समान आधारों वाली लघुगणकीय असमानताओं का समाधान। सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

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लघुगणक की परिभाषाइसे गणितीय रूप से लिखने का सबसे आसान तरीका है:

लघुगणक की परिभाषा दूसरे तरीके से लिखी जा सकती है:

लघुगणक के आधार पर लगाए गए प्रतिबंधों पर ध्यान दें ( ए) और सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्ति पर ( एक्स). भविष्य में, ये स्थितियाँ ODZ के लिए महत्वपूर्ण प्रतिबंधों में बदल जाएंगी, जिन्हें लघुगणक के साथ किसी भी समीकरण को हल करते समय ध्यान में रखना होगा। तो, अब, ओडीजेड पर प्रतिबंध लगाने वाली मानक शर्तों के अलावा (सम डिग्री की जड़ों के तहत अभिव्यक्तियों की सकारात्मकता, शून्य के हर की गैर-समानता, आदि), निम्नलिखित शर्तों को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• उपलघुगणकीय अभिव्यक्ति केवल सकारात्मक हो सकती है.
• लघुगणक का आधार केवल धनात्मक हो सकता है, एक के बराबर नहीं।.

ध्यान दें कि न तो लघुगणक का आधार और न ही उप लघुगणकीय अभिव्यक्ति शून्य के बराबर हो सकती है। यह भी ध्यान दें कि लघुगणक का मान स्वयं सभी संभावित मानों को ग्रहण कर सकता है, अर्थात। लघुगणक धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। लघुगणक में बहुत कुछ है विभिन्न गुण, जो शक्तियों के गुणों और लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करते हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें। तो, लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

भिन्न लघुगणक:

लघुगणक के चिह्न से डिग्री निकालना:

अंतिम सूचीबद्ध गुणों पर विशेष रूप से ध्यान दें जिनमें मापांक का चिह्न डिग्री की घोषणा के बाद दिखाई देता है। यह न भूलें कि लघुगणक के चिह्न से परे, लघुगणक के नीचे या आधार पर सम डिग्री लेते समय, आपको मापांक का चिह्न छोड़ना होगा।

अन्य लाभकारी विशेषताएंलघुगणक:

अंतिम गुण का उपयोग अक्सर जटिल लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं में किया जाता है। इसे हर किसी की तरह याद रखना चाहिए, हालाँकि इसे अक्सर भुला दिया जाता है।

सबसे आसान लघुगणकीय समीकरणहमशक्ल:

और उनका समाधान एक सूत्र द्वारा दिया जाता है जो सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है:

अन्य सरलतम लघुगणकीय समीकरण वे हैं, जिन्हें बीजगणितीय परिवर्तनों और उपरोक्त सूत्रों और लघुगणक के गुणों का उपयोग करके इस रूप में घटाया जा सकता है:

ODZ को ध्यान में रखते हुए ऐसे समीकरणों का समाधान इस प्रकार है:

कुछ दुसरे आधार में एक चर के साथ लघुगणकीय समीकरणसंक्षेप में इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है:

ऐसे लघुगणकीय समीकरणों में सामान्य फ़ॉर्मसमाधान भी सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है। केवल इस मामले में, डीएचएस के लिए अतिरिक्त प्रतिबंध हैं जिन्हें ध्यान में रखना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, आधार में एक चर के साथ एक लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको निम्नलिखित प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

अधिक जटिल लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय जिन्हें उपरोक्त समीकरणों में से किसी एक में नहीं घटाया जा सकता, इसका भी सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है परिवर्तनशील परिवर्तन विधि. हमेशा की तरह, इस पद्धति को लागू करते समय, किसी को यह याद रखना चाहिए कि प्रतिस्थापन की शुरूआत के बाद, समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए और इसमें पुराना अज्ञात शामिल नहीं होना चाहिए। आपको चरों का विपरीत प्रतिस्थापन करना भी याद रखना होगा।

कभी-कभी लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय इसका भी प्रयोग करना पड़ता है ग्राफ़िक विधि. यह विधिएक ही समन्वय विमान पर समीकरण के बाईं और दाईं ओर मौजूद कार्यों के ग्राफ़ को यथासंभव सटीक रूप से बनाना है, और फिर ड्राइंग के अनुसार उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ढूंढना है। इस प्रकार प्राप्त जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित किया जाना चाहिए।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, यह अक्सर उपयोगी भी होता है समूहीकरण विधि. इस पद्धति का उपयोग करते समय, याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि: कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो, और बाकी अस्तित्व में थे. जब कारक लघुगणक या लघुगणक वाले कोष्ठक होते हैं, और केवल तर्कसंगत समीकरणों की तरह चर वाले कोष्ठक नहीं होते हैं, तो कई त्रुटियां हो सकती हैं। चूँकि लघुगणक पर उस क्षेत्र पर कई प्रतिबंध होते हैं जहाँ वे मौजूद होते हैं।

निर्णय लेते समय लघुगणकीय समीकरणों की प्रणालीअक्सर आपको या तो प्रतिस्थापन विधि या परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना पड़ता है। यदि ऐसी कोई संभावना है, तो लॉगरिदमिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, किसी को यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को व्यक्तिगत रूप से ऐसे रूप में घटाया जाए जिसमें लॉगरिदमिक समीकरण से संक्रमण करना संभव हो सके। एक तर्कसंगत.

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं को समान समीकरणों की तरह ही हल किया जाता है। सबसे पहले, बीजगणितीय परिवर्तनों और लघुगणक के गुणों की सहायता से, उन्हें एक ऐसे रूप में लाने का प्रयास करना चाहिए जहां असमानता के बाईं और दाईं ओर के लघुगणक का आधार समान होगा, अर्थात। फॉर्म की असमानता प्राप्त करें:

उसके बाद, आपको एक तर्कसंगत असमानता पर जाने की आवश्यकता है, यह देखते हुए कि यह संक्रमण निम्नानुसार किया जाना चाहिए: यदि लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमानता चिह्न को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और यदि आधार का आधार एक से अधिक है लघुगणक एक से कम है, तो आपको असमानता चिह्न को विपरीत में बदलने की आवश्यकता है (इसका अर्थ है "कम" को "अधिक" या इसके विपरीत में बदलना)। उसी समय, पहले से अध्ययन किए गए नियमों को दरकिनार करते हुए, माइनस साइन को प्लस में बदलने की आवश्यकता नहीं है। आइए गणितीय रूप से लिखें कि ऐसे संक्रमण के परिणामस्वरूप हमें क्या मिलता है। यदि आधार एक से बड़ा है, तो हमें मिलता है:

यदि लघुगणक का आधार एक से कम है, तो असमानता चिह्न बदलें और निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करें:

जैसा कि हम देख सकते हैं, लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, हमेशा की तरह, ODZ को भी ध्यान में रखा जाता है (यह उपरोक्त सिस्टम में तीसरी स्थिति है)। इसके अलावा, इस मामले में दोनों उपलघुगणकीय अभिव्यक्तियों की सकारात्मकता की आवश्यकता नहीं होना संभव है, लेकिन उनमें से केवल छोटे की सकारात्मकता की आवश्यकता पर्याप्त है।

निर्णय लेते समय आधार में एक चर के साथ लघुगणकीय असमानताएँलघुगणक, दोनों विकल्पों पर स्वतंत्र रूप से विचार करना आवश्यक है (जब आधार एक से कम हो, और एक से अधिक हो) और इन मामलों के समाधानों को समग्र रूप से संयोजित करें। उसी समय, किसी को ODZ के बारे में नहीं भूलना चाहिए, अर्थात। इस तथ्य के बारे में कि आधार और सभी उपलघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ दोनों सकारात्मक होनी चाहिए। इस प्रकार, फॉर्म की असमानता को हल करते समय:

हमें सिस्टम का निम्नलिखित सेट मिलता है:

चरों में परिवर्तन का उपयोग करके अधिक जटिल लघुगणकीय असमानताओं को भी हल किया जा सकता है। कुछ अन्य लघुगणकीय असमानताओं (साथ ही लघुगणकीय समीकरणों) को हल करने के लिए असमानता या समीकरण के दोनों भागों के लघुगणक को एक ही आधार पर लेने की प्रक्रिया की आवश्यकता होती है। इसलिए, जब लघुगणकीय असमानताओं के साथ ऐसी प्रक्रिया को अंजाम दिया जाता है, तो एक सूक्ष्मता होती है। ध्यान दें कि एक से अधिक आधार वाला लघुगणक लेने पर असमानता चिह्न नहीं बदलता है और यदि आधार एक से कम है तो असमानता चिह्न उलट जाता है।

यदि लघुगणकीय असमानता को तर्कसंगत रूप से कम नहीं किया जा सकता है या प्रतिस्थापन द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, तो इस मामले में आवेदन करना चाहिए सामान्यीकृत अंतराल विधि, जो इस प्रकार है:

• ODZ निर्धारित करें;
• असमानता को रूपांतरित करें ताकि दाहिनी ओर शून्य हो (बाईं ओर, यदि संभव हो तो, एक सामान्य हर पर लाएँ, गुणनखंडन करें, आदि);
• अंश और हर के सभी मूल खोजें और उन्हें संख्या रेखा पर रखें, और यदि असमानता सख्त नहीं है, तो अंश की जड़ों पर पेंट करें, लेकिन किसी भी स्थिति में, हर की जड़ों को बिंदुओं के रूप में छोड़ दें;
• परिवर्तित असमानता में दिए गए अंतराल से एक संख्या को प्रतिस्थापित करते हुए, प्रत्येक अंतराल पर संपूर्ण अभिव्यक्ति का चिह्न ढूंढें। साथ ही, अक्ष पर बिंदुओं से गुजरते हुए किसी भी तरह से संकेतों को वैकल्पिक करना अब संभव नहीं है। इस अभिव्यक्ति में अंतराल से मान को प्रतिस्थापित करके प्रत्येक अंतराल पर अभिव्यक्ति का संकेत निर्धारित करना आवश्यक है, और इसी तरह प्रत्येक अंतराल के लिए। कोई अन्य तरीका नहीं है (यह, मोटे तौर पर, अंतराल की सामान्यीकृत विधि और सामान्य विधि के बीच का अंतर है);
• ओडीजेड और असमानता को संतुष्ट करने वाले अंतरालों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं, जबकि असमानता को संतुष्ट करने वाले व्यक्तिगत बिंदुओं को न खोएं (गैर-सख्त असमानताओं में अंश की जड़ें), और उत्तर से सभी असमानताओं में सभी भाजक जड़ों को बाहर करना न भूलें।

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भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

1. सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर अध्ययन सामग्री में दिए गए सभी परीक्षण और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी, सिद्धांत का अध्ययन करने और समस्याओं को हल करने के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना। तथ्य यह है कि सीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित जानना ही पर्याप्त नहीं है, आपको जल्दी और बिना असफलता के हल करने में भी सक्षम होना चाहिए। एक बड़ी संख्या कीके लिए कार्य विभिन्न विषयऔर बदलती जटिलता। उत्तरार्द्ध को हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम, और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। दरअसल, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में लगभग 200 ही आवश्यक सूत्र हैं और गणित में तो उससे भी कुछ कम। इनमें से प्रत्येक विषय में जटिलता के बुनियादी स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना किसी कठिनाई के हल किया जा सकता है। सही वक्तअधिकांश सी.टी. उसके बाद आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में ही सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित में रिहर्सल परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी पर दो बार जाया जा सकता है। फिर से, सीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की उचित योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है। , उत्तरों और कार्यों की संख्या, या अपने स्वयं के नाम को भ्रमित किए बिना। इसके अलावा, आरटी के दौरान, कार्यों में प्रश्न पूछने की शैली की आदत डालना महत्वपूर्ण है, जो डीटी पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो कि आपकी क्षमता की अधिकतम सीमा है।

कोई त्रुटि मिली?

यदि आपको लगता है कि आपको इसमें कोई त्रुटि मिली है प्रशिक्षण सामग्री, तो कृपया इसके बारे में मेल द्वारा लिखें। आप इसमें बग की रिपोर्ट भी कर सकते हैं सामाजिक नेटवर्क(). पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में वह स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपके पत्र पर किसी का ध्यान नहीं जाएगा, या तो त्रुटि सुधार ली जाएगी, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ दो चीजों को छोड़कर किसी से भिन्न नहीं हैं।

सबसे पहले, जब लॉगरिदमिक असमानता से सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की असमानता की ओर बढ़ते हैं, तो यह अनुसरण करता है परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता में जाने पर, असमानता चिह्न संरक्षित रहता है, और यदि यह $1$ से कम है, तो इसे उलट दिया जाता है।

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता के समाधान के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता की असमानता होगी सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, और दूसरा लॉगरिदमिक असमानता में शामिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )