दो अंक दिए जाएं एम(एक्स 1 ,पर 1) और एन(एक्स 2,य 2). आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

चूँकि यह रेखा बिंदु से होकर गुजरती है एम, तो सूत्र (1.13) के अनुसार इसके समीकरण का रूप है

पर – वाई 1 = क(एक्स-एक्स 1),

कहाँ कअज्ञात ढलान है.

इस गुणांक का मान इस शर्त से निर्धारित होता है कि वांछित सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है एन, जिसका अर्थ है कि इसके निर्देशांक समीकरण (1.13) को संतुष्ट करते हैं

वाई 2 – वाई 1 = क(एक्स 2 – एक्स 1),

यहां से आप इस रेखा का ढलान पा सकते हैं:

,

या रूपांतरण के बाद

(1.14)

सूत्र (1.14) परिभाषित करता है दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण एम(एक्स 1, वाई 1) और एन(एक्स 2, वाई 2).

विशेष मामले में जब अंक एम(ए, 0), एन(0, बी), ए ¹ 0, बी¹ 0, निर्देशांक अक्षों पर स्थित है, समीकरण (1.14) सरल रूप लेता है

समीकरण (1.15)बुलाया खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, यहाँ एऔर बीअक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों को निरूपित करें (चित्र 1.6)।

चित्र 1.6

उदाहरण 1.10. बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए एम(1,2) और बी(3, –1).

. (1.14) के अनुसार वांछित सीधी रेखा के समीकरण का स्वरूप होता है

2(वाई – 2) = -3(एक्स – 1).

सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हुए, हम अंततः वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं

3एक्स + 2वाई – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें एम(2,1) और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स+ Y- 1 = 0, एक्स - वाई+ 2 = 0.

. हम इन समीकरणों को एक साथ हल करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं

यदि हम इन समीकरणों को पद दर पद जोड़ते हैं, तो हमें 2 मिलता है एक्स+ 1 = 0, कहाँ से। किसी भी समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम कोटि का मान ज्ञात करते हैं पर:

आइए अब बिंदुओं (2, 1) और से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें:

या ।

अत: या -5( वाई – 1) = एक्स – 2.

अंत में, हमें वांछित सीधी रेखा का समीकरण प्रपत्र में प्राप्त होता है एक्स + 5वाई – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए एम(2.1) और एन(2,3).

सूत्र (1.14) का उपयोग करके, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि दूसरा हर शून्य है। समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि दोनों बिंदुओं के भुजाओं का मान समान है। अतः, आवश्यक रेखा अक्ष के समानांतर है ओएऔर इसका समीकरण है: एक्स = 2.

टिप्पणी . यदि, सूत्र (1.14) के अनुसार सीधी रेखा का समीकरण लिखते समय, हर में से एक शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर करके वांछित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

आइए समतल पर सीधी रेखा स्थापित करने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

1. मान लीजिए कि एक गैर-शून्य वेक्टर किसी दी गई रेखा पर लंबवत है एल, और बात एम 0(एक्स 0, वाई 0) इस रेखा पर स्थित है (चित्र 1.7)।

चित्र 1.7

निरूपित एम(एक्स, वाई) रेखा पर एक मनमाना बिंदु एल. वेक्टर और ओर्थोगोनल. इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं या ए(एक्स – एक्स 0) + बी(वाई – वाई 0) = 0.

हमने एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त किया है एम 0 वेक्टर पर लंबवत है। इस वेक्टर को कहा जाता है सामान्य वेक्टर एक सीधी रेखा की ओर एल. परिणामी समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है

ओह + वू + साथ= 0, कहाँ साथ = –(एएक्स 0 + द्वारा 0), (1.16),

कहाँ एऔर मेंसामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं.

हम एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण पैरामीट्रिक रूप में प्राप्त करते हैं।

2. एक समतल पर एक रेखा को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: मान लीजिए कि एक गैर-शून्य वेक्टर किसी दी गई रेखा के समानांतर है एलऔर बिंदु एम 0(एक्स 0, वाई 0) इस रेखा पर स्थित है। फिर से, एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स, y) एक सीधी रेखा पर (चित्र 1.8)।

चित्र 1.8

वेक्टर और संरेख.

आइए हम इन सदिशों की संरेखता की स्थिति लिखें: , कहां टीएक मनमाना संख्या है, जिसे पैरामीटर कहा जाता है। आइए इस समानता को निर्देशांक में लिखें:

इन समीकरणों को कहा जाता है पैरामीट्रिक समीकरण सीधा. आइए हम इन समीकरणों से पैरामीटर को बाहर कर दें टी:

इन समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

. (1.18)

परिणामी समीकरण कहलाता है एक सीधी रेखा का विहित समीकरण. वेक्टर कॉल दिशा सदिश सीधा .

टिप्पणी . यह देखना आसान है कि यदि रेखा का सामान्य सदिश है एल, तो इसका दिशा सदिश सदिश हो सकता है, चूँकि, अर्थात।

उदाहरण 1.13. एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए एम 0(1,1) रेखा 3 के समानांतर एक्स + 2पर– 8 = 0.

समाधान . वेक्टर दी गई और वांछित रेखाओं का सामान्य वेक्टर है। आइए एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें एम 0 किसी दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ 3( एक्स –1) + 2(पर– 1) = 0 या 3 एक्स + 2 वर्ष- 5 = 0. हमें वांछित सीधी रेखा का समीकरण मिल गया।

बिंदु K(x 0; y 0) से गुजरने वाली रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा पाई जाती है:

वाई - वाई 0 = के (एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k सीधी रेखा का ढलान है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली और रेखा Ax+By+C=0 के समानांतर रेखा को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

बिंदु K( से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए ;) रेखा y = के समानांतर एक्स + .

उदाहरण 1। बिंदु M 0 (-2.1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं और साथ ही:
a) सीधी रेखा 2x+3y -7 = 0 के समानांतर;
बी) रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
समाधान . आइए ढलान समीकरण को y = kx + a के रूप में निरूपित करें। ऐसा करने के लिए, हम y को छोड़कर सभी मानों को दाईं ओर स्थानांतरित करेंगे: 3y = -2x + 7 . फिर हम दाईं ओर को गुणांक 3 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: y = -2/3x + 7/3
सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7 / 3 के समानांतर बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाला समीकरण NK ज्ञात कीजिए।
x 0 = -2, k = -2/3, y 0 = 1 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण #2. सीधी रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें और निर्देशांक अक्षों के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाएं जिसका क्षेत्रफल 5 है।
समाधान . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b इसके पैर हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में स्थानापन्न: . हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y - 10 = 0।

उदाहरण #3. बिंदु (-2; 5) से गुजरने वाली रेखा और समानांतर रेखा 5x-7y-4=0 का समीकरण लिखें।
समाधान। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 .

उदाहरण #4. उदाहरण 3 (A=5, B=-7) को सूत्र (2) का उपयोग करके हल करने पर, हम 5(x+2)-7(y-5)=0 पाते हैं।

उदाहरण संख्या 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और एक समानांतर सीधी रेखा 7x+10=0 का समीकरण लिखें।
समाधान। यहां A=7, B=0. सूत्र (2) 7(x+2)=0 देता है, अर्थात। x+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है)।

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्ते प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम सीखना शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कंप्यूटर विज्ञान में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित बहुत सारी ओलंपियाड समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उपसमस्याओं पर विचार करेंगे जिन पर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में हम इसके लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए से गुजरना दो बिंदु. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम पाठ का एक भाग उन्हें जानने में लगाएंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

ऐसी समस्याओं के लिए प्रारंभिक डेटा विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की एक सूची द्वारा दिया गया) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो कुछ प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, क्या दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल) ​​एक बहुभुज, आदि)।

हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर केवल समतल पर और केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में विचार करेंगे।

सदिश और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मान लेंगे कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है, जिसमें वामावर्त दिशा में घूमने की दिशा को धनात्मक कहा जाता है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। इसलिए, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, उसके निर्देशांक निर्दिष्ट करना पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को उसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, एक सीधी रेखा को उसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य उपकरण वैक्टर होंगे। इसलिए, मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

रेखा खंड अब, जिसमें एक बिंदु है एशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु पर विचार किया गया में- अंत को वेक्टर कहा जाता है अबऔर उदाहरण के लिए, या तो , या बोल्ड लोअरकेस अक्षर से दर्शाया जाता है ए .

एक वेक्टर की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मॉड्यूल प्रतीक का उपयोग करेंगे (उदाहरण के लिए,)।

एक मनमाना वेक्टर के निर्देशांक उसके अंत और शुरुआत के संगत निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर होंगे:

,

यहाँ बिंदु एऔर बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, अर्थात्, एक कोण जो सदिशों की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण ए और बी सकारात्मक यदि घूर्णन वेक्टर से दूर है ए वेक्टर के लिए बी सकारात्मक दिशा में (वामावर्त) किया जाता है और दूसरे मामले में नकारात्मक। चित्र 1ए, चित्र 1बी देखें। यह भी कहा जाता है कि सदिशों का एक युग्म ए और बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान वैक्टर की गणना के क्रम पर निर्भर करता है और अंतराल में मान ले सकता है।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वेक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

सदिश a और b का सदिश गुणनफल इन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या का गुणनफल है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर की अभिव्यक्ति दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद का चिह्न एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए और बी सकारात्मक रूप से उन्मुख.

यदि मान है, तो सदिशों का युग्म ए और बी नकारात्मक रूप से उन्मुख.

गैर-शून्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल यदि वे संरेख हैं ( ). इसका मतलब यह है कि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण उनके निर्देशांक द्वारा दिया गया है।

मान लीजिए कि रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1;y1) के साथ और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत और बिंदु पर अंत वाले वेक्टर के निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) हैं। यदि P(x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर के निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

क्रॉस उत्पाद की सहायता से, सदिशों की संरेखता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

वे। (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0, (1)

सी = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

तो, सीधी रेखा फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

समस्या 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। इसका निरूपण ax + by + c = 0 के रूप में ज्ञात कीजिए।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांकों द्वारा रेखा का समीकरण ज्ञात करने की समस्या हल की।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे।

किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण. दो रेखाओं की समांतरता एवं लंबता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , य 1) किसी दी गई दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

य - य 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , य 1), जिसे किरण का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , य 1) और बी(एक्स 2 , य 2) इस प्रकार लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा घूमनी चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त घुमाएँ जब तक कि यह दूसरी रेखा से मेल न खा जाए बी. यदि दो रेखाएँ ढलान समीकरण द्वारा दी गई हैं

य = क 1 एक्स + बी 1 ,

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

ऐसी अनगिनत रेखाएँ हैं जो किसी भी बिंदु से होकर खींची जा सकती हैं।

किन्हीं दो असंयोजक बिंदुओं से होकर केवल एक सीधी रेखा गुजरती है।

समतल में दो असंपाती रेखाएँ या तो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले वाले से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- प्रथम क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

समतल पर प्रथम डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा दिया गया है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

परिभाषा. समतल में कोई भी रेखा प्रथम कोटि समीकरण द्वारा दी जा सकती है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं. इस प्रथम कोटि समीकरण को कहा जाता है सामान्य

सीधी रेखा समीकरण.स्थिरांक के मूल्यों पर निर्भर करता है ए, बीऔर साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए ≠ 0, बी ≠ 0- रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए ≠ 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए ≠ 0- रेखा अक्ष से मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी ≠ 0- रेखा अक्ष से मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी भी दिए गए आधार पर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

आह + वू + सी = 0.

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1,2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. आइए A = 3 और B = -1 पर सीधी रेखा का समीकरण बनाएं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 3 - 2 + C \u003d 0, इसलिए

सी = -1. कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0.

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम2 (एक्स 2, वाई 2 , जेड 2),तब सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरना:

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर x 1 ≠ x 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = कबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहा जाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु और एक निर्देशित वेक्टर पर एक सीधी रेखा का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का दिशा सदिश।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1 , α 2), जिसके घटक शर्त को पूरा करते हैं

एα 1 + बीα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा सदिश.

आह + वू + सी = 0.

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) वाली और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0.परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना होगा:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी.

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0.

पर x=1, y=2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0 है, तो, -C से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:

या जहां

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

धुरी के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओयू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0.इस सीधी रेखा का समीकरण खंडों में ज्ञात कीजिए।

सी = 1, , ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± इसलिए चुना जाना चाहिए μ * सी< 0.

आर- मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई,

ए φ - इस लम्ब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0. विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक है

यह सीधी रेखा.

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से भाग दें)

सीधी रेखा का समीकरण:

क्योंकि φ = 12/13; पाप φ= -5/13; पी=5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से होकर गुज़रना।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण.

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हैं y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, फिर इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समान्तर हैं यदि क 1 = क 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर के 1 = -1/के 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष आह + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0जब गुणांक आनुपातिक होते हैं तो समानांतर होते हैं

ए 1 = λए, बी 1 = λबी. यदि भी С 1 = λС, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण किसी दिए गए रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी.

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया गया है एम(एक्स 0, वाई 0),फिर लाइन की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित:

सबूत. आइए बात को स्पष्ट करें एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- लम्ब का आधार बिंदु से गिरा एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति. यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को इस रूप में बदलते हैं:

ए(एक्स - एक्स 0) + बी(वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करने पर, हमें मिलता है:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।