पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडबहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड पार्श्व फलक के उस भाग को कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। सभी तरफ की पसलियां सही पिरामिडएक दूसरे के बराबर हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोथेमा . विकर्ण खंड पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक विमान कहा जाता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग को कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सूत्र सही है:

कहाँ वी- आयतन;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एचपिरामिड की ऊंचाई है.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पी- आधार की परिधि;

हा ए- एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीएक नियमित पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। सही काटे गए पिरामिड इसे नियमित पिरामिड का भाग कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - समलम्बाकार। ऊंचाई काटे गए पिरामिड को उसके आधारों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड काटे गए पिरामिड के एक खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक विमान कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआकुल सतह क्षेत्र है;

एस ओरपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एच- ऊंचाई;

वीकाटे गए पिरामिड का आयतन है।

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधार परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। आधार के तल पर पार्श्व किनारे के झुकाव के कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड नियमित है, जिसका अर्थ है कि आधार एक समबाहु त्रिभुज है और सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण होगा एदो लंबों के बीच: अर्थात पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (परिवृत्त वृत्त का केंद्र और त्रिभुज में अंकित वृत्त) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एसबी) किनारे और आधार तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्श रेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओबी. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 है ए. डॉट के बारे मेंरेखा खंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं और ऊँचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको आधार वर्गों के विकर्णों को जानते हुए, उनकी भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलंब है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। कहां से ढूंढो ए 1 इएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत ए 1 पर एसी. ए 1 इ\u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। ढूंढने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य चित्रित करेंगे (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीकअंकित वृत्त की त्रिज्या है और ॐअंकित वृत्त की त्रिज्या है:

एमके=डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है ए बी सी डी.

हम इस कथन का उपयोग करते हैं कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार तल तक. एक सपाट आकृति के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय के अनुसार, हम पाते हैं:

इसी प्रकार, इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. एक समलम्बाकार रेखा खींचिए ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे मेंएक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र है।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास है

ज्यामिति में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। सबसे आम आकृतियों में से एक पिरामिड है। इस लेख में, हम पूर्ण और काटे गए दोनों प्रकार के पिरामिडों पर विचार करेंगे।

त्रि-आयामी आकृति के रूप में पिरामिड

के बारे में हर कोई जानता है मिस्र के पिरामिड, इसलिए यह किस आकृति के बारे में अच्छी तरह से दर्शाया गया है चर्चा की जाएगी. फिर भी, मिस्र की पत्थर की संरचनाएँ पिरामिडों के विशाल वर्ग का एक विशेष मामला मात्र हैं।

सामान्य मामले में विचाराधीन ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिसका प्रत्येक शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़ा होता है जो आधार तल से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषाएक एन-गॉन और एन त्रिकोण से युक्त एक आकृति की ओर जाता है।

किसी भी पिरामिड में n+1 फलक, 2*n किनारे और n+1 शीर्ष होते हैं। चूँकि विचाराधीन चित्र एक पूर्ण बहुफलक है, चिह्नित तत्वों की संख्या यूलर समीकरण का पालन करती है:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

आधार पर स्थित बहुभुज पिरामिड का नाम देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पंचकोणीय, इत्यादि। नीचे दिए गए फोटो में विभिन्न आधारों वाले पिरामिडों का एक सेट दिखाया गया है।

वह बिंदु जिस पर आकृति के n त्रिभुज जुड़े हुए हैं, पिरामिड का शीर्ष कहलाता है। यदि इस पर से आधार पर एक लंब डाला जाए और वह इसे ज्यामितीय केंद्र में काट दे, तो ऐसी आकृति एक सीधी रेखा कहलाएगी। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो एक झुका हुआ पिरामिड होता है।

एक सीधी आकृति, जिसका आधार एक समबाहु (समबाहु) n-गॉन द्वारा बनता है, नियमित कहलाती है।

पिरामिड आयतन सूत्र

पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, हम समाकलन कलन का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम आकृति को आधार के समानांतर छेदक विमानों द्वारा अनंत संख्या में पतली परतों में विभाजित करते हैं। नीचे दिए गए चित्र में ऊंचाई h और भुजा की लंबाई L के साथ एक चतुर्भुज पिरामिड दिखाया गया है, जिसमें एक पतली अनुभागीय परत को चतुर्भुज के साथ चिह्नित किया गया है।

ऐसी प्रत्येक परत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

ए(जेड) = ए 0 *(एच-जेड) 2 /एच 2।

यहाँ A 0 आधार का क्षेत्रफल है, z ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का मान है। यह देखा जा सकता है कि यदि z = 0 है, तो सूत्र मान A 0 देता है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की संपूर्ण ऊंचाई पर अभिन्न की गणना करनी चाहिए, अर्थात:

वी = ∫ एच 0 (ए(जेड)*डीजेड)।

निर्भरता A(z) को प्रतिस्थापित करने और प्रतिअवकलन की गणना करने पर, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

वी = -ए 0 *(एच-जेड) 3 /(3*एच 2)| एच 0 = 1/3 * ए 0 * एच।

हमने पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त कर लिया है। V का मान ज्ञात करने के लिए, आकृति की ऊंचाई को आधार के क्षेत्रफल से गुणा करना और फिर परिणाम को तीन से विभाजित करना पर्याप्त है।

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति एक मनमाना प्रकार के पिरामिड की मात्रा की गणना के लिए मान्य है। अर्थात्, यह झुका हुआ हो सकता है, और इसका आधार एक मनमाना एन-गॉन हो सकता है।

और इसकी मात्रा

उपरोक्त पैराग्राफ में प्राप्त हुआ सामान्य सूत्रआयतन के लिए पिरामिड के मामले में निर्दिष्ट किया जा सकता है सही बुनियाद. ऐसे आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

ए 0 = एन/4*एल 2 *सीटीजी(पीआई/एन)।

यहाँ L, n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई है। प्रतीक पाई संख्या पाई है।

सामान्य सूत्र में A 0 के व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक नियमित पिरामिड का आयतन प्राप्त करते हैं:

वी एन = 1/3*एन/4*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन) = एन/12*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन)।

उदाहरण के लिए, के लिए त्रिकोणीय पिरामिडयह सूत्र निम्नलिखित अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है:

वी 3 = 3/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (60 ओ) = √3 / 12 * एल 2 * एच।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आयतन सूत्र इस प्रकार होता है:

वी 4 = 4/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (45 ओ) = 1/3 * एल 2 * एच।

नियमित पिरामिडों का आयतन निर्धारित करने के लिए उनके आधार के किनारे और आकृति की ऊँचाई को जानना आवश्यक है।

पिरामिड छोटा कर दिया गया

मान लीजिए कि हमने एक मनमाना पिरामिड लिया है और उसके शीर्ष वाले पार्श्व सतह के एक हिस्से को काट दिया है। शेष आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो एन-गोनल बेस और एन ट्रेपेज़ॉइड शामिल हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। यदि काटने वाला तल आकृति के आधार के समानांतर था, तो समानांतर समान आधारों वाला एक छोटा पिरामिड बनता है। अर्थात्, उनमें से एक की भुजाओं की लंबाई दूसरे की लंबाई को किसी गुणांक k से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।

ऊपर दिया गया चित्र एक काटे गए नियमित आधार को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि इसका ऊपरी आधार, निचले आधार की तरह, एक नियमित षट्भुज द्वारा बनाया गया है।

उपरोक्त के समान अभिन्न कलन का उपयोग करके जो सूत्र प्राप्त किया जा सकता है वह है:

वी = 1/3*एच*(ए 0 + ए 1 + √(ए 0 *ए 1)).

जहाँ A 0 और A 1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) आधारों के क्षेत्र हैं। चर h काटे गए पिरामिड की ऊँचाई को दर्शाता है।

चेप्स के पिरामिड का आयतन

मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड में मौजूद आयतन को निर्धारित करने की समस्या को हल करना उत्सुक है।

1984 में, ब्रिटिश मिस्रविज्ञानी मार्क लेहनर और जॉन गुडमैन ने चेप्स पिरामिड के सटीक आयाम स्थापित किए। इसकी मूल ऊंचाई 146.50 मीटर (वर्तमान में लगभग 137 मीटर) थी। औसत लंबाईसंरचना के चारों किनारों में से प्रत्येक 230.363 मीटर था। पिरामिड का आधार उच्च सटीकता के साथ वर्गाकार है।

आइए इस विशाल पत्थर का आयतन निर्धारित करने के लिए दिए गए आंकड़ों का उपयोग करें। चूँकि पिरामिड एक नियमित चतुर्भुज है, तो सूत्र इसके लिए मान्य है:

संख्याओं को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

वी 4 = 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 मीटर 3।

चेप्स के पिरामिड का आयतन लगभग 2.6 मिलियन मी 3 है। तुलना के लिए, हम ध्यान दें कि ओलंपिक पूल की मात्रा 2.5 हजार मीटर 3 है। यानी पूरे चेप्स पिरामिड को भरने के लिए ऐसे 1000 से ज्यादा पूल की जरूरत होगी!

- यह एक बहुफलक है, जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक कटा हुआ पिरामिड एक कटा हुआ शीर्ष वाला पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व पसलियाँ समान लंबाई की होती हैं और समान कोण पर आधार की ओर झुकी होती हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान होते हैं समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज, जिसका क्षेत्रफल बराबर है। वे भी एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र उसकी भुजाओं के क्षेत्रफलों का योग है:

चूँकि काटे गए पिरामिड की भुजाएँ समलम्बाकार हैं, इसलिए आपको मापदंडों की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए एक और सूत्र लागू किया जा सकता है। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ, फलक और आधार पर कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी प्राप्त करना संभव है।

यदि, नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की स्थितियों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना परिमापों के योग के आधे-उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोटेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम एल= 5 सेमी, बड़े आधार में चेहरे की लंबाई है ए= 6 सेमी, और चेहरा छोटे आधार पर है बी\u003d 4 सेमी. काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करें।

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचकोण हैं। इसका मतलब यह है कि आधार पांच समान भुजाओं वाली एक आकृति है। बड़े आधार का परिमाप ज्ञात कीजिए:

उसी प्रकार, हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोनों और इन्हीं आधारों के क्षेत्र के माध्यम से.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। याद रखें कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का फलक a = 6 सेमी है, और ऊपरी b का फलक = 4 सेमी है। आधार पर डायहेड्रल कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्रफल की गणना करें। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी फलक एक दूसरे के बराबर हैं। यह देखते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्गाकार क्षेत्र. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्ग में, ये मान समान हैं। बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानने के बाद, हमने आसानी से विभिन्न मूल्यों के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।

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