मॉड्यूल के साथ रेखा ग्राफ़, परवलय, अतिपरवलय

चरण दर चरण चार्टिंग.

सीधी रेखाओं, परवलय, अतिपरवलय पर "लटके हुए" मॉड्यूल।

बीजगणित में ग्राफ़ सबसे दृश्य विषय है। ग्राफ बनाकर आप सृजन कर सकते हैं और अपनी रचनात्मकता के समीकरण भी निर्धारित कर सकते हैं तो शिक्षक इसकी सराहना करेंगे।

एक दूसरे को समझने के लिए, मैं समन्वय प्रणाली के कुछ "नाम नाम" पेश करूंगा:

सबसे पहले, आइए रेखा y = 2x - 1 आलेखित करें।

मुझे इसमें कोई संदेह नहीं है कि आपको याद है। मैं खुद को याद दिलाता हूं कि एक रेखा 2 बिंदुओं से होकर खींची जा सकती है। इसलिए, हम कोई दो बिंदु A = (0; −1) और B = (1; 1) लेते हैं और एक सीधी रेखा खींचते हैं।

यदि हम एक मॉड्यूल जोड़ें तो क्या होगा? y = |2x − 1|

मापांक सदैव एक धनात्मक मान होता है, इससे पता चलता है कि "y" हमेशा सकारात्मक होना चाहिए।

इसलिए, यदि मॉड्यूल पूरे ग्राफ़ के लिए "लगाया गया" है, "-y" के निचले भाग में जो था वह शीर्ष पर प्रतिबिंबित होगा(जैसे कि आप शीट को x अक्ष के अनुदिश मोड़ रहे हैं और जो नीचे था वह ऊपर मुद्रित हो गया है)।

सुंदरता! लेकिन यदि आप मॉड्यूल को केवल "x" पर रखें तो ग्राफ़ कैसा दिखेगा: y = 2|x| − 1?

तर्क की एक पंक्ति और रेखांकन:

"x" पर मॉड्यूल, तो इस मामले में x = -x, अर्थात, जो कुछ भी दाईं ओर था वह बाईं ओर परिलक्षित होता है। और "-x" विमान में जो था उसे हटा दिया गया है।

निर्माण का सार बिल्कुल वही है, केवल यहां हम "y" अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंबित करते हैं.

मृत्यु संख्या: y = |2|x| - 1|.

सबसे पहले, आइए "x" अक्ष को दर्शाते हुए y = |2x − 1| की रचना करें। सकारात्मक पक्ष परयह y =|2|x| के समान होगा - 1|.

और उसके बाद हम "y" अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंबित करते हैं जो हमें दाईं ओर मिला है:

यदि आप महत्वाकांक्षी व्यक्ति हैं तो सीधी रेखाएं आपके लिए पर्याप्त नहीं होंगी! लेकिन जो ऊपर वर्णित है वह अन्य सभी चार्ट पर काम करता है।

आइए परवलय y को अलग करें= x² + x − 2. विवेचक का उपयोग करके "x" अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त किए जाएंगे: x₁ = 1 और x ₂ = -2।

आप परवलय में शीर्ष पा सकते हैं और सटीक निर्माण के लिए कुछ बिंदु ले सकते हैं।

ए ग्राफ़ कैसा दिखेगा: y= |x²| + एक्स − 2? मैंने सुना है: "हम अभी तक इससे नहीं गुज़रे हैं," लेकिन अगर हम इसके बारे में सोचें? मॉड्यूलो x², यह वैसे भी हमेशा सकारात्मक होता है, मॉड्यूल का यहां कोई उपयोग नहीं है, जैसे स्टॉपलाइट से लेकर खरगोश तक - नहीं।

y = x² + |x| के लिए - 2 हम अभी भी पूरे बाएँ भाग को मिटाते हैं, और दाएँ से बाएँ परावर्तित करते हैं:

अगली मृत्यु संख्या: |y|= x² + x- 2, ध्यान से सोचें, और इससे भी बेहतर होगा कि आप स्वयं को चित्रित करने का प्रयास करें।

पर सकारात्मक मूल्यमॉड्यूल से "y" का कोई मतलब नहीं है - समीकरण y = x² + x - 2, और "-y" के साथ कुछ भी नहीं बदलता है, यह वही y = x² + x - 2 होगा!

समन्वय प्रणाली के शीर्ष पर एक परवलय बनाएं (जहां y > 0) और फिर नीचे प्रतिबिंबित करें।

और वास्तविक पेशेवर यह पता लगा सकते हैं कि ये चार्ट इस तरह क्यों दिखते हैं:

आसान और मध्यम स्तर पीछे हैं, और अब एकाग्रता को अधिकतम तक निचोड़ने का समय आ गया है, क्योंकि आगे अतिशयोक्ति आपका इंतजार कर रही है, जो अक्सर एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के दूसरे भाग में पाई जाती है।

y = 1/x एक सरल हाइपरबोला है जिसे बिंदु दर बिंदु बनाना सबसे आसान है, 6-8 अंक पर्याप्त होने चाहिए:

और यदि हम हर में "+1" जोड़ दें तो क्या होगा? ग्राफ़ एक-एक करके बाईं ओर शिफ्ट हो जाएगा:

और यदि हम हर में जोड़ दें तो क्या होगा "−1"? ग्राफ़ एक-एक करके दाईं ओर चला जाएगा।

और यदि आप अलग से "+1" y = (1/x) + 1 जोड़ते हैं? बेशक, ग्राफ़ एक-एक करके ऊपर जाएगा!

मूर्खतापूर्ण प्रश्न: यदि हम अलग से "−1" y = (1/x) − 1 जोड़ दें तो क्या होगा? एक नीचे!

अब मॉड्यूल को "वाइंडिंग" करना शुरू करें: y = |1/x + 1| - नीचे से ऊपर तक सब कुछ प्रतिबिंबित करें।

आइए एक और मॉड्यूल लें, मेरे महत्वाकांक्षी मित्र, चूँकि आप इस बिंदु पर आ गए हैं: y = |1/(x + 1)| जैसा कि ऊपर बताया गया है, जब मॉड्यूल को पूरे फ़ंक्शन पर रखा जाता है, तो हम नीचे से ऊपर तक प्रतिबिंबित करते हैं।

आप बहुत सारे विकल्पों के बारे में सोच सकते हैं, लेकिन सामान्य सिद्धांतकिसी भी ग्राफ़ के लिए रहता है.हम लेख के अंत में निष्कर्ष में सिद्धांतों को दोहराते हैं।

मॉड्यूल इतने डरावने नहीं हैं, अगर आपको यह भी याद रहे कि उन्हें परिभाषा के अनुसार खोला जा सकता है:

और एक ग्राफ़ बनाएं, इसे दिए गए फ़ंक्शंस के टुकड़ों में तोड़ें।

उदाहरण के लिए एक सीधी रेखा के लिए:

एक मॉड्यूल वाले परवलय के लिए, दो टुकड़ों में दिए गए ग्राफ़ होंगे:

टुकड़े-टुकड़े दिए गए ग्राफ़ के दो मॉड्यूल के साथ, चार होंगे:

इस तरह, धीरे-धीरे और मेहनत से, आप कोई भी ग्राफ़ बना सकते हैं!

निष्कर्ष:

1. मॉड्यूल सिर्फ दो छड़ें नहीं है, बल्कि एक हर्षित, हमेशा सकारात्मक मूल्य है!
2. मॉड्यूल को इसकी परवाह नहीं है कि यह एक सीधी रेखा में है, परवलय में या कहीं और। प्रतिबिम्ब वही हैं.
3. किसी भी गैर-मानक मॉड्यूल को दिए गए कार्यों के अनुसार टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, केवल शर्तें पेश की जाती हैं प्रत्येक मॉड्यूल के लिए.
4. मौजूद एक बड़ी संख्या कीमॉड्यूल, लेकिन कुछ विकल्प याद रखने योग्य हैं ताकि बिंदुओं के आधार पर निर्माण न किया जाए:

• यदि मॉड्यूल संपूर्ण अभिव्यक्ति पर "रखा गया" है (उदाहरण के लिए, y = |x² + x − 2|), तो नीचे के भागऊपर की ओर प्रतिबिंबित.
• यदि मॉड्यूल केवल x पर "डाला" जाता है (उदाहरण के लिए, y = x² + |x| − 2), तो ग्राफ़ का दाहिना भाग बाईं ओर परिलक्षित होता है। और "पुराना" बायां भाग मिट जाता है।
• यदि मॉड्यूल x और संपूर्ण अभिव्यक्ति (उदाहरण के लिए, y = | दांये से बांये तक।
• यदि मॉड्यूल को y पर "डाल दिया गया" है (उदाहरण के लिए, |y| = x² + x - 2), तो हम ग्राफ़ के ऊपरी हिस्से को छोड़ देते हैं, निचले हिस्से को मिटा देते हैं। और फिर ऊपर से नीचे तक प्रतिबिंबित करें।

एर्डनिगोरीएवा मरीना

यह कार्य आठवीं कक्षा में वैकल्पिक विषय के अध्ययन का परिणाम है। यह ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों और मॉड्यूल के साथ प्लॉटिंग में उनके अनुप्रयोग को दर्शाता है। एक मॉड्यूल की अवधारणा और उसके गुणों का परिचय दिया गया है। दिखाता है कि मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ कैसे बनाएं विभिन्न तरीके: परिवर्तनों की सहायता से और एक मॉड्यूल की अवधारणा के आधार पर। परियोजना का विषय गणित के पाठ्यक्रम में सबसे कठिन में से एक है, ऐच्छिक पर विचार किए गए मुद्दों को संदर्भित करता है, एक उन्नत अध्ययन के साथ कक्षाओं में अध्ययन किया जाता है गणित का. फिर भी, ऐसे कार्य जीआईए के दूसरे भाग में परीक्षा में दिए जाते हैं। यह कार्य आपको यह समझने में मदद करेगा कि न केवल रैखिक, बल्कि अन्य कार्यों (द्विघात, व्युत्क्रमानुपाती, आदि) के मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ कैसे बनाया जाए। यह कार्य जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा।

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रेखांकन रैखिक प्रकार्यमॉड्यूल के साथ एमकेओयू "कामिशोव्स्काया ओओएसएच" के 8वीं कक्षा के छात्र मरीना एर्डनिगोरियाएवा का काम, पर्यवेक्षक गोरियाएवा ज़ोया एर्डनिगोरिएवना, एमकेओयू "काम्यशोव्स्काया ओओएसएच" पी के गणित के शिक्षक। कामिशोवो, 2013

परियोजना का उद्देश्य: मॉड्यूल के साथ रैखिक कार्यों के ग्राफ़ कैसे बनाएं, इस प्रश्न का उत्तर देना। परियोजना के उद्देश्य: इस मुद्दे पर साहित्य का अध्ययन करना। ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों और मॉड्यूल के साथ प्लॉटिंग में उनके अनुप्रयोग का अध्ययन करना। एक मॉड्यूल की अवधारणा और उसके गुणों का अध्ययन करना। विभिन्न तरीकों से मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ बनाना सीखें।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक फ़ंक्शन है जिसे फॉर्म y=kx के सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, k एक गैर-शून्य संख्या है।

आइए फलन y = x x 0 2 y 0 2 आलेखित करें

ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन नियम #1 फ़ंक्शन y = f (x) + k - एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ - फ़ंक्शन y = f (x) + k इकाइयों के ग्राफ़ को O y अक्ष पर समानांतर स्थानांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है जब k> 0 या |- k| इकाइयाँ O y अक्ष के अनुदिश k पर नीचे की ओर

आइए ग्राफ़ बनाएं y=x+3 y=x-2

नियम संख्या 2 फ़ंक्शन y \u003d kf (x) का ग्राफ़ O y अक्ष के साथ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ को a> 1 के लिए एक समय तक खींचकर और O y के साथ सिकुड़कर प्राप्त किया जाता है। 0 स्लाइड 9 पर एक समय द्वारा अक्ष

आइए y=x y= 2 x आलेखित करें

नियम संख्या 3 फ़ंक्शन y \u003d - f (x) का ग्राफ O x अक्ष के बारे में ग्राफ y \u003d f (x) को सममित रूप से प्रदर्शित करके प्राप्त किया जाता है

नियम संख्या 4 फ़ंक्शन y=f(- x) का ग्राफ़ O अक्ष y के बारे में फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ को सममित रूप से प्रदर्शित करके प्राप्त किया जाता है

नियम संख्या 5 फ़ंक्शन y=f(x+c) का ग्राफ़ फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ़ को O x अक्ष के साथ दाईं ओर समानांतर स्थानांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है यदि c 0।

आइए ग्राफ बनाएं y=f(x) y=f(x+2)

मॉड्यूल परिभाषा मॉड्यूल नहीं ऋणात्मक संख्या a स्वयं संख्या a के बराबर है; किसी ऋणात्मक संख्या a का मापांक उसके विपरीत धनात्मक संख्या -a के बराबर होता है। या, |a|=a यदि a ≥0 |a|=-a यदि a

मॉड्यूल के साथ रैखिक कार्यों के ग्राफ़ बनाए जाते हैं: मॉड्यूल की परिभाषा का विस्तार करके ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करना।

नियम #6 फ़ंक्शन ग्राफ़ y=|f(x)| निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: ग्राफ y=f(x) का भाग O x अक्ष के ऊपर स्थित संरक्षित है; O x अक्ष के नीचे स्थित भाग O x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

फ़ंक्शन y=-2| को प्लॉट करें x-3|+4 बिल्ड y ₁=| एक्स | हम y₂= |x - 3 | बनाते हैं → ऑक्स अक्ष के साथ +3 इकाइयों द्वारा समानांतर अनुवाद (दाईं ओर शिफ्ट) बिल्ड y ₃ =+2|x-3| → O y अक्ष के अनुदिश 2 बार खिंचाव = 2 y₂ y बनाएँ ₄ =-2|x-3| → x-अक्ष के बारे में समरूपता = - y₃ बिल्डिंग y₅ =-2|x-3|+4 → समानांतर अनुवाद +4 अक्ष के अनुदिश O अक्ष y (ऊपर शिफ्ट) = y ₄ +4

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =-2|x-3|+4

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → 3 बार स्ट्रेचिंग y₃=3|x| +2= y₄+2 → 2 इकाई ऊपर शिफ्ट करें

नियम संख्या 7 फ़ंक्शन का ग्राफ y=f(| x |) फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ से निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: x > 0 के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ संरक्षित है, और वही ग्राफ़ का भाग O y अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होता है

फ़ंक्शन y = || प्लॉट करें एक्स-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|

फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम y=│f(│x│)│ फ़ंक्शन y=f(│x│) प्लॉट करें। फिर निर्मित ग्राफ़ के सभी हिस्सों को अपरिवर्तित छोड़ दें जो x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं। x अक्ष के नीचे स्थित भाग इस अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होते हैं।

Y=|2|x|-3| निर्माण: a) x\u003e 0 के लिए y = 2x-3, b) x स्लाइड 26 के लिए y = -2x-3

नियम #8 व्यसन ग्राफ | y|=f(x) फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है यदि सभी बिंदु जिनके लिए f(x) > 0 संरक्षित हैं और उन्हें x-अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थानांतरित भी किया जाता है।

समतल पर बिंदुओं का एक समूह बनाएं जिसके कार्टेशियन निर्देशांक x और y समीकरण को संतुष्ट करते हैं |y|=||x-1|-1|

| y|=||x-1| -1| हम दो ग्राफ बनाते हैं 1) y=||x-1|-1| और 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| एक्स-1 | → ऑक्स अक्ष के अनुदिश दायीं ओर 1 इकाई y₃ = | शिफ्ट करें x -1 |- 1= → 1 इकाई नीचे शिफ्ट करें y ₄ = || x-1|- 1| → ग्राफ बिंदुओं की समरूपता जिसके लिए О x के संबंध में y₃ 0 है

समीकरण का ग्राफ |y|=||x-1|-1| हम इस प्रकार प्राप्त करते हैं: 1) फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ़ बनाएं और उसके उस हिस्से को अपरिवर्तित छोड़ दें, जहां y≥0 2) ऑक्स अक्ष के बारे में समरूपता का उपयोग करते हुए, y के अनुरूप ग्राफ़ का एक और भाग बनाएं

फलन y =|x | आलेखित करें − | 2 - एक्स | . समाधान। यहां मापांक का चिह्न दो अलग-अलग पदों में प्रवेश करता है और इसे हटाया जाना चाहिए। 1) सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के मूल खोजें: x=0, 2-x=0, x=2 2) अंतरालों पर चिह्न सेट करें:

फ़ंक्शन ग्राफ़

निष्कर्ष परियोजना का विषय गणित के पाठ्यक्रम में सबसे कठिन में से एक है, यह ऐच्छिक में विचार किए गए मुद्दों को संदर्भित करता है, गणित के पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए कक्षाओं में इसका अध्ययन किया जाता है। फिर भी, ऐसे कार्य GIA के दूसरे भाग में दिए गए हैं। यह कार्य आपको यह समझने में मदद करेगा कि न केवल रैखिक कार्यों, बल्कि अन्य कार्यों (द्विघात, व्युत्क्रमानुपाती, आदि) के मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ कैसे बनाया जाए। यह कार्य जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा और आपको गणित में उच्च अंक प्राप्त करने की अनुमति देगा।

साहित्य विलेनकिन एन.वाई.ए. , झोखोव वी.आई. गणित"। पाठ्यपुस्तक ग्रेड 6 मास्को। पब्लिशिंग हाउस "मेनेमोसिन", 2010 विलेनकिन एन.वाई.ए., विलेनकिन एल.एन., सर्विलो जी.एस. और अन्य। बीजगणित। ग्रेड 8: पाठ्यपुस्तक। गणित के गहन अध्ययन के साथ छात्रों और कक्षाओं के लिए एक मैनुअल। - मास्को। ज्ञानोदय, 2009 गेडुकोव आई.आई. "निरपेक्ष मूल्य"। मास्को. ज्ञानोदय, 1968. गुरस्की आई.पी. "कार्य और रेखांकन"। मास्को. ज्ञानोदय, 1968. यशचिना एन.वी. मॉड्यूल युक्त ग्राफ़ बनाने की तकनीकें। Zh/l "स्कूल में गणित", नंबर 3, 1994 बच्चों का विश्वकोश। मास्को. "शिक्षाशास्त्र", 1990. डायनकिन ई.बी., मोलचानोवा एस.ए. गणित की समस्याओं। एम., "नौका", 1993. पेट्राकोव आई.एस. ग्रेड 8-10 में गणितीय वृत्त। एम., "ज्ञानोदय", 1987। गैलिट्स्की एम.एल. और अन्य। ग्रेड 8-9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलगणित के गहन अध्ययन वाले छात्रों और कक्षाओं के लिए। - 12वां संस्करण। - एम.: ज्ञानोदय, 2006। - 301 पी। मकरिचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी. बीजगणित: अतिरिक्त अध्याय 9वीं कक्षा की स्कूली पाठ्यपुस्तक के लिए: गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / जी.वी. डोरोफीव द्वारा संपादित। - एम.: ज्ञानोदय, 1997. - 224 पी. सादिकिना एन. मापांक/गणित के चिह्न वाले ग्राफ़ और निर्भरता का निर्माण। - क्रमांक 33. - 2004. - पृष्ठ 19-21.

प्रतिलिपि

ग्रेड 6-11 में छात्रों के शैक्षिक और अनुसंधान कार्यों का 1 क्षेत्रीय वैज्ञानिक और व्यावहारिक सम्मेलन "गणित के व्यावहारिक और मौलिक मुद्दे" गणित के अध्ययन के पद्धतिगत पहलू मॉड्यूल गैबोवा अंजेला युरेविना, ग्रेड 10, MOBU वाले कार्यों के ग्राफ़ का निर्माण जिम्नेजियम 3" कुडिमकर, नादेज़्दा पिकुलेवा इवानोव्ना, गणित की शिक्षिका, MOBU "जिमनेजियम 3", कुडिमकर, पर्म, 2016

2 सामग्री: परिचय...पेज 3 I. मुख्य भाग...पेज 6 1.1 ऐतिहासिक सन्दर्भ.. 6 पी. 2.फ़ंक्शंस की मूल परिभाषाएँ और गुण पी. 2.1 द्विघात फलन..7 पी. 2.2 रैखिक फलन...8 पी. 2.3 भिन्नात्मक-तर्कसंगत फलन 8 पी. मॉड्यूल की परिभाषा .. 9 पी. 3.2 एक मापांक के साथ एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम... 9 पी. 3.3 सूत्र में "नेस्टेड मॉड्यूल" वाले फ़ंक्शन प्लॉट करना। 10 पी. 3.4 फॉर्म y = a 1 x x 1 + के कार्यों के ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम ए 2 x 15पी. 4. निरपेक्ष मान ..17str के चिह्न के स्थान के आधार पर द्विघात फलन के ग्राफ़ में परिवर्तन। द्वितीय. निष्कर्ष... 26 पी. III. सन्दर्भों और स्रोतों की सूची...27 पृष्ठ IV. आवेदन...28पी. 2

3 परिचय प्लॉटिंग फ़ंक्शन उनमें से एक है। दिलचस्प विषयस्कूल गणित में. हमारे समय के सबसे बड़े गणितज्ञ, इज़राइल मोइसेविच गेलफैंड ने लिखा: “साजिश रचने की प्रक्रिया सूत्रों और विवरणों को ज्यामितीय छवियों में बदलने का एक तरीका है। यह प्लॉटिंग सूत्रों और फ़ंक्शंस को देखने और यह देखने का एक साधन है कि ये फ़ंक्शंस कैसे बदलते हैं। उदाहरण के लिए, यदि y \u003d x 2 लिखा है, तो आपको तुरंत एक परवलय दिखाई देता है; यदि y = x 2-4, तो आप एक परवलय को चार इकाइयों से नीचे देखते हैं; यदि y \u003d - (x 2 4), तो आप देखेंगे कि पिछला परवलय ठुकरा दिया गया है। सूत्र को तुरंत देखने और उसकी ज्यामितीय व्याख्या करने की यह क्षमता न केवल गणित के अध्ययन के लिए, बल्कि अन्य विषयों के लिए भी महत्वपूर्ण है। यह एक ऐसा कौशल है जो जीवन भर आपके साथ रहता है, जैसे बाइक चलाना, टाइप करना या कार चलाना सीखना।" मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करने की मूल बातें 6वीं 7वीं कक्षा में प्राप्त की गईं। मैंने इस विशेष विषय को इसलिए चुना क्योंकि मेरा मानना ​​है कि इसके लिए गहन और अधिक गहन अध्ययन की आवश्यकता है। मैं किसी संख्या के मापांक के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करना चाहता हूँ, विभिन्न तरीकेनिरपेक्ष मान के चिह्न वाले ग्राफ़ बनाना। जब रेखाओं, परवलय, अतिपरवलय के "मानक" समीकरणों में मापांक का चिह्न शामिल होता है, तो उनके ग्राफ़ असामान्य और सुंदर भी हो जाते हैं। ऐसे ग्राफ़ बनाने का तरीका सीखने के लिए, आपको बुनियादी आंकड़े बनाने की तकनीकों में महारत हासिल करने की ज़रूरत है, साथ ही किसी संख्या के मापांक की परिभाषा को दृढ़ता से जानने और समझने की ज़रूरत है। में स्कूल पाठ्यक्रमएक मॉड्यूल के साथ ग्राफिक्स के गणित पर पर्याप्त गहराई से विचार नहीं किया जाता है, यही कारण है कि मैं इस विषय पर अपने ज्ञान का विस्तार करना चाहता था, अपना खुद का शोध करना चाहता था। मॉड्यूल की परिभाषा को जाने बिना, निरपेक्ष मान वाला सबसे सरल ग्राफ भी बनाना असंभव है। अभिलक्षणिक विशेषतामोडुलो चिह्न के साथ अभिव्यक्ति वाले फ़ंक्शन ग्राफ़, 3

4 उन बिंदुओं पर किंक की उपस्थिति है जहां मॉड्यूल चिह्न के तहत अभिव्यक्ति चिह्न बदलती है। कार्य का उद्देश्य: मॉड्यूल चिह्न के तहत एक चर वाले रैखिक, द्विघात और आंशिक रूप से तर्कसंगत कार्यों के ग्राफ के निर्माण पर विचार करना। कार्य: 1) रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक-तर्कसंगत कार्यों के निरपेक्ष मान के गुणों पर साहित्य का अध्ययन करना। 2) निरपेक्ष मान के चिह्न के स्थान के आधार पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में परिवर्तन की जांच करें। 3) समीकरण ग्राफ बनाना सीखें। अध्ययन का उद्देश्य: रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के ग्राफ़। अध्ययन का विषय: निरपेक्ष मान के चिह्न के स्थान के आधार पर रैखिक, द्विघात और भिन्नात्मक तर्कसंगत कार्यों के ग्राफ में परिवर्तन। मेरे काम का व्यावहारिक महत्व इसमें निहित है: 1) इस विषय पर अर्जित ज्ञान का उपयोग करना, साथ ही इसे गहरा करना और इसे अन्य कार्यों और समीकरणों पर लागू करना; 2) कौशल के उपयोग में अनुसंधान कार्यभविष्य में शिक्षण गतिविधियां. प्रासंगिकता: ग्राफ़िंग असाइनमेंट परंपरागत रूप से गणित में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हमारे स्नातकों को जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने की समस्या का सामना करना पड़ रहा है। अनुसंधान समस्या: जीआईए के दूसरे भाग से मापांक चिह्न वाले कार्यों को प्लॉट करना। अनुसंधान परिकल्पना: अनुप्रयोग के आधार पर विकसित किया गया सामान्य तरीकेमॉड्यूल के चिह्न वाले कार्यों के ग्राफ़ का निर्माण, जीआईए के दूसरे भाग के कार्यों को हल करने के तरीके छात्रों को इन कार्यों को हल करने की अनुमति देंगे 4

5 सचेत आधार पर, सबसे तर्कसंगत समाधान विधि चुनें, विभिन्न समाधान विधियों को लागू करें और जीआईए को अधिक सफलतापूर्वक पास करें। कार्य में प्रयुक्त अनुसंधान विधियाँ: 1. इस विषय पर गणितीय साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का विश्लेषण। 2. अध्ययन की गई सामग्री का पुनरुत्पादन। 3. संज्ञानात्मक-खोज गतिविधि। 4. समस्या समाधान की खोज में डेटा का विश्लेषण और तुलना। 5. परिकल्पनाओं का कथन एवं उनका सत्यापन। 6. गणितीय तथ्यों की तुलना एवं सामान्यीकरण। 7. प्राप्त परिणामों का विश्लेषण. इस कार्य को लिखते समय निम्नलिखित स्रोतों का उपयोग किया गया: इंटरनेट संसाधन, ओजीई परीक्षण, गणितीय साहित्य। 5

6 I. मुख्य भाग 1.1 ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 17वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में, एक फ़ंक्शन की अवधारणा एक चर की दूसरे पर निर्भरता के रूप में आकार लेने लगी। तो, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट () और रेने डेसकार्टेस () ने एक फ़ंक्शन की कल्पना उसके भुज पर वक्र बिंदु की कोटि की निर्भरता के रूप में की। और अंग्रेजी वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन () ने फ़ंक्शन को एक गतिशील बिंदु के समन्वय के रूप में समझा जो समय के आधार पर बदलता है। शब्द "फ़ंक्शन" (लैटिन फ़ंक्शन प्रदर्शन, कमीशन से) पहली बार जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड लीबनिज () द्वारा पेश किया गया था। उन्होंने एक फ़ंक्शन को एक ज्यामितीय छवि (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के साथ जोड़ा। बाद में, स्विस गणितज्ञ जोहान बर्नौली () और सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य, 18 वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर () ने फ़ंक्शन को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में माना। यूलर के पास एक फ़ंक्शन की सामान्य समझ एक चर की दूसरे पर निर्भरता के रूप में भी है। शब्द "मॉड्यूल" लैटिन शब्द "मॉड्यूलस" से आया है, जिसका अनुवाद में अर्थ "मापना" है। यह एक बहु-मूल्यवान शब्द (समानार्थी) है जिसके कई अर्थ हैं और इसका उपयोग न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला, भौतिकी, इंजीनियरिंग, प्रोग्रामिंग और अन्य सटीक विज्ञानों में भी किया जाता है। वास्तुकला में, यह किसी दिए गए माप की प्रारंभिक इकाई है स्थापत्य संरचनाऔर इसके अनेक अनुपातों को व्यक्त करने का कार्य करता है घटक तत्व. इंजीनियरिंग में, यह प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाने वाला एक शब्द है जिसका कोई सार्वभौमिक अर्थ नहीं है और यह विभिन्न गुणांकों और मात्राओं को दर्शाने के लिए कार्य करता है, उदाहरण के लिए, जुड़ाव मापांक, लोच का मापांक, आदि। 6

7 बल्क मापांक (भौतिकी में) सामग्री में सामान्य तनाव और सापेक्ष बढ़ाव का अनुपात है। 2.फ़ंक्शन की बुनियादी परिभाषाएँ और गुण फ़ंक्शन सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक है। एक फ़ंक्शन वेरिएबल y की वेरिएबल x पर ऐसी निर्भरता है, जिसमें वेरिएबल x का प्रत्येक मान वेरिएबल y के एकल मान से मेल खाता है। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके: 1) विश्लेषणात्मक विधि(फ़ंक्शन गणितीय सूत्र का उपयोग करके सेट किया गया है); 2) सारणीबद्ध विधि (फ़ंक्शन तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया गया है); 3) वर्णनात्मक विधि (फ़ंक्शन मौखिक विवरण द्वारा दिया गया है); 4) ग्राफ़िकल विधि (फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके सेट किया गया है)। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसके भुज तर्क के मान के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मान के बराबर होते हैं। 2.1 द्विघात फलन सूत्र y=ax 2 +in+c द्वारा परिभाषित फलन, जहां x और y चर हैं, और पैरामीटर a, b और c कोई वास्तविक संख्याएं हैं, और a = 0, द्विघात कहलाता है। फलन y = ax 2 + in + c का ग्राफ एक परवलय है; परवलय y = ax 2 + in + c की समरूपता की धुरी एक सीधी रेखा है, a> 0 के लिए परवलय की "शाखाएँ" ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, a के लिए<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (एक चर के कार्यों के लिए)। रैखिक कार्यों की मुख्य संपत्ति यह है कि फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के समानुपाती होती है। अर्थात्, फ़ंक्शन प्रत्यक्ष आनुपातिकता का सामान्यीकरण है। एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है, इसलिए इसका नाम है। यह एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य से संबंधित है। 1) पर, सीधी रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है। 2) जब, रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाती है। 3) y-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि का सूचक है। 4) जब, रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। , 2.3 एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत फलन एक भिन्न है जिसका अंश और हर बहुपद हैं। इसका वह रूप है, जहां किसी भी संख्या में चर में बहुपद होते हैं। एक चर के तर्कसंगत कार्य एक विशेष मामला हैं: जहां और बहुपद हैं। 1) कोई भी अभिव्यक्ति जो चार अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके चर से प्राप्त की जा सकती है, एक तर्कसंगत कार्य है। 8

9 2) तर्कसंगत कार्यों का सेट अंकगणितीय संचालन और संरचना के संचालन के तहत बंद है। 3) किसी भी तर्कसंगत फ़ंक्शन को सरल अंशों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - इसका उपयोग विश्लेषणात्मक एकीकरण में किया जाता है .., 3. यदि नकारात्मक है तो मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम। a = 3.2 मापांक के साथ एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम फ़ंक्शन y= x के ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि सकारात्मक x के लिए हमारे पास x = x है। इसका मतलब यह है कि तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए, ग्राफ़ y=x, ग्राफ़ y=x के साथ मेल खाता है, अर्थात, ग्राफ़ का यह भाग मूल बिंदु से 45 डिग्री के कोण पर x- तक निकलने वाली एक किरण है। एक्सिस। एक्स के लिए< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 निर्माण के लिए, हम अंक (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) लेते हैं। अब आइए एक ग्राफ y= x-1 बनाएं। यदि A निर्देशांक (a; a) के साथ ग्राफ बिंदु y= x है, तो Y कोटि के समान मान के साथ ग्राफ बिंदु y= x-1 बिंदु A1 होगा (ए+1; ए). दूसरे ग्राफ़ का यह बिंदु पहले ग्राफ़ के बिंदु A(a; a) से ऑक्स अक्ष के समानांतर दाईं ओर स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y= x-1 का पूरा ग्राफ़ फ़ंक्शन y= x के ग्राफ़ से ऑक्स अक्ष के समानांतर दाईं ओर 1 शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया जाता है। आइए ग्राफ़ बनाएं: y= x-1 बनाने के लिए , हम अंक लेते हैं (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1)। 3.3 सूत्र में "नेस्टेड मॉड्यूल" वाले फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके निर्माण एल्गोरिदम पर विचार करें।

11 y = i-2-ix + 5ii 1. हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं। 2. हम OX अक्ष के संबंध में निचले आधे तल के ग्राफ़ को सममित रूप से ऊपर की ओर प्रदर्शित करते हैं और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करते हैं। ग्यारह

12 3. हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ को OX अक्ष के बारे में सममित रूप से नीचे प्रदर्शित करते हैं और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करते हैं। 4. हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ को OX अक्ष के संबंध में सममित रूप से नीचे प्रदर्शित करते हैं और फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करते हैं। 5. फ़ंक्शन के ग्राफ़ को OX अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं और ग्राफ़ प्राप्त करते हैं। 12

13 6. परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस 3.4 जैसा दिखता है। फॉर्म y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b के फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने के लिए एक एल्गोरिदम। पिछले उदाहरण में, मॉड्यूल संकेतों का विस्तार करना काफी आसान था। यदि मॉड्यूल के अधिक योग हैं, तो सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना समस्याग्रस्त है। इस मामले में हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बना सकते हैं? ध्यान दें कि ग्राफ़ एक पॉलीलाइन है, जिसके बिंदुओं पर भुज -1 और 2 हैं। x = -1 और x = 2 के लिए, सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है। व्यावहारिक रूप से, हमने ऐसे ग्राफ़ बनाने के नियम पर विचार किया: फॉर्म y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b के फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत चरम लिंक वाली एक पॉलीलाइन है। ऐसी पॉलीलाइन बनाने के लिए, इसके सभी शीर्षों (वर्टेक्स एब्सिस्सा सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य हैं) और बाएं और दाएं अनंत लिंक पर एक-एक नियंत्रण बिंदु जानना पर्याप्त है। 13

14 कार्य. फलन y = x + x 1 + x + 1 आलेखित करें और इसका सबसे छोटा मान ज्ञात करें। समाधान: 1. सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य: 0; -1; पॉलीलाइन शीर्ष (0; 2); (-13); (1; 3)। (सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के शून्य को समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है) हम एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 7), फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान मॉड्यूल के साथ द्विघात फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए एल्गोरिदम है, फ़ंक्शन के ग्राफ़ को परिवर्तित करने के लिए एल्गोरिदम तैयार करना। 1.फ़ंक्शन y= f(x) के ग्राफ़ का निर्माण। मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, यह फ़ंक्शन दो फ़ंक्शन के सेट में विघटित हो जाता है। इसलिए, फ़ंक्शन y= f(x) के ग्राफ़ में दो ग्राफ़ होते हैं: y= f(x) दाएँ आधे तल में, y= f(-x) बाएँ आधे तल में। इसके आधार पर हम एक नियम (एल्गोरिदम) बना सकते हैं। फ़ंक्शन y= f(x) का ग्राफ़ फ़ंक्शन y= f(x) के ग्राफ़ से निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: x 0 पर ग्राफ़ संरक्षित है, और x पर< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. फ़ंक्शन y= f(x) का ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको पहले फ़ंक्शन y= f(x) को x> 0 के लिए ग्राफ़ करना होगा, फिर x के लिए< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 इस ग्राफ को प्राप्त करने के लिए, पहले प्राप्त ग्राफ को तीन इकाइयों द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करना पर्याप्त है। ध्यान दें कि यदि भिन्न का हर x + 3 होता, तो हम ग्राफ़ को बाईं ओर स्थानांतरित कर देते: अब हमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए सभी कोटिओं को दो से गुणा करना होगा। अंत में, हम ग्राफ़ को दो इकाइयों से ऊपर स्थानांतरित करते हैं : हमारे लिए जो आखिरी काम बचा है, वह है दिए गए फ़ंक्शन को प्लॉट करना, यदि वह मापांक के चिह्न के नीचे संलग्न है। ऐसा करने के लिए, हम ग्राफ़ के पूरे भाग को सममित रूप से ऊपर की ओर दर्शाते हैं, जिसके निर्देशांक ऋणात्मक हैं (वह भाग जो x-अक्ष के नीचे स्थित है): चित्र.4 16

17 4. निरपेक्ष मान के चिन्ह के स्थान के आधार पर द्विघात फलन के ग्राफ में परिवर्तन। फलन y = x 2 - x -3 आलेखित करें 1) चूँकि x 0 पर x = x, आवश्यक ग्राफ परवलय y = 0.25 x 2 - x - 3 से मेल खाता है। यदि x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. बी) इसलिए, मैं एक्स के लिए पूरा करता हूं<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 चित्र. 4 फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ़ तर्क के गैर-नकारात्मक मानों के सेट पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ के साथ मेल खाता है और y के संबंध में इसके सममित है -तर्क के नकारात्मक मानों के सेट पर अक्ष। प्रमाण: यदि x 0, तो f (x) = f (x), अर्थात। तर्क के गैर-नकारात्मक मानों के सेट पर, फ़ंक्शन y = f (x) और y = f (x) के ग्राफ़ मेल खाते हैं। चूँकि y = f (x) एक सम फलन है, तो इसका ग्राफ OS के संबंध में सममित है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ से निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: 1. x>0 के लिए फ़ंक्शन y = f (x) को प्लॉट करें; 2. एक्स के लिए<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. एक्स के लिए<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 यदि x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 और सममित रूप से प्रतिबिंबित भाग y \u003d f (x) y पर<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, फिर f (x) \u003d f (x), जिसका अर्थ है कि इस भाग में फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ y \u003d f (x) के साथ मेल खाता है। यदि f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 चित्र.5 निष्कर्ष: फ़ंक्शन y= f(x) को प्लॉट करने के लिए 1. फ़ंक्शन y=f(x) को प्लॉट करें; 2. उन क्षेत्रों में जहां ग्राफ़ निचले आधे तल में स्थित है, यानी, जहां f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 फ़ंक्शन ग्राफ़ y = f (x) को प्लॉट करने पर शोध कार्य, निरपेक्ष मान की परिभाषा और पहले से माने गए उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करते हैं: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \u003d x 2-2 और निष्कर्ष निकाला. फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ़ बनाने के लिए यह आवश्यक है: ​​1. x>0 के लिए फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ़ बनाएं। 2. ग्राफ़ का दूसरा भाग बनाएं, यानी निर्मित ग्राफ़ को ओएस के संबंध में सममित रूप से प्रतिबिंबित करें, क्योंकि यह फ़ंक्शन सम है. 3. निचले आधे तल में स्थित परिणामी ग्राफ़ के अनुभागों को ऊपरी आधे तल में सममित रूप से OX अक्ष में परिवर्तित किया जाना चाहिए। फ़ंक्शन y \u003d 2 x - 3 का एक ग्राफ़ बनाएं (मॉड्यूल निर्धारित करने की पहली विधि) एक्स< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, x>0 के लिए b) x के लिए<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 बी) एक्स के लिए<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) हम ओएस अक्ष के संबंध में निर्मित रेखा के सममित एक सीधी रेखा बनाते हैं। 3) निचले आधे तल में स्थित ग्राफ़ के अनुभाग OX अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होते हैं। दोनों ग्राफ़ की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि वे समान हैं। 21

22 समस्याओं के उदाहरण उदाहरण 1. फ़ंक्शन y = x 2 6x +5 के ग्राफ़ पर विचार करें। चूँकि x का वर्ग किया जाता है, तो वर्ग करने के बाद संख्या x का चिन्ह चाहे जो भी हो, वह धनात्मक होगी। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 का ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 के ग्राफ़ के समान होगा, अर्थात। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसमें निरपेक्ष मान चिह्न नहीं है (चित्र 2)। चित्र 2 उदाहरण 2. फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 के ग्राफ़ पर विचार करें। किसी संख्या के मापांक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम सूत्र y \u003d x 2 6 x +5 को प्रतिस्थापित करते हैं। अब हम एक टुकड़ावार निर्भरता असाइनमेंट से निपट रहे हैं जो हमें अच्छी तरह से ज्ञात है। हम इस तरह एक ग्राफ बनाएंगे: 1) एक परवलय y \u003d x 2-6x +5 बनाएं और उसके उस हिस्से पर गोला बनाएं, जो 22 है

23 गैर-नकारात्मक x मानों से मेल खाता है, अर्थात। y-अक्ष के दाईं ओर का भाग. 2) उसी समन्वय तल में, हम एक परवलय y \u003d x 2 +6x +5 का निर्माण करते हैं और उसके उस हिस्से पर गोला बनाते हैं जो x के नकारात्मक मानों से मेल खाता है, अर्थात। y-अक्ष के बाईं ओर का भाग. परवलय के वृत्ताकार भाग मिलकर फलन y = x 2-6 x +5 (चित्र 3) का ग्राफ बनाते हैं। चित्र 3 उदाहरण 3. फ़ंक्शन y \u003d x 2-6 x +5 के ग्राफ़ पर विचार करें। क्योंकि समीकरण y \u003d x 2 6x +5 का ग्राफ़ मापांक चिह्न के बिना फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान है (उदाहरण 2 में माना गया है), यह निम्नानुसार है कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 का ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 के ग्राफ़ के समान है, जिसे उदाहरण 2 (चित्र 3) में माना गया है। उदाहरण 4. आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2 6x +5 का एक ग्राफ़ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x का एक ग्राफ़ बनाते हैं। इससे फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x का ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए, आपको परवलय के प्रत्येक बिंदु को एक नकारात्मक कोटि के साथ समान भुज वाले बिंदु के साथ, लेकिन विपरीत (सकारात्मक) कोटि के साथ बदलने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, x-अक्ष के नीचे स्थित परवलय के भाग को x-अक्ष के बारे में सममित रेखा से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। क्योंकि हमें फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x +5 का एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है, फिर जिस फ़ंक्शन का ग्राफ़ हमने y \u003d x 2-6x माना है उसे केवल y अक्ष के साथ 5 यूनिट ऊपर उठाने की आवश्यकता है (चित्र) .4). 23

24 चित्र 4 उदाहरण 5. आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2-6x + 5 का एक ग्राफ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम सुप्रसिद्ध टुकड़ेवार फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। फलन y = 6x +5 6x + 5 = 0 पर शून्य ज्ञात कीजिए। दो मामलों पर विचार करें: 1) यदि, तो समीकरण y = x 2 6x -5 का रूप लेता है। आइए इस परवलय का निर्माण करें और इसके उस भाग पर गोला बनाएँ जहाँ। 2) यदि, तो समीकरण y = x 2 + 6x +5 का रूप लेता है। आइए इस परवलय का निर्माण करें और इसके उस हिस्से पर गोला बनाएं, जो निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर स्थित है (चित्र 5)। 24

25 चित्र.5 उदाहरण6. आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2 6 x +5 प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन y \u003d x 2-6 x +5 प्लॉट करेंगे। हमने इस ग्राफ को उदाहरण 3 में प्लॉट किया है। चूंकि हमारा फ़ंक्शन पूरी तरह से मॉड्यूल साइन के तहत है, फ़ंक्शन ग्राफ़ y \u003d x 2 6 x +5 को प्लॉट करने के लिए, आपको फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु की आवश्यकता है। 6 x + 5 एक ऋणात्मक कोटि के साथ, समान भुज वाले एक बिंदु से बदलें, लेकिन विपरीत (सकारात्मक) कोटि के साथ, अर्थात। ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित परवलय के भाग को एक ऐसी रेखा से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए जो ऑक्स अक्ष के संबंध में सममित हो (चित्र 6)। चित्र 6 25

26 II. निष्कर्ष "गणितीय जानकारी का उपयोग कुशलतापूर्वक और लाभप्रद रूप से तभी किया जा सकता है जब इसे रचनात्मक रूप से महारत हासिल हो, ताकि छात्र स्वयं देख सके कि इस तक स्वतंत्र रूप से पहुंचना कैसे संभव होगा।" एक। कोलमोगोरोव। ये कार्य नौवीं कक्षा के छात्रों के लिए बहुत रुचिकर हैं, क्योंकि ये OGE परीक्षणों में बहुत आम हैं। कार्यों के इन ग्राफ़ को बनाने की क्षमता आपको परीक्षा को अधिक सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने की अनुमति देगी। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट () और रेने डेसकार्टेस () ने एक फ़ंक्शन की कल्पना उसके भुज पर वक्र बिंदु की कोटि की निर्भरता के रूप में की। और अंग्रेजी वैज्ञानिक आइजैक न्यूटन () ने फ़ंक्शन को एक गतिशील बिंदु के समन्वय के रूप में समझा जो समय के आधार पर बदलता है। 26

27 III. संदर्भों और स्रोतों की सूची 1. गैलिट्स्की एम.एल., गोल्डमैन ए.एम., ज़वाविच एल.आई. ग्रेड 8 9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: प्रोक। स्कूली छात्रों के लिए भत्ता. और गहनता के साथ कक्षाएं। अध्ययन गणित द्वितीय संस्करण. एम.: ज्ञानोदय, डोरोफीव जी.वी. गणित। बीजगणित. कार्य. डेटा विश्लेषण। ग्रेड 9: एम34 प्रोक। सामान्य शिक्षा अध्ययन के लिए. प्रबंधक द्वितीय संस्करण, स्टीरियोटाइप। एम.: बस्टर्ड, सोलोमोनिक वी.एस. गणित में प्रश्नों और कार्यों का संग्रह एम.: "हायर स्कूल", यशचेंको आई.वी. जीआईए. गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में.एम.: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी. 5. यशचेंको आई.वी. OGE. गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में.एम.: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी. 6. यशचेंको आई.वी. OGE. गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: विकल्पों के बारे में.एम.: "राष्ट्रीय शिक्षा", पी.

28 परिशिष्ट 28

29 उदाहरण 1. फलन y = x 2 8 x हल आलेखित करें। आइए हम फ़ंक्शन की समता को परिभाषित करें। y(-x) का मान y(x) के मान के समान है, इसलिए यह फ़ंक्शन सम है। तब इसका ग्राफ ओए अक्ष के संबंध में सममित है। हम x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 8x + 12 का एक ग्राफ बनाते हैं और नकारात्मक x (छवि 1) के लिए ओए के सापेक्ष ग्राफ को सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण 2. फॉर्म y \u003d x 2 8x का निम्नलिखित ग्राफ़ इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: वे फ़ंक्शन y \u003d x 2 8x + 12 का एक ग्राफ़ बनाते हैं, ग्राफ़ का हिस्सा छोड़ देते हैं जो ऑक्स अक्ष के ऊपर अपरिवर्तित है, और ग्राफ़ का वह भाग जो एब्सिस्सा अक्ष के नीचे स्थित है, ऑक्स अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित होता है (चित्र 2)। उदाहरण 3. फ़ंक्शन y \u003d x 2 8 x + 12 को प्लॉट करने के लिए, परिवर्तनों का एक संयोजन किया जाता है: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x उत्तर : चित्र 3. उदाहरण 4 मॉड्यूल चिह्न के नीचे खड़ा अभिव्यक्ति, बिंदु x=2/3 पर चिह्न बदलता है। एक्स पर<2/3 функция запишется так: 29

30 x>2/3 के लिए, फ़ंक्शन इस प्रकार लिखा जाएगा: यानी, बिंदु x=2/3 हमारे समन्वय विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है, जिनमें से एक में (दाईं ओर) हम फ़ंक्शन बनाते हैं और अन्य (बाईं ओर) फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो हम बनाते हैं: उदाहरण 5 अगला ग्राफ़ भी टूटा हुआ है, लेकिन इसमें दो ब्रेक पॉइंट हैं, क्योंकि इसमें मॉड्यूल संकेतों के तहत दो अभिव्यक्तियां हैं:

31 पहले अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करें: दूसरे अंतराल पर: तीसरे अंतराल पर: इस प्रकार, अंतराल (- ; 1.5] पर हमारे पास पहले समीकरण द्वारा लिखा गया ग्राफ है, अंतराल पर दूसरे समीकरण द्वारा लिखा गया ग्राफ है, और अंतराल पर)