ऑनलाइन कैलकुलेटर। दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना। दशमलव भिन्न को अभाज्य भिन्न में बदलना और इसके विपरीत

भिन्नों पर सामग्री और क्रमिक रूप से अध्ययन करें। आपके लिए नीचे विस्तार में जानकारीउदाहरण और स्पष्टीकरण के साथ.

1. मिश्रित संख्या में सामान्य अंश. आइए इसे लिखें सामान्य रूप से देखेंसंख्या:

हमें एक सरल नियम याद है - हम पूरे भाग को हर से गुणा करते हैं और अंश जोड़ते हैं, अर्थात:

उदाहरण:

2. इसके विपरीत, एक साधारण भिन्न को मिश्रित संख्या में। *बेशक, यह केवल अनुचित भिन्न के साथ ही किया जा सकता है (जब अंश हर से बड़ा हो)।

"छोटी" संख्याओं के साथ, सामान्य तौर पर, कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं होती है; परिणाम तुरंत "दृश्यमान" होता है, उदाहरण के लिए, अंश:

*अधिक जानकारी:

15:13 = 1 शेष 2

4:3 = 1 शेष 1

9:5 = 1 शेष 4

लेकिन यदि संख्याएँ अधिक हैं, तो आप गणना के बिना नहीं रह सकते। यहां सब कुछ सरल है - अंश को हर से एक कोने से विभाजित करें जब तक कि शेष भाजक से कम न हो जाए। प्रभाग योजना:

उदाहरण के लिए:

*हमारा अंश लाभांश है, हर भाजक है।

हमें पूर्ण भाग (अपूर्ण भागफल) और शेषफल प्राप्त होता है। हम एक पूर्णांक लिखते हैं, फिर एक भिन्न (अंश में शेषफल होता है, लेकिन हर वही रहता है):

3. दशमलव को साधारण में बदलें।

आंशिक रूप से पहले पैराग्राफ में, जहाँ हमने दशमलव भिन्नों के बारे में बात की थी, हम पहले ही इस पर चर्चा कर चुके हैं। हम जैसा सुनते हैं, वैसा ही लिख लेते हैं। उदाहरण के लिए - 0.3; 0.45; 0.008; 4.38; 10.00015

हमारे पास पूर्णांक भाग के बिना पहले तीन भिन्न हैं। और चौथे और पांचवें में यह है, आइए उन्हें सामान्य में परिवर्तित करें, हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:

*हम देखते हैं कि भिन्नों को भी कम किया जा सकता है, उदाहरण के लिए 45/100 = 9/20, 38/100 = 19/50 और अन्य, लेकिन हम यहां ऐसा नहीं करेंगे। कटौती के संबंध में आपको नीचे एक अलग पैराग्राफ मिलेगा, जहां हम हर चीज का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

4. साधारण को दशमलव में बदलें।

यह इतना आसान नहीं है। कुछ भिन्नों के साथ यह तुरंत स्पष्ट और स्पष्ट हो जाता है कि इसके साथ क्या किया जाए ताकि यह दशमलव बन जाए, उदाहरण के लिए:

हम भिन्न के अपने अद्भुत मूल गुण का उपयोग करते हैं - हम अंश और हर को क्रमशः 5, 25, 2, 5, 4, 2 से गुणा करते हैं, और हमें मिलता है:

यदि कोई संपूर्ण भाग है, तो यह जटिल भी नहीं है:

हम भिन्नात्मक भाग को क्रमशः 2, 25, 2 और 5 से गुणा करते हैं, और प्राप्त करते हैं:

और कुछ ऐसे भी हैं जिनके लिए अनुभव के बिना यह निर्धारित करना असंभव है कि उन्हें दशमलव में बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए:

हमें अंश और हर को किन संख्याओं से गुणा करना चाहिए?

यहां फिर से एक सिद्ध विधि बचाव के लिए आती है - एक कोने से विभाजन, एक सार्वभौमिक विधि, आप इसका उपयोग हमेशा एक सामान्य अंश को दशमलव में बदलने के लिए कर सकते हैं:

इस तरह आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि भिन्न को दशमलव में बदला गया है या नहीं। तथ्य यह है कि प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता, उदाहरण के लिए, जैसे 1/9, 3/7, 7/26 को दशमलव में नहीं बदला जाता है। तो फिर 1 को 9 से, 3 को 7 से, 5 को 11 से विभाजित करने पर क्या भिन्न प्राप्त होती है? मेरा उत्तर अनंत दशमलव है (हमने पैराग्राफ 1 में उनके बारे में बात की थी)। आइए विभाजित करें:

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

अक्सर स्कूल में पढ़ने वाले बच्चों की दिलचस्पी इस बात में होती है कि वे स्कूल में क्यों हैं। वास्तविक जीवनगणित की आवश्यकता हो सकती है, विशेषकर उन अनुभागों में जो पहले से ही सरल गिनती, गुणा, भाग, जोड़ और घटाव से कहीं आगे जाते हैं। कई वयस्क भी यह सवाल पूछते हैं कि क्या वे व्यावसायिक गतिविधिगणित और विभिन्न गणनाओं से बहुत दूर। हालाँकि, यह समझने लायक है कि सभी प्रकार की स्थितियाँ हैं, और कभी-कभी उस कुख्यात स्कूल पाठ्यक्रम के बिना ऐसा करना असंभव है जिसे हमने बचपन में बहुत तिरस्कारपूर्वक अस्वीकार कर दिया था। उदाहरण के लिए, हर कोई नहीं जानता कि भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए, लेकिन गणना में आसानी के लिए ऐसा ज्ञान बेहद उपयोगी हो सकता है। सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि जिस अंश की आपको आवश्यकता है उसे अंतिम दशमलव में बदला जा सकता है। यही बात प्रतिशत पर भी लागू होती है, जिसे आसानी से दशमलव में भी बदला जा सकता है।

यह देखने के लिए भिन्न की जाँच करना कि क्या इसे दशमलव में बदला जा सकता है

इससे पहले कि आप कुछ भी गिनें, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि परिणामी दशमलव अंश परिमित होगा, अन्यथा यह अनंत हो जाएगा और अंतिम संस्करण की गणना करना असंभव होगा। इसके अलावा, अनंत भिन्न भी आवर्ती और सरल हो सकते हैं, लेकिन यह एक अलग अनुभाग का विषय है।

एक साधारण भिन्न को उसके अंतिम, दशमलव संस्करण में परिवर्तित करना तभी संभव है, जब इसके अद्वितीय हर को केवल 5 और 2 (अभाज्य गुणनखंड) के गुणनखंडों में विस्तारित किया जा सके। और भले ही उन्हें मनमाने ढंग से कई बार दोहराया जाए।

आइए स्पष्ट करें कि ये दोनों संख्याएँ अभाज्य हैं, इसलिए अंत में इन्हें बिना किसी शेषफल के केवल स्वयं या एक से विभाजित किया जा सकता है। अभाज्य संख्याओं की तालिका इंटरनेट पर बिना किसी समस्या के पाई जा सकती है; यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है, हालाँकि इसका हमारे खाते से कोई सीधा संबंध नहीं है।

आइए उदाहरण देखें:

भिन्न 7/40 को भिन्न से उसके दशमलव समकक्ष में परिवर्तित किया जा सकता है क्योंकि इसके हर को 2 और 5 के गुणनखंडों में आसानी से विभाजित किया जा सकता है।

हालाँकि, यदि पहले विकल्प का परिणाम अंतिम दशमलव अंश में होता है, तो, उदाहरण के लिए, 7/60 किसी भी तरह से समान परिणाम नहीं देगा, क्योंकि इसका हर अब उन संख्याओं में विघटित नहीं होगा जिन्हें हम ढूंढ रहे हैं, लेकिन एक होगा विभाजक कारकों में से तीन।

भिन्न को दशमलव में बदलने के कई तरीके हैं

एक बार जब यह स्पष्ट हो जाए कि किन भिन्नों को साधारण से दशमलव में बदला जा सकता है, तो आप स्वयं रूपांतरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं। वास्तव में, कुछ भी अति कठिन नहीं है, यहां तक ​​कि उस व्यक्ति के लिए भी जिसका स्कूली पाठ्यक्रम पूरी तरह से स्मृति से लुप्त हो गया हो।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदलें: सबसे आसान तरीका

भिन्न को दशमलव में बदलने की यह विधि वास्तव में सबसे सरल है, लेकिन बहुत से लोगों को इसके नश्वर अस्तित्व के बारे में पता भी नहीं है, क्योंकि स्कूल में ये सभी " सत्यवाद"अनावश्यक और बहुत महत्वपूर्ण नहीं लगता। इस बीच, न केवल एक वयस्क इसका पता लगाने में सक्षम होगा, बल्कि एक बच्चा भी ऐसी जानकारी को आसानी से समझ जाएगा।

इसलिए, भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आप अंश के साथ-साथ हर को भी एक संख्या से गुणा करते हैं। हालाँकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है, परिणामस्वरूप, यह हर में है कि आपको 10, 100, 1000, 10,000, 100,000 और इसी तरह अनंत काल तक प्राप्त होना चाहिए। पहले यह जांचना न भूलें कि किसी दिए गए भिन्न को दशमलव में बदला जा सकता है या नहीं।

आइए उदाहरण देखें:

मान लीजिए कि हमें भिन्न 6/20 को दशमलव में बदलना है। हम जाँच:

जब हम आश्वस्त हो जाते हैं कि भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना अभी भी संभव है, और यहाँ तक कि एक परिमित भिन्न में भी, क्योंकि इसके हर को आसानी से दो और पांच में विघटित किया जा सकता है, तो हमें अनुवाद के लिए आगे बढ़ना चाहिए। सबसे सबसे बढ़िया विकल्प, तार्किक रूप से, हर को गुणा करने और परिणाम प्राप्त करने के लिए 100 5 है, क्योंकि 20x5=100।

आप स्पष्टता के लिए एक अतिरिक्त उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

दूसरा और अधिक लोकप्रिय तरीका भिन्नों को दशमलव में बदलें

दूसरा विकल्प कुछ अधिक जटिल है, लेकिन यह इस तथ्य के कारण अधिक लोकप्रिय है कि इसे समझना बहुत आसान है। यहां सब कुछ पारदर्शी और स्पष्ट है, तो आइए तुरंत गणना पर आगे बढ़ें।

याद रखने लायक

एक साधारण, यानी साधारण अंश को उसके दशमलव समकक्ष में सही ढंग से बदलने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। वास्तव में, भिन्न एक विभाजन है, आप इस पर बहस नहीं कर सकते।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके कार्रवाई को देखें:

तो, पहली बात यह है कि भिन्न 78/200 को दशमलव में बदलना है, आपको इसके अंश, यानी संख्या 78, को हर 200 से विभाजित करना होगा। लेकिन पहली चीज जो एक आदत बन जानी चाहिए वह है जाँच करना , जिसका उल्लेख पहले ही ऊपर किया जा चुका है।

जाँच करने के बाद, आपको स्कूल को याद रखना होगा और "कोने" या "कॉलम" का उपयोग करके अंश को हर से विभाजित करना होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ बेहद सरल है, और ऐसी समस्याओं को आसानी से हल करने के लिए आपको प्रतिभाशाली होने की आवश्यकता नहीं है। सरलता और सुविधा के लिए, हम सबसे लोकप्रिय भिन्नों की एक तालिका भी प्रदान करते हैं जिन्हें याद रखना आसान है और उन्हें अनुवाद करने का प्रयास भी नहीं करना पड़ता है।

प्रतिशत को दशमलव में कैसे बदलें: कुछ भी सरल नहीं है

अंत में, यह कदम प्रतिशत की ओर आ गया है, जिसे, जैसा कि उसी स्कूल के पाठ्यक्रम में कहा गया है, दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है। इसके अलावा, यहां सब कुछ बहुत आसान होगा, और डरने की कोई जरूरत नहीं है। यहां तक ​​कि जिन लोगों ने विश्वविद्यालयों से स्नातक नहीं किया, स्कूल की पांचवीं कक्षा छोड़ दी और गणित के बारे में कुछ भी नहीं जानते, वे भी इस कार्य का सामना कर सकते हैं।

शायद हमें एक परिभाषा से शुरुआत करने की ज़रूरत है, यानी समझें कि वास्तव में रुचि क्या है। प्रतिशत किसी संख्या का सौवां हिस्सा है, यानी पूरी तरह से मनमाना। उदाहरण के लिए, सौ में से यह एक होगा इत्यादि।

इस प्रकार, प्रतिशत को दशमलव में बदलने के लिए, आपको बस % चिह्न को हटाना होगा, और फिर संख्या को सौ से विभाजित करना होगा।

आइए उदाहरण देखें:

इसके अलावा, एक रिवर्स "रूपांतरण" करने के लिए, आपको बस सब कुछ दूसरे तरीके से करने की ज़रूरत है, यानी, संख्या को सौ से गुणा करना होगा और इसमें एक प्रतिशत चिह्न जोड़ना होगा। ठीक उसी तरह, अर्जित ज्ञान को लागू करके आप एक साधारण अंश को भी प्रतिशत में बदल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना और इसलिए इसे प्रतिशत में बदलना पर्याप्त होगा, और आप आसानी से विपरीत क्रिया भी कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी अत्यधिक जटिल नहीं है, यह सब बुनियादी ज्ञान है जिसे बस ध्यान में रखने की आवश्यकता है, खासकर यदि आप संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं।

कम से कम प्रतिरोध का मार्ग: सुविधाजनक ऑनलाइन सेवाएँ

ऐसा भी होता है कि आप बिल्कुल भी गिनती नहीं करना चाहते और आपके पास समय ही नहीं होता। ऐसे मामलों या विशेष रूप से आलसी उपयोगकर्ताओं के लिए, इंटरनेट पर कई सुविधाजनक और उपयोग में आसान सेवाएं हैं जो आपको सामान्य अंशों, साथ ही प्रतिशत को दशमलव अंशों में बदलने की अनुमति देंगी। यह वास्तव में कम से कम प्रतिरोध का मार्ग है, इसलिए ऐसे संसाधनों का उपयोग करना खुशी की बात है।

उपयोगी संदर्भ पोर्टल "कैलकुलेटर"

कैलकुलेटर सेवा का उपयोग करने के लिए, बस लिंक http://www.calc.ru/desyatichnyye-drobi.html का अनुसरण करें और आवश्यक फ़ील्ड में आवश्यक संख्याएं दर्ज करें। इसके अलावा, संसाधन आपको साधारण और मिश्रित दोनों भिन्नों को दशमलव में बदलने की अनुमति देता है।

थोड़े इंतजार के बाद, लगभग तीन सेकंड, सेवा अंतिम परिणाम प्रदर्शित करेगी।

ठीक उसी तरह, आप दशमलव भिन्न को नियमित भिन्न में बदल सकते हैं।

"गणितीय संसाधन" calcs.su पर ऑनलाइन कैलकुलेटर

एक और बहुत उपयोगी सेवा गणितीय संसाधन पर भिन्न कैलकुलेटर है। यहां आपको स्वयं कुछ भी गिनने की आवश्यकता नहीं है, बस सूची से चुनें कि आपको क्या चाहिए और आगे बढ़ें और ऑर्डर प्राप्त करें।

इसके बाद, इसके लिए विशेष रूप से प्रदान किए गए क्षेत्र में, आपको प्रतिशत की वांछित संख्या दर्ज करनी होगी, जिसे नियमित अंश में परिवर्तित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, यदि आपको दशमलव अंशों की आवश्यकता है, तो आप आसानी से अनुवाद कार्य स्वयं कर सकते हैं या इसके लिए डिज़ाइन किए गए कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

अंततः, यह जोड़ने लायक है कि चाहे कितनी भी नई-नई सेवाओं का आविष्कार किया गया हो, चाहे कितने भी संसाधन आपको अपनी सेवाएँ प्रदान करते हों, समय-समय पर अपने दिमाग को प्रशिक्षित करने से कोई नुकसान नहीं होगा। इसलिए, आपको निश्चित रूप से अपने द्वारा अर्जित ज्ञान को लागू करना चाहिए, खासकर तब जब आप गर्व से अपने बच्चों की मदद करने में सक्षम होंगे और फिर पोते-पोतियों को अपना होमवर्क करने में मदद करेंगे। जो लोग समय की शाश्वत कमी से पीड़ित हैं, उनके लिए गणितीय पोर्टल पर ऐसे ऑनलाइन कैलकुलेटर काम आएंगे और आपको यह समझने में भी मदद मिलेगी कि भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए।

इस लेख में हम देखेंगे कि कैसे भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना, और विपरीत प्रक्रिया पर भी विचार करें - दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करना। यहां हम भिन्नों को परिवर्तित करने के नियमों की रूपरेखा तैयार करेंगे और देंगे विस्तृत समाधानविशिष्ट उदाहरण.

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भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए हम उस क्रम को निरूपित करें जिसमें हम निपटेंगे भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करना.

सबसे पहले, हम देखेंगे कि 10, 100, 1,000, ... वाले भिन्नों को दशमलव के रूप में कैसे दर्शाया जाए। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि दशमलव भिन्न मूलतः 10, 100, ... वाले हर के साथ साधारण भिन्न लिखने का एक संक्षिप्त रूप है।

उसके बाद, हम आगे बढ़ेंगे और दिखाएंगे कि किसी भी साधारण भिन्न (सिर्फ हर 10, 100,... वाले भिन्न को नहीं) को दशमलव भिन्न के रूप में कैसे लिखा जाता है। जब साधारण भिन्नों का इस प्रकार उपचार किया जाता है, तो परिमित दशमलव भिन्न और अनंत आवर्त दशमलव भिन्न दोनों प्राप्त होते हैं।

अब क्रम से सब कुछ के बारे में बात करते हैं।

10, 100, ... हर वाली सामान्य भिन्नों को दशमलव में बदलना

कुछ उचित भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करने से पहले "प्रारंभिक तैयारी" की आवश्यकता होती है। यह सामान्य भिन्नों पर लागू होता है, जिनके अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से कम होती है। उदाहरण के लिए, सामान्य भिन्न 2/100 को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए पहले तैयार किया जाना चाहिए, लेकिन भिन्न 9/10 को किसी तैयारी की आवश्यकता नहीं है।

दशमलव भिन्नों में रूपांतरण के लिए उचित साधारण भिन्नों की "प्रारंभिक तैयारी" में अंश में बाईं ओर इतने शून्य जोड़ना शामिल है कि वहां अंकों की कुल संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, शून्य जोड़ने के बाद एक भिन्न जैसा दिखेगा।

एक बार जब आपके पास उचित भिन्न तैयार हो जाए, तो आप इसे दशमलव में परिवर्तित करना शुरू कर सकते हैं।

चलो हम देते है 10, या 100, या 1,000, ... के हर के साथ एक उचित सामान्य भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने का नियम. इसमें तीन चरण होते हैं:

• लिखें 0;
• इसके बाद हम एक दशमलव बिंदु लगाते हैं;
• हम अंश-गणक से संख्या लिखते हैं (यदि हमने उन्हें जोड़ा है तो जोड़े गए शून्य के साथ)।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

उचित भिन्न 37/100 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

हर में संख्या 100 होती है, जिसमें दो शून्य होते हैं। अंश में संख्या 37 होती है, इसके अंकन में दो अंक होते हैं, इसलिए, इस भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए तैयार करने की आवश्यकता नहीं होती है।

अब हम 0 लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु लगाते हैं, और अंश से संख्या 37 लिखते हैं, और हमें दशमलव अंश 0.37 मिलता है।

उत्तर:

0,37 .

अंश 10, 100, ... वाले उचित साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलने के कौशल को मजबूत करने के लिए, हम एक अन्य उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

उचित भिन्न 107/10,000,000 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

अंश में अंकों की संख्या 3 है, और हर में शून्य की संख्या 7 है, इसलिए दशमलव में रूपांतरण के लिए इस सामान्य भिन्न को तैयार करने की आवश्यकता है। हमें अंश में बाईं ओर 7-3=4 शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि वहां अंकों की कुल संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। हम पाते हैं।

जो कुछ बचा है वह आवश्यक दशमलव अंश बनाना है। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम 0 लिखते हैं, दूसरे, हम अल्पविराम लगाते हैं, तीसरा, हम अंश से संख्या को शून्य 0000107 के साथ लिखते हैं, परिणामस्वरूप हमें दशमलव अंश 0.0000107 मिलता है।

उत्तर:

0,0000107 .

अनुचित भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करते समय किसी तैयारी की आवश्यकता नहीं होती है। निम्नलिखित का पालन किया जाना चाहिए 10, 100, ... वाले हर वाले अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलने के नियम:

• अंश-गणक से संख्या लिखिए;
• अलग दशमलव बिंदुदाईं ओर उतने ही अंक हैं जितने मूल भिन्न के हर में शून्य हैं।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग को देखें।

उदाहरण।

अनुचित भिन्न 56,888,038,009/100,000 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

सबसे पहले, हम अंश 56888038009 से संख्या लिखते हैं, और दूसरी बात, हम दाईं ओर के 5 अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं, क्योंकि मूल भिन्न के हर में 5 शून्य होते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास दशमलव अंश 568880.38009 है।

उत्तर:

568 880,38009 .

किसी मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में बदलने के लिए, जिसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, या 100, या 1,000, ... है, आप मिश्रित संख्या को एक अनुचित साधारण भिन्न में बदल सकते हैं, और फिर परिणामी को परिवर्तित कर सकते हैं भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना। लेकिन आप निम्नलिखित का भी उपयोग कर सकते हैं 10, या 100, या 1,000, के भिन्नात्मक हर वाली मिश्रित संख्याओं को दशमलव भिन्नों में बदलने का नियम:

• यदि आवश्यक हो, तो हम अंश में बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़कर मूल मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग की "प्रारंभिक तैयारी" करते हैं;
• मूल मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग लिखिए;
• दशमलव बिंदु लगाएं;
• हम अंश-गणक से संख्या को जोड़े गए शून्य के साथ लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें जिसमें हम एक मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए सभी आवश्यक चरण पूरे करते हैं।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को दशमलव में बदलें.

समाधान।

भिन्नात्मक भाग के हर में 4 शून्य होते हैं, लेकिन अंश में 17 संख्या होती है, जिसमें 2 अंक होते हैं, इसलिए, हमें अंश में बाईं ओर दो शून्य जोड़ने की आवश्यकता होती है ताकि वहां अंकों की संख्या की संख्या के बराबर हो जाए। हर में शून्य. ऐसा करने पर अंश 0017 होगा।

अब हम मूल संख्या के पूर्णांक भाग, यानी संख्या 23 को लिखते हैं, एक दशमलव बिंदु डालते हैं, जिसके बाद हम अंश से संख्या को जोड़े गए शून्य के साथ लिखते हैं, यानी 0017, और हमें वांछित दशमलव मिलता है अंश 23.0017.

आइए संपूर्ण समाधान को संक्षेप में लिखें: .

निःसंदेह, पहले मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और फिर उसे दशमलव भिन्न में परिवर्तित करना संभव था। इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखता है:।

उत्तर:

23,0017 .

भिन्नों को परिमित और अनंत आवर्त दशमलवों में परिवर्तित करना

आप न केवल 10, 100,... हर वाली साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं, बल्कि अन्य हर वाली साधारण भिन्न भी बदल सकते हैं। अब हम यह पता लगाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

कुछ मामलों में, मूल साधारण भिन्न को आसानी से 10, या 100, या 1,000, ... में से किसी एक में घटा दिया जाता है (एक साधारण भिन्न को एक नए हर में लाते हुए देखें), जिसके बाद परिणामी भिन्न का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल नहीं होता है दशमलव अंश के रूप में. उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि भिन्न 2/5 को हर 10 वाली भिन्न में घटाया जा सकता है, इसके लिए आपको अंश और हर को 2 से गुणा करना होगा, जिससे भिन्न 4/10 मिलेगा, जो कि, के अनुसार पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों को आसानी से दशमलव अंश 0, 4 में परिवर्तित किया जा सकता है।

अन्य मामलों में, आपको साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की दूसरी विधि का उपयोग करना होगा, जिस पर अब हम विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

एक साधारण अंश को दशमलव अंश में बदलने के लिए, अंश के अंश को हर से विभाजित किया जाता है, अंश को पहले दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य के साथ एक समान दशमलव अंश से बदल दिया जाता है (हमने इसके बारे में अनुभाग बराबर और में बात की है) असमान दशमलव अंश)। इस मामले में, विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन किया जाता है, और भागफल में एक दशमलव बिंदु रखा जाता है जब लाभांश के पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है। नीचे दिए गए उदाहरणों के समाधान से यह सब स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण।

भिन्न 621/4 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

आइए अंश 621 में संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में निरूपित करें, एक दशमलव बिंदु और उसके बाद कई शून्य जोड़ें। पहले, आइए 2 अंक 0 जोड़ें, बाद में, यदि आवश्यक हो, तो हम हमेशा और शून्य जोड़ सकते हैं। तो, हमारे पास 621.00 है।

आइए अब संख्या 621,000 को एक कॉलम से 4 से विभाजित करें। पहले तीन चरण प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने से अलग नहीं हैं, जिसके बाद हम निम्नलिखित चित्र पर पहुंचते हैं:

इस प्रकार हम लाभांश में दशमलव बिंदु तक पहुंचते हैं, और शेष शून्य से भिन्न होता है। इस मामले में, हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं और अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए, एक कॉलम में विभाजित करना जारी रखते हैं:

यह विभाजन पूरा करता है, और परिणामस्वरूप हमें दशमलव भिन्न 155.25 प्राप्त होता है, जो मूल साधारण भिन्न से मेल खाता है।

उत्तर:

155,25 .

सामग्री को समेकित करने के लिए, किसी अन्य उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्न 21/800 को दशमलव में बदलें।

समाधान।

इस सामान्य भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, हम दशमलव भिन्न के एक कॉलम से 21,000... को 800 से विभाजित करते हैं। पहले चरण के बाद, हमें भागफल में एक दशमलव बिंदु लगाना होगा, और फिर विभाजन जारी रखना होगा:

अंत में, हमें शेषफल 0 मिला, इससे सामान्य भिन्न 21/400 का दशमलव भिन्न में रूपांतरण पूरा हो गया, और हम दशमलव भिन्न 0.02625 पर पहुँच गए।

उत्तर:

0,02625 .

ऐसा हो सकता है कि किसी साधारण भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर भी हमें 0 का शेषफल न मिले। इन मामलों में, विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। हालाँकि, एक निश्चित चरण से शुरू करके, शेषफल समय-समय पर दोहराना शुरू कर देता है, और भागफल में संख्याएँ भी दोहराई जाती हैं। इसका मतलब यह है कि मूल अंश एक अनंत आवधिक दशमलव अंश में परिवर्तित हो जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से दिखाते हैं.

उदाहरण।

भिन्न 19/44 को दशमलव के रूप में लिखें।

समाधान।

एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, कॉलम द्वारा विभाजन करें:

यह पहले से ही स्पष्ट है कि विभाजन के दौरान अवशेष 8 और 36 दोहराए जाने लगे, जबकि भागफल में संख्या 1 और 8 दोहराए जाते हैं। इस प्रकार, मूल सामान्य भिन्न 19/44 को आवधिक दशमलव भिन्न 0.43181818...=0.43(18) में बदल दिया जाता है।

उत्तर:

0,43(18) .

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, हम यह पता लगाएंगे कि कौन सी साधारण भिन्नों को परिमित दशमलव भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है, और कौन सी भिन्नों को केवल आवधिक अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है।

आइए हमारे सामने एक अघुलनशील साधारण अंश है (यदि अंश कम करने योग्य है, तो हम पहले अंश को कम करते हैं), और हमें यह पता लगाना होगा कि इसे किस दशमलव अंश में परिवर्तित किया जा सकता है - परिमित या आवधिक।

यह स्पष्ट है कि यदि एक साधारण भिन्न को हर 10, 100, 1,000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो परिणामी भिन्न को पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों के अनुसार आसानी से अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन हरों के लिए 10, 100, 1,000, आदि। सभी साधारण भिन्न नहीं दिये गये हैं। केवल वे भिन्न जिनके हर संख्याएं 10, 100, ... में से कम से कम एक संख्या हों, उन्हें ऐसे हर में घटाया जा सकता है। और कौन सी संख्याएँ 10, 100, ... की भाजक हो सकती हैं? संख्याएँ 10, 100, ... हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देंगी, और वे इस प्रकार हैं: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... इसका तात्पर्य यह है कि भाजक 10, 100, 1,000, आदि हैं। केवल ऐसी संख्याएँ हो सकती हैं जिनके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 होती हैं।

अब हम कर सकते हैं सामान्य निष्कर्षभिन्नों को दशमलव में बदलने के बारे में:

• यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में विघटन में केवल संख्याएँ 2 और (या) 5 मौजूद हैं, तो इस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है;
• यदि हर के विस्तार में दो और पाँच के अलावा अन्य अभाज्य संख्याएँ हों, तो यह भिन्न एक अनंत दशमलव आवर्त भिन्न में परिवर्तित हो जाती है।

उदाहरण।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित किए बिना, मुझे बताएं कि 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 में से किस भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है, और कौन से को केवल आवधिक भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

समाधान।

भिन्न 47/20 के हर को 20=2·2·5 के रूप में अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है। इस विस्तार में केवल दो और पाँच हैं, इसलिए इस भिन्न को हर 10, 100, 1,000, ... में से किसी एक में घटाया जा सकता है (इस उदाहरण में, हर 100 में), इसलिए, इसे अंतिम दशमलव में बदला जा सकता है अंश।

भिन्न 7/12 के हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर रूप 12=2·2·3 होता है। चूँकि इसमें 2 और 5 से भिन्न, 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, इस भिन्न को एक परिमित दशमलव के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे आवधिक दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंश 21/56- संकुचनशील, संकुचन के बाद यह 3/8 का रूप ले लेता है। हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर 2 के बराबर तीन गुणनखंड होते हैं, इसलिए, सामान्य भिन्न 3/8, और इसलिए समान भिन्न 21/56, को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

अंततः भिन्न 31/17 के हर का विस्तार 17 ही है, इसलिए इस भिन्न को परिमित दशमलव भिन्न में नहीं, बल्कि अनंत आवर्त भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है।

उत्तर:

47/20 और 21/56 को एक परिमित दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है, लेकिन 7/12 और 31/17 को केवल एक आवधिक भिन्न में बदला जा सकता है।

साधारण भिन्न अनंत गैर-आवधिक दशमलव में परिवर्तित नहीं होते हैं

पिछले पैराग्राफ की जानकारी इस प्रश्न को जन्म देती है: "क्या भिन्न के अंश को हर से विभाजित करने पर अनंत गैर-आवधिक भिन्न प्राप्त हो सकता है?"

उत्तर: नहीं. किसी सामान्य भिन्न को परिवर्तित करते समय, परिणाम या तो एक परिमित दशमलव भिन्न या अनंत आवधिक दशमलव भिन्न हो सकता है। आइए हम बताते हैं कि ऐसा क्यों है.

शेषफल से विभाज्यता पर प्रमेय से यह स्पष्ट है कि शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है, अर्थात यदि हम किसी पूर्णांक को पूर्णांक q से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 0, 1, 2 में से केवल एक संख्या हो सकता है। , ..., q−1. इसका तात्पर्य यह है कि कॉलम द्वारा साधारण भिन्न के अंश के पूर्णांक भाग को हर q से विभाजित करने के बाद, q से अधिक चरणों में निम्नलिखित दो स्थितियों में से एक उत्पन्न नहीं होगी:

• या हमें 0 का शेषफल मिलेगा, इससे विभाजन समाप्त हो जाएगा, और हमें अंतिम दशमलव अंश प्राप्त होगा;
• या हमें एक ऐसा शेषफल मिलेगा जो पहले ही प्रकट हो चुका है, जिसके बाद शेष पिछले उदाहरण की तरह दोहराना शुरू कर देंगे (क्योंकि समान संख्याओं को q से विभाजित करने पर, समान शेषफल प्राप्त होते हैं, जो पहले से उल्लिखित विभाज्यता प्रमेय से अनुसरण करता है), यह परिणामस्वरूप एक अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त होगा।

कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है, इसलिए, एक साधारण अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करते समय, एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

इस पैराग्राफ में दिए गए तर्क से यह भी पता चलता है कि दशमलव अंश की अवधि की लंबाई हमेशा संबंधित साधारण अंश के हर के मान से कम होती है।

दशमलव को भिन्नों में बदलना

अब आइए जानें कि दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदला जाए। आइए अंतिम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करके प्रारंभ करें। इसके बाद, हम अनंत आवर्त दशमलव भिन्नों को उलटने की एक विधि पर विचार करेंगे। निष्कर्ष में, आइए अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित करने की असंभवता के बारे में कहें।

अनुवर्ती दशमलवों को भिन्नों में परिवर्तित करना

अंतिम दशमलव के रूप में लिखा गया भिन्न प्राप्त करना काफी सरल है। अंतिम दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

• सबसे पहले, दिए गए दशमलव अंश को अंश में लिखें, पहले दशमलव बिंदु और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को हटा दें;
• दूसरे, हर में एक लिखें और उसमें उतने ही शून्य जोड़ें जितने मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंक हों;
• तीसरा, यदि आवश्यक हो, परिणामी अंश को कम करें।

आइए उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

दशमलव 3.025 को भिन्न में बदलें।

समाधान।

यदि हम मूल दशमलव अंश से दशमलव बिंदु हटा दें, तो हमें संख्या 3,025 प्राप्त होती है। बायीं ओर कोई शून्य नहीं है जिसे हम हटा दें। तो, हम वांछित भिन्न के अंश में 3,025 लिखते हैं।

हम हर में संख्या 1 लिखते हैं और उसके दाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं, क्योंकि मूल दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद 3 अंक होते हैं।

तो हमें सामान्य भिन्न 3,025/1,000 मिला। इस भिन्न को 25 तक कम किया जा सकता है, हम पाते हैं .

उत्तर:

.

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 0.0017 को भिन्न में बदलें।

समाधान।

दशमलव बिंदु के बिना, मूल दशमलव अंश 00017 जैसा दिखता है, बाईं ओर के शून्य को हटाने पर हमें संख्या 17 प्राप्त होती है, जो वांछित साधारण भिन्न का अंश है।

हम हर में चार शून्य के साथ एक लिखते हैं, क्योंकि मूल दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद 4 अंक होते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारे पास एक साधारण भिन्न 17/10,000 है। यह अंश अपरिवर्तनीय है, और दशमलव भिन्न का साधारण भिन्न में रूपांतरण पूरा हो गया है।

उत्तर:

.

जब मूल अंतिम दशमलव अंश का पूर्णांक भाग गैर-शून्य होता है, तो इसे सामान्य अंश को दरकिनार करते हुए तुरंत मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है। चलो हम देते है अंतिम दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने का नियम:

• दशमलव बिंदु से पहले की संख्या को वांछित मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाना चाहिए;
• भिन्नात्मक भाग के अंश में आपको बाईं ओर के सभी शून्यों को त्यागने के बाद मूल दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग से प्राप्त संख्या लिखनी होगी;
• भिन्नात्मक भाग के हर में आपको संख्या 1 लिखने की आवश्यकता है, जिसमें दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ें जितने मूल दशमलव भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद अंक हैं;
• यदि आवश्यक हो, तो परिणामी मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग को कम करें।

आइए दशमलव भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दशमलव अंश 152.06005 को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करें

पहले से मौजूद प्राथमिक स्कूलविद्यार्थियों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। आप इन नंबरों के साथ कार्यों को नहीं भूल सकते। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ जटिल नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन रोजमर्रा की जिंदगीलोगों को लगातार वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करता है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई टुकड़े होते हैं। ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां उसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे आसानी से तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। लेकिन पांच लोगों को पूरी संख्या में चॉकलेट के टुकड़े देना संभव नहीं होगा।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक इकाई के भागों से बनी संख्या है। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) जो है वह हर है।

मूलतः, स्लैश एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहां कौन-कौन से भिन्न हैं?

गणित में केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। सबसे पहले स्कूली बच्चे मिलते हैं प्राथमिक स्कूल, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। बाद वाला 5वीं कक्षा में सीखा जाएगा। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक रेखा से अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितीय अंकन होता है और इसे पूर्ण संख्या से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप से सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों के क्या उपप्रकार होते हैं?

इसमें शुरुआत करना बेहतर है कालानुक्रमिक क्रम में, जैसा कि उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

कम करने योग्य/अघुलनशील। यह या तो सही या ग़लत हो सकता है। एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो भिन्न के दोनों भागों को उनसे विभाजित करना अर्थात् घटाना आवश्यक है।

मिश्रित। एक पूर्णांक को इसके सामान्य नियमित (अनियमित) भिन्नात्मक भाग को सौंपा गया है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर होता है।

समग्र. यह दो भिन्नों को एक दूसरे से विभाजित करने पर बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक रेखाएँ होती हैं।

दशमलव भिन्नों के केवल दो उपप्रकार होते हैं:

परिमित, अर्थात जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक जुड़ाव लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक पट्टी के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होते हैं। आपको उत्तरार्द्ध में से उतने ही लिखने की आवश्यकता है जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में कैसे परिवर्तित करें यदि उनका पूर्णांक भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. जो कुछ बचा है वह भिन्नात्मक भागों को लिखना है। पहली संख्या का हर 10 होगा, दूसरे का हर 100 होगा। यानी, दिए गए उदाहरणों में उत्तर के रूप में निम्नलिखित संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 के रूप में लिखा जाना चाहिए।

यदि किसी दशमलव अंश का पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है तो आप उसे साधारण भिन्न में कैसे परिवर्तित कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरणों में पूरा भाग पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में यह 5 है, दूसरे में यह 13 है। फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की जरूरत है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहला नंबर 23/100 दिखाई देता है, दूसरा - 108/100000। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न देता है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन संभव नहीं होगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा या तो एक परिमित या आवधिक भिन्न में परिवर्तित हो जाता है।

ऐसे भिन्न के साथ आप केवल इतना ही कर सकते हैं कि उसे गोल कर लें। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में परिवर्तित करने से कभी भी प्रारंभिक मान नहीं मिलेगा। अर्थात् अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। इसे याद रखने की जरूरत है.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक होते हैं जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें काल कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ "3" आवर्त में है। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखना होगा, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। परिमित लोगों की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अंश में अवधि लिखें, और हर संख्या 9 होगी, जिसे अवधि में अंकों की संख्या जितनी बार दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग से शुरुआत करने की आवश्यकता है। अंश के रूप में 5 और हर के रूप में 9 लिखें। यानी उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

मिश्रित साधारण दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

अवधि की लंबाई देखें. हर में कितने 9 होंगे।

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्याएँ, अवधि सहित, छोटी कर दी जाएंगी। कटौती योग्य - यह बिना किसी अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो एक शून्य होगा. आवर्त में भी एक ही संख्या है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 58 में से 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर 53/90 लिखना होगा।

भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, आदि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। आपको बस हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना होगा।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं: एक परिमित या एक आवधिक दशमलव अंश।

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र दूसरों की तुलना में उनसे पहले परिचित हो जाते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर उनके अलग-अलग होते हैं। सामान्य नियमऐसी योजना तक कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखें।

अंश और हर को उनके लिए निर्दिष्ट कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और उभयनिष्ठ हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनूएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो हमें यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।

पहले मामले में, आपको पूरे हिस्से में से एक उधार लेना होगा। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी सबट्रेंड के मॉड्यूल से मीनूएंड के मॉड्यूल को घटाएं और जवाब में "-" चिन्ह लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको अनुचित भिन्न मिलता है, तो आपको संपूर्ण भाग का चयन करना होगा। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उन्हें निष्पादित करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य हर में बदलने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उनसे अपेक्षा की जाती है कि आप नियमों का पालन करें।

भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंश और हर में संख्याओं को देखना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि परिणाम एक कम करने योग्य अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम भिन्न (अंश और हर को बदलें) से बदलना होगा।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू करके)।

उन कार्यों में जहां आपको किसी पूर्ण संख्या से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाली संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। अर्थात्, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार कार्य करें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से बताई गई योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या जोड़ें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

गौरतलब है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की जरूरत नहीं है. भिन्नों को वैसे ही छोड़ देना चाहिए जैसे वे उदाहरण में दिए गए हैं। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए आपको पहले भाजक को परिवर्तित करना होगा: इसे बनाएं प्राकृतिक संख्या. अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

अपने उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में दो संभावित समाधान हैं. आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और इष्टतम संख्या को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यदि विभाजन या अनुवाद के परिणामस्वरूप परिमित भिन्न प्राप्त होते हैं तो यह उपयुक्त है। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो आप एक बहुत बड़ा साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं और दशमलव संकेतनआपको कार्य की गणना तेजी से और आसानी से करने की अनुमति देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।

बहुत बार में स्कूल के पाठ्यक्रमगणितज्ञ बच्चों के सामने यह समस्या आती है कि भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए। किसी उभयनिष्ठ भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आइए पहले याद रखें कि उभयनिष्ठ भिन्न और दशमलव क्या हैं। एक साधारण भिन्न m/n के रूप का एक अंश है, जहाँ m अंश है और n हर है। उदाहरण: 8/13; 6/7, आदि. भिन्नों को नियमित, अनुचित और मिश्रित संख्याओं में विभाजित किया गया है। एक उचित भिन्न तब होती है जब अंश हर से कम होता है: m/n, जहां m 3। एक अनुचित भिन्न को हमेशा एक मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्: 4/3 = 1 और 1/3;

भिन्न को दशमलव में बदलना

आइए अब देखें कि मिश्रित भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें। किसी भी साधारण भिन्न को, चाहे वह उचित हो या अनुचित, दशमलव में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा। उदाहरण: साधारण अंश(सही) 1/2. 0.5 प्राप्त करने के लिए अंश 1 को हर 2 से विभाजित करें। आइए 45/12 का उदाहरण लें; यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक अनियमित भिन्न है। यहां हर, अंश से छोटा है। एक अनुचित भिन्न को दशमलव में बदलना: 45: 12 = 3.75।

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में परिवर्तित करना

उदाहरण: 25/8. सबसे पहले हम मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलते हैं: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 और 1/8; फिर एक कॉलम या कैलकुलेटर का उपयोग करके 1 के बराबर अंश को 8 के बराबर हर से विभाजित करें और 0.125 के बराबर दशमलव अंश प्राप्त करें। लेख दशमलव भिन्नों में रूपांतरण का सबसे आसान उदाहरण प्रदान करता है। अनुवाद तकनीक को समझने के बाद सरल उदाहरण, आप उनमें से सबसे कठिन को आसानी से हल कर सकते हैं।