दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की गणना कैसे करें। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

1. फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको दोनों फ़ंक्शंस को एक-दूसरे के बराबर करने की आवश्यकता है, $ x $ वाले सभी शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर ले जाएं और परिणामी की जड़ें ढूंढें समीकरण.
2. दूसरा तरीका समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और एक फ़ंक्शन को दूसरे में प्रतिस्थापित करके इसे हल करना है
3. तीसरे तरीके का मतलब है ग्राफिक निर्माणप्रतिच्छेदन बिंदु के कार्य और दृश्य परिभाषा।

दो रैखिक फलनों का मामला

दो पर विचार करें रैखिक कार्य$ f(x) = k_1 x+m_1 $ और $ g(x) = k_2 x + m_2 $। इन कार्यों को प्रत्यक्ष कहा जाता है। उन्हें बनाना काफी आसान है, आपको बस कोई दो मान $x_1$ और $x_2$ लेने होंगे और $f(x_1)$ और $(x_2)$ ढूंढने होंगे। फिर इसे $ g(x) $ फ़ंक्शन के साथ दोहराएं। इसके बाद, फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के समन्वय को दृष्टिगत रूप से ढूंढें।

आपको पता होना चाहिए कि रैखिक कार्यों में केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है और केवल $ k_1 \neq k_2 $ होने पर। अन्यथा, $ k_1=k_2 $ के मामले में, फ़ंक्शन एक दूसरे के समानांतर होते हैं, क्योंकि $ k $ ढलान कारक है। यदि $ k_1 \neq k_2 $, लेकिन $ m_1=m_2 $, तो प्रतिच्छेदन बिंदु $ M(0;m) $ होगा। समस्या के त्वरित समाधान के लिए इस नियम को याद रखना वांछनीय है।

दो गैर-रैखिक कार्यों का मामला

समन्वय विधि का उपयोग करके कुछ ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। अक्सर, किसी को समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की तलाश करनी होती है, लेकिन कभी-कभी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। इस लेख में, हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने से निपटेंगे जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

पेज नेविगेशन.

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

आइए सबसे पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिभाषित करें।

इस प्रकार, सामान्य समीकरणों द्वारा समतल पर परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, दी गई रेखाओं के समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें.

उदाहरण।

समीकरण x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 द्वारा समतल में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं।

समाधान।

हमें रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, हम उनसे एक प्रणाली बनाएंगे: . परिणामी समीकरण प्रणाली का समाधान आसानी से मिल जाता है यदि इसका पहला समीकरण चर x के संबंध में हल किया जाता है और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:

समीकरणों की प्रणाली का पाया गया समाधान हमें दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देता है।

उत्तर:

एम 0 (4, 2) x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 .

इसलिए, समतल पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना, दो की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम किया जाता है रेखीय समीकरणदो अज्ञात चर के साथ. लेकिन क्या होगा यदि समतल पर सीधी रेखाएं सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के समीकरणों द्वारा दी गई हों (तल पर सीधी रेखा के समीकरण के प्रकार देखें)? इन मामलों में, आप पहले रेखाओं के समीकरणों को एक सामान्य रूप में ला सकते हैं, और उसके बाद ही प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पा सकते हैं।

उदाहरण।

और ।

समाधान।

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, हम उनके समीकरणों को एक सामान्य रूप में लाते हैं। पैरामीट्रिक समीकरणों से एक सीधी रेखा में संक्रमण इस सीधी रेखा का सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

अब खर्च करते हैं आवश्यक कार्रवाईरेखा के विहित समीकरण के साथ:

इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक प्रपत्र के समीकरणों की प्रणाली का समाधान हैं . हम इसे हल करने के लिए उपयोग करते हैं:

उत्तर:

एम 0 (-5, 1)

समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक और तरीका है। इसका उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब किसी एक पंक्ति को प्रपत्र के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है , और दूसरा - एक अलग रूप की सीधी रेखा का समीकरण। इस स्थिति में, किसी अन्य समीकरण में, चर x और y के बजाय, आप व्यंजकों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और , जिससे वह मान प्राप्त करना संभव होगा जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण से रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात करें।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें और ।

समाधान।

प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है। यह मान रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु से मेल खाता है और । हम पैरामीट्रिक समीकरणों में सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करते हैं:
.

उत्तर:

म0(-5,1) .

तस्वीर को पूरा करने के लिए एक और बिंदु पर चर्चा की जानी चाहिए.

समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, यह सुनिश्चित करना उपयोगी होता है कि दी गई रेखाएँ वास्तव में प्रतिच्छेद करती हैं। यदि यह पता चलता है कि मूल रेखाएँ मेल खाती हैं या समानांतर हैं, तो ऐसी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने का कोई सवाल ही नहीं उठता।

आप निश्चित रूप से, इस तरह की जांच के बिना कर सकते हैं, और तुरंत फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं और इसे हल करें. यदि समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है, तो यह उस बिंदु के निर्देशांक देता है जिस पर मूल रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि वास्तविक संख्या x और y की ऐसी कोई जोड़ी नहीं है जो एक साथ दी गई रेखाओं के दोनों समीकरणों को संतुष्ट कर सके)। समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के अनंत सेट की उपस्थिति से, यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल रेखाओं में अनंत रूप से कई बिंदु समान होते हैं, अर्थात वे मेल खाते हैं।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जो इन स्थितियों में फिट बैठते हों।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

समाधान।

दिए गए समीकरणरेखाएँ समीकरणों के अनुरूप हैं और . आइए इन समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करें .

यह स्पष्ट है कि सिस्टम के समीकरण एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं (सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से उसके दोनों भागों को 4 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है), इसलिए, समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस प्रकार, समीकरण एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उत्तर:

समीकरण और आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक ही सीधी रेखा निर्धारित करते हैं, इसलिए हम प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और , अगर संभव हो तो।

समाधान।

समस्या की स्थिति यह स्वीकार करती है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं। आइए इन समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं। इसके समाधान के लिए लागू, क्योंकि यह आपको समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देता है, और यदि यह संगत है, तो समाधान ढूंढें:

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम के बाद प्रणाली का अंतिम समीकरण गलत समानता में बदल गया, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

दूसरा उपाय.

आइए जानें कि दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं।

- सामान्य रेखा सदिश , और वेक्टर रेखा का एक सामान्य सदिश है . आइए निष्पादन की जाँच करें और : समानता सत्य है, इसलिए, दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख होते हैं। फिर, ये रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं। इस प्रकार, हम मूल रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं पा सकते हैं।

उत्तर:

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि ये रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण।

रेखाओं 2x-1=0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान।

हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं जो दी गई रेखाओं के सामान्य समीकरण हैं: . समीकरणों की इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है , इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को इंगित करता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

परिणामी समाधान हमें रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक देता है, अर्थात, 2x-1=0 और .

उत्तर:

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समान रूप से पाए जाते हैं।

आइए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में दिए गए दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें और .

समाधान।

हम दी गई रेखाओं के समीकरणों से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं: . इस प्रणाली का समाधान हमें अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देगा। आइए हम समीकरणों की लिखित प्रणाली का हल खोजें।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है , और विस्तारित .

आइए परिभाषित करें ए और मैट्रिक्स टी की रैंक। हम उपयोग करते हैं

टिप्पणियाँ 11

काम

इन बिंदुओं से ज्ञात निर्देशांक और दिगंश के साथ दो बिंदुओं से खींची गई दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं।

आवेदन

जानवरों के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए, रेडियो टेलीमेट्री पद्धति का अक्सर उपयोग किया जाता है: अध्ययन के तहत वस्तु को एक रेडियो ट्रांसमीटर के साथ चिह्नित किया जाता है जो एक निश्चित आवृत्ति के रेडियो सिग्नल का उत्सर्जन करता है, और फिर शोधकर्ता, एक रिसीवर और एक प्राप्त एंटीना का उपयोग करके, निगरानी करता है इस वस्तु की गति. में से एक संभावित तरीकेकिसी वस्तु का सटीक स्थान निर्धारित करना बायएंग्यूलेशन की विधि है। ऐसा करने के लिए, शोधकर्ता को ज्ञात निर्देशांक वाले बिंदुओं से अध्ययन के तहत वस्तु पर 2 अज़ीमुथ लेने की आवश्यकता है। वस्तु का स्थान इन दो दिगंशों के प्रतिच्छेदन बिंदु के अनुरूप होगा। जिन बिंदुओं से अज़ीमुथ का पता लगाया जाता है उनके निर्देशांक उपग्रह नेविगेटर (जीपीएस) का उपयोग करके लिए जा सकते हैं, या अज़ीमुथ संदर्भ बिंदुओं से लिए जाते हैं, जिनके निर्देशांक पहले से ज्ञात होते हैं। इस मामले में अज़ीमुथ ट्रांसमीटर द्वारा चिह्नित वस्तु से आने वाले सबसे मजबूत सिग्नल के स्रोत की दिशा है, जिसे आमतौर पर डिग्री में मापा जाता है।

गणना से पहले, जीपीएस का उपयोग करके प्राप्त बिंदुओं को अनुमानित समन्वय प्रणाली में अनुवाद करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, संबंधित यूटीएम क्षेत्र, यह DNRGarmin का उपयोग करके किया जा सकता है।

अध्ययन के तहत वस्तु की गणना की गई स्थिति वास्तविक स्थिति से सबसे सटीक रूप से मेल खाने के लिए, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) उस क्षण की प्रतीक्षा करने का प्रयास करना आवश्यक है ताकि नेविगेटर में निर्देशांक निर्धारित करने में त्रुटि यथासंभव छोटी हो।

2) ताकि दिगंश के बीच का कोण 90 डिग्री हो जाए (कम से कम यह 30 से अधिक और 150 डिग्री से कम था)।

जिस दूरी से अज़ीमुथ लिया जाना चाहिए वह ट्रांसमीटर की सीमा पर निर्भर करता है, जबकि सामान्य नियम यह लागू होता है कि अज़ीमुथ निर्धारित करने में त्रुटि प्रत्येक 10 मीटर के लिए अध्ययन के तहत वस्तु से दूरी के साथ 1 मीटर बढ़ जाती है। 100 मीटर की वस्तु की दूरी के साथ अज़ीमुथ लेते समय, त्रुटि 10 मीटर होगी। हालाँकि, यह नियम समतल खुले क्षेत्र पर लागू होता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि असमान भूभाग और पेड़ और झाड़ियाँ सिग्नल को ढाल देते हैं और प्रतिबिंबित करते हैं। आपको अध्ययनाधीन वस्तु के करीब होने से बचना चाहिए, क्योंकि। सबसे पहले, बहुत मजबूत सिग्नल से सटीक अज़ीमुथ निर्धारित करना मुश्किल हो जाएगा, और दूसरी बात, कुछ मामलों में इस तथ्य के कारण चौराहे बिंदु की गणना करना संभव नहीं होगा कि दूसरा अज़ीमुथ उस बिंदु के पीछे से गुजर जाएगा जहां पहला अज़ीमुथ था लिया गया। अज़ीमुथ की एक जोड़ी लेने के बीच का समय अंतराल कम से कम किया जाना चाहिए, लेकिन, निश्चित रूप से, यह अध्ययन के तहत जानवर की गतिशीलता पर निर्भर करता है।

समाधान

समस्या को सरलतम ज्यामिति का उपयोग करके और समीकरणों की प्रणाली को हल करके हल किया जाता है।
आरंभ करने के लिए, एक बिंदु और एक दिगंश से, हम इसके लिए एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

समीकरण से सामान्य रूप से देखें:

कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0

बशर्ते कि बी<>0 मिलता है

वाई = केएक्स + डी , कहाँ के=-(ए/बी) , डी=-(सी/बी)

इस प्रकार हमें प्राप्त होता है

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
बी=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

हमें दो रेखाओं (प्रतिच्छेदन बिंदु) के उभयनिष्ठ बिंदु के X और Y निर्देशांक मिलते हैं।

समीकरण में दो शामिल होने चाहिए विशेष अवसरजब रेखाएँ समानांतर हों (k1=k2)।

चूँकि हम सदिशों या किरणों के साथ व्यवहार नहीं कर रहे हैं, अर्थात रेखाओं की कोई शुरुआत और अंत नहीं है, तथाकथित, रुचि के क्षेत्र के बाहर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के मामले को प्रदान करना भी आवश्यक है। झूठा चौराहा. इस समस्या का समाधान गलत बिंदु a3 से बिंदु 2 तक अज़ीमुथ को मापकर प्राप्त किया जाता है, यदि अज़ीमुथ a3 = a2 है, तो प्रतिच्छेदन गलत है, प्राप्त बिंदु से मूल 2 तक रिवर्स अज़ीमुथ के बराबर नहीं होना चाहिए मूल अज़ीमुथों में से एक।

एवेन्यू में आवश्यक प्रक्रिया इस प्रकार है:

यदि दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो वे सख्ती से एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। खोज करना COORDINATES अंक 2 पंक्तियों के प्रतिच्छेदन की अनुमति ग्राफ़िकल और अंकगणितीय दोनों तरीकों से दी जाती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कार्य कौन सा डेटा प्रदान करता है।

आपको चाहिये होगा

• - चित्र में दो सीधी रेखाएँ;
• - 2 सीधी रेखाओं के समीकरण।

अनुदेश

1. यदि रेखाएँ ग्राफ़ पर अधिक बारीकी से खींची गई हैं, तो ग्राफ़िक रूप से समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, दोनों या एक पंक्ति को जारी रखें ताकि वे प्रतिच्छेद करें। उसके बाद, प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें और उससे लंबवत को x-अक्ष पर नीचे करें (ओह, हमेशा की तरह)।

2. अक्ष पर टिक मार्क का उपयोग करके, उस बिंदु के लिए x मान ज्ञात करें। यदि यह अक्ष की धनात्मक दिशा (शून्य चिह्न के दाईं ओर) पर है, तो इसका मान सही होगा, अन्यथा यह ऋणात्मक होगा।

3. यह सच है कि यह प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि का भी पता लगाता है। यदि बिंदु का प्रक्षेपण शून्य चिह्न के ऊपर स्थित है, तो यह सही है; यदि यह नीचे है, तो यह नकारात्मक है। बिंदु के निर्देशांकों को (x, y) रूप में लिखें - यही समस्या का समाधान है।

4. यदि रेखाएँ सूत्र y=kx+b के रूप में दी गई हैं, तो आप समस्या को ग्राफिक रूप से भी हल कर सकते हैं: समन्वय ग्रिड पर रेखाएँ खींचें और ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके समाधान खोजें।

5. इन सूत्रों को लागू करके समस्या का समाधान खोजने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, इन समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और इसे हल करें। यदि समीकरण y=kx+b के रूप में दिए गए हैं, तो मूल रूप से दोनों पक्षों को x के साथ बराबर करें और x खोजें। फिर x मान को किसी एक समीकरण में डालें और y ज्ञात करें।

6. इसे क्रैमर विधि द्वारा समाधान खोजने की अनुमति है। इस स्थिति में, समीकरणों को A1x + B1y + C1 = 0 और A2x + B2y + C2 = 0 के रूप में लाएँ। क्रैमर के सूत्र के अनुसार, x = - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1), और y = - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1)। ध्यान दें, यदि हर शून्य के बराबर है, तो रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं और, तदनुसार, प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

7. यदि आपको विहित रूप में अंतरिक्ष में रेखाएँ दी गई हैं, तो समाधान की तलाश शुरू करने से पहले, जाँच लें कि क्या रेखाएँ समानांतर हैं। ऐसा करने के लिए, t से पहले घातांक का मूल्यांकन करें यदि वे आनुपातिक हैं, मान लीजिए, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t और x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, तो रेखाएँ समानांतर हैं। इसके अलावा, रेखाएं एक दूसरे को काट सकती हैं, ऐसी स्थिति में सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होगा।

8. यदि आपको पता चलता है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करें। सबसे पहले, सशर्त रूप से पहली पंक्ति के लिए t को u से और दूसरी पंक्ति के लिए v से प्रतिस्थापित करके विभिन्न पंक्तियों से चर को बराबर सेट करें। मान लीजिए कि यदि आपको पंक्तियाँ x=t-1, y=2t+1, z=t+2 और x=t+1, y=t+1, z=2t+8 दी गई हैं तो आपको u-1 जैसे भाव मिलेंगे =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. एक समीकरण से u व्यक्त करें, दूसरे में प्रतिस्थापित करें और v खोजें (इस समस्या में u=-2,v=-4)। अब, प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, प्राप्त मानों को t के स्थान पर प्रतिस्थापित करें (पहले या दूसरे समीकरण में कोई अंतर नहीं) और बिंदु के निर्देशांक x=-3, y=-3, z=0 प्राप्त करें .

2 प्रतिच्छेदन पर विचार करना प्रत्यक्षउन्हें एक समतल में मानना ​​पर्याप्त है, क्योंकि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं। इनके समीकरण जान रहे हैं प्रत्यक्ष, इसे उनके बिंदु का समन्वय खोजने की अनुमति है चौराहों .

आपको चाहिये होगा

• रेखाओं के समीकरण

अनुदेश

1. कार्तीय निर्देशांक में, एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + C = 0. मान लीजिए कि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। पहली पंक्ति के समीकरण का रूप Ax + By + C = 0 है, दूसरी पंक्ति - Dx + Ey + F = 0 है। सभी संकेतक (A, B, C, D, E, F) निर्दिष्ट होने चाहिए। क्रम में एक बिंदु खोजने के लिए चौराहोंइन प्रत्यक्षइन 2 रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

2. इसे हल करने के लिए, पहले समीकरण को E से और दूसरे को B से गुणा करना सुविधाजनक है। परिणामस्वरूप, समीकरण इस तरह दिखेंगे: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. घटाने के बाद पहले से दूसरा समीकरण, आपको मिलता है: (एई-डीबी)x = एफबी-सीई। ओटसेल, x = (FB-CE) / (AE-DB)। सादृश्य द्वारा, प्रारंभिक प्रणाली के पहले समीकरण को D से गुणा किया जा सकता है, दूसरे को A से, फिर दूसरे को पहले से घटाया जा सकता है। परिणामस्वरूप, y = (CD-FA)/(AE-DB)। परिणामी x और y मान बिंदु के निर्देशांक होंगे चौराहों प्रत्यक्ष .

3. समीकरण प्रत्यक्षइसे कोणीय घातांक k के पदों में भी लिखा जा सकता है, जो सीधी रेखा के ढलान की स्पर्शरेखा के बराबर है। इस स्थिति में, एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप y = kx+b होता है। मान लीजिए अब पहली पंक्ति का समीकरण y = k1*x+b1 है, और दूसरी पंक्ति का समीकरण y = k2*x+b2 है।

4. यदि हम इन 2 समीकरणों के सही भागों को बराबर करते हैं, तो हमें मिलता है: k1*x+b1 = k2*x+b2। यहां से यह प्राप्त करना आसान है कि x = (b1-b2)/(k2-k1)। बाद में, इस x मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम प्राप्त होगा: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1)। x और y मान बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करेंगे चौराहों प्रत्यक्ष.यदि दो रेखाएँ समान्तर हों या संपाती हों, तो उनमें क्रमशः उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते या अनंत रूप से कई उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं। इन मामलों में, k1 = k2, बिंदुओं के निर्देशांक के लिए हर चौराहोंलुप्त हो जाएगा, इसलिए, सिस्टम का कोई शास्त्रीय समाधान नहीं होगा। सिस्टम का केवल एक शास्त्रीय समाधान हो सकता है, जो बिना शर्त है, क्योंकि दो रेखाएं जो मेल नहीं खाती हैं और एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं, उनमें केवल एक बिंदु हो सकता है चौराहों .

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लम्बवत रेखा

यह कार्य संभवतः स्कूली पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य विविध हैं। यह दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा है, यह मूल रेखा पर किसी भी कोण पर एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण की परिभाषा है।

हम अपनी गणना में प्राप्त डेटा का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यह वहां था कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को एक ढलान वाले समीकरण में बदलना और इसके विपरीत, और दी गई शर्तों के अनुसार एक सीधी रेखा के शेष मापदंडों के निर्धारण पर विचार किया गया था।

यह पृष्ठ जिन समस्याओं के लिए समर्पित है, उन्हें हल करने के लिए हमारे पास क्या कमी है?

1. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो सीधी रेखाएँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना इस प्रकार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से, हम दो सीमावर्ती राज्य देख सकते हैं

ए) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं (या संपाती होती हैं)

ख) जब , तब , और इसलिए ये रेखाएँ लंबवत होती हैं, अर्थात वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

किसी दी गई सीधी रेखा को छोड़कर, ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा क्या हो सकता है?

एक रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी रेखा उसे काटती है

पंक्ति का दूसरा समीकरण

एक बॉट कौन से कार्य हल कर सकता है?

1. दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा)। प्रतिच्छेदन बिंदु और उन कोणों की गणना करें जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया गया है। एक सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करें जो किसी दी गई रेखा को एक निर्दिष्ट कोण पर काटती है

उदाहरण

समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वे प्रतिच्छेद करती हैं

लाइन_पी ए=11;बी=-5;सी=6,के=3/7;बी=-5

हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है

पहली पंक्ति का समीकरण

y = 2.2 x + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

y = 0.4285714285714 x + (-5)

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

x=-3.5

y=-6.5

यह न भूलें कि दो पंक्तियों के पैरामीटर अल्पविराम से अलग होते हैं, और प्रत्येक पंक्ति के पैरामीटर अर्धविराम से अलग होते हैं।

रेखा दो बिंदुओं (1:-4) और (5:2) से होकर गुजरती है। उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2:-8) से होकर गुजरती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

एक सीधी रेखा हमें ज्ञात है, क्योंकि जिन दो बिंदुओं से होकर वह गुजरती है वे ज्ञात हैं।

दूसरी सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करना बाकी है। एक बिंदु हमें ज्ञात है, और दूसरे के बजाय, वह कोण दर्शाया गया है जिस पर पहली रेखा दूसरे को काटती है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलती न करना है। इसके बारे मेंकोण (30 डिग्री) के बारे में x-अक्ष और रेखा के बीच नहीं, बल्कि पहली और दूसरी रेखाओं के बीच।

इसके लिए हम इस तरह पोस्ट करते हैं. आइए पहली पंक्ति के पैरामीटर निर्धारित करें, और पता लगाएं कि यह x-अक्ष को किस कोण पर काटती है।

रेखा xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

सामान्य समीकरणएक्स+बाय+सी = 0

गुणांक ए = -6

कारक बी = 4

गुणांक सी = 22

गुणांक ए= 3.6666666666667

गुणांक बी = -5.5

गुणांक k = 1.5

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 56.309932474019

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक q = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी=7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

स्रोत डेटा यह बिल्कुल नहीं बताता कि दूसरी पंक्ति पहली को कैसे काटती है। आख़िरकार, शर्तों को पूरा करने वाली दो रेखाएँ खींचना संभव है, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त।

आइए उन्हें गिनें

यदि दूसरी रेखा को घड़ी की विपरीत दिशा में 30 डिग्री घुमाया जाता है, तो दूसरी रेखा में x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_पी xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

दिए गए मापदंडों के अनुसार सीधी रेखा के पैरामीटर

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = 23.011106998916

कारक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = 34.149767393603

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण x/a+y/b = 1

गुणांक ए= -1.4840558255286

गुणांक बी = 23.011106998916

कोणीय गुणांक y = kx + b के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक k = 15.505553499458

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 86.309932474019

रेखा का सामान्य समीकरण x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

गुणांक पी = -1.4809790664999

गुणांक q = 3.0771888256405

बिंदुओं के बीच की दूरी=23.058912962428

बिंदु से रेखा की दूरी li =

अर्थात्, हमारी दूसरी पंक्ति का समीकरण y= है 15.505553499458x+ 23.011106998916