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बहुकोणीय आकृति
स्टीरियोमेट्री के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य स्थानिक निकाय हैं। शरीरएक निश्चित सतह द्वारा सीमित स्थान के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है।
बहुतलएक पिंड है जिसकी सतह पर सीमित संख्या में समतल बहुभुज होते हैं। एक बहुफलक को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपनी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित हो। ऐसे समतल के उभयनिष्ठ भाग और बहुफलक की सतह को कहा जाता है किनारा. उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारे कहलाते हैं बहुफलक के किनारे, और शीर्ष हैं बहुफलक के शीर्ष.
उदाहरण के लिए, एक घन में छह वर्ग होते हैं, जो उसके फलक होते हैं। इसमें 12 किनारे (वर्गों की भुजाएँ) और 8 शीर्ष (वर्गों के शीर्ष) हैं।
सबसे सरल पॉलीहेड्रा प्रिज्म और पिरामिड हैं, जिनका हम आगे अध्ययन करेंगे।
चश्मे
प्रिज्म की परिभाषा और गुण
चश्मेएक बहुफलक है जिसमें समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त समानांतर विमानों में स्थित दो सपाट बहुभुज होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म आधार, और बहुभुजों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के पार्श्व किनारे.
प्रिज्म की ऊंचाईइसके आधारों के तलों के बीच की दूरी कहलाती है ()। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला वह खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण(). प्रिज्म कहा जाता है एन-कार्बन, यदि इसके आधार में n-गॉन है।
किसी भी प्रिज्म में निम्नलिखित गुण होते हैं, जो इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि प्रिज्म के आधार समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं:
1. प्रिज्म के आधार बराबर हैं।
2. प्रिज्म के पार्श्व किनारे समानांतर और बराबर होते हैं।
प्रिज्म की सतह में आधार और होते हैं पार्श्व सतह. प्रिज्म की पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं (यह प्रिज्म के गुणों से पता चलता है)। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।
सीधा प्रिज्म
प्रिज्म कहा जाता है सीधा, यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा प्रिज्म कहा जाता है इच्छुक.
लम्ब प्रिज्म के फलक आयताकार होते हैं। एक सीधे प्रिज्म की ऊँचाई उसके पार्श्व फलकों के बराबर होती है।
पूर्ण प्रिज्म सतहइसे पार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्रों का योग कहा जाता है।
सही प्रिज्म के साथइसे एक समकोण प्रिज्म कहा जाता है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है।
प्रमेय 13.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल प्रिज्म की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है (या, जो समान है, पार्श्व किनारे से)।
सबूत। एक समकोण प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं, जिनके आधार प्रिज्म के आधार पर बहुभुज की भुजाएँ होती हैं, और ऊँचाई प्रिज्म के पार्श्व किनारे होती हैं। फिर, परिभाषा के अनुसार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:
,
सीधे प्रिज्म के आधार का परिमाप कहाँ है?
समानांतर खात
यदि समांतर चतुर्भुज किसी प्रिज्म के आधार पर स्थित हों, तो इसे कहा जाता है समानांतर खात. समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।
प्रमेय 13.2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।
सबूत। उदाहरण के लिए, दो मनमाने विकर्णों पर विचार करें। क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज के फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं, फिर और, जिसका अर्थ है कि To के अनुसार तीसरे के समांतर दो सीधी रेखाएँ हैं। इसके अलावा, इसका मतलब यह है कि सीधी रेखाएं और एक ही तल (प्लेन) में स्थित हैं। यह तल समान्तर तलों को समान्तर रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज के गुण के अनुसार, इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।
एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार समांतर चतुर्भुज. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी फलक आयत हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई को इसके रैखिक आयाम (आयाम) कहा जाता है। ऐसे तीन आकार हैं (चौड़ाई, ऊंचाई, लंबाई)।
प्रमेय 13.3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, किसी भी विकर्ण का वर्ग योग के बराबरइसके तीन आयामों के वर्ग 
(पायथागॉरियन टी को दो बार लगाने से सिद्ध हुआ)।
एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है घनक्षेत्र.
कार्य
13.1 इसमें कितने विकर्ण हैं? एन-कार्बन प्रिज्म
13.2 एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म में, पार्श्व किनारों के बीच की दूरी 37, 13 और 40 है। बड़े पार्श्व किनारे और विपरीत पार्श्व किनारे के बीच की दूरी ज्ञात करें।
13.3सही के निचले आधार के किनारे के माध्यम से त्रिकोणीय प्रिज्मएक समतल खींचा गया है जो पार्श्व फलकों को खंडों के अनुदिश काटता है, जिनके बीच का कोण है। प्रिज्म के आधार से इस तल का झुकाव कोण ज्ञात कीजिए।
विभिन्न प्रिज्म एक दूसरे से भिन्न होते हैं। साथ ही, उनमें बहुत सी समानताएं हैं। प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको यह समझना होगा कि यह किस प्रकार का है।
सामान्य सिद्धांत
प्रिज्म कोई भी बहुफलक होता है जिसकी भुजाएँ समांतर चतुर्भुज के आकार की होती हैं। इसके अलावा, इसका आधार कोई भी बहुफलक हो सकता है - एक त्रिभुज से लेकर एक एन-गॉन तक। इसके अलावा, प्रिज्म के आधार हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं। पार्श्व चेहरों पर जो बात लागू नहीं होती वह यह है कि वे आकार में काफी भिन्न हो सकते हैं।
समस्याओं को हल करते समय न केवल प्रिज्म के आधार क्षेत्र का सामना करना पड़ता है। इसके लिए पार्श्व सतह का ज्ञान आवश्यक हो सकता है, अर्थात वे सभी फलक जो आधार नहीं हैं। पूरी सतह उन सभी चेहरों का मिलन होगी जो प्रिज्म बनाते हैं।
कभी-कभी समस्याओं में ऊंचाई भी शामिल होती है। यह आधारों के लंबवत है। एक बहुफलक का विकर्ण एक खंड है जो किन्हीं दो शीर्षों को जोड़े में जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होते हैं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीधे या झुके हुए प्रिज्म का आधार क्षेत्र उनके और पार्श्व चेहरों के बीच के कोण पर निर्भर नहीं करता है। यदि उनके ऊपर और नीचे के फलकों पर समान आकृतियाँ हैं, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होगा।
त्रिकोणीय प्रिज्म
इसके आधार पर तीन शीर्षों वाली एक आकृति अर्थात एक त्रिभुज है। जैसा कि आप जानते हैं, यह भिन्न हो सकता है। यदि हां, तो यह याद रखना पर्याप्त है कि इसका क्षेत्रफल पैरों के आधे उत्पाद से निर्धारित होता है।
गणितीय संकेतन इस प्रकार दिखता है: S = ½ av.
आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सामान्य रूप से देखें, सूत्र उपयोगी होंगे: बगुला और वह जिसकी भुजा का आधा भाग खींची गई ऊँचाई तक ले जाया जाता है।
पहला सूत्र इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). इस अंकन में एक अर्ध-परिधि (पी) शामिल है, अर्थात, तीन भुजाओं का योग दो से विभाजित होता है।
दूसरा: एस = ½ एन ए * ए।
यदि आप किसी त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहें, जो नियमित हो, तो त्रिभुज समबाहु बनता है। इसके लिए एक सूत्र है: S = ¼ a 2 * √3.
चतुष्कोणीय प्रिज्म
इसका आधार ज्ञात चतुर्भुजों में से कोई एक है। यह एक आयत या वर्ग, समांतर चतुर्भुज या समचतुर्भुज हो सकता है। प्रत्येक मामले में, प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको अपने स्वयं के सूत्र की आवश्यकता होगी।
यदि आधार एक आयत है, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: S = ab, जहाँ a, b आयत की भुजाएँ हैं।
कब हम बात कर रहे हैंएक चतुर्भुज प्रिज्म के बारे में, तो एक नियमित प्रिज्म के आधार के क्षेत्रफल की गणना एक वर्ग के सूत्र का उपयोग करके की जाती है। क्योंकि वही बुनियाद में है। एस = ए 2.
उस स्थिति में जब आधार एक समांतर चतुर्भुज है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता होगी: S = a * n a। ऐसा होता है कि एक समांतर चतुर्भुज की भुजा और एक कोण दिया गया है। फिर, ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: n a = b * पाप A. इसके अलावा, कोण A भुजा "b" के निकट है, और ऊंचाई n इस कोण के विपरीत है।
यदि प्रिज्म के आधार पर एक समचतुर्भुज है, तो इसका क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए आपको समांतर चतुर्भुज के समान सूत्र की आवश्यकता होगी (क्योंकि यह इसका एक विशेष मामला है)। लेकिन आप इसका भी उपयोग कर सकते हैं: S = ½ d 1 d 2. यहाँ d 1 और d 2 समचतुर्भुज के दो विकर्ण हैं।
नियमित पंचकोणीय प्रिज्म
इस मामले में बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करना शामिल है, जिनके क्षेत्रफल का पता लगाना आसान है। हालाँकि ऐसा होता है कि आकृतियों के शीर्षों की संख्या अलग-अलग हो सकती है।
चूँकि प्रिज्म का आधार एक नियमित पंचभुज है, इसे पाँच समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। फिर प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ऐसे एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है (सूत्र ऊपर देखा जा सकता है), पांच से गुणा किया जाता है।
नियमित षट्कोणीय प्रिज्म
पंचकोणीय प्रिज्म के लिए वर्णित सिद्धांत का उपयोग करके, आधार के षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित करना संभव है। ऐसे प्रिज्म के आधार क्षेत्र का सूत्र पिछले वाले के समान है। केवल इसे छह से गुणा किया जाना चाहिए।
सूत्र इस तरह दिखेगा: S = 3/2 a 2 * √3.
कार्य
नंबर 1. एक नियमित सीधी रेखा दी गई है, इसका विकर्ण 22 सेमी है, पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म के आधार और पूरी सतह के क्षेत्र की गणना करें।
समाधान।प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, लेकिन इसका पक्ष अज्ञात है। आप इसका मान वर्ग (x) के विकर्ण से ज्ञात कर सकते हैं, जो प्रिज्म के विकर्ण (d) और उसकी ऊँचाई (h) से संबंधित है। एक्स 2 = डी 2 - एन 2. दूसरी ओर, यह खंड "x" एक त्रिभुज में कर्ण है जिसके पैर वर्ग की भुजा के बराबर हैं। यानी x 2 = a 2 + a 2. इस प्रकार यह पता चलता है कि a 2 = (d 2 - n 2)/2।
d के स्थान पर संख्या 22 रखें, और "n" को उसके मान - 14 से बदलें, यह पता चलता है कि वर्ग की भुजा 12 सेमी है। अब बस आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें: 12 * 12 = 144 सेमी 2.
संपूर्ण सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको आधार क्षेत्रफल को दोगुना और पार्श्व क्षेत्रफल को चौगुना जोड़ना होगा। उत्तरार्द्ध को आयत के सूत्र का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है: पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई और आधार के किनारे को गुणा करें। यानी 14 और 12, यह संख्या 168 सेमी 2 के बराबर होगी। प्रिज्म का कुल सतह क्षेत्रफल 960 सेमी 2 निकला।
उत्तर।प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 144 सेमी 2 है। संपूर्ण सतह 960 सेमी 2 है।
क्रमांक 2। आधार पर 6 सेमी भुजा वाला एक त्रिभुज है। इस मामले में, पार्श्व फलक का विकर्ण 10 सेमी है। क्षेत्रफलों की गणना करें: आधार और पार्श्व सतह।
समाधान।चूँकि प्रिज्म नियमित है, इसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल ¼ और 3 के वर्गमूल से गुणा करने पर 6 वर्ग के बराबर निकलता है। एक सरल गणना से परिणाम मिलता है: 9√3 सेमी 2। यह प्रिज्म के एक आधार का क्षेत्र है.
सभी पार्श्व फलक समान हैं और 6 और 10 सेमी की भुजाओं वाले आयत हैं। उनके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बस इन संख्याओं को गुणा करें। फिर उन्हें तीन से गुणा करें, क्योंकि प्रिज्म में बिल्कुल उतने ही पार्श्व फलक हैं। तब घाव की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 हो जाता है।
उत्तर।क्षेत्रफल: आधार - 9√3 सेमी 2, प्रिज्म की पार्श्व सतह - 180 सेमी 2।
समानांतर तलों में स्थित बहुभुज ABCDE और FHKMP को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे के तल पर डाला गया लंबवत OO 1 प्रिज्म की ऊंचाई कहलाता है। समांतर चतुर्भुज ABHF, BCKH, आदि। प्रिज्म के पार्श्व फलक कहलाते हैं, और आधारों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाली उनकी भुजाएँ SC, DM आदि पार्श्व किनारे कहलाती हैं। एक प्रिज्म में, सभी पार्श्व किनारे समानांतर विमानों के बीच घिरे समानांतर सीधी रेखाओं के खंडों के रूप में एक दूसरे के बराबर होते हैं।
प्रिज्म को सीधी रेखा कहा जाता है ( चित्र 282, बी) या तिरछा ( चित्र.282,सी) यह इस पर निर्भर करता है कि इसकी पार्श्व पसलियां आधारों से लंबवत हैं या झुकी हुई हैं। एक सीधे प्रिज्म में आयताकार पार्श्व फलक होते हैं। पार्श्व किनारे को ऐसे प्रिज्म की ऊंचाई के रूप में लिया जा सकता है।
एक लंब प्रिज्म को नियमित प्रिज्म कहा जाता है यदि इसका आधार नियमित बहुभुज हो। ऐसे प्रिज्म में, सभी पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।
एक जटिल चित्र में एक प्रिज्म को चित्रित करने के लिए, आपको उन तत्वों को जानने और चित्रित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है जिनमें यह शामिल है (एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक सपाट आकृति)।
और जटिल ड्राइंग में उनकी छवि (चित्र 283, ए - आई)
क) एक प्रिज्म का जटिल चित्रण। प्रिज्म का आधार प्रक्षेपण तल पी 1 पर स्थित है; प्रिज्म का एक पार्श्व फलक प्रक्षेपण तल P2 के समानांतर है।
बी) प्रिज्म डीईएफ का निचला आधार एक सपाट आकृति है - विमान पी 1 में स्थित एक नियमित त्रिकोण; त्रिभुज DE की भुजा x-अक्ष 12 के समानांतर है - क्षैतिज प्रक्षेपण दिए गए आधार के साथ विलीन हो जाता है और इसलिए, इसके प्राकृतिक आकार के बराबर है; ललाट प्रक्षेपण x 12 अक्ष के साथ विलीन हो जाता है और प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर होता है।
ग) एबीसी प्रिज्म का ऊपरी आधार एक सपाट आकृति है - क्षैतिज तल में स्थित एक त्रिकोण। क्षैतिज प्रक्षेपण निचले आधार के प्रक्षेपण के साथ विलीन हो जाता है और इसे ढक देता है, क्योंकि प्रिज्म सीधा है; ललाट प्रक्षेपण - सीधा, x 12 अक्ष के समानांतर, प्रिज्म की ऊंचाई की दूरी पर।
d) ABED प्रिज्म का पार्श्व फलक एक सपाट आकृति है - ललाट तल में स्थित एक आयत। ललाट प्रक्षेपण - चेहरे के प्राकृतिक आकार के बराबर एक आयत; क्षैतिज प्रक्षेपण प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर एक सीधी रेखा है।
ई) और एफ) एसीएफडी और सीबीईएफ प्रिज्म के पार्श्व चेहरे सपाट आंकड़े हैं - प्रक्षेपण विमान पी 2 से 60 डिग्री के कोण पर स्थित क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों में स्थित आयताकार। क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखाएं हैं, जो x 12 अक्ष पर 60° के कोण पर स्थित हैं, और प्रिज्म के आधार के किनारों के प्राकृतिक आकार के बराबर हैं; ललाट प्रक्षेपण आयताकार होते हैं जिनकी छवियाँ आदमकद से छोटी होती हैं: प्रत्येक आयत की दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं।
छ) प्रिज्म का किनारा AD एक सीधी रेखा है, जो प्रक्षेपण तल P 1 के लंबवत है। क्षैतिज प्रक्षेपण - बिंदु; ललाट - सीधा, x 12 अक्ष के लंबवत, प्रिज्म के पार्श्व किनारे (प्रिज्म की ऊंचाई) के बराबर।
ज) ऊपरी आधार की भुजा AB सीधी है, समतल P 1 और P 2 के समानांतर है। क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण सीधे, x 12 अक्ष के समानांतर और प्रिज्म के दिए गए आधार के किनारे के बराबर होते हैं। ललाट प्रक्षेपण प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर दूरी पर x-अक्ष 12 से फैला हुआ है।
i) प्रिज्म के शीर्ष। बिंदु E - निचले आधार का शीर्ष समतल P 1 पर स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है; ललाट - x 12 अक्ष पर स्थित है। बिंदु C - ऊपरी आधार का शीर्ष - अंतरिक्ष में स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण में गहराई होती है; ललाट - इस प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर ऊँचाई।
यह संकेत करता है: किसी भी बहुफलक को डिज़ाइन करते समय, उसे मानसिक रूप से विभाजित करना चाहिए घटक तत्वऔर अनुक्रमिक ग्राफ़िक परिचालनों से युक्त, उनके प्रदर्शन का क्रम निर्धारित करते हैं।चित्र 284 और 285 प्रिज्म का एक जटिल चित्रण और दृश्य प्रतिनिधित्व (एक्सोनोमेट्री) करते समय अनुक्रमिक ग्राफिक संचालन के उदाहरण दिखाते हैं।
(चित्र 284)।
दिया गया:
1. आधार प्रक्षेपण तल P 1 पर स्थित है।
2. आधार का कोई भी पक्ष x-अक्ष 12 के समानांतर नहीं है।
I. जटिल ड्राइंग।
मैं एक। हम निचले आधार को डिज़ाइन करते हैं - एक बहुभुज, जो स्थिति के अनुसार, विमान P1 में स्थित है।
मैं, बी. हम ऊपरी आधार को डिज़ाइन करते हैं - निचले आधार के बराबर एक बहुभुज जिसकी भुजाएं निचले आधार के समानांतर होती हैं, जो दिए गए प्रिज्म की ऊंचाई एच द्वारा निचले आधार से दूरी पर होती है।
मैं सी। हम प्रिज्म के पार्श्व किनारों को डिज़ाइन करते हैं - समानांतर स्थित खंड; उनके क्षैतिज प्रक्षेपण आधारों के शीर्षों के प्रक्षेपण के साथ विलय करने वाले बिंदु हैं; ललाट - समान नाम के आधारों के शीर्षों के प्रक्षेपणों को सीधी रेखाओं से जोड़ने से प्राप्त खंड (समानांतर)। निचले आधार के शीर्ष बी और सी के प्रक्षेपण से खींची गई पसलियों के ललाट प्रक्षेपण को धराशायी रेखाओं द्वारा अदृश्य के रूप में दर्शाया गया है।
मैं, जी. दिया गया है: ऊपरी आधार पर बिंदु F का क्षैतिज प्रक्षेपण F 1 और पार्श्व फलक पर बिंदु K का ललाट प्रक्षेपण K 2। उनके दूसरे प्रक्षेपण के स्थान निर्धारित करना आवश्यक है।
बिंदु F के लिए. बिंदु F का दूसरा (ललाट) प्रक्षेपण F 2 ऊपरी आधार के प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, इस आधार के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान ऊर्ध्वाधर संचार लाइन द्वारा निर्धारित होता है।
बिंदु K के लिए - बिंदु K का दूसरा (क्षैतिज) प्रक्षेपण K 1, पार्श्व चेहरे के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, चेहरे के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान ऊर्ध्वाधर संचार लाइन द्वारा निर्धारित होता है।
द्वितीय. प्रिज्म सतह विकास- पार्श्व फलकों से बनी एक सपाट आकृति - आयत, जिसमें दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं, और अन्य दो आधार की संगत भुजाओं के बराबर होती हैं, और दो आधारों से एक दूसरे के बराबर - अनियमित बहुभुज .
विकास के निर्माण के लिए आवश्यक चेहरों के आधारों और किनारों के प्राकृतिक आयाम अनुमानों पर प्रकट होते हैं; हम उन पर निर्माण करते हैं; एक सीधी रेखा पर हम बहुभुज की भुजाओं AB, BC, CD, DE और EA को क्रमिक रूप से आलेखित करते हैं - क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए प्रिज्म के आधार। बिंदु A, B, C, D, E और A से खींचे गए लंबों पर, हम ललाट प्रक्षेपण से ली गई इस प्रिज्म की ऊंचाई H को आलेखित करते हैं और निशानों के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। परिणामस्वरूप, हमें प्रिज्म के पार्श्व फलकों का स्कैन प्राप्त होता है।
यदि हम प्रिज्म के आधारों को इस विकास से जोड़ते हैं, तो हमें विकास प्राप्त होता है पूर्ण सतहप्रिज्म. प्रिज्म के आधारों को त्रिकोणासन विधि का उपयोग करके संबंधित पार्श्व फलक से जोड़ा जाना चाहिए।
प्रिज्म के ऊपरी आधार पर, त्रिज्या R और R 1 का उपयोग करके, हम बिंदु F का स्थान निर्धारित करते हैं, और पार्श्व फलक पर, त्रिज्या R 3 और H 1 का उपयोग करके, हम बिंदु K निर्धारित करते हैं।
तृतीय. डिमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए. हम बिंदु ए, बी, सी, डी और ई (चित्र 284 आई, ए) के निर्देशांक के अनुसार प्रिज्म के निचले आधार को चित्रित करते हैं।
तृतीय, बी. हम ऊपरी आधार को निचले आधार के समानांतर दर्शाते हैं, जो प्रिज्म की ऊंचाई एच से दूरी पर है।
तृतीय, सी. हम आधारों के संगत शीर्षों को सीधी रेखाओं से जोड़कर पार्श्व किनारों को चित्रित करते हैं। हम प्रिज्म के दृश्य और अदृश्य तत्वों को निर्धारित करते हैं और उन्हें संबंधित रेखाओं से रेखांकित करते हैं,
III, डी. हम प्रिज्म की सतह पर बिंदु F और K निर्धारित करते हैं - बिंदु F - ऊपरी आधार पर आयाम i और e का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है; बिंदु K - पार्श्व फलक पर i 1 और H" का उपयोग करते हुए।
प्रिज्म की एक सममितीय छवि के लिए और बिंदु F और K के स्थान निर्धारित करने के लिए, उसी क्रम का पालन किया जाना चाहिए।
चित्र.285).
दिया गया:
1. आधार समतल P 1 पर स्थित है।
2. पार्श्व पसलियां पी 2 तल के समानांतर हैं।
3. आधार का कोई भी पक्ष x 12 अक्ष के समानांतर नहीं है
I. जटिल ड्राइंग।
मैं एक। हम इस स्थिति के अनुसार डिज़ाइन करते हैं: निचला आधार P1 विमान में स्थित एक बहुभुज है, और पार्श्व किनारा P2 विमान के समानांतर एक खंड है और P1 विमान की ओर झुका हुआ है।
मैं, बी. हम शेष पार्श्व किनारों को डिज़ाइन करते हैं - पहले किनारे एसई के बराबर और समानांतर खंड।
मैं सी। हम प्रिज्म के ऊपरी आधार को एक बहुभुज के रूप में डिजाइन करते हैं, जो निचले आधार के बराबर और समानांतर होता है, और प्रिज्म का एक जटिल चित्र प्राप्त करते हैं।
हम अनुमानों पर अदृश्य तत्वों की पहचान करते हैं। वीएम के किनारे का ललाट प्रक्षेपण और आधार सीडी के किनारे का क्षैतिज प्रक्षेपण धराशायी रेखाओं द्वारा अदृश्य के रूप में दर्शाया गया है।
I, g. पार्श्व फलक के प्रक्षेपण A 2 K 2 F 2 D 2 पर बिंदु Q के ललाट प्रक्षेपण Q 2 को देखते हुए; आपको इसका क्षैतिज प्रक्षेपण खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, प्रिज्म चेहरे के प्रक्षेपण ए 2 के 2 एफ 2 डी 2 में बिंदु क्यू 2 के माध्यम से एक सहायक रेखा खींचें, इस चेहरे के किनारे के किनारों के समानांतर। हम सहायक रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं और उस पर, एक ऊर्ध्वाधर कनेक्शन लाइन का उपयोग करके, हम बिंदु Q के वांछित क्षैतिज प्रक्षेपण Q 1 का स्थान निर्धारित करते हैं।
द्वितीय. प्रिज्म सतह विकास.
क्षैतिज प्रक्षेपण पर आधार के किनारों के प्राकृतिक आयाम और ललाट प्रक्षेपण पर पसलियों के आयाम होने से, किसी दिए गए प्रिज्म की सतह का पूर्ण विकास करना संभव है।
हम प्रिज्म को रोल करेंगे, इसे हर बार पार्श्व किनारे के चारों ओर घुमाएंगे, फिर समतल पर प्रिज्म का प्रत्येक पार्श्व फलक अपने प्राकृतिक आकार के बराबर एक निशान (समांतर चतुर्भुज) छोड़ देगा। हम निम्नलिखित क्रम में साइड स्कैन का निर्माण करेंगे:
ए) बिंदु ए 2, बी 2, डी 2 से। . . ई 2 (आधारों के शीर्षों के ललाट प्रक्षेपण) हम पसलियों के प्रक्षेपणों के लंबवत सहायक सीधी रेखाएँ खींचते हैं;
बी) त्रिज्या आर (आधार सीडी के किनारे के बराबर) के साथ, हम बिंदु डी2 से खींची गई सहायक सीधी रेखा पर बिंदु डी पर एक पायदान बनाते हैं; सीधे बिंदुओं C 2 और D को जोड़कर और E 2 C 2 और C 2 D के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचकर, हम पार्श्व फलक CEFD प्राप्त करते हैं;
ग) फिर, निम्नलिखित पार्श्व फलकों को इसी प्रकार व्यवस्थित करके, हम प्रिज्म के पार्श्व फलकों का विकास प्राप्त करते हैं। इस प्रिज्म की सतह का पूर्ण विकास प्राप्त करने के लिए, हम इसे आधार के संगत चेहरों से जोड़ते हैं।
तृतीय. आइसोमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए. हम (के अनुसार निर्देशांक का उपयोग करके प्रिज्म के निचले आधार और किनारे CE को दर्शाते हैं)
परिभाषा। चश्मेएक बहुफलक है, जिसके सभी शीर्ष दो समानांतर तलों में स्थित हैं, और इन्हीं दो तलों में प्रिज्म के दो फलक स्थित हैं, जो संगत समानांतर भुजाओं वाले समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इन तलों में नहीं हैं, समानांतर हैं।
दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म आधार(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).
प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं पार्श्व चेहरे(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।
सभी पार्श्व फलक बनते हैं पार्श्व सतहप्रिज्म .
प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं .
वे किनारे जो आधारों पर नहीं होते, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).
प्रिज्म विकर्ण एक खंड है जिसके सिरे एक प्रिज्म के दो शीर्ष हैं जो एक ही सतह पर स्थित नहीं हैं (AD 1)।
प्रिज्म के आधारों तथा दोनों आधारों के लंब को एक ही समय में जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म की ऊंचाई .
पद का नाम:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, ट्रैवर्सल क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल एक आधार में स्थित शीर्षों को निर्दिष्ट किया जाता है बिना किसी अनुक्रमणिका वाले अक्षरों द्वारा, और दूसरे में - एक अनुक्रमणिका के साथ)
प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या से जुड़ा है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में आधार पर एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन क्योंकि ऐसे प्रिज्म के 7 चेहरे हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक - प्रिज्म के आधार, 5 फलक - समांतर चतुर्भुज, - इसके पार्श्व फलक)
सीधे प्रिज्मों के बीच, एक विशेष प्रकार सामने आता है: नियमित प्रिज्म।
सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।
समानांतर खात
समानांतर खातएक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज (एक झुका हुआ समांतर चतुर्भुज) स्थित है। दायां समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के तलों के लंबवत होते हैं।आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।
गुण और प्रमेय:
समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समांतर चतुर्भुज के ज्ञात गुणों के समान होते हैं। समान आयाम वाले आयताकार समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है घनक्षेत्र
.एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है 
,
जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
a वर्ग की भुजा है.
प्रिज्म का एक विचार निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:
- विभिन्न स्थापत्य संरचनाएँ;
- बच्चों के खिलौने;
- पैकेजिंग बक्से;
- डिजाइनर आइटम, आदि
प्रिज्म की कुल एवं पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसे इसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। प्रिज्म के आधार समान बहुभुज हैं, फिर उनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं। इसीलिएएस पूर्ण = एस पक्ष + 2एस मुख्य,
कहाँ एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल, एस ओर-पार्श्व सतह क्षेत्र, एस आधार- आधार क्षेत्र
एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.
एस ओर= पी बेसिक * एच,
कहाँ एस ओर-सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल,
पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,
h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।
प्रिज्म आयतन
प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
