को हल करना जारी रखेंगे। उदाहरण अधिक जटिल संयुक्त कार्यों का उपयोग करेंगे और ऐसी असमानताओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाली विशिष्ट त्रुटियों पर चर्चा करेंगे।
विषय: आहारसभी असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ
पाठ: तर्कसंगत असमानताओं को हल करनापीओवीअत्यधिक जटिल
1. पाठ का विषय, परिचय
हमने तर्कसंगत समाधान किया असमानताटाइप करें और उन्हें हल करने के लिए हमने अंतराल विधि का उपयोग किया। फलन या तो रैखिक, रैखिक भिन्नात्मक या बहुपद था।
2. समस्या समाधान
आइए दूसरे प्रकार की असमानताओं पर विचार करें।
1. असमानता का समाधान करें
आइए समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके असमानता को बदलें।
अब हम फ़ंक्शन की जांच कर सकते हैं 
फ़ंक्शन पर विचार करें जिसमें कोई जड़ नहीं है।
आइए हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें और पढ़ें (चित्र 1)।
फ़ंक्शन किसी के लिए भी सकारात्मक है।
क्योंकि हमने वो स्थापित कर लिया है 
हम इस अभिव्यक्ति द्वारा असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित कर सकते हैं।
किसी भिन्न के धनात्मक होने के लिए, अंश के धनात्मक होने पर एक धनात्मक हर होना चाहिए। 
आइए फ़ंक्शन पर विचार करें.
आइए हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें - एक परवलय, जिसका अर्थ है कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं (चित्र 2)।
2. असमानता का समाधान करें
फ़ंक्शन पर विचार करें 
1. परिभाषा का दायरा
2. फ़ंक्शन के शून्य
3. हम अचर चिन्ह के अंतरालों का चयन करते हैं।
4. चिन्ह लगाएं (चित्र 3)।
यदि कोष्ठक विषम घात में है, तो मूल से गुजरने पर फ़ंक्शन संकेत बदल देता है। यदि कोष्ठक सम घात पर है, तो फ़ंक्शन चिह्न नहीं बदलता है।
हमने एक सामान्य गलती की - हमने उत्तर में मूल को शामिल नहीं किया। इस मामले में, शून्य की समानता की अनुमति है, क्योंकि असमानता सख्त नहीं है।
ऐसी गलतियों से बचने के लिए आपको ये बात याद रखनी होगी
उत्तर: 
हमने जटिल असमानताओं और संभावित विशिष्ट त्रुटियों के साथ-साथ उन्हें खत्म करने के तरीकों के लिए अंतराल विधि को देखा।
आइए एक और उदाहरण देखें.
3. असमानता का समाधान करें
आइए प्रत्येक कोष्ठक का अलग-अलग गुणनखंड करें।
, इसलिए आप इस कारक को अनदेखा कर सकते हैं।
अब आप अंतराल विधि लागू कर सकते हैं.
चलो गौर करते हैं 
हम अंश और हर को इससे कम नहीं करेंगे, यह एक गलती है।
1. परिभाषा का दायरा
2. हम फ़ंक्शन के शून्य पहले से ही जानते हैं
यह फ़ंक्शन का शून्य नहीं है, क्योंकि यह परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है - इस मामले में हर शून्य के बराबर है।
3. चिन्ह की स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें।
4. हम अंतरालों पर चिह्न लगाते हैं और ऐसे अंतरालों का चयन करते हैं जो हमारी शर्तों को पूरा करते हैं (चित्र 4)।
3. निष्कर्ष
हमने अधिक जटिल असमानताओं को देखा है, लेकिन अंतराल विधि हमें उन्हें हल करने की कुंजी देती है, इसलिए हम भविष्य में इसका उपयोग करना जारी रखेंगे।
1. मोर्दकोविच ए.जी. एट अल। बीजगणित 9वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ.- चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी.: बीमार।
2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार।
3. मकारिचेव यू. एन. बीजगणित। 9वीं कक्षा: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए. संस्थान / यू. एन. मकारिचेव, एन. जी. मिंड्युक, के. आई. नेशकोव, आई. ई. फेओक्टिस्टोव। - 7वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008।
4. अलीमोव एस. ए., कोल्यागिन यू. एम., सिदोरोव यू. वी. बीजगणित। 9 वां दर्जा। 16वां संस्करण. - एम., 2011. - 287 पी।
5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। 9 वां दर्जा। 2 घंटे में। भाग 1. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 12वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: 2010. - 224 पी.: बीमार।
6. बीजगणित. 9 वां दर्जा। 2 भागों में। भाग 2. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12वां संस्करण, रेव। - एम.: 2010.-223 पी.: बीमार।
1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार। क्रमांक 37; 45(ए, सी); 47(बी, डी); 49.
1. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल।
2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल।
3. कंप्यूटर विज्ञान, गणित और रूसी भाषा में प्रवेश परीक्षाओं के लिए 10-11 ग्रेड की तैयारी के लिए इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक और पद्धति संबंधी परिसर।
4. वर्चुअल ट्यूटर.
5. शिक्षा केंद्र "शिक्षण प्रौद्योगिकी"।
6. कॉलेज अनुभाग. गणित में आरयू.
इससे पहले कि आप इसका पता लगाएं, द्विघात असमानता को कैसे हल करेंआइए देखें कि किस प्रकार की असमानता को द्विघात कहा जाता है।
याद करना!
असमानता को कहते हैं वर्ग, यदि अज्ञात "x" की उच्चतम (सबसे बड़ी) डिग्री दो के बराबर है।
आइए उदाहरणों का उपयोग करके असमानता के प्रकार की पहचान करने का अभ्यास करें।
द्विघात असमानता को कैसे हल करें
पिछले पाठों में हमने देखा कि रैखिक असमानताओं को कैसे हल किया जाए। लेकिन रैखिक असमानताओं के विपरीत, द्विघात असमानताओं को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है।
महत्वपूर्ण!
द्विघात असमानता को रैखिक की तरह ही हल करना असंभव है!
द्विघात असमानता को हल करने के लिए एक विशेष विधि का प्रयोग किया जाता है, जिसे कहा जाता है अंतराल विधि.
अंतराल विधि क्या है?
अंतराल विधिद्विघात असमानताओं को हल करने की एक विशेष विधि है। नीचे हम बताएंगे कि इस पद्धति का उपयोग कैसे करें और इसे यह नाम क्यों मिला।
याद करना!
अंतराल विधि का उपयोग करके द्विघात असमानता को हल करने के लिए:
हम समझते हैं कि ऊपर वर्णित नियमों को केवल सिद्धांत में समझना मुश्किल है, इसलिए हम तुरंत उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके द्विघात असमानता को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करेंगे।
हमें द्विघात असमानता को हल करने की आवश्यकता है।
अब, जैसा कि कहा गया है, आइए चिह्नित बिंदुओं के बीच के अंतराल पर "मेहराब" बनाएं।
आइए अंतराल के अंदर संकेत लगाएं। दाएँ से बाएँ बारी-बारी से, "+" से शुरू करते हुए, हम चिह्नों को चिह्नित करते हैं।
हमें बस निष्पादित करना है, यानी आवश्यक अंतरालों का चयन करना है और उन्हें उत्तर के रूप में लिखना है। आइए अपनी असमानता की ओर लौटें।
चूंकि हमारी असमानता में " x 2 + x − 12 ", जिसका अर्थ है कि हमें ऋणात्मक अंतराल की आवश्यकता है। आइए संख्या रेखा पर सभी नकारात्मक क्षेत्रों को छायांकित करें और उन्हें उत्तर के रूप में लिखें।
केवल एक नकारात्मक अंतराल था, जो संख्या "−3" और "4" के बीच स्थित है, इसलिए हम इसे उत्तर में दोहरी असमानता के रूप में लिखेंगे
"−3"।
आइए हम द्विघात असमानता के परिणामी उत्तर को लिखें।
उत्तर:-3
वैसे, यह ठीक इसलिए है क्योंकि द्विघात असमानता को हल करते समय हम संख्याओं के बीच के अंतराल पर विचार करते हैं, जिससे अंतराल विधि को इसका नाम मिला।
उत्तर प्राप्त करने के बाद, यह सुनिश्चित करने के लिए कि निर्णय सही है, इसकी जांच करना समझ में आता है।
आइए कोई भी संख्या चुनें जो प्राप्त उत्तर के छायांकित क्षेत्र में है " −3" और इसे मूल असमानता में "x" के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। यदि हमें सही असमानता मिलती है, तो हमने द्विघात असमानता का उत्तर सही पाया है।
उदाहरण के लिए, अंतराल से संख्या "0" लें। आइए इसे मूल असमानता "x 2 + x - 12" में प्रतिस्थापित करें।
एक्स 2 + एक्स − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (सही)
समाधान क्षेत्र से एक संख्या प्रतिस्थापित करने पर हमें सही असमानता प्राप्त हुई, जिसका अर्थ है कि उत्तर सही पाया गया।
अंतराल विधि का उपयोग करके समाधान की संक्षिप्त रिकॉर्डिंग
द्विघात असमानता के समाधान का संक्षिप्त रूप " x 2 + x − 12 "अंतराल विधि द्वारा इस तरह दिखेगा:
एक्स 2 + एक्स − 12
एक्स 2 + एक्स − 12 = 0
एक्स 1 =
|
एक्स 2 =
|
||||||||||||||||||||
एक्स 1 =
|
एक्स 2 =
 उत्तर: x ≤ 0 ; एक्स ≥
एक उदाहरण पर विचार करें जहां द्विघात असमानता में "x 2" के सामने एक नकारात्मक गुणांक है। 12. डालिंगर वी.ए. प्रवेश परीक्षा के दौरान गणित में सामान्य गलतियाँ और उनसे कैसे बचें। - ओम्स्क: ओम्स्क आईयूयू का प्रकाशन गृह, 1991। 3. डालिंगर वी.ए. गणित में अंतिम और प्रवेश परीक्षाओं में सफलता सुनिश्चित करने के लिए सब कुछ। अंक 5. घातांकीय, लघुगणकीय समीकरण, असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ: पाठ्यपुस्तक। - ओम्स्क: ओम्स्क स्टेट पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 1996। 4. डालिंगर वी.ए. गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: विशिष्ट त्रुटियां, उनके कारण और उन्हें रोकने के तरीके: पाठ्यपुस्तक। - ओम्स्क: "प्रकाशक-प्लाईग्राफिस्ट", 2002। 5. डालिंगर वी.ए., जुबकोव ए.एन. गणित परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए एक मार्गदर्शिका: गणित में आवेदकों की गलतियों का विश्लेषण और उन्हें रोकने के तरीके। - ओम्स्क: ओम्स्क स्टेट पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 1991। 6. कुतासोव ए.डी. घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण, असमानताएँ, प्रणालियाँ: शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल N7। - रूसी मुक्त विश्वविद्यालय का प्रकाशन गृह, 1992। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय छात्रों द्वारा की गई गलतियाँ बहुत विविध हैं: समाधान के गलत स्वरूपण से लेकर तार्किक प्रकृति की त्रुटियों तक। इस लेख में इन और अन्य त्रुटियों पर चर्चा की जाएगी। 1. सबसे आम गलती यह है कि छात्र, अतिरिक्त स्पष्टीकरण के बिना समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, ऐसे परिवर्तनों का उपयोग करते हैं जो समतुल्यता का उल्लंघन करते हैं, जिससे जड़ों की हानि होती है और बाहरी घोड़ों की उपस्थिति होती है। आइए इस प्रकार की त्रुटियों के विशिष्ट उदाहरण देखें, लेकिन पहले हम पाठक का ध्यान निम्नलिखित विचार की ओर आकर्षित करते हैं: बाहरी जड़ों को प्राप्त करने से डरो मत, उन्हें जांच कर त्याग दिया जा सकता है, जड़ों को खोने से डरो। ए) समीकरण हल करें: लॉग3(5 - एक्स) = 3 - लॉग3(-1 - एक्स)। छात्र अक्सर इस समीकरण को इस प्रकार हल करते हैं। log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0, x1 = -4; x2 = 8. छात्र अक्सर बिना किसी तर्क के दोनों संख्याओं को उत्तर के रूप में लिखते हैं। लेकिन जैसा कि जाँच से पता चलता है, संख्या x = 8 मूल समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि x = 8 पर समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष अर्थहीन हो जाते हैं। जाँच करने से पता चलता है कि संख्या x = -4 दिए गए समीकरण का मूल है। बी) समीकरण हल करें मूल समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र सिस्टम द्वारा निर्दिष्ट किया गया है दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, आइए आधार x के लघुगणक पर जाएं, हमें मिलता है हम देखते हैं कि x = 1 पर इस अंतिम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष परिभाषित नहीं हैं, लेकिन यह संख्या मूल समीकरण का मूल है (आप इसे प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित कर सकते हैं)। इस प्रकार, एक नए आधार पर औपचारिक परिवर्तन के कारण जड़ का नुकसान हुआ। मूल x = 1 को खोने से बचने के लिए, आपको यह निर्दिष्ट करना चाहिए कि नया आधार एक के अलावा कोई अन्य सकारात्मक संख्या होनी चाहिए, और मामले x = 1 पर अलग से विचार करें। 2. गलतियों, या बल्कि कमियों का एक पूरा समूह इस तथ्य में निहित है कि छात्र समीकरणों की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने पर उचित ध्यान नहीं देते हैं, हालांकि कुछ मामलों में यही समाधान की कुंजी है। आइए इस संबंध में एक उदाहरण देखें। प्रश्न हल करें आइए इस समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र खोजें, जिसके लिए हम असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं:
जहां से हमारे पास x = 0 है। आइए प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा जांच करें कि क्या संख्या x = 0 मूल समीकरण का मूल है उत्तर: x = 0. 3. छात्रों की एक सामान्य गलती यह है कि उनके पास अवधारणाओं, सूत्रों, प्रमेयों के कथनों और एल्गोरिदम की परिभाषाओं का आवश्यक स्तर का ज्ञान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण से इसकी पुष्टि करें। प्रश्न हल करें
यहाँ इस समीकरण का एक ग़लत समाधान है: जाँच से पता चलता है कि x = -2 मूल समीकरण का मूल नहीं है। निष्कर्ष से ही पता चलता है कि दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है। हालाँकि, ऐसा नहीं है. दिए गए समीकरण में x = -4 प्रतिस्थापित करके, हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक मूल है। आइए विश्लेषण करें कि मूल हानि क्यों हुई। मूल समीकरण में, अभिव्यक्ति x और x + 3 एक ही समय में नकारात्मक या दोनों सकारात्मक हो सकते हैं, लेकिन समीकरण पर जाने पर, ये वही अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक हो सकती हैं। परिणामस्वरूप, परिभाषा क्षेत्र का संकुचन हुआ, जिससे जड़ें नष्ट हो गईं। मूल को खोने से बचने के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं: मूल समीकरण में हम योग के लघुगणक से उत्पाद के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं। इस मामले में, बाहरी जड़ों की उपस्थिति संभव है, लेकिन आप प्रतिस्थापन द्वारा उनसे छुटकारा पा सकते हैं। 4. समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय की गई कई गलतियाँ इस तथ्य का परिणाम हैं कि छात्र अक्सर समस्याओं को एक टेम्पलेट के अनुसार, यानी सामान्य तरीके से हल करने का प्रयास करते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं. असमानता का समाधान करें परिचित एल्गोरिथम विधियों का उपयोग करके इस असमानता को हल करने का प्रयास करने से कोई उत्तर नहीं मिलेगा। यहां समाधान में असमानता की परिभाषा के क्षेत्र में असमानता के बाईं ओर प्रत्येक पद के मूल्यों का अनुमान लगाना शामिल होना चाहिए। आइए हम असमानता की परिभाषा का क्षेत्र खोजें:
अंतराल (9;10] से सभी x के लिए अभिव्यक्ति में सकारात्मक मान हैं (घातांकीय फ़ंक्शन के मान हमेशा सकारात्मक होते हैं)। अंतराल (9;10] से सभी x के लिए, अभिव्यक्ति x - 9 में सकारात्मक मान हैं, और अभिव्यक्ति lg(x - 9) में नकारात्मक या शून्य मान हैं, फिर अभिव्यक्ति (- (x - 9) lg(x - 9) धनात्मक या शून्य के बराबर है। अंततः हमारे पास x∈ (9;10] है। ध्यान दें कि चर के ऐसे मानों के लिए, असमानता के बाईं ओर प्रत्येक पद सकारात्मक है (दूसरा पद शून्य के बराबर हो सकता है), जिसका अर्थ है कि उनका योग हमेशा होता है शून्य से अधिक। इसलिए, मूल असमानता का समाधान अंतराल (9;10] है। 5. त्रुटियों में से एक समीकरणों के आलेखीय समाधान से संबंधित है। प्रश्न हल करें हमारे अनुभव से पता चलता है कि छात्र, इस समीकरण को ग्राफ़िक रूप से हल करते हैं (ध्यान दें कि इसे अन्य प्रारंभिक तरीकों से हल नहीं किया जा सकता है), केवल एक मूल प्राप्त होता है (यह रेखा y = x पर स्थित एक बिंदु का भुज है), क्योंकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ ये परस्पर व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ हैं। वास्तव में, मूल समीकरण के तीन मूल हैं: उनमें से एक पहले निर्देशांक कोण y = x के समद्विभाजक पर स्थित बिंदु का भुज है, दूसरा मूल और तीसरा मूल है। आप जो कहा गया है उसकी वैधता को सत्यापित कर सकते हैं दिए गए समीकरण में संख्याओं को सीधे प्रतिस्थापित करके। ध्यान दें कि फॉर्म के समीकरण logax = ax 0 पर हैं< a < e-e всегда имеют три действительных корня. यह उदाहरण निम्नलिखित निष्कर्ष को सफलतापूर्वक दर्शाता है: समीकरण f(x) = g(x) का ग्राफिकल समाधान "पूर्ण" है यदि दोनों कार्य अलग-अलग मोनोटोनिक हैं (उनमें से एक बढ़ता है, और दूसरा घटता है), और गणितीय रूप से सही नहीं है नीरस कार्यों के मामले में पर्याप्त (एक ही समय में कमी या वृद्धि दोनों)। 6. कई विशिष्ट गलतियाँ इस तथ्य से जुड़ी हैं कि छात्र कार्यात्मक दृष्टिकोण के आधार पर समीकरणों और असमानताओं को पूरी तरह से सही ढंग से हल नहीं करते हैं। आइए इस प्रकार की विशिष्ट त्रुटियाँ दिखाएँ। ए) समीकरण xx = x को हल करें। समीकरण के बाईं ओर का फलन घातीय है और यदि ऐसा है, तो डिग्री के आधार पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाने चाहिए: x > 0, x ≠ 1. आइए दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लें: जहाँ से हमारे पास x = 1 है। लघुगणकीकरण से मूल समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र संकुचित नहीं हुआ। लेकिन फिर भी, हमने समीकरण की दो जड़ें खो दी हैं; तत्काल अवलोकन से हम पाते हैं कि x = 1 और x = -1 मूल समीकरण की जड़ें हैं। बी) समीकरण हल करें पिछले मामले की तरह, हमारे पास एक घातांकीय फलन है, जिसका अर्थ है x > 0, x ≠ 1. मूल समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों के लघुगणक को किसी भी आधार पर लेते हैं, उदाहरण के लिए, आधार 10 पर: यह मानते हुए कि दो कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है जब उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर है, और दूसरा समझ में आता है, हमारे पास दो प्रणालियों का संयोजन है: पहली प्रणाली का कोई समाधान नहीं है; दूसरी प्रणाली से हमें x = 1 मिलता है। पहले लगाए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, संख्या x = 1 मूल समीकरण का मूल नहीं होना चाहिए, हालांकि प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से हम आश्वस्त हैं कि यह मामला नहीं है। 7. आइए फॉर्म के जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा से जुड़ी कुछ त्रुटियों पर विचार करें। आइए इस उदाहरण का उपयोग करके त्रुटि दिखाएं। फ़ंक्शन की एकरसता का प्रकार निर्धारित करें। हमारे अभ्यास से पता चलता है कि अधिकांश छात्र इस मामले में केवल लघुगणक के आधार पर एकरसता का निर्धारण करते हैं, और 0 के बाद से< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает. नहीं! यह कार्य बढ़ता जा रहा है. परंपरागत रूप से, प्रपत्र के एक फ़ंक्शन के लिए हम लिख सकते हैं: बढ़ना (घटना)=घटना; बढ़ना (बढ़ना) = बढ़ना; घटना (घटना) = बढ़ना; घटना (बढ़ना)=घटना; 8. समीकरण हल करें यह कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा के तीसरे भाग से लिया गया है, जिसका मूल्यांकन अंकों (अधिकतम अंक - 4) के साथ किया जाता है। हम एक समाधान प्रस्तुत करते हैं जिसमें त्रुटियाँ हैं, जिसका अर्थ है कि इसे अधिकतम अंक प्राप्त नहीं होंगे। हम लघुगणक को आधार 3 पर घटाते हैं। समीकरण रूप लेता है प्रबल करने से हमें प्राप्त होता है x1 = 1, x2 = 3. आइए किसी भी विदेशी जड़ की पहचान करने के लिए जाँच करें।
इसका मतलब है कि x = 1 मूल समीकरण का मूल है। इसका मतलब है कि x = 3 मूल समीकरण का मूल नहीं है। आइए हम बताएं कि इस समाधान में त्रुटियां क्यों हैं। त्रुटि का सार यह है कि रिकॉर्ड में दो बड़ी त्रुटियाँ हैं। पहली गलती: रिकॉर्डिंग का कोई मतलब ही नहीं बनता। दूसरी त्रुटि: यह सत्य नहीं है कि दो कारकों का गुणनफल, जिनमें से एक 0 है, आवश्यक रूप से शून्य ही होगा। यह शून्य होगा यदि और केवल यदि एक कारक 0 है, और दूसरा कारक समझ में आता है। हालाँकि, यहाँ दूसरे कारक का कोई मतलब नहीं है। 9. आइए ऊपर टिप्पणी की गई त्रुटि पर वापस लौटें, लेकिन साथ ही हम नया तर्क भी देंगे। लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, समीकरण पर जाएँ। पहले समीकरण का प्रत्येक मूल दूसरे समीकरण का भी एक मूल है। आम तौर पर, इसका विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए, एक समीकरण से दूसरे समीकरण की ओर बढ़ते हुए, अंत में मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके बाद की जड़ों की जांच करना आवश्यक है। जड़ों की जाँच करने के बजाय, समीकरण को समकक्ष प्रणाली से बदलने की सलाह दी जाती है यदि, लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय, व्यंजक जहां n एक सम संख्या है, उसे सूत्रों के अनुसार तदनुसार रूपांतरित किया जाता है, , , फिर, चूंकि कई मामलों में यह समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र को सीमित कर देता है, इसकी कुछ जड़ों का नुकसान संभव है। इसलिए, इन सूत्रों को निम्नलिखित रूप में उपयोग करने की सलाह दी जाती है:
n एक सम संख्या है. इसके विपरीत, यदि, एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते समय, अभिव्यक्तियाँ,,,, जहाँ n एक सम संख्या है, क्रमशः अभिव्यक्तियों में बदल जाती हैं तब समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र विस्तारित हो सकता है, जिसके कारण बाहरी जड़ें प्राप्त हो सकती हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, ऐसी स्थितियों में परिवर्तनों की समतुल्यता की निगरानी करना आवश्यक है और, यदि समीकरण की परिभाषा का क्षेत्र विस्तारित होता है, तो परिणामी जड़ों की जांच करें। 10. प्रतिस्थापन का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, हम हमेशा पहले एक नए चर के संबंध में एक नई असमानता को हल करते हैं, और इसे हल करने में ही हम पुराने चर पर आगे बढ़ते हैं। असमानता के बाईं ओर प्राप्त तर्कसंगत फ़ंक्शन की जड़ों को खोजने के चरण में, स्कूली बच्चे अक्सर गलती से उलटा संक्रमण कर लेते हैं। ऐसा नहीं करना चाहिए. 11. आइए असमानताओं को हल करने से संबंधित एक और त्रुटि का उदाहरण दें। असमानता का समाधान करें
यहां एक ग़लत समाधान है जो छात्र अक्सर पेश करते हैं। आइए हम मूल असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें। होगा: जिससे हमें एक गलत संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, जो हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है: दी गई असमानता का कोई समाधान नहीं है। परियोजना का समर्थन करें - लिंक साझा करें, धन्यवाद!
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