ट्रैपेज़ॉइड की परिभाषा और उसके गुण। चतुर्भुज

\[(\बड़ा(\पाठ(मुक्त समलम्बाकार)))\]

परिभाषाएं

समलंब चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

किसी समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं को उसका आधार कहा जाता है, और अन्य दो भुजाओं को उसकी पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई एक आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे आधार पर खींची गई लम्ब है।

प्रमेय: एक समलम्ब चतुर्भुज के गुण

1) भुजा पर कोणों का योग \(180^\circ\) है।

2) विकर्ण समलंब को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनमें से दो समान हैं, और अन्य दो आकार में समान हैं।

सबूत

1) क्योंकि \(AD\समानांतर BC\), तो कोण \(\कोण BAD\) और \(\कोण ABC\) इन रेखाओं और तिर्यक रेखा \(AB\) के लिए एक तरफा हैं, इसलिए, \(\कोण BAD +\कोण ABC=180^\circ\).

2) क्योंकि \(AD\समानांतर BC\) और \(BD\) एक छेदक रेखा हैं, तो \(\कोण DBC=\कोण BDA\) क्रॉसवाइज स्थित हैं।
साथ ही \(\कोण BOC=\कोण AOD\) ऊर्ध्वाधर के रूप में।
इसलिए, दो कोणों पर \(\त्रिकोण बीओसी \सिम \त्रिकोण एओडी\).

आइए इसे साबित करें \(S_(\त्रिकोण AOB)=S_(\त्रिकोण COD)\). मान लीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई \(h\) है। तब \(S_(\त्रिकोण ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\त्रिकोण ACD)\). तब: \

परिभाषा

समलंब चतुर्भुज की मध्य रेखा भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

प्रमेय

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

सबूत*

1) आइए समानता सिद्ध करें।

आइए बिंदु \(M\) से होकर सीधी रेखा \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ) खींचें। फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार (से \(MN"\समानांतर AD\समानांतर BC, AM=MB\)) बिंदु \(N"\) खंड \(CD\) का मध्य है। इसका मतलब है कि बिंदु \(N\) और \(N"\) संपाती होंगे।

2) आइए सूत्र को सिद्ध करें।

चलिए \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) करते हैं। होने देना \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार, \(M"\) और \(N"\) क्रमशः खंडों \(BB"\) और \(CC"\) के मध्यबिंदु हैं। इसका मतलब यह है कि \(MM"\) \(\triangle ABB"\) की मध्य रेखा है, \(NN"\) \(\triangle DCC"\) की मध्य रेखा है। इसीलिए: \

क्योंकि \(MN\समानांतर AD\समानांतर BC\)और \(BB", CC"\perp AD\), तो \(B"M"N"C"\) और \(BM"N"C\) आयत हैं। थेल्स के प्रमेय के अनुसार, \(MN\parallel AD\) और \(AM=MB\) से यह इस प्रकार है कि \(B"M"=M"B\) । इसलिए, \(B"M"N"C "\) और \(BM"N"C\) समान आयत हैं, इसलिए, \(M"N"=B"C"=BC\) ।

इस प्रकार:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

प्रमेय: एक मनमाना समलम्ब चतुर्भुज का गुण

आधारों के मध्यबिंदु, समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु और पार्श्व भुजाओं के विस्तारों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

सबूत*
यह अनुशंसा की जाती है कि आप "त्रिकोणों की समानता" विषय का अध्ययन करने के बाद स्वयं को प्रमाण से परिचित कर लें।

1) आइए हम सिद्ध करें कि बिंदु \(P\) , \(N\) और \(M\) एक ही रेखा पर स्थित हैं।

आइए एक सीधी रेखा खींचें \(PN\) (\(P\) पार्श्व भुजाओं के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(N\) \(BC\) का मध्य है)। मान लीजिए कि यह भुजा \(AD\) को बिंदु \(M\) पर काटता है। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\triकोण BPN\) और \(\triकोण APM\) पर विचार करें। वे दो कोणों (\(\कोण APM\) - सामान्य, \(\कोण PAM=\कोण PBN\) पर समान हैं, जैसा कि \(AD\समानांतर BC\) और \(AB\) छेदक पर समान हैं। मतलब: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) और \(\triangle DPM\) पर विचार करें। वे दो कोणों (\(\कोण DPM\) पर समान हैं - सामान्य, \(\कोण PDM=\कोण PCN\) \(AD\समानांतर BC\) और \(CD\) सेकेंट पर संगत हैं। मतलब: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). लेकिन \(BN=NC\) इसलिए \(AM=DM\) ।

2) आइए सिद्ध करें कि बिंदु \(N, O, M\) एक ही रेखा पर स्थित हैं।

मान लीजिए \(N\) \(BC\) का मध्यबिंदु है और \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए एक सीधी रेखा \(NO\) खींचें, यह भुजा \(AD\) को बिंदु \(M\) पर काटेगी। आइए हम सिद्ध करें कि \(M\) \(AD\) का मध्यबिंदु है।

\(\त्रिकोण बीएनओ\सिम \त्रिकोण डीएमओ\)दो कोणों (\(\कोण OBN=\कोण ODM\) के अनुदिश \(BC\समानांतर AD\) और \(BD\) छेदक रेखा पर आड़े-तिरछे स्थित; \(\कोण BON=\कोण DOM\) ऊर्ध्वाधर के रूप में)। मतलब: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

वैसे ही \(\त्रिकोण CON\सिम \त्रिकोण AOM\). मतलब: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

यहाँ से \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). लेकिन \(BN=CN\) इसलिए \(AM=MD\) ।

\[(बड़ा(\पाठ(समद्विबाहु समलम्बाकार)))\]

परिभाषाएं

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो।

एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि उसकी भुजाएँ बराबर हों।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के गुण

1) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के आधार कोण समान होते हैं।

2) समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं।

3) विकर्णों और एक आधार से बने दो त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं।

सबूत

1) विचार करें समद्विबाहु समलम्बाकार\(ए बी सी डी\) ।

शीर्षों \(B\) और \(C\) से, हम क्रमशः \(BM\) और \(CN\) को भुजा \(AD\) पर छोड़ते हैं। चूँकि \(BM\perp AD\) और \(CN\perp AD\) , तो \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , तो \(MBCN\) एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए, \(BM = CN\) ।

समकोण त्रिभुज \(ABM\) और \(CDN\) पर विचार करें। चूँकि उनके कर्ण बराबर हैं और पैर \(BM\) पैर \(CN\) के बराबर है, तो ये त्रिकोण बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण DAB = \कोण CDA\) ।

2)

क्योंकि \(AB=CD, \कोण A=\कोण D, AD\)- सामान्य, फिर पहले संकेत के अनुसार। इसलिए, \(AC=BD\) ।

3) क्योंकि \(\त्रिकोण ABD=\त्रिकोण ACD\), फिर \(\कोण BDA=\कोण CAD\) . इसलिए, त्रिभुज \(\triangle AOD\) समद्विबाहु है। इसी प्रकार, यह सिद्ध है कि \(\त्रिकोण BOC\) समद्विबाहु है।

प्रमेय: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के लक्षण

1) यदि किसी समलंब के आधार कोण समान हों, तो वह समद्विबाहु है।

2) यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हों, तो वह समद्विबाहु है।

सबूत

समलम्ब चतुर्भुज \(ABCD\) पर इस प्रकार विचार करें कि \(\कोण A = \कोण D\) ।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, आइए त्रिभुज \(AED\) के समलम्ब चतुर्भुज को पूरा करें। चूँकि \(\कोण 1 = \कोण 2\) , तो त्रिभुज \(AED\) समद्विबाहु है और \(AE = ED\) है। कोण \(1\) और \(3\) समानांतर रेखाओं \(AD\) और \(BC\) और छेदक रेखा \(AB\) के संगत कोणों के बराबर हैं। इसी प्रकार, कोण \(2\) और \(4\) बराबर हैं, लेकिन \(\कोण 1 = \कोण 2\), तो \(\कोण 3 = \कोण 1 = \कोण 2 = \कोण 4\), इसलिए, त्रिभुज \(BEC\) भी समद्विबाहु है और \(BE = EC\) है।

अंततः \(एबी = एई - बीई = डीई - सीई = सीडी\), अर्थात्, \(AB = CD\), जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

2) मान लीजिए \(AC=BD\) . क्योंकि \(\त्रिकोण AOD\सिम \त्रिकोण BOC\), तो हम उनके समानता गुणांक को \(k\) के रूप में दर्शाते हैं। फिर यदि \(BO=x\) , तो \(OD=kx\) . \(CO=y \राइटएरो AO=ky\) के समान।

क्योंकि \(AC=BD\) , फिर \(x+kx=y+ky \राइटएरो x=y\) । इसका मतलब है कि \(\triकोण AOD\) समद्विबाहु है और \(\कोण OAD=\कोण ODA\) है।

इस प्रकार, पहले संकेत के अनुसार \(\त्रिकोण ABD=\त्रिकोण ACD\) (\(AC=BD, \कोण OAD=\कोण ODA, AD\)- सामान्य)। तो, \(AB=CD\) , क्यों।

आपकी गोपनीयता बनाए रखना हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता प्रथाओं की समीक्षा करें और यदि आपके कोई प्रश्न हों तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रहण एवं उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी से तात्पर्य उस डेटा से है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब भी आप हमसे संपर्क करेंगे तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

कौन सी निजी जानकारी हम एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर अनुरोध सबमिट करते हैं, तो हम एकत्र कर सकते हैं विभिन्न जानकारी, जिसमें आपका नाम, फ़ोन नंबर, पता शामिल है ईमेलवगैरह।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्रित किया गया व्यक्तिगत जानकारीहमें आपसे संपर्क करने और आपको सूचित करने की अनुमति देता है अनोखे ऑफर, प्रचार और अन्य कार्यक्रम और आगामी कार्यक्रम।
• समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार परीक्षण, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर सरकारी एजेंसियोंरूसी संघ के क्षेत्र में - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

- (ग्रीक ट्रेपेज़ियन)। 1) ज्यामिति में, एक चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और दो नहीं। 2) एक आकृति के लिए अनुकूलित व्यायाम व्यायाम. शब्दकोष विदेशी शब्द, रूसी भाषा में शामिल है। चुडिनोव ए.एन., 1910. ट्रैपेज़... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

चतुर्भुज- ट्रेपेज़ॉइड। ट्रैपेज़ (ग्रीक ट्रैपेज़ियन से, शाब्दिक रूप से तालिका), एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं (ट्रेपेज़ॉइड के आधार)। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है ( मध्य रेखा) ऊंचाई तक. ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

चतुर्भुज, प्रक्षेप्य, क्रॉसबार रूसी पर्यायवाची शब्द का शब्दकोश। ट्रैपेज़ॉयड संज्ञा, पर्यायवाची शब्दों की संख्या: 3 क्रॉसबार (21) ... पर्यायवाची शब्दकोष

- (ग्रीक ट्रैपेज़ियन से, शाब्दिक रूप से तालिका), एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं (एक ट्रैपेज़ॉइड का आधार)। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों (मध्य रेखा) और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है... आधुनिक विश्वकोश

- (ग्रीक ट्रेपेज़ियन, शाब्दिक तालिका से), एक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें ट्रेपेज़ॉइड का आधार कहा जाता है, समानांतर हैं (आकृति AD और BC में), और अन्य दो गैर-समानांतर हैं। आधारों के बीच की दूरी को ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कहा जाता है (... ... पर) बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

ट्रैपेज़स, एक चतुर्भुज सपाट आकृति जिसमें दो विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समानांतर भुजाओं के योग के आधे के बराबर होता है जो उनके बीच के लम्ब की लंबाई से गुणा किया जाता है... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

ट्रैपेज़, ट्रैपेज़ॉइड, महिला (ग्रीक ट्रैपेज़ा टेबल से)। 1. दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाओं वाला चतुर्भुज (चटाई)। 2. एक जिमनास्टिक उपकरण जिसमें दो रस्सियों (खेल) पर निलंबित एक क्रॉसबार होता है। कलाबाजी... ... शब्दकोषउषाकोवा

ट्रैपेज़, और, महिला। 1. दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। समलम्ब चतुर्भुज का आधार (इसकी समानांतर भुजाएँ)। 2. एक सर्कस या जिमनास्टिक उपकरण दो केबलों पर लटका हुआ एक क्रॉसबार है। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। साथ … ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

स्त्री, जियोम. असमान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज, जिनमें से दो समानांतर (समानांतर) हों। समलंब चतुर्भुज, एक समान चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ अलग-अलग होती हैं। ट्रेपेज़ोहेड्रोन, ट्रेपेज़ॉइड्स द्वारा मुखाकार एक शरीर। डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश। में और। डाहल. 1863 1866… डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

- (ट्रैपेज़), यूएसए, 1956, 105 मिनट। मेलोड्रामा। महत्वाकांक्षी कलाबाज टीनो ओरसिनी एक सर्कस मंडली में शामिल हो जाता है, जहां एक प्रसिद्ध पूर्व ट्रैपेज़ कलाकार माइक रिबल काम करता है। माइक ने एक बार टीनो के पिता के साथ प्रदर्शन किया था। युवा ओरसिनी माइक चाहता है... सिनेमा का विश्वकोश

एक चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समान्तर हों तथा शेष दो भुजाएँ समान्तर न हों। समानान्तर भुजाओं के बीच की दूरी कहलाती है। ऊँचाई T. यदि समानांतर भुजाओं और ऊँचाई में a, b और h मीटर हैं, तो T के क्षेत्रफल में वर्ग मीटर हैं... ब्रॉकहॉस और एफ्रॉन का विश्वकोश

1. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर है
2. समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु तक विकर्णों के खंडों से बने त्रिभुज समान होते हैं
3. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के खंडों से बने त्रिभुज, जिनकी भुजाएँ समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाओं पर स्थित होती हैं - आकार में समान होते हैं (समान क्षेत्रफल वाले होते हैं)
4. यदि आप ट्रेपेज़ॉइड के किनारों को छोटे आधार की ओर बढ़ाते हैं, तो वे आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे
5. एक ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ने वाला और ट्रेपेज़ॉइड के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाला एक खंड इस बिंदु से ट्रेपेज़ॉइड के आधारों की लंबाई के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित होता है।
6. समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से खींचा गया एक खंड इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है, और इसकी लंबाई 2ab/(a + b) के बराबर होती है, जहां a और b इसके आधार हैं चतुर्भुज

एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के गुण

आइए समलंब चतुर्भुज ABCD के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ें, जिसके परिणामस्वरूप हमें एक खंड LM प्राप्त होगा।
समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा पर स्थित है.

यह खंड समलम्बाकार के आधारों के समानांतर.

किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उसके आधारों के अंतर के आधे के बराबर होती है।

एलएम = (एडी - बीसी)/2
या
एलएम = (ए-बी)/2

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों से बने त्रिभुजों के गुण

त्रिभुज जो एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से बनते हैं - समान है.
त्रिभुज BOC और AOD समरूप हैं। चूँकि कोण BOC और AOD ऊर्ध्वाधर हैं, वे बराबर हैं।
कोण ओसीबी और ओएडी समानांतर रेखाओं एडी और बीसी (ट्रेपेज़ॉइड के आधार एक दूसरे के समानांतर हैं) और एक छेदक रेखा एसी के साथ क्रॉसवाइज स्थित आंतरिक कोण हैं, इसलिए वे बराबर हैं।
कोण ओबीसी और ओडीए एक ही कारण (आंतरिक क्रॉसवाइज) के बराबर हैं।

चूँकि एक त्रिभुज के तीनों कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के बराबर होते हैं, तो ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

इससे क्या निष्कर्ष निकलता है?

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए त्रिभुजों की समानता का उपयोग इस प्रकार किया जाता है। यदि हम समरूप त्रिभुजों के दो संगत तत्वों की लंबाई जानते हैं, तो हम समानता गुणांक पाते हैं (हम एक को दूसरे से विभाजित करते हैं)। जहां से अन्य सभी तत्वों की लंबाई बिल्कुल समान मान से एक दूसरे से संबंधित होती है।

समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजा और विकर्णों पर स्थित त्रिभुजों के गुण

समलम्ब चतुर्भुज AB और CD की पार्श्व भुजाओं पर स्थित दो त्रिभुजों पर विचार करें। ये त्रिभुज AOB और COD हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इन त्रिभुजों की अलग-अलग भुजाओं का आकार पूरी तरह से भिन्न हो सकता है, लेकिन पार्श्व भुजाओं से बने त्रिभुजों का क्षेत्रफल और समलंब के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु बराबर होते हैं, अर्थात्, त्रिभुज आकार में समान हैं।

यदि हम समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं को छोटे आधार की ओर बढ़ाते हैं, तो भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा आधारों के मध्य से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से मेल खाता है.

इस प्रकार, किसी भी समलंब को एक त्रिभुज में विस्तारित किया जा सकता है। जिसमें:

• विस्तारित भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले समलम्ब चतुर्भुज के आधारों द्वारा निर्मित त्रिभुज समान होते हैं
• समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा, एक ही समय में, निर्मित त्रिभुज की माध्यिका है

एक ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ने वाले खंड के गुण

यदि आप एक ऐसा खंड बनाते हैं जिसके सिरे एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों पर स्थित हैं, जो समलम्ब चतुर्भुज (KN) के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है, तो आधार के किनारे से प्रतिच्छेदन बिंदु तक इसके घटक खंडों का अनुपात विकर्णों का (KO/ON) समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के बराबर होगा(बीसी/एडी).

केओ/ओएन = बीसी/एडी

यह गुण संगत त्रिभुजों की समानता से उत्पन्न होता है (ऊपर देखें)।

एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर एक खंड के गुण

यदि हम समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए एक खंड खींचते हैं, तो इसमें निम्नलिखित गुण होंगे:

• निर्दिष्ट दूरी (किमी) समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा विभाजित
• अनुभाग की लंबाईसमलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरना और आधारों के समानांतर के बराबर है किमी = 2ab/(ए + बी)

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात करने के सूत्र

ए, बी- ट्रेपेज़ॉइड आधार

सी,डी- समलम्ब चतुर्भुज के किनारे

डी1 डी2- समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण

α β - समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार वाले कोण

आधारों, भुजाओं और आधार पर कोणों के माध्यम से समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात करने के सूत्र

सूत्रों का पहला समूह (1-3) समलम्बाकार विकर्णों के मुख्य गुणों में से एक को दर्शाता है:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग और उसके आधारों के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है। समलम्बाकार विकर्णों के इस गुण को एक अलग प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है

2 . यह सूत्र पिछले सूत्र को परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है। दूसरे विकर्ण के वर्ग को समान चिह्न के माध्यम से फेंका जाता है, जिसके बाद अभिव्यक्ति के बाएँ और दाएँ पक्ष से वर्गमूल निकाला जाता है।

3 . समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का यह सूत्र पिछले सूत्र के समान है, अंतर यह है कि अभिव्यक्ति के बाईं ओर एक और विकर्ण छोड़ा गया है

सूत्रों का अगला समूह (4-5) अर्थ में समान है और समान संबंध व्यक्त करता है।

सूत्रों का समूह (6-7) आपको एक ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण को खोजने की अनुमति देता है यदि ट्रेपेज़ॉइड का बड़ा आधार, एक तरफ की भुजा और आधार पर कोण ज्ञात हो।

ऊँचाई के माध्यम से समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात करने के सूत्र

काम.
समलंब चतुर्भुज ABCD (AD | | BC) के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि आधार AD = 24 सेमी, लंबाई AO = 9 सेमी, लंबाई OS = 6 सेमी है तो समलंब चतुर्भुज के आधार BC की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान.
इस समस्या का समाधान वैचारिक रूप से पिछली समस्याओं के बिल्कुल समान है।

त्रिभुज AOD और BOC तीन कोणों में समान हैं - AOD और BOC ऊर्ध्वाधर हैं, और शेष कोण जोड़ीदार बराबर हैं, क्योंकि वे एक रेखा और दो समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनते हैं।

चूँकि त्रिभुज समान हैं, उनके सभी ज्यामितीय आयाम एक-दूसरे से संबंधित हैं, ठीक उसी तरह जैसे खंड AO और OC के ज्यामितीय आयाम हमें समस्या की स्थितियों के अनुसार ज्ञात होते हैं। वह है

एओ/ओसी = एडी/बीसी
9 / 6 = 24 / ई.पू
बीसी = 24 * 6/9 = 16

उत्तर: 16 सेमी

काम ।
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में यह ज्ञात है कि AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान ।
छोटे आधार B और C के शीर्षों से समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम बड़े आधार से दो ऊँचाई कम करते हैं। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज असमान है, हम लंबाई AM = a, लंबाई KD = b ( सूत्र में संकेतन के साथ भ्रमित न होंएक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना)। चूँकि ट्रेपेज़ॉइड के आधार समानांतर हैं, और हमने बड़े आधार पर लंबवत दो ऊँचाई गिरा दी है, तो एमबीसीके एक आयत है।

मतलब
एडी = एएम+बीसी+केडी
ए + 8 + बी = 24
ए = 16 - बी

त्रिभुज DBM और ACK आयताकार हैं, इसलिए उनके समकोण समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई से बनते हैं। आइए हम समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई को h से निरूपित करें। फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

एच 2 + (24 - ए) 2 = (5√17) 2
और
एच 2 + (24 - बी) 2 = 13 2

आइए इस बात को ध्यान में रखें कि a = 16 - b, तो पहले समीकरण में
एच 2 + (24 - 16 + बी) 2 = 425
एच 2 = 425 - (8 + बी) 2

आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त दूसरे समीकरण में ऊंचाई के वर्ग के मान को प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं:
425 - (8 + बी) 2 + (24 - बी) 2 = 169
-(64 + 16बी + बी) 2 + (24 - बी) 2 = -256
-64 - 16बी - बी 2 + 576 - 48बी + बी 2 = -256
-64बी = -768
बी = 12

तो केडी = 12
कहाँ
एच 2 = 425 - (8 + बी) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
एच = 5

इसकी ऊँचाई और आधारों के योग के आधे भाग से समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
, जहां ए बी - ट्रेपेज़ॉइड का आधार, एच - ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई
एस = (24 + 8) * 5/2 = 80 सेमी 2

उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 80 सेमी2 है।

- (ग्रीक ट्रेपेज़ियन)। 1) ज्यामिति में, एक चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और दो नहीं। 2) जिमनास्टिक अभ्यासों के लिए अनुकूलित एक आकृति। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. ट्रैपेज़... ... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

चतुर्भुज- ट्रेपेज़ॉइड। ट्रैपेज़ (ग्रीक ट्रैपेज़ियन से, शाब्दिक रूप से तालिका), एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं (ट्रेपेज़ॉइड के आधार)। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों (मध्य रेखा) और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है। ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

चतुर्भुज- चतुर्भुज, प्रक्षेप्य, रूसी पर्यायवाची का क्रॉसबार शब्दकोश। ट्रैपेज़ॉयड संज्ञा, पर्यायवाची शब्दों की संख्या: 3 क्रॉसबार (21) ... पर्यायवाची शब्दकोष

ट्रापेज़- (ग्रीक ट्रैपेज़ियन से, शाब्दिक रूप से तालिका), एक उत्तल चतुर्भुज जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं (एक ट्रैपेज़ॉइड का आधार)। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों (मध्य रेखा) और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है... आधुनिक विश्वकोश

ट्रापेज़- (ग्रीक ट्रेपेज़ियन, शाब्दिक तालिका से), एक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें ट्रेपेज़ॉइड का आधार कहा जाता है, समानांतर हैं (आकृति AD और BC में), और अन्य दो गैर-समानांतर हैं। आधारों के बीच की दूरी को ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कहा जाता है (... ... पर) बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

ट्रापेज़- ट्रैपेज़स, एक चतुर्भुजाकार सपाट आकृति जिसमें दो विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समानांतर भुजाओं के योग के आधे के बराबर होता है जो उनके बीच के लम्ब की लंबाई से गुणा किया जाता है... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

ट्रापेज़- ट्रैपेज़, ट्रैपेज़ॉइड, महिला। (ग्रीक ट्रैपेज़ा टेबल से)। 1. दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाओं वाला चतुर्भुज (चटाई)। 2. एक जिमनास्टिक उपकरण जिसमें दो रस्सियों (खेल) पर निलंबित एक क्रॉसबार होता है। कलाबाजी... ... उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

ट्रापेज़- ट्रेपेज़, और, महिला। 1. दो समानांतर और दो गैर-समानांतर भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। समलम्ब चतुर्भुज का आधार (इसकी समानांतर भुजाएँ)। 2. एक सर्कस या जिमनास्टिक उपकरण दो केबलों पर लटका हुआ एक क्रॉसबार है। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। साथ … ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

ट्रापेज़- स्त्री, जियोम। असमान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज, जिनमें से दो समानांतर (समानांतर) हों। समलंब चतुर्भुज, एक समान चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ अलग-अलग होती हैं। ट्रेपेज़ोहेड्रोन, ट्रेपेज़ॉइड्स द्वारा मुखाकार एक शरीर। डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश। में और। डाहल. 1863 1866… डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

ट्रापेज़- (ट्रैपेज़), यूएसए, 1956, 105 मिनट। मेलोड्रामा। महत्वाकांक्षी कलाबाज टीनो ओरसिनी एक सर्कस मंडली में शामिल हो जाता है, जहां एक प्रसिद्ध पूर्व ट्रैपेज़ कलाकार माइक रिबल काम करता है। माइक ने एक बार टीनो के पिता के साथ प्रदर्शन किया था। युवा ओरसिनी माइक चाहता है... सिनेमा का विश्वकोश

चतुर्भुज- एक चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समान्तर हों तथा शेष दो भुजाएँ समान्तर न हों। समानान्तर भुजाओं के बीच की दूरी कहलाती है। ऊँचाई T. यदि समानांतर भुजाओं और ऊँचाई में a, b और h मीटर हैं, तो T के क्षेत्रफल में वर्ग मीटर हैं... ब्रॉकहॉस और एफ्रॉन का विश्वकोश