आसन्न कोण क्या हैं? किन कोणों को आसन्न कहा जाता है? दो आसन्न कोणों का योग कितना होता है?

अध्याय 1।

बुनियादी अवधारणाओं।

§ग्यारह। आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण.

1. आसन्न कोने।

यदि हम किसी कोने की भुजा को उसके शीर्ष से आगे जारी रखें, तो हमें दो कोने मिलेंगे (चित्र 72): / एक सूरज और / एसवीडी, जिसमें एक तरफ बीसी उभयनिष्ठ है, और अन्य दो एबी और बीडी एक सीधी रेखा बनाते हैं।

दो कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोण कहलाते हैं।

आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा (किसी दी गई सीधी रेखा पर नहीं) के किसी बिंदु से एक किरण खींचते हैं, तो हमें आसन्न कोण मिलते हैं।
उदाहरण के लिए, / एडीएफ और / FDВ - आसन्न कोने (चित्र 73)।

आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार की स्थितियाँ हो सकती हैं (चित्र 74)।

आसन्न कोणों का योग एक सीधे कोण में होता है, इसलिए दो आसन्न कोणों का उम्मा है 2डी।

इसलिए, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

किसी एक आसन्न कोण का मान जानकर हम दूसरे आसन्न कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोणों में से एक 3/5 है डी, तो दूसरा कोण बराबर होगा:

2डी- 3 / 5 डी= एल 2/5 डी.

2. ऊर्ध्वाधर कोण.

यदि हम किसी कोण की भुजाओं को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोण मिलते हैं। चित्र 75 में, कोण EOF और AOC ऊर्ध्वाधर हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

होने देना / 1 = 7 / 8 डी(चित्र 76)। उससे सटा हुआ / 2, 2 के बराबर होगा डी- 7 / 8 डी, अर्थात 1 1/8 डी.

उसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि क्या बराबर हैं / 3 और / 4.
/ 3 = 2डी - 1 1 / 8 डी = 7 / 8 डी; / 4 = 2डी - 7 / 8 डी = 1 1 / 8 डी(चित्र 77)।

हमने देखा कि / 1 = / 3 और / 2 = / 4.

आप इसी तरह की कई और समस्याओं को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलेगा: ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हालाँकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर हों, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के गुण की वैधता को तर्क द्वारा, प्रमाण द्वारा सत्यापित करना आवश्यक है।

प्रमाण इस प्रकार किया जा सकता है (चित्र 78):

/ एक +/ सी = 2डी;
/ बी+/ सी = 2डी;

(चूँकि आसन्न कोणों का योग 2 है डी).

/ एक +/ सी = / बी+/ सी

(चूँकि इस समानता का बायाँ भाग 2 के बराबर है डी, और इसका दाहिना भाग भी 2 के बराबर है डी).

इस समानता में समान कोण भी शामिल है साथ.

यदि हम समान मानों में से समान मान घटा दें तो वह समान ही रहेगा। परिणाम होगा: / ए = / बी, अर्थात, ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रश्न पर विचार करते समय हमने सबसे पहले यह बताया कि कौन से कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं, अर्थात् हमने दिया परिभाषाऊर्ध्वाधर कोने.

फिर हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता के बारे में एक निर्णय (कथन) दिया और हम प्रमाण द्वारा इस निर्णय की वैधता के बारे में आश्वस्त हुए। ऐसे निर्णय, जिनकी वैधता सिद्ध होनी चाहिए, कहलाते हैं प्रमेयों. इस प्रकार, इस खंड में हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की परिभाषा दी है, और उनकी संपत्ति के बारे में एक प्रमेय भी बताया और सिद्ध किया है।

भविष्य में, ज्यामिति का अध्ययन करते समय, हमें लगातार प्रमेयों की परिभाषाओं और प्रमाणों से मिलना होगा।

3. उन कोणों का योग जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष हो।

ड्राइंग पर 79 / 1, / 2, / 3 और / 4 एक सीधी रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक सीधा कोण बनाते हैं, अर्थात।
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2डी.

ड्राइंग पर 80 / 1, / 2, / 3, / 4 और / 5 में एक सामान्य शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण एक पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात। / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4डी.

व्यायाम.

1. आसन्न कोणों में से एक 0.72 है डी।इन आसन्न कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बने कोण की गणना करें।

2. सिद्ध कीजिए कि दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक समकोण बनाते हैं।

3. सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।

4. चित्र 81 में आसन्न कोनों के कितने जोड़े हैं?

5. क्या आसन्न कोणों का एक जोड़ा दो न्यून कोणों से मिलकर बना हो सकता है? दो टेढ़े-मेढ़े कोनों से? समकोण और अधिक कोण से? समकोण और न्यून कोण से?

6. यदि आसन्न कोणों में से एक समकोण है, तो उसके आसन्न कोण के मान के बारे में क्या कहा जा सकता है?

7. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक समकोण हो, तो शेष तीन कोणों के आकार के बारे में क्या कहा जा सकता है?

ज्यामिति एक अत्यंत बहुआयामी विज्ञान है। इससे तर्क, कल्पना और बुद्धि का विकास होता है। बेशक, इसकी जटिलता और प्रमेयों और स्वयंसिद्धों की बड़ी संख्या के कारण, स्कूली बच्चे इसे हमेशा पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।

आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोण ज्यामिति का अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें केवल इसलिए पसंद करते हैं क्योंकि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान होते हैं।

कोनों का निर्माण

कोई भी कोण दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन से या एक बिंदु से दो किरणें खींचने से बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो क्रमिक रूप से कोने के निर्माण के बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग-अलग कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिककोण और तैनात है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।

न्यून कोण वह कोण होता है जिसका माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होता है।

अधिक कोण 90 डिग्री से बड़ा कोण होता है।

कोई कोण तब समकोण कहलाता है जब उसका माप 90 हो।

उस स्थिति में जब यह एक सतत सीधी रेखा द्वारा निर्मित होता है, और इसकी डिग्री माप 180 है, इसे तैनात कहा जाता है।

वे कोण जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, जिनकी दूसरी भुजा एक-दूसरे को जारी रखती है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज़ या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोण बनाता है। उनकी संपत्तियाँ इस प्रकार हैं:

1. ऐसे कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसे सिद्ध करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, यदि दूसरा ज्ञात हो तो उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है।
2. पहले बिंदु से यह निष्कर्ष निकलता है कि आसन्न कोण दो अधिक कोणों या दो न्यून कोणों से नहीं बन सकते।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, कोई हमेशा किसी अन्य कोण के मान या कम से कम उनके बीच के अनुपात को देखते हुए एक कोण की डिग्री माप की गणना कर सकता है।

लंब कोण

वे कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।

इनका निर्माण तब होता है जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। उनके साथ, आसन्न कोने हमेशा मौजूद होते हैं। एक कोण एक के लिए आसन्न और दूसरे के लिए लंबवत दोनों हो सकता है।

किसी मनमानी रेखा को पार करते समय कई अन्य प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। ऐसी रेखा को छेदक कहा जाता है, और यह संगत, एकपक्षीय और क्रॉस-झूठ वाले कोण बनाती है। वे एक दूसरे के बराबर हैं. उन्हें ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोणों के गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है।

इस प्रकार, कोनों का विषय काफी सरल और समझने योग्य लगता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और साबित करना आसान है। जब तक कोण किसी संख्यात्मक मान के अनुरूप हों तब तक समस्याओं को हल करना कठिन नहीं है। आगे भी, जब पाप और कॉस का अध्ययन शुरू होगा, तो आपको कई जटिल सूत्र, उनके निष्कर्ष और परिणाम याद रखने होंगे। तब तक, आप बस आसान पहेलियों का आनंद ले सकते हैं जिनमें आपको आसन्न कोनों को ढूंढना होगा।

एक ही सीधी रेखा पर स्थित और एक शीर्ष वाले दो कोण आसन्न कहलाते हैं।

अन्यथा, यदि एक ही रेखा पर दो कोणों का योग 180 डिग्री है और उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, तो ये आसन्न कोण हैं।

1 आसन्न कोण + 1 आसन्न कोण = 180 डिग्री.

आसन्न कोण दो कोण होते हैं जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और अन्य दो भुजाएँ समग्र रूप से एक सीधी रेखा बनाती हैं।

दो आसन्न कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 60 डिग्री का है, तो दूसरा आवश्यक रूप से 120 डिग्री (180-60) के बराबर होगा।

कोण AOC और BOC आसन्न कोण हैं, क्योंकि आसन्न कोणों को चिह्नित करने की सभी शर्तें पूरी होती हैं:

1.ओएस - दो कोनों का सामान्य पक्ष

2.AO - कोण AOC की भुजा, OB - कोण BOC की भुजा। ये भुजाएँ मिलकर एक सीधी रेखा AOB बनाती हैं।

3. दो कोण हैं और उनका योग 180 डिग्री है।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को याद करते हुए, हम आसन्न कोणों के बारे में निम्नलिखित कह सकते हैं:

आसन्न कोणों की एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा की होती हैं, अर्थात वे एक ही सीधी रेखा पर होती हैं। यदि चित्र के अनुसार, तो कोण SOV और BOA आसन्न कोण हैं, जिनका योग हमेशा 180 के बराबर होता है, क्योंकि वे एक सीधा कोण साझा करते हैं, और एक सीधा कोण हमेशा 180 के बराबर होता है।



ज्यामिति में आसन्न कोण एक आसान अवधारणा है। आसन्न कोण, कोण और कोण का योग 180 डिग्री होता है।

दो आसन्न कोने - यह एक खुला कोना होगा।

कुछ और संपत्तियां हैं. आसन्न कोनों के साथ, समस्याओं को हल करना और प्रमेयों को सिद्ध करना आसान है।

जब एक सीधी रेखा पर एक मनमाने बिंदु से किरण खींची जाती है तो आसन्न कोण बनते हैं। तब यह मनमाना बिंदु कोण का शीर्ष बन जाता है, किरण आसन्न कोणों की उभयनिष्ठ भुजा होती है, और जिस रेखा से किरण खींची जाती है वह आसन्न कोणों की दो शेष भुजाएँ होती है। आसन्न कोण या तो लंबवत के मामले में समान हो सकते हैं, या तिरछी किरण में भिन्न हो सकते हैं। यह देखना आसान है कि आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है, या बस एक सीधी रेखा है। दूसरे तरीके से, इस कोण को एक सरल उदाहरण से समझाया जा सकता है - आप पहले एक दिशा में एक सीधी रेखा में चले, फिर अपना मन बदला, वापस जाने का फैसला किया और 180 डिग्री घूम गए और उसी सीधी रेखा में विपरीत दिशा में चले गए।



तो आसन्न कोण क्या है? परिभाषा:

एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा वाले दो कोण आसन्न होते हैं, और इन कोणों की अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर स्थित होती हैं।



और एक छोटा सा वीडियो पाठ, जहां आसन्न कोणों, ऊर्ध्वाधर कोणों के साथ-साथ लंबवत रेखाओं के बारे में समझदारी से दिखाया गया है, जो आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों का एक विशेष मामला है

आसन्न कोण वे कोण होते हैं जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है और दूसरी एक रेखा होती है।

आसन्न कोण वे कोण होते हैं जो एक दूसरे पर निर्भर होते हैं। अर्थात यदि उभयनिष्ठ भुजा को थोड़ा घुमाया जाए तो एक कोण कुछ डिग्री कम हो जाएगा और दूसरा कोण स्वतः ही उतनी ही डिग्री बढ़ जाएगा। आसन्न कोणों का यह गुण ज्यामिति में विभिन्न समस्याओं को हल करना और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करना संभव बनाता है।

आसन्न कोणों का कुल योग सदैव 180 डिग्री होता है।



ज्यामिति पाठ्यक्रम से, (जहाँ तक मुझे छठी कक्षा के लिए याद है), दो कोणों को आसन्न कहा जाता है, जिसमें एक पक्ष उभयनिष्ठ होता है, और अन्य पक्ष अतिरिक्त किरणें होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180 होता है। आसन्न कोनों का उदाहरण:



आसन्न कोण एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले दो कोण होते हैं, जिनकी एक भुजा उभयनिष्ठ होती है, और शेष भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं (संपाती नहीं)। आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री होता है। सामान्य तौर पर, यह सब Google या ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में खोजना बहुत आसान है।

दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और इन कोणों की दूसरी भुजाएँ पूरक किरणें हों। आकृति 20 में, कोण AOB और BOC आसन्न हैं।

आसन्न कोणों का योग 180° होता है

प्रमेय 1. आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

सबूत। ओबी किरण (चित्र 1 देखें) विकसित कोण के किनारों के बीच से गुजरती है। इसीलिए ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

प्रमेय 1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके निकटवर्ती कोण भी बराबर होते हैं।

ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं की पूरक किरणें हों। दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोण AOB और COD, BOD और AOC ऊर्ध्वाधर हैं (चित्र 2)।

प्रमेय 2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

सबूत। ऊर्ध्वाधर कोणों AOB और COD पर विचार करें (चित्र 2 देखें)। कोण BOD प्रत्येक कोण AOB और COD के निकट है। प्रमेय 1 के अनुसार, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ∠ AOB = ∠ COD है।

उपफल 1. समकोण से सटा हुआ कोण समकोण होता है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AC और BD पर विचार करें (चित्र 3)। वे चार कोने बनाते हैं। यदि उनमें से एक समकोण है (चित्र 3 में कोण 1), तो अन्य कोण भी समकोण हैं (कोण 1 और 2, 1 और 4 आसन्न हैं, कोण 1 और 3 लंबवत हैं)। इस स्थिति में, ये रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और लंबवत (या परस्पर लंबवत) कहलाती हैं। रेखाओं AC और BD की लंबवतता को इस प्रकार दर्शाया गया है: AC ⊥ BD।

किसी खंड का लंबवत समद्विभाजक इस खंड के लंबवत और इसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है।

एएन - रेखा के लंबवत

एक रेखा a और उस पर स्थित एक बिंदु A पर विचार करें (चित्र 4)। बिंदु A को एक खंड के साथ बिंदु H से एक सीधी रेखा a से जोड़ें। एक खंड AH को बिंदु A से रेखा a पर खींचा गया लम्ब कहा जाता है यदि रेखाएँ AN और a लंबवत हों। बिंदु H को लम्ब का आधार कहा जाता है।

ड्राइंग स्क्वायर

निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 3. किसी भी बिंदु से जो एक रेखा पर नहीं है, कोई इस रेखा पर एक लंब खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक ही।

चित्र में एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब खींचने के लिए, एक आरेखण वर्ग का उपयोग किया जाता है (चित्र 5)।

टिप्पणी। प्रमेय के कथन में आमतौर पर दो भाग होते हैं। एक भाग इस बारे में बात करता है कि क्या दिया गया है। इस भाग को प्रमेय की स्थिति कहा जाता है। दूसरा भाग इस बारे में बात करता है कि क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है। इस भाग को प्रमेय का निष्कर्ष कहा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 की स्थिति ऊर्ध्वाधर कोण है; निष्कर्ष - ये कोण बराबर हैं।

किसी भी प्रमेय को शब्दों में विस्तार से व्यक्त किया जा सकता है ताकि उसकी स्थिति "यदि" शब्द से शुरू हो और निष्कर्ष "तब" शब्द से हो। उदाहरण के लिए, प्रमेय 2 को इस प्रकार विस्तार से बताया जा सकता है: "यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं।"

उदाहरण 1आसन्न कोणों में से एक 44° का है। दूसरा किसके बराबर है?

समाधान। फिर प्रमेय 1 के अनुसार दूसरे कोण की डिग्री माप को x से निरूपित करें।
44° + x = 180°.
परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि x \u003d 136 °। इसलिए, दूसरा कोण 136° है।

उदाहरण 2मान लीजिए चित्र 21 में COD कोण 45° है। कोण AOB और AOC क्या हैं?

समाधान। कोण COD और AOB ऊर्ध्वाधर हैं, इसलिए, प्रमेय 1.2 के अनुसार वे बराबर हैं, अर्थात, ∠ AOB = 45°। कोण AOC, कोण COD के निकट है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार।
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

उदाहरण 3यदि उनमें से एक दूसरे का तीन गुना है तो आसन्न कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान। छोटे कोण की डिग्री माप को x से निरूपित करें। तब बड़े कोण का डिग्री माप Zx होगा। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° है (प्रमेय 1), तो x + 3x = 180°, जहाँ से x = 45°।
अतः आसन्न कोण 45° और 135° हैं।

उदाहरण 4दो ऊर्ध्वाधर कोणों का योग 100° होता है। चारों कोणों में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए चित्र 2 समस्या की स्थिति के अनुरूप है। ऊर्ध्वाधर कोण COD से AOB बराबर हैं (प्रमेय 2), जिसका अर्थ है कि उनकी डिग्री माप भी समान हैं। इसलिए, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (शर्त के अनुसार उनका योग 100° है)। कोण BOD (कोण AOC भी) कोण COD के निकट है, और, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

कोनों का परिचय

आइए हमें दो मनमानी किरणें दी जाएं। आइए उन्हें एक दूसरे के ऊपर रखें। तब

परिभाषा 1

कोण दो किरणों को दिया गया नाम है जिनकी उत्पत्ति समान होती है।

परिभाषा 2

वह बिंदु, जो परिभाषा 3 के ढांचे के भीतर किरणों की शुरुआत है, इस कोण का शीर्ष कहलाता है।

एक कोण को उसके निम्नलिखित तीन बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाएगा: एक शीर्ष, एक किरण पर एक बिंदु, और दूसरी किरण पर एक बिंदु, और कोण का शीर्ष उसके पदनाम के मध्य में लिखा जाता है (चित्र 1)।

अब आइए परिभाषित करें कि कोण का मान क्या है।

ऐसा करने के लिए, आपको किसी प्रकार का "संदर्भ" कोण चुनना होगा, जिसे हम एक इकाई के रूप में लेंगे। अक्सर, ऐसा कोण एक ऐसा कोण होता है जो सीधे कोण के एक भाग के $\frac(1)(180)$ के बराबर होता है। इस मान को डिग्री कहा जाता है. ऐसे कोण को चुनने के बाद हम उससे उन कोणों की तुलना करते हैं, जिनका मान ज्ञात करना होता है।

कोने 4 प्रकार के होते हैं:

परिभाषा 3

यदि कोई कोण $90^0$ से कम है तो उसे न्यूनकोण कहा जाता है।

परिभाषा 4

यदि कोई कोण $90^0$ से अधिक है तो उसे अधिक कोण कहा जाता है।

परिभाषा 5

कोई कोण सीधा कहलाता है यदि वह $180^0$ के बराबर हो।

परिभाषा 6

कोई कोण समकोण कहलाता है यदि वह $90^0$ के बराबर हो।

इस प्रकार के कोणों के अलावा, जिनका वर्णन ऊपर किया गया है, एक दूसरे के संबंध में कोणों के प्रकारों, अर्थात् ऊर्ध्वाधर और आसन्न कोणों को अलग करना संभव है।

निकटवर्ती कोने

एक सीधे कोण $COB$ पर विचार करें। इसके शीर्ष से एक किरण $OA$ खींचिए। यह किरण मूल को दो कोणों में विभाजित कर देगी। तब

परिभाषा 7

दो कोण आसन्न कहलाएंगे यदि उनकी भुजाओं का एक जोड़ा सीधा कोण हो और दूसरा जोड़ा संपाती हो (चित्र 2)।

इस मामले में, कोण $COA$ और $BOA$ आसन्न हैं।

प्रमेय 1

आसन्न कोणों का योग $180^0$ है।

सबूत।

चित्र 2 पर विचार करें.

परिभाषा 7 के अनुसार, इसमें कोण $COB$ $180^0$ के बराबर होगा। चूँकि आसन्न कोणों की भुजाओं का दूसरा युग्म संपाती है, तो किरण $OA$ सीधे कोण को 2 से विभाजित करेगी, इसलिए

$∠COA+∠BOA=180^0$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस अवधारणा का उपयोग करके समस्या के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 1

नीचे दिए गए चित्र से कोण $C$ ज्ञात कीजिए

परिभाषा 7 से, हम पाते हैं कि कोण $BDA$ और $ADC$ आसन्न हैं। इसलिए, प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

एक त्रिभुज में कोणों के योग पर प्रमेय के अनुसार, हमारे पास होगा

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

उत्तर: $40^0$।

लंब कोण

विकसित कोणों $AOB$ और $MOC$ पर विचार करें। आइए उनके शीर्षों को एक-दूसरे से मिलाएँ (अर्थात, बिंदु $O"$ को बिंदु $O$ पर रखें) ताकि इन कोणों की कोई भी भुजा संपाती न हो। फिर

परिभाषा 8

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाएंगे यदि उनकी भुजाओं के जोड़े सरल कोण हों और उनके मान समान हों (चित्र 3)।

इस मामले में, कोण $MOA$ और $BOC$ लंबवत हैं और कोण $MOB$ और $AOC$ भी लंबवत हैं।

प्रमेय 2

ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

चित्र 3 पर विचार करें। उदाहरण के लिए, आइए साबित करें कि कोण $MOA$ कोण $BOC$ के बराबर है।