2 रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना कैसे करें

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समन्वय विधि का उपयोग करके एक ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए, एक प्रतिच्छेदन बिंदु की आवश्यकता होती है, जिसके निर्देशांक समाधान में उपयोग किए जाते हैं। ऐसी स्थिति उत्पन्न होती है जब आपको किसी समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक देखने या अंतरिक्ष में समान रेखाओं के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। यह आलेख उन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के मामलों पर विचार करता है जहां दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करना आवश्यक है।

किसी समतल पर रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के अनुभाग से पता चलता है कि वे संपाती हो सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं, एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं या प्रतिच्छेद कर सकती हैं। अंतरिक्ष में दो रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा इस प्रकार है:

परिभाषा 1

वह बिंदु जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, उनका प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है। दूसरे शब्दों में, प्रतिच्छेदी रेखाओं का बिंदु प्रतिच्छेद बिंदु है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले नीचे दिए गए उदाहरण पर विचार करना आवश्यक है।

यदि विमान में एक समन्वय प्रणाली O x y है, तो दो सीधी रेखाएँ a और b निर्दिष्ट हैं। डायरेक्ट ए मेल खाता है सामान्य समीकरणप्रपत्र A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, पंक्ति b के लिए - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. तब M 0 (x 0 , y 0) समतल का एक निश्चित बिंदु है; यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या बिंदु M 0 इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

समस्या के समाधान के लिए परिभाषा का पालन करना आवश्यक है। फिर रेखाओं को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए जिसके निर्देशांक दिए गए समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का समाधान हैं। इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक सभी दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित किए जाते हैं। यदि, प्रतिस्थापन पर, वे सही पहचान देते हैं, तो M 0 (x 0 , y 0) को उनका प्रतिच्छेदन बिंदु माना जाता है।

उदाहरण 1

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ 5 x - 2 y - 16 = 0 और 2 x - 5 y - 19 = 0 दी गई हैं। क्या बिंदु M 0 निर्देशांक (2, - 3) के साथ एक प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

समाधान

रेखाओं का प्रतिच्छेदन वैध होने के लिए यह आवश्यक है कि बिंदु M 0 के निर्देशांक रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करें। इन्हें प्रतिस्थापित करके इसकी जाँच की जा सकती है। हमें वह मिल गया

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

दोनों समानताएँ सत्य हैं, जिसका अर्थ है कि M 0 (2, - 3) दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए चित्रित करें यह फैसलानीचे दिए गए चित्र की निर्देशांक रेखा पर।

उत्तर:निर्देशांक (2,-3) वाला दिया गया बिंदु दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

उदाहरण 2

क्या रेखाएँ 5 x + 3 y - 1 = 0 और 7 x - 2 y + 11 = 0 बिंदु M 0 (2, - 3) पर प्रतिच्छेद करेंगी?

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, आपको बिंदु के निर्देशांक को सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करना होगा। हमें वह मिल गया

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

दूसरी समानता सत्य नहीं है, इसका मतलब है कि दिया गया बिंदु रेखा 7 x - 2 y + 11 = 0 से संबंधित नहीं है। इससे हमें पता चलता है कि बिंदु M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

चित्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। उनके पास निर्देशांक (- 1, 2) के साथ एक सामान्य बिंदु है।

उत्तर:निर्देशांक (2,-3) वाला बिंदु दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

हम समतल पर दिए गए समीकरणों का उपयोग करके दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b, O x y पर स्थित A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 के रूप के समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु M 0 को निर्दिष्ट करते समय, हम पाते हैं कि हमें समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का उपयोग करके निर्देशांक की खोज जारी रखनी चाहिए।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि M 0 रेखाओं के प्रतिच्छेदन का उभयनिष्ठ बिंदु है। इस स्थिति में, इसके निर्देशांक को समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 को संतुष्ट करना होगा। दूसरे शब्दों में, यह परिणामी प्रणाली A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का समाधान है।

इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए सिस्टम के सभी समीकरणों को जोड़ना और इसे हल करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

समतल पर दो सीधी रेखाएँ x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 दी गई हैं। उनका प्रतिच्छेदन खोजना आवश्यक है।

समाधान

समीकरण की शर्तों पर डेटा को सिस्टम में एकत्र किया जाना चाहिए, जिसके बाद हमें x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 प्राप्त होता है। इसे हल करने के लिए, x के लिए पहले समीकरण को हल करें और अभिव्यक्ति को दूसरे में प्रतिस्थापित करें:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

परिणामी संख्याएँ वे निर्देशांक हैं जिन्हें खोजने की आवश्यकता है।

उत्तर: M 0 (4, 2) रेखाओं x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

निर्देशांक ढूँढना रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए आता है। यदि शर्त के अनुसार भिन्न प्रकार का समीकरण दिया गया हो तो उसे सामान्य रूप में कर देना चाहिए।

उदाहरण 4

रेखाओं x - 5 = y - 4 - 3 और x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

सबसे पहले आपको समीकरण लाने होंगे सामान्य उपस्थिति. तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R को इस प्रकार रूपांतरित किया जाता है:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

फिर हम विहित रूप x - 5 = y - 4 - 3 का समीकरण लेते हैं और इसे रूपांतरित करते हैं। हमें वह मिल गया

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

यहां से हमें पता चला कि निर्देशांक प्रतिच्छेदन बिंदु हैं

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

आइए निर्देशांक खोजने के लिए क्रैमर विधि का उपयोग करें:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

उत्तर:म0 (- 5 , 1) .

किसी समतल पर स्थित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का भी एक तरीका है। यह तब लागू होता है जब पंक्तियों में से एक को x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R के रूप के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है। फिर मान x के स्थान पर हम x = x 1 + a x · λ और y = y 1 + a y · λ प्रतिस्थापित करते हैं, जहां हमें λ = λ 0 मिलता है, जो निर्देशांक x 1 + a x · λ 0 वाले प्रतिच्छेदन बिंदु के अनुरूप है। , y 1 + a y · λ 0 .

उदाहरण 5

रेखा x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R और x - 5 = y - 4 - 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।

समाधान

x - 5 = y - 4 - 3 में अभिव्यक्ति x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ के साथ प्रतिस्थापन करना आवश्यक है, तो हमें मिलता है:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

हल करते समय, हम पाते हैं कि λ = - 1. इसका तात्पर्य यह है कि रेखाओं x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R और x - 5 = y - 4 - 3 के बीच एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। निर्देशांक की गणना करने के लिए, आपको पैरामीट्रिक समीकरण में अभिव्यक्ति λ = - 1 को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

उत्तर:म0 (- 5 , 1) .

विषय को पूरी तरह से समझने के लिए आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा।

सबसे पहले आपको लाइनों के स्थान को समझने की आवश्यकता है। जब वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो हम निर्देशांक ढूंढ लेंगे; अन्य मामलों में, कोई समाधान नहीं होगा। इस जाँच से बचने के लिए, आप A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 फॉर्म की एक प्रणाली बना सकते हैं। यदि कोई समाधान है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि कोई समाधान नहीं है, तो वे समानांतर हैं। जब किसी सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, तो उन्हें संपाती कहा जाता है।

उदाहरण 6

दी गई पंक्तियाँ x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4. निर्धारित करें कि क्या उनके पास एक समान बिंदु है।

समाधान

दिए गए समीकरणों को सरल बनाने पर, हमें 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 और 4 3 x - y - 4 = 0 प्राप्त होता है।

आगामी समाधान के लिए समीकरणों को एक प्रणाली में एकत्रित किया जाना चाहिए:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

इससे हम देख सकते हैं कि समीकरण एक-दूसरे के माध्यम से व्यक्त होते हैं, फिर हमें अनंत संख्या में समाधान मिलते हैं। फिर समीकरण x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4 एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं। इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

उत्तर:दिए गए समीकरण समान सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 7

रेखाओं 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 और 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार यह संभव है, रेखाएं एक दूसरे को नहीं काटेंगी। समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और हल करना आवश्यक है। हल करने के लिए, गाऊसी विधि का उपयोग करना आवश्यक है, क्योंकि इसकी मदद से संगतता के लिए समीकरण की जांच करना संभव है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

हमें गलत समानता प्राप्त हुई, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं। कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं.

दूसरा उपाय.

सबसे पहले आपको रेखाओं के प्रतिच्छेदन की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है।

n 1 → = (2, 2 - 3) रेखा 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 का सामान्य सदिश है, तो सदिश n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 है रेखा 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 के लिए सामान्य वेक्टर।

सदिश n 1 → = (2, 2 - 3) और n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) की संरेखता की जाँच करना आवश्यक है। हमें 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 के रूप की समानता प्राप्त होती है। यह सही है क्योंकि 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश संरेख हैं। इसका मतलब यह है कि रेखाएँ समानांतर हैं और उनका कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

उत्तर:कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण 8

दी गई रेखाओं 2 x - 1 = 0 और y = 5 4 x - 2 के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

हल करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। हम पाते हैं

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

आइए मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें। इसके लिए 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. चूँकि यह शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम में 1 समाधान है। इससे यह पता चलता है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए एक प्रणाली को हल करें:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

हमने पाया कि दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक M 0 (1 2, - 11 8) हैं।

उत्तर:म0 (1 2 , - 11 8) .

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना

इसी प्रकार अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किये जाते हैं।

जब निर्देशांक तल O x y z में सीधी रेखाएं a और b प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, तो एक सीधी रेखा a होती है, जिसे दिए गए सिस्टम A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 और सीधी रेखा b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + डी 4 = 0.

जब बिंदु M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो इसके निर्देशांक दोनों समीकरणों के समाधान होने चाहिए। हम पाते हैं रेखीय समीकरणसिस्टम में:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 = 0

आइए उदाहरणों का उपयोग करके समान कार्यों को देखें।

उदाहरण 9

दी गई रेखाओं x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम सिस्टम x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 बनाते हैं और इसे हल करते हैं। निर्देशांक खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स के माध्यम से हल करने की आवश्यकता है। फिर हमें फॉर्म A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 और विस्तारित मैट्रिक्स T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 का मुख्य मैट्रिक्स प्राप्त होता है। हम मैट्रिक्स की गाऊसी रैंक निर्धारित करते हैं।

हमें वह मिल गया

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक का मान 3 है। तब समीकरण x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 की प्रणाली का परिणाम केवल एक ही होता है।

आधार लघु का निर्धारक 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 है, तो अंतिम समीकरण लागू नहीं होता है। हम पाते हैं कि x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. प्रणाली का समाधान - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3।

इसका मतलब यह है कि प्रतिच्छेदन बिंदु x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 के निर्देशांक (1, - 3, 0) हैं।

उत्तर: (1 , - 3 , 0) .

फॉर्म की प्रणाली A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 का केवल एक ही हल है। इसका मतलब है कि रेखाएं ए और बी प्रतिच्छेद करती हैं।

अन्य मामलों में, समीकरण का कोई हल नहीं है, यानी कोई उभयनिष्ठ बिंदु भी नहीं है। अर्थात्, निर्देशांक के साथ एक बिंदु खोजना असंभव है, क्योंकि यह मौजूद नहीं है।

इसलिए, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z रूप की एक प्रणाली + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 को गॉसियन विधि द्वारा हल किया जाता है। यदि यह असंगत है, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं। यदि समाधानों की संख्या अनंत है, तो वे मेल खाते हैं।

आप मैट्रिक्स की मूल और विस्तारित रैंक की गणना करके हल कर सकते हैं, और फिर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय लागू कर सकते हैं। हमें एक मिलता है, अनेक या पूर्ण अनुपस्थितिनिर्णय.

उदाहरण 10

रेखाओं x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 और x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 के समीकरण दिए गए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें.

समाधान

सबसे पहले, आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं। हम पाते हैं कि x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. हम इसे गाऊसी विधि का उपयोग करके हल करते हैं:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

जाहिर है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं एक दूसरे को नहीं काटती हैं। कोई चौराहा बिंदु नहीं है.

उत्तर:कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है.

यदि रेखाएं शंक्वाकार या पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं, तो आपको उन्हें प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों के रूप में कम करना होगा, और फिर निर्देशांक ढूंढना होगा।

उदाहरण 11

O x y z में दो पंक्तियाँ x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R और x 2 = y - 3 0 = z 5 दी गई हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें.

समाधान

हम दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा सीधी रेखाओं को परिभाषित करते हैं। हमें वह मिल गया

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

हम निर्देशांक 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 पाते हैं, इसके लिए हम मैट्रिक्स की रैंक की गणना करते हैं। मैट्रिक्स की रैंक 3 है, और आधार माइनर 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 है, जिसका अर्थ है कि अंतिम समीकरण को सिस्टम से बाहर रखा जाना चाहिए। हमें वह मिल गया

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

आइए क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। हम पाते हैं कि x = - 2 y = 3 z = - 5. यहां से हमें पता चलता है कि दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन निर्देशांक (- 2, 3, - 5) के साथ एक बिंदु देता है।

उत्तर: (- 2 , 3 , - 5) .

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पुराने दिनों में, मुझे गणितीय विज़ुअलाइज़ेशन सहित 2डी और 3डी दोनों कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में रुचि थी। जिसे केवल मनोरंजन के लिए कहा जाता है, एक छात्र के रूप में, मैंने एक प्रोग्राम लिखा था जो किसी भी आयाम में घूमते हुए एन-आयामी आंकड़ों की कल्पना करता है, हालांकि व्यावहारिक रूप से मैं केवल 4-डी हाइपरक्यूब के लिए अंक निर्धारित करने में सक्षम था। लेकिन ये सिर्फ एक कहावत है. ज्यामिति के प्रति मेरा प्रेम तब से लेकर आज तक मुझमें बना हुआ है और मुझे हल करना अब भी पसंद है दिलचस्प कार्यदिलचस्प तरीकों से.
इनमें से एक समस्या का सामना मुझे 2010 में हुआ था। यह कार्य अपने आप में काफी मामूली है: आपको यह पता लगाना होगा कि क्या दो 2-डी खंड प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ढूंढें। एक अधिक दिलचस्प समाधान वह है जो, मुझे लगता है, काफी सुंदर निकला, और जिसे मैं पाठक को पेश करना चाहता हूं। मैं एल्गोरिथम की मौलिकता का दावा नहीं करता (हालाँकि मैं ऐसा करना चाहता हूँ), लेकिन मुझे इंटरनेट पर समान समाधान नहीं मिल सके।

काम

दो खंड दिए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक को दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है: (v11, v12), (v21, v22)। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें।

समाधान

सबसे पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या खंड प्रतिच्छेद करते हैं। प्रतिच्छेदन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त जो दोनों खंडों के लिए पूरी होनी चाहिए वह निम्नलिखित है: यदि विमान को एक रेखा से विभाजित किया जाता है जिस पर खंडों में से दूसरा स्थित है, तो खंडों में से एक के अंतिम बिंदु अलग-अलग आधे-तलों में स्थित होने चाहिए। आइए इसे एक चित्र के साथ प्रदर्शित करें।

बायाँ चित्र (1) दो खंड दिखाता है, दोनों के लिए शर्त पूरी होती है, और खंड प्रतिच्छेद करते हैं। सही (2) चित्र में, खंड बी के लिए शर्त पूरी होती है, लेकिन खंड ए के लिए यह पूरी नहीं होती है, और तदनुसार खंड प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
ऐसा लग सकता है कि यह निर्धारित करना कि कोई बिंदु रेखा के किस तरफ स्थित है, एक गैर-तुच्छ कार्य है, लेकिन डर की आंखें बड़ी होती हैं, और सब कुछ इतना मुश्किल नहीं है। हम जानते हैं कि दो सदिशों का सदिश गुणन हमें एक तीसरा सदिश देता है, जिसकी दिशा इस बात पर निर्भर करती है कि पहले और दूसरे सदिश के बीच का कोण क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक है, ऐसी संक्रिया प्रतिक्रम्यूटेटिव होती है। और चूँकि सभी सदिश झूठ बोलते हैं एक्स-वाई विमान, तो उनके वेक्टर उत्पाद (जो गुणा किए जाने वाले वैक्टर के लंबवत होना चाहिए) में केवल एक गैर-शून्य घटक Z होगा, और तदनुसार, वैक्टर के उत्पादों के बीच का अंतर केवल इस घटक में होगा। इसके अलावा, जब सदिशों के गुणन का क्रम बदलता है (पढ़ें: गुणित सदिशों के बीच का कोण), तो इसमें केवल इस घटक के चिह्न को बदलना शामिल होगा।
इसलिए, हम विभाजित करने वाले खंड के वेक्टर को विभाजित करने वाले खंड की शुरुआत से जांचे जा रहे खंड के दोनों बिंदुओं तक निर्देशित वैक्टर द्वारा जोड़े में गुणा कर सकते हैं।

यदि दोनों उत्पादों के Z घटक हैं अलग संकेत, जिसका अर्थ है कि एक कोण 0 से कम है लेकिन -180 से अधिक है, और दूसरा कोण क्रमशः 0 से अधिक और 180 से कम है, बिंदु सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। यदि दोनों उत्पादों के Z घटकों का चिह्न समान है, तो वे रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं।
यदि Z का एक घटक शून्य है, तो हमारे पास एक सीमा रेखा का मामला होता है जब बिंदु बिल्कुल परीक्षण की जा रही रेखा पर स्थित होता है। आइए इसे उपयोगकर्ता पर छोड़ दें कि वे इसे एक चौराहा मानना चाहते हैं या नहीं।
फिर हमें दूसरे खंड और रेखा के लिए ऑपरेशन दोहराने की जरूरत है, और सुनिश्चित करें कि इसके अंतिम बिंदुओं का स्थान भी शर्त को पूरा करता है।
इसलिए, यदि सब कुछ ठीक है और दोनों खंड शर्त को पूरा करते हैं, तो चौराहा मौजूद है। आइए इसे ढूंढें, और वेक्टर उत्पाद भी इसमें हमारी सहायता करेगा।
चूँकि वेक्टर उत्पाद में हमारे पास केवल एक गैर-शून्य घटक Z है, तो इसका मापांक (वेक्टर लंबाई) संख्यात्मक रूप से इस घटक के बराबर होगा। आइए देखें कि प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे खोजें।

वैक्टर ए और बी के वेक्टर उत्पाद की लंबाई (जैसा कि हमने पाया, संख्यात्मक रूप से इसके घटक जेड के बराबर है) इन वैक्टरों के पूर्ण मूल्यों और उनके बीच के कोण की साइन के उत्पाद के बराबर है (|ए) | |बी| पाप(एबी)). तदनुसार, चित्र में कॉन्फ़िगरेशन के लिए हमारे पास निम्नलिखित है: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), और |AB x AD| = |AB||AD| पाप(β). |AC|sin(α) बिंदु C से खंड AB पर एक लंबवत है, और |AD|sin(β) बिंदु D से खंड AB (लेग ADD") तक एक लंबवत है। चूंकि कोण γ और δ हैं लंब कोण, तो वे बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिकोण पीसीसी" और पीडीडी" समान हैं, और, तदनुसार, उनकी सभी भुजाओं की लंबाई समान अनुपात में आनुपातिक है।
Z1 (AB x AC, जिसका अर्थ है |AB||AC|sin(α)) और Z2 (AB x AD, जिसका अर्थ है |AB||AD|sin(β)) होने पर, हम CC"/DD" की गणना कर सकते हैं। जो Z1/Z2 के बराबर होगा), और यह भी जानते हुए कि CC"/DD" = CP/DP, आप आसानी से बिंदु P के स्थान की गणना कर सकते हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इसे निम्नानुसार करता हूं:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

बस इतना ही। मुझे लगता है कि यह वास्तव में बहुत सरल और सुंदर है। अंत में, मैं वह फ़ंक्शन कोड प्रदान करना चाहूँगा जो इस एल्गोरिथम को लागू करता है। फ़ंक्शन होममेड वेक्टर टेम्पलेट का उपयोग करता है , जो टाइपनाम के घटकों के साथ एक पूर्ण आकार का वेक्टर टेम्पलेट है। रुचि रखने वाले लोग आसानी से फ़ंक्शन को अपने वेक्टर प्रकारों में समायोजित कर सकते हैं।

1 टेम्पलेट 2 बूल आर_क्रॉसिंग(वेक्टर) स्थिरांक &v11, वेक्टर स्थिरांक &v12, वेक्टर स्थिरांक &v21, वेक्टर स्थिरांक &v22, वेक्टर *क्रॉसिंग) 3 (4 वेक्टर कट1(v12-v11), कट2(v22-v21); 5 वेक्टर उत्पाद1, उत्पाद2; 6 7 उत्पाद1 = क्रॉस(कट1 * (v21-v11)); 8 उत्पाद2 = क्रॉस(कट1 * (v22-v11)); 9 10 यदि(चिह्न(उत्पाद1[जेड]) == चिह्न(उत्पाद2[जेड]) || (उत्पाद1[जेड] == 0) || (उत्पाद2[जेड] == 0)) // हमने सीमा रेखा भी काट दी मामले 11 झूठी वापसी; 12 13 उत्पाद1 = क्रॉस(कट2 * (v11-v21)); 14 उत्पाद2 = क्रॉस(कट2 * (v12-v21)); 15 16 यदि(चिह्न(उत्पाद1[जेड]) == चिह्न(उत्पाद2[जेड]) || (उत्पाद1[जेड] == 0) || (उत्पाद2[जेड] == 0)) // हमने सीमा रेखा भी काट दी मामले 17 झूठी वापसी; 18 19 यदि(क्रॉसिंग) ( // जांचें कि क्या चौराहे का स्थान निर्धारित करना आवश्यक है 20 (*क्रॉसिंग)[एक्स] = वी11[एक्स] + कट1[एक्स]*फैब्स(प्रोड1[जेड])/फैब्स(प्रोड2[ Z]- prod1[Z]); 21 (*क्रॉसिंग)[Y] = v11[Y] + कट1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 रिटर्न सच; 25)

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आइए परिचित होना जारी रखें ज्यामितीय एल्गोरिदम. पिछले पाठ में, हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण पाया। हमें इस रूप का एक समीकरण मिला:

आज हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे, जो दो सीधी रेखाओं के समीकरणों का उपयोग करके, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि कोई हो) के निर्देशांक ढूंढेगा। वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच करने के लिए, हम विशेष फ़ंक्शन RealEq() का उपयोग करेंगे।

समतल पर बिंदुओं का वर्णन वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा किया जाता है। वास्तविक प्रकार का उपयोग करते समय, विशेष कार्यों का उपयोग करके तुलना संचालन को लागू करना बेहतर होता है।

कारण ज्ञात है: पास्कल प्रोग्रामिंग सिस्टम में वास्तविक प्रकार पर कोई ऑर्डर संबंध नहीं है, इसलिए फॉर्म ए = बी के रिकॉर्ड का उपयोग न करना बेहतर है, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं।
आज हम "=" (सख्ती से बराबर) ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealEq() फ़ंक्शन पेश करेंगे:

फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

काम। दो सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: और। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान। स्पष्ट समाधान रेखा समीकरणों की प्रणाली को हल करना है: आइए इस प्रणाली को थोड़ा अलग तरीके से फिर से लिखें:
(1)

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: , , . यहां डी सिस्टम का निर्धारक है, और संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक के कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलने से उत्पन्न निर्धारक हैं। यदि, तो सिस्टम (1) निश्चित है, अर्थात इसका एक अद्वितीय समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: जिन्हें कहा जाता है क्रैमर सूत्र. मैं आपको याद दिला दूं कि दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है। निर्धारक दो विकर्णों को अलग करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक दिशा में लिए गए तत्व शामिल होते हैं। पार्श्व विकर्ण - ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद को घटाकर द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है।

समानता की जांच करने के लिए कोड RealEq() फ़ंक्शन का उपयोग करता है। वास्तविक संख्याओं पर गणना _Eps=1e-7 की सटीकता के साथ की जाती है।

प्रोग्राम जियोम2; स्थिरांक _ईपीएस: वास्तविक=1e-7;(गणना सटीकता) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:वास्तविक; फ़ंक्शन RealEq(कॉन्स्ट ए, बी:रियल):बूलियन; (पूरी तरह से बराबर) प्रारंभ RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

हमने एक प्रोग्राम संकलित किया है जिसकी सहायता से आप रेखाओं के समीकरणों को जानकर, उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके आप किसी समतल पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगा सकते हैं। स्पष्टीकरण सहित विस्तृत समाधान दिया गया है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, रेखाओं के समीकरण का प्रकार ("कैनोनिकल", "पैरामीट्रिक" या "सामान्य") सेट करें, कोशिकाओं में रेखाओं के समीकरणों के गुणांक दर्ज करें और "हल करें" पर क्लिक करें " बटन। नीचे सैद्धांतिक भाग और संख्यात्मक उदाहरण देखें।

चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डेटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक या दशमलव संख्याएँ हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

एक समतल पर रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु - सिद्धांत, उदाहरण और समाधान

1. सामान्य रूप में दिया गया रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।

ऑक्सी एल 1 और एल 2:

आइए एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

अगर बी" 2 =0 और साथ" 2 =0, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के कई समाधान हैं। इसलिए सीधे एल 1 और एल 2 मैच. अगर बी" 2 =0 और साथ" 2 ≠0, तो सिस्टम असंगत है और इसलिए, रेखाएं समानांतर हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। अगर बी" 2 ≠0, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है। दूसरे समीकरण से हम पाते हैं य: य=साथ" 2 /बी" 2 और परिणामी मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए हम पाते हैं एक्स: एक्स=−साथ 1 −बी 1 य. हमें रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु मिल गया एल 1 और एल 2: एम(एक्स, वाई).

2. विहित रूप में दिया गया रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।

मान लीजिए एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सीऔर इस समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाएँ दी जाएँ एल 1 और एल 2:

आइए कोष्ठक खोलें और परिवर्तन करें:

समान विधि का उपयोग करके, हम सीधी रेखा (7) का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं:

समीकरण (12) से यह इस प्रकार है:

विहित रूप में दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें, इसका वर्णन ऊपर किया गया है।

4. विभिन्न दृश्यों में निर्दिष्ट रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।

हम ढूंढ लेंगे टी:

ए 1 एक्स 2 +ए 1 एमटी+बी 1 य 2 +बी 1 पीटी+सी 1 =0,

आइए हम इसके संबंध में रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें एक्स, वाई. ऐसा करने के लिए, हम गाऊसी विधि का उपयोग करेंगे। हम पाते हैं:

उदाहरण 2. रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एल 1 और एल 2:

एल 1: 2एक्स+3य+4=0,

(20)

(21)

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना एल 1 और एल 2 आपको रैखिक समीकरणों (20) और (21) की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है। आइए समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत करें।

लम्बवत रेखा

यह कार्य संभवतः स्कूली पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य विविध हैं। यह दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा है, यह मूल रेखा पर किसी भी कोण पर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण की परिभाषा भी है।

हम अपनी गणना में प्राप्त डेटा का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यह वहां था कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को एक कोणीय गुणांक वाले समीकरण में बदलने और इसके विपरीत पर विचार किया गया था, और दी गई शर्तों के अनुसार सीधी रेखा के शेष मापदंडों का निर्धारण किया गया था।

जिन समस्याओं के लिए यह पृष्ठ समर्पित है, उन्हें हल करने में हमारे पास क्या कमी है?

1. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो पंक्तियाँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना इस प्रकार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से, हम दो सीमा रेखा अवस्थाएँ देख सकते हैं

ए) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं (या संपाती होती हैं)

ख) जब , तब , और इसलिए ये रेखाएँ लंबवत होती हैं, अर्थात समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए दी गई सीधी रेखा के अलावा प्रारंभिक डेटा क्या हो सकता है?

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी सीधी रेखा उसे काटती है

रेखा का दूसरा समीकरण

एक बॉट किन समस्याओं का समाधान कर सकता है?

1. दो पंक्तियाँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या अप्रत्यक्ष रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा)। प्रतिच्छेदन बिंदु और उन कोणों की गणना करें जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया गया है। एक सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करें जो किसी दी गई रेखा को एक निर्दिष्ट कोण पर काटती है

उदाहरण

समीकरणों द्वारा दो पंक्तियाँ दी गई हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वे प्रतिच्छेद करती हैं

लाइन_पी ए=11;बी=-5;सी=6,के=3/7;बी=-5

हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है

पहली पंक्ति का समीकरण

y = 2.2 x + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

y = 0.4285714285714 x + (-5)

दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

एक्स = -3.5

y = -6.5

यह न भूलें कि दो पंक्तियों के पैरामीटर अल्पविराम से अलग होते हैं, और प्रत्येक पंक्ति के पैरामीटर अर्धविराम से अलग होते हैं।

एक सीधी रेखा दो बिंदुओं (1:-4) और (5:2) से होकर गुजरती है। उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2:-8) से होकर गुजरती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

हम एक सीधी रेखा को जानते हैं क्योंकि हम उन दो बिंदुओं को जानते हैं जिनसे होकर वह गुजरती है।

दूसरी पंक्ति का समीकरण निर्धारित करना बाकी है। हम एक बिंदु को जानते हैं, लेकिन दूसरे के बजाय, वह कोण दर्शाया गया है जिस पर पहली रेखा दूसरे को काटती है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलती न करना है। हम x-अक्ष और रेखा के बीच नहीं, बल्कि पहली और दूसरी रेखा के बीच के कोण (30 डिग्री) के बारे में बात कर रहे हैं।

यही कारण है कि हम इस तरह पोस्ट करते हैं। आइए पहली पंक्ति के पैरामीटर निर्धारित करें और पता लगाएं कि यह x-अक्ष को किस कोण पर काटती है।

रेखा xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = -6

कारक बी = 4

फैक्टर सी = 22

गुणांक ए= 3.6666666666667

गुणांक बी = -5.5

गुणांक k = 1.5

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 56.309932474019

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक q = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी=7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

स्रोत डेटा यह बिल्कुल नहीं बताता कि दूसरी पंक्ति पहली को कैसे काटती है। आख़िरकार, आप दो पंक्तियाँ बना सकते हैं जो शर्तों को पूरा करती हैं, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त घूमती है।

आइए उन्हें गिनें

यदि दूसरी रेखा को 30 डिग्री वामावर्त घुमाया जाता है, तो दूसरी रेखा में x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_पी xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

निर्दिष्ट मापदंडों के अनुसार एक सीधी रेखा के पैरामीटर

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = 23.011106998916

गुणांक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = 34.149767393603

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण x/a+y/b = 1

गुणांक ए= -1.4840558255286

गुणांक बी = 23.011106998916

कोणीय गुणांक y = kx + b के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक k = 15.505553499458

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 86.309932474019