बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
सुनहरे खंड के सिद्धांत के अनुसार निर्मित एक आयत से भुजा a वाले एक वर्ग को काटने पर, हमें उसी संपत्ति के साथ एक नया, छोटा आयत मिलता है।
स्वर्ण अनुभाग (सुनहरा अनुपात, चरम और औसत अनुपात में विभाजन, हार्मोनिक विभाजन, फ़िडियास संख्या) - एक निरंतर मात्रा का भागों में ऐसे अनुपात में विभाजन जिसमें बड़ा हिस्सा छोटे से संबंधित होता है, जैसे कि पूरी मात्रा बड़ी से संबंधित होती है। उदाहरण के लिए, किसी खंड का विभाजन ए.यू.दो भागों में बाँटें ताकि इसका अधिकांश भाग अबछोटे का है रविपूरे खंड की तरह ए.यू.का अर्थ है अब(अर्थात | अब| / |रवि| = |ए.यू.| / |अब|).
यह अनुपात आमतौर पर ग्रीक अक्षर ϕ द्वारा दर्शाया जाता है (पदनाम τ भी पाया जाता है)। यह इसके बराबर है:
"गोल्डन हार्मोनीज़" का सूत्र, उपरोक्त अनुपात को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के जोड़े देता है:
किसी संख्या के मामले में, पैरामीटर एम = 1.
प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, खंड को चरम और औसत अनुपात में विभाजित किया गया है (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों (सी. 300 ईसा पूर्व) में होता है, जहां इसका उपयोग नियमित पंचकोण के निर्माण के लिए किया जाता है।
सीपूर्वाह्नशब्द "गोल्डन सेक्शन"गोल्डनर श्नाइट) 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा पेश किया गया था।
गणितीय गुण
पाँच-नक्षत्र वाले तारे में स्वर्णिम अनुपात
— तर्कहीनबीजगणितीय संख्या, निम्नलिखित समीकरणों में से किसी का सकारात्मक समाधान
एक सतत अंश के रूप में दर्शाया गया है
के लिए जिनके उपयुक्त अंश क्रमागत फाइबोनैचि संख्याओं के अनुपात हैं। इस प्रकार, 
.
एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को सुनहरे अनुपात में प्रतिच्छेद करने वाले खंड द्वारा विभाजित किया जाता है (अर्थात, नीले खंड का हरे से अनुपात, साथ ही लाल से नीला, साथ ही हरे से बैंगनी का अनुपात बराबर होता है) ).
स्वर्ण खंड का निर्माण
यहाँ एक और दृश्य है:
ज्यामितीय निर्माण
गोल्डन सेक्शन कट अबनिम्नानुसार निर्मित किया जा सकता है: बिंदु पर बीके लिए लंबवत बहाल किया गया अब, उस पर एक खंड रखें ईसा पूर्वआधे के बराबर अब, खंड पर एसीकटौती स्थगित करें विज्ञापन, के बराबर एसी − सीबी, और अंत में, खंड पर अबकटौती स्थगित करें ऐ, के बराबर विज्ञापन. तब
स्वर्णिम अनुपात और सद्भाव
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि "गोल्डन सेक्शन" वाली वस्तुओं को लोग सबसे सामंजस्यपूर्ण मानते हैं। चेप्स के पिरामिड के अनुपात, मंदिर, आधार-राहतें, घरेलू सामान और तूतनखामेन की कब्र से सजावट कथित तौर पर संकेत देती है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे खंड के अनुपात का उपयोग किया था। वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने "पाया" कि एबिडोस में फिरौन सेटी प्रथम के मंदिर की राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात सुनहरे अनुपात के अनुरूप है। वास्तुकार खेसीरा को उनके नाम की कब्र से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने के उपकरण हैं, जिसमें सुनहरे खंड के अनुपात तय किए गए हैं। पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान दिशासूचक यंत्र पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में स्वर्ण मंडल के अनुपात आदि भी शामिल हैं।
कला में "स्वर्ण खंड"।
स्वर्णिम अनुपात और दृश्य केंद्र
लियोनार्डो दा विंची के बाद से, कई कलाकारों ने जानबूझकर "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात का उपयोग किया है।
यह ज्ञात है कि सर्गेई ईसेनस्टीन ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार कृत्रिम रूप से फिल्म बैटलशिप पोटेमकिन का निर्माण किया था। उन्होंने टेप को पांच हिस्सों में तोड़ दिया. पहले तीन में, कार्रवाई जहाज पर होती है। पिछले दो में - ओडेसा में, जहां विद्रोह सामने आ रहा है। शहर में यह परिवर्तन बिल्कुल सुनहरे अनुपात के बिंदु पर होता है। हाँ, और प्रत्येक भाग में एक महत्वपूर्ण मोड़ होता है, जो स्वर्णिम भाग के नियम के अनुसार घटित होता है। फ़्रेम, दृश्य, एपिसोड में, विषय के विकास में एक निश्चित छलांग होती है: कथानक, मनोदशा। आइज़ेंस्टीन का मानना था कि, चूंकि ऐसा संक्रमण स्वर्ण खंड बिंदु के करीब है, इसलिए इसे सबसे प्राकृतिक और प्राकृतिक माना जाता है।
फिल्म कला में गोल्डन रेशियो नियम के उपयोग का एक और उदाहरण फ्रेम के मुख्य घटकों का विशेष बिंदुओं - "दृश्य केंद्र" पर स्थान है। अक्सर चार बिंदुओं का उपयोग किया जाता है, जो समतल के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित होते हैं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त उदाहरणों में, "गोल्डन सेक्शन" का अनुमानित मूल्य दिखाई दिया: यह सत्यापित करना आसान है कि न तो 3/2 और न ही 5/3 गोल्डन सेक्शन के मूल्य के बराबर है।
रूसी वास्तुकार ज़ोल्तोव्स्की ने भी सुनहरे अनुपात का उपयोग किया था।
स्वर्णिम अनुपात की आलोचना
ऐसी राय है कि कला, वास्तुकला और प्रकृति में स्वर्ण खंड का महत्व अतिरंजित है और गलत गणनाओं पर आधारित है।
आयतों के इष्टतम पहलू अनुपात (कागज A0 और गुणकों की शीट के आकार, फोटोग्राफिक प्लेटों के आकार (6:9, 9:12) या फिल्म फ्रेम (अक्सर 2:3), फिल्म और टेलीविजन स्क्रीन के आकार पर चर्चा करते समय - उदाहरण के लिए , 3:4 या 9:16 ) का विभिन्न तरीकों से परीक्षण किया गया। ऐसा पता चला कि अधिकांश लोगों को सोने का एहसास नहीं होताअनुभाग को इष्टतम मानता है और इसके अनुपात को "बहुत लम्बा" मानता है।
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सुनहरा अनुपात
1. परिचय 2 . स्वर्णिम अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
3
. दूसरा स्वर्णिम अनुपात
4 . ज़ो कमल त्रिकोण (पेंटाग्राम)
5
.
स्वर्णिम खंड का इतिहास
6
. स्वर्णिम अनुपात और समरूपता 7. फाइबोनैचि श्रृंखला 8 . सामान्यीकृत स्वर्णिम अनुपात
9
. प्रकृति में गठन के सिद्धांत
1
0
. मानव शरीर और स्वर्णिम अनुपात
1
1
. मूर्तिकला में स्वर्णिम अनुपात
1
2
. वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात
1
3
. संगीत में स्वर्णिम अनुपात
1
4
. कविता में स्वर्णिम अनुपात
1
5
. फ़ॉन्ट और घरेलू वस्तुओं में सुनहरा अनुपात
1
6
. पर्यावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर
1
7
. चित्रकला में स्वर्णिम अनुपात
1
8
.
स्वर्णिम अनुपात और छवि धारणा
19.
तस्वीरों में स्वर्णिम अनुपात
2
0
. स्वर्णिम अनुपात और स्थान 2 1 . निष्कर्ष 2 2 . ग्रन्थसूची
परिचय
प्राचीन काल से ही लोग इस सवाल को लेकर चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं।.
बेशक, सुंदरता के सभी नियमों को कुछ सूत्रों में समाहित नहीं किया जा सकता है, लेकिन गणित का अध्ययन करके हम सुंदरता के कुछ शब्दों की खोज कर सकते हैं।- सुनहरा अनुपात.
हमारा काम यह पता लगाना है कि स्वर्णिम अनुपात क्या है और यह स्थापित करना है कि मानवता ने सोने का उपयोग कहां पाया है।वां खंड. आपने शायद इस तथ्य पर ध्यान दिया होगा कि हम आसपास की वास्तविकता की वस्तुओं और घटनाओं को अलग तरह से मानते हैं। अव्यवस्था, आकारहीनता, असंगति हमें कुरूप लगती है और घृणित प्रभाव उत्पन्न करती है। और जिन वस्तुओं और घटनाओं को माप, समीचीनता और सद्भाव की विशेषता होती है, उन्हें सुंदर माना जाता है और हमें प्रशंसा, खुशी, उत्साह की भावना पैदा होती है।
एक व्यक्ति अपनी गतिविधि में लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो सुनहरे अनुपात को अपने आधार के रूप में उपयोग करते हैं।ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच पर आएं और उस पर बैठें। कहाँ बैठोगे - बीच में? या शायद बिल्कुल किनारे से? नहीं, संभवतः एक या दूसरा नहीं। आप इस प्रकार बैठेंगे कि आपके शरीर के सापेक्ष बेंच के एक हिस्से का दूसरे हिस्से से अनुपात लगभग 1.62 होगा। एक साधारण बात, बिल्कुल सहज... एक बेंच पर बैठकर, आपने "सुनहरा अनुपात" उत्पन्न किया। स्वर्णिम अनुपात पहले से ज्ञात था प्राचीन मिस्रऔर बेबीलोन, भारत और चीन। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त विद्यालय बनाया जहाँ "सुनहरे खंड" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति बनाई, और फ़िडियास ने - अपनी अमर मूर्तियां बनाईं। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्माण्ड "स्वर्णिम खंड" के अनुसार व्यवस्थित है। और अरस्तू ने नैतिक कानून के लिए "स्वर्णिम खंड" का पत्राचार पाया। "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी शैतान से बचते हुए अपने मठों की दीवारों पर "स्वर्ण खंड" के पेंटाग्राम बनाएंगे। उसी समय, वैज्ञानिक - पाचो सेएल और आइंस्टीन से पहले - वे खोजेंगे, लेकिन इसका सटीक अर्थ कभी नहीं ढूंढ पाएंगे। दशमलव बिंदु के बाद एक अंतहीन श्रृंखला - 1.6180339887... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय चीज़: यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "स्वर्णिम खंड" क्या है। लेकिन आप निश्चित रूप से इस अनुपात को समुद्री सीपियों की वक्रता में, और फूलों के रूप में, और भृंगों के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। हर जीवित चीज़ और हर चीज़ सुंदर - हर चीज़ ईश्वरीय नियम का पालन करती है, जिसका नाम "स्वर्ण खंड" है। तो "स्वर्णिम खंड" क्या है?.. यह आदर्श, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटनाया नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है. अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "सुनहरा खंड" वह, और दूसरा, और तीसरा दोनों है। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में... और यही उसका सच्चा रहस्य है, उसका महान रहस्य है।
सौंदर्य के वस्तुपरक मूल्यांकन के लिए कोई विश्वसनीय माप ढूँढ़ना संभवतः कठिन है, और केवल तर्क यहाँ काम नहीं करेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव यहाँ मदद करेगा जिनके लिए सुंदरता की खोज ही जीवन का अर्थ थी, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये सटीक विज्ञान के लोग भी हैं - सबसे पहले, गणितज्ञ।
अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, एक व्यक्ति ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार के आधार पर अलग करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। यह रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा कुछ हिस्से होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक-दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं।स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।
स्वर्ण खंड - हार्मोनिक अनुपात
गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है: ए: बी = सी: डी।
रेखाखंड AB को निम्नलिखित प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
--
दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
--
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);
--
इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी।
अंतिम वाला स्वर्णिम प्रभाग है.
सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है जैसे बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है
ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।
बिंदु B से आधे AB के बराबर एक लंब डाला जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC अंकित है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान हैं अक्सर इस्तमल होता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भागों का है।
स्वर्ण खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है: x2 - x - 1 = 0. इस समीकरण का हल:
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दूसरा स्वर्ण खंड बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" ने स्वेतन त्सेकोव-करंदाश का एक लेख "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44:56 का एक और अनुपात देता है। यह अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड एबी को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। समकोण ACD द्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची गई है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है। यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड की रेखा के मध्य में स्थित है मध्य पंक्तिआयत। स्वर्ण त्रिकोण आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं। पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। बिंदु O पर उठाया गया त्रिज्या OA का लंब, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर खंड CE = ED को चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित नियमित पंचभुज की एक भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर डीसी खंडों को अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण के माध्यम से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएं शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है। सीधी रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर मनमाने आकार का एक खंड O तीन बार बिछाते हैं, प्राप्त बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर एक लंब खींचते हैं, खंड O को बिंदु P के दाएं और बाएं लंबवत पर रखते हैं। हम परिणामी बिंदुओं को जोड़ते हैं बिंदु A तक सीधी रेखाओं के साथ d और d1। हमने बिंदु C प्राप्त करते हुए खंड dd1 को रेखा Ad1 पर रखा। उसने रेखा Ad1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया। पंक्तियों Ad1 और dd1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है। स्वर्ण खंड का इतिहास
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। ऐसी धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्णिम विभाजन का अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स के पिरामिड, मंदिरों, घरेलू सामानों और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम की कब्र से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने वाले उपकरण हैं, जिसमें सुनहरे विभाजन के अनुपात तय किए गए हैं। यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। यहाँ तक कि उनके बच्चों को अंकगणित भी ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे। प्लेटो को स्वर्णिम विभाजन का भी ज्ञान था। प्लेटो के इसी नाम के संवाद में पायथागॉरियन टिमियस कहता है: "दो चीजों का किसी तीसरे के बिना पूरी तरह से जुड़ा होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक ऐसी चीज दिखाई देनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखे। यह अनुपात के आधार पर सबसे अच्छा किया जा सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में यह गुण होता है कि औसत जितना छोटा होगा, उतना बड़ा होगा, मध्य होगा, और इसके विपरीत, माध्य जितना कम होगा, उतना बड़ा होगा, फिर अंतिम और पहला मध्य होगा, और मध्य, पहला और अंतिम। चूँकि यह वही होगा, यह एक संपूर्ण बना देगा।" प्लेटो ने दो प्रकार के त्रिकोणों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण किया: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज को वह मानते हैं जिसमें कर्ण सबसे छोटे पैर से दोगुना बड़ा होता है (ऐसा आयत आधा समबाहु होता है, बेबीलोनियों की मुख्य आकृति, इसका अनुपात 1:3 होता है) 1/2 , जो स्वर्णिम अनुपात से लगभग 1/25 भिन्न है, और थाइमरडिंग द्वारा इसे "स्वर्णिम अनुपात का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, प्लेटो ने चार नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण किया, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) के साथ जोड़ा। और मौजूदा पांच में से केवल आखिरी नियमित पॉलीहेड्रा- डोडेकेहेड्रोन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पंचकोण हैं, स्वर्गीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।
इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन डोडेकाहेड्रोन (या, जैसा कि माना जाता था, ब्रह्मांड ही, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, जिसे क्रमशः टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और क्यूब द्वारा दर्शाया गया है) की खोज का सम्मान हिप्पासस को है, जो बाद में एक जहाज़ दुर्घटना में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में सुनहरे खंड के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाले को स्वर्गीय दुनिया में मुख्य भूमिका सौंपी गई, जिस पर बाद में छोटे भाई लुका पैसिओली ने जोर दिया। पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान दिशासूचक यंत्र पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है। प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड की "शुरुआत" में किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है. यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण प्रभाग का अध्ययन किया। मध्ययुगीन यूरोपवे यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के अरबी अनुवाद से स्वर्णिम विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया, सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों को ही ज्ञात थे। मध्य युग में, पेंटाग्राम को राक्षसी बना दिया गया था (वास्तव में, प्राचीन बुतपरस्ती में इसे दिव्य माना जाता था) और इसे गुप्त विज्ञान में आश्रय मिला। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। तो, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे की उस अवधि में व्यापक प्रसार प्राप्त किया: लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, जो अनिवार्य रूप से एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन था। इसकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशमान व्यक्ति थे, सबसे महान गणितज्ञफाइबोनैचि और गैलीलियो के बीच इटली। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह परिचित थीं। 1496 में, ड्यूक ऑफ़ मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली की पुस्तक "ऑन डिवाइन प्रोपोर्शन" (डी डिविना प्रोपोर्शन, 1497, 1509 में वेनिस में प्रकाशित) शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुई थी, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और विशिष्टता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात किसी सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा इसे तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता और हर चीज़ में हर चीज़ का प्रतिनिधित्व करता है और अपने प्रत्येक हिस्से में हर चीज़ का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा के लिए सुनहरा अनुपात (चाहे वह बड़ी या छोटी हो) एक समान है, इसे बदला नहीं जा सकता है या अन्यथा मन द्वारा माना नहीं जा सकता है। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण को अस्तित्व में बुलाया, अन्यथा इसे पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि), और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ को अस्तित्व में बुलाया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमियस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे डोडेकाहेड्रोन नामक एक पिंड के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।
लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। अत: उन्होंने इस विभाग को स्वर्णिम खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है. उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय दिया। ड्यूरर लिखते हैं. "यह आवश्यक है कि वह व्यक्ति जो यह जानता हो कि इसे दूसरों को कैसे सिखाया जाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।" ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहने के दौरान उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा विभाजित किया जाता है। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर। 16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने सुनहरे अनुपात को स्वयं जारी रखने वाला कहा। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है"। स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है। यदि मनमानी लंबाई की एक सीधी रेखा पर, खंड एम को अलग रखें, तो अगले खंड एम को अलग रखें। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया।" 19वीं सदी के मध्य में सुनहरा खंड फिर से "खोजा" गया। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम "एस्थेटिक रिसर्च" प्रकाशित किया। ज़ीसिंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ घटित होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था। ज़ीसिंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6. नवजात शिशु में अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड का अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रबाहु और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि। ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। यूनानी फूलदानों, स्थापत्य संरचनाओं का अध्ययन किया गया विभिन्न युग, पौधे, जानवर, पक्षियों के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे एक दिशा और दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में स्वर्ण प्रभाग।" 1876 में, ज़ीसिंग के काम को रेखांकित करते हुए, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी। लेखक ने प्रारंभिक यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है। XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत में। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया। स्वर्णिम अनुपात और समरूपता समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्णिम अनुपात को अपने आप में अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना। स्वर्णिम विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्णिम विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन की विशेषता है, और गतिशील समरूपता गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शायी जाती है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता बताती है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है। फाइबॉन पंक्ति ए एफ एच और
पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से स्वर्ण खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को अरबी अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य द बुक ऑफ द अबेकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याएं एकत्र की गईं। संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक एफ द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा हर चीज़ के लिए है। जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, उंगली के प्रत्येक पोर की लंबाई एफ-अनुपात में अगले पोर की लंबाई से संबंधित होती है। यही संबंध सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में भी देखा जाता है। यह संबंध किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली बिना किसी दृश्यमान पैटर्न के दूसरे से लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है - जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। अंगुलियों पर ए से बी, सी से डी से ई तक चिह्नित दूरियां, सभी एफ के अनुपात में एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे कि एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।
इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह एफ अनुपात मॉडल में फिट बैठती है।
सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके 10 को हल करता है- यू हिल्बर्ट की समस्या. फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने की विधियां हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है। इस क्षेत्र में उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है। उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वजन 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला, पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग है जिसमें स्वयं 2 = 1 + 1 है; 4 = 2 + 2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... क्या यह संभव है किस "बाइनरी" श्रृंखला और फाइबोनैचि श्रृंखला से एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजना है? या हो सकता है कि यह सूत्र हमें कुछ नये के साथ नये संख्यात्मक सेट दे दे अद्वितीय गुण? वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले वाले से S चरणों द्वारा अलग किया गया। अगर नौवाँ सदस्यइस शृंखला को निरूपित किया जाएगाएस (एन), तो हमें मिलता है सामान्य सूत्र? एस(एन) = ? एस (एन - 1) + ? एस (एन - एस - 1)। जाहिर है, इस सूत्र से S = 0 के साथ हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, S = 1 के साथ - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, S = 2, 3, 4 के साथ संख्याओं की नई श्रृंखला, जिसे S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है। में सामान्य रूप से देखेंस्वर्णिम एस-अनुपात स्वर्णिम एस-अनुपात समीकरण x का धनात्मक मूल हैएस+1 - एक्स एस - 1 = 0. यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, खंड का आधे भाग में विभाजन प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड प्राप्त होता है। पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं का अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाता है! ऐसे मामलों में गणितज्ञों का कहना है कि सुनहरे एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-संख्याओं के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको की पुस्तक "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984)। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण एक दूसरे से संबंधित होते हैं सुनहरे एस-अनुपात में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति दी कि सुनहरे एस-सेक्शन स्व-संगठित प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - नया क्षेत्रविज्ञान जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है। सुनहरे एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक के साथ सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संख्याओं को एन्कोड करने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे एस-अनुपात हैं, एस> 0 के लिए अपरिमेय संख्या बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" कर देती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा असंगत खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याओं - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया। क्रमांकन के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, स्वर्ण खंड समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले से ही व्यक्त की जाती हैं। ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृतिक संख्याहमेशा एक परिमित के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - स्वर्ण एस-अनुपात में से किसी की डिग्री का योग। यह एक कारण है कि "अतार्किक" अंकगणित, जिसमें अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य है, ने शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित कर लिया है। प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत जो कुछ भी किसी न किसी रूप में आया, वह बना, बढ़ा, अंतरिक्ष में जगह बनाने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास किया। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में साकार होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और सर्पिल में घूमना। खोल एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में न कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी। सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है। यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी।
सर्पिल को सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफ़ान घूम रहा है. हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में तितर-बितर हो गया। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। ज़ो गोल्डन स्पाइरल का चक्रों से गहरा संबंध है। आधुनिक विज्ञानअराजकता के बारे में सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न रूपों का अध्ययन किया जाता है, जो पहले अज्ञात थे। चित्र 6 प्रसिद्ध मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को दर्शाता है, जो जूलियन श्रृंखला नामक व्यक्तिगत पैटर्न के अनंत शब्दकोष का एक पृष्ठ है। कुछ विद्वान मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को इससे जोड़ते हैं जेनेटिक कोडकोशिका केन्द्रक. अनुभागों में लगातार वृद्धि से उनकी कलात्मक जटिलता में आश्चर्यजनक भग्नता का पता चलता है। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह और भी महत्वपूर्ण है क्योंकि मैंडेलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों ही मानव मस्तिष्क के आविष्कार नहीं हैं। वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के दायरे से उत्पन्न होते हैं। जैसा कि डॉक्टर आर. पेनरोज़ ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं।" सर्पिल का चक्रों से गहरा संबंध है। अराजकता का आधुनिक विज्ञान सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न संचालन का अध्ययन करता है।
सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है.
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| चावल। . कासनी |
छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात कैप्चर हो जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से 62 से 38 तक संबंधित होती है।
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| चावल। . जीवित बच्चा जनने वाली छिपकली |
पक्षी के अंडों के ऐसे रूप आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे खंड के अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के छिलके की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।
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| चावल। . पक्षी का अंडा |
हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों के लिए काफी सुलभ हैं।
बर्फ के टुकड़े बनाने वाली उत्कृष्ट सुंदरता की सभी आकृतियाँ, बर्फ के टुकड़े में सभी कुल्हाड़ियाँ, वृत्त और ज्यामितीय आकृतियाँ भी, बिना किसी अपवाद के, हमेशा सुनहरे खंड के पूर्ण स्पष्ट सूत्र के अनुसार बनाई जाती हैं।
सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणकीय रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक इकोसाहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन आवरण बना होता है प्रोटीन कोशिकाओं की 252 इकाइयाँ एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित हैं। इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने में एक पंचकोणीय प्रिज्म के रूप में प्रोटीन कोशिकाओं की 12 इकाइयाँ हैं, और स्पाइक जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली हुई हैं।
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| एडेनो वायरस |
क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर एक अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: यहां तक कि एक सूक्ष्म जीव की संरचना में, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं। इस मामले मेंवायरस में, एक स्पष्ट इरादा और एक उचित डिजाइन है 16. यह परियोजना लोगों द्वारा बनाई गई सबसे उन्नत वास्तुशिल्प परियोजनाओं के साथ निष्पादन की पूर्णता और सटीकता में अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, प्रतिभाशाली वास्तुकार बकमिन्स्टर फ़ुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएँ। डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के त्रि-आयामी मॉडल एककोशिकीय समुद्री सूक्ष्मजीव रेडिओलेरियन (बीमर) के कंकालों की संरचना में भी मौजूद हैं, जिनका कंकाल सिलिका से बना है। रेडिओलेरियन अपने शरीर को अत्यंत उत्तम, असामान्य सुंदरता से निर्मित करते हैं। इनका आकार नियमित डोडेकाहेड्रॉन जैसा होता है। इसके अलावा, इसके प्रत्येक कोने से छद्म बढ़ाव-अंग और अन्य असामान्य रूप-वृद्धि बढ़ती है। महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह थे जिन्होंने मॉर्फोलॉजी शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में लाया। हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है। जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में "सुनहरे" समरूपता की नियमितता प्रकट होती है। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क की कार्यप्रणाली और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं। मानव शरीर और स्वर्ण खंड सभी मानव हड्डियाँ स्वर्ण खंड के अनुपात में हैं।
हमारे शरीर के विभिन्न भागों का अनुपात सुनहरे अनुपात के बहुत करीब की संख्या बनाता है। यदि ये अनुपात स्वर्णिम अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो किसी व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है।
यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो एक व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।
कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है
नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है
ठोड़ी के सिरे से ऊपरी होंठ के सिरे तक और ऊपरी होंठ के सिरे से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है
दरअसल, किसी व्यक्ति के चेहरे पर सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव आंख के लिए सुंदरता का आदर्श है।
ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है
चेहरे की ऊँचाई / चेहरे की चौड़ाई
नाक के आधार तक होठों के जंक्शन का केंद्र बिंदु/नाक की लंबाई।
चेहरे की ऊंचाई/ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी
मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई
नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी
पुतली की दूरी/ भौंह की दूरी अब बस अपनी हथेली को अपने करीब लाना और अपनी तर्जनी को ध्यान से देखना ही काफी है, और आपको तुरंत इसमें गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला मिल जाएगा।
हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली में तीन पर्व होते हैं। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो पर्वों का योग स्वर्ण अनुभाग संख्या देता है (अंगूठे को छोड़कर)।
इसके अलावा मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी होता हैसुनहरा अनुपातएक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियां 3 फालेंजों से बनी होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो दो हाथ के अंगूठे को छोड़कर, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।
यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर लोगों में फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी ऊंचाई के बराबर होती है। स्वर्णिम अनुपात की सच्चाइयाँ हमारे भीतर और हमारे भीतर हैंअंतरिक्ष
किसी व्यक्ति के फेफड़ों को बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बायां) लंबा और दूसरा (दाएं) छोटा।
यह पाया गया कि यह विषमता ब्रांकाई की शाखाओं, सभी छोटे वायुमार्गों में जारी है।
इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी स्वर्णिम अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।
में भीतरी कानमनुष्य के पास एक अंग हैकोक्लीअ ("घोंघा"), जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है। यह हड्डी जैसी संरचना तरल पदार्थ से भरी होती है और घोंघे के रूप में भी बनाई जाती है, जिसमें एक स्थिर लघुगणक सर्पिल आकार = 73 होता है? 43" दिल के धड़कने के साथ ही रक्तचाप बदल जाता है। यह संकुचन (सिस्टोल) के समय हृदय के बाएं वेंट्रिकल में अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है। हृदय के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा, स्वस्थ व्यक्ति में रक्तचाप 115-125 मिमी एचजी के बराबर अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है। हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) के शिथिल होने के समय, दबाव 70-80 मिमी एचजी तक कम हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) और न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, यानी सुनहरे अनुपात के करीब।यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 है, और डायस्टोलिक रक्तचाप 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में हृदय का कार्य एक ही सिद्धांत - सुनहरे अनुपात के नियम के अनुसार अनुकूलित होता है।
डीएनए अणु में दो लंबवत आपस में गुंथे हुए हेलिकॉप्टर होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल 34 एंगस्ट्रॉम लंबा और 21 एंगस्ट्रॉम चौड़ा है। (1 एंगस्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ करोड़वां हिस्सा है)। डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना
तो 21 और 34 फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम में एक के बाद एक आने वाली संख्याएं हैं, यानी डीएनए अणु के लघुगणकीय हेलिक्स की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात स्वर्ण खंड सूत्र 1: 1.618 रखता है
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मूर्तिकला में स्वर्ण खंड
महत्वपूर्ण घटनाओं को कायम रखने के लिए, प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कार्यों को वंशजों की याद में संरक्षित करने के लिए मूर्तिकला संरचनाएं, स्मारक बनाए जाते हैं। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों का संबंध स्वर्ण खंड के सूत्र से जुड़ा था। "स्वर्ण खंड" का अनुपात सुंदरता के सामंजस्य का आभास कराता है, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने कार्यों में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर संपूर्ण मानव शरीर को "स्वर्ण खंड" के संबंध में विभाजित करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडियर की प्रसिद्ध मूर्ति में सुनहरे अनुपात से विभाजित भाग शामिल हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िडियास अक्सर अपने कार्यों में "सुनहरा खंड" का उपयोग करते थे। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़ीउस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनोस की मूर्ति थी।  अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई को सुनहरे खंड में नाभि रेखा द्वारा विभाजित किया गया है।  |
वास्तुकला में स्वर्ण खंड
"गोल्डन सेक्शन" पर पुस्तकों में कोई यह टिप्पणी पा सकता है कि वास्तुकला में, पेंटिंग की तरह, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और यदि किसी इमारत में एक तरफ कुछ अनुपात "गोल्डन सेक्शन" बनाते प्रतीत होते हैं, फिर अन्य बिंदुओं से देखने पर वे भिन्न दिखेंगे। "गोल्डन सेक्शन" कुछ लंबाई के आकार का सबसे आरामदायक अनुपात देता है।
प्राचीन यूनानी वास्तुकला के सबसे खूबसूरत कार्यों में से एक पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) है।
  आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। इमारत के अनुपात को संख्या Ф = 0.618 की विभिन्न डिग्री के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ... पार्थेनन में छोटे पक्षों पर 8 और लंबे पक्षों पर 17 स्तंभ हैं। कगारें पूरी तरह से पेंटाइल संगमरमर के वर्गों से बनी हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था उसकी उत्कृष्टता ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम है, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटे के कुछ उभार मिलेंगे। पार्थेनन के फर्श योजना पर, आप "सुनहरे आयत" भी देख सकते हैं:  हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डे पेरिस) की इमारत और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं:   न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; यही घटना मैक्सिकन पिरामिडों में भी पाई जाती है। लंबे समय से यह माना जाता था कि प्राचीन रूस के वास्तुकारों ने बिना किसी विशेष गणितीय गणना के, सब कुछ "आंख से" बनाया था। हालाँकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी वास्तुकार गणितीय अनुपात को अच्छी तरह से जानते थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है। प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव ने अपने काम में "गोल्डन सेक्शन" का व्यापक रूप से उपयोग किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन काफी हद तक उन्होंने खुद को आवासीय भवनों और संपदाओं की कई पूर्ण परियोजनाओं में प्रकट किया। उदाहरण के लिए, "गोल्डन सेक्शन" क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में पाया जा सकता है। एम. कज़ाकोव की परियोजना के अनुसार, गोलित्सिन अस्पताल मास्को में बनाया गया था, जिसे वर्तमान में एन.आई. के नाम पर पहला क्लिनिकल अस्पताल कहा जाता है। पिरोगोव ( लेनिन्स्की प्रॉस्पेक्ट, डी।  मॉस्को में पेत्रोव्स्की पैलेस। एम.एफ. की परियोजना के अनुसार निर्मित। कज़ाकोव।  मॉस्को की एक और वास्तुशिल्प कृति - पश्कोव हाउस - वी. बझेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है।  वी. बाझेनोव की अद्भुत रचना ने आधुनिक मॉस्को के केंद्र के समूह में मजबूती से प्रवेश किया है, इसे समृद्ध किया है। इस तथ्य के बावजूद कि 1812 में यह बुरी तरह जल गया था, घर का बाहरी स्वरूप आज तक लगभग अपरिवर्तित बना हुआ है। जीर्णोद्धार के दौरान, इमारत ने और अधिक विशाल रूप प्राप्त कर लिया। इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जिसका अंदाजा केवल निचली मंजिल के चित्र से ही चलता है। वास्तुकार के कई कथन आज ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी. बझेनोव ने कहा: "वास्तुकला के तीन मुख्य विषय हैं: इमारत की सुंदरता, शांति और ताकत... इसे प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, और सभी उनमें से एक सामान्य नेता का कारण है।" |
संगीत के किसी भी टुकड़े में एक समय अवधि होती है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" में अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर किसी संगीत कार्य के गतिशील और अन्तर्राष्ट्रीय चरमोत्कर्ष बिंदु हो सकते हैं। एक नियम के रूप में, "क्लाइमेक्टिक इवेंट" से जुड़े संगीत के एक टुकड़े के अलग-अलग समय अंतराल, स्वर्ण अनुपात के अनुपात में होते हैं।
1925 में, कला समीक्षक एल.एल. सबनीव ने 42 लेखकों के 1770 संगीत कार्यों का विश्लेषण किया, जिससे पता चला कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से थीम, या इंटोनेशन सिस्टम, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो कि हैं एक दूसरे से संबंध। स्वर्णिम अनुपात। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली होगा, उतना ही अधिक प्रतिभाशाली होगा अधिकउनके कार्यों को सुनहरे खंड मिले। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना की एक विशेष सद्भाव की छाप की ओर ले जाता है। इस परिणाम को सबनीव द्वारा सभी 27 चोपिन एट्यूड्स पर सत्यापित किया गया था। उन्हें उनमें 178 स्वर्ण खंड मिले। इसी समय, यह पता चला कि न केवल एट्यूड के बड़े हिस्से को सुनहरे खंड के संबंध में अवधि के अनुसार विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के एट्यूड के हिस्सों को अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।
संगीतकार और वैज्ञानिक एम.ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध सोनाटा "अप्पासियोनाटा" में मापों की संख्या गिना और कई दिलचस्प संख्यात्मक अनुपात पाए। विशेष रूप से, विकास में - सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषय गहन रूप से विकसित होते हैं और कुंजियाँ एक दूसरे को प्रतिस्थापित करती हैं - दो मुख्य खंड हैं। पहले में 43.25 बार हैं, दूसरे में 26.75 बार हैं। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 स्वर्णिम अनुपात देता है।
एरेन्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शूबर्ट (91%) के कार्यों की संख्या सबसे अधिक है जिनमें गोल्डन सेक्शन मौजूद है।
यदि संगीत ध्वनियों का सामंजस्यपूर्ण क्रम है, तो कविता वाणी का हार्मोनिक क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले अक्षरों का नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयामीता, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। कविता में स्वर्णिम अनुपात मुख्य रूप से कविता के एक निश्चित क्षण (चरमोत्कर्ष, अर्थपूर्ण मोड़,) की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है। मुख्य विचारकार्य) कविता की पंक्तियों की कुल संख्या के विभाजन बिंदु के कारण पंक्ति में सुनहरे अनुपात में। इसलिए, यदि कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्ण खंड का पहला बिंदु 62वीं पंक्ति (62%) पर पड़ता है, दूसरा - 38वीं (38%) पर, आदि। "यूजीन वनगिन" सहित अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की कृतियाँ - सुनहरे अनुपात का बेहतरीन पत्राचार! शोता रुस्तवेली और एम.यू. की कृतियाँ। लेर्मोंटोव का निर्माण भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत पर किया गया है।
स्ट्राडिवेरियस ने इसकी सहायता से लिखा
स्वर्णिम अनुपात के लिए उन्होंने स्थानों का निर्धारण कियाएफ उनके प्रसिद्ध वायलिनों के शरीर पर -आकार के कटआउट। कविता में स्वर्णिम खंड पुश्किन की कविता इन पदों से काव्य रचनाओं का अध्ययन अभी प्रारंभ हो रहा है। और आपको ए.एस. पुश्किन की कविता से शुरुआत करने की ज़रूरत है। आख़िरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का उदाहरण हैं, उच्चतम स्तर के सामंजस्य का उदाहरण हैं। ए.एस. पुश्किन की कविता के साथ, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का माप। काव्य कृतियों की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले अक्षरों का नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयामीता, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप होता है - अपनी लय और धुन। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, संगीत सद्भाव के पैटर्न और, परिणामस्वरूप, सुनहरा अनुपात दिखाई देगा। आइए कविता के आकार, यानी उसमें पंक्तियों की संख्या से शुरुआत करें। ऐसा प्रतीत होता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, ए.एस. की कविताओं का विश्लेषण। पुश्किन ने इस दृष्टिकोण से दिखाया कि छंदों के आकार बहुत असमान रूप से वितरित हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।
कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ संगीत के टुकड़ों की तरह हैं; उनके पास चरम बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की एक कविता पर विचार करें। पुश्किन "शोमेकर": एक बार एक मोची एक तस्वीर की तलाश में था
और उसने जूतों में गड़बड़ी बताई;
कलाकार ने तुरंत ब्रश उठाते हुए खुद को ठीक किया,
यहाँ, अकिम्बो, मोची ने जारी रखा:
"मुझे लगता है कि चेहरा थोड़ा टेढ़ा है...
क्या वह छाती भी नंगी नहीं है?
यहाँ अपेल्स ने अधीरता से टोकते हुए कहा:
"जज, मेरे दोस्त, बूट से ऊपर नहीं!"
मेरे मन में एक मित्र है:
मुझे नहीं पता कि यह कौन सा विषय है.
वह एक पारखी थे, हालाँकि गैर-मौखिक रूप से सख्त थे,
परन्तु शैतान उसे प्रकाश का न्याय करने के लिए ले जाता है:
जूतों का मूल्यांकन करने के लिए इसे आज़माएँ!
लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" दो भागों में विभाजित है: वर्णनकर्ता को संबोधित एक परिचय और केवल एक छंद ("मुझे बताओ, चाचा, यह अकारण नहीं है ..."), और मुख्य भाग, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो समतुल्य भागों में विभाजित है। उनमें से पहले में, बढ़ते तनाव के साथ लड़ाई की उम्मीद का वर्णन किया गया है, दूसरे में - कविता के अंत तक तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ लड़ाई का वर्णन किया गया है। इन भागों के बीच की सीमा कार्य का चरमोत्कर्ष है और इसे सुनहरे खंड द्वारा विभाजित करने के बिंदु पर बिल्कुल गिरती है। कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ अर्थात् 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618 = 56.238) से विभाजित करते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु 57वें श्लोक की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!"। यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित अपेक्षा के चरम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (लड़ाई की उम्मीद) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है। इस प्रकार, स्वर्णिम अनुपात कविता में एक बहुत ही सार्थक भूमिका निभाता है, जो कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करता है। शोता रुस्तवेली की कविता शोटा रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। कविता के ये गुण जॉर्जियाई वैज्ञानिक शिक्षाविद् जी.वी. त्सेरेटेली इसका श्रेय कवि द्वारा कविता के स्वरूप के निर्माण और अपनी कविताओं के निर्माण दोनों में स्वर्णिम खंड के सचेत उपयोग को देती है। रुस्तवेली की कविता में 1587 छंद हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 अक्षर होते हैं और प्रत्येक आधी पंक्ति में 8 अक्षरों के दो बराबर भागों में विभाजित होती है। सभी आधी रेखाओं को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: ए - समान खंडों वाली एक आधी रेखा और अक्षरों की एक समान संख्या (4 + 4); बी - दो असमान भागों (5 + 3 या 3 + 5) में एक असममित विभाजन के साथ एक अर्ध-रेखा। इस प्रकार, आधी रेखा बी में, अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक अनुमान है।
यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में 1587 छंदों में से आधे से अधिक (863) स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार निर्मित हैं। हमारे समय में जन्मे नये प्रकार काकला - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग, संगीत की नाटकीयता को अवशोषित किया। सिनेमैटोग्राफी के उत्कृष्ट कार्यों में सुनहरे खंड की अभिव्यक्तियों की तलाश करना वैध है। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति विश्व सिनेमा की उत्कृष्ट कृति "बैटलशिप पोटेमकिन" के निर्माता, फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन थे। इस चित्र के निर्माण में, वह सामंजस्य के मूल सिद्धांत - स्वर्णिम अनुपात - को मूर्त रूप देने में कामयाब रहे। जैसा कि आइज़ेंस्टीन ने स्वयं नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत के मस्तूल पर लाल झंडा (फिल्म का चरम बिंदु) सुनहरे अनुपात के बिंदु पर फहराता है, जिसे फिल्म के अंत से गिना जाता है। फ़ॉन्ट और घरेलू वस्तुओं में स्वर्णिम अनुपात विशेष प्रकार दृश्य कलाप्राचीन ग्रीस को सभी प्रकार के जहाजों के निर्माण और पेंटिंग पर प्रकाश डालना चाहिए। एक सुंदर रूप में, सुनहरे खंड के अनुपात का अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है।
मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, घरेलू वस्तुओं पर, प्राचीन मिस्रवासी अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित करते थे। किसी खड़े व्यक्ति के चलने, बैठने आदि की छवि के सिद्धांत स्थापित किए गए। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों से छवियों के व्यक्तिगत रूपों और योजनाओं को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन यूनानी कलाकारों ने कैनन का उपयोग करना सीखने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएँ कीं। बाहरी वातावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर ध्वनि आवाज़।
यह ज्ञात है कि दर्द पैदा करने वाली ध्वनि की अधिकतम मात्रा 130 डेसिबल है।
यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो एक मानव चीख की ज़ोर के लिए विशिष्ट हैं।
यदि अब हम 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 50 डेसिबल मिलता है, जो मानव भाषण की तीव्रता से मेल खाता है।
अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को 2.618 के सुनहरे अनुपात के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसाहट के अनुरूप है।
इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।
हवा मैं नमी। 18-20® के तापमान पर, 40-60% की आर्द्रता सीमा इष्टतम मानी जाती है।
यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को सुनहरे अनुपात से दो बार विभाजित किया जाए तो इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं: 100 / 2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618 = 61.8% (ऊपरी सीमा)।
हवा का दबाव। 0.5 एमपीए के वायु दबाव पर, एक व्यक्ति को अप्रिय संवेदनाओं का अनुभव होता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि बिगड़ जाती है। 0.3 - 0.35 एमपीए के दबाव पर, केवल अल्पकालिक संचालन की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव पर, इसे 8 मिनट से अधिक समय तक काम करने की अनुमति नहीं है।
ये सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं: 0.5 / 1.618 = 0.31 एमपीए; 0.5 / 2.618 = 0.19 एमपीए।
बाहरी हवा का तापमान. बाहरी हवा के तापमान की सीमा पैरामीटर, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण, उत्पत्ति) संभव है, तापमान सीमा 0 से + (57-58) ® С तक है। जाहिर है, पहली सीमा पर स्पष्टीकरण देने की जरूरत नहीं है.
हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं। इससे हमें दो सीमाएँ मिलती हैं:
दोनों सीमाएँ मानव शरीर के तापमान की विशेषता हैं: पहला तापमान से मेल खाता है दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी तापमान से मेल खाती है।पेंटिंग में स्वर्ण खंड
पुनर्जागरण में, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे समतल के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।
उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था। पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, कोई भी लियोनार्डो दा विंची के काम पर अपना ध्यान नहीं रोक सकता है। उनकी पहचान इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने स्वयं कहा था: "कोई भी जो गणितज्ञ नहीं है वह मेरे कार्यों को पढ़ने का साहस न करे।"
उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने कई ऐसे आविष्कारों का अनुमान लगाया जो 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं किए गए थे।
इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, उनके समकालीनों ने पहले ही यह पहचान लिया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने भावी पीढ़ी के लिए अपने विचारों की सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि केवल कई हस्तलिखित रेखाचित्र, नोट्स छोड़े थे। जो कहता है "दुनिया में हर कोई।"
वह दाएँ से बाएँ अपठनीय लिखावट में और बाएँ हाथ से लिखता था। यह अस्तित्व में दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।
मोना लिसा (जियोकोंडा) के चित्र ने कई वर्षों तक शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, जिन्होंने पाया कि चित्र की संरचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है जो एक नियमित सितारा पेंटागन के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।
एक बार लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डी ले जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा का चित्र बनाने का आदेश मिला। वह महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपने रूप-रंग की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो एक चित्र बनाने के लिए सहमत हुए। उनकी मॉडल दुखी और उदास थी, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनने के बाद वह जीवंत और दिलचस्प हो गई।
परी कथा
एक बार की बात है, एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन होशियार, और उनमें से एक इस तरह का और एक वैसा। और फिर पिता के लिए मौत आ गई. अपने जीवन से अलग होने से पहले, उन्होंने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: "मेरे बेटों, जल्द ही मैं मर जाऊंगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोपड़ी में ताला लगा देना और अपनी खुशी बनाने के लिए दुनिया के छोर पर चले जाना।" आपमें से प्रत्येक को अपना पेट भरने में सक्षम होने के लिए कुछ सीखने दें।" पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे दुनिया भर में फैल गए, तीन साल बाद अपने मूल उपवन में लौटने के लिए सहमत हुए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ काटा और उसे काटा, उसमें से एक महिला बनाई, थोड़ा चला और इंतजार किया। दूसरा भाई लौटा, उसने एक लकड़ी की औरत को देखा और चूँकि वह एक दर्जी था, उसने एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर की तरह, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने और कीमती पत्थरों से सजाया - आखिरकार, वह एक जौहरी था। आख़िरकार चौथा भाई आ गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, घास, जानवर और पक्षी क्या कह रहे हैं उसे कैसे सुनना है, वह रास्ता जानता था खगोलीय पिंडऔर वह अद्भुत गीत गा सकता था। उसने एक गाना गाया जिससे झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रोने लगे। इस गाने से उसने महिला को पुनर्जीवित कर दिया, वह मुस्कुराई और आह भरी। भाई उसके पास दौड़े और प्रत्येक ने एक ही बात चिल्लाई: "तुम्हें मेरी पत्नी बनना होगा।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: "तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो।"
और तुम, जिसने मुझमें मेरी आत्मा फूंक दी और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन भर तुम्हारी ही जरूरत है".
कहानी ख़त्म करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा की ओर देखा, उसका चेहरा चमक उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, मानो स्वप्न से जागी हो, उसने आह भरी, अपना हाथ अपने चेहरे पर फिराया, और बिना कुछ बोले अपनी जगह पर चली गई, हाथ जोड़े और अपनी सामान्य मुद्रा में आ गई। लेकिन काम तो हो गया - कलाकार ने उदासीन प्रतिमा को जगा दिया; आनंद की मुस्कान, उसके चेहरे से धीरे-धीरे गायब हो रही थी, उसके मुंह के कोनों में ही रह गई और कांपने लगी, जिससे उसके चेहरे पर एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ा धूर्त अभिव्यक्ति हो गई, जैसे उस व्यक्ति की जिसने एक रहस्य जान लिया है और, ध्यान से उसे रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी विजय को रोको. लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को चूकने के डर से, सूरज की इस किरण ने उसके उबाऊ मॉडल को रोशन कर दिया...
यह नोट करना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया था, लेकिन सभी ने मानव शरीर की संरचना के बारे में लियोनार्डो के गहरे ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इस रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में कामयाब रहे। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यंजना और चित्र के अभूतपूर्व साथी परिदृश्य के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की स्वाभाविकता, मुद्रा की सरलता, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह आकृति को पारदर्शी धुंध से ढक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास थे, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गए। बाढ़ के आदेशों की याद दिलाने से उसे कोई मदद नहीं मिली।
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आई. आई. शिश्किन की पेंटिंग "पाइन ग्रोव" में सुनहरा खंड आई. आई. शिश्किन की इस प्रसिद्ध पेंटिंग में सुनहरे खंड के रूप स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाहिनी ओर सूर्य से प्रकाशित एक पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य देवदार के बाईं ओर कई देवदार के पेड़ हैं - यदि आप चाहें, तो आप चित्र को सुनहरे खंड के अनुसार और आगे भी सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं। |
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चित्र में उज्ज्वल ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार के इरादे के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र प्रदान करती है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, मान लीजिए, तो वह तेजी से विकसित होने वाली क्रिया के साथ एक चित्र बनाता है, जैसे ज्यामितीय योजनारचना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।
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 वी. आई. सुरिकोव। बोयार मोरोज़ोवा। उसकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को सौंपी गई है। यह चित्र के कथानक के उच्चतम उत्थान के बिंदु और निम्नतम गिरावट के बिंदु से बंधा हुआ है। 1) यह मोरोज़ोवा के हाथ का उत्थान है जिसमें दो अंगुलियों के साथ क्रॉस का चिन्ह उच्चतम बिंदु है। 2) यह उसी महानुभाव की ओर असहाय रूप से फैला हुआ हाथ है, लेकिन इस बार यह एक बूढ़ी औरत का हाथ है - एक गरीब पथिक, एक ऐसा हाथ जिसके नीचे से, मोक्ष की आखिरी आशा के साथ, स्लेज का अंत निकल जाता है . और "उच्चतम बिंदु" के बारे में क्या? पहली नज़र में, हमारे पास एक विरोधाभास प्रतीत होता है: आखिरकार, खंड A1B1, जो चित्र के दाहिने किनारे से 0.618 ... है, हाथ से नहीं गुजरता है, यहां तक कि रईस के सिर या आंख से भी नहीं गुजरता है, लेकिन रईस के मुँह के सामने कहीं निकला! |
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| मोना लिसा का चित्र इस तथ्य से आकर्षित करता है कि चित्र की रचना "सुनहरे त्रिकोण" (अधिक सटीक रूप से, त्रिकोणों पर जो एक नियमित तारे के आकार के पंचकोण के टुकड़े हैं) पर बनी है। | |
सैंड्रो बोथीसेली की पेंटिंग से अधिक काव्यात्मक कोई पेंटिंग नहीं है, और महान सैंड्रो की "वीनस" से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकली के लिए, उनका शुक्र प्रकृति में प्रचलित "सुनहरे खंड" की सार्वभौमिक सद्भाव के विचार का अवतार है।
 शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात से आश्वस्त करता है।  रफएल "एथेंस स्कूल" राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन, उस युग के कई कलाकारों की तरह, उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध फ्रेस्को "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां पुरातनता के महान दार्शनिकों का समाज विज्ञान के मंदिर में आयोजित किया जाता है, हमारा ध्यान सबसे बड़े प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड के समूह द्वारा आकर्षित किया जाता है, जो एक जटिल ड्राइंग का विश्लेषण करता है। दो त्रिभुजों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे 5/8 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत में अंकित किया जा सकता है। यह चित्र वास्तुकला के ऊपरी भाग में सम्मिलित करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। त्रिभुज का ऊपरी कोना दर्शक के निकटतम क्षेत्र में मेहराब के कीस्टोन पर टिका हुआ है, निचला कोना - परिप्रेक्ष्य के लुप्त बिंदु पर है, और पार्श्व भाग मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है . राफेल के "निर्दोषों का नरसंहार" में सुनहरा सर्पिल |
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सुनहरे खंड के विपरीत, गतिशीलता, उत्तेजना की भावना शायद एक और सरल ज्यामितीय आकृति - सर्पिल में सबसे अधिक स्पष्ट होती है। राफेल द्वारा 1509 - 1510 में बनाई गई बहु-चित्रित रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्तिचित्र बनाए, केवल कथानक की गतिशीलता और नाटकीयता से प्रतिष्ठित है। राफेल ने कभी भी अपने विचार को पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी ने उकेरा था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर, मासूमों के नरसंहार की नक्काशी बनाई थी।
यदि, राफेल के प्रारंभिक रेखाचित्र पर, हम मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचते हैं - वह बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियाँ बच्चे के टखने के चारों ओर बंद होती हैं - एक बच्चे की आकृतियों के साथ, एक महिला उसे अपने पास रखती है, एक योद्धा तलवार उठाई, और फिर स्केच के दाहिने हिस्सों पर एक ही समूह के आंकड़ों के साथ (आकृति में, ये रेखाएं लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ दें, फिर एक सुनहरा सर्पिल है बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया गया। इसे वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर जांचा जा सकता है।
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स्वर्ण अनुपात और छवि धारणा
गोल्डन सेक्शन एल्गोरिदम के अनुसार निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण के रूप में अलग करने की मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से ज्ञात है। स्वर्णिम अनुपात सबसे उत्तम एकीकृत संपूर्णता का एहसास देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। इसे खिड़कियों, पेंटिंगों और लिफाफों, टिकटों, बिजनेस कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या Ф के बारे में कुछ भी पता नहीं हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना के साथ-साथ घटनाओं के अनुक्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को पाता है।
ऐसे अध्ययन किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन करने और उनकी प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), 1:1.62 (31:50 मिमी) के पहलू अनुपात के साथ एक "गोल्डन सेक्शन" आयत और 1:2.31 (26:) के विस्तारित अनुपात के साथ एक आयत। 60 मिमी)।
 सामान्य अवस्था में आयत चुनते समय, आधे मामलों में वर्ग को प्राथमिकता दी जाती है। दायां गोलार्ध सुनहरे अनुपात को प्राथमिकता देता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्ध लम्बे अनुपात की ओर बढ़ता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार कर देता है। इन आयतों की प्रतिलिपि बनाते समय, निम्नलिखित देखा गया। जब दायां गोलार्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था। जब बायां गोलार्ध सक्रिय था, तो सभी आयतों का अनुपात विकृत हो गया था, आयतें खिंच गईं (एक वर्ग को 1:1.2 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत के रूप में खींचा गया; खिंचे हुए आयत का अनुपात तेजी से बढ़ गया और 1:2.8 तक पहुंच गया) . "सुनहरा" आयत का अनुपात सबसे अधिक विकृत है; प्रतियों में इसका अनुपात आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया। अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब और लम्बाई का अनुपात प्रबल होता है। औसतन, अनुपात 1:2 है, जबकि दायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात को पसंद करता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर चला जाता है और पैटर्न को फैलाता है। अब कुछ आयत बनाएं, उनकी भुजाओं को मापें और पक्षानुपात ज्ञात करें। आपके पास कौन सा गोलार्ध है? |
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फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के प्रमुख घटकों का उन बिंदुओं पर स्थान है जो फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 पर स्थित हैं। इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझा जा सकता है।
यहां एक बिल्ली की तस्वीर है, जो फ्रेम में एक मनमानी जगह पर स्थित है।
आइए अब फ्रेम को सशर्त रूप से फ्रेम के प्रत्येक तरफ से कुल लंबाई के 1.62 के अनुपात में खंडों में विभाजित करें। खंडों के चौराहे पर, मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे जिनमें छवि के आवश्यक प्रमुख तत्वों को रखना उचित है। आइए अपनी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर स्थानांतरित करें। स्वर्णिम अनुपात और स्थान खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला का उपयोग करके सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में नियमितता और व्यवस्था पाई थी।
हालाँकि, एक मामला जो कानून के विरुद्ध प्रतीत होता था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसकी मदद से, वे जीवित प्राणियों की वास्तुकला, और मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।
आकाशगंगा के दो सुनहरे सर्पिल डेविड स्टार के साथ संगत हैं। आकाशगंगा से सफ़ेद सर्पिल में उभरते तारों पर ध्यान दें। एक सर्पिल से ठीक 180® पर एक और खुलता हुआ सर्पिल आता है। ... लंबे समय तक, खगोलविदों का बस यह मानना था कि वहां जो कुछ भी है वह वही है जो हम देखते हैं; यदि कुछ दिखाई दे रहा है, तो वह अस्तित्व में है। या तो उन्होंने वास्तविकता के अदृश्य हिस्से पर ध्यान ही नहीं दिया, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में बहुत बड़ा है। दृश्यमान पक्षऔर शायद अधिक महत्वपूर्ण. ... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से भी बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। वास्तव में, हमारा सच्चा घर अदृश्य ब्रह्मांड है... ब्रह्मांड में, मानव जाति को ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें मौजूद सभी पिंड स्वर्ण खंड के सूत्र के अनुरूप एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं। हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में स्वर्णिम अनुपात निहित है
निष्कर्ष प्रकृति, जिसे संपूर्ण विश्व अपने विभिन्न रूपों में समझा जाता है, में मानो दो भाग शामिल हैं: सजीव और निर्जीव प्रकृति। रचनाओं के लिए निर्जीव प्रकृतिमानव जीवन के पैमाने को देखते हुए उच्च स्थिरता, कम परिवर्तनशीलता की विशेषता है। एक व्यक्ति जन्म लेता है, जीवित रहता है, बूढ़ा होता है, मर जाता है, लेकिन ग्रेनाइट पहाड़ वैसे ही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में थे। वन्य जीवन की दुनिया हमें बिल्कुल अलग तरह से दिखाई देती है - गतिशील, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें रचनात्मक संयोजनों की विविधता और मौलिकता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "स्वर्णिम खंड का कानून" संचालित होता है। आधुनिक विश्व में प्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के कारण विज्ञान का विशेष महत्व है। के लिए महत्वपूर्ण कार्य वर्तमान चरणमनुष्य और प्रकृति के सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, समाज के सामने आने वाली दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और अन्य समस्याओं का अध्ययन है। इस पेपर में, जीवित और निर्जीव प्रकृति पर, मानव जाति के इतिहास और समग्र रूप से ग्रह के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर "सुनहरे खंड" के गुणों के प्रभाव पर विचार किया गया था। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, कोई एक बार फिर दुनिया की अनुभूति की प्रक्रिया की भव्यता, इसके नए पैटर्न की खोज पर आश्चर्यचकित हो सकता है और निष्कर्ष निकाल सकता है: सुनहरे खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और का उच्चतम अभिव्यक्ति हैकार्यात्मक कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की पूर्णता। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम बहुत विविध नहीं हैं और इन्हें सबसे विविध संरचनाओं में खोजा जा सकता है। यह प्रकृति की एकता की अभिव्यक्ति है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान पैटर्न की अभिव्यक्ति के आधार पर ऐसी एकता के विचार ने पाइथागोरस से लेकर आज तक अपनी प्रासंगिकता बरकरार रखी है।वां। 51
स्वर्णिम अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
गणित में, अनुपात (लैटिन अनुपात) दो अनुपातों की समानता है: ए: बी = सी: डी।
रेखाखंड AB को निम्नलिखित प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);
इस प्रकार, जब एबी: एसी = एसी: बीसी।
उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का स्वर्णिम विभाजन या विभाजन है।
सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है जैसे बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है
ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।
बिंदु B से आधे AB के बराबर एक लंब डाला जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC अंकित है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किये जाते हैं. यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो खंड का बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भागों का है।
स्वर्ण खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
x2 - x - 1 = 0.
इस समीकरण का हल:
सुनहरे खंड के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा की एक रोमांटिक आभा पैदा की।
दूसरा स्वर्णिम अनुपात
बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने स्वेतन त्सेकोव-करंदश का एक लेख "ऑन द सेकेंड गोल्डन सेक्शन" प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44:56 का एक अलग अनुपात देता है।
विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड एबी को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। समकोण ACD द्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची गई है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।
यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।
स्वर्ण त्रिकोण
आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।
पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। बिंदु O पर उठाया गया त्रिज्या OA का लंब, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर खंड CE = ED को चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित नियमित पंचभुज की एक भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर डीसी खंडों को अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण के माध्यम से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।
पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएं शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।
सीधी रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम उस पर मनमाने आकार का एक खंड O तीन बार बिछाते हैं, प्राप्त बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर एक लंब खींचते हैं, खंड O को बिंदु P के दाएं और बाएं लंबवत पर रखते हैं। हम परिणामी बिंदुओं को जोड़ते हैं बिंदु A तक सीधी रेखाओं के साथ d और d1। हमने बिंदु C प्राप्त करते हुए खंड dd1 को रेखा Ad1 पर रखा। उसने रेखा Ad1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया। पंक्तियों Ad1 और dd1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।
स्वर्णिम खंड का इतिहास
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था पाइथागोरस, प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व)। ऐसी धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्णिम विभाजन का अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ़्रेंच वास्तुकार ले करबुसिएरपाया गया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम की कब्र से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने वाले उपकरण हैं, जिसमें सुनहरे विभाजन के अनुपात तय किए गए हैं।
यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। यहाँ तक कि उनके बच्चों को अंकगणित भी ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।
प्लेटो(427...347 ईसा पूर्व) स्वर्ण मंडल के बारे में भी जानते थे। उनका डायलॉग '' टिमियस» पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्य संबंधी विचारों और विशेष रूप से स्वर्ण प्रभाग के मुद्दों के लिए समर्पित है।
पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान दिशासूचक यंत्र पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले "" में किया गया है। शुरुआत» यूक्लिड. "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य लोग स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवाद के माध्यम से हम सुनहरे विभाजन से मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया, सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों को ही ज्ञात थे।
पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेषकर वास्तुकला दोनों में इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच सुनहरे विभाजन में रुचि बढ़ गई। लियोनार्डो दा विंसीएक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय एक भिक्षु की पुस्तक सामने आई लुका पैसिओली, और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक विद्वान थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह परिचित थीं। 1496 में, ड्यूक ऑफ़ मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुआ था, यही कारण है कि माना जाता है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया था। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों के बीच, भिक्षु लुका पैसिओली इसके "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने से नहीं चूके (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता है)।
लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। अत: उन्होंने इस विभाग को स्वर्णिम खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है.
उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, उन्होंने उन्हीं समस्याओं पर काम किया अल्ब्रेक्ट ड्यूरर. उन्होंने अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय दिया। ड्यूरर लिखते हैं. “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।"
ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहने के दौरान उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा विभाजित किया जाता है। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।
16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केपलरस्वर्णिम अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा जाता है। वह वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।
केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"
स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।
यदि मनमानी लंबाई की एक सीधी रेखा पर, खंड एम को अलग रखें, तो अगले खंड एम को अलग रखें। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया।" 19वीं सदी के मध्य में सुनहरा खंड फिर से "खोजा" गया। 1855 में गोल्डन सेक्शन के एक जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर Zeisingअपना काम एस्थेटिक इन्वेस्टिगेशन्स प्रकाशित किया। ज़ीसिंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ घटित होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था।
Zeisingबहुत बढ़िया काम किया. उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण सूचक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब होता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य अनुपात 8 में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6. नवजात शिशु में अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड का अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रबाहु और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।
ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षियों के अंडे, संगीत स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे एक दिशा और दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में स्वर्ण प्रभाग।" 1876 में, ज़ीसिंग के काम को रेखांकित करते हुए, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी। लेखक ने प्रारंभिक यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।
XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत में। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया।
फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनाची का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य द बुक ऑफ द अबेकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याएं एकत्र की गईं। कार्यों में से एक में लिखा था, "एक जोड़े से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाई:
संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक Ф द्वारा दर्शाया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसे बढ़ाता है या इसे अनंत तक घटाता है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है बड़ा हर चीज़ के लिए है।
फाइबोनैचि व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से भी निपटता है: किसी वस्तु को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वज़न की निम्नलिखित प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...
सामान्यीकृत स्वर्णिम अनुपात
फाइबोनैचि श्रृंखलायह केवल एक गणितीय घटना ही रह सकती थी यदि यह तथ्य न होता कि पौधे और पशु जगत में स्वर्ण प्रभाग के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करते, हमेशा स्वर्ण विभाजन के नियम की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में इस श्रृंखला में आए।
वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए शानदार तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।
इस क्षेत्र में उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है।
उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और भार 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग है जिसमें स्वयं 2 = 1 + 1 है; 4 = 2 + 2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "बाइनरी श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?
वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... पिछले वाले से S चरणों द्वारा अलग किया गया। यदि हम इस श्रृंखला के nवें सदस्य को φS (n) से निरूपित करते हैं, तो हमें सामान्य सूत्र φS (n) = φS (n - 1) + φS (n - S - 1) प्राप्त होता है।
जाहिर है, इस सूत्र से S = 0 के साथ हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, S = 1 के साथ - फाइबोनैचि श्रृंखला, S = 2, 3, 4 के साथ संख्याओं की नई श्रृंखला, जिसे S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है।
सामान्य शब्दों में, सुनहरा एस-अनुपात सुनहरे एस-सेक्शन समीकरण xS+1 – xS – 1 = 0 का सकारात्मक मूल है।
यह दिखाना आसान है कि S = 0 पर, खंड का आधे भाग में विभाजन प्राप्त होता है, और S = 1 पर, परिचित शास्त्रीय स्वर्ण खंड प्राप्त होता है।
पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं का अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाता है! ऐसे मामलों में गणितज्ञों का कहना है कि सुनहरे एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-संख्याओं के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं।
प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको की पुस्तक "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984)। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण एक दूसरे से संबंधित होते हैं सुनहरे एस-अनुपात में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति दी कि सुनहरे एस-सेक्शन स्व-संगठित प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना विज्ञान के एक नए क्षेत्र सिनर्जेटिक्स के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है, जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करती है।
सुनहरे एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक के साथ सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
संख्याओं को एन्कोड करने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे एस-अनुपात हैं, एस> 0 के लिए अपरिमेय संख्या बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" कर देती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा असंगत खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ प्रकट हुईं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याओं - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।
क्रमांकन के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, स्वर्ण खंड समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले से ही व्यक्त की जाती हैं।
ऐसी संख्या प्रणाली में, किसी भी प्राकृतिक संख्या को हमेशा एक सीमित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की शक्तियों का योग है। यह एक कारण है कि "अतार्किक" अंकगणित, जिसमें अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य है, ने शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित कर लिया है।
प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत
जो कुछ भी किसी न किसी रूप में आया, वह बना, बढ़ा, अंतरिक्ष में जगह बनाने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास किया। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में पूरी होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और सर्पिल में घूमना।
खोल एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में न कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।
सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।
यहां तक कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफ़ान घूम रहा है. हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में तितर-बितर हो गया। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।
सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है.
यह प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाती है, रुकती है, एक पत्ती छोड़ती है, लेकिन पहले से पहले से छोटी होती है, फिर से अंतरिक्ष में इजेक्शन करती है, लेकिन कम बल की, और भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ती है और फिर से इजेक्शन करती है। यदि पहला आउटलायर 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयां है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय में, पौधे ने कुछ अनुपात बरकरार रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे खंड के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।
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| चावल। 13. चिकोरी |
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| चावल। 14. विविपेरस छिपकली |
छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों को भाने वाले अनुपात कैद हो जाते हैं - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से 62 से 38 तक संबंधित होती है।
पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की आकार देने की प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है।
प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।
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| चावल। 15. पक्षी का अंडा |
महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह थे जिन्होंने मॉर्फोलॉजी शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में लाया।
हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है।
"सुनहरे" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क की कार्यप्रणाली और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।
स्वर्णिम अनुपात और समरूपता
समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्णिम अनुपात को अपने आप में अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।
स्वर्णिम विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्णिम विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन की विशेषता है, और गतिशील समरूपता गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शायी जाती है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता बताती है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है।
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सूत्रों की जानकारी: कोवालेव एफ.वी. पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन. के.: विशा स्कूल, 1989। |
यह सभी देखें: अर्न्स्ट न्यूफर्ट. इमारत की डिजाइन। माप प्रणाली |
ब्रह्माण्ड में और भी बहुत कुछ हैं अनसुलझे रहस्य, जिनमें से कुछ को वैज्ञानिक पहले ही पहचानने और उनका वर्णन करने में सक्षम हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को जानने, उसके आकार का निर्माण करने और किसी व्यक्ति द्वारा इष्टतम दृश्य धारणा का आधार बनता है, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।
सुनहरा अनुपात
स्वर्ण खंड के आकार को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की संरचना और कार्यों में पूर्णता को रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत संख्याओं की प्रकृति पर प्राचीन वैज्ञानिकों के शोध के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।
यह खंड विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने सिद्ध किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), तो बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड के) के अनुपात के बराबर होगा:
परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1=0,जिसे इस प्रकार हल किया गया है x=(1±√5)/2.
यदि हम अनुपात 1/x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…
प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्णिम अनुपात के उपयोग का प्रमाण तीसरी शताब्दी में लिखी गई यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग्स" में दिया गया है। बीसी, जिन्होंने इस नियम का उपयोग नियमित 5-गॉन के निर्माण के लिए किया था। पाइथागोरस के बीच, यह आकृति पवित्र मानी जाती है, क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।
फाइबोनैचि संख्याएँ
पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो, जिसे बाद में फाइबोनैचि के नाम से जाना गया, की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक पहली बार संख्याओं का एक पैटर्न देते हैं, जिसकी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या का योग होता है पिछले 2 अंकों में से. फाइबोनैचि संख्याओं का क्रम इस प्रकार है:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।
वैज्ञानिक ने कई पैटर्न भी उद्धृत किये:
- श्रृंखला की कोई भी संख्या, अगले से विभाजित होने पर, 0.618 के मान के बराबर होगी। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएँ ऐसी कोई संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे आप अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ेंगे, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होगा।
- यदि आप श्रृंखला की संख्या को पिछली संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
- एक संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर मान 0.382 दिखेगा।
सुनहरे खंड, फाइबोनैचि संख्या (0.618) के कनेक्शन और पैटर्न का अनुप्रयोग न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति में, इतिहास में, वास्तुकला और निर्माण में और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।
आर्किमिडीज़ का सर्पिल और सुनहरा आयत
प्रकृति में बहुत सामान्य सर्पिलों की खोज आर्किमिडीज़ ने की थी, जिन्होंने उसका समीकरण भी प्राप्त किया था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। जब इसे घुमाया जाता है, तो एक लंबाई प्राप्त होती है जिस पर अनुपात और फाइबोनैचि संख्याएं लागू की जा सकती हैं, चरण वृद्धि समान रूप से होती है।
फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानता को एक "सुनहरा आयत" बनाकर भी देखा जा सकता है जिसकी भुजाएँ 1.618:1 के समानुपाती होती हैं। इसे बड़े आयत से छोटे आयत की ओर ले जाकर बनाया जाता है ताकि भुजाओं की लंबाई पंक्ति की संख्याओं के बराबर हो। इसका निर्माण वर्ग "1" से शुरू करके उल्टे क्रम में किया जा सकता है। इस आयत के कोनों को उनके प्रतिच्छेदन के केंद्र में रेखाओं से जोड़ने पर, एक फाइबोनैचि या लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है।
सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास
मिस्र के कई प्राचीन स्थापत्य स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: चेप्स और अन्य के प्रसिद्ध पिरामिड। प्राचीन ग्रीस के वास्तुकारों ने मंदिरों, एम्फीथिएटर, स्टेडियम जैसे वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में उनका व्यापक रूप से उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, ऐसे अनुपात का उपयोग प्राचीन पार्थेनन मंदिर (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था जो गणितीय नियमितता के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गईं।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई, और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन फ्रांसिस्कन भिक्षु एल. पैसिओली डि बोर्गो की पुस्तक "डिवाइन प्रोपोर्शन" (1509) के साथ, पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन सेक्शन" तय किया था। साथ ही, सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं, और लेखक ने इस बारे में बात की कि यह प्रकृति, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा।
विट्रुवियन मैन लियोनार्डो
लियोनार्डो दा विंची ने 1492 में विट्रुवियस की पुस्तक का जिस चित्र से चित्रण किया था, उसमें दो स्थितियों में एक व्यक्ति की आकृति को दर्शाया गया है, जिसकी भुजाएं दोनों तरफ फैली हुई हैं। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया है।
भुजाओं और पैरों के अंत से समान दूरी पर शरीर का केंद्र नाभि है, भुजाओं की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के शीर्ष से बालों तक की दूरी = 1/7, छाती के शीर्ष से सिर के शीर्ष तक की दूरी = 1/6 आदि।
तब से, चित्र का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।
"गोल्डन रेशियो" शब्द का प्रयोग लियोनार्डो द्वारा मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को दर्शाने के लिए किया गया था। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के ऊपर तक की दूरी से उसी तरह संबंधित होती है जैसे ऊंचाई से पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक होती है। यह गणना स्वर्णिम अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान ही की जाती है और 1.618 तक जाती है।
इन सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपातों का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली रचनाएँ बनाने के लिए किया जाता है।
16वीं-19वीं शताब्दी में स्वर्णिम अनुपात का अध्ययन
सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुसंधान कार्यअनुपात के मुद्दे पर एक सदी से भी अधिक समय से चल रहा है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर भी मानव शरीर के सही अनुपात का सिद्धांत विकसित कर रहे थे। इसके लिए उन्होंने एक विशेष कंपास भी बनाया।
16वीं सदी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे खंड के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने सबसे पहले इन नियमों को वनस्पति विज्ञान में लागू किया था।
19वीं शताब्दी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफेसर ज़ीसिग द्वारा "एस्थेटिक रिसर्च" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को पूर्णता तक बढ़ाया और घोषणा की कि वे सभी के लिए सार्वभौमिक हैं प्राकृतिक घटनाएं. उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामस्वरूप शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रबाहु , हाथ, उंगलियाँ, आदि।
कविता लिखते समय कला वस्तुओं (फूलदान, वास्तुशिल्प संरचनाएं), संगीतमय स्वर, आकार का भी अध्ययन किया गया - ज़ीसिग ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब प्रदर्शित किया, उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की गई है।
प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और स्वर्णिम अनुपात
वनस्पति एवं प्राणी जगत में समरूपता के रूप में बनने की प्रवृत्ति होती है, जो विकास एवं गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं, कई पौधों और जानवरों में निहित एक पैटर्न है।
उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हमारे आस-पास की प्रकृति का वर्णन किया जा सकता है:
- किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरियाँ, दी गई संख्याओं 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 इत्यादि की श्रृंखला से संबंधित हैं;
- सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिल में दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
- पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
- अंडे का आकार, यदि आप इसके विस्तृत भाग के माध्यम से सशर्त रूप से एक रेखा खींचते हैं;
- मानव हाथ पर उंगलियों के आकार का अनुपात।
और, निस्संदेह, सबसे दिलचस्प रूप सर्पिल घोंघे के गोले, वेब पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना हैं - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि का अनुक्रम शामिल है नंबर.
कला में स्वर्णिम अनुपात का उपयोग
कला में सुनहरे खंड के उपयोग के उदाहरणों की तलाश में शोधकर्ता विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रों की विस्तार से जांच करते हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियाँ ज्ञात हैं, जिनके रचनाकारों ने सुनहरे अनुपात का पालन किया - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ
लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक - "पोर्ट्रेट ऑफ़ मोना लिसा" - कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रही है। उन्होंने पाया कि कार्य की संरचना पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" से बनी है, जो एक नियमित पेंटागन-स्टार में एक साथ एकजुट हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात के प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात के बारे में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।
वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात
उदाहरण के तौर पर, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार बनाई गई वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों का अध्ययन किया: मिस्र के पिरामिड, पेंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।
प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) की सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक, पार्थेनन में 8 स्तंभ हैं और अलग-अलग तरफ 17 हैं, इसकी ऊंचाई और किनारों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके पहलुओं पर उभार "गोल्डन सेक्शन" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।
वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के लिए अनुपात की मॉड्यूलर प्रणाली में सुधार का आविष्कार और सफलतापूर्वक लागू करने वाले वैज्ञानिकों में से एक फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर थे। मॉड्यूलर मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।
रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों के साथ-साथ क्रेमलिन में सीनेट की इमारतों और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन.आई. पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिकल) का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने कानूनों का इस्तेमाल किया था सुनहरे अनुपात के बारे में डिजाइन और निर्माण।
डिज़ाइन में अनुपात लागू करना
फैशन डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों का अनुपात आदर्श नहीं होता है।
लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं की मदद से वॉल्यूमेट्रिक पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के पैटर्न भी लागू किए जा सकते हैं। आखिरकार, पार्क की संरचना का ध्यान आगंतुक पर प्रभाव डालने पर केंद्रित होना चाहिए, जो इसमें स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और संरचना केंद्र ढूंढने में सक्षम होगा।
पार्क के सभी तत्व ऐसे अनुपात में हैं, जो ज्यामितीय संरचना, पारस्परिक व्यवस्था, प्रकाश व्यवस्था की सहायता से व्यक्ति को सामंजस्य और पूर्णता का आभास देते हैं।
साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में स्वर्णिम अनुभाग का अनुप्रयोग
स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के नियम ऊर्जा संक्रमणों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, अंतरिक्ष प्रणालियों में, डीएनए जीन संरचना में भी प्रकट होते हैं।
इसी तरह की प्रक्रियाएं मानव शरीर में होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिदम में, अंगों की क्रिया में प्रकट होती हैं, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।
आधुनिक साइबरनेटिक्स और सूचना विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। शुरुआती प्रोग्रामरों को हल करने के लिए जो सरल कार्य दिए जाते हैं उनमें से एक है एक सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।
स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध
20वीं सदी के मध्य से, मानव जीवन पर स्वर्णिम अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि नाटकीय रूप से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों में: गणितज्ञ, नृवंशविज्ञानी शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, आदि
1970 के दशक से, द फाइबोनैचि क्वार्टरली संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रकाशित हो रही है, जहां इस विषय पर काम प्रकाशित होते हैं। प्रेस में ऐसे कार्य छपते हैं जिनमें ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोडिंग जानकारी, रासायनिक अनुसंधान, जैविक आदि के लिए।
यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि सुनहरा अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से जुड़ा हुआ है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।
यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। ऐसी धारणा है कि पाइथागोरस ने स्वर्णिम विभाजन का अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, बेस-रिलीफ, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम की कब्र से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने वाले उपकरण हैं, जिसमें सुनहरे विभाजन के अनुपात तय किए गए हैं।
यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। यहाँ तक कि उनके बच्चों को अंकगणित भी ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।
प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) को भी स्वर्णिम विभाजन का ज्ञान था। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों, विशेष रूप से, स्वर्णिम प्रभाग के प्रश्नों के लिए समर्पित है।
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड की "शुरुआत" में किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य लोग स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन में लगे हुए थे। नवरे (तीसरी शताब्दी)। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया था, सख्त गोपनीयता में रखा गया था, वे केवल दीक्षार्थियों को ही ज्ञात थे।
पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेषकर वास्तुकला दोनों में इसके उपयोग के कारण वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण प्रभाग में रुचि बढ़ गई। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक विद्वान थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह परिचित थीं। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुआ था, यही कारण है कि माना जाता है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया था। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों के बीच, भिक्षु लुका पैसिओली इसके "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने से नहीं चूके (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता है)।
लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। अत: उन्होंने इस विभाग को स्वर्णिम खंड का नाम दिया। और इसलिए यह आज भी जारी है.
उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय दिया। ड्यूरर लिखते हैं. “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।” अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। उन्होंने अपनी अनुपात प्रणाली में स्वर्णिम वर्ग को महत्वपूर्ण स्थान दिया। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।
16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं। केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को निरंतर जारी रहने वाला कहा। अनंत।"
स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।
बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया"। 19वीं सदी के मध्य में स्वर्णिम अनुपात की फिर से "खोज" की गई। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। ज़ीसिंग अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना स्वर्णिम अनुपात पर विचार करता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था।
ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षियों के अंडे, संगीत स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे एक दिशा और दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में स्वर्ण प्रभाग।" 1876 में रूस में ज़ीसिंग के इस कार्य को रेखांकित करते हुए एक छोटी सी पुस्तक प्रकाशित हुई थी।
XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत में। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया।
विज्ञान ने कला को नहीं, बल्कि उनमें निगल लिया है ऐतिहासिक कालजब गणित और कला का मिलन हुआ तो इससे दोनों के विकास को गति मिली।
स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा
आइए जानें कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों, लियोनार्डो दा विंची की पेंटिंग "मोना लिसा", एक सूरजमुखी, एक घोंघा, एक बर्फ के टुकड़े, एक आकाशगंगा और मानव उंगलियों के बीच क्या समानता है?
गणित में, अनुपात (लैटिन अनुपात) दो अनुपातों की समानता है: ए: बी = सी: डी।
सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है।
रेखाखंड AB को बिंदु C द्वारा निम्नलिखित प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
- दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
- किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);
- चरम और औसत अनुपात में इस प्रकार कि AB: AC = AC: BC।
अंतिम वाला स्वर्णिम प्रभाग है।
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है। बीसी = 1/2 एबी; सीडी=बीसी
बिंदु B से आधे AB के बराबर एक लंब डाला जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC अंकित है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि एबी को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, तो एई \u003d 0.618 ..., बीई \u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 के अनुमानित मान और 0.38 का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भागों का है।
द्वितीय स्वर्ण खण्ड का निर्माण। विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड एबी को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। समकोण ACD द्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची गई है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के अनुपात में विभाजित करता है।
आयत के दूसरे सुनहरे खंड की रेखा सुनहरे खंड की रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में होती है।
पेंटाग्राम
आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।
एक नियमित पंचकोण और पंचग्राम का निर्माण।
पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। बिंदु O पर उठाया गया त्रिज्या OA का लंब, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर खंड CE = ED को चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित नियमित पंचभुज की एक भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर डीसी खंडों को अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण के माध्यम से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात में खंडों में विभाजित करते हैं। पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएं शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं और पार्श्व पार्श्व पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।
फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनाची का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याएं एकत्र की गईं। कार्यों में से एक में लिखा था, "एक जोड़े से एक वर्ष में कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाई: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि।
इस श्रृंखला को फाइबोनैचि श्रृंखला के नाम से जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात सुनहरे विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। इसके अलावा, अनुक्रम में 13वीं संख्या के बाद, यह विभाजन परिणाम श्रृंखला के अनंत तक स्थिर हो जाता है। मध्य युग में विभाजन की इस निरंतर संख्या को दैवीय अनुपात कहा जाता था, और अब आज इसे स्वर्णिम खंड, स्वर्णिम माध्य या स्वर्णिम अनुपात कहा जाता है। बीजगणित में, इस संख्या को ग्रीक अक्षर φ (phi) द्वारा दर्शाया जाता है।
तो स्वर्णिम अनुपात 1:1.618 है
तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस अनुपात को प्रतीक φ द्वारा दर्शाया जाता है। यह अनुपात - 0.618: 0.382 - एक सीधी रेखा खंड का सुनहरे अनुपात में निरंतर विभाजन देता है।
फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना ही रह सकती थी यदि यह तथ्य न होता कि पौधे और पशु जगत में स्वर्ण प्रभाग के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करते, हमेशा स्वर्ण प्रभाग कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में इस श्रृंखला में आए। . वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए शानदार तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।
सुनहरा आयत और सुनहरा सर्पिल
ज्यामिति में, भुजाओं के सुनहरे अनुपात वाले आयत को सुनहरा कहा जाने लगा। इसके लंबे पक्ष छोटे पक्षों से संबंधित हैं - 1.168:1 के अनुपात में।
सुनहरे आयत में भी कई अद्भुत गुण हैं। सुनहरे आयत से एक वर्ग काटने पर, जिसकी भुजा आयत की छोटी भुजा के बराबर होती है, हमें फिर से एक छोटा सुनहरा आयत मिलता है। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रखी जा सकती है। जैसे-जैसे हम वर्गों को काटते रहेंगे, हमें छोटे और छोटे सुनहरे आयत मिलेंगे। इसके अलावा, वे एक लघुगणकीय सर्पिल में स्थित होंगे, जो महत्वपूर्ण है गणितीय मॉडलप्राकृतिक वस्तुएँ. सर्पिल का ध्रुव प्रारंभिक आयत के विकर्णों और पहले कटे हुए ऊर्ध्वाधर के चौराहे पर स्थित है। इसके अलावा, बाद के सभी घटते सुनहरे आयतों के विकर्ण इन विकर्णों पर स्थित हैं। निःसंदेह, एक स्वर्ण त्रिभुज भी है।
