Resolver ecuaciones irracionales de grados superiores. Cómo resolver ecuaciones irracionales

Mientras estudian álgebra, los escolares se enfrentan a muchos tipos de ecuaciones. Entre los más simples se encuentran los lineales, que contienen una incógnita. Si una variable en una expresión matemática se eleva a una determinada potencia, entonces la ecuación se llama cuadrática, cúbica, bicuadrática, etc. Estas expresiones pueden contener números racionales. Pero también existen ecuaciones irracionales. Se diferencian de otros por la presencia de una función donde la incógnita está bajo el signo radical (es decir, puramente externamente, la variable aquí se puede ver escrita bajo la raíz cuadrada). Resolver ecuaciones irracionales tiene su propia características. A la hora de calcular el valor de una variable para obtener la respuesta correcta hay que tenerlos en cuenta.

"Indescriptible en palabras"

No es ningún secreto que los matemáticos antiguos operaban principalmente con números racionales. Estos incluyen, como saben, números enteros expresados ​​mediante fracciones periódicas ordinarias y decimales, representantes de una determinada comunidad. Sin embargo, los científicos del Medio y Cercano Oriente, así como de la India, que desarrollaron la trigonometría, la astronomía y el álgebra, también aprendieron a resolver ecuaciones irracionales. Por ejemplo, los griegos conocían cantidades similares, pero al expresarlas en forma verbal usaban el concepto “alogos”, que significaba “inexpresable”. Un poco más tarde, los europeos, imitándolos, llamaron a esos números "sordos". Se diferencian de todos los demás en que sólo pueden representarse como una fracción infinita no periódica, cuya expresión numérica final es simplemente imposible de obtener. Por lo tanto, más a menudo estos representantes del reino de los números se escriben en forma de números y signos como alguna expresión ubicada bajo la raíz del segundo grado o superior.

Con base en lo anterior, intentemos definir una ecuación irracional. Estas expresiones contienen los llamados “números inefables”, escritos con el signo raíz cuadrada. Pueden ser todo tipo de opciones bastante complejas, pero en su forma más simple se parecen a la de la foto de abajo.

Al comenzar a resolver ecuaciones irracionales, en primer lugar es necesario calcular el rango de valores permitidos de la variable.

¿Tiene sentido la expresión?

La necesidad de verificar los valores obtenidos se deriva de las propiedades. Como se sabe, dicha expresión es aceptable y tiene significado solo bajo ciertas condiciones. En el caso de raíces de grados pares, todas las expresiones radicales deben ser positivas o iguales a cero. Si no se cumple esta condición, la notación matemática presentada no puede considerarse significativa.

vamos a dar ejemplo específico, cómo resolver ecuaciones irracionales (en la foto de abajo).

EN en este caso Es obvio que las condiciones especificadas no se pueden cumplir para ningún valor aceptado por el valor deseado, ya que resulta que 11 ≤ x ≤ 4. Esto significa que solo Ø puede ser una solución.

Método de análisis

De lo anterior queda claro cómo resolver algunos tipos de ecuaciones irracionales. Aquí de una manera efectiva Puede ser un análisis simple.

Demos una serie de ejemplos que nuevamente lo demostrarán claramente (en la foto a continuación).

En el primer caso, tras un examen cuidadoso de la expresión, inmediatamente resulta extremadamente claro que no puede ser cierta. De hecho, el lado izquierdo de la igualdad debería dar como resultado un número positivo, que no puede ser igual a -1.

En el segundo caso, la suma de dos expresiones positivas puede considerarse igual a cero sólo cuando x - 3 = 0 y x + 3 = 0 al mismo tiempo. Y esto nuevamente es imposible. Y eso significa que la respuesta debería escribirse nuevamente Ø.

El tercer ejemplo es muy similar al ya comentado anteriormente. De hecho, aquí las condiciones de la ODZ requieren que se cumpla la siguiente desigualdad absurda: 5 ≤ x ≤ 2. Y una ecuación así tampoco puede tener soluciones sensatas.

Zoom ilimitado

La naturaleza de lo irracional sólo puede explicarse y conocerse de forma más clara y completa a través de una serie interminable de números. decimal. Y específico, un ejemplo brillante uno de los miembros de esta familia es πi. No en vano esta constante matemática se conoce desde la antigüedad, utilizándose para calcular la circunferencia y el área de un círculo. Pero entre los europeos fue el primero en ponerlo en práctica el inglés William Jones y el suizo Leonard Euler.

Esta constante surge de la siguiente manera. Si comparamos círculos de diferentes circunferencias, entonces la relación entre sus longitudes y diámetros es necesariamente igual al mismo número. Esto es pi. Si lo expresamos a través fracción común, entonces obtenemos aproximadamente 22/7. Esto lo hizo por primera vez el gran Arquímedes, cuyo retrato se muestra en la figura de arriba. Es por eso que ese número recibió su nombre. Pero este no es un valor explícito, sino aproximado, de quizás el más sorprendente de los números. Un científico brillante encontró el valor deseado con una precisión de 0,02, pero, de hecho, esta constante no tiene un significado real, sino que se expresa como 3,1415926535... Es una serie interminable de números que se acerca indefinidamente a algún valor mítico.

cuadratura

Pero volvamos a las ecuaciones irracionales. Para encontrar lo desconocido, en este caso se recurre muy a menudo a método sencillo: eleva al cuadrado ambos lados de la igualdad existente. Este método suele dar Buenos resultados. Pero hay que tener en cuenta lo insidioso de las cantidades irracionales. Se deben comprobar todas las raíces obtenidas como resultado de esto, ya que pueden no ser adecuadas.

Pero sigamos mirando los ejemplos e intentemos encontrar las variables usando el método recientemente propuesto.

No es nada difícil, utilizando el teorema de Vieta, encontrar los valores deseados de las cantidades después de que, como resultado de ciertas operaciones, hayamos formado una ecuación cuadrática. Aquí resulta que entre las raíces estarán 2 y -19. Sin embargo, al verificar y sustituir los valores resultantes en la expresión original, puede asegurarse de que ninguna de estas raíces sea adecuada. Esto es algo común en las ecuaciones irracionales. Esto significa que nuestro dilema nuevamente no tiene solución y la respuesta debería indicar un conjunto vacío.

Ejemplos más complejos

En algunos casos, es necesario elevar al cuadrado ambos lados de una expresión no una, sino varias veces. Veamos ejemplos en los que esto es necesario. Se pueden ver a continuación.

Una vez recibidas las raíces, no olvides revisarlas, porque pueden aparecer más. Se debe explicar por qué esto es posible. Al aplicar este método, la ecuación queda algo racionalizada. Pero al deshacernos de las raíces que no nos gustan y que nos impiden realizar operaciones aritméticas, parecemos ampliar la gama existente de significados, lo cual está plagado (como se puede comprender) de consecuencias. Anticipándonos a esto, realizamos una verificación. En este caso, existe la posibilidad de asegurarse de que solo una de las raíces sea adecuada: x = 0.

Sistemas

¿Qué debemos hacer en los casos en que necesitamos resolver sistemas de ecuaciones irracionales y no tenemos una, sino dos incógnitas? Aquí actuamos de la misma forma que en los casos habituales, pero teniendo en cuenta las propiedades anteriores de estas expresiones matemáticas. Y en cada nueva tarea, por supuesto, debes utilizar creatividad. Pero, nuevamente, es mejor considerar todo utilizando el ejemplo específico que se presenta a continuación. Aquí no solo necesitas encontrar las variables xey, sino también indicar su suma en la respuesta. Entonces, hay un sistema que contiene cantidades irracionales (ver foto a continuación).

Como puede ver, tal tarea no representa nada sobrenaturalmente difícil. Sólo necesitas ser inteligente y adivinar que el lado izquierdo de la primera ecuación es el cuadrado de la suma. Se encuentran tareas similares en el Examen Estatal Unificado.

Irracional en matemáticas

Cada vez surgió entre la humanidad la necesidad de crear nuevos tipos de números cuando no tenía suficiente “espacio” para resolver algunas ecuaciones. Los números irracionales no son una excepción. Como atestiguan los hechos de la historia, por primera vez los grandes sabios prestaron atención a esto incluso antes de nuestra era, en el siglo VII. Esto lo hizo un matemático de la India conocido como Manava. Entendió claramente que era imposible extraer la raíz de algunos números naturales. Por ejemplo, estos incluyen 2; 17 o 61, entre muchos otros.

Uno de los pitagóricos, un pensador llamado Hippaso, llegó a la misma conclusión al intentar hacer cálculos utilizando expresiones numéricas de los lados del pentagrama. Al descubrir elementos matemáticos que no pueden expresarse en valores numéricos y que no tienen las propiedades de los números ordinarios, enfureció tanto a sus colegas que lo arrojaron por la borda al mar. El caso es que otros pitagóricos consideraron su razonamiento una rebelión contra las leyes del universo.

Signo del Radical: Evolución

El signo raíz para expresar el valor numérico de los números "sordos" no comenzó a usarse de inmediato para resolver desigualdades y ecuaciones irracionales. Los matemáticos europeos, en particular los italianos, comenzaron a pensar en lo radical alrededor del siglo XIII. Al mismo tiempo, se les ocurrió la idea de utilizar la R latina como designación, pero los matemáticos alemanes actuaron de manera diferente en sus trabajos. Les gustaba más la letra V. En Alemania pronto se difundió la designación V(2), V(3), que pretendía expresar la raíz cuadrada de 2, 3, etc. Posteriormente, los holandeses intervinieron y modificaron el signo del radical. Y René Descartes completó la evolución, llevando el signo de la raíz cuadrada a la perfección moderna.

Deshacerse de lo irracional

Las ecuaciones y desigualdades irracionales pueden incluir una variable no solo bajo el signo de la raíz cuadrada. Puede ser de cualquier grado. La forma más común de deshacerse de él es elevar ambos lados de la ecuación a la potencia adecuada. Esta es la acción principal que ayuda en las operaciones con lo irracional. Las acciones en casos pares no son particularmente diferentes de las que ya hemos comentado anteriormente. Aquí se deben tener en cuenta las condiciones para la no negatividad de la expresión radical, y al final de la solución es necesario filtrar los valores extraños de las variables de la misma manera como se mostró en los ejemplos ya considerados. .

Entre las transformaciones adicionales que ayudan a encontrar la respuesta correcta, se suele utilizar la multiplicación de la expresión por su conjugado, y muchas veces también es necesario introducir una nueva variable, lo que facilita la solución. En algunos casos, es recomendable utilizar gráficas para encontrar el valor de las incógnitas.

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Métodos para resolver ecuaciones irracionales.

Preparación preliminar para la lección: Los estudiantes deberían poder resolver ecuaciones irracionales de diversas formas.

Tres semanas antes de esta lección, los estudiantes reciben la tarea número 1: resolver varias ecuaciones irracionales. (Los estudiantes encuentran de forma independiente 6 ecuaciones irracionales diferentes y las resuelven en parejas).

Una semana antes de esta lección, los estudiantes reciben la tarea número 2, que completan individualmente.

1. Resuelve la ecuacióndiferentes caminos.

2. Evaluar las ventajas y desventajas de cada método.

3. Registre los hallazgos en forma de tabla.

Objetivos de la lección:

Educativo:generalización del conocimiento de los estudiantes sobre este tema, demostración varios métodos resolución de ecuaciones irracionales, la capacidad de los estudiantes para abordar la resolución de ecuaciones desde una perspectiva de investigación.

Educativo:Fomentar la independencia, la capacidad de escuchar a los demás y comunicarse en grupo, aumentando el interés por el tema.

De desarrollo:desarrollo pensamiento lógico, cultura algorítmica, habilidades de autoeducación, autoorganización, trabajo en parejas al hacer los deberes, habilidades para analizar, comparar, generalizar y sacar conclusiones.

Equipo: computadora, proyector, pantalla, mesa “Reglas para resolver ecuaciones irracionales”, cartel con una cita de M.V. Lomonosov “Sólo entonces hay que enseñar matemáticas porque ordenan la mente”, tarjetas.

Reglas para resolver ecuaciones irracionales.

Tipo de lección: lección-seminario (trabajar en grupos de 5-6 personas, cada grupo debe tener estudiantes fuertes).

durante las clases

I . Organizar el tiempo

(Comunicación del tema y objetivos de la lección)

II . Presentación trabajo de investigación"Métodos para resolver ecuaciones irracionales"

(El trabajo lo presenta el alumno que lo realizó.)

III . Análisis de métodos para la resolución de deberes.

(Un alumno de cada grupo anota en la pizarra los métodos de solución propuestos. Cada grupo analiza uno de los métodos de solución, evalúa las ventajas y desventajas y saca conclusiones. Los alumnos de los grupos añaden si es necesario. El análisis y conclusiones del grupo se evalúan las respuestas deben ser claras y completas.)

El primer método: elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia y luego verificar.

Solución.

Elevemos nuevamente al cuadrado ambos lados de la ecuación:

De aquí

Examen:

1. Six=42 entonces, que significa el número42 no es la raíz de la ecuación.

2. Six=2, entonces, que significa el número2 es la raíz de la ecuación.

Respuesta:2.

Conclusión. Al resolver ecuaciones irracionales elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia, es necesario llevar un registro verbal, lo que hace que la solución sea comprensible y accesible. Sin embargo, la verificación obligatoria es a veces compleja y requiere mucho tiempo. Este método se puede utilizar para resolver ecuaciones irracionales simples que contienen 1 o 2 radicales.

El segundo método: transformaciones equivalentes.

Solución:Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Respuesta:2.

Conclusión. Al resolver ecuaciones irracionales utilizando el método de transiciones equivalentes, es necesario saber claramente cuándo poner el signo del sistema y cuándo poner el signo del agregado. La complejidad de la grabación y las diversas combinaciones de símbolos del sistema y de combinación conducen a menudo a errores. Sin embargo, la secuencia de transiciones equivalentes, una notación lógica clara sin descripción verbal, que no requiere verificación, son las ventajas indiscutibles de este método.

El tercer método: funcional-gráfico.

Solución.

Veamos las funciones.Y.

1. Funciónsosegado; está aumentando, porque el exponente es un número positivo (no entero).

D(F).

Creemos una tabla de valores.XYF( X).

2. Funciónsosegado; está disminuyendo.

Encontremos el dominio de definición de la función.D( gramo).

Creemos una tabla de valores.XYgramo( X).

Construyamos estos gráficos de funciones en un sistema de coordenadas.

Las gráficas de funciones se cruzan en el punto de abscisa.Porque funciónF( X) aumenta y la funcióngramo( X) disminuye, entonces solo habrá una solución para la ecuación.

Respuesta: 2.

Conclusión. El método gráfico funcional es visual y le permite encontrar la cantidad de soluciones, pero es mejor usarlo cuando puede construir fácilmente gráficos de las funciones consideradas y obtener una respuesta precisa. Si la respuesta es aproximada, es mejor utilizar otro método.

Cuarto método: introducir una nueva variable.

Solución.Introduzcamos nuevas variables, que denotanObtenemos la primera ecuación del sistema.

Creemos la segunda ecuación del sistema.

para una variable:

para una variable

Es por eso

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones racionales, con respecto aY

Volviendo a la variable, obtenemos

Simplificación: obtener un sistema de ecuaciones que no contenga radicales

1. La necesidad de rastrear el DID de nuevas variables.

2. La necesidad de volver a la variable original

Conclusión. Este método se utiliza mejor para ecuaciones irracionales que contienen radicales de varios grados, o polinomios idénticos bajo el signo de la raíz y detrás del signo de la raíz, o expresiones recíprocas bajo el signo de la raíz.

- Entonces chicos, para todos. ecuación irracional es necesario elegir lo mas manera conveniente soluciones: claro. Accesible, diseñado de forma lógica y competente. Levante la mano quién de ustedes preferiría:

1) el método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia con verificación;

2) el método de transformaciones equivalentes;

3) método gráfico funcional;

4) el método de introducción de una nueva variable.

IV . Parte practica

(Trabaja en grupos. Cada grupo de estudiantes recibe una tarjeta con una ecuación y la resuelven en sus cuadernos. En este momento, un representante del grupo resuelve un ejemplo en la pizarra. Los estudiantes de cada grupo resuelven el mismo ejemplo que un miembro de su grupo y monitorear la correcta ejecución de las tareas en la pizarra. Si la persona que responde en la pizarra comete errores, el que los nota levanta la mano y ayuda a corregirlos. Durante la lección, cada alumno, además del ejemplo resuelto. por su grupo, deberá anotar en un cuaderno otras propuestas a los grupos y resolverlas en casa.)

Grupo 1.

Grupo 2.

Grupo 3.

V . Trabajo independiente

(En los grupos, primero hay una discusión y luego los estudiantes comienzan a completar la tarea. La solución correcta, preparada por el profesor, se muestra en la pantalla).

VI . Resumiendo la lección

Ahora ya sabes que resolver ecuaciones irracionales requiere buenos conocimientos teóricos, capacidad para aplicarlos en la práctica, atención, trabajo duro e inteligencia.

Tarea

Resuelve las ecuaciones dadas a los grupos durante la lección.

La primera parte del material de este artículo forma la idea de ecuaciones irracionales. Después de estudiarlo, podrás distinguir fácilmente las ecuaciones irracionales de ecuaciones de otro tipo. La segunda parte examina en detalle los principales métodos para resolver ecuaciones irracionales y proporciona soluciones detalladas a una gran cantidad de ejemplos típicos. Si domina esta información, es casi seguro que podrá resolver casi cualquier ecuación irracional de un curso escolar de matemáticas. ¡Buena suerte en adquirir conocimientos!

¿Qué son las ecuaciones irracionales?

Primero aclaremos qué son las ecuaciones irracionales. Para ello, encontraremos las definiciones adecuadas en los libros de texto recomendados por el Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia.

En las lecciones de álgebra lleva a cabo una conversación detallada sobre ecuaciones irracionales y su solución y comienza a analizarlos en la escuela secundaria. Sin embargo, algunos autores introducen ecuaciones de este tipo antes. Por ejemplo, aquellos que estudian utilizando los libros de texto de Mordkovich A.G. aprenden sobre ecuaciones irracionales ya en el octavo grado: el libro de texto dice que

También hay ejemplos de ecuaciones irracionales, , , etcétera. Obviamente, cada una de las ecuaciones anteriores contiene una variable x bajo el signo de la raíz cuadrada, lo que significa que, según la definición anterior, estas ecuaciones son irracionales. Aquí analizamos inmediatamente uno de los métodos principales para resolverlos: Pero hablaremos sobre los métodos de solución un poco más abajo, pero por ahora daremos definiciones de ecuaciones irracionales de otros libros de texto.

En los libros de texto de A. N. Kolmogorov y Yu.

Definición

irracional son ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de la raíz.

Prestemos atención a la diferencia fundamental. esta definición del anterior: simplemente dice la raíz, no la raíz cuadrada, es decir, no se especifica el grado de la raíz bajo la cual se ubica la variable. Esto significa que la raíz no solo puede ser cuadrada, sino también tercera, cuarta, etc. grados. Por tanto, la última definición especifica un conjunto más amplio de ecuaciones.

Surge una pregunta natural: ¿por qué empezamos a utilizar esta definición más amplia de ecuaciones irracionales en la escuela secundaria? Todo es comprensible y simple: cuando nos familiarizamos con las ecuaciones irracionales en el octavo grado, solo conocemos bien la raíz cuadrada, todavía no conocemos las raíces cúbicas, las raíces de la cuarta potencia y superiores; Y en la secundaria se generaliza el concepto de raíz, aprendemos sobre , y cuando hablamos de ecuaciones irracionales ya no nos limitamos a la raíz cuadrada, sino que nos referimos a la raíz de un grado arbitrario.

Para mayor claridad, demostraremos varios ejemplos de ecuaciones irracionales. - aquí la variable x se encuentra debajo del signo de la raíz cúbica, por lo que esta ecuación es irracional. Otro ejemplo: - aquí la variable x está bajo el signo tanto de la raíz cuadrada como de la raíz cuarta, es decir, esta también es una ecuación irracional. Aquí hay un par de ejemplos más de ecuaciones irracionales de una forma más compleja: y .

Las definiciones anteriores nos permiten observar que en la notación de cualquier ecuación irracional hay signos de raíces. También está claro que si no hay signos de las raíces, entonces la ecuación no es irracional. Sin embargo, no todas las ecuaciones que contienen signos de raíz son irracionales. De hecho, en una ecuación irracional debe haber una variable bajo el signo de la raíz; si no hay ninguna variable bajo el signo de la raíz, entonces la ecuación no es irracional. A modo de ilustración, damos ejemplos de ecuaciones que contienen raíces, pero que no son irracionales. Ecuaciones Y no son irracionales, ya que no contienen variables bajo el signo de la raíz; hay números debajo de las raíces, pero no hay variables bajo los signos de la raíz, por lo tanto, estas ecuaciones no son irracionales.

Cabe mencionar la cantidad de variables que pueden participar en la redacción de ecuaciones irracionales. Todas las ecuaciones irracionales anteriores contienen una única variable x, es decir, son ecuaciones con una variable. Sin embargo, nada nos impide considerar ecuaciones irracionales con dos, tres, etc. variables. Pongamos un ejemplo de una ecuación irracional con dos variables. y con tres variables.

Tenga en cuenta que en la escuela hay que trabajar principalmente con ecuaciones irracionales con una variable. Las ecuaciones irracionales con varias variables son mucho menos comunes. Se pueden encontrar en la composición, como, por ejemplo, en la tarea “resolver el sistema de ecuaciones "o, digamos, en la descripción algebraica de objetos geométricos, la ecuación corresponde a un semicírculo con centro en el origen, un radio de 3 unidades, que se encuentra en el semiplano superior.

Algunas colecciones de problemas de preparación para el Examen Estatal Unificado en la sección "ecuaciones irracionales" contienen tareas en las que la variable no solo está bajo el signo de la raíz, sino también bajo el signo de alguna otra función, por ejemplo, módulo, logaritmo, etc. . Aquí hay un ejemplo , tomado del libro, pero aquí, de la colección. En el primer ejemplo, la variable x está bajo el signo logarítmico y el logaritmo también está bajo el signo de la raíz, es decir, tenemos, por así decirlo, una ecuación logarítmica irracional (o logarítmica irracional). En el segundo ejemplo, la variable está bajo el signo del módulo, y el módulo también está bajo el signo de la raíz; con su permiso, la llamaremos ecuación irracional con módulo.

¿Deberían considerarse irracionales las ecuaciones de este tipo? Buena pregunta. Parece que hay una variable debajo del signo raíz, pero resulta confuso que no esté en " forma pura", y bajo el signo de una o más funciones. En otras palabras, no parece haber contradicción con la forma en que definimos las ecuaciones irracionales anteriores, pero existe cierto grado de incertidumbre debido a la presencia de otras funciones. Desde nuestro punto de vista, no hay que ser fanático de “llamar las cosas por su nombre”. En la práctica, basta con decir “ecuación” sin especificar de qué tipo es. Y todos estos aditivos son “irracionales”, “logarítmicos”, etc. sirven principalmente para facilitar la presentación y agrupación del material.

A la luz de la información del último párrafo, es de interés la definición de ecuaciones irracionales que figura en el libro de texto escrito por A. G. Mordkovich para el grado 11.

Definición

Irracional son ecuaciones en las que la variable está contenida bajo el signo radical o bajo el signo de elevación a una potencia fraccionaria.

Aquí, además de las ecuaciones con una variable bajo el signo de la raíz, también se consideran irracionales las ecuaciones con variables bajo el signo de elevación a una potencia fraccionaria. Por ejemplo, según esta definición, la ecuación considerado irracional. ¿Por qué de repente? Ya estamos acostumbrados a las raíces en ecuaciones irracionales, pero aquí no se trata de una raíz, sino de un grado, y ¿preferirías llamar a esta ecuación, por ejemplo, ecuación de potencia, en lugar de irracional? Todo es simple: se determina a través de las raíces, y en la variable x para una ecuación dada (siempre que x 2 +2·x≥0) se puede reescribir usando la raíz como , y la última igualdad es una ecuación irracional familiar con una variable bajo el signo de la raíz. Y los métodos para resolver ecuaciones con variables en base a potencias fraccionarias son absolutamente los mismos que los métodos para resolver ecuaciones irracionales (sobre ellos hablaremos en el siguiente párrafo). Por eso es conveniente llamarlos irracionales y considerarlos desde esta perspectiva. Pero seamos honestos con nosotros mismos: inicialmente tenemos la ecuación , pero no , y el lenguaje no está muy dispuesto a llamar irracional a la ecuación original debido a la ausencia de una raíz en la notación. La misma técnica nos permite evitar cuestiones tan controvertidas en cuanto a terminología: llamar a la ecuación simplemente ecuación sin ninguna aclaración específica.

Las ecuaciones irracionales más simples.

Cabe mencionar el llamado ecuaciones irracionales más simples. Digamos de inmediato que este término no aparece en los principales libros de texto de álgebra y análisis elemental, pero a veces se encuentra en libros de problemas y manuales de formación, como, por ejemplo, en. No debe considerarse generalmente aceptado, pero no está de más saber qué se entiende habitualmente por las ecuaciones irracionales más simples. Este suele ser el nombre que se le da a las ecuaciones irracionales de la forma , donde f(x) y g(x) son algunos. Desde este punto de vista, la ecuación irracional más simple puede denominarse, por ejemplo, ecuación o .

¿Cómo se puede explicar la aparición del nombre "las ecuaciones irracionales más simples"? Por ejemplo, el hecho de que resolver ecuaciones irracionales a menudo requiere su reducción inicial a la forma y aplicación adicional de cualquier método de solución estándar. Las ecuaciones irracionales en esta forma se llaman las más simples.

Métodos básicos para resolver ecuaciones irracionales.

Por definición de raíz

Se basa uno de los métodos para resolver ecuaciones irracionales. Con su ayuda se suelen resolver ecuaciones irracionales de la forma más simple. , donde f(x) y g(x) son algunas expresiones racionales (dimos la definición de las ecuaciones irracionales más simples en). Las ecuaciones irracionales de la forma se resuelven de manera similar. , pero en el que f(x) y/o g(x) son expresiones distintas de racionales. Sin embargo, en muchos casos es más conveniente resolver dichas ecuaciones mediante otros métodos, que se analizarán en los párrafos siguientes.

Para facilitar la presentación del material, separamos las ecuaciones irracionales con exponentes de raíz par, es decir, las ecuaciones , 2·k=2, 4, 6, … , a partir de ecuaciones con exponentes de raíz impar , 2 k+1=3, 5, 7,… Resumamos inmediatamente los enfoques para resolverlos:

Los enfoques anteriores se derivan directamente de Y .

Entonces, método para resolver ecuaciones irracionales por definición de raíz es la siguiente:

Por definición de raíz, lo más conveniente es resolver las ecuaciones irracionales más simples con números en los lados derechos, es decir, ecuaciones de la forma , donde C es un número determinado. Cuando hay un número en el lado derecho de la ecuación, incluso si la raíz del exponente es par, no hay necesidad de ir al sistema: si C no es un numero negativo, entonces por definición de raíz de grado par, y si C es un número negativo, entonces podemos concluir inmediatamente que no hay raíces en la ecuación, porque por definición, una raíz de grado par es un número no negativo , lo que significa que la ecuación no se convierte en una igualdad numérica correcta para ningún valor real de la variable x .

Pasemos a resolver ejemplos típicos.

Pasaremos de lo simple a lo complejo. Comencemos resolviendo la ecuación irracional más simple, en el lado izquierdo de la cual hay una raíz de un grado par, y en el lado derecho, un número positivo, es decir, resolviendo una ecuación de la forma , donde C es positivo número. Determinar la raíz te permite pasar de resolver una ecuación irracional dada a resolver una ecuación más simple sin raíces С 2·k =f(x).

Las ecuaciones irracionales más simples con cero en el lado derecho se resuelven de manera similar definiendo una raíz.

Detengámonos por separado en las ecuaciones irracionales, en el lado izquierdo de las cuales hay una raíz de grado par con una variable bajo su signo, y en el lado derecho hay un número negativo. Tales ecuaciones no tienen soluciones en el conjunto de números reales (hablaremos de raíces complejas después de familiarizarnos con números complejos ). Esto es bastante obvio: una raíz par es, por definición, un número no negativo, lo que significa que no puede ser igual a un número negativo.

Los lados izquierdos de las ecuaciones irracionales de los ejemplos anteriores eran raíces de potencias pares y los lados derechos eran números. Ahora consideremos ejemplos con variables en los lados derechos, es decir, resolveremos ecuaciones irracionales de la forma . Para solucionarlos, determinando la raíz, se realiza una transición al sistema. , que tiene el mismo conjunto de soluciones que la ecuación original.

Hay que tener en cuenta que el sistema , a cuya solución se reduce la solución de la ecuación irracional original. , es recomendable solucionar no mecánicamente, sino, si es posible, racionalmente. Está claro que esto es más una pregunta del tema “ solución de sistemas“, pero aun así enumeramos tres situaciones frecuentes con ejemplos que las ilustran:

1. Por ejemplo, si su primera ecuación g 2·k (x)=f(x) no tiene soluciones, entonces no tiene sentido resolver la desigualdad g(x)≥0, porque a partir de la ausencia de soluciones a la ecuación se puede Concluimos que no hay soluciones para el sistema.

1. De manera similar, si la desigualdad g(x)≥0 no tiene soluciones, entonces no es necesario resolver la ecuación g 2·k (x)=f(x), porque incluso sin esto está claro que en este caso el sistema no tiene soluciones.

1. Muy a menudo, la desigualdad g(x)≥0 no se resuelve en absoluto, sino que sólo se comprueba cuál de las raíces de la ecuación g 2·k (x)=f(x) la satisface. El conjunto de todos aquellos que satisfacen la desigualdad es una solución del sistema, lo que significa que también es una solución de la ecuación irracional original equivalente a él.

Ya basta de ecuaciones con exponentes pares de raíces. Es hora de prestar atención a las ecuaciones irracionales con raíces de potencias impares de la forma . Como ya hemos dicho, para resolverlos pasamos a la ecuación equivalente , que puede resolverse mediante cualquier método disponible.

Para concluir este punto, mencionemos comprobando soluciones. El método de resolución de ecuaciones irracionales determinando la raíz garantiza la equivalencia de las transiciones. Esto significa que no es necesario comprobar las soluciones encontradas. Este punto se puede atribuir a las ventajas de este método para resolver ecuaciones irracionales, porque en la mayoría de los otros métodos, la verificación es una etapa obligatoria de la solución, lo que permite cortar raíces extrañas. Pero hay que recordar que comprobarlo sustituyendo las soluciones encontradas en la ecuación original nunca es superfluo: de repente ha aparecido un error de cálculo.

También observamos que la cuestión de verificar y filtrar raíces extrañas es muy importante al resolver ecuaciones irracionales, por lo que volveremos a ello en uno de los siguientes párrafos de este artículo.

Método para elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia.

Una presentación adicional supone que el lector tiene una idea de las ecuaciones equivalentes y las ecuaciones corolarias.

El método de elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia se basa en la siguiente afirmación:

Declaración

Elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia par da una ecuación corolaria, y elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia impar da una ecuación equivalente.

Prueba

Demostrémoslo para ecuaciones con una variable. Para ecuaciones con varias variables, los principios de demostración son los mismos.

Sea A(x)=B(x) la ecuación original y x 0 su raíz. Dado que x 0 es la raíz de esta ecuación, entonces A(x 0)=B(x 0) – verdadera igualdad numérica. Conocemos esta propiedad de las igualdades numéricas: la multiplicación término por término de igualdades numéricas verdaderas da una igualdad numérica verdadera. Multiplicar término por término 2·k, donde k – número natural, igualdades numéricas correctas A(x 0)=B(x 0), esto nos dará la igualdad numérica correcta A 2·k (x 0)=B 2·k (x 0) . Y la igualdad resultante significa que x 0 es la raíz de la ecuación A 2·k (x)=B 2·k (x), que se obtiene de la ecuación original elevando ambos lados a la misma potencia natural par 2·k .

Para justificar la posibilidad de la existencia de una raíz de la ecuación A 2·k (x)=B 2·k (x) , que no es la raíz de la ecuación original A(x)=B(x) , se basta con dar un ejemplo. Considere la ecuación irracional , y ecuación , que se obtiene del original elevando ambas partes al cuadrado. Es fácil comprobar que cero es la raíz de la ecuación. , en realidad, , que lo mismo 4=4 es una verdadera igualdad. Pero al mismo tiempo, cero es una raíz extraña para la ecuación. , ya que tras sustituir cero obtenemos la igualdad , que es lo mismo que 2=−2 , lo cual es incorrecto. Esto demuestra que una ecuación obtenida a partir de la original elevando ambos lados a la misma potencia par puede tener raíces ajenas a la ecuación original.

Se ha demostrado que elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia natural par conduce a una ecuación corolaria.

Queda por demostrar que elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia natural impar se obtiene una ecuación equivalente.

Demostremos que cada raíz de la ecuación es la raíz de la ecuación obtenida del original elevando ambas partes a una potencia impar y, a la inversa, que cada raíz de la ecuación obtenida del original elevando ambas partes a una potencia impar la potencia es la raíz de la ecuación original.

Tengamos la ecuación A(x)=B(x). Sea x 0 su raíz. Entonces la igualdad numérica A(x 0)=B(x 0) es verdadera. Mientras estudiamos las propiedades de las igualdades numéricas verdaderas, aprendimos que las igualdades numéricas verdaderas se pueden multiplicar término por término. Multiplicando término por término 2·k+1, donde k es un número natural, las igualdades numéricas correctas A(x 0)=B(x 0) obtenemos la igualdad numérica correcta A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , lo que significa que x 0 es la raíz de la ecuación A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Ahora de nuevo. Sea x 0 la raíz de la ecuación A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Esto significa que la igualdad numérica A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) es correcta. Debido a la existencia de una raíz impar de cualquier número real y su unicidad, la igualdad también será cierta. Esto, a su vez, debido a la identidad , donde a es cualquier número real que se deriva de las propiedades de raíces y potencias, se puede reescribir como A(x 0)=B(x 0) . Esto significa que x 0 es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) .

Se ha demostrado que elevando ambos lados de una ecuación irracional a una potencia impar se obtiene una ecuación equivalente.

La afirmación probada repone el arsenal que conocemos, utilizado para resolver ecuaciones, con otra transformación de ecuaciones: elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia natural. Elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia impar es una transformación que conduce a una ecuación corolaria, y elevarla a una potencia par es una transformación equivalente. El método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia se basa en esta transformación.

Elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia natural se utiliza principalmente para resolver ecuaciones irracionales, ya que en algunos casos esta transformación te permite deshacerte de los signos de las raíces. Por ejemplo, elevando ambos lados de la ecuación. elevado a n da la ecuación , que luego se puede transformar en la ecuación f(x)=g n (x) , que ya no contiene una raíz en el lado izquierdo. El ejemplo anterior ilustra la esencia del método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia: utilizando una transformación adecuada, obtener una ecuación más simple que no tenga radicales en su notación, y a través de su solución, obtener una solución a la ecuación irracional original.

Ahora podemos proceder directamente a la descripción del método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia natural. Comencemos con un algoritmo para resolver, usando este método, las ecuaciones irracionales más simples con exponentes de raíz par, es decir, ecuaciones de la forma , donde k es un número natural, f(x) y g(x) son expresiones racionales. Un algoritmo para resolver las ecuaciones irracionales más simples con exponentes de raíz impar, es decir, ecuaciones de la forma , lo daremos un poco más tarde. Entonces vayamos aún más lejos: extendamos el método de elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia a ecuaciones irracionales más complejas que contengan raíces bajo los signos de las raíces, varios signos de las raíces, etc.

método para elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia par:

De la información anterior queda claro que después del primer paso del algoritmo llegaremos a una ecuación cuyas raíces contienen todas las raíces de la ecuación original, pero que también puede tener raíces que son ajenas a la ecuación original. Por lo tanto, el algoritmo contiene una cláusula sobre el filtrado de raíces extrañas.

Veamos la aplicación del algoritmo dado para resolver ecuaciones irracionales usando ejemplos.

Comencemos resolviendo una ecuación irracional simple y bastante típica, cuya elevación al cuadrado conduce a ecuación cuadrática sin tener raíces.

A continuación se muestra un ejemplo en el que todas las raíces de la ecuación obtenidas de la ecuación irracional original elevando ambos lados al cuadrado resultan ser ajenas a la ecuación original. Conclusión: no tiene raíces.

El siguiente ejemplo es un poco más complicado. Su solución, a diferencia de las dos anteriores, requiere elevar ambas partes no al cuadrado, sino a la sexta potencia, y esto ya no conducirá a una ecuación lineal o cuadrática, sino a una ecuación cúbica. Aquí una verificación nos mostrará que sus tres raíces serán las raíces de la ecuación irracional dada inicialmente.

Y aquí iremos aún más lejos. Para deshacerte de la raíz, tendrás que elevar ambos lados de la ecuación irracional a la cuarta potencia, lo que a su vez conducirá a una ecuación de la cuarta potencia. La verificación mostrará que solo una de las cuatro raíces potenciales será la raíz deseada de la ecuación irracional, y el resto será extraña.

Tres ejemplos recientes son una ilustración de la siguiente afirmación: si al elevar ambos lados de una ecuación irracional a la misma potencia par se obtiene una ecuación que tiene raíces, entonces su verificación posterior puede demostrar que

• o todas son raíces extrañas para la ecuación original, y no tiene raíces,
• o no hay raíces extrañas entre ellas, y todas son raíces de la ecuación original,
• o sólo algunos de ellos son forasteros.

Ha llegado el momento de pasar a resolver las ecuaciones irracionales más simples con exponente de raíz impar, es decir, ecuaciones de la forma . Anotemos el algoritmo correspondiente.

Algoritmo para resolver ecuaciones irracionales. Método para elevar ambos lados de una ecuación a la misma potencia impar.:

• Ambos lados de la ecuación irracional se elevan a la misma potencia impar 2·k+1.
• La ecuación resultante está resuelta. Su solución es la solución de la ecuación original.

Tenga en cuenta: el algoritmo anterior, a diferencia del algoritmo para resolver las ecuaciones irracionales más simples con un exponente de raíz par, no contiene una cláusula sobre la eliminación de raíces extrañas. Mostramos anteriormente que elevar ambos lados de la ecuación a una potencia impar es una transformación equivalente de la ecuación, lo que significa que dicha transformación no conduce a la aparición de raíces extrañas, por lo que no es necesario filtrarlas.

Por lo tanto, se puede resolver ecuaciones irracionales elevando ambos lados a la misma potencia impar sin eliminar a los extraños. Al mismo tiempo, no olvide que cuando se eleva a una potencia par, se requiere verificación.

Conocer este hecho nos permite legalmente no filtre raíces extrañas al resolver una ecuación irracional . Además, en este caso, la verificación está asociada a cálculos "desagradables". De todos modos, no habrá raíces extrañas, ya que se eleva a una potencia impar, es decir, a un cubo, que es una transformación equivalente. Está claro que la verificación se puede realizar, pero más bien por autocontrol, para verificar en mayor medida la exactitud de la solución encontrada.

Resumamos los resultados intermedios. En este punto, en primer lugar, ampliamos el arsenal ya conocido de resolución de varias ecuaciones con otra transformación, que consiste en elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia. Cuando se eleva a una potencia uniforme, esta transformación puede ser desigual, y al usarla, es necesario verificar para filtrar raíces extrañas. Cuando se eleva a una potencia impar, la transformación especificada es equivalente y no es necesario filtrar las raíces extrañas. Y en segundo lugar, aprendimos a usar esta transformación para resolver las ecuaciones irracionales más simples de la forma , donde n es el exponente raíz, f(x) y g(x) son expresiones racionales.

Ahora es el momento de considerar cómo elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia desde una perspectiva general. Esto nos permitirá ampliar el método de resolución de ecuaciones irracionales basado en él desde las ecuaciones irracionales más simples hasta ecuaciones irracionales de tipo más complejo. Hagámoslo.

De hecho, al resolver ecuaciones elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia, se utiliza el enfoque general que ya conocemos: la ecuación original, mediante algunas transformaciones, se transforma en una ecuación más simple, se transforma en una ecuación aún más simple. uno, y así sucesivamente, hasta ecuaciones que podemos resolver. Está claro que si en una cadena de tales transformaciones recurrimos a elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia, entonces podemos decir que estamos siguiendo el mismo método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia. Todo lo que queda es descubrir exactamente qué transformaciones y en qué secuencia se deben realizar para resolver ecuaciones irracionales elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia.

Aquí hay un enfoque general para resolver ecuaciones irracionales elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia:

• Primero, debe pasar de la ecuación irracional original a una ecuación más simple, lo que generalmente se puede lograr realizando cíclicamente las siguientes tres acciones:
  • Aislamiento del radical (o técnicas similares, por ejemplo, aislamiento del producto de radicales, aislamiento de una fracción cuyo numerador y/o denominador es una raíz, lo que permite, tras elevar posteriormente ambos lados de la ecuación a una potencia, deshacerse de la raíz).
  • Simplificando la forma de la ecuación.
• En segundo lugar, debes resolver la ecuación resultante.
• Finalmente, si durante la solución hubo transiciones a ecuaciones corolarias (en particular, si ambos lados de la ecuación se elevaron a una potencia par), entonces es necesario eliminar las raíces extrañas.

Pongamos en práctica los conocimientos adquiridos.

Resolvamos un ejemplo en el que la soledad del radical lleva la ecuación irracional a su forma más simple, después de lo cual solo queda elevar al cuadrado ambos lados, resolver la ecuación resultante y eliminar raíces extrañas mediante un cheque.

La siguiente ecuación irracional se puede resolver separando la fracción con un radical en el denominador, que se puede eliminar elevando al cuadrado posteriormente ambos lados de la ecuación. Y luego todo es simple: la ecuación racional fraccionaria resultante se resuelve y se verifica para excluir raíces extrañas de la respuesta.

Las ecuaciones irracionales que contienen dos raíces son bastante típicas. Generalmente se resuelven con éxito elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia. Si las raíces tienen el mismo grado y no hay otros términos además de ellos, entonces para deshacerse de los radicales basta con aislar el radical y realizar la exponenciación una vez, como en el siguiente ejemplo.

Y aquí hay un ejemplo en el que también hay dos raíces, además de ellas tampoco hay términos, pero los grados de las raíces son diferentes. En este caso, tras aislar el radical, es recomendable elevar ambos lados de la ecuación a una potencia que elimine ambos radicales a la vez. Estos grados sirven, por ejemplo, como indicadores de raíces. En nuestro caso, los grados de las raíces son 2 y 3, MCM(2, 3) = 6, por lo tanto, elevaremos ambos lados a la sexta potencia. Tenga en cuenta que también podemos actuar por el camino estándar, pero en este caso tendremos que recurrir a elevar ambas partes a una potencia dos veces: primero a la segunda, luego a la tercera. Mostraremos ambas soluciones.

En casos más complejos, al resolver ecuaciones irracionales elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia, hay que recurrir a aumentar la potencia dos veces, con menos frecuencia, tres veces, y menos aún, más veces. La primera ecuación irracional, que ilustra lo dicho, contiene dos radicales y un término más.

Resolver la siguiente ecuación irracional también requiere dos exponenciaciones sucesivas. Si no te olvidas de aislar los radicales, entonces dos exponenciaciones son suficientes para eliminar los tres radicales presentes en su notación.

El método de elevar ambos lados de una ecuación irracional a la misma potencia permite hacer frente a ecuaciones irracionales en las que debajo de la raíz hay otra raíz. Aquí está la solución a un ejemplo típico.

Finalmente, antes de pasar al análisis de los siguientes métodos para resolver ecuaciones irracionales, es necesario tener en cuenta el hecho de que elevar ambos lados de una ecuación irracional a la misma potencia puede, como resultado de transformaciones adicionales, dar una ecuación que tiene un número infinito de soluciones. Una ecuación que tiene infinitas raíces se obtiene, por ejemplo, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación irracional y posterior simplificación de la forma de la ecuación resultante. Sin embargo, por razones obvias, no podemos realizar una verificación de sustitución. En tales casos, es necesario recurrir a otros métodos de verificación, de los cuales hablaremos, o abandonar el método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia en favor de otro método de solución, por ejemplo, en favor de un método. eso supone.

Examinamos soluciones a las ecuaciones irracionales más típicas elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia. El enfoque general estudiado permite abordar otras ecuaciones irracionales, si es que este método de solución es adecuado para ellas.

Resolver ecuaciones irracionales introduciendo una nueva variable.

Existir métodos generales para resolver ecuaciones. Te permiten resolver ecuaciones. diferentes tipos. En particular, se utilizan métodos generales para resolver ecuaciones irracionales. En este párrafo veremos uno de los métodos comunes: método para introducir una nueva variable, o más bien, su uso para resolver ecuaciones irracionales. La esencia y los detalles del método en sí se presentan en el artículo, cuyo enlace se encuentra en la oración anterior. Aquí nos centraremos en la parte práctica, es decir, analizaremos soluciones a ecuaciones irracionales estándar introduciendo una nueva variable.

Los siguientes párrafos de este artículo están dedicados a resolver ecuaciones irracionales utilizando otros métodos generales.

primero damos algoritmo para resolver ecuaciones introduciendo una nueva variable. Inmediatamente después daremos las explicaciones necesarias. Entonces, el algoritmo:

Ahora las aclaraciones prometidas.

Los pasos segundo, tercero y cuarto del algoritmo son puramente técnicos y, a menudo, no son difíciles. Y el principal interés es el primer paso: la introducción de una nueva variable. El punto aquí es que a menudo no es nada obvio cómo introducir una nueva variable, y en muchos casos es necesario realizar algunas transformaciones de la ecuación para que la expresión g(x) sea conveniente para reemplazar con t a aparecer. En otras palabras, introducir una nueva variable suele ser un proceso creativo y, por tanto, complejo. A continuación intentaremos tocar los ejemplos más básicos y típicos que explican cómo introducir una nueva variable al resolver ecuaciones irracionales.

Seguiremos la siguiente secuencia de presentación:

Entonces, comencemos con los casos más simples de introducción de una nueva variable al resolver ecuaciones irracionales.

Resolvamos la ecuación irracional. , que ya citamos como ejemplo justo arriba. Evidentemente, en este caso es posible la sustitución. Esto nos llevará a una ecuación racional, que resulta que tiene dos raíces, que, cuando se reemplazan a la inversa, darán un conjunto de dos ecuaciones irracionales simples, cuya solución no es difícil. Para comparar mostraremos forma alternativa soluciones realizando transformaciones que conduzcan a la ecuación irracional más simple.

En la siguiente ecuación irracional también es obvia la posibilidad de introducir una nueva variable. Pero destaca que a la hora de resolverlo no tenemos que volver a la variable original. El caso es que lo que se obtiene tras la introducción ecuación variable no tiene soluciones, lo que significa que la ecuación original no tiene soluciones.

ecuación irracional , al igual que el anterior, se puede solucionar cómodamente introduciendo una nueva variable. Además, como el anterior, no tiene solución. Pero la ausencia de raíces se determina por otros medios: aquí la ecuación obtenida después de introducir la variable tiene solución, pero el conjunto de ecuaciones escritas durante la sustitución inversa no tiene solución, por lo tanto la ecuación original tampoco tiene solución. Analicemos la solución de esta ecuación.

Completemos la serie de ejemplos en los que el reemplazo es obvio, con una ecuación irracional aparentemente compleja que contiene una raíz debajo de la raíz en la notación. La introducción de una nueva variable a menudo aclara la estructura de la ecuación, lo cual es cierto, en particular, para este ejemplo. De hecho, si aceptamos , entonces la ecuación irracional original se transforma en una ecuación irracional más simple , que se puede resolver, por ejemplo, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Presentamos la solución introduciendo una nueva variable y, a modo de comparación, también mostraremos la solución elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Los registros de todos los ejemplos anteriores contenían varias expresiones idénticas, que tomamos como una nueva variable. Todo era simple y obvio: vemos expresiones idénticas adecuadas y en su lugar introducimos una nueva variable, lo que da una ecuación más simple con una nueva variable. Ahora avanzaremos un poco más: descubriremos cómo resolver ecuaciones irracionales en las que la expresión adecuada para el reemplazo no es tan obvia, pero es bastante fácil de ver y resaltar explícitamente mediante transformaciones simples.

Consideremos las técnicas básicas que le permiten seleccionar explícitamente una expresión conveniente para introducir una nueva variable. El primero es este. Ilustremos lo dicho.

Obviamente, en la ecuación irracional para introducir una nueva variable basta con tomar x 2 +x=t. ¿Es posible introducir también una nueva variable en la ecuación? ? Esta posibilidad es visible, porque es obvio que . La última igualdad nos permite realizar una transformación equivalente de la ecuación, que consiste en sustituir la expresión por una expresión idénticamente igual que no cambia la ODZ, lo que permite pasar de la ecuación original a una ecuación equivalente. y decídelo ya. Mostremos la solución completa a la ecuación irracional. introduciendo una nueva variable.

¿Qué más, además de poner el factor común entre paréntesis, nos permite identificar claramente en una ecuación irracional una expresión conveniente para introducir una nueva variable? En ciertos casos, esto es y . Veamos ejemplos típicos.

¿Cómo introduciríamos una nueva variable al resolver una ecuación irracional? ? Por supuesto que aceptaríamos. ¿Y si la tarea fuera resolver una ecuación irracional? , ¿es posible introducir una nueva variable como ? Explícitamente, no es visible, pero tal posibilidad es visible, ya que en la ODZ de la variable x para esta ecuación, debido a la definición de la raíz y las propiedades de las raíces, la igualdad es válida, lo que nos permite ir a la ecuación equivalente .

Permitámonos una pequeña generalización basándonos en el ejemplo anterior. En los casos en que el indicador de una raíz es múltiplo del indicador de otra (k·n y k), se suele recurrir a la igualdad. e introducir una nueva variable como . Así procedimos, resolviendo la ecuación. . Un poco más adelante hablaremos de cómo resolver ecuaciones irracionales con exponentes de raíz desiguales y no múltiples.

Vale la pena detenerse brevemente en la introducción de una nueva variable en ecuaciones irracionales que contienen raíz, así como una expresión radical y/o algún grado de la misma. En estos casos, es obvio que se debe tomar la raíz como nueva variable. Por ejemplo, al resolver la ecuación aceptaríamos , por definición de raíz, transformaría la ecuación original a la forma , y tras introducir una nueva variable llegaríamos a la ecuación cuadrática 2·t 2 +3·t−2=0.

En casos un poco más complejos, puede ser necesaria una transformación adicional de la ecuación para aislar la expresión que coincide con el radical. Expliquemos esto. ¿Cómo introduciríamos una nueva variable en la ecuación? ? Evidentemente la expresión x 2 +5 coincide con la expresión radical, por lo tanto, según la información del párrafo anterior, a partir de la definición de raíz pasaríamos a la ecuación equivalente e introduciría una nueva variable como . ¿Cómo introduciríamos una nueva variable si no estuviéramos tratando con la ecuación? , y con la ecuación ? Sí también. Es sólo que primero tendríamos que representar x 2 +1 como x 2 +5−4 para resaltar explícitamente la expresión radical x 2 +5. Es decir, de la ecuación irracional pasado a la ecuación equivalente , luego a la ecuación , después de lo cual podríamos introducir fácilmente una nueva variable.

En tales casos, existe otro enfoque más universal para introducir una nueva variable: tomar la raíz como una nueva variable y, sobre la base de esta igualdad, expresar las variables antiguas restantes a través de la nueva. Para la ecuación aceptaríamos, a partir de esta igualdad expresaríamos x 2 hasta t como t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), de donde x 2 +1=t 2 −4 . Esto nos permite pasar a una ecuación con una nueva variable t 2 −4+3·t=0. Para practicar nuestras habilidades, resolveremos una ecuación irracional típica.

La introducción de una nueva variable en este tipo de ejemplos puede dar lugar a la aparición de expresiones bajo los signos de las raíces que son cuadrados completos. Por ejemplo, si tomamos una ecuación irracional, esto conducirá a la ecuación donde la primera expresión radical es el cuadrado del binomio lineal t-2, y la segunda expresión radical es el cuadrado del binomio lineal t-3. Y de tales ecuaciones es mejor pasar a ecuaciones con módulos: , , . Esto se debe al hecho de que tales ecuaciones pueden tener un número infinito de raíces, mientras que resolverlas elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación no permitirá realizar pruebas por sustitución, y resolverlas determinando la raíz conducirá a la necesidad de resolver una desigualdad irracional. . Mostraremos la solución a dicho ejemplo a continuación en la sección transición de una ecuación irracional a una ecuación con módulo.

¿Cuándo es todavía bastante fácil ver la posibilidad de introducir una nueva variable? Cuando la ecuación contiene fracciones “invertidas” y (con su permiso, las llamaremos mutuamente inversas por analogía con ). ¿Cómo resolveríamos una ecuación racional con fracciones como estas? Tomaríamos una de estas fracciones como una nueva variable t, mientras que la otra fracción se expresaría mediante la nueva variable como 1/t. En ecuaciones irracionales, introducir una nueva variable de esta manera no es del todo práctico, ya que para deshacerse aún más de las raíces, lo más probable es que tengas que introducir otra variable. Es mejor aceptar inmediatamente la raíz de la fracción como nueva variable. Bueno, entonces transforma la ecuación original usando una de las igualdades. Y , lo que te permitirá pasar a una ecuación con una nueva variable. Veamos un ejemplo.

No se olvide de las opciones de reemplazo ya conocidas. Por ejemplo, la expresión x+1/x y x 2 +1/x 2 puede aparecer en el registro de una ecuación irracional, lo que hace pensar en la posibilidad de introducir una nueva variable x+1/x=t. Este pensamiento no surge por casualidad, porque ya lo hicimos cuando decidimos ecuaciones recíprocas. Este método de introducir una nueva variable, como otros métodos que ya conocemos, debe tenerse en cuenta a la hora de resolver ecuaciones irracionales, así como ecuaciones de otro tipo.

Pasamos a ecuaciones irracionales más complejas, en las que es más difícil discernir una expresión adecuada para introducir una nueva variable. Y comencemos con ecuaciones en las que las expresiones radicales son las mismas, pero, a diferencia del caso comentado anteriormente, el exponente mayor de una raíz no está completamente dividido por el exponente menor de la otra raíz. Averigüemos cómo elegir la expresión correcta para introducir una nueva variable en tales casos.

Cuando las expresiones radicales son iguales y el exponente mayor de una raíz k 1 no está completamente dividido por el exponente menor de la otra raíz k 2 , la raíz del grado MCM (k 1 , k 2 ) se puede tomar como nueva variable, donde MCM es . Por ejemplo, en una ecuación irracional las raíces son iguales a 2 y 3, tres no es múltiplo de dos, MCM(3, 2)=6, por lo que se puede introducir una nueva variable como . Además, la definición de raíz, así como las propiedades de las raíces, le permite transformar la ecuación original para seleccionar explícitamente la expresión y luego reemplazarla con una nueva variable. Presentamos el completo y solución detallada esta ecuación.

Utilizando principios similares, se introduce una nueva variable en los casos en que las expresiones bajo las raíces difieren en grados. Por ejemplo, si en una ecuación irracional la variable está contenida solo debajo de las raíces, y las raíces mismas tienen la forma y , entonces debes calcular el mínimo común múltiplo de las raíces MCM(3, 4) = 12 y tomar . Además, de acuerdo con las propiedades de las raíces y las potencias, las raíces deben transformarse como Y en consecuencia, lo que le permitirá introducir una nueva variable.

Puedes actuar de manera similar en ecuaciones irracionales, en las que debajo de las raíces con diferentes exponentes hay fracciones mutuamente inversas y . Es decir, es recomendable tomar como nueva variable una raíz con un indicador igual al MCM de los indicadores raíz. Bueno, entonces pasamos a la ecuación con una nueva variable, que nos permite hacer igualdades. Y , definición de raíz, así como propiedades de raíces y potencias. Veamos un ejemplo.

Ahora hablemos de ecuaciones en las que sólo se puede sospechar la posibilidad de introducir una nueva variable y que, si tienen éxito, sólo se abren después de transformaciones bastante serias. Por ejemplo, sólo después de una serie de transformaciones no tan obvias se lleva una ecuación irracional a la forma , lo que abre el camino a la sustitución . Demos una solución a este ejemplo.

Finalmente, agreguemos un poco de exotismo. A veces una ecuación irracional se puede resolver introduciendo más de una variable. Este enfoque para resolver ecuaciones se propone en el libro de texto. Allí para resolver la ecuación irracional. se propone ingresar dos variables . El libro de texto proporciona solución corta, restablezcamos los detalles también.

Resolver ecuaciones irracionales usando el método de factorización.

Además del método de introducir una nueva variable, se utilizan otros métodos generales para resolver ecuaciones irracionales, en particular, método de factorización. El artículo en el enlace indicado en la frase anterior analiza en detalle cuándo se utiliza el método de factorización, cuál es su esencia y en qué se basa. Aquí estamos más interesados ​​no en el método en sí, sino en su uso para resolver ecuaciones irracionales. Por lo tanto, presentaremos el material de la siguiente manera: recordaremos brevemente las principales disposiciones del método, luego de lo cual analizaremos en detalle las soluciones a ecuaciones irracionales características utilizando el método de factorización.

El método de factorización se utiliza para resolver ecuaciones en las que hay un producto en el lado izquierdo y ceros en el lado derecho, es decir, para resolver ecuaciones de la forma f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0, donde f 1, f 2,…, f n son algunas funciones. La esencia del método es reemplazar la ecuación. f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 sobre la variable x para la ecuación original.

La primera parte de la última frase sobre la transición a la totalidad se deriva del conocido escuela primaria hecho: el producto de varios números es igual a cero si y sólo si al menos uno de los números es igual a cero. La presencia de la segunda parte sobre ODZ se explica por el hecho de que la transición de la ecuación f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 a un conjunto de ecuaciones f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0 puede ser desigual y dar lugar a la aparición de raíces extrañas, que en este caso pueden eliminarse teniendo en cuenta ODZ. Vale la pena señalar que, si es conveniente, la detección de raíces extrañas se puede realizar no solo a través de ODZ, sino también de otras maneras, por ejemplo, verificando sustituyendo las raíces encontradas en la ecuación original.

Entonces para resolver la ecuación f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0 utilizando el método de factorización, incluido el irracional, es necesario

• Ir al conjunto de ecuaciones f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Resuelve el conjunto compuesto,
• Si el conjunto de soluciones no las tiene, entonces concluya que la ecuación original no tiene raíces. Si hay raíces, elimine las raíces extrañas.

Pasemos a la parte práctica.

Los lados izquierdos de las ecuaciones irracionales típicas que se resuelven mediante factorización son el producto de varias expresiones algebraicas, generalmente binomios lineales y trinomios cuadráticos, y varias raíces con expresiones algebraicas debajo de ellas. Hay ceros en el lado derecho. Estas ecuaciones son ideales para adquirir habilidades iniciales para resolverlas. Comenzaremos resolviendo una ecuación similar. Al hacerlo, intentaremos lograr dos objetivos:

• considere todos los pasos del algoritmo del método de factorización al resolver una ecuación irracional,
• Recuerde las tres formas principales de filtrar raíces extrañas (mediante ODZ, según condiciones de ODZ y sustituyendo directamente soluciones en la ecuación original).

La siguiente ecuación irracional es típica en el sentido de que al resolverla mediante el método de factorización, conviene filtrar raíces extrañas según las condiciones de la ODZ, y no según la ODZ en forma de conjunto numérico, ya que es difícil obtener la ODZ en forma de factor numérico. La dificultad es que una de las condiciones que definen la DL es desigualdad irracional . El enfoque indicado para tamizar raíces extrañas le permite prescindir de resolverlo, además, a veces en curso escolar Los matemáticos generalmente no están familiarizados con la resolución de desigualdades irracionales.

Es bueno cuando la ecuación tiene un producto en el lado izquierdo y un cero en el derecho. En este caso, puedes ir inmediatamente al conjunto de ecuaciones, resolverlo, encontrar y descartar raíces extrañas a la ecuación original, lo que dará la solución deseada. Pero lo más frecuente es que las ecuaciones tengan una forma diferente. Si al mismo tiempo es posible transformarlos a una forma adecuada para aplicar el método de factorización, ¿por qué no intentar realizar las transformaciones adecuadas? Por ejemplo, para obtener el producto del lado izquierdo de la siguiente ecuación irracional, basta con recurrir a la diferencia de cuadrados.

Existe otra clase de ecuaciones que normalmente se resuelven mediante factorización. Incluye ecuaciones, cuyos lados son productos que tienen el mismo factor en forma de expresión con una variable. Esta es, por ejemplo, la ecuación irracional . Puedes ir dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo factor, pero no debes olvidar comprobar por separado los valores que hacen que estas expresiones se desvanezcan, de lo contrario puedes perder soluciones, porque al dividir ambos lados de la ecuación por la misma expresión puede haber una transformación desigual. Es más confiable utilizar el método de factorización; esto permite garantizar que las raíces no se perderán en el futuro al resolver correctamente. Está claro que para hacer esto, primero necesitas obtener el producto en el lado izquierdo de la ecuación y cero en el lado derecho. Es fácil: basta con mover la expresión de derecha a izquierda, cambiando su signo, y quitar el factor común de entre paréntesis. Mostremos la solución completa a una ecuación irracional similar, pero un poco más compleja.

Es útil comenzar a resolver cualquier ecuación (como, de hecho, resolver muchos otros problemas) encontrando la ODZ, especialmente si la ODZ es fácil de encontrar. Damos algunos de los argumentos más obvios a favor de esto.

Entonces, habiendo recibido la tarea de resolver una ecuación, no debes apresurarte a realizar transformaciones y cálculos sin mirar atrás, ¿tal vez solo mirar el ODZ? Esto se demuestra claramente mediante la siguiente ecuación irracional.

Método gráfico funcional

Método gráfico funcional- este es otro método general resolviendo ecuaciones. Como cualquier método general, permite resolver ecuaciones. varios tipos, en particular, se puede utilizar para resolver ecuaciones irracionales. Es esta aplicación del método gráfico funcional la que más nos interesa en el marco del presente artículo.

El método gráfico funcional involucra funciones, sus propiedades y gráficas en el proceso de resolución de ecuaciones. Esta es una herramienta muy poderosa. Y, como con cualquiera herramienta poderosa, se suele recurrir a él cuando las herramientas más sencillas no sirven.

Hay tres direcciones principales del método gráfico funcional para resolver ecuaciones:

• El primero es el uso de gráficas de funciones. Esta dirección se llama método gráfico.
• El segundo es el uso de las propiedades de funciones crecientes y decrecientes.
• El tercero es el uso de las propiedades de funciones limitadas. Probablemente bajo el método de evaluación, que en Últimamente De oído, entienden precisamente esta dirección del método gráfico funcional.

Estas tres direcciones permiten hacer frente a la gran mayoría de ecuaciones irracionales, para las cuales el método gráfico funcional es generalmente adecuado. En la secuencia especificada (el uso de gráficas, el uso de crecientes y decrecientes, el uso de propiedades de funciones limitadas) analizaremos las soluciones a los ejemplos más típicos.

Método gráfico

Entonces, comencemos con el método gráfico para resolver ecuaciones irracionales.

Según el método gráfico necesitas:

• en primer lugar, en un sistema de coordenadas, construya gráficas de las funciones f y g correspondientes a los lados izquierdo y derecho de la ecuación que se está resolviendo,
• en segundo lugar, según ellos posición relativa sacar conclusiones sobre las raíces de la ecuación:
  • si las gráficas de funciones no se cruzan, entonces la ecuación no tiene soluciones,
  • Si las gráficas de funciones tienen puntos de intersección, entonces las raíces de la ecuación son las abscisas de estos puntos.

Resolver ecuaciones irracionales a través de ODZ

Muy a menudo parte del proceso de resolución de ecuaciones es. Las razones que obligan a buscar DL pueden ser diferentes: es necesario realizar transformaciones de la ecuación, y ellas, como saben, se realizan en DL, el método de solución elegido implica encontrar DL, verificar usando DL , etc. Y en determinados casos, ODZ actúa no sólo como herramienta auxiliar o de control, sino que también permite obtener una solución a la ecuación. Aquí nos referimos a dos situaciones: cuando la ODZ es un conjunto vacío y cuando la ODZ es un conjunto finito de números.

Está claro que si la ODZ de una ecuación, en particular una irracional, es un conjunto vacío, entonces la ecuación no tiene soluciones. Entonces la ODZ de la variable x para la siguiente ecuación irracional es un conjunto vacío, lo que significa que la ecuación no tiene soluciones.

Cuando la ODZ de una variable para una ecuación es un conjunto finito de números, al verificar secuencialmente sustituyendo estos números, se puede obtener una solución a la ecuación. Por ejemplo, considere una ecuación irracional en la que ODZ consta de dos números y la sustitución muestra que solo uno de ellos es la raíz de la ecuación, de lo que se concluye que esta raíz es la única solución de la ecuación.

Resolver ecuaciones irracionales de la forma “fracción es igual a cero”

Cualquier ecuación de la forma “fracción es igual a cero”, en particular, irracional, sobre la ODZ de la variable x para esta ecuación es equivalente a la ecuación f(x)=0. De esta afirmación se siguen dos enfoques para resolver ecuaciones de este tipo:

Está claro que es mejor recurrir al primer método para resolver la ecuación cuando es más fácil encontrar la ODZ que resolver la ecuación f(x)=0. En este caso, ODZ puede resultar un conjunto vacío o constar de varios números, en estos casos será posible prescindir de resolver la ecuación f(x) = 0 (ver). Resolvamos una ecuación irracional típica.

El segundo enfoque para resolver la ecuación es preferible cuando resolver la ecuación f(x) = 0 es bastante fácil. Después de resolver la ecuación f(x)=0, solo queda comprobar las raíces encontradas, lo que suele realizarse de una de las siguientes formas:

• mediante sustitución en el denominador de la ecuación original, aquellas de las raíces encontradas que convierten el denominador en cero o en una expresión sin sentido no son raíces, y las raíces encontradas que convierten el denominador en un número distinto de cero son raíces de la ecuación original .
• directamente de la ODZ (cuando la ODZ se encuentra con bastante facilidad, mientras que el primer y segundo enfoque para resolver ecuaciones irracionales de la forma "fracción igual a cero" son prácticamente equivalentes), las raíces encontradas que pertenecen a la ODZ son raíces de la ecuación original, y los que no pertenecen, no lo son.
• o a través de las condiciones de la ODZ (a menudo es fácil escribir las condiciones que definen la ODZ, pero usarlas para encontrar la ODZ en forma de conjunto numérico es difícil), las de las raíces encontradas que satisfacen todas las condiciones. de la ODZ son las raíces de la ecuación original, el resto no lo son.

Ecuaciones irracionales que se reducen a igualdades numéricas.

Ir a módulos

Si en la notación de una ecuación irracional bajo el signo de una raíz de grado par hay un grado de alguna expresión con un exponente igual al exponente de la raíz, entonces puedes pasar al módulo. Esta transformación se produce gracias a una de las fórmulas, donde 2·m es un número par y a es un número real cualquiera. Vale la pena señalar que esta transformación es una transformación equivalente de la ecuación. De hecho, con tal transformación, la raíz se reemplaza por un módulo idénticamente igual, mientras que la ODZ no cambia.

Consideremos una ecuación irracional característica, que se puede resolver pasando al módulo.

¿Siempre vale la pena cambiar a módulos cuando sea posible? En la gran mayoría de los casos, dicha transición está justificada. La excepción son aquellos casos en los que es obvio que los métodos alternativos para resolver una ecuación irracional requieren relativamente menos trabajo. Tomemos una ecuación irracional que se puede resolver mediante la transición a módulos y algunos otros métodos, por ejemplo, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación o determinando la raíz, y veamos qué solución será la más simple y compacta.

En el ejemplo resuelto, la solución para determinar la raíz parece preferible: es más corta y más simple que la solución mediante la transición al módulo y la solución elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. ¿Podríamos haber sabido esto antes de resolver la ecuación usando los tres métodos? Seamos realistas, no era obvio. Entonces, cuando esté buscando varios métodos de solución y no esté claro de inmediato cuál preferir, debe intentar encontrar una solución con cualquiera de ellos. Si esto funciona, entonces bien. Si el método elegido no produce resultados o la solución resulta muy difícil, entonces deberías probar con otro método.

Al final de este punto, volvamos a la ecuación irracional. En el párrafo anterior ya lo resolvimos y vimos que un intento de resolverlo aislando el radical y elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación conducía a la igualdad numérica 0=0 y a la imposibilidad de sacar una conclusión sobre las raíces. Y la solución para determinar la raíz implicó resolver una desigualdad irracional, lo que en sí mismo es bastante difícil. Buen método La solución a esta ecuación irracional es ir a módulos. Demos una solución detallada.

Transformación de ecuaciones irracionales.

La solución de ecuaciones irracionales casi nunca está completa sin transformarlas. Cuando estudiamos ecuaciones irracionales, ya estamos familiarizados con las transformaciones equivalentes de ecuaciones. Al resolver ecuaciones irracionales, se utilizan de la misma forma que al resolver tipos de ecuaciones previamente estudiados. Viste ejemplos de tales transformaciones de ecuaciones irracionales en los párrafos anteriores y, como ves, se percibieron con bastante naturalidad, ya que nos son familiares. Arriba, también aprendimos sobre una nueva transformación para nosotros: elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia, lo cual es típico de las ecuaciones irracionales, en el caso general no es equivalente; Vale la pena hablar en detalle de todas estas transformaciones para conocer todos los puntos sutiles que surgen durante su implementación y evitar errores.

Analizaremos las transformaciones de ecuaciones irracionales en la siguiente secuencia:

1. Reemplazar expresiones con expresiones idénticamente iguales que no cambian la ODZ.
2. Sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación o restar el mismo número a ambos lados de una ecuación.
3. Sumar la misma expresión, que no cambia el valor de la propiedad, a ambos lados de una ecuación, o restar la misma expresión, que no cambia el valor de la propiedad, de ambos lados de la ecuación.
4. Transferir términos de un lado de la ecuación a otro con signo opuesto.
5. Multiplicar y dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero.
6. Multiplicar y dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión, que no cambia el rango de valores permitidos de la variable y no llega a cero en ella.
7. Elevando ambos lados de una ecuación a la misma potencia.

Entonces, se describe la gama de preguntas. Empecemos a entenderlos con ejemplos.

La primera transformación que nos interesa es la sustitución de expresiones en la ecuación por expresiones idénticamente iguales. Sabemos que es equivalente si el VA de la ecuación obtenida como resultado de la transformación es el mismo que el VA de la ecuación original. De esto se desprende claramente que hay dos razones principales para la aparición de errores al realizar esta transformación: la primera es un cambio en el OD que se produce como resultado de la transformación, la segunda es la sustitución de una expresión por una expresión. que no es idénticamente igual a él. Examinemos estos aspectos en detalle y en orden, considerando ejemplos de transformaciones típicas de este tipo.

En primer lugar, repasemos las típicas transformaciones de ecuaciones, que consisten en sustituir una expresión por otra idénticamente igual, que siempre son equivalentes. Aquí está la lista relevante.

• Reorganización de términos y factores. Esta transformación se puede realizar tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la ecuación irracional. Se puede utilizar, por ejemplo, para agrupar y luego reducir términos similares para simplificar la forma de la ecuación. Reordenar términos o factores es obviamente una transformación equivalente de la ecuación. Esto es comprensible: la expresión original y la expresión con los términos o factores reordenados son idénticamente iguales (si, por supuesto, el reordenamiento se realiza correctamente), y es obvio que tal transformación no cambia la ODZ. Pongamos un ejemplo. En el lado izquierdo de la ecuación irracional en el producto x·3·x, puedes intercambiar el primer y segundo factor x y 3, lo que posteriormente te permitirá representar el polinomio bajo el signo de la raíz en una forma estándar. Y en el lado derecho de la ecuación en la suma 4+x+5, puedes intercambiar los términos 4 y x, lo que en el futuro te permitirá sumar los números 4 y 5. Después de estos reordenamientos, la ecuación irracional tomará la forma , la ecuación resultante es equivalente a la original.
• Ampliando paréntesis. La equivalencia de esta transformación de ecuaciones es obvia: las expresiones antes y después de abrir los corchetes son idénticamente iguales y tienen el mismo rango de valores permitidos. Por ejemplo, tomemos la ecuación irracional . Su solución requiere abrir los paréntesis. Abriendo los corchetes del lado izquierdo de la ecuación, así como del lado derecho de la ecuación, llegamos a una ecuación equivalente.
• Agrupación de términos y/o factores. Esta transformación de una ecuación representa esencialmente el reemplazo de cualquier expresión que forme parte de la ecuación por una expresión idénticamente igual con términos o factores agrupados. Obviamente, esto no cambia la ODZ. Esto significa que la transformación indicada de la ecuación es equivalente. A modo de ilustración, tomemos una ecuación irracional. Reordenar los términos (hablamos de ello dos párrafos arriba) y agruparlos nos permite pasar a una ecuación equivalente. El propósito de tal agrupación de términos es claramente visible: realizar la siguiente transformación equivalente, que permitirá introducir una nueva variable.
• Dejando entre paréntesis el factor común. Está claro que las expresiones antes de poner el factor común entre paréntesis y después de poner el factor común entre paréntesis son idénticamente iguales. También está claro que quitar el factor común entre paréntesis no cambia el VA. Por lo tanto, sacar el factor común entre paréntesis en una expresión que forma parte de una ecuación es una transformación equivalente de la ecuación. Esta transformación se utiliza, por ejemplo, para representar el lado izquierdo de una ecuación como producto para poder resolverla por factorización. He aquí un ejemplo concreto. Considere la ecuación irracional. El lado izquierdo de esta ecuación se puede representar como un producto; para hacer esto, debes quitar el factor común entre paréntesis. Como resultado de esta transformación, se obtendrá la ecuación irracional. , equivalente al original, que se puede resolver mediante factorización.
• Reemplazar expresiones numéricas con sus valores. Está claro que si la ecuación contiene una determinada expresión numérica y reemplazamos esta expresión numérica con su valor (calculado correctamente), dicho reemplazo será equivalente. De hecho, en esencia, una expresión se reemplaza por una expresión idénticamente igual y, al mismo tiempo, la ODZ de la ecuación no cambia. Por lo tanto, reemplazando en la ecuación irracional la suma de dos números −3 y 1 y el valor de esta suma, que es igual a −2, obtenemos una ecuación irracional equivalente. De manera similar, se puede realizar una transformación equivalente de la ecuación irracional , realizando operaciones con números bajo el signo raíz (1+2=3 y ), esta transformación nos llevará a la ecuación equivalente .
• Realizar operaciones con monomios y polinomios encontrados en la notación de una ecuación irracional. Está claro que ejecución correcta estas acciones conducirán a una ecuación equivalente. De hecho, en este caso la expresión será reemplazada por una expresión idénticamente igual y la OD no cambiará. Por ejemplo, en la ecuación irracional puedes sumar los monomios x 2 y 3 x 2 y pasar a la ecuación equivalente . Otro ejemplo: restar polinomios en el lado izquierdo de una ecuación irracional es una transformación equivalente que conduce a una ecuación equivalente .

Seguimos considerando transformaciones de ecuaciones, que consisten en reemplazar expresiones por expresiones idénticamente iguales. Estas transformaciones también pueden ser desiguales, ya que pueden cambiar la ODZ. En particular, puede haber una expansión de ODZ. Esto puede ocurrir al reducir términos similares, al reducir fracciones, al reemplazar un producto con varios factores cero o una fracción con un numerador igual a cero por cero y, con mayor frecuencia, cuando se usan fórmulas correspondientes a las propiedades de las raíces. Por cierto, el uso descuidado de las propiedades de las raíces también puede provocar un estrechamiento de la ODZ. Y si las transformaciones que expanden la ODZ son aceptables al resolver ecuaciones (pueden provocar la aparición de raíces extrañas, que se eliminan de cierta manera), entonces se deben abandonar las transformaciones que reducen la ODZ, ya que pueden provocar la pérdida de raíces. Detengámonos en estos puntos.

La primera ecuación irracional es . Su solución comienza transformando la ecuación a la forma basado en una de las propiedades de los grados. Esta transformación es equivalente, ya que la expresión se reemplaza por una expresión idénticamente igual y la ODZ no cambia. Pero la siguiente transición a la ecuación, realizada sobre la base de la definición de la raíz, puede ser ya una transformación desigual de la ecuación, ya que con tal transformación se expande la ODZ. Mostremos la solución completa a esta ecuación.

La segunda ecuación irracional, muy adecuada para ilustrar que las transformaciones de ecuaciones irracionales que utilizan las propiedades de las raíces y la definición de raíz pueden ser desiguales, tiene la forma . Es bueno si no te permites iniciar la solución de esta manera.

Más o menos

Empecemos por el primer caso. La primera transformación es la transición de la ecuación irracional original. a la ecuación consiste en sustituir la expresión x+3 por la expresión . Estas expresiones son idénticamente iguales. Pero con tal reemplazo, la ODZ se reduce del conjunto (−∞, −3)∪[−1, +∞) al conjunto [−1, +∞) . Y acordamos abandonar las reformas que estrechan la DLZ, ya que pueden provocar la pérdida de raíces.

¿Qué pasa en el segundo caso? La expansión de ODZ durante la última transición de al número −3? No solo esto. De gran preocupación es la primera transición de la ecuación irracional original. a la ecuación . La esencia de esta transición es la sustitución de la expresión x+3 por la expresión . Pero estas expresiones no son idénticamente iguales: para x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , de lo que se deduce que .

Entonces, ¿cómo resolver esta ecuación irracional? ? Aquí es mejor introducir inmediatamente una nueva variable. , en este caso (x+3)·(x+1)=t 2. Demos una solución detallada.

Resumamos la primera de las transformaciones de ecuaciones que se analizan: reemplazar una expresión que forma parte de una ecuación con una expresión idéntica a ella. Cada vez que se lleva a cabo, es necesario cumplir dos condiciones: primero, que la expresión sea reemplazada por una expresión idénticamente igual, y segundo, que no se produzca un estrechamiento de la ODZ. Si tal reemplazo no cambia la ODZ, entonces el resultado de la transformación será una ecuación equivalente. Si durante dicho reemplazo la ODZ se expande, pueden aparecer raíces extrañas y se debe tener cuidado de filtrarlas.

Pasemos a la segunda transformación de la lista: sumar el mismo número a ambos lados de la ecuación y restar el mismo número a ambos lados de la ecuación. Esta es una transformación equivalente de la ecuación. Normalmente recurrimos a él cuando hay números idénticos en el lado izquierdo y derecho de la ecuación; restar estos números en ambos lados de la ecuación nos permite deshacernos de ellos en el futuro. Por ejemplo, tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la ecuación irracional hay un término 3. Restar un triple de ambos lados de la ecuación da como resultado una ecuación que, después de realizar manipulaciones con números, toma la forma y simplificado aún más a . Según el resultado, la transformación en cuestión tiene algo en común con la transferencia de un término de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto, pero hablaremos de esta transformación un poco más adelante. Hay otros ejemplos del uso de esta transformación. Por ejemplo, en una ecuación irracional, es necesario sumar el número 3 a ambos lados para organizar un cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación y transformar aún más la ecuación para introducir una nueva variable.

Una generalización de la transformación que acabamos de comentar es sumar a ambos lados de la ecuación o restar la misma expresión de ambos lados de la ecuación. Esta transformación de ecuaciones es equivalente cuando la ODZ no cambia. Esta transformación se lleva a cabo principalmente para deshacerse posteriormente de términos idénticos que se encuentran simultáneamente en el lado izquierdo y derecho de la ecuación. Pongamos un ejemplo. Supongamos que tenemos una ecuación irracional. Es obvio que hay un término tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la ecuación. Es razonable restar esta expresión de ambos lados de la ecuación: . En nuestro caso, dicha transición no cambia la ODZ, por lo que la transformación realizada es equivalente. Y esto se hace para pasar a una ecuación irracional más simple.

La siguiente transformación de ecuaciones, que abordaremos en este párrafo, es la transferencia de términos de una parte de la ecuación a otra con el signo opuesto. Esta transformación de la ecuación es siempre equivalente. El ámbito de su aplicación es bastante amplio. Con su ayuda, puede, por ejemplo, aislar el radical o reunir términos similares en una parte de la ecuación, para luego reducirlos y así simplificar la forma de la ecuación. Pongamos un ejemplo. Para resolver una ecuación irracional puedes mover los términos −1 hacia el lado derecho, cambiando su signo, esto dará una ecuación equivalente , que se puede resolver aún más, por ejemplo, elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación.

Avanzamos en el camino de considerar transformaciones de ecuaciones para multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero. Esta transformación es una transformación equivalente de la ecuación. Multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número se utiliza principalmente para pasar de fracciones a números enteros. Por ejemplo, de modo que en la ecuación irracional Para deshacerte de las fracciones, debes multiplicar ambas partes por 8, lo que da una ecuación equivalente. , que se reduce aún más a la forma . La división de ambos lados de la ecuación se realiza principalmente con el fin de reducir los coeficientes numéricos. Por ejemplo, ambos lados de la ecuación irracional Es recomendable dividir por los coeficientes numéricos 18 y 12, es decir por 6, dicha división da una ecuación equivalente , de donde luego podemos pasar a la ecuación , que tiene coeficientes más pequeños, pero también enteros.

La siguiente transformación de una ecuación es multiplicar y dividir ambos lados de la ecuación por la misma expresión. Esta transformación es equivalente cuando la expresión mediante la cual se realiza la multiplicación o división no cambia el rango de valores permitidos de la variable y no llega a cero en ella. Normalmente, multiplicar ambos lados por la misma expresión es similar a multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número. La mayoría de las veces, se recurre a esta transformación para deshacerse de las fracciones mediante transformaciones adicionales. Demostremos esto con un ejemplo.

No ignoraremos las ecuaciones irracionales, para cuya solución tenemos que recurrir a dividir ambos lados de la ecuación por la misma expresión. Hemos observado un poco más arriba que tal división es una transformación equivalente si no afecta a la ODZ y esta expresión en la ODZ no desaparece. Pero a veces la división tiene que llevarse a cabo mediante una expresión que desaparece en la ODZ. Esto es muy posible de hacer si al mismo tiempo verificas por separado los ceros de esta expresión para ver si hay raíces de la ecuación que se está resolviendo entre ellos; de lo contrario, estas raíces pueden perderse durante dicha división.

La última transformación de ecuaciones irracionales que abordaremos en este párrafo es elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia. Esta transformación se puede llamar típica de ecuaciones irracionales, ya que prácticamente no se utiliza para resolver ecuaciones de otro tipo. Ya hemos mencionado esta transformación en el artículo actual, cuando examinamos. También hay muchos ejemplos de esta transformación. No nos repetiremos aquí, sólo recordaremos que en el caso general esta transformación no es equivalente. Puede provocar la aparición de raíces extrañas. Por lo tanto, si durante el proceso de solución recurrimos a esta transformación, entonces se deben verificar las raíces encontradas para detectar la presencia de raíces extrañas entre ellas.

Sobre perder raíces

¿Qué puede provocar la pérdida de raíces al resolver una ecuación? La razón principal de la pérdida de raíces es la transformación de la ecuación, que estrecha la OD. Para entender este punto, veamos un ejemplo.

Tomemos la ecuación irracional , que ya hemos solucionado en el artículo actual. Comenzamos a resolverlo con una advertencia contra la realización de las siguientes transformaciones de la ecuación

La primera transformación es la transición de la ecuación. a la ecuación – estrecha la ODZ. De hecho, la ODZ para la ecuación original es (−∞, −3)∪[−1, +∞) y para la ecuación resultante es [−1, +∞) . Esto implica la exclusión del intervalo (−∞, −3) de la consideración y, como consecuencia, la pérdida de todas las raíces de la ecuación de este intervalo. En nuestro caso, al realizar esta transformación se perderán todas las raíces de la ecuación, de las cuales son dos y .

Entonces, si la transformación de una ecuación conduce a un estrechamiento de la OD, entonces se perderán todas las raíces de la ecuación ubicadas en la parte en la que ocurrió el estrechamiento. Por eso llamamos a no recurrir a reformas que estrechen la ZD. Sin embargo, hay una advertencia.

Esta cláusula se aplica a transformaciones en las que la ODZ se reduce en uno o más números. La transformación más típica, en la que varios números individuales salen de la ODZ, es la división de ambos lados de la ecuación por la misma expresión. Está claro que al realizar tal transformación, solo se pueden perder las raíces que se encuentran entre este conjunto finito de números que desaparecen al estrechar la ODZ. Por lo tanto, si verifica por separado todos los números en este conjunto para ver si hay raíces de la ecuación que se está resolviendo entre ellos, por ejemplo, mediante sustitución, e incluye las raíces encontradas en la respuesta, entonces podrá realizar la transformación deseada. sin miedo a perder raíces. Ilustremos esto con un ejemplo.

Consideremos la ecuación irracional, que también ya ha sido resuelta en el párrafo anterior. Para resolver esta ecuación introduciendo una nueva variable, es útil dividir primero ambos lados de la ecuación por 1+x. Con esta división el número −1 sale de la ODZ. Al sustituir este valor en la ecuación original se obtiene la igualdad numérica incorrecta (), lo que significa que −1 no es la raíz de la ecuación. Después de dicha verificación, podrá realizar de manera segura la división deseada sin temor a perder la raíz.

Como conclusión de este punto, observamos que la mayoría de las veces, al resolver ecuaciones irracionales, la división de ambos lados de la ecuación por la misma expresión, así como las transformaciones basadas en las propiedades de las raíces, conducen a un estrechamiento de la OD. Por lo tanto, al realizar tales transformaciones, debe tener mucho cuidado y no permitir que se pierdan las raíces.

Sobre raíces extrañas y métodos para eliminarlas

La solución de la abrumadora cantidad de ecuaciones se lleva a cabo mediante la transformación de ecuaciones. Ciertas transformaciones pueden conducir a ecuaciones corolarias, y entre las soluciones de la ecuación corolaria puede haber raíces que son ajenas a la ecuación original. Las raíces extrañas no son raíces de la ecuación original, por lo tanto, no deberían aparecer en la respuesta. En otras palabras, hay que eliminarlos.

Entonces, si en la cadena de transformaciones de la ecuación que se está resolviendo hay al menos una ecuación corolaria, entonces debes encargarte de detectar y filtrar raíces extrañas.

Los métodos para detectar y descartar raíces extrañas dependen de las causas que provocan su posible aparición. Y hay dos razones para la posible aparición de raíces extrañas al resolver ecuaciones irracionales: la primera es la expansión de la ODZ como resultado de la transformación de la ecuación, la segunda es el aumento de ambos lados de la ecuación a una potencia par. Veamos los métodos correspondientes.

Comencemos con los métodos para filtrar raíces extrañas, cuando el motivo de su posible aparición es solo la expansión de la ODZ. En este caso, la detección de raíces extrañas se realiza de una de las tres formas siguientes:

• Según ODZ. Para ello, se encuentra la ODZ de la variable para la ecuación original y se verifica la pertenencia de las raíces encontradas. Aquellas raíces que pertenecen a la ODZ son raíces de la ecuación original, y aquellas que no pertenecen a la ODZ son raíces extrañas a la ecuación original.
• A través de las condiciones de ODZ. Se anotan las condiciones que determinan la ODZ de la variable para la ecuación original y se sustituyen en ellas las raíces encontradas una por una. Aquellas raíces que satisfacen todas las condiciones son raíces, y aquellas que no satisfacen al menos una condición son raíces extrañas a la ecuación original.
• Mediante sustitución en la ecuación original (o en cualquier ecuación equivalente). Las raíces encontradas se sustituyen a su vez en la ecuación original, aquellas de ellas, tras la sustitución de las cuales la ecuación se convierte en una igualdad numérica correcta, son raíces, y aquellas de ellas, tras la sustitución se obtiene una expresión que no tiene sentido. , son raíces extrañas a la ecuación original.

Al resolver la siguiente ecuación irracional, filtremos las raíces extrañas utilizando cada uno de los métodos indicados para tener una idea general de cada una de ellas.

Está claro que no identificaremos y eliminaremos raíces extrañas cada vez utilizando todos los métodos conocidos. Para eliminar raíces extrañas elegiremos el método más adecuado en cada caso concreto. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo, es más conveniente filtrar raíces extrañas a través de las condiciones de ODZ, ya que en estas condiciones es difícil encontrar ODZ en forma de un conjunto numérico.

Ahora hablemos de filtrar raíces extrañas, cuando la resolución de una ecuación irracional se lleva a cabo elevando ambos lados de la ecuación a una potencia par. Aquí, examinar ODZ o las condiciones de ODZ ya no ayudará, ya que no nos permitirá eliminar raíces extrañas que surgen por otra razón: debido a que ambos lados de la ecuación se elevan a la misma potencia uniforme. ¿Por qué aparecen raíces extrañas cuando ambos lados de una ecuación se elevan a la misma potencia par? La aparición de raíces extrañas en este caso se debe al hecho de que elevar ambas partes de una igualdad numérica incorrecta a la misma potencia par puede dar una igualdad numérica correcta. Por ejemplo, la igualdad numérica incorrecta 3=−3 después de elevar al cuadrado ambos lados se convierte en la igualdad numérica correcta 3 2 =(−3) 2, que es lo mismo que 9=9.

Hemos descubierto las razones de la aparición de raíces extrañas al elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia. Queda por indicar cómo se eliminan las raíces extrañas en este caso. La selección se lleva a cabo principalmente sustituyendo las raíces potenciales encontradas en la ecuación original o en cualquier ecuación equivalente a ella. Demostremos esto con un ejemplo.

Pero vale la pena tener en cuenta un método más que le permite eliminar raíces extrañas en los casos en que ambos lados de una ecuación irracional con un radical solitario se elevan a la misma potencia par. Al resolver ecuaciones irracionales , donde 2·k es un número par, al elevar ambos lados de las ecuaciones a la misma potencia, se pueden eliminar raíces extrañas mediante la condición g(x)≥0 (es decir, resolver realmente una ecuación irracional determinando el raíz). Este método a menudo viene al rescate cuando filtrar raíces extrañas mediante sustitución implica cálculos complejos. El siguiente ejemplo es una buena ilustración de esto.

Literatura

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