बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
और क्या आपके पास है कैलकुलेटर पर निर्भरता? या क्या आपको लगता है कि, उदाहरण के लिए, कैलकुलेटर या वर्गों की तालिका का उपयोग करने के अलावा, गणना करना बहुत मुश्किल है।
ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे कैलकुलेटर से बंधे होते हैं और यहां तक कि पोषित बटन दबाकर 0.7 को 0.5 से गुणा कर देते हैं। वे कहते हैं, ठीक है, मैं अभी भी गणना करना जानता हूं, लेकिन अब मैं समय बचाऊंगा... परीक्षा होगी... फिर मैं तनावग्रस्त हो जाऊंगा...
तो सच तो यह है कि वैसे भी परीक्षा में बहुत सारे "तनावपूर्ण क्षण" होंगे... जैसा कि कहा जाता है, पानी पत्थर को घिस देता है। तो परीक्षा में, छोटी-छोटी चीज़ें, यदि उनमें से बहुत सारी हों, आपको निराश कर सकती हैं...
आइए संभावित परेशानियों की संख्या को कम करें।
बड़ी संख्या का वर्गमूल निकालना
अब हम केवल उस स्थिति के बारे में बात करेंगे जब वर्गमूल निकालने का परिणाम पूर्णांक हो।
मामला एक
तो, आइए हमें हर तरह से (उदाहरण के लिए, विवेचक की गणना करते समय) 86436 के वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता है।
हम संख्या 86436 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करेंगे। हम 2 से विभाजित करते हैं, हमें 43218 मिलता है; पुनः हम 2 से विभाजित करते हैं, - हमें 21609 प्राप्त होता है। संख्या 2 से अधिक विभाजित नहीं होती है। लेकिन चूंकि अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है (सामान्यतया, यह देखा जा सकता है कि यह 9 से भी विभाज्य है)। . एक बार फिर हम 3 से भाग देते हैं, तो हमें 2401 प्राप्त होता है। 2401, 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है। पांच से विभाज्य नहीं (0 या 5 पर समाप्त नहीं होता)।
हमें 7 से विभाज्यता पर संदेह है। वास्तव में, ए,
तो, पूरा ऑर्डर!
केस 2
आइए हमें गणना करने की आवश्यकता है। ऊपर वर्णित तरीके से कार्य करना असुविधाजनक है। कारक बनाने की कोशिश की जा रही है...
संख्या 1849 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (यह सम नहीं है)...
यह 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है)...
यह 5 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 5 या 0 नहीं है)...
यह 7 से पूरी तरह विभाज्य नहीं है, यह 11 से विभाज्य नहीं है, यह 13 से विभाज्य नहीं है... खैर, इस तरह सभी अभाज्य संख्याओं को समझने में हमें कितना समय लगेगा?
आइए थोड़ा अलग ढंग से बहस करें।
हम इसे समझते हैं
हमने खोज को सीमित कर दिया। अब हम 41 से 49 तक की संख्याओं को क्रमबद्ध करते हैं। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि चूँकि संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो विकल्प 43 या 47 पर रुकना उचित है - केवल ये संख्याएँ, जब वर्गित की जाती हैं, तो अंतिम अंक देंगी 9.
खैर, यहाँ पहले से ही, निश्चित रूप से, हम 43 पर रुकते हैं। वास्तव में,
पी.एस.आखिर हम 0.7 को 0.5 से गुणा कैसे करते हैं?
आपको शून्य और चिह्नों को नज़रअंदाज करते हुए 5 को 7 से गुणा करना चाहिए और फिर दाएँ से बाएँ जाते हुए दो दशमलव स्थानों को अलग करना चाहिए। हमें 0.35 मिलता है।
छात्र हमेशा पूछते हैं: “मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता? बिना कैलकुलेटर के किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।
कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?
कार्रवाई वर्गमूल निष्कर्षणवर्ग करने के विपरीत.
√81= 9 9 2 =81
यदि हम किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल लें और परिणाम का वर्ग करें, तो हमें वही संख्या प्राप्त होती है।
छोटी संख्याओं से जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की एक तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने से, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से अधिक संख्याओं से, आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आइए इस पद्धति पर विचार करने के लिए एक उदाहरण का प्रयास करें।
उदाहरण: संख्या 676 का मूल निकालें.
हमने देखा कि 20 2 = 400, और 30 2 = 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.
प्राकृतिक संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; 1; 4; 5; 6; 9.
संख्या 6 4 2 और 6 2 द्वारा दी गई है।
इसलिए, यदि मूल 676 से लिया जाता है, तो यह या तो 24 या 26 होता है।
यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।
उत्तर: √676 = 26 .
अधिक उदाहरण: √6889 .
चूँकि 80 2 = 6400, और 90 2 = 8100, तो 80< √6889 < 90.
संख्या 9 3 2 और 7 2 द्वारा दी गई है, तो √6889 या तो 83 या 87 है।
जांचें: 83 2 = 6889.
उत्तर: √6889 = 83 .
यदि आपको चयन विधि द्वारा हल करना कठिन लगता है, तो आप मूल अभिव्यक्ति का गुणनखंडन कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, √893025 खोजें.
आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।
हमें मिलता है: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।
अधिक उदाहरण: √20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:
हमें मिलता है √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
बेशक, फैक्टरिंग के लिए विभाज्यता मानदंड और फैक्टरिंग कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
और अंततः, वहाँ है वर्गमूल नियम. आइए इस नियम को एक उदाहरण से देखें।
√279841 की गणना करें.
एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएं से बाएं ओर 2 अंकों वाले फलकों में विभाजित करते हैं (बाएं चरम फलक में एक अंक हो सकता है)। ऐसे लिखें 27'98'41
मूल (5) का पहला अंक प्राप्त करने के लिए, हम पहले बाएँ फलक (27) में निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग का वर्गमूल निकालते हैं।
फिर मूल के पहले अंक (25) का वर्ग पहले फलक से घटा दिया जाता है और अगले फलक (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार (ध्वस्त) कर दिया जाता है।
परिणामी संख्या 298 के बाईं ओर, वे मूल का दोहरा अंक (10) लिखते हैं, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 ≈ 2) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करते हैं, भागफल का अनुभव करते हैं (102 ∙ 2 = 204, 298) से अधिक नहीं होना चाहिए और मूल के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 से घटा दिया जाता है, और अगले पहलू (41) को अंतर (94) के लिए जिम्मेदार (ध्वस्त) कर दिया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, वे मूल के अंकों का दोहरा गुणनफल लिखते हैं (52 ∙ 2 = 104), इस गुणनफल से संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करते हैं, अनुभव करते हैं भागफल (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिखें।
हमें उत्तर मिला √279841 = 529.
इसी प्रकार निकालें दशमलव की जड़ें. केवल मूलांक संख्या को फलकों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि फलकों के बीच अल्पविराम हो।
उदाहरण. मान ज्ञात करें √0.00956484.
बस याद रखें कि यदि दशमलव भिन्न में दशमलव स्थानों की संख्या विषम है, तो उससे सटीक वर्गमूल नहीं निकाला जाता है।
तो, अब आपने जड़ निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपके लिए सबसे उपयुक्त हो और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको उन्हें हल करना होगा। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें।
साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।
आइए एक उदाहरण के साथ इस एल्गोरिदम पर विचार करें। पता लगाते हैं
पहला कदम. हम मूल के नीचे की संख्या को दो अंकों में विभाजित करते हैं (दाएं से बाएं):
दूसरा चरण. हम पहले फलक से वर्गमूल निकालते हैं, यानी संख्या 65 से हमें संख्या 8 मिलती है। पहले फलक के नीचे हम संख्या 8 का वर्ग लिखते हैं और घटाते हैं। हम शेषफल के लिए दूसरे फलक (59) का श्रेय देते हैं:
(संख्या 159 पहला शेषफल है)।
तीसरा चरण. हम पाए गए रूट को दोगुना करते हैं और परिणाम को बाईं ओर लिखते हैं:
चौथा चरण. हम शेषफल (159) में दाईं ओर एक अंक अलग करते हैं, बाईं ओर हमें दहाई की संख्या मिलती है (यह 15 के बराबर है)। फिर हम 15 को मूल के दोगुने पहले अंक से विभाजित करते हैं, यानी 16 से, चूँकि 15, 16 से विभाज्य नहीं है, तो भागफल में हमें शून्य मिलता है, जिसे हम मूल के दूसरे अंक के रूप में लिखते हैं। तो, भागफल में हमें संख्या 80 मिली, जिसे हम फिर से दोगुना करते हैं, और अगले चेहरे को ध्वस्त कर देते हैं
(संख्या 15901 दूसरा शेषफल है)।
5वाँ चरण. हम दूसरे शेष में दाईं ओर से एक अंक अलग करते हैं और परिणामी संख्या 1590 को 160 से विभाजित करते हैं। परिणाम (संख्या 9) को मूल के तीसरे अंक के रूप में लिखा जाता है और संख्या 160 को सौंपा जाता है। परिणामी संख्या 1609 को 9 से गुणा किया जाता है और हमें निम्नलिखित शेषफल (1420) मिलता है:
आगे की क्रियाएं एल्गोरिथम में बताए गए क्रम में की जाती हैं (जड़ को सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ निकाला जा सकता है)।
टिप्पणी। यदि मूल अभिव्यक्ति एक दशमलव अंश है, तो उसके पूर्णांक भाग को दाएँ से बाएँ दो अंकों में विभाजित किया जाता है, भिन्नात्मक भाग को बाएँ से दाएँ दो अंकों में विभाजित किया जाता है, और मूल को निर्दिष्ट एल्गोरिथ्म के अनुसार निकाला जाता है।
उपदेशात्मक सामग्री
1. संख्या का वर्गमूल निकालें: a) 32; बी) 32.45; ग) 249.5; घ) 0.9511.
छात्र हमेशा पूछते हैं: “मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता? बिना कैलकुलेटर के किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।
कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?
कार्रवाई वर्गमूल निष्कर्षणवर्ग करने के विपरीत.
√81= 9 9 2 =81
यदि हम किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल लें और परिणाम का वर्ग करें, तो हमें वही संख्या प्राप्त होती है।
छोटी संख्याओं से जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की एक तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने से, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से अधिक संख्याओं से, आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आइए इस पद्धति पर विचार करने के लिए एक उदाहरण का प्रयास करें।
उदाहरण: संख्या 676 का मूल निकालें.
हमने देखा कि 20 2 = 400, और 30 2 = 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.
प्राकृतिक संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; 1; 4; 5; 6; 9.
संख्या 6 4 2 और 6 2 द्वारा दी गई है।
इसलिए, यदि मूल 676 से लिया जाता है, तो यह या तो 24 या 26 होता है।
यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।
उत्तर: √676 = 26 .
अधिक उदाहरण: √6889 .
चूँकि 80 2 = 6400, और 90 2 = 8100, तो 80< √6889 < 90.
संख्या 9 3 2 और 7 2 द्वारा दी गई है, तो √6889 या तो 83 या 87 है।
जांचें: 83 2 = 6889.
उत्तर: √6889 = 83 .
यदि आपको चयन विधि द्वारा हल करना कठिन लगता है, तो आप मूल अभिव्यक्ति का गुणनखंडन कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, √893025 खोजें.
आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने इसे छठी कक्षा में किया था।
हमें मिलता है: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।
अधिक उदाहरण: √20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:
हमें मिलता है √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
बेशक, फैक्टरिंग के लिए विभाज्यता मानदंड और फैक्टरिंग कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
और अंततः, वहाँ है वर्गमूल नियम. आइए इस नियम को एक उदाहरण से देखें।
√279841 की गणना करें.
एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएं से बाएं ओर 2 अंकों वाले फलकों में विभाजित करते हैं (बाएं चरम फलक में एक अंक हो सकता है)। ऐसे लिखें 27'98'41
मूल (5) का पहला अंक प्राप्त करने के लिए, हम पहले बाएँ फलक (27) में निहित सबसे बड़े सटीक वर्ग का वर्गमूल निकालते हैं।
फिर मूल के पहले अंक (25) का वर्ग पहले फलक से घटा दिया जाता है और अगले फलक (98) को अंतर के लिए जिम्मेदार (ध्वस्त) कर दिया जाता है।
परिणामी संख्या 298 के बाईं ओर, वे मूल का दोहरा अंक (10) लिखते हैं, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 ≈ 2) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करते हैं, भागफल का अनुभव करते हैं (102 ∙ 2 = 204, 298) से अधिक नहीं होना चाहिए और मूल के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 से घटा दिया जाता है, और अगले पहलू (41) को अंतर (94) के लिए जिम्मेदार (ध्वस्त) कर दिया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, वे मूल के अंकों का दोहरा गुणनफल लिखते हैं (52 ∙ 2 = 104), इस गुणनफल से संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करते हैं, अनुभव करते हैं भागफल (1049 ∙ 9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिखें।
हमें उत्तर मिला √279841 = 529.
इसी प्रकार निकालें दशमलव की जड़ें. केवल मूलांक संख्या को फलकों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि फलकों के बीच अल्पविराम हो।
उदाहरण. मान ज्ञात करें √0.00956484.
बस याद रखें कि यदि दशमलव भिन्न में दशमलव स्थानों की संख्या विषम है, तो उससे सटीक वर्गमूल नहीं निकाला जाता है।
तो, अब आपने जड़ निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपके लिए सबसे उपयुक्त हो और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए, आपको उन्हें हल करना होगा। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं,.
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अध्याय प्रथम.
किसी दिए गए पूर्णांक से सबसे बड़े पूर्णांक का वर्गमूल निकालना।
170. प्रारंभिक टिप्पणियाँ.
ए)चूँकि हम इस अध्याय में केवल वर्गमूल निकालने के बारे में बात करेंगे, इसलिए संक्षिप्तता के लिए हम "वर्ग" मूल के बजाय बस "मूल" कहेंगे।
बी)यदि हम प्राकृतिक श्रृंखला की संख्याओं का वर्ग करें: 1,2,3,4,5। . . , तो हमें वर्गों की निम्नलिखित तालिका मिलती है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144। .,
जाहिर है, ऐसे बहुत से पूर्णांक हैं जो इस तालिका में नहीं हैं; निःसंदेह, ऐसी संख्याओं से संपूर्ण मूल निकालना असंभव है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि आप किसी पूर्णांक का मूल लेना चाहते हैं। √4082 खोजना आवश्यक है, फिर हम इस आवश्यकता को इस प्रकार समझने के लिए सहमत होंगे: यदि संभव हो तो 4082 से संपूर्ण रूट निकालें; यदि नहीं, तो हमें सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करना होगा जिसका वर्ग 4082 है (ऐसी संख्या 63 है, क्योंकि 63 2 = 3969, और 64 2 = 4090)।
वी)यदि यह संख्या 100 से कम है, तो इसका मूल गुणन सारणी में है; तो √60 7 होगा, क्योंकि सेम 7 बराबर 49 है, जो 60 से कम है, और 8 बराबर 64 है, जो 60 से अधिक है।
171. 10,000 से कम लेकिन 100 से बड़ी संख्या का मूल निकालना।मान लीजिए कि √4082 खोजना आवश्यक है। चूँकि यह संख्या 10,000 से कम है, तो इसका मूल √l0 000 = 100 से कम है। दूसरी ओर, यह संख्या 100 से अधिक है; इसलिए इसका मूल 10 से बड़ा (या उसके बराबर) है। (यदि, उदाहरण के लिए, √ खोजना आवश्यक था 120 , फिर यद्यपि संख्या 120 > 100, तथापि √ 120 10 के बराबर है क्योंकि 11 2 = 121.) लेकिन कोई भी संख्या जो 10 से बड़ी लेकिन 100 से कम है उसमें 2 अंक होते हैं; तो वांछित मूल योग है:
दहाई + इकाई,
और इसलिए इसका वर्ग योग के बराबर होना चाहिए:
यह योग 4082 में निहित सबसे बड़ा वर्ग होना चाहिए।
आइए हम उनमें से सबसे बड़ा, 36 लें, और मान लें कि मूल के दहाई का वर्ग इस सबसे बड़े वर्ग के बराबर होगा। तो फिर मूल में दहाई की संख्या 6 होनी चाहिए। आइए अब जाँच करें कि यह हमेशा होना चाहिए, यानी, मूल की दहाई की संख्या हमेशा मूल संख्या के सैकड़ों के सबसे बड़े पूर्णांक मूल के बराबर होती है।
दरअसल, हमारे उदाहरण में, मूल के दसियों की संख्या 6 से अधिक नहीं हो सकती, क्योंकि (7 दिसंबर) 2 = 49 सैकड़ा, जो 4082 से अधिक है। लेकिन यह 6 से कम नहीं हो सकता, क्योंकि 5 दिसंबर। (इकाइयों के साथ) 6 डेस से कम है, लेकिन इस बीच (6 डेस) 2 = 36 सैकड़े, जो कि 4082 से कम है। और चूँकि हम सबसे बड़े पूर्णांक मूल की तलाश कर रहे हैं, हमें मूल के लिए 5 डेस नहीं लेना चाहिए, जब 6 दहाई बहुत कुछ नहीं है.
तो, हमने मूल की दहाई की संख्या ज्ञात की है, अर्थात् 6. हम इस संख्या को = चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं, यह याद रखते हुए कि इसका अर्थ मूल की दहाई है। इसे वर्ग तक बढ़ाने पर हमें 36 शतक मिलते हैं। हम मूल संख्या के 40 सैकड़े में से इन 36 सैकड़ों को घटा देते हैं और इस संख्या के अन्य दो अंकों को ध्वस्त कर देते हैं। शेष 482 में 2 (6 डेसी.) (इकाइयाँ) + (इकाइयाँ) 2 होना चाहिए। (6 dec.) (इकाई) का गुणनफल दहाई होना चाहिए; इसलिए, इकाइयों द्वारा दहाई का दोगुना गुणनफल शेष के दहाई में खोजा जाना चाहिए, यानी, 48 में (शेष 48 "2 में दाईं ओर से एक अंक को अलग करके हम उनकी संख्या प्राप्त करेंगे)। जो अभी तक ज्ञात नहीं हैं) , तो हमें 48 में निहित संख्या प्राप्त करनी चाहिए। इसलिए, हम 48 को 12 से विभाजित करेंगे।
ऐसा करने के लिए, हम शेषफल के बाईं ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं और उसके पीछे (लक्ष्य के लिए रेखा से एक स्थान बाईं ओर प्रस्थान करते हुए जो अब मिलेगा) हम मूल का दोगुना पहला अंक लिखते हैं, यानी 12, और इसमें 48 को भाग दें। भागफल में हमें 4 प्राप्त होता है।
हालाँकि, कोई पहले से गारंटी नहीं दे सकता है कि संख्या 4 को मूल की इकाइयों के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि अब हमने शेष दहाई की पूरी संख्या को 12 से विभाजित कर दिया है, जबकि उनमें से कुछ दहाई के दोहरे उत्पाद से संबंधित नहीं हो सकते हैं इकाइयों द्वारा, लेकिन इकाइयों के वर्ग का हिस्सा हैं। इसलिए, संख्या 4 बड़ी हो सकती है। तुम्हें उसका परीक्षण करना होगा. यह स्पष्ट रूप से उपयुक्त है यदि 2 (6 dec.) 4 + 4 2 का योग शेषफल 482 से अधिक न हो।
परिणामस्वरूप, हमें तुरंत दोनों का योग मिल जाता है। परिणामी उत्पाद 496 निकला, जो शेष 482 से अधिक है; तो 4 बड़ा है. फिर हम अगली छोटी संख्या 3 का भी इसी तरह परीक्षण करेंगे।
उदाहरण।
चौथे उदाहरण में, 47 दहाई को 4 से विभाजित करने पर, हमें भागफल में 11 प्राप्त होता है। लेकिन चूंकि मूल का इकाई अंक दो अंकों की संख्या 11 या 10 नहीं हो सकता है, इसलिए हमें सीधे संख्या 9 का परीक्षण करना होगा।
5वें उदाहरण में, वर्ग के पहले फलक से 8 घटाने पर शेषफल 0 है और अगले फलक में भी शून्य है। इससे पता चलता है कि वांछित मूल में केवल 8 दहाई हैं, और इसलिए इकाइयों के स्थान पर शून्य डालना होगा।
172. 10000 से बड़ी संख्या का मूल निकालना. मान लीजिए कि इसे √35782 खोजना आवश्यक है। चूँकि मूल संख्या 10,000 से अधिक है, तो इसका मूल √10000 = 100 से अधिक है और इसलिए, इसमें 3 अंक या अधिक होते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसमें कितने अंक हैं, हम इसे हमेशा केवल दहाई और इकाइयों का योग ही मान सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि मूल 482 निकला, तो हम इसे 48 डेस का योग मान सकते हैं। + 2 इकाइयाँ तब मूल के वर्ग में 3 पद होंगे:
(दिसम्बर) 2 + 2 (दिसम्बर) (संयुक्त राष्ट्र) + (संयुक्त राष्ट्र) 2 .
अब हम ठीक उसी तरह तर्क कर सकते हैं जैसे √4082 (पिछले पैराग्राफ में) ढूंढते समय करते थे। अंतर केवल इतना होगा कि 4082 के मूल का दहाई ज्ञात करने के लिए, हमें 40 का मूल निकालना होगा, और यह गुणन सारणी का उपयोग करके किया जा सकता है; अब, दहाई√35782 प्राप्त करने के लिए, हमें 357 का मूल निकालना होगा, जो गुणन सारणी का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। लेकिन हम पिछले पैराग्राफ में वर्णित ट्रिक से संख्या 357 से √357 पा सकते हैं< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.
इसके बाद, हम वैसे ही आगे बढ़ते हैं जैसे हमने √4082 ज्ञात करते समय किया था, अर्थात्: 3382 के शेषफल के बाईं ओर हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं और उसके बाद हम पाए गए मूल दहाई की संख्या का दोगुना (रेखा से एक स्थान हटकर) लिखते हैं, यानी। 36 (दो बार 18). शेषफल में, हम दाहिनी ओर से एक अंक अलग करते हैं और शेष के दहाई की संख्या, यानी 338, को 36 से विभाजित करते हैं। भागफल में हमें 9 मिलता है। हम इस संख्या का परीक्षण करते हैं, जिसके लिए हम इसे दाहिनी ओर 36 से जोड़ते हैं और इसे इससे गुणा करें. गुणनफल 3321 निकला, जो शेष से कम है। अतः 9 अंक अच्छा है, हम इसे मूल में लिखते हैं।
सामान्यतः किसी भी पूर्ण संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए पहले उसके सैकड़े का मूल निकालना पड़ता है; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको इन सैकड़ों की संख्या में से, यानी किसी दी गई संख्या के दसियों हज़ार में से मूल खोजना होगा; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको सैकड़ों दसियों हज़ार की संख्या से, यानी किसी दी गई संख्या के लाखों से, आदि से मूल निकालना होगा।
उदाहरण।
अंतिम उदाहरण में, पहला अंक ज्ञात करने और उसका वर्ग घटाने पर, हमें शेषफल में 0 प्राप्त होता है। हम अगले 2 अंक 51 को तोड़ देते हैं। दहाई को अलग करने पर, हमें 5 dec प्राप्त होता है, जबकि दो बार प्राप्त मूल अंक 6 है। इसलिए, विभाजित करना 5 बटा 6 हमें 0 मिलता है हम मूल 0 को दूसरे स्थान पर रखते हैं और शेष 2 अंकों को हटा देते हैं; हमें 5110 मिलता है। फिर हम हमेशा की तरह जारी रखते हैं।
इस उदाहरण में, वांछित मूल में केवल 9 सैकड़ों हैं, और इसलिए दहाई और इकाइयों के स्थान पर शून्य लगाया जाना चाहिए।
नियम। किसी दिए गए पूर्णांक का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे दाएं हाथ से बाएं ओर, किनारे पर, प्रत्येक में 2 अंकों के साथ तोड़ें, अंतिम को छोड़कर, जिसमें एक अंक हो सकता है।
मूल का पहला अंक ज्ञात करने के लिए, पहले फलक का वर्गमूल लें।
दूसरा अंक ज्ञात करने के लिए, मूल के पहले अंक का वर्ग पहले फलक से घटाया जाता है, दूसरे फलक को शेषफल तक घटाया जाता है, और परिणामी संख्या के दहाई की संख्या को मूल के पहले अंक के दोगुने से विभाजित किया जाता है ; परिणामी पूर्णांक का परीक्षण किया जाता है।
यह परीक्षण निम्नानुसार किया जाता है: ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे (शेष के बाईं ओर) वे मूल की पहले से पाई गई दो बार संख्या लिखते हैं और इसके दाईं ओर, वे परीक्षण आकृति, परिणामी संख्या, के बाद लिखते हैं इस जोड़ से, संख्या को परीक्षण आंकड़े से गुणा किया जाता है। यदि गुणन के बाद कोई संख्या प्राप्त होती है जो शेषफल से बड़ी है, तो परीक्षण आंकड़ा अच्छा नहीं है और अगली छोटी संख्या का परीक्षण किया जाना चाहिए।
मूल की निम्नलिखित संख्याएँ इसी विधि से ज्ञात की जाती हैं।
यदि फलक को ध्वस्त करने के बाद परिणामी संख्या के दहाई की संख्या भाजक से कम हो जाती है, अर्थात मूल के पाए गए भाग के दोगुने से कम हो जाती है, तो मूल में 0 डाल दिया जाता है, अगला फलक ध्वस्त कर दिया जाता है और कार्रवाई आगे भी जारी है.
173. मूल के अंकों की संख्या.मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि मूल में उतने ही अंक होते हैं जितने मूल संख्या में 2-2 अंकों के फलक होते हैं (बाईं ओर एक अंक हो सकता है)।
अध्याय दो।
पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं से अनुमानित वर्गमूल निकालना .
बहुपदों का वर्गमूल निकालते हुए, § 399 वगैरह के दूसरे भाग में जोड़ देखें।
174. एक सटीक वर्गमूल के लक्षण.किसी दी गई संख्या का सटीक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसका वर्ग दी गई संख्या के बिल्कुल बराबर होता है। आइए हम कुछ संकेत बताएं जिनके द्वारा कोई यह अनुमान लगा सकता है कि किसी दिए गए नंबर से सटीक मूल निकाला गया है या नहीं:
ए)यदि किसी दिए गए पूर्णांक से सटीक पूर्णांक मूल नहीं निकाला जाता है (यह शेषफल निकालने पर प्राप्त होता है), तो ऐसी संख्या से भिन्नात्मक सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है, क्योंकि कोई भी अंश जो पूर्णांक के बराबर नहीं होता है, जब स्वयं से गुणा किया जाता है , उत्पाद में एक अंश भी देता है, पूर्णांक नहीं।
बी)चूँकि किसी भिन्न का मूल अंश के मूल को हर के मूल से विभाजित करने के बराबर होता है, एक अपरिवर्तनीय भिन्न का सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है यदि इसे अंश या हर से नहीं निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 4/5, 8/9 और 11/15 से सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता है, क्योंकि पहले भिन्न में इसे हर से नहीं निकाला जा सकता है, दूसरे में - अंश से और तीसरे में - न ही से। न तो अंश से और न ही हर से।
ऐसी संख्याओं से, जिनसे सटीक मूल निकालना असंभव है, केवल अनुमानित मूल ही निकाले जा सकते हैं।
175. अनुमानित जड़ 1 तक. किसी दी गई संख्या के 1 तक का अनुमानित वर्गमूल (पूर्णांक या भिन्नात्मक - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) एक पूर्णांक है जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करता है:
1) इस संख्या का वर्ग दी गई संख्या से बड़ा नहीं है; 2) लेकिन इस संख्या का वर्ग 1 बढ़ाने पर दी गई संख्या से अधिक होता है। दूसरे शब्दों में, 1 तक का अनुमानित वर्गमूल किसी दी गई संख्या का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल होता है, अर्थात वह मूल जिसे हमने पिछले अध्याय में खोजना सीखा था। इस मूल को 1 तक अनुमानित कहा जाता है, क्योंकि एक सटीक मूल प्राप्त करने के लिए, इस अनुमानित मूल में 1 से कम कुछ अंश जोड़ना होगा, इसलिए यदि हम अज्ञात सटीक मूल के बजाय इस अनुमानित मूल को लेते हैं, तो हम बनायेंगे 1 से कम त्रुटि.
नियम। 1 की सटीकता के साथ अनुमानित वर्गमूल निकालने के लिए, आपको किसी दिए गए संख्या के पूर्णांक भाग का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल निकालने की आवश्यकता है।
इस नियम के अनुसार पाई गई संख्या एक हानि के साथ एक अनुमानित मूल है, क्योंकि इसमें सटीक मूल में कुछ अंश (1 से कम) का अभाव है। यदि हम इस मूल को 1 से बढ़ा देते हैं, तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है जिसमें सटीक मूल के ऊपर कुछ आधिक्य होता है, और यह आधिक्य 1 से कम होता है। 1 से बढ़े हुए इस मूल को 1 तक का अनुमानित मूल भी कहा जा सकता है, लेकिन साथ में अतिरेक। (कुछ गणितीय पुस्तकों में नाम: "कमी के साथ" या "अधिकता के साथ" को अन्य समकक्षों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: "कमी से" या "अधिकता से"।)
176. 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित जड़. मान लीजिए कि 1/10 तक √2.35104 खोजना आवश्यक है। इसका मतलब यह है कि एक ऐसे दशमलव अंश को खोजने की आवश्यकता है, जिसमें पूर्ण इकाइयां और दसवां हिस्सा शामिल होगा, और जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करेगा:
1) इस भिन्न का वर्ग 2.35104 से अधिक नहीं होता है, लेकिन 2) यदि हम इसे 1/10 से बढ़ा देते हैं, तो इस बढ़े हुए भिन्न का वर्ग 2.35104 से अधिक हो जाता है।
ऐसी भिन्न को खोजने के लिए, हम पहले 1 तक अनुमानित मूल ढूंढते हैं, यानी, हम केवल पूर्णांक 2 से मूल निकालते हैं। हमें 1 मिलता है (और शेष 1 होता है)। हम मूल में संख्या 1 लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं। अब हम दशमांश की संख्या देखेंगे। ऐसा करने के लिए, हम अंक 35 को अल्पविराम के दाईं ओर 1 के शेष भाग में ले जाते हैं, और निष्कर्षण जारी रखते हैं जैसे कि हम पूर्णांक 235 से मूल निकाल रहे थे। हम परिणामी संख्या 5 को मूल में लिखते हैं दसवें का. हमें मूल संख्या (104) के शेष अंकों की आवश्यकता नहीं है। परिणामी संख्या 1.5 वास्तव में 1/10 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल होगी, जो निम्नलिखित से स्पष्ट है। यदि हमें 1 की सटीकता के साथ 235 का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल ज्ञात करना हो, तो हमें 15 मिलेगा। तो:
15 2 < 235, लेकिन 16 2 >235।
इन सभी संख्याओं को 100 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
इसका मतलब है कि संख्या 1.5 वह दशमलव अंश है, जिसे हम 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।
हम इस विधि से 0.1 की सटीकता के साथ निम्नलिखित अनुमानित मूल भी पाते हैं:
177. 1/100 से 1/1000 आदि की सटीकता के साथ अनुमानित वर्गमूल।
मान लीजिए कि 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित √248 खोजना आवश्यक है। इसका अर्थ है: ऐसा दशमलव अंश खोजना, जिसमें पूर्णांक, दसवां और सौवां भाग शामिल हो और जो दो आवश्यकताओं को पूरा करे:
1) इसका वर्ग 248 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इस अंश को 1/100 से बढ़ा दें, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 248 से अधिक हो जाता है।
हम निम्नलिखित अनुक्रम में ऐसा भिन्न पाएंगे: पहले हम एक पूर्णांक पाएंगे, फिर दसवां अंक, फिर सौवां अंक। एक पूर्णांक का वर्गमूल 15 पूर्णांक होगा। दहाई की संख्या प्राप्त करने के लिए, जैसा कि हमने देखा है, शेष 23 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर 2 और अंक लेना आवश्यक है। हमारे उदाहरण में, ये संख्याएँ बिल्कुल मौजूद नहीं हैं, हम उनके स्थान पर शून्य डालते हैं। उन्हें शेषफल पर निर्दिष्ट करते हुए और क्रिया को इस प्रकार जारी रखते हुए जैसे कि हम पूर्णांक 24,800 का मूल ज्ञात कर रहे हों, हम दसवां अंक 7 प्राप्त करेंगे। सौवां अंक ज्ञात करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम शेष 151 में 2 और शून्य जोड़ते हैं और निष्कर्षण जारी रखते हैं, जैसे कि हम पूर्णांक 2,480,000 का मूल ज्ञात कर रहे हों। हमें 15.74 मिलता है। यह संख्या वास्तव में 1/100 के भीतर 248 का अनुमानित मूल है, जो निम्नलिखित से स्पष्ट है। यदि हमें पूर्णांक 2,480,000 का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करना हो, तो हमें 1574 प्राप्त होगा; मतलब:
1574 2 < 2,480,000 लेकिन 1575 2 > 2,480,000।
सभी संख्याओं को 10,000 (= 100 2) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
तो 15.74 वह दशमलव अंश है जिसे हम 248 में से 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।
1/1000 से 1/10000 आदि की सटीकता के साथ अनुमानित जड़ खोजने के लिए इस तकनीक को लागू करने पर, हम निम्नलिखित पाते हैं।
नियम। किसी दिए गए पूर्णांक से या किसी दिए गए दशमलव अंश से 1/10 से 1/100 से 1/100 आदि की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल निकालने के लिए, पहले 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल ढूंढें, जिसमें से मूल निकालें। पूर्णांक (यदि यह नहीं है, तो वे 0 पूर्णांकों के मूल के बारे में लिखते हैं)।
फिर दशमांश की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, शेष को हटा दिया जाता है, अल्पविराम के दाईं ओर मूल संख्या के 2 अंक (यदि वे नहीं हैं, तो शेष के लिए दो शून्य जिम्मेदार हैं), और निष्कर्षण उसी तरह जारी रखा जाता है जैसे निकालते समय किया जाता है एक पूर्णांक से मूल. परिणामी आकृति दहाई के स्थान पर मूल में लिखी जाती है।
फिर सौवें की संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, दो नंबरों को फिर से शेष भाग में ध्वस्त कर दिया जाता है, उन नंबरों के दाईं ओर जिन्हें अभी ध्वस्त किया गया था, आदि।
इस प्रकार, दशमलव अंश के साथ एक पूर्णांक से मूल निकालते समय, अल्पविराम से शुरू करके, बाईं ओर (संख्या के पूर्णांक भाग में) और दाईं ओर (अंश में) दोनों को 2 अंकों से विभाजित करना आवश्यक है। भाग)।
उदाहरण।
1) 1/100 मूल तक खोजें: ए) √2; बी) √0.3;
पिछले उदाहरण में, हमने मूल के 4 दशमलव स्थानों को खोजने के लिए आवश्यक 4 फलकों को बनाने के लिए 8 दशमलव स्थानों की गणना करके 3/7 को दशमलव में परिवर्तित किया।
178. वर्गमूलों की तालिका का विवरण।इस पुस्तक के अंत में चार अंकों के साथ गणना की गई वर्गमूलों की एक तालिका है। इस तालिका का उपयोग करके, आप किसी पूर्णांक (या दशमलव अंश) का वर्गमूल शीघ्रता से ज्ञात कर सकते हैं, जिसे चार अंकों से अधिक में व्यक्त नहीं किया जाता है। यह समझाने से पहले कि इस तालिका को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, हम ध्यान दें कि हम हमेशा मूल संख्या पर एक नज़र डालकर तालिकाओं की सहायता के बिना वांछित मूल का पहला महत्वपूर्ण अंक पा सकते हैं; हम यह भी आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि किस दशमलव स्थान का अर्थ मूल का पहला अंक है और इसलिए, मूल में, जब हम इसके अंक पाते हैं, तो हमें अल्पविराम लगाने की आवश्यकता होती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
1) √5"27,3 . पहला अंक 2 होगा, क्योंकि मूल संख्या का बायां भाग 5 है; और 5 का मूल 2 है। इसके अलावा, चूंकि सभी फलकों की मूल संख्या के पूर्णांक भाग में केवल 2 हैं, तो वांछित मूल के पूर्णांक भाग में 2 अंक होने चाहिए और इसलिए, इसका पहला अंक 2 होना चाहिए दसियों.
2) √9.041. जाहिर है, इस मूल में पहला अंक 3 सरल इकाइयाँ होंगी।
3) √0.00"83"4 . पहला महत्वपूर्ण अंक 9 है, क्योंकि पहला महत्वपूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए जिस फलक से मूल निकालना होगा वह 83 है, और 83 का मूल 9 है। चूँकि वांछित संख्या में न तो पूर्णांक होंगे और न ही दशमांश, इसलिए पहले अंक 9 का मतलब सौवां होना चाहिए।
4) √0.73 "85. पहला सार्थक अंक 8 दहाई है।
5) √0.00 "00" 35 "7. पहला महत्वपूर्ण अंक 5 हजारवां होगा।
चलिए एक और टिप्पणी करते हैं. मान लीजिए कि किसी ऐसी संख्या से मूल निकालने की आवश्यकता है, जिसे उसमें व्याप्त एक को त्यागने के बाद, ऐसी संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है: 5681. यह मूल निम्नलिखित में से एक हो सकता है:
यदि हम उन मूलों को लें जिन्हें हमने एक पंक्ति से रेखांकित किया है, तो वे सभी संख्याओं की एक ही श्रृंखला द्वारा व्यक्त किए जाएंगे, बिल्कुल वही संख्याएँ जो 5681 से मूल निकालने पर प्राप्त होती हैं (ये संख्याएँ 7, 5, 3, 7 होंगी) ). इसका कारण यह है कि मूल के अंक ज्ञात करते समय मूलांक को जिन फलकों में विभाजित करना होगा वे इन सभी उदाहरणों में समान होंगे, इसलिए प्रत्येक मूल के अंक समान होंगे (केवल अल्पविराम की स्थिति निःसंदेह, भिन्न होगा)। इसी प्रकार, हमारे द्वारा दो रेखाओं से रेखांकित सभी मूलों में समान संख्याएँ प्राप्त होनी चाहिए, बिल्कुल वही जो √568.1 व्यक्त करते हैं (ये संख्याएँ 2, 3, 8, 3 होंगी), और इसी कारण से। इस प्रकार, अंक 5681 की एक ही श्रृंखला द्वारा दर्शाए गए अंकों (अल्पविराम को हटाकर) से मूल के अंक दोहरे (और केवल दोहरे) प्रकार के होंगे: या तो यह 7, 5, 3, 7 की श्रृंखला है। या 2, 3, 8, 3 की शृंखला। जाहिर तौर पर, आंकड़ों की किसी अन्य शृंखला के बारे में भी यही कहा जा सकता है। इसलिए, जैसा कि अब हम तालिका में देखेंगे, मूलांक के अंकों की प्रत्येक पंक्ति मूलों के अंकों की 2 पंक्तियों से मेल खाती है।
अब हम तालिका की संरचना और इसका उपयोग कैसे करें समझा सकते हैं। स्पष्टीकरण की स्पष्टता के लिए, हमने यहां तालिका के पहले पृष्ठ की शुरुआत को दर्शाया है।
यह तालिका कई पृष्ठों में फैली हुई है. उनमें से प्रत्येक पर, बाईं ओर पहले कॉलम में, संख्याएँ 10, 11, 12 ... (99 तक) रखी गई हैं। ये संख्याएँ उस संख्या के पहले 2 अंकों को व्यक्त करती हैं जिससे वर्गमूल खोजा जा रहा है। ऊपरी क्षैतिज रेखा में (साथ ही नीचे भी) संख्याएँ हैं: 0, 1, 2, 3 ... 9, जो इस संख्या का तीसरा अंक हैं, और फिर दाईं ओर संख्याएँ 1, 2 हैं , 3. . . 9, इस संख्या के चौथे अंक को दर्शाता है। अन्य सभी क्षैतिज रेखाओं में, 2 चार अंकों की संख्याएँ रखी जाती हैं, जो संबंधित संख्याओं के वर्गमूल को व्यक्त करती हैं।
मान लीजिए कि किसी संख्या, पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त का वर्गमूल ज्ञात करना आवश्यक है। सबसे पहले, हम तालिकाओं की सहायता के बिना मूल और उसकी श्रेणी का पहला अंक ढूंढते हैं। फिर हम दी गई संख्या में अल्पविराम, यदि कोई हो, हटा देते हैं। उदाहरण के लिए, पहले मान लीजिए कि अल्पविराम हटाने के बाद केवल 3 अंक शेष रह जाते हैं। 114. हम तालिकाओं में सबसे बाएं कॉलम में पहले 2 अंक, यानी 11 पाते हैं, और उनसे क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं जब तक कि हम ऊर्ध्वाधर कॉलम तक नहीं पहुंच जाते, जिसके शीर्ष (और नीचे) पर तीसरा अंक होता है। संख्या का, यानी 4. इस स्थान पर हमें दो चार अंकों वाली संख्याएँ मिलती हैं: 1068 और 3376। इन दोनों संख्याओं में से कौन सी संख्या ली जानी चाहिए और इसमें अल्पविराम कहाँ लगाया जाना चाहिए, यह मूल के पहले अंक से निर्धारित होता है और इसका डिस्चार्ज, जो हमने पहले पाया था। इसलिए, यदि आपको √0.11 "4 खोजना है, तो मूल का पहला अंक 3 दसवां है, और इसलिए हमें मूल के लिए 0.3376 लेना होगा। यदि √1.14 खोजना आवश्यक है, तो मूल का पहला अंक होगा 1 हो, और फिर हम 1.068 लेंगे।
इस प्रकार हम आसानी से पा सकते हैं:
√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, आदि।
आइए अब मान लें कि 4 अंकों द्वारा व्यक्त (अल्पविराम को हटाकर) किसी संख्या का मूल ज्ञात करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए √7 "45.6। यह देखते हुए कि मूल का पहला अंक 2 दहाई है, हम संख्या ज्ञात करते हैं 745, जैसा कि अब समझाया गया है, संख्या 2729 (हम इस संख्या को केवल एक उंगली से देखते हैं, लेकिन इसे लिखते नहीं हैं।) फिर हम इस संख्या से दाईं ओर आगे बढ़ते हैं जब तक कि तालिका के दाईं ओर (पीछे) अंतिम बोल्ड लाइन) हम ऊर्ध्वाधर कॉलम से मिलते हैं जो ऊपर (और नीचे) इस संख्या के चौथे अंक, यानी संख्या 6 को चिह्नित करता है, और हमें वहां नंबर 1 मिलता है। यह वह सुधार होगा जिसे लागू किया जाना चाहिए (में) मन) पहले पाई गई संख्या 2729 पर; हमें 2730 मिलता है। हम इस संख्या को लिखते हैं और इसमें उचित स्थान पर अल्पविराम लगाते हैं: 27.30।
इस प्रकार हम पाते हैं, उदाहरण के लिए:
√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 = 0.2107, आदि।
यदि मूल संख्या केवल एक या दो अंकों में व्यक्त की जाती है, तो हम मान सकते हैं कि इन अंकों के बाद एक या दो शून्य हैं, और फिर तीन अंकों की संख्या के लिए बताए अनुसार आगे बढ़ें। उदाहरण के लिए √2.7 = √2.70 =1.643; √0.13 = √0.13 "0 = 0.3606, आदि..
अंत में, यदि मूल संख्या 4 से अधिक अंकों द्वारा व्यक्त की जाती है, तो हम उनमें से केवल पहले 4 को लेंगे, और बाकी को हटा देंगे, और त्रुटि को कम करने के लिए, यदि छोड़े गए अंकों में से पहला 5 या 5 से अधिक है, तो हम बनाए गए अंकों के चौथे को l से बढ़ा देंगे। इसलिए:
√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; और इसी तरह।
टिप्पणी। तालिकाएँ अनुमानित वर्गमूल को दर्शाती हैं, कभी-कभी कमी के साथ, कभी-कभी अधिकता के साथ, अर्थात्, इन अनुमानित जड़ों में से एक जो सटीक मूल के करीब आती है।
179. साधारण भिन्नों से वर्गमूल निकालना।किसी अपरिवर्तनीय भिन्न का सटीक वर्गमूल केवल तभी निकाला जा सकता है जब भिन्न के दोनों पद सटीक वर्ग हों। इस मामले में, अंश और हर से अलग-अलग मूल निकालना पर्याप्त है, उदाहरण के लिए:
कुछ दशमलव परिशुद्धता के साथ एक साधारण अंश का अनुमानित वर्गमूल सबसे आसानी से पाया जा सकता है यदि हम पहले साधारण अंश को दशमलव में परिवर्तित करते हैं, इस अंश में दशमलव बिंदु के बाद दशमलव स्थानों की संख्या की गणना करते हैं, जो दशमलव की संख्या से दोगुना होगा वांछित रूट में स्थान.
हालाँकि, आप अन्यथा भी कर सकते हैं। आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझाएं:
अनुमानित √ 5 / 24 ज्ञात कीजिए
आइए हर को एक सटीक वर्ग बनाएं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के दोनों पदों को हर 24 से गुणा करना पर्याप्त होगा; लेकिन इस उदाहरण में, आप अन्यथा कर सकते हैं। हम 24 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 24 = 2 2 2 3। इस अपघटन से यह देखा जा सकता है कि यदि 24 को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा किया जाए, तो उत्पाद में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को सम संख्या में दोहराया जाएगा, और, इसलिए, हर एक वर्ग बन जाएगा:
कुछ सटीकता के साथ √30 की गणना करना और परिणाम को 12 से विभाजित करना बाकी है। इस मामले में, यह ध्यान में रखना होगा कि सटीकता की डिग्री दिखाने वाला अंश भी 12 से विभाजित करने पर कम हो जाएगा। इसलिए, यदि हम 1/10 की सटीकता के साथ √30 पाते हैं और परिणाम को 12 से विभाजित करते हैं, तो हमें 1/120 की सटीकता के साथ अंश 5/24 का अनुमानित मूल मिलता है (अर्थात्, 54/120 और 55/120 )
अध्याय तीन।
फ़ंक्शन ग्राफ़एक्स = √ वाई .
180. व्युत्क्रम फलन.मान लीजिए कि कोई ऐसा समीकरण है जो परिभाषित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , उदाहरण के लिए, यह: वाई = एक्स 2 . हम कह सकते हैं कि यह न केवल निर्धारित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , लेकिन इसके विपरीत, निर्धारित भी करता है एक्स के एक समारोह के रूप में पर , भले ही परोक्ष रूप से। इस फ़ंक्शन को स्पष्ट करने के लिए, हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है एक्स , ले रहा पर किसी ज्ञात संख्या के लिए; तो, हमने जो समीकरण लिया है, उससे हम पाते हैं: वाई = एक्स 2 .
समीकरण को हल करने के बाद x के लिए प्राप्त बीजगणितीय अभिव्यक्ति जो y को x के एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करती है, उसे y को परिभाषित करने वाले का व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है।
तो समारोह एक्स = √ वाई फ़ंक्शन उलटा वाई = एक्स 2 . यदि, जैसा कि प्रथागत है, स्वतंत्र चर को दर्शाया गया है एक्स , और आश्रित पर , तो हम अब प्राप्त व्युत्क्रम फलन को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: y = √x . इस प्रकार, एक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए जो किसी दिए गए (प्रत्यक्ष) के विपरीत है, उस समीकरण से प्राप्त करना आवश्यक है जो इस दिए गए फ़ंक्शन को परिभाषित करता है एक्स निर्भर करना य और परिणामी अभिव्यक्ति में, प्रतिस्थापित करें य पर एक्स , ए एक्स पर य .
181. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = √x . यह फ़ंक्शन ऋणात्मक मान के साथ संभव नहीं है एक्स , लेकिन इसकी गणना किसी भी सकारात्मक मान के लिए (किसी भी सटीकता के साथ) की जा सकती है एक्स , और ऐसे प्रत्येक मान के लिए, फ़ंक्शन को समान निरपेक्ष मान के साथ, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ दो अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं। यदि परिचित हो √ हम केवल वर्गमूल के अंकगणितीय मान को निरूपित करते हैं, तो फ़ंक्शन के इन दो मानों को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: आप= ± √ एक्स इस फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, आपको पहले इसके मानों की एक तालिका बनानी होगी। इस तालिका को संकलित करने का सबसे आसान तरीका प्रत्यक्ष फ़ंक्शन मानों की तालिका से है:
वाई = एक्स 2 .
|
एक्स |
||||||||||||
|
य |
यदि मान पर मूल्यों के रूप में लें एक्स , और इसके विपरीत:
आप= ± √ एक्स
इन सभी मानों को ड्राइंग पर रखने पर हमें निम्नलिखित ग्राफ प्राप्त होता है।
उसी चित्र में, हमने (धराशायी रेखा) और प्रत्यक्ष फ़ंक्शन का ग्राफ़ दर्शाया है वाई = एक्स 2 . आइए इन दोनों चार्ट की तुलना करें।
182. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ के बीच संबंध।व्युत्क्रम फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित करने के लिए आप= ± √ एक्स हमने लिया एक्स वे संख्याएँ जो प्रत्यक्ष फ़ंक्शन तालिका में हैं वाई = एक्स 2 के लिए मूल्यों के रूप में कार्य किया पर , और के लिए पर उन नंबरों को ले लिया; इस तालिका में किसके लिए मान थे एक्स . इससे यह पता चलता है कि दोनों ग्राफ़ समान हैं, केवल प्रत्यक्ष फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष स्थित है पर - व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित है एक्स -ओव. परिणामस्वरूप, यदि हम चित्र को एक सीधी रेखा के चारों ओर मोड़ते हैं ओए समकोण को समद्विभाजित करना xOy , ताकि ड्राइंग का वह भाग जिसमें अर्धअक्ष हो कहां , उस भाग पर गिरा जिसमें अर्ध-अक्ष है ओह , वह कहां के साथ संगत ओह , सभी प्रभाग कहां विभाजनों के साथ मेल खाता है ओह , और परवलय के बिंदु वाई = एक्स 2 ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं के साथ मेल खाता है आप= ± √ एक्स . उदाहरण के लिए, बिंदु एम और एन , जिसका समन्वय 4 , और फरसीसा 2 और - 2 , बिंदुओं से मेल खाता है एम" और एन" , जिसका भुज 4 , और निर्देशांक 2 और - 2 . यदि ये बिंदु मेल खाते हैं, तो इसका मतलब है कि रेखाएँ एमएम" और एनएन" के लिए सीधा ओएऔर इस सीधी रेखा को आधा भाग में बाँट दें। दोनों ग्राफ़ पर अन्य सभी प्रासंगिक बिंदुओं के लिए भी यही कहा जा सकता है।
इस प्रकार, व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्रत्यक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होना चाहिए, लेकिन ये ग्राफ़ अलग-अलग स्थित हैं, अर्थात् कोण के द्विभाजक के संबंध में एक दूसरे के साथ सममित रूप से। बजरा . हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम फलन का ग्राफ कोण के समद्विभाजक के संबंध में प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ का प्रतिबिंब (दर्पण की तरह) है बजरा .
