बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
एक्सेल में औसत मान (चाहे वह संख्यात्मक, पाठ्य, प्रतिशत या अन्य मान हो) खोजने के लिए कई फ़ंक्शन हैं। और उनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं और फायदे हैं। आख़िरकार, इस कार्य में कुछ शर्तें निर्धारित की जा सकती हैं।
उदाहरण के लिए, एक्सेल में संख्याओं की श्रृंखला के औसत मूल्यों की गणना सांख्यिकीय कार्यों का उपयोग करके की जाती है। आप मैन्युअल रूप से अपना स्वयं का फॉर्मूला भी दर्ज कर सकते हैं। आइए विभिन्न विकल्पों पर विचार करें।
संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें?
अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, आप सेट में सभी संख्याओं को जोड़ें और योग को संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में एक छात्र के ग्रेड: 3, 4, 3, 5, 5. एक तिमाही के लिए क्या होता है: 4. हमने सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य पाया: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Excel फ़ंक्शंस का उपयोग करके इसे शीघ्रता से कैसे करें? उदाहरण के लिए एक स्ट्रिंग में यादृच्छिक संख्याओं की एक श्रृंखला लें:
या: सेल को सक्रिय बनाएं और बस मैन्युअल रूप से सूत्र दर्ज करें: =AVERAGE(A1:A8)।
अब आइए देखें कि AVERAGE फ़ंक्शन और क्या कर सकता है।
प्रथम दो और अंतिम तीन संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए। सूत्र: =औसत(A1:B1;F1:H1). परिणाम:
स्थिति के अनुसार औसत
अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने की शर्त एक संख्यात्मक मानदंड या एक पाठ्य मानदंड हो सकता है। हम फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे: =AVERAGEIF().
उन संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए जो 10 से अधिक या उसके बराबर हैं।
फ़ंक्शन: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
">=10" शर्त पर AVERAGEIF फ़ंक्शन का उपयोग करने का परिणाम: तीसरा तर्क - "औसत सीमा" - छोड़ा गया है। सबसे पहले, इसकी आवश्यकता नहीं है. दूसरे, प्रोग्राम द्वारा पार्स की गई श्रेणी में केवल संख्यात्मक मान शामिल हैं। पहले तर्क में निर्दिष्ट कक्षों में, खोज दूसरे तर्क में निर्दिष्ट शर्त के अनुसार की जाएगी।
ध्यान! खोज मानदंड को एक सेल में निर्दिष्ट किया जा सकता है। और सूत्र में इसका सन्दर्भ बनाना है।
आइए पाठ मानदंड द्वारा संख्याओं का औसत मान ज्ञात करें। उदाहरण के लिए, उत्पाद "टेबल" की औसत बिक्री।
फ़ंक्शन इस तरह दिखेगा: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12)। रेंज - उत्पाद नामों वाला एक कॉलम। खोज मानदंड "टेबल्स" शब्द वाले सेल का एक लिंक है (आप लिंक ए7 के बजाय "टेबल्स" शब्द डाल सकते हैं)। औसत सीमा - वे सेल जिनसे औसत मूल्य की गणना के लिए डेटा लिया जाएगा।
फ़ंक्शन की गणना के परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होता है:
ध्यान! पाठ मानदंड (शर्त) के लिए, औसत सीमा निर्दिष्ट की जानी चाहिए।
एक्सेल में भारित औसत मूल्य की गणना कैसे करें?
हम भारित औसत कीमत कैसे जानते हैं?
सूत्र: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT सूत्र का उपयोग करके, हम माल की पूरी मात्रा की बिक्री के बाद कुल राजस्व का पता लगाते हैं। और SUM फ़ंक्शन - माल की मात्रा का योग करता है। माल की बिक्री से प्राप्त कुल राजस्व को माल की कुल इकाइयों की संख्या से विभाजित करके, हमने भारित औसत मूल्य पाया। यह सूचक प्रत्येक कीमत के "वजन" को ध्यान में रखता है। उसका हिस्सा कुल द्रव्यमानमूल्य.
मानक विचलन: एक्सेल में सूत्र
सामान्य जनसंख्या और नमूने के लिए मानक विचलन के बीच अंतर करें। पहले मामले में, यह सामान्य भिन्नता का मूल है। दूसरे में, नमूना विचरण से.
इस सांख्यिकीय संकेतक की गणना करने के लिए, एक फैलाव सूत्र संकलित किया जाता है। इसकी जड़ ली जाती है. लेकिन एक्सेल में मानक विचलन खोजने के लिए एक तैयार फ़ंक्शन है।
मानक विचलन स्रोत डेटा के पैमाने से जुड़ा हुआ है। यह विश्लेषित सीमा की भिन्नता के आलंकारिक प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त नहीं है। डेटा में बिखराव का सापेक्ष स्तर प्राप्त करने के लिए, भिन्नता के गुणांक की गणना की जाती है:
मानक विचलन/माध्य अंकगणितीय मान
Excel में सूत्र इस प्रकार दिखता है:
STDEV (मानों की श्रेणी) / औसत (मानों की श्रेणी)।
भिन्नता के गुणांक की गणना प्रतिशत के रूप में की जाती है। इसलिए, हम सेल में प्रतिशत प्रारूप सेट करते हैं।
उत्तर:हर किसी को मिल गया 4 रहिला।उदाहरण 2. पाठ्यक्रमों के लिए अंग्रेजी मेंसोमवार को 15 लोग आए, मंगलवार को - 10, बुधवार को - 12, गुरुवार को - 11, शुक्रवार को - 7, शनिवार को - 14, रविवार को - 8। सप्ताह के लिए पाठ्यक्रमों की औसत उपस्थिति ज्ञात कीजिए।
समाधान:आइए अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:
| 15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8 | = | 77 | = 11 |
| 7 | 7 |
उदाहरण 3. एक ड्राइवर ने 120 किमी/घंटा की गति से दो घंटे और 90 किमी/घंटा की गति से एक घंटे तक गाड़ी चलाई। दौड़ के दौरान कार की औसत गति ज्ञात कीजिए।
समाधान:आइए यात्रा के प्रत्येक घंटे के लिए कार की गति का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें:
| 120 + 120 + 90 | = | 330 | = 110 |
| 3 | 3 |
उदाहरण 4. 3 संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 6 है, और 7 अन्य संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 3 है। इन दस संख्याओं का अंकगणितीय माध्य क्या है?
समाधान:चूँकि 3 संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 6 है, तो उनका योग 6 3 = 18 है, इसी प्रकार शेष 7 संख्याओं का योग 7 3 = 21 है।
तो सभी 10 संख्याओं का योग 18 + 21 = 39 होगा, और अंकगणितीय माध्य है
| 39 | = 3.9 |
| 10 |
की गणना में औसत मूल्य खो जाता है.
औसत अर्थसंख्याओं का सेट इन संख्याओं की संख्या से विभाजित संख्या S के योग के बराबर है। यानी ऐसा पता चलता है औसत अर्थबराबर: 19/4 = 4.75.
टिप्पणी
यदि आपको केवल दो संख्याओं के लिए ज्यामितीय माध्य खोजने की आवश्यकता है, तो आपको इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता नहीं है: दूसरी डिग्री की जड़ निकालें ( वर्गमूल) किसी भी संख्या से सबसे सामान्य कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है।
अंकगणित माध्य के विपरीत, ज्यामितीय माध्य संकेतकों के अध्ययन किए गए सेट में व्यक्तिगत मूल्यों के बीच बड़े विचलन और उतार-चढ़ाव से इतना अधिक प्रभावित नहीं होता है।
स्रोत:
- ऑनलाइन कैलकुलेटर जो ज्यामितीय माध्य की गणना करता है
- ज्यामितीय माध्य सूत्र
औसतमान संख्याओं के समूह की विशेषताओं में से एक है। एक ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो सबसे बड़ी और द्वारा परिभाषित सीमा से बाहर नहीं हो सकती सबसे छोटे मानसंख्याओं के इस सेट में. औसतअंकगणितीय मान - औसत का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला प्रकार।
अनुदेश
अंकगणितीय माध्य प्राप्त करने के लिए सेट में सभी संख्याओं को जोड़ें और उन्हें पदों की संख्या से विभाजित करें। गणना की विशिष्ट स्थितियों के आधार पर, कभी-कभी प्रत्येक संख्या को सेट में मानों की संख्या से विभाजित करना और परिणाम का योग करना आसान होता है।
उदाहरण के लिए, विंडोज़ ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल का उपयोग करें, यदि आपके दिमाग में अंकगणितीय माध्य की गणना करना संभव नहीं है। आप इसे प्रोग्राम लॉन्चर डायलॉग का उपयोग करके खोल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, "हॉट कीज़" विन + आर दबाएं या "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करें और मुख्य मेनू से "रन" कमांड का चयन करें। फिर इनपुट फ़ील्ड में calc टाइप करें और Enter दबाएँ या OK बटन पर क्लिक करें। मुख्य मेनू के माध्यम से भी ऐसा ही किया जा सकता है - इसे खोलें, "सभी प्रोग्राम" अनुभाग पर जाएं और "मानक" अनुभाग में जाएं और "कैलकुलेटर" लाइन का चयन करें।
उनमें से प्रत्येक के बाद प्लस कुंजी दबाकर (अंतिम को छोड़कर) या कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटन पर क्लिक करके सेट में सभी नंबरों को एक के बाद एक दर्ज करें। आप कीबोर्ड से और संबंधित इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करके भी नंबर दर्ज कर सकते हैं।
अंतिम सेट मान दर्ज करने के बाद स्लैश कुंजी दबाएं या कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में इसे क्लिक करें और अनुक्रम में संख्याओं की संख्या प्रिंट करें। फिर समान चिह्न दबाएं और कैलकुलेटर अंकगणितीय माध्य की गणना और प्रदर्शन करेगा।
आप इसी उद्देश्य के लिए स्प्रेडशीट का उपयोग कर सकते हैं। माइक्रोसॉफ्ट संपादकएक्सेल. इस स्थिति में, संपादक प्रारंभ करें और संख्याओं के अनुक्रम के सभी मान आसन्न कक्षों में दर्ज करें। यदि प्रत्येक नंबर दर्ज करने के बाद आप एंटर या डाउन या राइट एरो कुंजी दबाते हैं, तो संपादक स्वयं इनपुट फोकस को आसन्न सेल में ले जाएगा।
यदि आप केवल अंकगणितीय माध्य नहीं देखना चाहते हैं, तो आपके द्वारा दर्ज की गई अंतिम संख्या के आगे वाले सेल पर क्लिक करें। होम टैब पर संपादन कमांड के ग्रीक सिग्मा (Σ) ड्रॉपडाउन का विस्तार करें। पंक्ति का चयन करें " औसत” और संपादक चयनित सेल में अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए वांछित सूत्र सम्मिलित करेगा। एंटर कुंजी दबाएं और मान की गणना की जाएगी।
अंकगणितीय माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक है, जिसका व्यापक रूप से गणित और सांख्यिकीय गणना में उपयोग किया जाता है। माध्य ज्ञात कीजिए अंकगणित संख्याकई मानों के लिए यह बहुत सरल है, लेकिन प्रत्येक कार्य की अपनी बारीकियां होती हैं, जिन्हें सही गणना करने के लिए जानना आवश्यक है।
अंकगणितीय माध्य क्या है
अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संपूर्ण मूल सरणी के लिए औसत मान निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, संख्याओं के एक निश्चित सेट से, सभी तत्वों के लिए सामान्य मान का चयन किया जाता है, जिसकी गणितीय तुलना सभी तत्वों के साथ लगभग बराबर होती है। अंकगणितीय माध्य का उपयोग मुख्य रूप से वित्तीय और की तैयारी में किया जाता है सांख्यिकीय रिपोर्टया समान प्रयोगों के परिणामों की गणना करने के लिए।अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें
संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की खोज इन मानों के बीजगणितीय योग को निर्धारित करने के साथ शुरू होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि सरणी में संख्याएँ 23, 43, 10, 74 और 34 हैं, तो उनका बीजगणितीय योग 184 होगा। लिखते समय, अंकगणितीय माध्य को अक्षर μ (mu) या x (x एक बार के साथ) द्वारा दर्शाया जाता है। . इसके बाद, बीजगणितीय योग को सरणी में संख्याओं की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। इस उदाहरण में, पाँच संख्याएँ थीं, इसलिए अंकगणितीय माध्य 184/5 होगा और 36.8 होगा।ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने की विशेषताएं
यदि सरणी में शामिल है नकारात्मक संख्याएँ, फिर अंकगणित माध्य ज्ञात करना एक समान एल्गोरिथ्म के अनुसार होता है। केवल प्रोग्रामिंग वातावरण में गणना करते समय, या कार्य में अंतर होता है अतिरिक्त शर्तें. इन मामलों में, संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना विभिन्न संकेततीन चरणों तक सिमट जाता है:1. मानक विधि द्वारा सामान्य अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना;
2. ऋणात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना।
3. धनात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना।
प्रत्येक क्रिया के उत्तरों को अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है।
प्राकृतिक और दशमलव भिन्न
यदि संख्याओं की एक सारणी प्रस्तुत की गई है दशमलव, समाधान पूर्णांकों के अंकगणितीय माध्य की गणना की विधि के अनुसार होता है, लेकिन उत्तर की सटीकता के लिए समस्या की आवश्यकताओं के अनुसार परिणाम कम हो जाता है।जब साथ काम कर रहे हों प्राकृतिक अंशउन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जो कि सरणी में संख्याओं की संख्या से गुणा किया जाता है। उत्तर का अंश मूल भिन्नात्मक तत्वों के दिए गए अंशों का योग होगा।
- इंजीनियरिंग कैलकुलेटर.
अनुदेश
ध्यान रखें कि सामान्य स्थिति में, संख्याओं का ज्यामितीय माध्य इन संख्याओं को गुणा करके और उनमें से संख्याओं की संख्या के अनुरूप डिग्री की जड़ निकालकर पाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको पाँच संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करना है, तो आपको गुणनफल से घात का मूल निकालना होगा।
दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, मूल नियम का उपयोग करें। उनका गुणनफल ढूंढें, और फिर उसमें से वर्गमूल निकालें, क्योंकि संख्याएँ दो हैं, जो मूल की डिग्री से मेल खाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 16 और 4 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, उनका गुणनफल 16 4=64 ज्ञात करें। परिणामी संख्या से, वर्गमूल √64=8 निकालें। यह वांछित मान होगा. कृपया ध्यान दें कि इन दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 10 से बड़ा और उसके बराबर है। यदि मूल पूरी तरह से नहीं लिया गया है, तो परिणाम को पूर्णांकित करें आदेश.
दो से अधिक संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए मूल नियम का भी उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, उन सभी संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें जिनके लिए आप ज्यामितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। परिणामी उत्पाद से, संख्याओं की संख्या के बराबर डिग्री की जड़ निकालें। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 4 और 64 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए उनका गुणनफल ज्ञात करें। 2 4 64=512. चूँकि आपको तीन संख्याओं के ज्यामितीय माध्य का परिणाम ज्ञात करने की आवश्यकता है, उत्पाद से तीसरी डिग्री का मूल निकालें। इसे मौखिक रूप से करना कठिन है, इसलिए इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, इसमें एक बटन "x ^ y" है। नंबर 512 डायल करें, "x^y" बटन दबाएँ, फिर नंबर 3 डायल करें और "1/x" बटन दबाएँ, 1/3 का मान ज्ञात करने के लिए "=" बटन दबाएँ। हमें 512 को 1/3 की घात तक बढ़ाने का परिणाम मिलता है, जो तीसरी डिग्री के मूल से मेल खाता है। 512^1/3=8 प्राप्त करें। यह संख्या 2.4 और 64 का ज्यामितीय माध्य है।
इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप ज्यामितीय माध्य को दूसरे तरीके से पा सकते हैं। अपने कीबोर्ड पर लॉग बटन ढूंढें। उसके बाद, प्रत्येक संख्या के लिए लघुगणक लें, उनका योग ज्ञात करें और इसे संख्याओं की संख्या से विभाजित करें। परिणामी संख्या से, प्रतिलघुगणक लें। यह संख्याओं का ज्यामितीय माध्य होगा. उदाहरण के लिए, समान संख्याओं 2, 4 और 64 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, कैलकुलेटर पर संक्रियाओं का एक सेट बनाएं। नंबर 2 टाइप करें, फिर लॉग बटन दबाएँ, "+" बटन दबाएँ, नंबर 4 टाइप करें और लॉग और "+" फिर से दबाएँ, 64 टाइप करें, लॉग और "=" दबाएँ। परिणाम एक संख्या होगी योग के बराबरसंख्या 2, 4 और 64 के दशमलव लघुगणक। परिणामी संख्या को 3 से विभाजित करें, क्योंकि यह उन संख्याओं की संख्या है जिनके द्वारा ज्यामितीय माध्य खोजा जाता है। परिणाम से, रजिस्टर बटन को टॉगल करके एंटीलोगारिथ्म लें और उसी लॉग कुंजी का उपयोग करें। परिणाम संख्या 8 है, यह वांछित ज्यामितीय माध्य है।
) और नमूना माध्य (नमूने)।
विश्वकोश यूट्यूब
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डेटा के सेट को निरूपित करें एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), तो नमूना माध्य आमतौर पर चर के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी द्वारा दर्शाया जाता है (उच्चारण " एक्सएक पानी का छींटा के साथ").
ग्रीक अक्षर μ का उपयोग संपूर्ण जनसंख्या के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक यादृच्छिक मात्रा के लिए, जिसके लिए माध्य मान निर्धारित किया जाता है, μ है संभाव्यता माध्यया किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा। यदि सेट एक्सकिसी भी नमूने के लिए प्रायिकता माध्य μ के साथ यादृच्छिक संख्याओं का एक संग्रह है एक्स मैंइस संग्रह से μ = E( एक्स मैं) इस नमूने की गणितीय अपेक्षा है।
व्यवहार में, μ और के बीच का अंतर x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))उसमें μ एक विशिष्ट चर है, क्योंकि आप संपूर्ण जनसंख्या के बजाय नमूना देख सकते हैं। इसलिए, यदि नमूना यादृच्छिक रूप से (संभावना सिद्धांत के संदर्भ में) प्रस्तुत किया जाता है x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(लेकिन μ नहीं) को नमूने पर संभाव्यता वितरण (माध्य की संभाव्यता वितरण) वाले यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है।
इन दोनों मात्राओं की गणना एक ही तरीके से की जाती है:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)उदाहरण
- तीन संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 3 से विभाजित करना होगा:
- चार संख्याओं के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और 4 से विभाजित करना होगा:
या आसान 5+5=10, 10:2. क्योंकि हमने 2 संख्याएं जोड़ीं, यानी हम जितनी संख्याएं जोड़ते हैं, उतनी संख्या से भाग देते हैं.
निरंतर यादृच्छिक चर
एफ (एक्स) ¯ [ ए ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) एफ(एक्स)डीएक्स)औसत का उपयोग करने की कुछ समस्याएँ
मजबूती का अभाव
यद्यपि अंकगणितीय माध्य को अक्सर साधन या केंद्रीय रुझान के रूप में उपयोग किया जाता है, यह अवधारणा मजबूत आंकड़ों पर लागू नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि अंकगणितीय माध्य "बड़े विचलन" से काफी प्रभावित होता है। यह उल्लेखनीय है कि विषमता के बड़े गुणांक वाले वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य "औसत" की अवधारणा के अनुरूप नहीं हो सकता है, और मजबूत आंकड़ों से माध्य के मान (उदाहरण के लिए, माध्य) केंद्रीय का बेहतर वर्णन कर सकते हैं रुझान।
क्लासिक उदाहरण औसत आय की गणना है. अंकगणितीय माध्य को माध्यिका के रूप में गलत समझा जा सकता है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि वास्तव में जितने लोग हैं, उससे अधिक लोगों की आय अधिक है। "औसत" आय की व्याख्या इस प्रकार की जाती है कि अधिकांश लोगों की आय इस संख्या के करीब होती है। यह "औसत" (अंकगणितीय माध्य के अर्थ में) आय अधिकांश लोगों की आय से अधिक है, क्योंकि औसत से बड़े विचलन के साथ उच्च आय अंकगणितीय माध्य को दृढ़ता से विषम बना देती है (इसके विपरीत, औसत आय "प्रतिरोध" करती है) ऐसा तिरछा)। हालाँकि, यह "औसत" आय औसत आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है (और मॉडल आय के करीब लोगों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कहती है)। हालाँकि, यदि "औसत" और "बहुमत" की अवधारणाओं को हल्के में लिया जाए, तो कोई गलत निष्कर्ष निकाल सकता है कि अधिकांश लोगों की आय वास्तव में उनकी तुलना में अधिक है। उदाहरण के लिए, मदीना, वाशिंगटन में "औसत" शुद्ध आय पर एक रिपोर्ट, जिसकी गणना निवासियों की सभी वार्षिक शुद्ध आय के अंकगणितीय माध्य के रूप में की गई है, आश्चर्यजनक रूप से देगी बड़ी संख्याबिल गेट्स के कारण. नमूने (1, 2, 2, 2, 3, 9) पर विचार करें। अंकगणितीय माध्य 3.17 है, लेकिन छह में से पांच मान इस माध्य से नीचे हैं।
चक्रवृद्धि ब्याज
यदि संख्याएँ गुणा, लेकिन नहीं तह करना, आपको ज्यामितीय माध्य का उपयोग करने की आवश्यकता है, अंकगणितीय माध्य का नहीं। अक्सर, यह घटना वित्त में पेबैक निवेश की गणना करते समय होती है।
उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक पहले वर्ष में 10% गिर गया और दूसरे वर्ष में 30% बढ़ गया, तो इन दो वर्षों में "औसत" वृद्धि की गणना अंकगणितीय माध्य (−10% + 30%) / 2 के रूप में करना गलत है। = 10%; इस मामले में सही औसत चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर द्वारा दिया गया है, जिससे वार्षिक वृद्धि केवल 8.16653826392% ≈ 8.2% है।
इसका कारण यह है कि प्रतिशत का हर बार एक नया प्रारंभिक बिंदु होता है: 30% 30% है पहले वर्ष की शुरुआत में कीमत से कम संख्या से:यदि स्टॉक $30 से शुरू हुआ और 10% गिर गया, तो दूसरे वर्ष की शुरुआत में इसका मूल्य $27 है। यदि स्टॉक 30% ऊपर है, तो दूसरे वर्ष के अंत में इसका मूल्य $35.1 है। इस वृद्धि का अंकगणितीय औसत 10% है, लेकिन चूंकि स्टॉक 2 वर्षों में केवल $5.1 बढ़ा है, 8.2% की औसत वृद्धि $35.1 का अंतिम परिणाम देती है:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]। यदि हम 10% के अंकगणितीय माध्य का उसी तरह उपयोग करते हैं, तो हमें वास्तविक मूल्य नहीं मिलेगा: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]।
वर्ष 2 के अंत में चक्रवृद्धि ब्याज: 90% * 130% = 117%, यानी कुल 17% की वृद्धि, और औसत वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज 117 % ≈ 108.2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\लगभग 108.2\%)यानी 8.2% की औसत वार्षिक वृद्धि। यह संख्या दो कारणों से ग़लत है।
उपरोक्त सूत्र के अनुसार गणना किए गए चक्रीय चर का औसत मान, वास्तविक औसत के सापेक्ष कृत्रिम रूप से संख्यात्मक सीमा के मध्य में स्थानांतरित किया जाएगा। इस वजह से, औसत की गणना अलग तरीके से की जाती है, अर्थात्, सबसे छोटे भिन्नता (केंद्र बिंदु) वाली संख्या को औसत के रूप में चुना जाता है। इसके अलावा, घटाने के बजाय, मॉड्यूलो दूरी (यानी, परिधि दूरी) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1° और 359° के बीच मॉड्यूलर दूरी 2° है, न कि 358° (359° और 360°==0° के बीच एक वृत्त पर - एक डिग्री, 0° और 1° के बीच - कुल मिलाकर 1° भी - 2°).
अंकगणित माध्य की अवधारणा का अर्थ पहले से निर्धारित संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए औसत मूल्य की गणना के एक सरल अनुक्रम का परिणाम है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा मान समय दिया गयाकई उद्योगों में विशेषज्ञों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सांख्यिकी उद्योग में अर्थशास्त्रियों या श्रमिकों द्वारा गणना करते समय सूत्रों को जाना जाता है, जहां इस प्रकार का मूल्य होना आवश्यक है। इसके अलावा, यह सूचक उपरोक्त से संबंधित कई अन्य उद्योगों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।
इस मान की गणना की एक विशेषता प्रक्रिया की सरलता है। गणना करनाकोई भी कर सकता है। इसके लिए आपको किसी विशेष शिक्षा की आवश्यकता नहीं है। अक्सर कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होती है।
अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न के उत्तर के रूप में, कई स्थितियों पर विचार करें।
इस मान की गणना करने का सबसे सरल तरीका दो संख्याओं के लिए इसकी गणना करना है। इस मामले में गणना प्रक्रिया बहुत सरल है:
- प्रारंभ में, चयनित संख्याओं को जोड़ने का कार्य करना आवश्यक है। यह अक्सर, जैसा कि वे कहते हैं, इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का उपयोग किए बिना, मैन्युअल रूप से किया जा सकता है।
- जोड़ लगाने और उसका परिणाम प्राप्त होने के बाद भाग देना आवश्यक होता है। इस ऑपरेशन में दो जोड़ी गई संख्याओं के योग को दो से विभाजित करना शामिल है - जोड़ी गई संख्याओं की संख्या। यह वह क्रिया है जो आपको आवश्यक मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देगी।
FORMULA
इस प्रकार, दो के मामले में आवश्यक मूल्य की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:
(ए+बी)/2
यह सूत्र निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करता है:
ए और बी पूर्व-चयनित संख्याएँ हैं जिनके लिए आपको एक मान ज्ञात करना होगा।
तीन के लिए एक मूल्य ढूँढना
ऐसी स्थिति में इस मान की गणना जहां तीन संख्याएं चुनी गई हैं, पिछले विकल्प से बहुत भिन्न नहीं होगी:
- ऐसा करने के लिए, गणना में आवश्यक संख्याओं का चयन करें और कुल प्राप्त करने के लिए उन्हें जोड़ें।
- तीन का यह योग मिल जाने पर पुनः विभाजन प्रक्रिया करना आवश्यक होता है। इस मामले में, परिणामी राशि को तीन से विभाजित किया जाना चाहिए, जो चयनित संख्याओं की संख्या से मेल खाती है।
FORMULA
इस प्रकार, अंकगणित तीन की गणना करते समय आवश्यक सूत्र इस तरह दिखेगा:
(ए+बी+सी)/3
इस सूत्र मेंनिम्नलिखित संकेतन अपनाया गया है:
ए, बी और सी वे संख्याएं हैं जिनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना आवश्यक होगा।
चार के अंकगणितीय माध्य की गणना
जैसा कि पिछले विकल्पों के अनुरूप देखा जा चुका है, चार के बराबर राशि के लिए इस मान की गणना निम्नलिखित क्रम में होगी:
- चार अंक चुने गए हैं जिनके लिए अंकगणितीय माध्य की गणना की जानी है। इसके बाद, इस प्रक्रिया का सारांश और अंतिम परिणाम निकाला जाता है।
- अब, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको परिणामी योग चार लेना चाहिए और इसे चार से विभाजित करना चाहिए। प्राप्त डेटा आवश्यक मान होगा.
FORMULA
चार के लिए अंकगणितीय माध्य खोजने के लिए ऊपर वर्णित क्रियाओं के अनुक्रम से, आप निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
(ए+बी+सी+ई)/4
इस सूत्र मेंचर के निम्नलिखित अर्थ हैं:
ए, बी, सी और ई वे हैं जिनके लिए आपको अंकगणितीय माध्य का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।
इस सूत्र का उपयोग करके, दी गई संख्याओं के लिए आवश्यक मान की गणना करना हमेशा संभव होगा।
पाँच के अंकगणितीय माध्य की गणना
इस ऑपरेशन को करने के लिए क्रियाओं के एक निश्चित एल्गोरिदम की आवश्यकता होगी।
- सबसे पहले, आपको पाँच संख्याओं का चयन करना होगा जिनके लिए अंकगणितीय माध्य की गणना की जाएगी। इस चयन के बाद, इन नंबरों को, पिछले विकल्पों की तरह, आपको बस जोड़ना होगा और अंतिम राशि प्राप्त करनी होगी।
- परिणामी राशि को उनकी संख्या से पांच से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, जो आपको आवश्यक मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देगा।
FORMULA
इस प्रकार, पहले से विचार किए गए विकल्पों के समान, हमें अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:
(ए+बी+सी+ई+पी)/5
इस सूत्र में, चरों में निम्नलिखित संकेतन हैं:
ए, बी, सी, ई और पी वे संख्याएं हैं जिनके लिए आप अंकगणितीय माध्य प्राप्त करना चाहते हैं।
सार्वभौमिक गणना सूत्र
समीक्षा का आयोजन विभिन्न विकल्पसूत्रों अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए, आप इस बात पर ध्यान दे सकते हैं कि उनके पास क्या है सामान्य पैटर्न.
इसलिए, अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने के लिए सामान्य सूत्र को लागू करना अधिक व्यावहारिक होगा। आख़िरकार, ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब गणनाओं की संख्या और आकार बहुत बड़ा हो सकता है। इसलिए, इस मान की गणना के लिए हर बार एक सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना और हर बार एक व्यक्तिगत तकनीक का उपयोग न करना बुद्धिमानी होगी।
सूत्र निर्धारण में मुख्य बात है अंकगणित माध्य की गणना का सिद्धांतओ
यह सिद्धांत, जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से देखा गया था, इस प्रकार दिखता है:
- आवश्यक मान प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट संख्याओं की संख्या की गणना की जाती है। इस ऑपरेशन को मैन्युअल रूप से कम संख्या में संख्याओं के साथ और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की सहायता से किया जा सकता है।
- चयनित संख्याओं का योग किया गया है। अधिकांश स्थितियों में यह ऑपरेशन कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके किया जाता है, क्योंकि संख्याओं में दो, तीन या अधिक अंक हो सकते हैं।
- चयनित संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त राशि को उनकी संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए। यह मान अंकगणितीय माध्य की गणना के प्रारंभिक चरण में निर्धारित किया जाता है।
इस प्रकार, सामान्य सूत्रचयनित संख्याओं की श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए इस तरह दिखेगा:
(ए+बी+…+एन)/एन
इस सूत्र में शामिल हैनिम्नलिखित चर:
ए और बी वे संख्याएं हैं जिन्हें उनके अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए पहले से चुना जाता है।
एन उन संख्याओं की संख्या है जो आवश्यक मान की गणना करने के लिए ली गई थीं।
प्रत्येक बार इस सूत्र में चयनित संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हुए, हम हमेशा अंकगणितीय माध्य का आवश्यक मान प्राप्त कर सकते हैं।
जैसा देखा, अंकगणितीय माध्य ज्ञात करनाएक आसान प्रक्रिया है. हालाँकि, गणनाओं पर ध्यान देना और प्राप्त परिणाम की जाँच करना आवश्यक है। इस दृष्टिकोण को इस तथ्य से समझाया गया है कि सबसे सरल स्थितियों में भी, त्रुटि होने की संभावना है, जो आगे की गणना को प्रभावित कर सकती है। इस संबंध में, ऐसी कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है जो किसी भी जटिलता की गणना करने में सक्षम हो।
