गणित: भिन्नों के साथ संक्रियाएँ। दशमलव और भिन्न के साथ संचालन

भिन्न कैलकुलेटरभिन्नों के साथ त्वरित गणना संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5वीं कक्षा से ही भिन्नों का अध्ययन शुरू कर देते हैं, और उनके साथ अभ्यास हर साल अधिक जटिल होता जाता है। गणितीय नियम और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वे शायद ही कभी जीवन में हमारे लिए उपयोगी हो सकते हैं। वयस्क जीवन. हालाँकि, लघुगणक और घातों के विपरीत भिन्न, रोजमर्रा की जिंदगी (दूरियां मापना, सामान तौलना आदि) में अक्सर पाए जाते हैं। हमारा कैलकुलेटर भिन्नों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक संख्या है जिसमें एक इकाई के भिन्नों की पूर्णांक संख्या शामिल होती है।

भिन्नों के प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिश्रित

उदाहरण साधारण भिन्न:

शीर्ष मान अंश है, निचला मान हर है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या निचली संख्या से विभाज्य है। इस लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक झुकी हुई रेखा लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवभिन्नों के सबसे लोकप्रिय प्रकार हैं। उनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जो अल्पविराम से अलग होता है।

दशमलव भिन्नों का उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

एक पूर्ण संख्या और एक भिन्नात्मक भाग से मिलकर बनता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

हमारी वेबसाइट पर भिन्न कैलकुलेटर ऑनलाइन भिन्नों के साथ किसी भी गणितीय कार्य को शीघ्रता से करने में सक्षम है:

• जोड़ना
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

गणना करने के लिए, आपको फ़ील्ड में संख्याएँ दर्ज करनी होंगी और एक क्रिया का चयन करना होगा। भिन्नों के लिए, आपको अंश और हर भरना होगा; पूर्ण संख्या नहीं लिखी जा सकती (यदि भिन्न साधारण है)। "बराबर" बटन पर क्लिक करना न भूलें।

यह सुविधाजनक है कि कैलकुलेटर तुरंत भिन्नों के साथ एक उदाहरण को हल करने की प्रक्रिया प्रदान करता है, न कि केवल एक तैयार उत्तर। यह विस्तारित समाधान के लिए धन्यवाद है कि आप हल करते समय इस सामग्री का उपयोग कर सकते हैं स्कूल के कार्यऔर के लिए बेहतर विकासढकी हुई सामग्री.

आपको उदाहरण गणना करने की आवश्यकता है:

प्रपत्र फ़ील्ड में संकेतक दर्ज करने के बाद, हमें यह मिलता है:

अपनी स्वयं की गणना करने के लिए, फॉर्म में डेटा दर्ज करें।

भिन्न कैलकुलेटर

संबंधित अनुभाग.

यह अनुभाग निम्नलिखित क्रियाओं को शामिल करता है साधारण अंश. यदि मिश्रित संख्याओं के साथ गणितीय संक्रिया करना आवश्यक है, तो मिश्रित भिन्न को असाधारण भिन्न में बदलना, आवश्यक संक्रियाएँ करना और यदि आवश्यक हो, तो अंतिम परिणाम को मिश्रित संख्या के रूप में फिर से प्रस्तुत करना पर्याप्त है। . इस ऑपरेशन का वर्णन नीचे किया जाएगा।

एक अंश कम करना

गणितीय कार्य। एक अंश कम करना

भिन्न \frac(m)(n) को कम करने के लिए आपको इसके अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा: gcd(m,n), और फिर भिन्न के अंश और हर को इस संख्या से विभाजित करें। यदि GCD(m,n)=1, तो भिन्न को कम नहीं किया जा सकता। उदाहरण: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

आमतौर पर सबसे बड़े सामान्य भाजक को तुरंत ढूंढना आसान होता है चुनौतीपूर्ण कार्यऔर व्यवहार में, एक अंश को कई चरणों में कम किया जाता है, चरण दर चरण स्पष्ट सामान्य कारकों को अंश और हर से अलग किया जाता है। \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

गणितीय कार्य। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

दो भिन्नों \frac(a)(b) और \frac(c)(d) को एक उभयनिष्ठ हर में लाने के लिए आपको चाहिए:

• हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए: M=LMK(b,d);
• पहले भिन्न के अंश और हर को M/b से गुणा करें (जिसके बाद भिन्न का हर संख्या M के बराबर हो जाता है);
• दूसरे भिन्न के अंश और हर को M/d से गुणा करें (जिसके बाद भिन्न का हर संख्या M के बराबर हो जाता है)।

इस प्रकार, हम मूल भिन्नों को समान हर वाली भिन्नों में बदल देते हैं (जो संख्या M के बराबर होगी)।

उदाहरण के लिए, भिन्नों \frac(5)(6) और \frac(4)(9) का LCM(6,9) = 18 है। फिर: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . इस प्रकार, परिणामी भिन्नों में एक उभयनिष्ठ हर होता है।

व्यवहार में, हर का लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) ज्ञात करना हमेशा आसान काम नहीं होता है। इसलिए, मूल भिन्नों के हर के गुणनफल के बराबर संख्या को सामान्य हर के रूप में चुना जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \frac(5)(6) और \frac(4)(9) को एक सामान्य हर N=6\cdot9 में घटा दिया जाता है:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

भिन्नों की तुलना

गणितीय कार्य। भिन्नों की तुलना

दो साधारण भिन्नों की तुलना करने के लिए आपको चाहिए:

• परिणामी भिन्नों के अंशों की तुलना करें; बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा होगा।

भिन्नों की तुलना करते समय, कई विशेष मामले होते हैं:

1. दो अंशों से समान हरों के साथजिस भिन्न का अंश बड़ा हो वह भिन्न बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, \frac(3)(15)
2. दो अंशों से समान अंशांककों के साथवह भिन्न बड़ी होती है जिसका हर छोटा होता है। उदाहरण के लिए, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. वह अंश जो एक साथ बड़ा अंश और छोटा हर, अधिक। उदाहरण के लिए, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

ध्यान!नियम 1 किसी भी भिन्न पर लागू होता है यदि उनका उभयनिष्ठ हर एक धनात्मक संख्या है। नियम 2 और 3 धनात्मक भिन्नों पर लागू होते हैं (जिनका अंश और हर दोनों शून्य से अधिक होते हैं)।

भिन्नों को जोड़ना और घटाना

गणितीय कार्य। भिन्नों को जोड़ना और घटाना

दो भिन्नों को जोड़ने के लिए आपको चाहिए:

• उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाएँ;
• उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उदाहरण: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको चाहिए:

• भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ;
• दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाएँ और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उदाहरण: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

यदि मूल भिन्नों में प्रारंभ में एक उभयनिष्ठ हर होता है, तो चरण 1 (एक उभयनिष्ठ हर में कमी) को छोड़ दिया जाता है।

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना और इसके विपरीत

गणितीय कार्य। किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना और इसके विपरीत

किसी मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, बस मिश्रित भिन्न के पूरे भाग को भिन्न भाग के साथ जोड़ दें। ऐसे योग का परिणाम एक अनुचित भिन्न होगा, जिसका अंश योग के बराबरमिश्रित भिन्न के अंश के साथ भिन्न के हर द्वारा पूरे भाग का गुणनफल, और हर वही रहेगा। उदाहरण के लिए, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

किसी अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए:

• भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें;
• भाग के शेष भाग को अंश में लिखें और हर को वही छोड़ दें;
• विभाजन के परिणाम को पूर्णांक भाग के रूप में लिखें।

उदाहरण के लिए, भिन्न \frac(23)(4) . 23:4=5.75 से भाग देने पर अर्थात् पूर्ण भाग 5 होता है, भाग का शेषफल 23-5*4=3 होता है। फिर मिश्रित संख्या लिखी जाएगी: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

दशमलव को भिन्न में बदलना

गणितीय कार्य। दशमलव को भिन्न में बदलना

दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. दस की nवीं घात को हर के रूप में लें (यहाँ n दशमलव स्थानों की संख्या है);
2. अंश के रूप में, दशमलव बिंदु के बाद की संख्या लें (यदि मूल संख्या का पूर्णांक भाग शून्य के बराबर नहीं है, तो सभी अग्रणी शून्य भी लें);
3. गैर-शून्य पूर्णांक भाग बिल्कुल शुरुआत में अंश में लिखा गया है; शून्य पूर्णांक भाग छोड़ दिया गया है।

उदाहरण 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 दशमलव स्थान हैं, इसलिए हर में 10 4 =10000 है, क्योंकि पूर्णांक भाग 0 है, अंश में दशमलव बिंदु के बाद की संख्या शामिल है, बिना अग्रणी शून्य के)

उदाहरण 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (अंश में हम सभी शून्यों के साथ दशमलव बिंदु के बाद संख्या लिखते हैं: "0109", और फिर इसके पहले हम मूल संख्या "31" का पूरा भाग जोड़ते हैं)

यदि दशमलव भिन्न का पूरा भाग शून्येतर हो तो उसे मिश्रित भिन्न में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या को एक साधारण अंश में परिवर्तित करते हैं जैसे कि पूरा भाग शून्य (अंक 1 और 2) के बराबर होता है, और बस अंश के सामने पूरे भाग को फिर से लिखते हैं - यह मिश्रित संख्या का पूरा भाग होगा . उदाहरण:

3.014=3\frac(14)(100)

भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, बस अंश को हर से विभाजित करें। कभी-कभी यह अंतहीन होगा दशमलव. इस स्थिति में, वांछित दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करना आवश्यक है। उदाहरण:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\लगभग0.6667

भिन्नों को गुणा करना और विभाजित करना

गणितीय कार्य। भिन्नों को गुणा करना और विभाजित करना

दो साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना होगा।

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

एक उभयनिष्ठ भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा ( पारस्परिक अंश- एक भिन्न जिसमें अंश और हर की अदला-बदली की जाती है।

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

यदि भिन्नों में से एक प्राकृतिक संख्या है, तो गुणा और भाग के उपरोक्त नियम लागू रहते हैं। आपको बस यह ध्यान रखना होगा कि पूर्णांक वही भिन्न है, जिसका हर एक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

इस लेख में, एक गणित और भौतिकी शिक्षक सामान्य भिन्नों के साथ प्रारंभिक संचालन कैसे करें: जोड़ और घटाव, गुणा और भाग के बारे में बात करता है। जानें कि किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में कैसे दर्शाया जाए और इसके विपरीत, साथ ही भिन्नों को कैसे कम किया जाए।

साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना

आइए हम आपको वह याद दिला दें भाजकअंश वह संख्या है जो है नीचे की ओर से, ए मीटर- वह संख्या जो स्थित है ऊपरभिन्नात्मक रेखा से. उदाहरण के लिए, भिन्न में संख्या अंश है और संख्या हर है।

आम विभाजकवह सबसे छोटी संभव संख्या है जो पहले भिन्न के हर और दूसरे भिन्न के हर दोनों से विभाज्य होती है।

उदाहरण 1. दो भिन्न जोड़ें: .

आइए ऊपर वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग करें:

1) वह सबसे छोटी संख्या जो पहली भिन्न के हर और दूसरी भिन्न के हर दोनों से विभाज्य हो, बराबर होती है। यह संख्या सामान्य विभाजक होगी. अब आपको दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाना होगा।

2) परिणामी भिन्नों को जोड़ें: .

उभयनिष्ठ भिन्नों को गुणा करना

दूसरे शब्दों में, सभी वास्तविक संख्याओं के लिए, , , , निम्नलिखित समानता रखती है:

उदाहरण 2. भिन्नों को गुणा करें: .

इस समस्या को हल करने के लिए, हम ऊपर प्रस्तुत सूत्र का उपयोग करते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करना

दूसरे शब्दों में, सभी वास्तविक संख्याओं के लिए, , , , , निम्नलिखित समानता रखती है:

उदाहरण 3. भिन्नों को विभाजित करें: .

इस समस्या को हल करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हैं: .

किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना

आइए अब जानें कि यदि आपको मिश्रित संख्याओं के रूप में प्रस्तुत भिन्नों के साथ कोई ऑपरेशन करने की आवश्यकता है तो क्या करें। इस मामले में, आपको पहले मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर आवश्यक ऑपरेशन करना होगा।

आइए हम आपको वह याद दिला दें गलतवह भिन्न जिसका अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर हो, भिन्न कहलाती है।

यह भी याद रखें कि एक मिश्रित संख्या होती है अंशऔर संपूर्ण भाग. उदाहरण के लिए, एक मिश्रित संख्या का भिन्नात्मक भाग बराबर होता है, और पूर्णांक भाग बराबर होता है।

उदाहरण 4. किसी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

आइए ऊपर प्रस्तुत एल्गोरिदम का उपयोग करें: .

उदाहरण 5. एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

लेख में हम दिखाएंगे भिन्नों को कैसे हल करेंसरल, समझने योग्य उदाहरणों का उपयोग करना। आइए जानें कि भिन्न क्या है और विचार करें भिन्नों को हल करना!

अवधारणा अंशोंइसे माध्यमिक विद्यालय की छठी कक्षा से शुरू होने वाले गणित पाठ्यक्रमों में शामिल किया गया है।

भिन्नों का रूप होता है: ±X/Y, जहां Y हर है, यह बताता है कि संपूर्ण को कितने भागों में विभाजित किया गया था, और X अंश है, यह बताता है कि ऐसे कितने भाग लिए गए थे। स्पष्टता के लिए, आइए एक केक का उदाहरण लें:

पहले मामले में, केक समान रूप से काटा गया और आधा लिया गया, यानी। 1/2. दूसरे मामले में, केक को 7 भागों में काटा गया, जिसमें से 4 भाग निकाले गए, यानी। 4/7.

यदि एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने वाला भाग पूर्ण संख्या नहीं है, तो इसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 4:2 = 2 एक पूर्णांक देता है, लेकिन 4:7 पूर्णांक से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस व्यंजक को भिन्न 4/7 के रूप में लिखा जाता है।

दूसरे शब्दों में अंशएक अभिव्यक्ति है जो दो संख्याओं या अभिव्यक्तियों के विभाजन को दर्शाती है, और जो भिन्नात्मक स्लैश का उपयोग करके लिखी जाती है।

यदि अंश हर से कम है, तो भिन्न उचित है; यदि इसके विपरीत, तो यह अनुचित भिन्न है। एक भिन्न में एक पूर्ण संख्या हो सकती है।

उदाहरण के लिए, 5 पूर्ण 3/4.

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि पूर्ण 6 प्राप्त करने के लिए, चार में से एक भाग गायब है।

यदि आप याद रखना चाहते हैं, छठी कक्षा के लिए भिन्नों को कैसे हल करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है भिन्नों को हल करना, मूलतः, कुछ सरल चीज़ों को समझने पर निर्भर करता है।

• भिन्न मूलतः भिन्न की अभिव्यक्ति है। अर्थात्, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कि कोई दिया गया मान एक पूर्णांक का कितना भाग है। उदाहरण के लिए, अंश 3/5 यह व्यक्त करता है कि यदि हमने किसी पूर्ण वस्तु को 5 भागों में विभाजित किया है और इस पूर्ण के अंशों या भागों की संख्या तीन है।
• अंश 1 से कम हो सकता है, उदाहरण के लिए 1/2 (या अनिवार्य रूप से आधा), तो यह सही है। यदि भिन्न 1 से बड़ी है, उदाहरण के लिए 3/2 (तीन आधे या डेढ़), तो यह गलत है और समाधान को सरल बनाने के लिए, हमारे लिए पूर्ण भाग का चयन करना बेहतर है 3/2 = 1 पूर्ण 1 /2.
• भिन्न 1, 3, 10 और यहाँ तक कि 100 के समान संख्याएँ हैं, केवल संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं बल्कि भिन्न हैं। आप उनके साथ संख्याओं की तरह ही सभी कार्य कर सकते हैं। भिन्नों को गिनना अब और कठिन नहीं है, और आगे भी विशिष्ट उदाहरणहम इसे दिखाएंगे.

भिन्नों को कैसे हल करें. उदाहरण।

विभिन्न प्रकार की अंकगणितीय संक्रियाएँ भिन्नों पर लागू होती हैं।

एक भिन्न को एक सामान्य हर में घटाना

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 3/4 और 4/5 की तुलना करने की आवश्यकता है।

समस्या को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सबसे कम सामान्य विभाजक ढूंढते हैं, यानी। वह सबसे छोटी संख्या जो भिन्नों के प्रत्येक हर से बिना कोई शेष बचे विभाज्य हो

लघुत्तम समापवर्त्य (4.5) = 20

फिर दोनों भिन्नों के हर को न्यूनतम सामान्य हर तक घटा दिया जाता है

उत्तर: 15/20

भिन्नों को जोड़ना और घटाना

यदि दो भिन्नों के योग की गणना करना आवश्यक हो, तो उन्हें पहले एक सामान्य हर में लाया जाता है, फिर अंश जोड़े जाते हैं, जबकि हर अपरिवर्तित रहता है। भिन्नों के बीच अंतर की गणना उसी तरह की जाती है, अंतर केवल इतना है कि अंश घटा दिए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों 1/2 और 1/3 का योग ज्ञात करना होगा

आइए अब भिन्न 1/2 और 1/4 के बीच अंतर ज्ञात करें

भिन्नों को गुणा करना और विभाजित करना

यहाँ भिन्नों को हल करना कठिन नहीं है, यहाँ सब कुछ काफी सरल है:

• गुणन - भिन्नों के अंश और हर को एक साथ गुणा किया जाता है;
• विभाजन - पहले हमें दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम प्राप्त होता है, अर्थात्। हम इसके अंश और हर की अदला-बदली करते हैं, जिसके बाद हम परिणामी भिन्नों को गुणा करते हैं।

उदाहरण के लिए:

यह इसके बारे में भिन्नों को कैसे हल करें, सभी। यदि आपके पास अभी भी कोई प्रश्न है भिन्नों को हल करना, यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में लिखें और हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

यदि आप शिक्षक हैं तो प्रेजेंटेशन डाउनलोड करना संभव है प्राथमिक स्कूल(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) आपके काम आएगा।

अंश विस्तार. एक अंश कम करना. भिन्नों की तुलना करना।
एक सामान्य भाजक में कमी. भिन्नों को जोड़ना और घटाना.
भिन्नों को गुणा करना। भिन्नों को विभाजित करना।
अंश विस्तार. यदि आप किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा करते हैं तो उसका मान नहीं बदलता है। इस परिवर्तन को अंश विस्तार कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

एक अंश कम करना. यदि आप किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा एक ही संख्या से विभाजित करते हैं तो उसका मान नहीं बदलता है। इस परिवर्तन को अंश न्यूनीकरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

भिन्नों की तुलना करना। समान अंश वाली दो भिन्नों में से जिसका हर छोटा हो वह बड़ा होता है:

समान हर वाली दो भिन्नों में से जिसका अंश बड़ा है वह बड़ा है:

भिन्न अंशों और हर वाले भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक सामान्य हर में लाने के लिए उनका विस्तार करने की आवश्यकता है।
उदाहरण दो भिन्नों की तुलना करें:

यहां प्रयुक्त परिवर्तन को भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना कहा जाता है।
भिन्नों को जोड़ना और घटाना. यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे, और भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उनके अंशों को (उसी क्रम में) घटाना होगा। परिणामी योग या अंतर परिणाम का अंश होगा; हर वही रहेगा. यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो आपको पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाना होगा। मिश्रित संख्याओं को जोड़ते समय उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग अलग-अलग जोड़े जाते हैं। मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करें, फिर एक को दूसरे से घटाएं, और यदि आवश्यक हो तो परिणाम को फिर से मिश्रित संख्या के रूप में परिवर्तित करें।
उदाहरण

भिन्नों को गुणा करना। किसी संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ है उसे अंश से गुणा करना और गुणनफल को हर से विभाजित करना। इसलिए हमारे पास है सामान्य नियमभिन्नों को गुणा करना: भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को दूसरे से विभाजित करना होगा।
उदाहरण

भिन्नों को विभाजित करना। किसी संख्या को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको इस संख्या को व्युत्क्रम भिन्न से गुणा करना होगा। यह नियम विभाजन की परिभाषा का अनुसरण करता है (अनुभाग "अंकगणितीय संक्रियाएँ" देखें)।
उदाहरण

महान रूसी आलोचक वी.जी. बेलिंस्की ने कहा कि कविता का कार्य "जीवन के गद्य से जीवन की कविता निकालना और जीवन के एक वफादार चित्रण के साथ आत्माओं को चौंका देना है।" एन. वी. गोगोल बिल्कुल ऐसे लेखक हैं, एक लेखक जो कभी-कभी दुनिया में मानव अस्तित्व की सबसे महत्वहीन तस्वीरों के चित्रण से आत्मा को झकझोर देते हैं। मेरी राय में, रूसी समाज के लिए गोगोल की सबसे बड़ी सेवा।

यह लेख सौर अवलोकन के प्रति उत्साही लोगों के बीच सबसे आम दूरबीन के बारे में अलग-अलग जानकारी को एक साथ रखने का एक प्रयास है। किसी न किसी हद तक, इसे रूसी और विदेशी खगोलीय इंटरनेट मंचों पर एकत्र किया जाता है, और नीचे पोस्ट की गई सभी तस्वीरें भी इंटरनेट पर एकत्र की जाती हैं। तकनीकी पैरामीटर, डिज़ाइन सुविधाएँ, संभव।

दशमलव संख्या प्रणाली दशमलव संख्या प्रणाली आधार 10 पर आधारित एक स्थितीय संख्या प्रणाली है। यह दुनिया में सबसे आम संख्या प्रणाली है। संख्याएँ लिखने के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रतीक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं, जिन्हें अरबी अंक कहा जाता है। माना जाता है कि आधार 10 का संबंध किसी व्यक्ति की उंगलियों की संख्या से होता है। .

अंक शास्त्र। ग्रेड 1 - 4 इस खंड में आप जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसी अवधारणाओं और शब्दों से परिचित हो जाएंगे। आपको भी पता चल जायेगा गणितीय संक्रियाएँऔर उनके कार्यान्वयन का क्रम, गणितीय कहानियाँ और भी बहुत कुछ। .

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साधारण भिन्नों को जोड़ना इस प्रकार किया जाता है:

a) यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश में जोड़ें और हर को वही छोड़ दें, अर्थात

बी) यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो भिन्नों को पहले एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, अधिमानतः सबसे छोटे तक, और फिर नियम ए) लागू किया जाता है।

उदाहरण 1. भिन्न और हल जोड़ें। हमारे पास है:

साधारण भिन्नों का घटाव इस प्रकार किया जाता है:

a) यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो

बी) यदि हर अलग-अलग हैं, तो पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, और फिर नियम ए) लागू किया जाता है।

साधारण भिन्नों का गुणन इस प्रकार किया जाता है:

अर्थात्, वे अंशों को अलग-अलग और हरों को अलग-अलग गुणा करते हैं, जिससे पहला गुणनफल अंश और दूसरा गुणनफल बन जाता है।

उदाहरण के लिए,

साधारण भिन्नों का विभाजन इस प्रकार किया जाता है:

अर्थात लाभांश को भाजक के व्युत्क्रम भिन्न से गुणा किया जाता है

उदाहरण के लिए, ।

उदाहरण 2: एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए

समाधान। 1) अंश और हर को 3 से कम करने पर (अंश और हर में गुणन संक्रिया करने से पहले ऐसा करना उपयोगी होता है), हमें प्राप्त होता है अर्थात।

3) किसी व्यंजक का मान ज्ञात करते समय जोड़ और घटाव की संक्रियाएं एक साथ की जा सकती हैं। संख्याओं 15, 20, 30 का सबसे छोटा समापवर्तक संख्या 60 है। आइए अतिरिक्त कारकों का उपयोग करके सभी तीन भिन्नों को हर 60 तक घटाएँ: पहले भिन्न के लिए 4, दूसरे के लिए - 3, तीसरे के लिए - 2। हम पाना:

उदाहरण 3. इन चरणों का पालन करें: a)

समाधान, ए) पहली विधि। आइए इनमें से प्रत्येक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में बदलें, और फिर जोड़ करें:

आइए अब अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें:

दूसरा तरीका. हमारे पास है

बी) मिश्रित संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय, हमेशा अनुचित भिन्नों पर जाएँ:

तो 7 बजे

साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

अनुभाग:अंक शास्त्र

1) विषय पर छात्रों के ज्ञान का नियंत्रण और व्यवस्थितकरण;

2) कम्प्यूटेशनल कौशल, तर्क, गणितीय सतर्कता विकसित करना;

3) स्वतंत्रता, विषय में रुचि और शैक्षिक कार्यों के प्रति कर्तव्यनिष्ठ रवैया विकसित करें।

उपकरण:कंप्यूटर क्लास, पीसी - 9 पीसी।

1) छात्र-केंद्रित शिक्षा;

2) स्तर विभेदन;

3) गेमिंग तकनीक;

2. पाठ का उद्देश्य निर्धारित करना।

आज पूर्व संध्या पर परीक्षण कार्यहमें अपना विश्लेषण करने का अवसर मिलेगा शैक्षणिक गतिविधियांऔर इलेक्ट्रॉनिक सिम्युलेटर पर साधारण भिन्नों के साथ सभी ऑपरेशन करने में कम्प्यूटेशनल कौशल का अभ्यास करें।

छात्र विशेष रूप से तैयार शीट पर कार्य की संख्या और नाम लिखते हैं।

3. अद्यतन पृष्ठभूमि ज्ञान

व्यक्तिगत कार्य तक पहुंच प्राप्त करने के लिए, आपको प्रश्नों का उत्तर मौखिक रूप से देना होगा (हर किसी की मेज पर उपदेशात्मक सामग्रीए.पी. एर्शोवा, वी.वी. गोलोबोरोडको "मौखिक गणित"):

1. भिन्न का मुख्य गुण बताइये।

2. दो भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने का नियम।

3. जोड़ प्रदर्शन करें

4. किन संख्याओं को व्युत्क्रम कहा जाता है?

5. आप भिन्न को भिन्न से कैसे विभाजित करते हैं?

छात्र सामान्य भिन्नों के साथ संक्रिया करने के नियमों को सीधे दोहराते हैं और टिप्पणी के साथ कार्य पूरा करते हैं।

4. पाठ के चरणों को पूरा करने के निर्देश

आज आपके पास 3 श्रेणियों में खुद को परखने का अवसर है: कंप्यूटर वैज्ञानिक, गणितज्ञ और विश्लेषक। छात्रों को 3 समूहों में विभाजित किया जाता है और आत्म-विश्लेषण कार्ड (परिशिष्ट 1) प्राप्त होते हैं, जिसके अनुसार वे सभी चरणों से गुजरते हैं। (शिक्षक तीनों चरणों के ग्रेड रिकॉर्ड करता है और टीम कार्ड परिशिष्ट 2 में अंकगणितीय औसत निर्धारित करता है)

कंप्यूटर पर, परीक्षण शीट पर, सुधार कार्ड या रचनात्मक असाइनमेंट का उपयोग करके

5. प्रथम चरणइलेक्ट्रॉनिक सिम्युलेटर (परिशिष्ट 3) - कंप्यूटर विज्ञान

सबसे पहले, इस स्तर पर आपकी सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि आप बायथलॉन खेल के नियमों का कितनी सावधानी से पालन करते हैं।

प्रशिक्षण में तीन चरण होते हैं, जो कार्यों की जटिलता में एक दूसरे से भिन्न होते हैं। प्रत्येक चरण में एक "स्की रेस" और एक "फायरिंग रेंज" शामिल है। "स्की रेस" मोड में, आपको यह निर्धारित करना होगा कि प्रस्तावित कथन सत्य है या गलत और स्क्रीन पर संबंधित बटन पर क्लिक करें।

"फायरिंग लाइन पर" मोड में, आपको दो भिन्नों के योग, अंतर, उत्पाद या भागफल की गणना करने के लिए चार (चरण 1) या तीन (चरण 2 और 3) कार्यों को पूरा करना होगा। आपका उत्तर लक्ष्य पर एक गोली है. यदि आपका उत्तर एक अघुलनशील भिन्न है तो आप निशाने पर हैं।

शिक्षक कंप्यूटर द्वारा दिए गए ग्रेड को रिकॉर्ड करता है। टीम कार्ड पर.

मौखिक स्वतंत्र कार्य अध्ययन।

छात्र मौखिक रूप से प्रश्नों का उत्तर देते हैं, कार्य करते हैं और परिणामों को कंप्यूटर पर रिकॉर्ड करते हैं। और आत्म-विश्लेषण कार्ड में वे अपनी गलतियाँ दर्ज करते हैं।

(समूह में प्रत्येक छात्र कंप्यूटर पर है)

खेल के अंत में, कंप्यूटर छात्र का मूल्यांकन करता है।

6. चरण 2सिद्धांत परीक्षण ( ए.पी. एर्शोवा "मौखिक गणित"):-विश्लेषक

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साधारण भिन्न. साधारण भिन्नों पर संक्रियाएँ

02/12/01 को तैयार पारदर्शिता से मुद्रण हेतु हस्ताक्षरित। प्रारूप 84x108/32. बाल्टिका हेडसेट. कागज़ का प्रकार नंबर 2. ऑफसेट प्रिंटिंग। सशर्त ओवन एल 25.1. सर्कुलेशन 5000 प्रतियाँ। आदेश क्रमांक 106.

टैक्स लाभ - अखिल रूसी वर्गीकरणकर्ताउत्पाद OK-005-093, वॉल्यूम 2; 953000 - किताबें, ब्रोशर।

जीआईपीपी "उरलस्की राबोची", 620219, येकातेरिनबर्ग, सेंट में तैयार पारदर्शिता से मुद्रित। तुर्गनेवा, 13.

विषय क्रमांक 1.

अंकगणितीय गणना. दिलचस्पी।

साधारण भिन्न. साधारण भिन्नों पर संक्रियाएँ।

1º. पूर्णांकों- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग गिनती में किया जाता है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को N द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। एन= .

अंशएक संख्या है जिसमें एक इकाई के कई अंश शामिल होते हैं। सामान्य अंशफॉर्म का एक नंबर कहा जाता है, जहां प्राकृतिक संख्या एनयह दर्शाता है कि एक इकाई को कितने बराबर भागों में विभाजित किया गया है, और एक प्राकृतिक संख्या एमदिखाता है कि ऐसे कितने समान भाग लिए गए हैं। नंबर एमऔर एनतदनुसार बुलाया जाता है मीटरऔर भाजकअंशों

यदि अंश, हर से कम हो, तो भिन्न कहलाती है सही; यदि अंश हर के बराबर या उससे बड़ा है, तो भिन्न कहलाती है गलत. एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग से बनी संख्या कहलाती है मिश्रित संख्या.

उदाहरणार्थ, - उचित साधारण भिन्न, - अनुचित साधारण भिन्न, 1 - मिश्रित संख्या।

2º. साधारण भिन्नों के साथ संक्रिया करते समय, आपको निम्नलिखित नियम याद रखने चाहिए:

1) भिन्न का मुख्य गुण. यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए, तो आपको दी गई भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, ए); बी) ।

किसी भिन्न के अंश और हर को एक के अलावा उनके अन्य उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित करना कहलाता है एक अंश को कम करना.

2) एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको इसके पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद में भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा, परिणामी राशि को भिन्न के अंश के रूप में लिखना होगा, और हर को वही छोड़ दें।

इसी प्रकार, किसी भी प्राकृत संख्या को किसी भी हर के साथ अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ए) क्योंकि ; बी)आदि

3) एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में लिखने के लिए (यानी, एक पूर्णांक भाग को एक अनुचित भिन्न से अलग करना), आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा, भाग के भागफल को पूर्णांक भाग के रूप में लेना होगा, शेष को अंश के रूप में लेना होगा , और हर को वही छोड़ दें।

उदाहरण के लिए, ए) 200 से: 7 = 28 (शेष 4);
बी) चूंकि 20: 5 = 4 (शेष 0)।

4) भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने के लिए, आपको इन भिन्नों के हरों का सबसे छोटा सामान्य गुणक (एलसीएम) ढूंढना होगा (यह उनका सबसे छोटा सामान्य हर होगा), सबसे छोटे सामान्य हर को इन भिन्नों के हरों से विभाजित करें ( यानी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढें), प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को उनके न्यूनतम सामान्य हर तक कम करें:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

मतलब, ; ; .

5) साधारण भिन्नों पर अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम:

ए) समान हर वाले भिन्नों का जोड़ और घटाव नियम के अनुसार किया जाता है:

b) भिन्नों को जोड़ना और घटाना विभिन्न भाजकनियम ए के अनुसार किया जाता है), पहले भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम कर दिया जाता है।

ग) मिश्रित संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय, आप उन्हें अनुचित भिन्नों में बदल सकते हैं, और फिर नियमों का पालन कर सकते हैं a) और b),

घ) भिन्नों को गुणा करते समय, निम्नलिखित नियम का उपयोग करें:

ई) एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा:

च) मिश्रित संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित भिन्नों में परिवर्तित किया जाता है, और फिर नियम डी) और ई) का उपयोग किया जाता है।

विषय पर "गणित" विषय पर प्रस्तुति: "पाठ के लिए प्रस्तुति" सामान्य भिन्नों के साथ क्रियाएँ "गणित शिक्षक एवगेनिया विक्टोरोवना कोलबिना द्वारा प्रस्तुत की गई।" निःशुल्क और बिना पंजीकरण के डाउनलोड करें। - प्रतिलेख:

गणित शिक्षक एवगेनिया विक्टोरोवना कोलबिना द्वारा प्रस्तुत पाठ "साधारण भिन्नों के साथ क्रियाएँ" के लिए 1 प्रस्तुति

2 पाठ उद्देश्य. शैक्षिक: साधारण भिन्नों की तुलना, जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियमों की पुनरावृत्ति; साधारण भिन्नों के बारे में ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण, साधारण भिन्नों के साथ काम करने में कौशल का समेकन और सुधार; अधिक हल करते समय मानसिक गणना कौशल और नियमों को लागू करने की क्षमता का अभ्यास करना जटिल उदाहरण. विकासात्मक: शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधियों में कौशल का विकास; मौखिक का विकास और लिखना; प्राप्त ज्ञान और कौशल के आत्म-नियंत्रण और आत्म-मूल्यांकन कौशल का विकास। शैक्षिक: चौकसता, गतिविधि, स्वतंत्रता, जिम्मेदारी को बढ़ावा देना।

3 गणितज्ञ, ढोलवादक और यहाँ तक कि शिकारी भी किसके बिना नहीं कर सकते?

4 अभी कौन सा महीना है? क्या मौसम है? आपको सर्दी के बारे में क्या पसंद है?

5 आज पाठ में आप और मैं एक स्नोमैन की मूर्ति बनाएंगे, लेकिन बर्फ से नहीं, बल्कि अपने ज्ञान से

6 मूल्यांकन शीट (छात्र का पूरा नाम) "स्नोड्रिफ्ट्स" "1 कमरा" "2 कमरा" "3 कमरा" "विशेषताएं" कुल मूल्यांकन

7 1. विभिन्न भिन्नों के साथ भिन्नों की तुलना (जोड़ना, घटाना) करने के लिए, आपको यह करना होगा: 1) दिए गए भिन्नों को कम करना; 2) परिणामी भिन्नों की तुलना करें (जोड़ें, घटाएँ)। 2. मिश्रित संख्याओं को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको: 1) भिन्नात्मक भागों को लाना होगा; 2) भागों और भिन्नात्मक भागों का अलग-अलग जोड़ (घटाना) करें। 3. किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इसे इस संख्या से गुणा करना होगा और इसे अपरिवर्तित छोड़ना होगा। हर एलसीडी (न्यूनतम सामान्य हर) एलसीडी पूर्णांक अंश अंश हर 4. किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको गुणनफल और गुणनफल ढूंढना होगा। 5. मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें भिन्न के रूप में लिखना होगा और फिर भिन्न के नियम का उपयोग करना होगा। 6. एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या विभाजक से गुणा करना होगा। गलत गुणन के अंश, हर, लाभांश का व्युत्क्रम "बहाव" प्रत्येक सही नियम के लिए - 1 अंक

8 "1 कॉम" प्रत्येक सही उत्तर के लिए - 1 अंक

10 I विकल्प 635(ए) II विकल्प 635(बी) "2 कॉम" प्रत्येक सही कार्रवाई के लिए - 1 अंक

12 घास छोटी है, छोटी है। वृक्ष ऊँचे, ऊँचे हैं। हवा पेड़ों को हिला देती है. यह दायीं ओर झुकता है, फिर बायीं ओर। अब ऊपर, फिर वापस. यह नीचे झुक जाता है. पक्षी उड़ते हैं और उड़ जाते हैं। छात्र अपने डेस्क पर चुपचाप बैठे रहते हैं। फ़िज़मिनुत्का

13 समस्या पर्यटक पदयात्रा पर निकले। पहले दिन वे किमी चले, जो दूसरे दिन की तुलना में किमी अधिक है। और तीसरे दिन वे पहले की तुलना में 2 गुना कम चले। इन तीन दिनों में पर्यटक कितने किलोमीटर चले? "3 कमरा"

14 1) आइए जानें कि दूसरे दिन पर्यटक कितना चले, इसके लिए हम 2 से घटाते हैं) तीसरे दिन पर्यटक कितना चले, इसके लिए हम 2 से भाग देते हैं 3) पहली क्रिया का परिणाम जोड़ते हैं और दूसरे कार्य का परिणाम और पता लगाएं कि वे इन तीन दिनों में कितना चले। उत्तर: समाधान योजना प्रत्येक सही कार्रवाई के लिए - 1 अंक + सही उत्तर के लिए 1 अंक

16 परीक्षण "गुण" प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक

18 27-30 अंक - "5" अंक - "4" अंक - "3" 0-14 अंक - "2"

19 गृहकार्य: 635 (जी), 643 विषय पर एक रिपोर्ट तैयार करें: साधारण भिन्नों की उत्पत्ति

20 पाठ सारांश मुझे सब कुछ पसंद आया! कठिन, लेकिन दिलचस्प! थका हुआ!

21 महान रूसी लेखक एल.एन. टॉल्स्टॉय का मानना ​​था कि एक व्यक्ति एक अंश की तरह है, जिसका हर वह है जो वह अपने बारे में सोचता है, और अंश वह है जो वे उसके बारे में सोचते हैं। मैं चाहता हूं कि आपके जीवन में अंश, हर से बड़ा हो।