तीन सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

एक। मान लीजिए कि दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। ये सीधी रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में दर्शाया गया है, विभिन्न सकारात्मक और नकारात्मक कोण बनाती हैं, जो न्यून या अधिक कोण हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम आसानी से कोई दूसरा कोण ढूंढ सकते हैं।

वैसे, इन सभी कोनों पर अंकीय मूल्यस्पर्शरेखा वही है, अंतर केवल संकेत में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण. संख्याएँ पहली और दूसरी सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के प्रक्षेपण हैं। इन सदिशों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों में से एक के बराबर होता है। इसलिए, समस्या सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने की है। हम पाते हैं

सरलता के लिए, हम इस बात से सहमत हो सकते हैं कि दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण एक न्यून धनात्मक कोण होता है (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर ऋण चिह्न है, तो हमें इसे हटा देना चाहिए, अर्थात, केवल निरपेक्ष मान को बचाना चाहिए।

उदाहरण। सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाए कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो, हमेशा कोण की दिशा को वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्र (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि चित्र से देखना आसान है। 53, सूत्र (1) के दाईं ओर प्राप्त चिह्न इंगित करेगा कि पहली के साथ दूसरी सीधी रेखा किस प्रकार का कोण बनाती है - न्यून या अधिक।

(वास्तव में, चित्र 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा वाले वैक्टर के बीच का कोण या तो सीधी रेखाओं के बीच वांछित कोण के बराबर है, या इससे ±180° भिन्न है।)

डी। यदि रेखाएँ समान्तर हैं, तो उनके दिशा सदिश भी समांतर हैं। दो सदिशों की समांतरता की शर्त लागू करने पर, हम पाते हैं!

दो रेखाओं की समानता के लिए यह एक आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। प्रत्यक्ष

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं तो उनके दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों की लंबवतता की शर्त को लागू करने पर, हमें दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति प्राप्त होती है, अर्थात्

उदाहरण। प्रत्यक्ष

इस तथ्य के कारण लंबवत हैं

समांतरता और लंबवतता की स्थितियों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं का समाधान करेंगे।

एफ। दी गई रेखा के समानांतर एक बिंदु से होकर एक रेखा खींचिए

समाधान इस प्रकार किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा इसके समानांतर है, तो इसके दिशा वेक्टर के लिए हम दी गई रेखा के समान ही ले सकते हैं, यानी, प्रक्षेपण ए और बी के साथ एक वेक्टर और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा प्रपत्र (§ 1)

उदाहरण। रेखा के समानांतर बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लंबवत बिंदु से होकर एक रेखा खींचिए

यहां वेक्टर को प्रक्षेपण ए के साथ और मार्गदर्शक वेक्टर के रूप में लेना अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन वेक्टर को इसके लंबवत लेना आवश्यक है। इसलिए इस वेक्टर के प्रक्षेपणों को दोनों वैक्टरों की लंबवतता की स्थिति के अनुसार चुना जाना चाहिए, यानी स्थिति के अनुसार

इस शर्त को अनगिनत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन सबसे आसान तरीका यह है कि या तो वांछित रेखा के समीकरण को फॉर्म में लिखा जाएगा

उदाहरण। लंब रेखा में बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ प्रपत्र के समीकरणों द्वारा दी गई हों

मैं संक्षेप में बताऊंगा. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कोण के बराबरउनके दिशा सदिशों के बीच। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a = (x 1 ; y 1 ; z 1) और b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) के निर्देशांक ढूंढने में कामयाब होते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण की कोज्या:

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह सूत्र कैसे काम करता है:

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में, बिंदु E और F अंकित हैं - क्रमशः किनारों A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूँकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, आइए AB = 1 सेट करें। हम एक मानक समन्वय प्रणाली प्रस्तुत करते हैं: मूल बिंदु A पर है, x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के अनुदिश निर्देशित हैं। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। आइए अब अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

आइए वेक्टर AE के निर्देशांक ज्ञात करें। इसके लिए हमें अंक A = (0; 0; 0) और E = (0.5; 0; 1) चाहिए। चूँकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब आइए BF वेक्टर को देखें। इसी प्रकार, हम बिंदु B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि F, खंड B 1 C 1 का मध्य है। हमारे पास है:
बीएफ = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

तो, दिशा सदिश तैयार हैं। सीधी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

काम। एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E चिह्नित हैं - क्रमशः किनारों A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु। रेखाओं AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x अक्ष AB के अनुदिश निर्देशित है, z - AA 1 के अनुदिश है। आइए y-अक्ष को निर्देशित करें ताकि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। आइए आवश्यक रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए सदिश AD के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: A = (0; 0; 0) और D = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 का मध्य। चूँकि वेक्टर AD की शुरुआत निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, हमें AD = (0.5; 0; 1) प्राप्त होता है।

आइए अब वेक्टर BE के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदु बी = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु E के साथ - खंड C 1 B 1 का मध्य - यह थोड़ा अधिक जटिल है। हमारे पास है:

कोण की कोज्या ज्ञात करना बाकी है:

काम। एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु K और L चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः A 1 B 1 और B 1 C 1 . रेखाओं AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करें: हम निर्देशांक की उत्पत्ति को निचले आधार के केंद्र में रखते हैं, एक्स अक्ष को एफसी के साथ निर्देशित किया जाता है, वाई अक्ष को खंड एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से निर्देशित किया जाता है, और जेड अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड फिर से एबी = 1 के बराबर है। आइए हमारे लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा सदिशों AK और BL के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

काम। सही चतुर्भुज पिरामिडएसएबीसीडी, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु ई और एफ चिह्नित हैं - क्रमशः एसबी और एससी पक्षों के मध्य बिंदु। रेखाओं AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

आइए एक मानक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x और y अक्ष क्रमशः AB और AD के अनुदिश निर्देशित हैं, और z अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

बिंदु ई और एफ क्रमशः खंड एसबी और एससी के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। आइए हमारी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर एई और बीएफ के निर्देशांक पाते हैं:

वेक्टर AE के निर्देशांक बिंदु E के निर्देशांक से मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु A मूल बिंदु है। कोण की कोज्या ज्ञात करना बाकी है:

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, तो तेज़ कोनेइन सीधी रेखाओं के बीच को इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा

यदि k 1 = k 2 है तो दो रेखाएँ समानांतर हैं। यदि k 1 = -1/ k 2 है तो दो रेखाएँ लंबवत हैं।

प्रमेय.रेखाएँ Ax + Bу + C = 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 = λA, B 1 = λB आनुपातिक हैं। यदि C 1 = λC भी है, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

किसी दी गई रेखा के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली और सीधी रेखा y = kx + b के लंबवत एक सीधी रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय.यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा Ax + Bу + C = 0 की दूरी इस प्रकार निर्धारित की जाती है

.

सबूत।मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

समीकरणों की प्रणाली को हल करके निर्देशांक x 1 और y 1 पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण इससे गुजरने वाली रेखा का समीकरण है दिया गया बिंदु M 0 किसी दी गई सीधी रेखा पर लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

के 1 = -3; के 2 = 2; टीजीφ = ; φ= पी /4.

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x – 5y + 7 = 0 और 10x + 6y – 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 x = 6 y – 6;

2 एक्स - 3 वाई + 3 = 0;

आवश्यक ऊँचाई समीकरण का रूप है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। क = . फिर y = . क्योंकि ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहाँ से b = 17. कुल: .

उत्तर: 3 x + 2 y – 34 = 0.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस दिशा में. दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण. दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण. दो सीधी रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) किसी दी गई दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे किरण केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और बी(एक्स 2 , य 2), इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का कोणीय गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा घूमनी चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ जब तक कि यह दूसरी रेखा से मेल न खा जाए बी. यदि दो सीधी रेखाएँ ढलान वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं

य = क 1 एक्स + बी 1 ,

य = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

फिर उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंश के अंश में, पहली पंक्ति का ढलान दूसरी पंक्ति के ढलान से घटाया जाता है।

यदि किसी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य रूप से देखें

ए 1 एक्स + बी 1 य + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 य + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्तें:

ए) यदि रेखाएं कोणीय गुणांक के साथ समीकरण (4) द्वारा दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके कोणीय गुणांक की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

बी) उस स्थिति के लिए जब रेखाएं सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, उनकी समानता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक के गुणांक आनुपातिक हैं, यानी।

5. दो सीधी रेखाओं की लंबवतता के लिए शर्तें:

ए) उस स्थिति में जब रेखाएं कोणीय गुणांक के साथ समीकरण (4) द्वारा दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके कोणीय गुणांक परिमाण में व्युत्क्रम और चिह्न में विपरीत हों, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

बी) यदि रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनकी लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की शर्त समानता को संतुष्ट करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों (6) की प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं। रेखाएँ (6) यदि और केवल यदि प्रतिच्छेद करती हैं

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक दी गई रेखा l के समानांतर और दूसरी लंबवत है।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह... ठीक है, यह कठिन है, जैसे कि वह खुद को एक वाक्य पढ़ रहा था =) हालांकि, आराम बाद में मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं प्रसन्नचित्त मूड बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

यह वह स्थिति है जब श्रोता समवेत स्वर में गाते हैं। दो सीधी रेखाएँ हो सकती हैं:

1) मिलान;

2) समानांतर रहें: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

नौसिखियों के लिए सहायता : कृपया गणितीय प्रतिच्छेदन चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार दिखाई देगा। अंकन का अर्थ है कि रेखा रेखा के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति कैसे ज्ञात करें?

आइए पहले मामले से शुरू करें:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हों, अर्थात, एक संख्या "लैम्ब्डा" ऐसी है जिससे समानताएं संतुष्ट होती हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संबंधित गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं:। प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (चिह्न बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से घटाने पर आपको वही समीकरण प्राप्त होता है:।

दूसरा मामला, जब रेखाएँ समानांतर हों:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक हों: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के लिए संगत गुणांकों की आनुपातिकता की जाँच करते हैं:

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि.

और तीसरा मामला, जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके चरों के गुणांक आनुपातिक न हों, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का कोई ऐसा मूल्य नहीं है जिससे समानताएँ संतुष्ट हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली बनाएंगे:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, और दूसरे समीकरण से:, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, आप अभी चर्चा की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिदम की बहुत याद दिलाता है, जिसे हमने कक्षा में देखा था सदिशों की रैखिक (इन)निर्भरता की अवधारणा। सदिशों का आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग भी है:

उदाहरण 1

हिसाब लगाना आपसी व्यवस्थाप्रत्यक्ष:

समाधानसीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात करते हैं: .

, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस किसी मामले में, मैं चौराहे पर संकेतों वाला एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द इम्मोर्टल की ओर =)

बी) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

रेखाओं का दिशा सदिश समान है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। यहां निर्धारक को गिनने की कोई आवश्यकता नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, और।

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" को सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से देखना आसान है। हालाँकि, इसे स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब आइए जानें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त पद शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (सामान्य तौर पर कोई भी संख्या इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप मौखिक रूप से चर्चा की गई समस्या को कुछ ही सेकंड में शाब्दिक रूप से हल करना सीख जाएंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे कुछ भी पेश करने का कोई मतलब नहीं दिखता स्वतंत्र निर्णय, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा कैसे बनाएं?

इस सरलतम कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल द रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान: आइए अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। स्थिति उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "त्से" का दिशा वेक्टर भी सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक परीक्षण में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जांचते हैं कि रेखाओं का दिशा सदिश समान है (यदि रेखा के समीकरण को ठीक से सरल नहीं किया गया है, तो सदिश संरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में, विश्लेषणात्मक परीक्षण आसानी से मौखिक रूप से किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को देखें, और आप में से कई लोग बिना किसी रेखांकन के तुरंत ही रेखाओं की समानता निर्धारित कर लेंगे।

आज स्वतंत्र समाधान के उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा से प्रतिस्पर्धा करनी होगी, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों की प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समांतर किसी बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

इसे हल करने का एक तर्कसंगत और उतना तर्कसंगत तरीका नहीं है। अधिकांश छोटा रास्ता- पाठ के अंत में.

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। संपाती रेखाओं का मामला कम दिलचस्प है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जिससे आप परिचित हैं स्कूल के पाठ्यक्रम:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा है बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, तो इसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें? सिस्टम को हल करें.

हेयर यू गो दो की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथ- ये एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी (अक्सर) रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक।

ग्राफ़िकल विधि में केवल दी गई रेखाएँ खींचना और चित्र से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है: . जांचने के लिए, आपको रेखा के प्रत्येक समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहां और वहां दोनों जगह फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का एक समाधान हैं। मूलतः, हमने एक ग्राफ़िकल समाधान पर ध्यान दिया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों, दो अज्ञात के साथ।

बेशक, ग्राफ़िकल विधि ख़राब नहीं है, लेकिन इसमें ध्यान देने योग्य नुकसान भी हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक ड्राइंग बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाओं का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें साम्राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों को पद-दर-पद जोड़ने की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, एक सबक लें समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

जाँच तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

पाठ के दूसरे भाग तक पहुंचने से पहले एक जोड़ी जूते भी खराब नहीं हुए थे:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरुआत करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि इसके समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे बनाएं?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली रेखा पर लंबवत एक समीकरण लिखें।

समाधान: शर्त से पता चलता है कि. रेखा का निर्देशन सदिश ढूंढ़ना अच्छा रहेगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटाते हैं":, जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय रेखाचित्र का विस्तार करें:

हम्म्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊँट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) हम समीकरणों से दिशा सदिश निकालते हैं और मदद से सदिशों का अदिश गुणनफलहम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

परीक्षण, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात है तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और अवधि.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए बिंदुवार समाधान तैयार करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे छोटे रास्ते से उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आगे बढ़ना होगा। अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से दर्शाया जाता है यूनानी अक्षर"ro", उदाहरण के लिए: - बिंदु "em" से सीधी रेखा "de" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको बस सूत्र में संख्याओं को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना और गणना करना है:

उत्तर:

आइए चित्र बनाएं:

बिंदु से रेखा तक की पाई गई दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर है। यदि आप एक चित्र बनाते हैं चेकदार कागज 1 इकाई के पैमाने पर. = 1 सेमी (2 सेल), तो दूरी एक साधारण रूलर से मापी जा सकती है।

आइए उसी ड्राइंग के आधार पर एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है जो सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु के सममित है . मैं चरणों को स्वयं निष्पादित करने का सुझाव देता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक ऐसी रेखा खोजें जो रेखा पर लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य और एक सिरे के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम देखतें है ।

यह जांचना एक अच्छा विचार होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना करने में कठिनाइयां आ सकती हैं, लेकिन टावर में एक माइक्रोकैलकुलेटर एक बड़ी मदद है, जिससे आप गणना कर सकते हैं सामान्य भिन्न. मैंने तुम्हें कई बार सलाह दी है और फिर भी तुम्हें सलाह दूँगा।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं निर्णय लेने का एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा संकेत देता हूँ: इसे हल करने के अनंत तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग, लेकिन स्वयं अनुमान लगाने का प्रयास करना बेहतर होगा, मुझे लगता है कि आपकी सरलता अच्छी तरह से विकसित थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोना एक चौखट है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता है। चित्र में, लाल चाप द्वारा दर्शाए गए कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत दिशा में उन्मुख"रास्पबेरी" कोने.

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो चारों कोणों में से किसी एक को उनके बीच का कोण माना जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, जिस दिशा में कोण को "स्क्रॉल" किया जाता है वह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए यदि।

मैंने तुम्हें यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि हम कोण की सामान्य अवधारणा से काम चला सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोण ज्ञात करेंगे उनका परिणाम आसानी से नकारात्मक हो सकता है, और इससे आपको आश्चर्य नहीं होना चाहिए। ऋण चिह्न वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ होता है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

आइए सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा परिभाषित दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा है लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम हर पर पूरा ध्यान दें - यह बिल्कुल यही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर शून्य हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण दिया गया था।

उपरोक्त के आधार पर, समाधान को दो चरणों में औपचारिक बनाना सुविधाजनक है:

1) आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम आर्कटेंजेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

आपके उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) इंगित करते हैं।

खैर, माइनस, माइनस, कोई बड़ी बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास वाला निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहला नंबर एक सीधी रेखा है और कोण का "अनस्क्रूइंग" ठीक इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको रेखाओं को स्वैप करना होगा, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना होगा , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरुआत करने की आवश्यकता है .

कोणअंतरिक्ष में रेखाओं के बीच हम इनमें से किसी एक को कॉल करेंगे आसन्न कोने, डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ दी गई हैं:

जाहिर है, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि, सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

दो सीधी रेखाओं की समानता और लंबवतता की स्थितियाँ उनके दिशा सदिशों की समानता और लंबवतता की स्थितियों के बराबर हैं और:

दो सीधे समानांतरयदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात एल 1 समानांतर एल 2 यदि और केवल यदि समानांतर हो .

दो सीधे सीधायदि और केवल यदि संबंधित गुणांकों के उत्पादों का योग शून्य के बराबर है:।

यू रेखा और समतल के बीच का लक्ष्य

इसे सीधा रहने दो डी- θ विमान के लंबवत नहीं;
डी- एक रेखा का प्रक्षेपण डीθ विमान के लिए;
सीधी रेखाओं के बीच का सबसे छोटा कोण डीऔर डी“हम बुला लेंगे।” एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण.
आइए हम इसे φ=( के रूप में निरूपित करें डी,θ)
अगर डी⊥θ, फिर ( डी,θ)=π/2

ओय→जे→क→− आयताकार समन्वय प्रणाली.
समतल समीकरण:

θ: कुल्हाड़ी+द्वारा+Cz+डी=0

हम मानते हैं कि सीधी रेखा एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा परिभाषित होती है: डी[एम 0,पी→]
वेक्टर एन→(ए,बी,सी)⊥θ
फिर यह सदिशों के बीच के कोण का पता लगाना बाकी है एन→ और पी→, आइए हम इसे γ=( के रूप में निरूपित करें एन→,पी→).

यदि कोण γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

यदि कोण γ>π/2 है, तो वांछित कोण φ=γ−π/2 है

पापφ=sin(2π−γ)=cosγ

पापφ=sin(γ−2π)=−cosγ

तब, सीधी रेखा और समतल के बीच का कोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

पापφ=∣cosγ∣=∣ ∣ एपी 1+बीपी 2+सीपी 3∣ ∣ √ए 2+बी 2+सी 2√पी 21+पी 22+पी 23

प्रश्न29. द्विघात रूप की अवधारणा. द्विघात रूपों की निश्चितता पर हस्ताक्षर करें।

द्विघात रूप j (x 1, x 2, …, x n) n वास्तविक चर x 1, x 2, …, x nस्वरूप का योग कहा जाता है
, (1)

कहाँ एक आई.जे - कुछ संख्याओं को गुणांक कहा जाता है। व्यापकता की हानि के बिना, हम यह मान सकते हैं एक आई.जे = एक जी.

द्विघात रूप कहा जाता है वैध,अगर एक आई.जे मैं जीआर. द्विघात रूप का मैट्रिक्सइसके गुणांकों से बना मैट्रिक्स कहा जाता है। द्विघात रूप (1) एकमात्र सममित मैट्रिक्स से मेल खाता है
वह है ए टी = ए. परिणामस्वरूप, द्विघात रूप (1) को मैट्रिक्स रूप j में लिखा जा सकता है ( एक्स) = एक्स टी आह, कहाँ एक्स टी = (एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन). (2)

और, इसके विपरीत, प्रत्येक सममित मैट्रिक्स (2) चर के अंकन तक एक अद्वितीय द्विघात रूप से मेल खाता है।

द्विघात रूप की श्रेणीइसके मैट्रिक्स की रैंक कहलाती है। द्विघात रूप कहा जाता है न पतित,यदि इसका मैट्रिक्स गैर-एकवचन है ए. (याद रखें कि मैट्रिक्स एगैर-पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है)। अन्यथा, द्विघात रूप पतित है।

सकारात्मक रूप से निश्चित(या सख्ती से सकारात्मक) यदि

जे ( एक्स) > 0 , किसी के लिए भी एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

आव्यूह एसकारात्मक निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) को सकारात्मक निश्चित भी कहा जाता है। इसलिए, एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप एक अद्वितीय सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स से मेल खाता है और इसके विपरीत।

द्विघात रूप (1) कहलाता है नकारात्मक रूप से परिभाषित(या सख्ती से नकारात्मक) यदि

जे ( एक्स) < 0, для любого एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अलावा एक्स = (0, 0, …, 0).

उपरोक्त की तरह, ऋणात्मक निश्चित द्विघात रूप के मैट्रिक्स को ऋणात्मक निश्चित भी कहा जाता है।

फलस्वरूप, सकारात्मक (नकारात्मक) निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) न्यूनतम (अधिकतम) मान j तक पहुंचता है ( एक्स*) = 0 पर एक्स* = (0, 0, …, 0).

ध्यान दें कि अधिकांश द्विघात रूप चिह्न-निश्चित नहीं हैं, अर्थात वे न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। ऐसे द्विघात रूप न केवल समन्वय प्रणाली के मूल में, बल्कि अन्य बिंदुओं पर भी गायब हो जाते हैं।

कब एन> 2, द्विघात रूप के चिन्ह की जाँच के लिए विशेष मापदण्ड की आवश्यकता होती है। आइए उन पर नजर डालें.

प्रमुख नाबालिगद्विघात रूप को लघु कहा जाता है:

अर्थात्, ये 1, 2, ..., के क्रम के अवयस्क हैं एनमैट्रिक्स ए, ऊपरी बाएँ कोने में स्थित, उनमें से अंतिम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है ए.

सकारात्मक निश्चितता मानदंड (सिल्वेस्टर मानदंड)

एक्स) = एक्स टी आहसकारात्मक निश्चित था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग एसकारात्मक थे, अर्थात्: एम 1 > 0, एम 2 > 0, …, एम.एन. > 0. नकारात्मक निश्चितता मानदंड द्विघात रूप j के लिए ( एक्स) = एक्स टी आहनकारात्मक निश्चित था, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सम क्रम के इसके प्रमुख अवयव सकारात्मक हों, और विषम क्रम के - नकारात्मक, अर्थात: एम 1 < 0, एम 2 > 0, एम 3 < 0, …, (–1)एन