इस के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटरआप अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। दिया गया विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ. अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, रेखाओं के समीकरण का प्रकार ("कैनोनिकल" या "पैरामीट्रिक") सेट करें, कोशिकाओं में रेखाओं के समीकरणों के गुणांक दर्ज करें और "हल करें" बटन पर क्लिक करें।

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अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण और समाधान

मान लीजिए एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सीज़ एल 1 और एल 2:

,

(2)

कहाँ एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1) और एम 2 (एक्स 2 , य 2 , जेड 2)- सीधी रेखाओं पर स्थित बिंदु एल 1 और एल 2, ए क्यू 1 ={एम 1 , पी 1 , एल 1) और क्यू 2 ={एम 2 , पी 2 , एल 2 )- सीधी रेखाओं के दिशा सदिश एल 1 और एलक्रमशः 2.

अंतरिक्ष में रेखाएँ (1) और (2) संपाती हो सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं, प्रतिच्छेद कर सकती हैं, या प्रतिच्छेद कर सकती हैं। यदि अंतरिक्ष में रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या संपाती होती हैं, तो उनके बीच की दूरी शून्य होती है। हम दो मामलों पर विचार करेंगे. पहला यह कि रेखाएँ समानांतर हैं, और दूसरा यह कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। बाकी सामान्य मामले हैं. यदि, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करते समय, हमें शून्य के बराबर दूरी मिलती है, तो इसका मतलब है कि ये रेखाएँ मेल खाती हैं। यदि प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी शून्य हो तो ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

1. अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

आइए रेखाओं के बीच की दूरी की गणना के लिए दो तरीकों पर विचार करें।

विधि 1. एक बिंदु से एम 1 सीधा एल 1 एक हवाई जहाज़ बनाएं α , रेखा के लंबवत एल 2. एक बिंदु ढूँढना एम 3 (एक्स 3 , य 3 , य 3) समतल चौराहे α और सीधा एल 3. मूलतः हम बिंदु का प्रक्षेपण पाते हैं एम 1 सीधा एल 2. किसी रेखा पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण कैसे ज्ञात करें, देखें। आगे हम बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1) और एम 3 (एक्स 3 , य 3 , जेड 3):

सीधा एल 2 बिंदु से होकर गुजरता है एम 2 (एक्स 2 , य 2 , जेड 2)=एम

मूल्यों को प्रतिस्थापित करना एम 2 , पी 2 , एल 2 , एक्स 1 , य 1 , जेड 1 इंच (5) में हमें मिलता है:

आइए रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें एल 2 और विमान α , इसके लिए हम सीधी रेखा का एक पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं एल 2 .

किसी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना एल 2 और विमान α , चरों के मानों को प्रतिस्थापित करें एक्स, य, जेड(7) से (6):

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करना टी(7) में, हम सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त करते हैं एल 2 और विमान α :

यह बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना बाकी है एम 1 और एम 3:

एल 1 और एल 2 बराबर डी=7.2506.

विधि 2. रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें एल 1 और एल 2 (समीकरण (1) और (2))। सबसे पहले, हम रेखाओं की समानता की जाँच करते हैं एल 1 और एल 2. यदि सीधी रेखाओं के दिशा सदिश एल 1 और एल 2 संरेख हैं, अर्थात यदि कोई संख्या λ ऐसी है कि समानता क्यू 1 =λ क्यू 2, फिर सीधे एल 1 और एल 2 समानांतर हैं.

समानांतर सदिशों के बीच की दूरी की गणना करने की यह विधि सदिशों के सदिश गुणनफल की अवधारणा पर आधारित है। यह ज्ञात है कि सदिशों के सदिश गुणनफल का मान और क्यू 1 इन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है (चित्र 2)। एक बार जब आप समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जान लेते हैं, तो आप समांतर चतुर्भुज का शीर्ष ज्ञात कर सकते हैं डी, क्षेत्र को आधार से विभाजित करना क्यू 1 समांतर चतुर्भुज.

क्यू 1:

.

लाइनों के बीच की दूरी एल 1 और एल 2 बराबर:

,

उदाहरण 2। आइए विधि 2 का उपयोग करके उदाहरण 1 को हल करें। रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें

सीधा एल 2 बिंदु से होकर गुजरता है एम 2 (एक्स 2 , य 2 , जेड 2)=एम 2 (8, 4, 1) और एक दिशा सदिश है

वैक्टर क्यू 1 और क्यू 2 संरेख हैं. इसलिए सीधे एल 1 और एल 2 समानांतर हैं. समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, हम सदिशों के सदिश गुणनफल का उपयोग करते हैं।

आइए एक वेक्टर बनाएं =( एक्स 2 −एक्स 1 , य 2 −य 1 , जेड 2 −जेड 1 }={7, 2, 0}.

आइए सदिशों के सदिश गुणनफल की गणना करें और क्यू 1 . ऐसा करने के लिए, हम एक 3×3 मैट्रिक्स बनाते हैं, जिसकी पहली पंक्ति आधार वैक्टर है मैं, जे, के, और शेष रेखाएँ सदिशों और के तत्वों से भरी हुई हैं क्यू 1:

इस प्रकार, सदिशों के सदिश गुणनफल का परिणाम और क्यू 1 एक सदिश होगा:

उत्तर: रेखाओं के बीच की दूरी एल 1 और एल 2 बराबर डी=7.25061.

2. अंतरिक्ष में क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी

मान लीजिए एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सीज़और इस समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाएँ दी जाएँ एल 1 और एल 2 (समीकरण (1) और (2))।

सीधे चलो एल 1 और एल 2 समानांतर नहीं हैं (हमने पिछले पैराग्राफ में समानांतर रेखाओं पर चर्चा की थी)। रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करना एल 1 और एल 2 आपको समानांतर विमान बनाने की आवश्यकता है α 1 और α 2 ताकि यह सीधा रहे एल 1 एक विमान पर लेट गया α 1 एक सीधा एल 2 - विमान पर α 2. फिर पंक्तियों के बीच की दूरी एल 1 और एल 2 समतलों के बीच की दूरी के बराबर है एल 1 और एल 2 (चित्र 3)।

कहाँ एन 1 ={ए 1 , बी 1 , सी 1 ) - समतल का सामान्य सदिश α 1 . विमान के लिए α 1 एक सीधी रेखा से होकर गुजरा एल 1, सामान्य वेक्टर एन 1 दिशा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होना चाहिए क्यू 1 सीधा एल 1, यानी इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होना चाहिए:

सिस्टम का समाधान रेखीय समीकरण(27)−(29), तीन समीकरणों और चार अज्ञात के साथ ए 1 , बी 1 , सी 1 , डी 1, और समीकरण में प्रतिस्थापित करना

विमान α 1 और α 2 समानांतर हैं, इसलिए परिणामी सामान्य वेक्टर हैं एन 1 ={ए 1 , बी 1 , सी 1) और एन 2 ={ए 2 , बी 2 , सी 2) ये तल संरेख हैं। यदि ये सदिश समान नहीं हैं, तो हम (31) को एक निश्चित संख्या से गुणा कर सकते हैं ताकि परिणामी सामान्य सदिश हो एन 2 समीकरण (30) के सामान्य वेक्टर के साथ मेल खाता है।

फिर समानांतर विमानों के बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

(33)

समाधान। सीधा एल 1 बिंदु से होकर गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1)=एम 1 (2, 1, 4) और एक दिशा सदिश है क्यू 1 ={एम 1 , पी 1 , एल 1 }={1, 3, −2}.

सीधा एल 2 बिंदु से होकर गुजरता है एम 2 (एक्स 2 , य 2 , जेड 2)=एम 2 (6, −1, 2) और एक दिशा सदिश है क्यू 2 ={एम 2 , पी 2 , एल 2 }={2, −3, 7}.

आइए एक विमान बनाएं α 1 लाइन से गुजर रहा है एल 1, सीधी रेखा के समानांतर एल 2 .

विमान के बाद से α 1 लाइन से होकर गुजरता है एल 1, तो यह बिंदु से भी गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1)=एम 1 (2, 1, 4) और सामान्य वेक्टर एन 1 ={एम 1 , पी 1 , एल 1) विमान α 1 दिशा वेक्टर के लंबवत क्यू 1 सीधा एल 1 . तब समतल के समीकरण को शर्त पूरी करनी होगी:

विमान के बाद से α 1 रेखा के समानांतर होना चाहिए एल 2, तो निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:

आइए इन समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत करें:

(40)

आइए हम इसके संबंध में रैखिक समीकरणों (40) की प्रणाली को हल करें ए 1 , बी 1 , सी 1 , डी 1.

यह आलेख समन्वय विधि का उपयोग करके क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी खोजने पर केंद्रित है। सबसे पहले, प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी की परिभाषा दी गई है। इसके बाद, एक एल्गोरिदम प्राप्त होता है जो किसी को क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी खोजने की अनुमति देता है। निष्कर्ष में, उदाहरण के समाधान का विस्तार से विश्लेषण किया गया है।

पेज नेविगेशन.

क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी - परिभाषा।

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी की परिभाषा देने से पहले, आइए हम तिरछी रेखाओं की परिभाषा को याद करें और तिरछी रेखाओं से संबंधित एक प्रमेय सिद्ध करें।

परिभाषा।

- यह प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक और दूसरी रेखा से गुजरने वाले उसके समानांतर समतल के बीच की दूरी है।

बदले में, एक सीधी रेखा और उसके समानांतर एक विमान के बीच की दूरी सीधी रेखा के कुछ बिंदु से विमान तक की दूरी है। तब क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी की परिभाषा का निम्नलिखित सूत्रीकरण मान्य है।

परिभाषा।

क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरीप्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक के एक निश्चित बिंदु से पहली रेखा के समानांतर दूसरी रेखा से गुजरने वाले तल की दूरी है।

क्रॉसिंग लाइनों ए और बी पर विचार करें। आइए रेखा a पर एक निश्चित बिंदु M 1 चिह्नित करें, रेखा b के माध्यम से रेखा a के समानांतर एक विमान बनाएं, और बिंदु M 1 से विमान पर एक लंबवत M 1 H 1 डालें। लंब एम 1 एच 1 की लंबाई क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच की दूरी है।

क्रॉसिंग रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करना - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी का पता लगाते समय, मुख्य कठिनाई अक्सर एक खंड को देखना या बनाना होता है जिसकी लंबाई वांछित दूरी के बराबर होती है। यदि इस तरह के खंड का निर्माण किया जाता है, तो, समस्या की स्थितियों के आधार पर, इसकी लंबाई पाइथागोरस प्रमेय, समानता के संकेत या त्रिकोणों की समानता आदि का उपयोग करके पाई जा सकती है। कक्षा 10-11 में ज्यामिति पाठों में प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करते समय हम यही करते हैं।

यदि ऑक्सीज़ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में पेश किया गया है और इसमें प्रतिच्छेदी रेखाएं ए और बी दी गई हैं, तो समन्वय विधि हमें दी गई प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना करने के कार्य से निपटने की अनुमति देती है। आइए इसे विस्तार से देखें.

मान लीजिए कि रेखा a के समानांतर रेखा b से होकर गुजरने वाला एक विमान है। फिर क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच की आवश्यक दूरी, परिभाषा के अनुसार, लाइन ए पर स्थित कुछ बिंदु एम 1 से विमान की दूरी के बराबर है। इस प्रकार, यदि हम रेखा a पर स्थित एक निश्चित बिंदु M 1 के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, और विमान के सामान्य समीकरण को रूप में प्राप्त करते हैं, तो हम बिंदु से दूरी की गणना कर सकते हैं सूत्र का उपयोग करके समतल तक (यह सूत्र एक बिंदु से समतल तक की दूरी ज्ञात करने वाले आलेख में प्राप्त किया गया था)। और यह दूरी क्रॉसिंग लाइनों के बीच आवश्यक दूरी के बराबर है।

अब विस्तार से.

समस्या रेखा a पर स्थित बिंदु M 1 के निर्देशांक प्राप्त करने और समतल का सामान्य समीकरण ज्ञात करने तक आती है।

यदि आप अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के बुनियादी प्रकार के समीकरणों को अच्छी तरह से जानते हैं तो बिंदु एम 1 के निर्देशांक निर्धारित करने में कोई कठिनाई नहीं है। लेकिन समतल का समीकरण प्राप्त करने पर अधिक विस्तार से ध्यान देना उचित है।

यदि हम एक निश्चित बिंदु एम 2 के निर्देशांक निर्धारित करते हैं जिसके माध्यम से विमान गुजरता है, और विमान के सामान्य वेक्टर को भी फॉर्म में प्राप्त करते हैं , तो हम समतल के सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।

बिंदु एम 2 के रूप में, आप रेखा बी पर स्थित किसी भी बिंदु को ले सकते हैं, क्योंकि विमान रेखा बी से होकर गुजरता है। इस प्रकार, बिंदु एम 2 के निर्देशांक पाए गए माने जा सकते हैं।

यह विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए बना हुआ है। चलो यह करते हैं।

विमान रेखा बी से होकर गुजरता है और रेखा ए के समानांतर है। नतीजतन, विमान का सामान्य वेक्टर रेखा ए के दिशा वेक्टर (आइए इसे निरूपित करें) और रेखा बी के दिशा वेक्टर (आइए इसे निरूपित करें) दोनों के लंबवत है। तब हम और को एक वेक्टर के रूप में ले सकते हैं, अर्थात। सीधी रेखाओं ए और बी के निर्देशांक और दिशा वैक्टर निर्धारित करने और गणना करने के बाद , हम समतल के सामान्य सदिश के निर्देशांक ज्ञात करेंगे।

तो, हमारे पास विमान का सामान्य समीकरण है:।

जो कुछ बचा है वह विमान के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में लाना है और सूत्र का उपयोग करके क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच आवश्यक दूरी की गणना करना है।

इस प्रकार, क्रॉसिंग लाइनों ए और बी के बीच की दूरी जानने के लिए आपको चाहिए:

आइए उदाहरण के समाधान पर नजर डालें।

उदाहरण।

आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएं ए और बी दी गई हैं। सीधी रेखा a निर्धारित की जाती है

इस आलेख में, एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, समन्वय विधि का उपयोग करके खोजने की विधि का विश्लेषण किया गया है। याद रखें कि सीधी रेखाएँ तिरछी होती हैं यदि वे एक ही तल में न हों। विशेष रूप से, यदि एक रेखा एक तल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ऐसी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र देखें)।

ढूँढ़ने के लिए क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरीज़रूरी:

1. प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक के माध्यम से एक समतल खींचिए जो दूसरी प्रतिच्छेदी रेखा के समानांतर हो।
2. परिणामी तल पर दूसरी रेखा के किसी भी बिंदु से एक लंब गिराएँ। इस लम्ब की लंबाई रेखाओं के बीच आवश्यक दूरी होगी।

आइए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिदम का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच की दूरी

काम।एक इकाई घन में एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें बी ० ए। 1 और डी.बी. 1 .

चावल। 1. कार्य के लिए आरेखण

समाधान।घन के विकर्ण के मध्य से होकर डी.बी. 1 (बिंदु हे) रेखा के समानांतर एक रेखा खींचें ए 1 बी. किनारों के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ईसा पूर्वऔर ए 1 डीतदनुसार 1 दर्शाया गया है एनऔर एम. सीधा एम.एन.एक विमान में पड़ा है एमएनबी 1 और रेखा के समानांतर ए 1 बी, जो इस तल में स्थित नहीं है। इसका मतलब है कि सीधी रेखा ए 1 बीविमान के समानांतर एमएनबी 1 एक सीधी रेखा और एक समतल की समानता पर आधारित (चित्र 2)।

चावल। 2. क्रॉसिंग लाइनों के बीच आवश्यक दूरी चयनित रेखा के किसी भी बिंदु से चित्रित विमान तक की दूरी के बराबर है

अब हम रेखा पर किसी बिंदु से दूरी तलाश रहे हैं ए 1 बीशीर्ष लेन एमएनबी 1 . यह दूरी, परिभाषा के अनुसार, क्रॉसिंग लाइनों के बीच आवश्यक दूरी होगी।

इस दूरी को ज्ञात करने के लिए हम निर्देशांक विधि का उपयोग करेंगे। आइए हम एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें ताकि इसका मूल बिंदु बी, अक्ष के साथ मेल खाए एक्सकिनारे की ओर निर्देशित किया गया था बी ० ए।, एक्सिस वाई- किनारे पर ईसा पूर्व, एक्सिस जेड- किनारे पर बी बी 1 (चित्र 3)।

चावल। 3. जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चुनते हैं

समतल का समीकरण ज्ञात करना एमएनबीइस समन्वय प्रणाली में 1. ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं एम, एनऔर बी 1: हम परिणामी निर्देशांकों को सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं, तीसरे से हम प्राप्त करते हैं जिसके बाद पहले से हम प्राप्त मूल्यों को सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम ध्यान दें कि अन्यथा विमान एमएनबी 1 मूल से होकर गुजरेगा। इस समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है:

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

दूरी

बिंदु से रेखा तक

समांतर रेखाओं के बीच की दूरी

ज्यामिति, 7वीं कक्षा

एल.एस. अतानास्यान द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए

उच्चतम श्रेणी के गणित शिक्षक

नगर शैक्षणिक संस्थान "उपशिंस्काया बुनियादी माध्यमिक विद्यालय"

मैरी एल गणराज्य का ओरशा जिला

लंबवत लंबाई एक बिंदु से एक रेखा तक खींचा गया, बुलाया दूरी इस बिंदु से सीधा।

एक ⏊ ए

एम є a, M, N से भिन्न है

सीधा , एक बिंदु से एक रेखा तक खींचा गया, कम कोई इच्छुक , उसी बिंदु से इस रेखा तक खींचा गया।

पूर्वाह्न – झुका हुआ, बिंदु A से रेखा a तक खींचा गया

एकपूर्वाह्न

एक - इच्छुक

एकएक

एकएके

एके - इच्छुक

बिंदु से रेखा की दूरी

एम

बिंदु M से सीधी रेखा c तक की दूरी है...

एन

बिंदु N से रेखा c की दूरी है...

साथ

बिंदु K से सीधी रेखा c तक की दूरी है...

क

बिंदु F से सीधी रेखा c तक की दूरी है...

एफ

बिंदु से रेखा की दूरी

एक ⏊ ए

एक= 5.2 सेमी

कुलपति ⏊ ए

कुलपति= 2.8 सेमी

प्रमेय.

दो समानांतर रेखाओं में से प्रत्येक के सभी बिंदु दूसरी रेखा से समान दूरी पर हैं

दिया गया: ए ǁ बी

ए є ए, बी є ए,

सिद्ध करें: बिंदु A और B से रेखा a की दूरी बराबर है।

एक ⏊ बी,बीके ⏊ बी,

सिद्ध करें: एएच = बीके

Δ एएनके = ΔVKA(क्यों?)

त्रिभुजों की समानता से यह AN = BK का अनुसरण करता है

किसी एक समानांतर रेखा के किसी मनमाने बिंदु से दूसरी रेखा तक की दूरी को इन रेखाओं के बीच की दूरी कहा जाता है।

व्युत्क्रम प्रमेय.

किसी दी गई रेखा के एक तरफ स्थित और उससे समान दूरी पर स्थित समतल के सभी बिंदु दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा पर स्थित होते हैं।

एक ⏊ बी,बीके ⏊ बी,

एएच = बीके

साबित करें: एबी ǁ बी

Δ एएनके = ΔKVA(क्यों?)

यह त्रिभुजों की समानता से निम्नानुसार है … , लेकिन ये आंतरिक क्रॉसवाइज कोण बनते हैं … , मतलब एबी ǁ एन.के

यदि रेखाओं के बीच की दूरी है तो रेखाओं b और c के बीच की दूरी क्या है? एऔर b 4 के बराबर है, और रेखाओं के बीच है एऔर c 5 के बराबर है?

ए ǁ बी ǁ सी

यदि रेखाओं b और c के बीच और रेखाओं के बीच की दूरी 7 है, तो रेखाओं b और a के बीच की दूरी क्या है? एऔर c 2 के बराबर है?

लाइनों के बीच की दूरी कितनी है एऔर c, यदि रेखाओं b और c के बीच और रेखाओं के बीच की दूरी 10 है बीऔर ए 6 के बराबर है?

एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समुच्चय क्या है जो दी गई दो समानांतर रेखाओं से समान दूरी पर हैं?

ए ǁ बी

उत्तर: इन रेखाओं के समानांतर और उनसे समान दूरी पर स्थित एक रेखा।

तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय किस पर स्थित है? दी गई दूरीइस पंक्ति से?

उत्तर: दो रेखाएँ किसी दी गई रेखा के समानांतर होती हैं और उसके विपरीत दिशा में एक निश्चित दूरी पर स्थित होती हैं।

एक बिंदु और एक तल के साथ। यह एक अनंत आकृति है जो अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ सकती है। एक सीधी रेखा हमेशा किसी न किसी तल से संबंधित होती है। दो सीधी रेखाओं के स्थान के आधार पर उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए।

एक दूसरे के सापेक्ष अंतरिक्ष में दो रेखाओं के स्थान के लिए तीन विकल्प हैं: वे समानांतर, प्रतिच्छेद या हैं। दूसरा विकल्प केवल तभी संभव है जब वे एक ही विमान में हों; यह दो समानांतर विमानों से संबंधित नहीं है। तीसरी स्थिति बताती है कि रेखाएँ विभिन्न समानांतर तलों में स्थित हैं।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें किन्हीं दो बिंदुओं पर जोड़ने वाले लंबवत खंड की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूँकि सीधी रेखाओं में दो समान निर्देशांक होते हैं, जो उनकी समानता की परिभाषा से अनुसरण करता है, द्वि-आयामी समन्वय स्थान में सीधी रेखाओं के समीकरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
एल1: ए एक्स + बी वाई + सी = 0;
एल2: ए एक्स + बी वाई + डी = 0.
फिर आप सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:
s = |c - d|/√(a² + b²), और यह नोटिस करना आसान है कि जब C = D, यानी। यदि रेखाएँ संपाती हों तो दूरी शून्य होगी।

यह स्पष्ट है कि द्वि-आयामी निर्देशांक में प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी का कोई मतलब नहीं है। लेकिन जब वे अलग-अलग विमानों में स्थित होते हैं, तो इसे उन दोनों के लंबवत विमान में स्थित एक खंड की लंबाई के रूप में पाया जा सकता है। इस खंड के सिरे वे बिंदु होंगे जो इस तल पर रेखाओं के किन्हीं दो बिंदुओं के प्रक्षेपण हैं। दूसरे शब्दों में, इसकी लंबाई इन रेखाओं वाले समानांतर विमानों के बीच की दूरी के बराबर है। इस प्रकार, यदि विमान दिए गए हैं सामान्य समीकरण:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
सीधी रेखाओं के बीच की दूरी का उपयोग सूत्र द्वारा किया जा सकता है:
s = |E – F|/√(|A1 A2| + B1 B2 + C1 C2).

टिप्पणी

सामान्यतः सीधी रेखाएँ और विशेष रूप से कटी हुई रेखाएँ न केवल गणितज्ञों के लिए रुचिकर होती हैं। उनके गुण कई अन्य क्षेत्रों में उपयोगी हैं: निर्माण और वास्तुकला में, चिकित्सा में और प्रकृति में ही।

टिप 2: दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें

एक या अधिक तलों में स्थित दो वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित करना ज्यामिति में सबसे आम समस्याओं में से एक है। आम तौर पर स्वीकृत तरीकों का उपयोग करके, आप दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी पा सकते हैं।

निर्देश

समानांतर रेखाएँ एक ही तल में पड़ी रेखाएँ होती हैं जो या तो प्रतिच्छेद नहीं करतीं या संपाती नहीं होतीं। समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, उनमें से एक पर एक मनमाना बिंदु चुनें, और फिर दूसरी रेखा पर एक लंब छोड़ें। अब जो कुछ बचा है वह परिणामी खंड की लंबाई मापना है। दो समानांतर रेखाओं को जोड़ने वाले लंब की लंबाई उनके बीच की दूरी होगी।

उस क्रम पर ध्यान दें जिसमें लंब एक समानांतर रेखा से दूसरी रेखा पर खींचा जाता है, क्योंकि गणना की गई दूरी की सटीकता इस पर निर्भर करती है। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज ड्राइंग टूल का उपयोग करें। किसी एक रेखा पर एक बिंदु चुनें, उससे सटे त्रिभुज की किसी एक भुजा को उससे जोड़ दें समकोण(पैर), और दूसरी भुजा को दूसरी सीधी रेखा के साथ संरेखित करें। एक तेज़ पेंसिल का उपयोग करके, पहले पैर के साथ एक रेखा खींचें ताकि वह विपरीत सीधी रेखा तक पहुंच जाए।