ऑनलाइन कैलकुलेटर.
संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजक की गणना.
गुणन, घटाव, भाग, भिन्नों का जोड़ और घटाव विभिन्न भाजक.

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर से आप यह कर सकते हैं विभिन्न हर वाले संख्यात्मक भिन्नों को गुणा करना, घटाना, विभाजित करना, जोड़ना और घटाना।

प्रोग्राम सही, अनुचित और मिश्रित संख्यात्मक अंशों के साथ काम करता है।

यह प्रोग्राम (ऑनलाइन कैलकुलेटर) यह कर सकता है:
- विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्न जोड़ें
- अलग-अलग हर वाले मिश्रित भिन्नों को घटाएं
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से विभाजित करें
- मिश्रित भिन्नों को विभिन्न हरों से गुणा करें
- भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलें
- भिन्नों को कम करें

आप भिन्नों वाला कोई व्यंजक नहीं, बल्कि एक एकल भिन्न भी दर्ज कर सकते हैं।
इस स्थिति में, अंश कम हो जाएगा और परिणाम से पूर्णांक भाग का चयन किया जाएगा।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर केवल समस्या का उत्तर देता ही नहीं, देता भी है विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ, यानी समाधान खोजने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा विद्यालयतैयारी के लिए नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपना प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं छोटे भाईया बहनें, जबकि हल किए जा रहे कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

यदि आप संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजकों को दर्ज करने के नियम

केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट: -2/3 + 7/5
परिणाम: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: -1&2/3 * 5&8/3
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

भिन्नों का विभाजन एक कोलन के साथ शुरू किया गया है: :
इनपुट:-9&37/12:-3&5/14
परिणाम: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते!

संख्यात्मक भिन्नों के साथ व्यंजक दर्ज करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है।
इनपुट: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

संख्यात्मक भिन्नों वाला एक व्यंजक दर्ज करें.

गणना

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थोड़ा सा सिद्धांत.

साधारण भिन्न. शेषफल सहित विभाजन

यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय, हम देखेंगे कि 497, 4 से विभाज्य नहीं है, अर्थात। विभाजन का शेष भाग शेष है। ऐसे में ऐसा कहा जाता है शेषफल के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को शेषफल के बिना विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - डिवाइडर. शेषफल से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम को विभाजन कहते हैं अपूर्ण निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. जब कोई शेष नहीं बचता तो एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करना कहा जाता है। बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस प्रकार के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेषफल 1 है।

शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

भाग देने पर आप गुणा करके जांच कर सकते हैं. यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जाँच इस प्रकार की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेषफल के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए = बी * एन + आर,
जहाँ a लाभांश है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के विभाजन के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और हर भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य है और हर भाजक है, विश्वास है कि भिन्न की रेखा का अर्थ विभाजन की क्रिया है. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना विभाजन को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृतिक संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m लाभांश है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सही हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

पूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको पूर्ण के अनुरूप संख्या को हर से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

किसी पूर्ण को उसके भाग से खोजने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है भिन्न का मूल गुण.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं अंश में कमी.

यदि भिन्नों को समान हर वाले भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता हो, तो ऐसी क्रिया कहलाती है भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना.

उचित और अनुचित भिन्न. मिश्रित संख्याएँ

आप पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक को समान भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भाग लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4) \) का अर्थ एक का तीन-चौथाई है। पिछले पैराग्राफ की कई समस्याओं में सामान्य भिन्नसंपूर्ण के एक भाग को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। व्यावहारिक बुद्धिसुझाव देता है कि भाग हमेशा पूर्ण से कम होना चाहिए, लेकिन फिर \(\frac(5)(5) \) या \(\frac(8)(5) \) जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है. संभवतः इसीलिए ऐसी भिन्नें, जिनमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, कहलाती हैं अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात वे भिन्न जिनमें अंश हर से कम होता है, कहलाती हैं उचित भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सामान्य भिन्न, दोनों उचित और अनुचित, को अंश को हर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित भिन्न" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, बल्कि केवल यह है कि इस भिन्न का अंश इसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न शामिल है, तो ऐसा भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न \(\frac(a)(b) \) का अंश एक प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b) \) प्राकृतिक संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम तब भी मान्य है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ। भिन्नों का योग.

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, जैसे कि प्राकृतिक संख्या, आप अंकगणितीय ऑपरेशन कर सकते हैं। आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर नजर डालें। समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान है। उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7) \) और \(\frac(3)(7) \) का योग ज्ञात कीजिए। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को वही छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आप अलग-अलग हर वाली भिन्नों को जोड़ना चाहते हैं, तो पहले उन्हें एक सामान्य हर में घटाना होगा। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के लिए, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के लिए, जोड़ के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों का योग

\(2\frac(2)(3) \) जैसी रिकॉर्डिंग्स को कहा जाता है मिश्रित अंश. नंबर 2 कहा जाता है संपूर्ण भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3) \) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3) \) को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई"।

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर दो उत्तर मिलते हैं: \(\frac(8)(3) \) और \(2\frac(2)(3) \). वे समान भिन्नात्मक संख्या व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3) \) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3) \) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि अनुचित भिन्न से संपूर्ण को अलग कर दिया.

भिन्नों का घटाव (आंशिक संख्याएँ)

भिन्नात्मक संख्याओं का घटाव, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं का घटाव, अतिरिक्त क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जो दूसरे में जोड़ने पर पहली संख्या देती है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) चूँकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

समान हर वाली भिन्नों को घटाने का नियम ऐसी भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाली भिन्नों के बीच अंतर जानने के लिए, दूसरी भिन्न के अंश को पहली भिन्न के अंश से घटाएँ और हर को वही छोड़ दें।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों का गुणन

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का उपयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार किए गए नियम का उपयोग करके, किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से, मिश्रित भिन्न से गुणा करना और मिश्रित भिन्न को भी गुणा करना संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृतिक संख्या को 1 के हर के साथ एक भिन्न के रूप में लिखना होगा, एक मिश्रित भिन्न को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

भिन्न को कम करके और अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग को उजागर करके गुणन के परिणाम को सरल बनाया जाना चाहिए (यदि संभव हो तो)।

भिन्नों के लिए, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के लिए, गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं, साथ ही जोड़ के संबंध में गुणन की वितरणात्मक संपत्ति भी मान्य है।

भिन्नों का विभाजन

भिन्न \(\frac(2)(3) \) लें और अंश और हर की अदला-बदली करके इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2) \) मिलता है। इस अंश को कहा जाता है उलटनाभिन्न \(\frac(2)(3) \).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2) \) को "उलटा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3) \) मिलता है। इसलिए, \(\frac(2)(3) \) और \(\frac(3)(2) \) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर विपरीत.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7)\).

अक्षरों का उपयोग करके, परस्पर व्युत्क्रम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि व्युत्क्रम भिन्नों का गुणनफल 1 होता है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, भिन्नों के विभाजन को गुणा तक कम किया जा सकता है।

भिन्न को भिन्न से विभाजित करने का नियम:
एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

496. पाना एक्स, अगर:

497. 1) यदि आप किसी अज्ञात संख्या का 10 1/2 से 3/10 जोड़ते हैं, तो आपको 13 1/2 मिलता है। कोई अज्ञात नंबर ढूंढें.

2) यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 7/10 में से 10 1/2 घटाते हैं, तो आपको 15 2/5 मिलता है। कोई अज्ञात नंबर ढूंढें.

498 *. यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 3/4 में से 10 घटाते हैं और परिणामी अंतर को 5 से गुणा करते हैं, तो आपको 100 मिलता है। संख्या ज्ञात करें।

499 *. यदि किसी अज्ञात संख्या को 2/3 से बढ़ा दिया जाए, तो आपको 60 प्राप्त होता है। यह संख्या क्या है?

500 *. यदि हम किसी अज्ञात संख्या में समान राशि और 20 1/3 भी जोड़ दें, तो हमें 105 2/5 प्राप्त होता है। कोई अज्ञात नंबर ढूंढें.

501. 1) चौकोर-घोंसला रोपण के साथ आलू की उपज औसतन 150 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर है, और सामान्य रोपण के साथ इस मात्रा का 3/5 है। यदि आलू को वर्गाकार-घोंसला तरीके से लगाया जाए तो 15 हेक्टेयर क्षेत्र से कितने अधिक आलू काटे जा सकते हैं?

2) एक अनुभवी कार्यकर्ता ने 1 घंटे में 18 हिस्से बनाये, और एक अनुभवहीन कार्यकर्ता ने इस राशि का 2/3 भाग बनाया। एक अनुभवी श्रमिक 7 घंटे के कार्य दिवस में कितने और पार्ट्स का उत्पादन कर सकता है?

502. 1) पायनियर भीतर इकट्ठे हुए तीन दिन 56 कि.ग्रा. विभिन्न बीज। पहले दिन कुल मात्रा का 3/14, दूसरे दिन डेढ़ गुना और तीसरे दिन शेष अनाज इकट्ठा किया गया। तीसरे दिन अग्रदूतों ने कितने किलोग्राम बीज एकत्र किये?

2) गेहूं पीसते समय, यह निकला: गेहूं की कुल मात्रा का 4/5 आटा, सूजी - आटे से 40 गुना कम, और बाकी चोकर है। 3 टन गेहूं पीसने पर आपको कितना आटा, सूजी और चोकर अलग-अलग मिला?

503. 1) तीन गैरेज में 460 कारें आ सकती हैं। पहले गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या दूसरे गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या का 3/4 है, और तीसरे गैरेज में 1 1/2 गुना है अधिक कारेंपहले की तुलना में. प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें फिट होंगी?

2) संयंत्र, जिसमें तीन कार्यशालाएँ हैं, 6,000 कर्मचारी कार्यरत हैं। दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम है, और तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का 5/6 है। प्रत्येक दुकान में कितने कर्मचारी हैं?

504. 1) सबसे पहले टैंक से 2/5 केरोसिन डाला गया, फिर कुल का 1/3 केरोसिन डाला गया और उसके बाद टैंक में 8 टन केरोसिन रह गया। टैंक में मूल रूप से कितना मिट्टी का तेल था?

2) साइकिल चालकों ने तीन दिनों तक दौड़ लगाई। पहले दिन उन्होंने पूरी यात्रा का 4/15 भाग तय किया, दूसरे दिन उन्होंने 2/5 भाग तय किया, और तीसरे दिन शेष 100 किमी तय किया। तीन दिनों में साइकिल चालकों ने कितनी दूरी तय की?

505. 1) आइसब्रेकर तीन दिनों तक बर्फ के मैदान से होकर गुजरता रहा। पहले दिन उसने पूरी दूरी का 1/2 भाग, दूसरे दिन शेष दूरी का 3/5 भाग और तीसरे दिन शेष 24 किमी दूरी तय की। तीन दिनों में आइसब्रेकर द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

2) स्कूली बच्चों की तीन टुकड़ियों ने गाँव के भूदृश्य के लिए पेड़ लगाए। पहली टुकड़ी ने सभी पेड़ों में से 7/20 पेड़ लगाए, दूसरी ने शेष पेड़ों में से 5/8 पेड़ लगाए, और तीसरी ने शेष 195 पेड़ लगाए। तीनों टीमों ने कुल कितने पेड़ लगाए?

506. 1) एक कंबाइन हार्वेस्टर ने तीन दिनों में एक भूखंड से गेहूं काटा। पहले दिन उसने भूखंड के कुल क्षेत्रफल के 5/18 भाग से कटाई की, दूसरे दिन शेष क्षेत्र के 7/13 भाग से, और तीसरे दिन शेष क्षेत्र 30 1/2 हेक्टेयर से कटाई की। . प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 20 सेंटीमीटर गेहूं काटा गया। पूरे भूखंड में कितना गेहूँ काटा गया?

2) पहले दिन रैली में भाग लेने वालों ने पूरे पथ का 3/11 भाग, दूसरे दिन शेष पथ का 7/20 भाग, तीसरे दिन नये शेष पथ का 5/13 भाग, और चौथे दिन , शेष 320 कि.मी. रैली का रूट कितना लंबा है?

507. 1) पहले दिन, कार ने पूरी दूरी का 3/8 भाग, दूसरे दिन पहले दिन की दूरी का 15/17 भाग, और तीसरे दिन शेष 200 किमी दूरी तय की। यदि कार 10 किमी की यात्रा के लिए 1 3/5 किलोग्राम गैसोलीन की खपत करती है तो कितना गैसोलीन खर्च हुआ?

2) शहर में चार जिले हैं। और पहले जिले में शहर के सभी निवासियों में से 4/13 लोग रहते हैं, दूसरे में पहले जिले के 5/6 निवासियों में से, तीसरे में पहले जिले के 4/11 निवासियों में रहते हैं; दो जिले संयुक्त हैं, और चौथा जिला 18,000 लोगों का घर है। यदि एक व्यक्ति प्रतिदिन औसतन 500 ग्राम खाता है, तो शहर की पूरी आबादी को 3 दिनों के लिए कितनी रोटी की आवश्यकता है?

508. 1) पर्यटक पहले दिन पूरे रास्ते का 10/31 भाग चला, दूसरे दिन वह पहले दिन का 9/10 भाग चला, और तीसरे दिन वह बाकी का पूरा रास्ता चला, और तीसरे दिन वह 12 भाग चला दूसरे दिन से अधिक किमी. प्रत्येक तीन दिन में पर्यटक कितने किलोमीटर चला?

2) कार ने शहर A से शहर B तक का पूरा सफर तीन दिनों में तय किया। पहले दिन, कार ने पूरी दूरी का 7/20 भाग तय किया, दूसरे दिन, शेष दूरी का 8/13 भाग तय किया, और तीसरे दिन, कार ने पहले दिन की तुलना में 72 किमी कम दूरी तय की। शहर A और B के बीच की दूरी क्या है?

509. 1) कार्यकारी समिति ने जमीन छीन ली तीन के कार्यकर्ताके अंतर्गत कारखाने उद्यान भूखंड. पहले संयंत्र को भूखंडों की कुल संख्या का 9/25, दूसरे संयंत्र को पहले के लिए आवंटित भूखंडों की संख्या का 5/9, और तीसरे को - शेष भूखंड आवंटित किए गए थे। यदि पहले संयंत्र को तीसरे की तुलना में 50 कम भूखंड दिए गए तो तीन कारखानों के श्रमिकों को कितने भूखंड आवंटित किए गए?

2) विमान ने तीन दिनों में मास्को से ध्रुवीय स्टेशन तक शीतकालीन यात्रियों की एक शिफ्ट पहुंचाई। पहले दिन उसने पूरे पथ का 2/5 भाग उड़ाया, दूसरे दिन - पहले दिन के पथ का 5/6 भाग उड़ाया, और तीसरे दिन उसने दूसरे दिन की तुलना में 500 किमी कम उड़ान भरी। तीन दिनों में विमान कितनी दूरी तक उड़ा?

510. 1) संयंत्र में तीन कार्यशालाएँ थीं। पहली कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या संयंत्र के सभी श्रमिकों की 2/5 है; दूसरी कार्यशाला में पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी कार्यशाला में दूसरी की तुलना में 100 अधिक श्रमिक हैं। फैक्ट्री में कितने कर्मचारी हैं?

2) सामूहिक खेत में तीन पड़ोसी गांवों के निवासी शामिल हैं। पहले गाँव में परिवारों की संख्या सामूहिक खेत के सभी परिवारों की 3/10 है; दूसरे गाँव में परिवारों की संख्या पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक है, और तीसरे गाँव में परिवारों की संख्या दूसरे की तुलना में 420 कम है। सामूहिक फार्म पर कितने परिवार हैं?

511. 1) आर्टेल ने पहले सप्ताह में अपने कच्चे माल के स्टॉक का 1/3 और दूसरे में शेष का 1/3 खर्च किया। यदि पहले सप्ताह में कच्चे माल की खपत दूसरे सप्ताह की तुलना में 3/5 टन अधिक थी तो आर्टेल में कितना कच्चा माल बचा है?

2) पहले महीने में घर को गर्म करने के लिए आयातित कोयले का 1/6 हिस्सा खर्च किया गया, और दूसरे महीने में - शेष का 3/8। यदि पहले महीने की तुलना में दूसरे महीने में 1 3/4 अधिक कोयला उपयोग किया गया हो तो घर को गर्म करने के लिए कितना कोयला बचेगा?

512. सामूहिक खेत की संपूर्ण भूमि का 3/5 भाग अनाज बोने के लिए आवंटित किया जाता है, शेष 13/36 भाग पर वनस्पति उद्यानों और घास के मैदानों का कब्जा है, शेष भूमि वनाच्छादित है, और सामूहिक खेत का बोया गया क्षेत्र है वन क्षेत्र से 217 हेक्टेयर अधिक, अनाज बोने के लिए आवंटित भूमि का 1/3 भाग राई बोया जाता है, और बाकी गेहूं बोया जाता है। सामूहिक खेत में कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूँ और कितनी भूमि पर राई बोई गई?

513. 1) ट्राम मार्ग 14 3/8 किमी लंबा है। इस मार्ग के दौरान, ट्राम 18 स्टॉप बनाती है, प्रति स्टॉप औसतन 1 1/6 मिनट तक खर्च करती है। पूरे मार्ग पर ट्राम की औसत गति 12 1/2 किमी प्रति घंटा है। एक ट्राम को एक यात्रा करने में कितना समय लगता है?

2) बस मार्ग 16 कि.मी. इस रूट के दौरान बस 3/4 मिनट के 36 स्टॉप बनाती है। प्रत्येक औसतन. बस की औसत गति 30 किमी प्रति घंटा है। एक बस को एक रूट बनाने में कितना समय लगता है?

514*. 1) अभी 6 बजे हैं. शाम. अतीत से दिन का कौन सा भाग शेष है और दिन का कौन सा भाग शेष है?

2) एक स्टीमबोट 3 दिनों में दो शहरों के बीच धारा के अनुकूल यात्रा करती है। और 4 दिनों में समान दूरी तय कर वापस आ जाएगी। राफ्ट एक शहर से दूसरे शहर तक कितने दिनों तक तैरती रहेगी?

515. 1) एक कमरे में फर्श बिछाने के लिए कितने बोर्डों का उपयोग किया जाएगा जिसकी लंबाई 6 2/3 मीटर, चौड़ाई एच 5 1/4 मीटर है, यदि प्रत्येक बोर्ड की लंबाई 6 2/3 मीटर है, और इसकी चौड़ाई 3 है /लंबाई का 80?

2) एक आयताकार मंच की लंबाई 45 1/2 मीटर है, और इसकी चौड़ाई लंबाई की 5/13 है। यह क्षेत्र 4/5 मीटर चौड़े पथ से घिरा है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

516. माध्य ज्ञात कीजिए अंकगणितीय संख्याएँ:

517. 1) दो संख्याओं 6 1 / 6 का अंकगणितीय माध्य। संख्याओं में से एक 3 3 / 4 . दूसरा नंबर ढूंढें.

2) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 14 1/4 है। इनमें से एक संख्या 15 5 / 6 है। दूसरा नंबर ढूंढें.

518. 1) मालगाड़ी तीन घंटे तक सड़क पर खड़ी रही। पहले घंटे में वह 36 1/2 किमी, दूसरे में 40 किमी और तीसरे में 39 3/4 किमी चला। ट्रेन की औसत गति ज्ञात कीजिए।

2) कार ने पहले दो घंटों में 81 1/2 किमी और अगले 2 1/2 घंटों में 95 किमी की यात्रा की। वह प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर चला?

519. 1) ट्रैक्टर चालक ने जमीन जोतने का काम तीन दिन में पूरा किया। पहले दिन उसने 12 1/2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 15 3/4 हेक्टेयर और तीसरे दिन 14 1/2 हेक्टेयर की जुताई की। एक ट्रैक्टर चालक प्रतिदिन औसतन कितनी हेक्टेयर भूमि जोतता है?

2) स्कूली बच्चों की एक टुकड़ी, तीन दिवसीय पर्यटन यात्रा पर, पहले दिन 6 1/3 घंटे, दूसरे 7 घंटे रास्ते पर थी। और तीसरे दिन, 4 2/3 घंटे। विद्यार्थी प्रतिदिन औसतन कितने घंटे सड़क पर थे?

520. 1) घर में तीन परिवार रहते हैं। अपार्टमेंट में रोशनी के लिए पहले परिवार के पास 3 बल्ब, दूसरे के पास 4 और तीसरे के पास 5 बल्ब हैं। यदि सभी लैंप समान हों और कुल बिजली बिल (पूरे घर के लिए) 7 1/5 रूबल हो, तो प्रत्येक परिवार को बिजली के लिए कितना भुगतान करना चाहिए?

2) पॉलिश करने वाले ने उस अपार्टमेंट में फर्श रगड़ा जहां तीन परिवार रहते थे। पहले परिवार के पास 36 1/2 वर्ग का रहने का क्षेत्र था। मी, 24 1/2 वर्ग में दूसरा। मी, और तीसरा - 43 वर्ग में। मी. पूरे काम के लिए 2 रूबल का भुगतान किया गया था। 08 कोप. प्रत्येक परिवार ने कितना भुगतान किया?

521. 1) बगीचे के भूखंड में, 50 झाड़ियों से आलू काटा गया, एक झाड़ी से 1 1/10 किलोग्राम, 70 झाड़ियों से, एक झाड़ी से 4/5 किलोग्राम, 80 झाड़ियों से, एक झाड़ी से 9/10 किलोग्राम। प्रत्येक झाड़ी से औसतन कितने किलोग्राम आलू काटे जाते हैं?

2) 300 हेक्टेयर क्षेत्र में खेत उगाने वाली एक टीम को प्रति 1 हेक्टेयर 20 1/2 सेंटीमीटर शीतकालीन गेहूं की फसल प्राप्त हुई, 80 हेक्टेयर से 24 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर, और 20 हेक्टेयर से - 28 1/2 सेंटीमीटर प्रति 1 हे. एक ब्रिगेड में 1 हेक्टेयर से औसत उपज कितनी होती है?

522. 1) दो संख्याओं का योग 7 1/2 है। एक संख्या दूसरी से 4 4/5 अधिक है। इन नंबरों को खोजें.

2) यदि आप टाटार्स्की की चौड़ाई और चौड़ाई को व्यक्त करने वाली संख्याओं को जोड़ते हैं केर्च जलडमरूमध्यएक साथ, हमें 11 7/10 किमी मिलता है। तातार जलडमरूमध्य केर्च जलडमरूमध्य से 3 1/10 किमी चौड़ा है। प्रत्येक जलडमरूमध्य की चौड़ाई क्या है?

523. 1) तीन संख्याओं का योग 35 2/3 है। पहला नंबर एक सेकंड से भी ज्यादा 5 1/3 से और तीसरे से 3 5/6 से अधिक। इन नंबरों को खोजें.

2) द्वीप नई पृथ्वी, सखालिन और सेवरनाया ज़ेमल्या मिलकर 196 7/10 हजार वर्ग मीटर के क्षेत्र पर कब्जा करते हैं। किमी. नोवाया ज़ेमल्या का क्षेत्रफल 44 1/10 हजार वर्ग मीटर है। किमी अधिक क्षेत्रफल सेवर्नया ज़ेमल्याऔर 5 1 / 5 हजार वर्ग मीटर. सखालिन के क्षेत्रफल से भी बड़ा किमी. सूचीबद्ध द्वीपों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल क्या है?

524. 1) अपार्टमेंट में तीन कमरे हैं। पहले कमरे का क्षेत्रफल 24 3/8 वर्ग है। मी और अपार्टमेंट के पूरे क्षेत्रफल का 13/36 है। दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 8 1/8 वर्ग है। तीसरे के क्षेत्रफल से अधिक मी. दूसरे कमरे का क्षेत्रफल कितना है?

2) तीन दिवसीय प्रतियोगिता के दौरान पहले दिन साइकिल चालक ने 3 1/4 घंटे की यात्रा की, जो कुल यात्रा समय का 13/43 था। दूसरे दिन उसने तीसरे दिन की तुलना में 1 1/2 घंटा अधिक यात्रा की। प्रतियोगिता के दूसरे दिन साइकिल चालक ने कितने घंटे की यात्रा की?

525. लोहे के तीन टुकड़ों का वजन कुल मिलाकर 17 1/4 किलोग्राम है। यदि पहले टुकड़े का वजन 1 1/2 किलो और दूसरे का वजन 2 1/4 किलो कम कर दिया जाए तो तीनों टुकड़ों का वजन बराबर हो जाएगा। लोहे के प्रत्येक टुकड़े का वजन कितना था?

526. 1) दो संख्याओं का योग 15 1/5 है। यदि पहली संख्या को 3 1/10 से घटा दिया जाए और दूसरी को 3 1/10 से बढ़ा दिया जाए, तो ये संख्याएं बराबर हो जाएंगी। प्रत्येक संख्या किसके बराबर है?

2) दो बक्सों में 38 1/4 किलो अनाज था। यदि 4 3/4 किलोग्राम अनाज एक डिब्बे से दूसरे डिब्बे में डाला जाए तो दोनों डिब्बों में बराबर मात्रा में अनाज होगा। प्रत्येक डिब्बे में कितने अनाज हैं?

527 . 1) दो संख्याओं का योग 17 17/30 है। यदि आप पहली संख्या से 5 1/2 घटाकर दूसरी में जोड़ दें, तो भी पहली संख्या दूसरी से 2 17/30 अधिक होगी। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

2) दो बक्सों में 24 1/4 किलोग्राम सेब हैं। यदि पहले डिब्बे से दूसरे डिब्बे में 3 1/2 किग्रा स्थानांतरित कर दिया जाए, तो भी पहले डिब्बे में दूसरे डिब्बे की तुलना में 3/5 किग्रा अधिक सेब होंगे। प्रत्येक डिब्बे में कितने किलोग्राम सेब हैं?

528 *. 1) दो संख्याओं का योग 8 11/14 है और उनका अंतर 2 3/7 है। इन नंबरों को खोजें.

2) नाव नदी के किनारे 15 1/2 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी, और धारा 8 1/4 किमी प्रति घंटे की गति के विपरीत। नदी की गति क्या है?

529. 1) दो गैरेज में 110 कारें हैं, और उनमें से एक में दूसरे की तुलना में 1 1/5 गुना अधिक कारें हैं। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें हैं?

2) दो कमरों वाले एक अपार्टमेंट का रहने का क्षेत्र 47 1/2 वर्ग है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे कमरे के क्षेत्रफल का 8/11 है। प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

530. 1) तांबे और चांदी से बनी एक मिश्र धातु का वजन 330 ग्राम है। इस मिश्र धातु में तांबे का वजन चांदी के वजन का 5/28 है। मिश्र धातु में कितनी चांदी और कितना तांबा है?

2) दो संख्याओं का योग 6 3/4 है, और भागफल 3 1/2 है। इन नंबरों को खोजें.

531. तीन संख्याओं का योग 22 1/2 है। दूसरी संख्या पहली से 3 1/2 गुना है और तीसरी संख्या पहली से 2 1/4 गुना है। इन नंबरों को खोजें.

532. 1) दो संख्याओं का अंतर 7 है; बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करने का भागफल 5 2/3 है। इन नंबरों को खोजें.

2) दो संख्याओं का अंतर 29 3/8 है, और उनका गुणज अनुपात 8 5/6 है। इन नंबरों को खोजें.

533. एक कक्षा में, अनुपस्थित छात्रों की संख्या उपस्थित छात्रों की संख्या का 3/13 है। सूची के अनुसार कक्षा में कितने छात्र हैं, यदि अनुपस्थित से 20 अधिक लोग उपस्थित हैं?

534. 1) दो संख्याओं का अंतर 3 1 / 5 है। एक संख्या दूसरी संख्या की 5/7 है। इन नंबरों को खोजें.

2) पिता बेटे से बड़ा 24 साल के लिए. पुत्र के वर्षों की संख्या पिता के वर्षों की 5/13 है। पिता की आयु कितनी है और पुत्र की आयु कितनी है?

535. किसी भिन्न का हर उसके अंश से 11 अधिक है। यदि भिन्न का हर, अंश का 3 3/4 गुना है तो भिन्न का मान क्या होगा?

क्रमांक 536-537 मौखिक रूप से।

536. 1) पहली संख्या दूसरी की 1/2 है। दूसरी संख्या पहली से कितनी गुना बड़ी है?

2) पहली संख्या दूसरी की 3/2 है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

537. 1) पहली संख्या का 1/2, दूसरी संख्या के 1/3 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

2) पहली संख्या का 2/3, दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है? दूसरी संख्या का कौन सा भाग पहला है?

538. 1) दो संख्याओं का योग 16 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि दूसरी संख्या का 1/3 पहली संख्या के 1/5 के बराबर है।

2) दो संख्याओं का योग 38 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि पहली संख्या का 2/3 दूसरी संख्या के 3/5 के बराबर है।

539 *. 1) दो लड़कों ने मिलकर 100 मशरूम तोड़े। पहले लड़के द्वारा तोड़े गए मशरूमों की संख्या का 3/8 संख्यात्मक रूप से दूसरे लड़के द्वारा तोड़े गए मशरूमों की संख्या के 1/4 के बराबर है। प्रत्येक लड़के ने कितने मशरूम इकट्ठे किये?

2) संस्था में 27 लोग कार्यरत हैं। यदि सभी पुरुषों का 2/5 सभी महिलाओं के 3/5 के बराबर है तो कितने पुरुष और कितनी महिलाएँ काम करते हैं?

540 *. तीन लड़कों ने एक वॉलीबॉल खरीदा। प्रत्येक लड़के का योगदान निर्धारित करें, यह जानते हुए कि पहले लड़के का 1/2 योगदान दूसरे के योगदान के 1/3 के बराबर है, या तीसरे के योगदान का 1/4 है, और तीसरे का योगदान है लड़के का योगदान पहले के योगदान से 64 कोपेक अधिक है।

541 *. 1) एक संख्या दूसरी से 6 बड़ी है। यदि एक संख्या का 2/5 दूसरी संख्या के 2/3 के बराबर है तो ये संख्याएँ ज्ञात करें।

2) दो संख्याओं का अंतर 35 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए यदि पहली संख्या का 1/3 दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है।

542. 1) पहली ब्रिगेड किसी काम को 36 दिन में पूरा कर सकती है, और दूसरी 45 दिन में। इस कार्य को पूरा करने में दोनों टीमों को एक साथ काम करने में कितने दिन लगेंगे?

2) एक यात्री ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 10 घंटे में तय करती है, और एक मालगाड़ी इस दूरी को 15 घंटे में तय करती है। दोनों ट्रेनें एक ही समय में इन शहरों से एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

543. 1) एक तेज़ ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 6 1/4 घंटे में तय करती है, और एक यात्री ट्रेन 7 1/2 घंटे में तय करती है। यदि ये रेलगाड़ियाँ दोनों शहरों से एक ही समय पर एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करें तो कितने घंटे में मिलेंगी? (निकटतम 1 घंटे तक गोलमोल उत्तर।)

2) दो मोटरसाइकिल सवार एक ही समय में दो शहरों से एक-दूसरे की ओर निकले। एक मोटरसाइकिल चालक इन शहरों के बीच की पूरी दूरी 6 घंटे में और दूसरा 5 घंटे में तय कर सकता है। प्रस्थान के कितने घंटे बाद मोटरसाइकिल चालक मिलेंगे? (निकटतम 1 घंटे तक गोलमोल उत्तर।)

544. 1) अलग-अलग वहन क्षमता की तीन कारें अलग-अलग काम करते हुए कुछ माल ले जा सकती हैं: पहली 10 घंटे में, दूसरी 12 घंटे में। और तीसरा 15 घंटे में, कितने घंटे में वे एक साथ काम करके समान माल ले जा सकते हैं?

2) दो ट्रेनें एक ही समय में दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं: पहली ट्रेन इन स्टेशनों के बीच की दूरी 12 1/2 घंटे में तय करती है, और दूसरी 18 3/4 घंटे में तय करती है। जाने के कितने घंटे बाद ट्रेनें मिलेंगी?

545. 1) स्नानघर से दो नल जुड़े हुए हैं। उनमें से एक के माध्यम से, स्नान 12 मिनट में भरा जा सकता है, दूसरे के माध्यम से 1 1/2 गुना तेजी से। यदि दोनों नल एक साथ खोल दिए जाएं तो पूरे स्नानघर का 5/6 भाग भरने में कितने मिनट लगेंगे?

2) दो टाइपिस्टों को पांडुलिपि को दोबारा टाइप करना होगा। पहली महिला इस काम को 3 1/3 दिन में कर सकती है, और दूसरी 1 1/2 गुना तेजी से कर सकती है। यदि दोनों टाइपिस्ट एक ही समय पर कार्य करें तो कितने दिनों में कार्य पूरा करेंगे?

546. 1) पहले पाइप से पूल 5 घंटे में भर जाता है, और दूसरे पाइप से इसे 6 घंटे में खाली किया जा सकता है। यदि दोनों पाइप एक ही समय में खोले जाएं तो पूरा पूल कितने घंटे में भर जाएगा?

अनुदेश. एक घंटे में, पूल अपनी क्षमता का (1/5 - 1/6) भर जाता है।

2) दो ट्रैक्टरों ने 6 घंटे में खेत की जुताई की। पहला ट्रैक्टर अकेले काम करने पर इस खेत को 15 घंटे में जोत सकता है। दूसरे ट्रैक्टर को अकेले काम करने पर इस खेत को जोतने में कितने घंटे लगेंगे?

547 *. दो रेलगाड़ियाँ एक ही समय में दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं और 18 घंटे के बाद मिलती हैं। इसके रिलीज होने के बाद. यदि पहली ट्रेन इस दूरी को 1 दिन और 21 घंटे में तय करती है तो दूसरी ट्रेन को स्टेशनों के बीच की दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

548 *. पूल दो पाइपों से भरा हुआ है। सबसे पहले, पहला पाइप खोला गया, और फिर 3 3/4 घंटे के बाद, जब आधा पूल भर गया, तो दूसरा पाइप खोला गया। 2 1/2 घंटे बाद संयुक्त कार्यपूल भरा हुआ था. यदि दूसरे पाइप के माध्यम से प्रति घंटे 200 बाल्टी पानी डाला गया तो पूल की क्षमता निर्धारित करें।

549. 1) एक कूरियर ट्रेन लेनिनग्राद से मास्को के लिए रवाना हुई, जो 3/4 मिनट में 1 किमी की यात्रा करती है। इस ट्रेन के प्रस्थान के 1/2 घंटे बाद एक तेज़ ट्रेन मास्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई, जिसकी गति कूरियर की गति की 3/4 के बराबर थी। यदि मॉस्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी है, तो कूरियर ट्रेन के प्रस्थान के 2 1/2 घंटे बाद ट्रेनें एक दूसरे से कितनी दूर होंगी?

2) सामूहिक खेत से शहर तक 24 कि.मी. एक ट्रक सामूहिक फार्म से निकला है और 2 1/2 मिनट में 1 किमी की यात्रा करता है। 15 मिनट के बाद. इस कार के शहर से प्रस्थान के बाद, एक साइकिल चालक ट्रक की गति से आधी गति पर, सामूहिक खेत से निकल गया। निकलने के बाद साइकिल चालक को ट्रक से मिलने में कितना समय लगेगा?

550. 1) एक गाँव से एक पैदल यात्री निकला। पैदल यात्री के जाने के 4 1/2 घंटे बाद, एक साइकिल चालक उसी दिशा में चला गया, जिसकी गति पैदल यात्री की गति से 2 1/2 गुना है। पैदल यात्री के जाने के कितने घंटे बाद साइकिल चालक उससे आगे निकल जाएगा?

2) एक तेज़ ट्रेन 3 घंटे में 187 1/2 किमी की यात्रा करती है, और एक मालगाड़ी 6 घंटे में 288 किमी की यात्रा करती है। मालगाड़ी के प्रस्थान के 7 1/4 घंटे बाद, एक एम्बुलेंस उसी दिशा में निकलती है। तेज़ गति वाली ट्रेन को मालगाड़ी से आगे निकलने में कितना समय लगेगा?

551. 1) दो सामूहिक खेतों से, जहां से जिला केंद्र की सड़क गुजरती है, दो सामूहिक किसान एक ही समय में घोड़े पर सवार होकर जिले के लिए रवाना हुए। उनमें से पहले ने 8 3/4 किमी प्रति घंटे की यात्रा की, और दूसरे ने पहले से 1 1/7 गुना यात्रा की। दूसरे सामूहिक किसान ने 3 4/5 घंटे में पहले को पछाड़ दिया। सामूहिक खेतों के बीच की दूरी निर्धारित करें।

2) मॉस्को-व्लादिवोस्तोक ट्रेन के प्रस्थान के 26 1/3 घंटे बाद, जिसकी औसत गति 60 किमी प्रति घंटा है, टीयू-104 विमान ने उसी दिशा में 14 1/6 गुना गति से उड़ान भरी। ट्रेन का. उड़ान के कितने घंटे बाद विमान ट्रेन से आगे निकल जाएगा?

552. 1) नदी के किनारे के शहरों के बीच की दूरी 264 किमी है। यह दूरी स्टीमर ने धारा के अनुकूल 18 घंटे में तय की, इस समय का 1/12 समय स्टॉप पर खर्च किया। नदी की गति 1 1/2 किमी प्रति घंटा है. एक स्टीमर को शांत पानी में बिना रुके 87 किमी की यात्रा करने में कितना समय लगेगा?

2) मोटरबोट ने 13 1/2 घंटे में धारा के अनुकूल 207 किमी की यात्रा की, उस समय का 1/9 समय रुकने में बिताया। नदी की गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है। यह नाव 2 1/2 घंटे में शांत पानी में कितने मील की यात्रा कर सकती है?

553. जलाशय पर नाव ने 52 किमी की दूरी बिना रुके 3 घंटे 15 मिनट में तय की। इसके अलावा, धारा के विपरीत नदी में चलते हुए, जिसकी गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है, इस नाव ने 2 1/4 घंटे में 28 1/2 किमी की यात्रा की, इस प्रक्रिया में 3 बराबर स्टॉप बनाए। प्रत्येक पड़ाव पर नाव कितने मिनट रुकी?

554. दोपहर 12 बजे लेनिनग्राद से क्रोनस्टेड तक। अगले दिन एक स्टीमबोट निकली और इन शहरों के बीच की पूरी दूरी 1 1/2 घंटे में तय की। रास्ते में, उनकी मुलाकात एक और स्टीमर से हुई जो 12:18 पर क्रोनस्टेड से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई। और पहले से 1 1/4 गुना अधिक गति से चलना। दोनों जहाज किस समय मिले?

555. ट्रेन को 14 घंटे में 630 किलोमीटर की दूरी तय करनी थी. इस दूरी का 2/3 भाग तय करने के बाद, उन्हें 1 घंटा 10 मिनट की देरी हुई। बिना किसी देरी के अपने गंतव्य तक पहुंचने के लिए उसे किस गति से अपनी यात्रा जारी रखनी चाहिए?

556. 4 बजकर 20 मिनट पर. सुबह एक मालगाड़ी कीव से ओडेसा के लिए रवाना हुई औसत गति 31 1/5 किमी प्रति घंटा। कुछ समय बाद, एक मेल ट्रेन ओडेसा से मिलने के लिए रवाना हुई, जिसकी गति मालगाड़ी की गति से 1 17/39 गुना थी, और उसके प्रस्थान के 6 1/2 घंटे बाद मालगाड़ी से मिली। यदि कीव और ओडेसा के बीच की दूरी 663 किमी है तो डाक ट्रेन ओडेसा से किस समय रवाना हुई?

557*. घड़ी दोपहर दिखाती है। घंटे और मिनट की सूइयां एक समान होने में कितना समय लगता है?

558. 1) फैक्ट्री में तीन वर्कशॉप हैं। पहली कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या संयंत्र के सभी श्रमिकों की संख्या 9/20 है, दूसरी कार्यशाला में पहले की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या 300 से कम है दूसरा। फैक्ट्री में कितने कर्मचारी हैं?

2) शहर में तीन माध्यमिक विद्यालय हैं। पहले स्कूल में छात्रों की संख्या इन तीन स्कूलों के सभी छात्रों की संख्या 3/10 है; दूसरे स्कूल में पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक छात्र हैं, और तीसरे स्कूल में दूसरे की तुलना में 420 छात्र कम हैं। तीनों स्कूलों में कितने छात्र हैं?

559. 1) दो कंबाइन ऑपरेटर एक ही साइट पर काम करते थे। एक कंबाइनर द्वारा पूरे क्षेत्र का 9/16 भाग और दूसरे कंबाइनर द्वारा उसी क्षेत्र का 3/8 भाग काटने के बाद, यह पता चला कि पहले कंबाइनर ने दूसरे की तुलना में 97 1/2 हेक्टेयर अधिक कटाई की। औसतन, प्रत्येक हेक्टेयर से 32 1/2 सेंटीमीटर अनाज काटा गया। प्रत्येक ने कितने क्विंटल अनाज मिलाया?

2) दो भाइयों ने एक कैमरा खरीदा। एक के पास 5/8 था, और दूसरे के पास कैमरे की लागत का 4/7 था, और पहले के पास 2 रूबल थे। 25 कोप. दूसरे से भी ज्यादा. प्रत्येक ने उपकरण की आधी कीमत का भुगतान किया। प्रत्येक के पास कितना पैसा है?

560. 1) शहर A से शहर B तक, उनके बीच की दूरी 215 किमी है, एक कार 50 किमी प्रति घंटे की गति से निकली। उसी समय, उसने शहर B को शहर A के लिए छोड़ दिया भाड़े की गाड़ी. यदि ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति की 18/25 थी तो ट्रक से मिलने से पहले कार ने कितने किलोमीटर की यात्रा की?

2) शहर A और B के बीच 210 किमी. एक कार शहर A से शहर B के लिए रवाना हुई। उसी समय, एक ट्रक शहर B से शहर A के लिए रवाना हुआ। यदि कार 48 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी, और ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति का 3/4 थी, तो कार से मिलने से पहले ट्रक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की?

561. सामूहिक खेत में गेहूं और राई की कटाई की जाती थी। राई से 20 हेक्टेयर अधिक गेंहू बोया गया। सामान्य शुल्कगेहूं की कुल फसल में राई की मात्रा 5/6 थी, जबकि गेहूं और राई दोनों के लिए प्रति 1 हेक्टेयर में 20 सेंटीमीटर की उपज थी। सामूहिक खेत ने गेहूं और राई की पूरी फसल का 7/11 हिस्सा राज्य को बेच दिया, और बाकी अनाज अपनी जरूरतों को पूरा करने के लिए छोड़ दिया। राज्य को बेचे गए अनाज को बाहर ले जाने के लिए दो टन के ट्रकों को कितनी यात्राएँ करनी पड़ीं?

562. राई और गेहूं का आटा बेकरी में लाया गया। गेहूं के आटे का वजन राई के आटे के वजन का 3/5 था, और राई का आटा गेहूं से 4 टन अधिक लाया गया था। बेकरी द्वारा इस आटे से कितना गेहूं और कितनी राई की रोटी पकाई जाएगी, यदि पके हुए माल में कुल आटे का 2/5 हिस्सा है?

563. तीन दिनों के भीतर, श्रमिकों की एक टीम ने दो सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की मरम्मत के पूरे काम का 3/4 पूरा कर लिया। पहले दिन, इस राजमार्ग के 2 2/5 किमी की मरम्मत की गई, दूसरे दिन पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक, और तीसरे दिन पहले दो दिनों की तुलना में 5/8 की मरम्मत की गई। सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

564. तालिका में रिक्त स्थान भरें, जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है, ए- आयत का आधार, ए एच-आयत की ऊँचाई (चौड़ाई)।

565. 1) भूमि के एक आयताकार भूखंड की लंबाई 120 मीटर है, और भूखंड की चौड़ाई इसकी लंबाई का 2/5 है। भूखण्ड की परिधि एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

2) आयताकार खंड की चौड़ाई 250 मीटर है, और इसकी लंबाई चौड़ाई का 1 1/2 गुना है। भूखण्ड की परिधि एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

566. 1) आयत का परिमाप 6 1/2 डीएम है, इसका आधार 1/4 डीएम है अधिक ऊंचाई. इस आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

2) एक आयत का परिमाप 18 सेमी है, इसकी ऊंचाई आधार से 2 1/2 सेमी कम है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

567. चित्र 30 में दिखाए गए आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करें, उन्हें आयतों में विभाजित करें और माप द्वारा आयत के आयाम ज्ञात करें।

568. 1) एक कमरे की छत को ऊपर उठाने के लिए सूखे प्लास्टर की कितनी शीट की आवश्यकता होगी, जिसकी लंबाई 4 1/2 मीटर और चौड़ाई 4 मीटर है, यदि प्लास्टर शीट का आयाम 2 एम x एल 1/2 मीटर है?

2) 4 1/2 मीटर लंबा और 3 1/2 मीटर चौड़ा फर्श बिछाने के लिए 4 1/2 लीटर लंबे और 1/4 मीटर चौड़े कितने बोर्ड की आवश्यकता होगी?

569. 1) 560 मीटर लंबे और 3/4 लंबाई चौड़े एक आयताकार भूखंड में फलियाँ बोई गईं। यदि प्रति 1 हेक्टेयर में 1 सेंटनर बोया गया हो तो खेत में बोने के लिए कितने बीजों की आवश्यकता होगी?

2) एक आयताकार खेत से 25 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर की दर से गेहूं की फसल काटी गई। यदि खेत 800 मीटर लम्बा और 3/8 लम्बाई चौड़ा है तो पूरे खेत से कितना गेहूँ काटा गया?

570 . 1) भूमि का एक आयताकार भूखंड, जिसकी लंबाई 78 3/4 मीटर और चौड़ाई 56 4/5 मीटर है, इस प्रकार बनाया गया है कि इसके 4/5 क्षेत्र पर इमारतों का कब्जा है। भवनों के नीचे भूमि का क्षेत्रफल निर्धारित करें।

2) भूमि के एक आयताकार भूखंड पर, जिसकी लंबाई 9/20 किमी है, और चौड़ाई इसकी लंबाई की 4/9 है, सामूहिक खेत एक बगीचा लगाने का प्रस्ताव करता है। इस उद्यान में कितने पेड़ लगाए जाएंगे, यदि प्रत्येक पेड़ के लिए औसतन 36 वर्ग मीटर क्षेत्र की आवश्यकता है?

571. 1) कमरे की सामान्य दिन की रोशनी के लिए यह आवश्यक है कि सभी खिड़कियों का क्षेत्रफल फर्श क्षेत्र का कम से कम 1/5 हो। निर्धारित करें कि क्या 5 1/2 मीटर लंबे और 4 मीटर चौड़े कमरे में पर्याप्त रोशनी है। क्या कमरे में 1 1/2 मीटर x 2 मीटर मापने वाली एक खिड़की है?

2) पिछली समस्या की स्थिति का उपयोग करते हुए पता लगाएं कि क्या आपकी कक्षा में पर्याप्त रोशनी है।

572. 1) खलिहान का माप 5 1/2 मीटर x 4 1/2 मीटर x 2 1/2 मीटर है। मी घास का वजन 82 किलो है?

2) लकड़ी के ढेर का आकार एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जैसा है, जिसका आयाम 2 1/2 मीटर x 3 1/2 मीटर x 1 1/2 मीटर है। लकड़ी के ढेर का वजन कितना होगा यदि 1 घन मीटर है। मी जलाऊ लकड़ी का वजन 600 किलोग्राम है?

573. 1) एक आयताकार मछलीघर ऊंचाई के 3/5 भाग तक पानी से भरा हुआ है। एक्वेरियम की लंबाई 1 1/2 मीटर, चौड़ाई 4/5 मीटर, ऊंचाई 3/4 मीटर है। एक्वेरियम में कितने लीटर पानी डाला जाता है?

2) आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार वाले इस पूल की लंबाई 6 1/2 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर और ऊंचाई 2 मीटर है। पूल अपनी ऊंचाई के 3/4 तक पानी से भरा हुआ है। पूल में डाले गए पानी की मात्रा की गणना करें।

574. 75 मीटर लंबे और 45 मीटर चौड़े एक आयताकार भूमि के टुकड़े के चारों ओर एक बाड़ बनाई जानी है। यदि बोर्ड की मोटाई 2 1/2 सेमी है और बाड़ की ऊंचाई 2 1/4 मीटर है तो उसके उपकरण में कितने घन मीटर बोर्ड लगने चाहिए?

575. 1) मिनट का कोण क्या है और घड़ी में घंटे की सूई 13 बजे? 15 बजे? 17 बजे? 21 बजे? 23:30 पर?

2) घंटे की सुई 2 घंटे में कितने डिग्री घूमेगी? पांच बजे? आठ बजे? 30 मिनट।?

3) आधे वृत्त के बराबर चाप में कितने अंश होते हैं? 1/4 वृत्त? 1/24 वृत्त? 5/24 वृत्त?

576. 1) चांदे से चित्र बनाएं: क) एक समकोण; बी) 30° का कोण; ग) 60° का कोण; घ) 150° का कोण; ई) 55° का कोण।

2) चांदे से आकृति के कोणों को मापें और प्रत्येक आकृति के सभी कोणों का योग ज्ञात करें (चित्र 31)।

577. क्रियाएँ चलाएँ:

578. 1) एक अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 100° बड़ा है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

2) एक अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 15° छोटा है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

3) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से दोगुना है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

4) अर्धवृत्त दो चापों में विभाजित है, जिनमें से एक दूसरे से 5 गुना छोटा है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

579. 1) चार्ट "यूएसएसआर में जनसंख्या की साक्षरता" (चित्र 32) जनसंख्या के प्रति सौ लोगों पर साक्षरों की संख्या दर्शाता है। आरेख और उसके पैमाने के अनुसार, प्रत्येक संकेतित वर्ष के लिए साक्षर पुरुषों और महिलाओं की संख्या निर्धारित करें।

परिणामों को एक तालिका में रिकॉर्ड करें:

2) "अंतरिक्ष में सोवियत दूत" (चित्र 33) आरेख के डेटा का उपयोग करके, कार्य बनाएं।

580. 1) सेक्टर आरेख "कक्षा V के छात्र के लिए दैनिक दिनचर्या" (चित्र 34) के अनुसार, तालिका भरें और प्रश्नों के उत्तर दें: दिन का कौन सा भाग सोने के लिए समर्पित है? गृहकार्य के लिए? स्कूल को?

2) अपने दिन के तरीके के बारे में एक पाई चार्ट बनाएं।

अंश, और जिससे इसे विभाजित किया जाता है वह हर है।

भिन्न लिखने के लिए सबसे पहले उसका अंश लिखें, फिर इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें और रेखा के नीचे हर लिखें। अंश और हर को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा को भिन्नात्मक पट्टी कहा जाता है। कभी-कभी इसे तिरछे "/" या "∕" के रूप में दर्शाया जाता है। इस मामले में, अंश को पंक्ति के बाईं ओर और हर को दाईं ओर लिखा जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न "दो-तिहाई" को 2/3 के रूप में लिखा जाएगा। स्पष्टता के लिए, अंश आमतौर पर पंक्ति के शीर्ष पर लिखा जाता है, और हर नीचे, यानी 2/3 के बजाय, आप पा सकते हैं: ⅔।

भिन्नों का गुणनफल निकालने के लिए सबसे पहले एक के अंश को गुणा करें अंशोंदूसरे अंश को. परिणाम को नये के अंश में लिखें अंशों. फिर हरों को भी गुणा करें। नए में अंतिम मान निर्दिष्ट करें अंशों. उदाहरण के लिए, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)।

एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, पहले पहले के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें। दूसरे भिन्न (भाजक) के साथ भी ऐसा ही करें। या, सभी चरणों को करने से पहले, यदि यह आपके लिए अधिक सुविधाजनक है, तो पहले भाजक को "फ्लिप" करें: अंश के स्थान पर हर होना चाहिए। फिर लाभांश के हर को भाजक के नए हर से गुणा करें और अंशों को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)।

स्रोत:

• भिन्नों के लिए बुनियादी कार्य

भिन्नात्मक संख्याएँ आपको किसी मात्रा का सटीक मान विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने की अनुमति देती हैं। भिन्नों के साथ, आप पूर्णांकों के समान ही गणितीय कार्य कर सकते हैं: घटाव, जोड़, गुणा और भाग। निर्णय लेना सीखें अंशों, उनकी कुछ विशेषताओं को याद रखना आवश्यक है। वे प्रकार पर निर्भर करते हैं अंशों, एक पूर्णांक भाग की उपस्थिति, एक सामान्य हर। निष्पादन के बाद कुछ अंकगणितीय परिचालनों को परिणाम के आंशिक भाग में कमी की आवश्यकता होती है।

आपको चाहिये होगा

• - कैलकुलेटर

अनुदेश

संख्याओं को ध्यान से देखें. यदि भिन्नों के बीच दशमलव और अनियमितताएं हैं, तो कभी-कभी पहले दशमलव के साथ क्रिया करना और फिर उन्हें गलत रूप में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक होता है। क्या तुम अनुवाद कर सकते हो अंशोंइस रूप में प्रारंभ में अंश में दशमलव बिंदु के बाद मान लिखना और हर में 10 लगाना। यदि आवश्यक हो, तो ऊपर और नीचे की संख्याओं को एक विभाजक से विभाजित करके भिन्न को कम करें। जिन भिन्नों में पूरा भाग स्पष्ट दिखता है, उन्हें हर से गुणा करने और परिणाम में अंश जोड़ने से गलत रूप बन जाता है। यह मान नया अंश बन जाएगा अंशों. प्रारंभ में ग़लत से पूरा भाग निकालने के लिए अंशों, अंश को हर से विभाजित करें। से पूरा परिणाम लिखें अंशों. और भाग का शेष भाग नया अंश, हर बन जाता है अंशोंजबकि नहीं बदल रहा है. पूर्णांक भाग वाले भिन्नों के लिए, अलग-अलग क्रियाएं करना संभव है, पहले पूर्णांक के लिए और फिर भिन्नात्मक भागों के लिए। उदाहरण के लिए, 1 2/3 और 2 ¾ के योग की गणना की जा सकती है:
- भिन्नों को ग़लत रूप में परिवर्तित करना:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- पदों के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग योग:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

उन्हें विभाजक ":" के माध्यम से फिर से लिखें और सामान्य विभाजन जारी रखें।

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंश और हर को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके परिणामी अंश को कम करें, जो कि अधिकतम संभव हो इस मामले में. इस स्थिति में, रेखा के ऊपर और नीचे पूर्णांक संख्याएँ होनी चाहिए।

टिप्पणी

भिन्न-भिन्न हर वाले भिन्नों के साथ अंकगणित न करें। ऐसी संख्या चुनें कि जब प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाए, तो परिणामस्वरुप दोनों भिन्नों के हर बराबर हों।

मददगार सलाह

भिन्नात्मक संख्याएँ लिखते समय लाभांश रेखा के ऊपर लिखा जाता है। इस मात्रा को भिन्न का अंश कहा जाता है। रेखा के नीचे भिन्न का भाजक या हर लिखा होता है। उदाहरण के लिए, डेढ़ किलोग्राम चावल को अंश के रूप में इस प्रकार लिखा जाएगा: 1 ½ किलोग्राम चावल। यदि किसी भिन्न का हर 10 है, तो उसे दशमलव भिन्न कहा जाता है। इस मामले में, अंश (लाभांश) को अल्पविराम से अलग किए गए पूरे भाग के दाईं ओर लिखा जाता है: 1.5 किलो चावल। गणना की सुविधा के लिए, ऐसे अंश को हमेशा गलत रूप में लिखा जा सकता है: 1 2/10 किलो आलू। सरल बनाने के लिए, आप अंश और हर के मानों को एक पूर्ण संख्या से विभाजित करके कम कर सकते हैं। में यह उदाहरण 2 से विभाजित करना संभव है। परिणाम 1 1/5 किलो आलू होगा। सुनिश्चित करें कि जिन संख्याओं से आप अंकगणित करने जा रहे हैं वे एक ही रूप में हों।

भिन्नों का गुणन और विभाजन.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह क्रिया जोड़-घटाने से कहीं अधिक अच्छी है! क्योंकि यह आसान है. मैं आपको याद दिलाता हूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। वह है:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य विभाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, यानी:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों से गुणा या भाग पकड़ में आ जाए तो कोई बात नहीं। जोड़ की तरह, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाते हैं - और चलते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-मंजिला (या यहां तक ​​कि चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! निस्संदेह, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला हिस्से में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

फर्क महसूस करो? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करो. और यदि कोई कोष्ठक या डैश नहीं है, जैसे:

फिर बांटो-गुणा करो क्रम में, बाएँ से दाएँ!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री वाले कार्यों में यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

गोली पलट गई! और यह हमेशा होता है. 1 को किसी भी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा होता है।

भिन्नों के साथ बस इतनी ही क्रियाएँ हैं। बात बिल्कुल सरल है, लेकिन जरूरत से ज्यादा त्रुटियां देती है। टिप्पणी प्रायोगिक उपकरण, और वे (त्रुटियाँ) कम होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं हैं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाएँ एकाग्रता और स्पष्टता के साथ एक पूर्ण कार्य के रूप में करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ी करने से बेहतर है कि ड्राफ्ट में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।

2. उदाहरणों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम कर देते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सामान्य बनाते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम अपने मन में इकाई को भिन्न में विभाजित करते हैं, बस भिन्न को पलट कर।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करना है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरण सही ढंग से हल कर सके। पहली बार! बिना कैलकुलेटर के! और सही निष्कर्ष निकालें...

सही उत्तर याद रखें दूसरी (विशेषकर तीसरी) बार से प्राप्त - गिनती नहीं!ऐसा ही कठोर जीवन है.

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे, यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जाँच करते हैं, हम निम्नलिखित हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहले से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन केवल तबउत्तरों को देखो.

गणना करें:

क्या आपने तय किया?

ऐसे उत्तर खोज रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने विशेष रूप से उन्हें प्रलोभन से दूर, गड़बड़ी में लिखा था, ऐसा कहने के लिए ... यहाँ वे हैं, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। यदि सब कुछ ठीक रहा - तो आपके लिए ख़ुशी की बात है! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणनाएँ आपकी समस्या नहीं हैं! आप अधिक गंभीर कार्य कर सकते हैं. अगर नहीं...

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यह आलेख भिन्नों के साथ संक्रियाओं पर एक सामान्य नज़र डालता है। यहां हम जोड़, घटाव, गुणा, भाग और सामान्य रूप ए/बी के भिन्नों की घात तक बढ़ाने के नियम बनाते हैं और उन्हें उचित ठहराते हैं, जहां ए और बी कुछ संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्ति या चर के साथ अभिव्यक्ति हैं। हमेशा की तरह, हम समाधानों के विस्तृत विवरण के साथ व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री प्रदान करेंगे।

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सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

आइए संख्याओं पर सहमत हों सामान्य रूप से देखेंउन भिन्नों को समझें जिनमें अंश और/या हर को न केवल प्राकृतिक संख्याओं द्वारा, बल्कि अन्य संख्याओं या संख्यात्मक अभिव्यक्तियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। स्पष्टता के लिए, यहां ऐसे भिन्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . उन्हीं नियमों के अनुसार, आप सामान्य रूप के भिन्नों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों का औचित्य

सामान्य संख्यात्मक भिन्नों के साथ कार्य करने के नियमों की वैधता को उचित ठहराने के लिए, निम्नलिखित बिंदुओं से शुरुआत की जा सकती है:

• भिन्नात्मक बार मूलतः एक विभाजन चिह्न है,
• किसी गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा के रूप में माना जा सकता है (यह तुरंत नियम की व्याख्या करता है) भिन्नों का विभाजन),
• वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्यीकृत समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं जो समान और भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने, घटाने के नियमों के साथ-साथ भिन्नों को गुणा करने के नियम को उचित ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार सामान्य रूप के भिन्नों के साथ एक क्रिया करने के उदाहरण दें। आइए तुरंत कहें कि आमतौर पर, भिन्नों के साथ संचालन करने के बाद, परिणामी भिन्न को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और भिन्न को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर पिछली क्रियाओं को करने की तुलना में अधिक कठिन होती है। हम भिन्नों के सरलीकरण पर ध्यान नहीं देंगे (संबंधित परिवर्तनों की चर्चा भिन्नों के परिवर्तन लेख में की गई है), ताकि हम उस विषय से विचलित न हों जिसमें हम रुचि रखते हैं।

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरुआत करें। आइए भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें। जाहिर है हर बराबर हैं. संगत नियम के अनुसार, हम उस भिन्न को लिखते हैं जिसका अंश है योग के बराबर हैमूल भिन्नों के अंश, और हर को वही छोड़ दें, हमारे पास है। जोड़ हो गया है, परिणामी भिन्न को सरल बनाना बाकी है: . इसलिए, .

निर्णय को अलग तरीके से लागू करना संभव था: पहले, साधारण भिन्नों में परिवर्तन करें, और फिर जोड़ लगाएं। इस दृष्टिकोण के साथ, हमारे पास है .

अब भिन्न में से घटाएँ अंश . भिन्नों के हर बराबर होते हैं, इसलिए, हम समान हर वाली भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार कार्य करते हैं:

आइए अलग-अलग हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर आगे बढ़ें। यहां मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने में है। सामान्य रूप के भिन्नों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम एक अलग लेख में इसका विस्तार से विश्लेषण करेंगे। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना. आइए अब हम अपने आप को एक जोड़े तक ही सीमित रखें सामान्य सिफ़ारिशें, क्योंकि इस पलहम भिन्नों के साथ संक्रियाएँ निष्पादित करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, यह प्रक्रिया साधारण भिन्नों के एक सामान्य हर को घटाने के समान है। अर्थात्, हरों को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड ले लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

जब जोड़े गए या घटाए गए अंशों के हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं, तो उनके उत्पाद को एक सामान्य हर के रूप में लेना तर्कसंगत है। चलिए एक उदाहरण लेते हैं.

मान लीजिए कि हमें भिन्न और 1/2 जोड़ने की आवश्यकता है। यहां, एक सामान्य हर के रूप में, मूल भिन्नों के हरों का गुणनफल लेना तर्कसंगत है, अर्थात। इस स्थिति में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर भिन्न का रूप प्राप्त हो जाएगा। तथा दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड व्यंजक है। इसकी सहायता से भिन्न को 1/2 के रूप में घटाया जाता है। यह समान हर वाले परिणामी भिन्नों को जोड़ने के लिए बना हुआ है। यहां संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

सामान्य रूप के भिन्नों के मामले में, हम अब सबसे छोटे सामान्य हर के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें साधारण भिन्न आमतौर पर कम हो जाते हैं। हालाँकि इस मामले में कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना अभी भी वांछनीय है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को तुरंत एक सामान्य हर के रूप में लेना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, भिन्नों और गुणनफल का उभयनिष्ठ हर लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहां, एक सामान्य विभाजक के रूप में, हम ले सकते हैं।

हम सामान्य रूप के भिन्नों के गुणन के उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। भिन्नों को गुणा करें तथा . इस क्रिया को करने का नियम हमें एक भिन्न लिखने के लिए कहता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल है, और हर हरों का गुणनफल है। अपने पास . यहां, भिन्नों को गुणा करते समय कई अन्य मामलों की तरह, आप भिन्न को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा की ओर बढ़ने की अनुमति देता है। यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को स्वैप करना होगा। यहां सामान्य भिन्नों को विभाजित करने से गुणन तक संक्रमण का एक उदाहरण दिया गया है: . यह गुणा करना और परिणामी अंश को सरल बनाना बाकी है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ की जानकारी को समाप्त करते हुए, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को एक हर 1 के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, एक संख्या और एक अंश के जोड़, घटाव, गुणा और भाग को संबंधित क्रिया को निष्पादित करने के रूप में माना जा सकता है भिन्न, जिनमें से एक के हर में एक इकाई होती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना तीन भिन्नों का मूल, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करने से लेकर दो भिन्नों को गुणा करने तक आगे बढ़ेंगे: .

चर वाले भिन्नों के साथ संचालन करना

इस आलेख के पहले भाग के नियम उन भिन्नों के साथ संचालन करने पर भी लागू होते हैं जिनमें चर होते हैं। आइए हम उनमें से पहले को उचित ठहराएँ - समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम साबित करें कि किसी भी अभिव्यक्ति ए, सी और डी (डी बिल्कुल गैर-शून्य है) के लिए हमारे पास समानता है चरों के स्वीकार्य मानों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से वेरिएबल का कुछ सेट लें। चरों के इन मानों के लिए अभिव्यक्ति A , C और D को a 0 , c 0 और d 0 मान लेने दें। फिर चयनित सेट से चर के मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह फॉर्म के समान हर के साथ संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में बदल जाता है, जो, संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार होता है समान हर, के बराबर है। लेकिन चयनित सेट से चर के मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह उसी अंश में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, अभिव्यक्तियों के मान समान हैं। यह स्पष्ट है कि संकेतित अभिव्यक्तियों के मान ODZ से चर के मानों के किसी भी अन्य सेट के लिए समान होंगे, जिसका अर्थ है कि अभिव्यक्तियाँ और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चर के साथ भिन्नों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब जोड़े या घटाए जा रहे भिन्नों के हर समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है, और हर वही रहता है। स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश को यदि आवश्यक एवं संभव हो तो सरल बनाया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी भिन्नों के हर केवल पहली नज़र में भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान अभिव्यक्ति होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, और , या और . और कभी-कभी यह प्रारंभिक भिन्नों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान हर "प्रकट" हों।

उदाहरण।

, बी) , वी) .

समाधान।

a) हमें समान हर वाली भिन्नों को घटाना होगा। संबंधित नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ देते हैं और अंशों को घटा देते हैं, जो हमारे पास हैं . कार्रवाई हो गई. लेकिन आप अभी भी अंश में कोष्ठक खोल सकते हैं और समान पद ला सकते हैं: .

बी) जाहिर है, जोड़े गए भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंशों को जोड़ते हैं, और हर को वही छोड़ देते हैं:। जोड़ पूरा हुआ. लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी अंश को कम किया जा सकता है। दरअसल, परिणामी भिन्न के अंश को योग के वर्ग से (lgx+2) 2 के रूप में घटाया जा सकता है (संक्षिप्त गुणन सूत्र देखें), इसलिए निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

ग) योग में भिन्न अलग-अलग हर हैं। लेकिन, भिन्नों में से किसी एक को परिवर्तित करके, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाते हैं.

पहला तरीका. पहले भिन्न के हर को वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है, और फिर इस भिन्न को कम किया जा सकता है: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में अतार्किकता से छुटकारा पाने में कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका. दूसरे अंश के अंश और हर को गुणा करना (यह अभिव्यक्ति मूल अभिव्यक्ति के लिए DPV से चर x के किसी भी मान के लिए गायब नहीं होती है) आपको एक साथ दो लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देती है: अतार्किकता से छुटकारा पाएं और जोड़ने के लिए आगे बढ़ें समान हर वाली भिन्नें। अपने पास

उत्तर:

ए) , बी) , वी) .

अंतिम उदाहरणहमें भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के प्रश्न पर लाया। वहां, हम लगभग गलती से एक ही हर तक पहुंच गए, जिससे जोड़े गए भिन्नों में से एक को सरल बना दिया गया। लेकिन ज्यादातर मामलों में, अलग-अलग हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय, व्यक्ति को जानबूझकर भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना पड़ता है। ऐसा करने के लिए, भिन्नों के हरों को आमतौर पर उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, सभी कारकों को पहले भिन्न के हर से लिया जाता है, और दूसरे भिन्न के हर से गायब कारकों को उनमें जोड़ा जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रियाएँ करें: a) , बी) , सी) .

समाधान।

a) भिन्नों के हर के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक सामान्य विभाजक के रूप में, हम उत्पाद लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं, जो हमें वह कार्य करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है

बी) इस उदाहरण में, हर को पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया गया है, और किसी अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, हर में गुणनखंड केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य हर के रूप में, हम सबसे बड़े घातांक वाले गुणनखंडों का गुणनफल लेते हैं, अर्थात, . तब पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड x 4 होगा, और दूसरे के लिए - ln(x+1) होगा। अब हम भिन्न घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, आरंभ करने के लिए, हम भिन्नों के हर के साथ काम करेंगे। वर्गों और योग के वर्ग के अंतर के सूत्र आपको मूल योग से अभिव्यक्ति तक जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर:

ए)

बी)

वी)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होती है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है, और हर हरों का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम हो जाता है। इन मामलों में, इसे कम कर दिया जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।