बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के लिए आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएं सबसे सुरक्षित हैं?
इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत अंकन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, मूल लघुगणकीय पहचान पर विचार करें।
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लघुगणक की परिभाषा
लघुगणक की अवधारणा किसी समस्या को एक निश्चित विपरीत अर्थ में हल करते समय उत्पन्न होती है, जब आपको डिग्री के ज्ञात मान और ज्ञात आधार से घातांक खोजने की आवश्यकता होती है।
लेकिन बहुत हो चुकी प्रस्तावना, अब इस प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है कि "लघुगणक क्या है"? आइए एक उचित परिभाषा दें।
परिभाषा।
आधार ए से बी का लघुगणक, जहां a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।
इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" से तुरंत दो आगामी प्रश्न उठने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं है, बल्कि किसी आधार में किसी संख्या का केवल लघुगणक होता है।
हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a पर संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। संख्या b से आधार e के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने विशेष पदनाम lnb और lgb होते हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।
अब आप ला सकते हैं: .
और रिकार्ड 
कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है और आधार में एक इकाई.
अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग ए बी को "बी से आधार ए का लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 आधार 2 के तीन का लघुगणक है, और पांच के वर्गमूल के दो पूर्णांक दो आधार तिहाई का लघुगणक है। आधार ई का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और अंकन एलएनबी को "बी का प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और अंकन एलजीबी को "दशमलव लघुगणक बी" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव पचहत्तर सौवें भाग का दशमलव लघुगणक है।
शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से ध्यान देना उचित है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए हम बताएं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है।
आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता केवल b=1 के लिए सत्य हो सकती है, लेकिन लघुगणक 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।
आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य है। इस अस्पष्टता से स्थिति a≠0 से बचा जा सकता है। और एक के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और सकारात्मक आधार a के साथ डिग्री का मान हमेशा सकारात्मक होता है।
इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लघुगणक की ध्वनिबद्ध परिभाषा आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित डिग्री होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=ap , तो आधार a पर संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता लॉग a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8 , तो लघुगणक 2 8=3 । हम लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
चलिए इसे आसान तरीके से समझाते हैं. उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिसे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).
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उदाहरण: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
क्योंकि \(5^(2)=25\) |
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\(\log_(3)(81)=4\) |
क्योंकि \(3^(4)=81\) |
|||
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\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
लघुगणक का तर्क और आधार
किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:
लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पांच के आधार पर पच्चीस का लघुगणक।"
लघुगणक की गणना कैसे करें?
लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस डिग्री तक बढ़ाया जाना चाहिए?
उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी संख्या को इकाई बनाती है? बिल्कुल शून्य!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम घात में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(\sqrt(3)\) पाने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? इससे हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक घात है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की घात है।
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
समाधान :
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\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
हमें लघुगणक का मान ज्ञात करना होगा, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: |
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\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या लिंक करता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है: |
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\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
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\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
आधार बराबर हैं, हम संकेतकों की समानता की ओर आगे बढ़ते हैं |
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\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
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समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें |
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परिणामी मूल लघुगणक का मान है |
उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?
इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समानता को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).
अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\). x किसके बराबर है? यही तो बात है।
सबसे सरल व्यक्ति कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जानी है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक लेकर आये। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।
मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हां, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)
उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)
समाधान :
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\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर नहीं घटाया जा सकता। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: |
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\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो |
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\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक नियमित संख्या की तरह समझो। |
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\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
समीकरण को 5 से विभाजित करें |
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\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
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यहीं हमारी जड़ है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है। |
उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक
जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे आधार हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:
प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818...\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।
वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है
दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।
वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।
बुनियादी लघुगणकीय पहचान
लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बुनियादी लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह सूत्र कैसे सामने आया।
लघुगणक की संक्षिप्त परिभाषा याद करें:
यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)
अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।
आप लघुगणक के बाकी गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।
उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)
समाधान :
उत्तर : \(25\)
किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?
जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।
लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी प्रकार \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)
इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम दोनों को कहीं भी किसी भी आधार के साथ लघुगणक के रूप में लिख सकते हैं (यहां तक कि एक समीकरण में, यहां तक कि एक अभिव्यक्ति में, यहां तक कि एक असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।
यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64) \)... यहां हम आधार को घन में तर्क के रूप में लिखते हैं:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)
और चार के साथ:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)
और शून्य से एक के साथ:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
और एक तिहाई के साथ:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)
उदाहरण : किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
समाधान :
उत्तर : \(1\)
लघुगणक की परिभाषा
आधार a पर संख्या b का लघुगणक वह घातांक है जिस पर b प्राप्त करने के लिए आपको a बढ़ाने की आवश्यकता है।
संख्या ईगणित में, यह उस सीमा को दर्शाने की प्रथा है जिस तक अभिव्यक्ति की प्रवृत्ति होती है
संख्या ईहै अपरिमेय संख्या- एक संख्या जो एक के अनुरूप नहीं है, इसे पूर्ण या अंश के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है तर्कसंगतसंख्या।
पत्र इ- लैटिन शब्द का पहला अक्षर दोषमुक्ति- दिखावा करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।
संख्या इगणित और सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, किसी न किसी तरीके से अपनी आवश्यकताओं के लिए गणितीय गणनाओं का उपयोग किया जाता है।
लघुगणक. लघुगणक के गुण
परिभाषा: एक धनात्मक संख्या b का आधार लघुगणक घातांक c है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।
मूल लघुगणकीय पहचान:
7) नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:
एलएनए = लॉग ई ए, ई ≈ 2.718…
"लघुगणक" विषय पर कार्य और परीक्षण। लघुगणक के गुण»
- लघुगणक - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय
इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणक पहचान, दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषाएँ जाननी चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार के कार्य लघुगणकीय अभिव्यक्तियों की गणना और रूपांतरण के कार्य हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर उनके समाधान पर विचार करें।
समाधान:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
समाधान:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 2 5) 2 =5 2 =25
लघुगणक के गुण, सूत्रीकरण और प्रमाण।
लघुगणक में कई विशिष्ट गुण होते हैं। इस लेख में हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्रीकरण देते हैं, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखते हैं, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी देते हैं।
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लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण
याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम प्रस्तुत करते हैं लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की एक सूची के रूप में. अगले भाग में, हम उनके सूत्रीकरण, प्रमाण, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 x 2 ... x n) = log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0।
, जहां a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
, जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0 ।
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, q≠0 , विशेष रूप से, b=a के लिए हमारे पास है 
.संपत्तियों के विवरण और प्रमाण
हम लघुगणक के दर्ज गुणों के निर्माण और प्रमाण की ओर बढ़ते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे निकलने वाली मूल लघुगणकीय पहचान के साथ-साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0 , a≠1 के लिए। प्रमाण सीधा है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।
आइए विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , एलजी1=0 और .
आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0 , a≠1 के लिए। दरअसल, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 होता है।
लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 .
लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक का यह गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है लॉग ए एपी =पी, जहां a>0 , a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है। यह गुण सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लघुगणक के मान को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है, यदि आधार की डिग्री के रूप में लघुगणक के चिह्न के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है, तो हम लघुगणक की गणना करने वाले लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।
उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और 
.
दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (x y)=लॉग ए x+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x + log a y =a log a x a log a y , और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान से a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y . इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा का पालन करती है।
आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और 
.
गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1 , x 2 , …, x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (एक्स 1 एक्स 2 ... एक्स एन)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +...+लॉग ए एक्स एन. इस समानता को गणितीय आगमन विधि द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, e, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल लघुगणक का गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है , जहां a>0 , a≠1 , x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि 
, फिर लघुगणक की परिभाषा द्वारा .
यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: 
.
चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। डिग्री के लघुगणक के इस गुण को हम सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी =पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।
हम पहले इस गुण को सकारात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति गुण के कारण, AP log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p =ap p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b।
इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी । फिर बी पी =|बी| p =(a log a |b|) p =ap log a |b| , जहां से लॉग ए बी पी =पी लॉग ए |बी| .
उदाहरण के लिए, 
और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक का गुण: nवीं डिग्री के मूल का लघुगणक अंश 1/n के गुणनफल और मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक के बराबर है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, बी>0.
प्रमाण एक समानता पर आधारित है (एक भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक बी और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के लिए मान्य है: 
.
इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: 
.
अब आइए साबित करें लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रदयालु 
. ऐसा करने के लिए, समानता log c b=log a b log c a की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए। इस प्रकार, समानता लॉग सी बी = लॉग ए बी लॉग सी ए सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .
आइए लघुगणक की इस संपत्ति को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और 
.
नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।
प्रपत्र के c=b के लिए लघुगणक के नए आधार में संक्रमण सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं। जैसे, 
.
सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक मान ज्ञात करते समय सुविधाजनक होता है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग करके फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है 
. सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: 
.
यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को सिद्ध करना बाकी है।
आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 2 के लिए और 0 1 के लिए log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है 
और 
क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली शक्तियों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 संतुष्ट होनी चाहिए, अर्थात a 1 ≥a 2। इस प्रकार, हम स्थिति a 1 2 के विरोधाभास पर पहुँच गये हैं। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।
लघुगणक के मूल गुण
- पाठ के लिए सामग्री
- सभी सूत्र डाउनलोड करें
- लॉग ए एक्स एन = एन लॉग ए एक्स ;
लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.
इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं की जा सकती। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - सब कुछ एक दिन में सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू हो जाओ।
लघुगणक का जोड़ और घटाव
समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log a x और log a y । फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:
तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बात यह है - वही आधार. यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम काम नहीं करते!
ये सूत्र लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।
चूँकि लघुगणक के आधार समान हैं, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.
आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.
फिर, आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।
जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिन पर अलग से विचार नहीं किया गया है। लेकिन परिवर्तनों के बाद बिल्कुल सामान्य संख्याएँ सामने आती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, वह नियंत्रण - पूरी गंभीरता के साथ समान अभिव्यक्तियाँ (कभी-कभी - वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) परीक्षा में पेश की जाती हैं।
लघुगणक से घातांक को हटाना
अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:
यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो नियमों का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।
निःसंदेह, यदि ODZ लघुगणक देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।
आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12
काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 72. हमारे पास है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें एक "तीन मंजिला" अंश मिला।
अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर की संख्या समान है: लघुगणक 2 7. चूँकि लघुगणक 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - हर में 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.
एक नई नींव में परिवर्तन
लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि आधार भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?
नए आधार पर संक्रमण के सूत्र बचाव में आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:
मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
विशेष रूप से, यदि हम c = x डालते हैं, तो हमें मिलता है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
दूसरे सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि आधार और लघुगणक के तर्क को आपस में बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है.
ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।
हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।
ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;
अब दूसरे लघुगणक को पलटें:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
चूँकि गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक निकाला।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।
प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
बुनियादी लघुगणकीय पहचान
अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:
- एन = लॉग ए ए एन
-
पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।
दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है।
वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे तो क्या होगा? यह सही है: यह वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर "लटके" रहते हैं।
नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - बस आधार का वर्ग और लघुगणक का तर्क लें। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हमें यह मिलता है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
यदि किसी को इसकी जानकारी नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था 🙂
लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य
अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुण कहना मुश्किल है - बल्कि, ये लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।
- log a a = 1 लघुगणकीय इकाई है। एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक उस आधार से स्वयं एक के बराबर होता है।
- लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है - लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।
बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें - और समस्याओं का समाधान करें।
लघुगणक. लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।
लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें. और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एउस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।
इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी=बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीवजह से एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।
लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव संचालनऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.
लघुगणक का जोड़ और घटाव.
एक ही आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर एक y लॉग इन करें. फिर हटाएं जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:
जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक. और यह सच है अगर संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1.
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू वही आधार हैं। यदि आधार एक दूसरे से भिन्न हैं तो ये नियम लागू नहीं होते!
समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियम न केवल बाएँ से दाएँ पढ़े जाते हैं, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़े जाते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।
उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ उनके लघुगणक के योग के बराबर होती हैं ; इस प्रमेय की व्याख्या करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:
भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याओं का मान लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:
हम हल करने के लिए उपरोक्त प्रमेयों को लागू करते हैं उदाहरण:
यदि संख्याएँ एक्सऔर परतो फिर, नकारात्मक हैं उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है. तो, यह लिखना मना है:
चूँकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणकीय फ़ंक्शन पर= लॉग 2 एक्सकेवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित एक्स).
उत्पाद प्रमेययह न केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब यह है कि हर प्राकृतिक के लिए कऔर कोई भी सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:
से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,
तो वहाँ एक समानता है:
दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल संकेत में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:
लघुगणक. लघुगणक के गुण
लघुगणक. लघुगणक के गुण
समानता पर विचार करें. आइए मूल्यों को जानें और हम इसका मूल्य ज्ञात करना चाहते हैं।
अर्थात्, हम एक ऐसे प्रतिपादक की तलाश कर रहे हैं जिसे पाने के लिए आपको मुर्गा बनाने की आवश्यकता है।
होने देना
चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, तो चर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >यदि हम और के मूल्यों को जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय ऑपरेशन पेश किया जाता है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.
हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकद्वारा नींव :
किसी संख्या का आधार से लघुगणक वह घातांक है जिसे प्राप्त करने के लिए आपको बढ़ाने की आवश्यकता होती है।
वह है बुनियादी लघुगणकीय पहचान:
o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>
मूलतः एक गणितीय संकेतन है लघुगणक परिभाषाएँ.
गणितीय संक्रिया लघुगणक घातांक का व्युत्क्रम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।
हम मुख्य सूचीबद्ध करते हैं लघुगणक के गुण:
(o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
गुणों का निम्नलिखित समूह आपको लघुगणक के चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति के घातांक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, या लघुगणक के चिह्न से पहले गुणांक के रूप में लघुगणक के आधार पर खड़ा होता है:
6.
7.
8.
9.
सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाना आधार वाले लघुगणक तक जाने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है सूत्रों को एक नए आधार पर परिवर्तित करें:
10.
12. (संपत्ति 11 से परिणाम)
निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, या लघुगणक वाले अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय किया जाता है:
13.
14.
15.
विशेष स्थितियां:
— दशमलव लघुगणक
— प्राकृतिकलघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण लागू किया जाता है:
1. हम दशमलव भिन्नों को सामान्य अंशों के रूप में निरूपित करते हैं।
2. हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं।
3. लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित हो जाती हैं।
4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।
5. लघुगणक के गुण लागू करें.
आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।
उदाहरण 1
गणना करें:
आइए सभी घातांकों को सरल बनाएं: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में लाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।
==(संपत्ति 7 द्वारा)=(संपत्ति 6 द्वारा) =
उन संकेतकों को प्रतिस्थापित करें जो हमने मूल अभिव्यक्ति में प्राप्त किए हैं। हम पाते हैं:
उत्तर: 5.25
उदाहरण 2 गणना करें:
हम सभी लघुगणक को आधार 6 पर लाते हैं (इस मामले में, भिन्न के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" हो जाएंगे):
आइए लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
गुण 4 और 6 लागू करें:
हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं
हम पाते हैं:
उत्तर 1
लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान.
लघुगणक के गुण. दशमलव लघुगणक. प्राकृतिक।
लोगारित्म आधार में धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) घातांक x कहलाता है जिससे N प्राप्त करने के लिए आपको b बढ़ाने की आवश्यकता होती है .
यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .
उदाहरण: लॉग 3 81 = 4 चूँकि 3 4 = 81 ;
लॉग 1/3 27 = – 3 क्योंकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27।
लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:
लघुगणक के मूल गुण।
2) लॉग 1 = 0 क्योंकि बी 0 = 1 .
3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:
4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:
5) डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:
इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: लॉग रूट मूल संख्या के लघुगणक को मूल की शक्ति से विभाजित करने के बराबर होता है:
6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक का व्युत्क्रम कविता लॉग चिह्न से निकाला जा सकता है:
अंतिम दो संपत्तियों को एक में जोड़ा जा सकता है:
7) संक्रमण मापांक का सूत्र (अर्थात लघुगणक के एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण):
किसी विशेष मामले में, जब एन = एहमारे पास है:
दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे lg से दर्शाया जाता है, अर्थात। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्याओं 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, … हैं, अर्थात्। बहुत सारे सकारात्मक हैं
इकाइयाँ, लघुगणक संख्या में एक के बाद कितने शून्य होते हैं। संख्याओं के लघुगणक 0.1, 0.01, 0.001, . p क्रमशः -1, -2, -3, ... हैं, अर्थात्। उतने ही ऋणात्मक हैं जितने एक से पहले लघुगणक संख्या में शून्य हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। शेष संख्याओं के लघुगणक का एक भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांश. लघुगणक का पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक होते हैं।
प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. इसे ln द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। लकड़ी का लट्ठा इ एन=एल.एन एन. संख्या इअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिसकी ओर संख्या (1+1/ एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(सेमी। पहली अद्भुत सीमासंख्या अनुक्रम सीमा पृष्ठ पर)।
यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न परिचालनों को निष्पादित करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए। आधार लघुगणक की गणना इकिसी भी अन्य आधार की तुलना में बहुत तेज़।
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के संदर्भ में
दी गई अन्य दो संख्याओं में से किसी एक संख्या को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया a और फिर N को घातांक द्वारा पाया जाता है। यदि N दिया गया है और फिर घात x का मूल निकालकर (या घात तक बढ़ाकर) a पाया जाता है। अब उस स्थिति पर विचार करें जब a और N दिए जाने पर x ज्ञात करना आवश्यक हो।
माना संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है:।
परिभाषा। आधार a पर संख्या N का लघुगणक वह घातांक है जिस पर आपको संख्या N प्राप्त करने के लिए a बढ़ाने की आवश्यकता है; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है
इस प्रकार, समानता (26.1) में, घातांक को आधार a पर N के लघुगणक के रूप में पाया जाता है। प्रविष्टियां
एक ही अर्थ है. समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मूल पहचान कहा जाता है; वास्तव में, यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। इस परिभाषा के अनुसार, लघुगणक a का आधार हमेशा सकारात्मक और एकता से भिन्न होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में लघुगणक नहीं होते। यह साबित किया जा सकता है कि किसी दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या में एक अच्छी तरह से परिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता आवश्यक है. ध्यान दें कि यहां शर्त आवश्यक है, अन्यथा निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।
उदाहरण 1. खोजें
समाधान। संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को घात तक बढ़ाना होगा।
आप ऐसे उदाहरणों को हल करते समय निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड कर सकते हैं:
उदाहरण 2. खोजें ।
समाधान। हमारे पास है
उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की डिग्री के रूप में लघुगणकीय संख्या का प्रतिनिधित्व करके आसानी से वांछित लघुगणक पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस कथन से संबंधित एक प्रश्न पर ध्यान दें। § 12 में हमने किसी दी गई धनात्मक संख्या की किसी वास्तविक घात को निर्धारित करने की संभावना की अवधारणा दी। यह लघुगणक की शुरूआत के लिए आवश्यक था, जो सामान्य तौर पर, अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।
लघुगणक के कुछ गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार बराबर हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार बराबर हैं।
सबूत। आइए लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास और कहां से है
इसके विपरीत, परिभाषा के अनुसार फिर चलो
गुण 2. किसी भी आधार पर एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।
सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से
क्यू.ई.डी.
विपरीत कथन भी सत्य है: यदि, तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास है।
लघुगणक की निम्नलिखित संपत्ति बताने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b एक तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों या तो c से बड़े हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से कम है, तो हम कहते हैं कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।
संपत्ति 3. यदि संख्या और आधार एकता के एक ही तरफ स्थित हैं, तो लघुगणक सकारात्मक है; यदि संख्या और आधार एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।
संपत्ति 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक सकारात्मक है, तो ए की डिग्री एक से अधिक है, या आधार एक से कम है और घातांक नकारात्मक है। यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक नकारात्मक है, तो डिग्री एक से कम है, या आधार एक से कम है और घातांक सकारात्मक है।
विचार किए जाने वाले चार मामले हैं:
हम उनमें से पहले के विश्लेषण तक ही सीमित हैं, बाकी पर पाठक स्वयं विचार करेगा।
मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो नकारात्मक है और न ही शून्य के बराबर है, इसलिए, यह सकारात्मक है, यानी, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।
उदाहरण 3. पता लगाएं कि निम्नलिखित में से कौन से लघुगणक सकारात्मक हैं और कौन से नकारात्मक हैं:
समाधान, ए) चूँकि संख्या 15 और आधार 12 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं;
बी) चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं; साथ ही, यह आवश्यक नहीं है कि आधार लघुगणकीय संख्या से बड़ा हो;
ग), चूंकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;
जी) ; क्यों?
इ) ; क्यों?
निम्नलिखित गुणों 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानकर, उनमें से प्रत्येक के उत्पाद, भागफल, डिग्री के लघुगणक को खोजने की अनुमति देते हैं।
संपत्ति 4 (उत्पाद के लघुगणक के लिए नियम)। किसी दिए गए आधार में कई सकारात्मक संख्याओं के उत्पाद का लघुगणक उसी आधार में इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
सबूत। मान लीजिए कि सकारात्मक संख्याएँ दी गई हैं।
उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम लघुगणक को परिभाषित करने वाली समानता (26.1) लिखते हैं:
यहां से हम पाते हैं
पहले और अंतिम भाव के घातांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक समानता प्राप्त होती है:
ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक समझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है
सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का उत्पाद सकारात्मक है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के मॉड्यूल के लघुगणक के योग के बराबर होता है।
संपत्ति 5 (भागफल लघुगणक नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक एक ही आधार में लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। लगातार खोजें
क्यू.ई.डी.
संपत्ति 6 (डिग्री के लघुगणक का नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक के लघुगणक के बराबर होता है।
सबूत। हम संख्या के लिए मुख्य पहचान (26.1) फिर से लिखते हैं:
क्यू.ई.डी.
परिणाम। किसी धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक, मूल संख्या के घातांक से विभाजित मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होता है:
हम कैसे प्रस्तुत करके और संपत्ति 6 का उपयोग करके इस परिणाम की वैधता साबित कर सकते हैं।
उदाहरण 4. आधार के लिए लघुगणक:
ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);
बी) (ऐसा माना जाता है)।
समाधान, ए) इस अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक शक्तियों को पारित करना सुविधाजनक है:
समानताओं के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:
हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर संख्याओं की तुलना में सरल संक्रियाएँ की जाती हैं: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित होने पर, उन्हें घटाया जाता है, आदि।
इसीलिए कम्प्यूटेशनल अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया गया है (धारा 29 देखें)।
लघुगणक के विपरीत क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा किसी संख्या के दिए गए लघुगणक द्वारा यह संख्या स्वयं पाई जाती है। संक्षेप में, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक घात (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए आती है। शब्द "पोटेंशियेशन" को "एक्सपोनेंशियेशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।
पोटेंशिएट करते समय, उन नियमों का उपयोग करना आवश्यक है जो लघुगणक के नियमों के विपरीत हैं: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक के साथ बदलें, लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक के साथ बदलें, आदि। विशेष रूप से, यदि वहाँ है लघुगणक के चिह्न के सामने कोई भी कारक, तो पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के चिह्न के नीचे संकेतक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
उदाहरण 5. यदि यह ज्ञात हो तो N ज्ञात कीजिए
समाधान। अभी बताए गए पोटेंशिएशन नियम के संबंध में, कारक 2/3 और 1/3, जो इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने हैं, इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक में स्थानांतरित किए जाएंगे; हम पाते हैं
अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं:
समानता की इस श्रृंखला में अंतिम भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले भिन्न को हर में अतार्किकता से मुक्त कर दिया (धारा 25)।
संपत्ति 7. यदि आधार एक से बड़ा है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक बड़ा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक होता है), यदि आधार एक से छोटा होता है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक छोटा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक छोटा होता है) एक के पास बड़ा है)।
यह गुण असमानताओं के लघुगणक के लिए एक नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों भाग सकारात्मक हैं:
एक से बड़े आधार के साथ असमानताओं का लघुगणक लेने पर, असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है, और एक से कम आधार के साथ लघुगणक लेने पर, असमानता का चिह्न उलट जाता है (आइटम 80 भी देखें)।
प्रमाण गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस मामले पर विचार करें जब यदि, तब और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं
(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से
मामला इस प्रकार है, पाठक स्वयं ही इसका पता लगा लेगा।
274. टिप्पणियाँ.
ए)यदि मूल्यांकन की जाने वाली अभिव्यक्ति में शामिल है जोड़या अंतरसंख्याएँ, तो उन्हें सामान्य जोड़ या घटाव द्वारा तालिकाओं की सहायता के बिना पाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
लॉग (35 + 7.24) 5 = 5 लॉग (35 + 7.24) = 5 लॉग 42.24।
बी)लघुगणक व्यंजकों को जानने के बाद, हम, लघुगणक के दिए गए परिणाम से, विपरीत रूप से, वह व्यंजक ढूंढ सकते हैं जिससे यह परिणाम प्राप्त हुआ था; तो यदि
लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग ए+लॉग बी- 3 लॉग साथ,
इसकी कल्पना करना आसान है
वी)लघुगणक तालिकाओं की संरचना पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम दशमलव लघुगणक के कुछ गुणों का संकेत देंगे, अर्थात्। वे जिनमें संख्या 10 को आधार के रूप में लिया जाता है (गणना के लिए केवल ऐसे लघुगणक का उपयोग किया जाता है)।
अध्याय दो।
दशमलव लघुगणक के गुण.
275 . ए) चूँकि 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, आदि, तो लॉग 10 = 1, लॉग 100 = 2, लॉग 1000 = 3, लॉग 10000 = 4, और आदि।
मतलब, शून्य के साथ दर्शाए गए पूर्णांक का लघुगणक एक सकारात्मक पूर्णांक होता है जिसमें संख्या की छवि में जितने शून्य होते हैं उतने ही पूर्णांक होते हैं।
इस प्रकार: लॉग 100,000 = 5, लकड़ी का लट्ठा 1000 000 = 6 , वगैरह।
बी) क्योंकि
लॉग 0.1 = -एल; लॉग 0.01 = - 2; लॉग 0.001 == -3; लॉग 0.0001 = - 4,वगैरह।
मतलब, अग्रणी शून्य वाली इकाई द्वारा दर्शाए गए दशमलव अंश का लघुगणक एक नकारात्मक पूर्णांक होता है जिसमें 0 पूर्णांक सहित भिन्न छवि में उतनी ही नकारात्मक इकाइयाँ होती हैं जितनी शून्य होती हैं।
इस प्रकार: लॉग 0.00001= - 5, लॉग 0.000001 = -6,वगैरह।
वी)उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक लीजिए जो शून्य वाली इकाई द्वारा प्रदर्शित नहीं होता है। 35, या भिन्न के साथ एक पूर्णांक, जैसे 10.7. ऐसी संख्या का लघुगणक एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि पूर्णांक घातांक (धनात्मक या ऋणात्मक) के साथ 10 को घात तक बढ़ाने पर, हमें शून्य (1 के बाद या उससे पहले) के साथ 1 मिलता है। अब मान लीजिए कि ऐसी संख्या का लघुगणक कुछ अंश है ए / बी . तब हमारे पास समानताएं होंगी
लेकिन ये समानताएँ असंभव हैं, जैसे 10ए शून्य के साथ 1 है, जबकि घात 35बी और 10,7बी कोई संकेतक नहीं बी शून्य के साथ 1 नहीं दे सकते. इसलिए इसकी इजाजत नहीं दी जा सकती लॉग 35और लॉग 10.7भिन्नों के बराबर थे. लेकिन लघुगणक फ़ंक्शन के गुणों से, हम जानते हैं () कि प्रत्येक सकारात्मक संख्या में एक लघुगणक होता है; इसलिए, संख्या 35 और 10.7 में से प्रत्येक का अपना लघुगणक है, और चूंकि यह पूर्ण संख्या या भिन्नात्मक संख्या नहीं हो सकती है, यह एक अपरिमेय संख्या है और इसलिए, संख्याओं के माध्यम से सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। आमतौर पर, अपरिमेय लघुगणक को कई दशमलव स्थानों के साथ लगभग दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस भिन्न का पूर्णांक (भले ही वह "0 पूर्णांक" था) कहलाता है विशेषता, और भिन्नात्मक भाग लघुगणक का मंटिसा है। यदि, उदाहरण के लिए, लघुगणक है 1,5441 , तो इसकी विशेषता है 1 , और मंटिसा है 0,5441 .
जी)उदाहरण के लिए, आइए कुछ पूर्णांक या मिश्रित संख्या लें। 623 या 623,57 . ऐसी संख्या के लघुगणक में एक विशेषता और एक मंटिसा होता है। इससे पता चलता है कि दशमलव लघुगणक में यह सुविधा होती है हम सदैव एक प्रकार की संख्या से उनकी विशेषता ज्ञात कर सकते हैं . ऐसा करने के लिए, हम गिनते हैं कि किसी दिए गए पूर्णांक में, या किसी मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग में कितने अंक हैं। इन संख्याओं के हमारे उदाहरणों में 3 . इसलिए, प्रत्येक संख्या 623 और 623,57 100 से अधिक लेकिन 1000 से कम; जिसका अर्थ है कि उनमें से प्रत्येक का लघुगणक अधिक है लॉग 100, यानी अधिक 2 , लेकिन कम लॉग 1000, यानी कम 3 (याद रखें कि बड़ी संख्या का लघुगणक भी बड़ा होता है)। इस तरह, लॉग 623 = 2,..., और लॉग 623.57 = 2,... (अंक अज्ञात मंटिसास की जगह लेते हैं)।
इस तरह हम पाते हैं:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 लॉग 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 लॉग 8634 = 3,... |
मान लीजिए सामान्य तौर पर किसी दिए गए पूर्णांक, या किसी दिए गए मिश्रित संख्या का एक पूर्णांक भाग शामिल होता है एम अंक. चूंकि सबसे छोटा पूर्णांक युक्त है एम अंक, वहाँ 1 साथ एम - 1 अनुगामी शून्य, फिर (दी गई संख्या को दर्शाता है एन) हम असमानताएँ लिख सकते हैं:
और इसलिए
एम - 1 < log N < एम ,
लॉग एन = ( एम- 1) + धनात्मक अंश.
तो विशेषता लॉगएन = एम - 1 .
हम इस तरह से देखते हैं किसी पूर्णांक या मिश्रित संख्या के लघुगणक की विशेषता में उतने ही सकारात्मक अंक होते हैं जितने किसी संख्या के पूर्णांक भाग में एक के बिना होते हैं।
इसे ध्यान में रखते हुए, हम सीधे लिख सकते हैं:
लॉग 7,205 = 0,...; लॉग83 = 1,...; लॉग 720.4 = 2,...और इसी तरह।
इ)आइए इससे छोटे कुछ दशमलव अंश लें 1 (अर्थात् होना 0 पूर्णांक): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, और इसी तरह।
इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक लघुगणक दो नकारात्मक पूर्णांकों के बीच घिरा हुआ है जो एक से भिन्न हैं; इसलिए उनमें से प्रत्येक किसी धनात्मक अंश द्वारा बढ़ाई गई इन ऋणात्मक संख्याओं में से छोटी संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए, log0.0056= -3 + धनात्मक अंश. मान लीजिए यह अंश 0.7482 है। फिर, इसका मतलब है:
लॉग 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518)।
रकम जैसे - 3 + 0,7482 , एक नकारात्मक पूर्णांक और एक सकारात्मक दशमलव अंश से मिलकर, लघुगणकीय गणनाओं में संक्षिप्त रूप से निम्नानुसार लिखने के लिए सहमत हुए: 3 ,7482 (ऐसी संख्या में लिखा है: 3 ऋण के साथ, 7482 दस-हजारवाँ।), यानी, उन्होंने यह दिखाने के लिए विशेषता के ऊपर एक ऋण चिह्न लगा दिया कि यह केवल इस विशेषता को संदर्भित करता है, न कि मंटिसा को, जो सकारात्मक रहता है। इस प्रकार, उपरोक्त तालिका से यह देखा जा सकता है
लॉग 0.35 == 1 ,....; लॉग 0.07 = 2,....; लॉग 0.0008 = 4,....
बिलकुल चलो 
. एक दशमलव अंश होता है जिसमें पहला सार्थक अंक होता है α
लागत एम
शून्य, जिसमें 0 पूर्णांक शामिल हैं। तो फिर ये तो जाहिर सी बात है
- एम < log A < - (एम- 1).
चूँकि दो पूर्णांकों में से:- एम और - (एम- 1) वहाँ कम है एम , वह
लॉग ए = - एम+ सकारात्मक अंश,
और इसलिए विशेषता लॉग ए = - एम (एक सकारात्मक मंटिसा के साथ)।
इस प्रकार, 1 से कम दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषता में उतने ही नकारात्मक होते हैं जितने शून्य पूर्णांक सहित पहले महत्वपूर्ण अंक के सामने दशमलव अंश की छवि में शून्य होते हैं; ऐसे लघुगणक का मंटिसा सकारात्मक होता है।
इ)किसी संख्या को गुणा करें एन(संपूर्ण या आंशिक - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) 10 से, 100 से 1000..., आम तौर पर शून्य के साथ 1 से। आइए देखें कि यह कैसे बदलता है लॉग एन. चूँकि उत्पाद का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के योग के बराबर होता है
लॉग(एन 10) = लॉग एन + लॉग 10 = लॉग एन + 1;
लॉग(एन 100) = लॉग एन + लॉग 100 = लॉग एन + 2;
लॉग(एन 1000) = लॉग एन + लॉग 1000 = लॉग एन + 3;वगैरह।
जब करने के लिए लॉग एनहम कुछ पूर्णांक जोड़ते हैं, फिर हम हमेशा इस संख्या को विशेषता में जोड़ सकते हैं, न कि मंटिसा में।
तो, यदि लॉग एन = 2.7804, तो 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 आदि;
या यदि लॉग एन = 3.5649, तो 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, आदि।
किसी संख्या को 10, 100, 1000, .. से गुणा करने पर, आम तौर पर शून्य के साथ 1 से, लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, और गुणक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों तक बढ़ जाती है। .
इसी प्रकार, यह ध्यान में रखते हुए कि भागफल का लघुगणक भाजक के लघुगणक के बिना लाभांश के लघुगणक के बराबर है, हमें मिलता है:
लॉग एन / 10 = लॉग एन - लॉग 10 = लॉग एन -1;
लॉग एन / 100 = लॉग एन - लॉग 100 = लॉग एन -2;
लॉग एन / 1000 = लॉग एन - लॉग 1000 = लॉग एन -3;और इसी तरह।
यदि हम लघुगणक से एक पूर्णांक घटाते समय इस पूर्णांक को हमेशा विशेषता से घटाने और मंटिसा को अपरिवर्तित छोड़ने पर सहमत होते हैं, तो हम कह सकते हैं:
किसी संख्या को शून्य से 1 से विभाजित करने पर, लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, और भाजक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों से घट जाती है।
276. परिणाम.संपत्ति से ( इ) हम निम्नलिखित दो परिणाम निकाल सकते हैं:
ए) दशमलव संख्या के लघुगणक का मंटिसा अल्पविराम द्वारा संख्या में स्थानांतरित होने से नहीं बदलता है , क्योंकि अल्पविराम को स्थानांतरित करना 10, 100, 1000, आदि से गुणा या भाग करने के बराबर है। इस प्रकार, संख्याओं के लघुगणक:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
केवल विशेषताओं में भिन्नता है, लेकिन मंटिसा में नहीं (बशर्ते कि सभी मंटिसा सकारात्मक हों)।
बी) संख्याओं के मंटिसा जिनका महत्वपूर्ण भाग समान है, लेकिन अंत में केवल शून्य से भिन्न है, वही हैं: इसलिए, संख्याओं के लघुगणक: 23, 230, 2300, 23,000 केवल विशेषताओं में भिन्न हैं।
टिप्पणी। दशमलव लघुगणक के इन गुणों से यह देखा जा सकता है कि हम किसी पूर्णांक और दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषता बिना तालिकाओं की सहायता के ज्ञात कर सकते हैं (यह दशमलव लघुगणक की बड़ी सुविधा है); परिणामस्वरूप, लॉगरिदमिक तालिकाओं में केवल एक मंटिसा रखा जाता है; इसके अलावा, चूँकि भिन्नों के लघुगणक ज्ञात करना पूर्णांकों के लघुगणक (अंश का लघुगणक = हर के लघुगणक के बिना अंश का लघुगणक) ज्ञात करने तक कम हो जाता है, केवल पूर्णांकों के लघुगणक के मंटिसा को इसमें रखा जाता है टेबल.
अध्याय तीन।
चार अंकों वाली तालिकाओं का उपकरण और उपयोग।
277. लघुगणक की प्रणालियाँ।लघुगणक की एक प्रणाली एक ही आधार में लगातार पूर्णांकों की श्रृंखला के लिए गणना किए गए लघुगणक का एक सेट है। दो प्रणालियों का उपयोग किया जाता है: साधारण या दशमलव लघुगणक की प्रणाली, जिसमें संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है 10 , और तथाकथित प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली, जिसमें अपरिमेय संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है (कुछ कारणों से जो गणित की अन्य शाखाओं में समझे जाते हैं) 2,7182818 ... गणना के लिए, दशमलव लघुगणक का उपयोग किया जाता है, उन सुविधाओं के कारण जो हमने ऐसे लघुगणक के गुणों को सूचीबद्ध करते समय इंगित की थीं।
प्राकृतिक लघुगणक को लघुगणक के आविष्कारक स्कॉटिश गणितज्ञ के नाम पर नेपियर का लघुगणक भी कहा जाता है। नेपेरा(1550-1617), और दशमलव लघुगणक - ब्रिग द्वारा प्रोफेसर के नाम पर रखा गया ब्रिग्गा(नेपियर के समकालीन और मित्र), जिन्होंने सबसे पहले इन लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं।
278. एक ऋणात्मक लघुगणक का एक सकारात्मक मंटिसा के साथ एक में परिवर्तन, और व्युत्क्रम परिवर्तन। हमने देखा है कि 1 से कम संख्याओं के लघुगणक ऋणात्मक होते हैं। इसलिए, उनमें एक नकारात्मक विशेषता और एक नकारात्मक मंटिसा शामिल है। ऐसे लघुगणक को हमेशा रूपांतरित किया जा सकता है ताकि उनका मंटिसा सकारात्मक हो और विशेषता नकारात्मक बनी रहे। ऐसा करने के लिए, मंटिसा में एक सकारात्मक इकाई और विशेषता में एक नकारात्मक इकाई जोड़ना पर्याप्त है (जिससे, निश्चित रूप से, लघुगणक का मान नहीं बदलेगा)।
यदि, उदाहरण के लिए, हमारे पास लघुगणक है - 2,0873 , तो आप लिख सकते हैं:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
या संक्षिप्त:
इसके विपरीत, नकारात्मक विशेषता और सकारात्मक मंटिसा वाले किसी भी लघुगणक को नकारात्मक में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एक सकारात्मक मंटिसा के साथ एक नकारात्मक इकाई और एक नकारात्मक विशेषता के साथ एक सकारात्मक इकाई जोड़ना पर्याप्त है: तो, आप लिख सकते हैं:
279. चार अंकीय तालिकाओं का विवरण।अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, चार अंकों की तालिकाएँ काफी पर्याप्त हैं, जिनका प्रबंधन बहुत सरल है। ये तालिकाएँ (शीर्ष पर उनके "लघुगणक" के साथ) इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं, और उनका एक छोटा सा हिस्सा (स्थान समझाने के लिए) इस पृष्ठ पर मुद्रित है। इनमें मंटिसा शामिल हैं
लघुगणक.
से सभी पूर्णांकों के लघुगणक 1 पहले 9999 समावेशी, चार दशमलव स्थानों तक गणना की गई, इन दशमलव स्थानों में से अंतिम को बढ़ाया जा रहा है 1 उन सभी मामलों में जहां 5वें दशमलव स्थान पर 5 या 5 से अधिक होना चाहिए; इसलिए, 4-अंकीय तालिकाएँ अनुमानित मंटिसा देती हैं 1 / 2 दस हजारवाँ भाग (कमी के साथ या अधिकता के साथ)।
चूँकि हम दशमलव लघुगणक के गुणों के आधार पर किसी पूर्णांक या दशमलव अंश के लघुगणक को सीधे चित्रित कर सकते हैं, हमें तालिकाओं से केवल मंटिसा लेना चाहिए; साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि दशमलव संख्या में अल्पविराम की स्थिति, साथ ही संख्या के अंत में शून्य की संख्या, मंटिसा के मूल्य को प्रभावित नहीं करती है। इसलिए, किसी दी गई संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते समय, हम इस संख्या में अल्पविराम, साथ ही इसके अंत में शून्य, यदि कोई हो, को हटा देते हैं, और इसके बाद बने पूर्णांक का मंटिसा ढूंढते हैं। इस स्थिति में, निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं।
1) एक पूर्णांक में 3 अंक होते हैं।उदाहरण के लिए, आइए संख्या 536 के लघुगणक का मंटिसा ज्ञात करें। इस संख्या के पहले दो अंक, यानी 53, बाईं ओर पहले ऊर्ध्वाधर स्तंभ में तालिकाओं में पाए जाते हैं (तालिका देखें)। संख्या 53 प्राप्त करने के बाद, हम क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर आगे बढ़ते हैं जब तक कि यह रेखा शीर्ष पर सेट संख्याओं 0, 1, 2, 3, ...9 में से किसी एक से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। नीचे) तालिका का, जो इस संख्या के तीसरे अंक का प्रतिनिधित्व करता है, यानी हमारे उदाहरण में, संख्या 6. चौराहे पर हमें मंटिसा 7292 (यानी 0.7292) मिलता है, जो संख्या 536 के लघुगणक से संबंधित है। इसी तरह, संख्या 508 के लिए हम मंटिसा 0.7059 पाते हैं, संख्या 500 के लिए हम 0.6990 आदि पाते हैं।
2) एक पूर्णांक में 2 या 1 अंक होते हैं।फिर हम मानसिक रूप से इस संख्या में एक या दो शून्य निर्दिष्ट करते हैं और इस प्रकार बनी तीन अंकों की संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते हैं। उदाहरण के लिए, हम संख्या 51 को एक शून्य निर्दिष्ट करते हैं, जिससे हमें 510 मिलता है और मंटिसा 7070 मिलता है; हम संख्या 5 के लिए 2 शून्य निर्दिष्ट करते हैं और मंटिसा 6990 आदि ज्ञात करते हैं।
3) एक पूर्णांक को 4 अंकों से व्यक्त किया जाता है।उदाहरण के लिए, आपको लॉग 5436 का मंटिसा ढूंढना होगा। फिर पहले हम तालिकाओं में पाते हैं, जैसा कि अभी संकेत दिया गया था, इस संख्या के पहले 3 अंकों द्वारा दर्शाई गई संख्या के लिए मंटिसा, यानी 543 के लिए (यह मंटिसा 7348 होगा) ); फिर हम पाए गए मंटिसा से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर (तालिका के दाईं ओर, मोटी ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे स्थित) की ओर बढ़ते हैं जब तक कि संख्याओं में से एक से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ चौराहा न हो जाए: 1, 2 3,। .. 9, तालिका के इस भाग के शीर्ष (और सबसे नीचे) पर खड़ा है, जो किसी दिए गए संख्या के चौथे अंक का प्रतिनिधित्व करता है, यानी, हमारे उदाहरण में, संख्या 6। चौराहे पर हम सुधार (संख्या) पाते हैं 5), जिसे संख्या 5436 का मंटिसा प्राप्त करने के लिए मन में मंटिसा 7348 पर लागू किया जाना चाहिए; इस प्रकार हम 0.7353 का मंटिसा प्राप्त करेंगे।
4) एक पूर्णांक को 5 या अधिक अंकों के साथ व्यक्त किया जाता है।फिर हम पहले 4 को छोड़कर सभी अंकों को हटा देते हैं और एक अनुमानित चार अंकों की संख्या लेते हैं और उसमें इस संख्या के अंतिम अंक को 1 से बढ़ा देते हैं। वह स्थिति जब संख्या का छोड़ा गया 5वां अंक 5 या 5 से अधिक हो। तो, 57842 के बजाय हम 5784 लेते हैं, 30257 के बजाय हम 3026 लेते हैं, 583263 के बजाय हम 5833 लेते हैं, आदि। इस गोलाकार चार अंकों की संख्या के लिए, हम मंटिसा पाते हैं जैसा कि अब समझाया गया है।
इन निर्देशों द्वारा निर्देशित, उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणक पाएंगे:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
सबसे पहले, अभी तालिकाओं का जिक्र किए बिना, आइए कुछ विशेषताओं को नीचे रखें, मंटिसा के लिए जगह छोड़ें, जिसे हम बाद में लिखते हैं:
लॉग 36.5 = 1,.... लॉग 0.00345 = 3,....
लॉग 804.7 = 2,.... लॉग 7.2634 = 0,....
लॉग 0.26 = 1,.... लॉग 3456.86 = 3,....
लॉग 36.5 = 1.5623; लॉग 0.00345 = 3.5378;
लॉग 804.7 = 2.9057; लॉग 7.2634 = 0.8611;
लॉग 0.26 = 1.4150; लॉग 3456.86 = 3.5387।
280. टिप्पणी. कुछ चार अंकों वाली तालिकाओं में (उदाहरण के लिए, तालिकाओं में वी. लोरचेंको और एन. ओग्लोब्लिन, एस. ग्लेज़नेप, एन. कामेंशिकोवा) इस संख्या के चौथे अंक का सुधार नहीं किया गया है। ऐसी तालिकाओं से निपटते समय, इन सुधारों को एक सरल गणना का उपयोग करके पाया जाना चाहिए, जिसे निम्नलिखित सत्य के आधार पर किया जा सकता है: यदि संख्याएं 100 से अधिक हैं, और उनके बीच का अंतर 1 से कम है, तो बिना संवेदनशील त्रुटि यह माना जा सकता है लघुगणक के बीच का अंतर संबंधित संख्याओं के बीच के अंतर के समानुपाती होता है . उदाहरण के लिए, हमें संख्या 5367 के अनुरूप मंटिसा खोजने की आवश्यकता है। यह मंटिसा, निश्चित रूप से, संख्या 536.7 के समान है। हम संख्या 536 के लिए तालिकाओं में मंटिसा 7292 पाते हैं। इस मंटिसा की तुलना दाईं ओर, संख्या 537 के अनुरूप मंटिसा 7300 से करने पर, हम देखते हैं कि यदि संख्या 536 में 1 की वृद्धि होती है, तो इसकी मंटिसा में 8 दस की वृद्धि होगी -हज़ारवाँ (8 तथाकथित है सारणीबद्ध अंतरदो आसन्न मंटिसा के बीच); यदि संख्या 536 में 0.7 की वृद्धि होती है, तो इसका मंटिसा 8 दस-हजारवें हिस्से से नहीं, बल्कि कुछ छोटी संख्या से बढ़ जाएगा एक्स दस-हजारवां, जो अनुमत आनुपातिकता के अनुसार, अनुपात को पूरा करना चाहिए:
एक्स :8=0.7:1; कहाँ एक्स = 8 07 = 5,6,
जो 6 दस-हजारवें भाग तक पूर्णांकित है। इसका मतलब यह है कि संख्या 536.7 (और इसलिए संख्या 5367 के लिए) के लिए मंटिसा होगा: 7292 + 6 = 7298।
ध्यान दें कि तालिकाओं में दो आसन्न संख्याओं द्वारा एक मध्यवर्ती संख्या ज्ञात करना कहलाता है अंतर्वेशन.यहाँ वर्णित प्रक्षेप को कहा जाता है आनुपातिक, क्योंकि यह इस धारणा पर आधारित है कि लघुगणक में परिवर्तन संख्या में परिवर्तन के समानुपाती होता है। इसे रैखिक भी कहा जाता है, क्योंकि यह मानता है कि ग्राफिक रूप से लघुगणकीय फ़ंक्शन में परिवर्तन एक सीधी रेखा द्वारा व्यक्त किया जाता है।
281. अनुमानित लघुगणक की त्रुटि की सीमा.यदि वह संख्या जिसका लघुगणक खोजा जा रहा है, एक सटीक संख्या है, तो 4-अंकीय तालिकाओं में पाए जाने वाले उसके लघुगणक की त्रुटि सीमा के लिए, हम, जैसा कि हमने कहा, ले सकते हैं 1 / 2 दस हज़ारवां हिस्सा. यदि दी गई संख्या सटीक नहीं है, तो त्रुटि के इस मार्जिन में, संख्या की अशुद्धि से उत्पन्न होने वाली किसी अन्य त्रुटि की सीमा भी जोड़नी होगी। यह सिद्ध हो गया है (हम इस प्रमाण को छोड़ देते हैं) कि ऐसी सीमा तक कोई भी उत्पाद ले सकता है
ए(डी +1) दस हज़ारवां.,
जिसमें ए यह मानते हुए कि सबसे सटीक संख्या में त्रुटि की संभावना है इसके पूर्णांक भाग में 3 अंक लिये जाते हैं, ए डी दो लगातार तीन अंकों वाली संख्याओं के अनुरूप मंटिसा का सारणीबद्ध अंतर, जिनके बीच यह अचूक संख्या संलग्न है। इस प्रकार, लघुगणक की अंतिम त्रुटि की सीमा सूत्र द्वारा व्यक्त की जाएगी:
1 / 2 + ए(डी +1) दस हज़ारवाँ
उदाहरण. लॉग खोजें π , के लिए ले रहा हूँ π अनुमानित संख्या 3.14, सटीक 1 / 2 सौवां.
संख्या 3.14 में तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को हटाकर बायीं ओर से गिनती करने पर हमें तीन अंकों की संख्या 314 प्राप्त होती है, ठीक यहीं तक 1 / 2 इकाइयाँ; इसका मतलब यह है कि एक अचूक संख्या में त्रुटि की संभावना, यानी जिसे हमने अक्षर से दर्शाया है ए , अगर 1 / 2 तालिकाओं से हम पाते हैं:
लॉग 3.14 = 0.4969.
सारणीबद्ध अंतर डी संख्या 314 और 315 के मंटिसा के बीच 14 है, इसलिए पाए गए लघुगणक की त्रुटि कम होगी
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 दस-हजारवाँ.
चूँकि हम 0.4969 के लघुगणक के बारे में नहीं जानते हैं कि यह कम है या अधिक है, हम केवल यह गारंटी दे सकते हैं कि सटीक लघुगणक π 0.4969 - 0.0008 और 0.4969 + 0.0008 के बीच है, यानी 0.4961< log π < 0,4977.
282. किसी दिए गए लघुगणक से एक संख्या ज्ञात कीजिए. किसी दिए गए लघुगणक के अनुसार कोई संख्या ज्ञात करने के लिए उन्हीं तालिकाओं का उपयोग किया जा सकता है, जिनके अनुसार इन संख्याओं के मंटिसा पाए जाते हैं; लेकिन अन्य तालिकाओं का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जिसमें तथाकथित एंटीलोगारिथम रखे गए हैं, यानी, दिए गए मंटिसा के अनुरूप संख्याएं। शीर्ष पर "एंटीलॉगरिथम" लेबल वाली ये तालिकाएं, लघुगणक की तालिकाओं के बाद, इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं; उनमें से एक छोटा सा हिस्सा इस पृष्ठ पर रखा गया है (स्पष्टीकरण के लिए)।
मान लीजिए कि 4-अंकीय मंटिसा 2863 दिया गया है (हम विशेषता पर ध्यान नहीं देते हैं) और संबंधित पूर्णांक ज्ञात करना आवश्यक है। फिर, एंटीलोगारिथ्म की तालिकाओं के होने पर, हमें उन्हें ठीक उसी तरह से उपयोग करना चाहिए जैसा कि पहले किसी दिए गए नंबर के लिए मंटिसा खोजने के लिए समझाया गया था, अर्थात्: हम पहले बाएं कॉलम में मंटिसा के पहले 2 अंक पाते हैं। फिर हम इन अंकों से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं जब तक कि मंटिसा के तीसरे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ चौराहा नहीं हो जाता, जिसे शीर्ष रेखा (या नीचे) में खोजा जाना चाहिए। चौराहे पर हमें मंटिसा 286 के अनुरूप चार अंकों की संख्या 1932 मिलती है। फिर इस संख्या से हम क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर आगे बढ़ते हैं जब तक कि मंटिसा के चौथे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ चौराहा नहीं हो जाता, जो अवश्य होना चाहिए वहां रखी संख्याओं 1, 2, 3,... 9 के बीच सबसे ऊपर (या नीचे) पाया जा सकता है। चौराहे पर, हमें सुधार 1 मिलता है, जिसे पहले पाई गई संख्या 1032 पर (दिमाग में) लागू किया जाना चाहिए 2863 के मंटिसा के अनुरूप संख्या प्राप्त करने के लिए।
इस प्रकार, संख्या 1933 होगी। उसके बाद विशेषता पर ध्यान देते हुए, संख्या 1933 में कब्जे वाले को उचित स्थान पर रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:
अगर लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3.2863, फिर एक्स = 1933,
„ लकड़ी का लट्ठा एक्स= 1,2863, „ एक्स = 19,33,
, लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2&63, „ एक्स = 1,933,
„ लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,2863, „ एक्स = 0,01933
यहां और भी उदाहरण हैं:
लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2287, एक्स = 1,693,
लकड़ी का लट्ठा एक्स = 1 ,7635, एक्स = 0,5801,
लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3,5029, एक्स = 3184,
लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,0436, एक्स = 0,01106.
यदि मंटिसा में 5 या अधिक अंक हैं, तो हम केवल पहले 4 अंक लेते हैं, बाकी को हटा देते हैं (और यदि 5वां अंक पांच या अधिक है तो 4वें अंक को 1 से बढ़ा देते हैं)। उदाहरण के लिए, मंटिसा 35478 के स्थान पर हम 3548 लेते हैं, 47562 के स्थान पर हम 4756 लेते हैं।
283. टिप्पणी.मंटिसा के चौथे और अगले अंक का सुधार भी प्रक्षेप द्वारा पाया जा सकता है। इसलिए, यदि मंटिसा 84357 है, तो, मंटिसा 843 के अनुरूप संख्या 6966 प्राप्त करने के बाद, हम इस प्रकार आगे तर्क कर सकते हैं: यदि मंटिसा 1 (हजारवां) बढ़ जाता है, यानी 844 हो जाता है, तो संख्या, जैसा कि हो सकता है तालिकाओं से देखा जाए तो 16 इकाइयों की वृद्धि होगी; यदि मंटिसा 1 (हजारवां) नहीं, बल्कि 0.57 (हजारवां) बढ़ता है, तो संख्या बढ़ जाएगी एक्स इकाइयां, और एक्स अनुपात को संतुष्ट करना चाहिए:
एक्स : 16 = 0.57: 1, कहाँ से एक्स = 16 0,57 = 9,12.
इसका मतलब है कि वांछित संख्या 6966 + 9.12 = 6975.12 या (केवल चार अंकों तक सीमित) 6975 होगी।
284. पाए गए नंबर की त्रुटि की सीमा.यह साबित होता है कि उस स्थिति में जब पाए गए नंबर में अल्पविराम बाईं ओर से तीसरे अंक के बाद होता है, यानी जब लघुगणक की विशेषता 2 होती है, तो योग को त्रुटि के मार्जिन के रूप में लिया जा सकता है
कहाँ ए लघुगणक (दस-हजारवें में व्यक्त) की त्रुटि का मार्जिन है जिसके द्वारा संख्या पाई गई थी, और डी - दो तीन अंकों की लगातार संख्याओं के मंटिसा के बीच का अंतर, जिसके बीच पाया गया नंबर संलग्न है (बाएं से तीसरे अंक के बाद अल्पविराम के साथ)। जब विशेषता 2 नहीं, बल्कि कुछ और हो, तो पाई गई संख्या में अल्पविराम को बाईं या दाईं ओर ले जाना होगा, यानी संख्या को 10 की एक निश्चित शक्ति से विभाजित या गुणा करना होगा। इस स्थिति में, की त्रुटि परिणाम को भी 10 की समान घात से विभाजित या गुणा किया जाएगा।
उदाहरण के लिए, हम लघुगणक द्वारा एक संख्या ज्ञात करते हैं 1,5950 , जिसे 3 दस-हजारवें तक सटीक माना जाता है; तो फिर ए = 3 . एंटीलोगारिथ्म की तालिका से प्राप्त इस लघुगणक के अनुरूप संख्या है 39,36 . बायीं ओर तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को हटाने पर हमारे पास एक संख्या होगी 393,6 बीच में 393 और 394 . लघुगणक की तालिकाओं से, हम देखते हैं कि इन दो संख्याओं के अनुरूप मंटिसा के बीच का अंतर है 11 दस-हजारवां; मतलब डी = 11 . संख्या 393.6 की त्रुटि कम होगी
तो संख्या त्रुटि 39,36 कम होगा 0,05 .
285. नकारात्मक विशेषताओं वाले लघुगणक पर क्रियाएँ।लघुगणक को जोड़ने और घटाने में कोई कठिनाई नहीं होती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों से देखा जा सकता है:
लघुगणक को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने में भी कोई कठिनाई नहीं है, उदाहरण के लिए:
पिछले उदाहरण में, सकारात्मक मंटिसा को अलग से 34 से गुणा किया जाता है, फिर नकारात्मक विशेषता को 34 से गुणा किया जाता है।
यदि एक नकारात्मक विशेषता और एक सकारात्मक मंटिसा के लघुगणक को एक नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो वे दो तरीकों से कार्य करते हैं: या तो पहले दिए गए लघुगणक को नकारात्मक कर दिया जाता है, या मंटिसा और विशेषता को अलग-अलग गुणा किया जाता है और परिणाम एक साथ जोड़ दिए जाते हैं, क्योंकि उदाहरण:
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
विभाजित करते समय, दो स्थितियाँ होती हैं: 1) नकारात्मक विशेषता विभाजित है और 2) भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है. पहले मामले में, विशेषता और मंटिसा को अलग-अलग अलग किया जाता है:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
दूसरे मामले में, विशेषता में इतनी सारी नकारात्मक इकाइयाँ जोड़ दी जाती हैं कि परिणामी संख्या भाजक से विभाज्य हो जाए; मंटिसा में समान संख्या में सकारात्मक इकाइयाँ जोड़ी जाती हैं:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
यह परिवर्तन मन में किया जाना चाहिए, इसलिए क्रिया को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है:
286. घटाए गए लघुगणक को पदों से बदलना।लघुगणक का उपयोग करके कुछ जटिल अभिव्यक्ति की गणना करते समय, आपको कुछ लघुगणक जोड़ना होगा, दूसरों को घटाना होगा; इस मामले में, कार्य करने के सामान्य तरीके में, वे लघुगणक के पदों का योग अलग से निकालते हैं, फिर घटाए गए पदों का योग, और पहले योग से दूसरा घटाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास:
लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
तब क्रियाओं का सामान्य निष्पादन इस प्रकार स्थित होगा:
हालाँकि, घटाव को जोड़ से बदलना संभव है। इसलिए:
अब आप गणना को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं:
287. गणना के उदाहरण.
उदाहरण 1. अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें:
अगर ए = 0.8216, बी = 0.04826, सी = 0.005127और डी = 7.246.
हम इस अभिव्यक्ति का लघुगणक करते हैं:
लकड़ी का लट्ठा एक्स= 1/3 लॉग ए + 4 लॉग बी - 3 लॉग सी - 1/3 लॉग डी
अब, समय की अनावश्यक हानि से बचने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, हम सबसे पहले सभी गणनाओं को निष्पादित किए बिना और इसलिए, तालिकाओं का संदर्भ दिए बिना व्यवस्थित करते हैं:
उसके बाद, हम तालिकाएँ लेते हैं और बायीं खाली जगहों पर लघुगणक डालते हैं:
त्रुटि की सीमा.सबसे पहले, आइए संख्या की त्रुटि सीमा ज्ञात करें एक्स 1 = 194,5 , के बराबर:
तो, सबसे पहले, आपको खोजने की जरूरत है ए , यानी, अनुमानित लघुगणक की त्रुटि का मार्जिन, दस-हजारवें में व्यक्त किया गया। चलिए मान लेते हैं कि ये संख्याएँ ए, बी, सीऔर डीसभी सटीक हैं. तब व्यक्तिगत लघुगणक में त्रुटियाँ इस प्रकार होंगी (दस-हजारवें में):
वी लॉगए.......... 1 / 2
वी 1/3 लॉग ए......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 जोड़ा गया क्योंकि 1.9146 के 3 लघुगणक से विभाजित करते समय, हमने भागफल को उसके 5वें अंक को हटाकर पूर्णांकित किया, और, इसलिए, एक और त्रुटि की, कम 1 / 2 दस हजारवाँ भाग)।
अब हम लघुगणक की त्रुटि की संभावना ज्ञात करते हैं:
ए = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (दस हज़ारवाँ)।
आइए आगे परिभाषित करें डी . क्योंकि एक्स 1 = 194,5 , तो 2 क्रमागत पूर्णांक जिनके बीच है एक्स 1 इच्छा 194 और 195 . सारणीबद्ध अंतर डी इन संख्याओं के अनुरूप मंटिसा के बीच है 22 . तो संख्या की त्रुटि का मार्जिन एक्स 1 वहाँ है:
क्योंकि एक्स = एक्स 1 : 10, तो संख्या में त्रुटि की गुंजाइश एक्स के बराबर होती है 0,3:10 = 0,03 . इस प्रकार, हमें जो संख्या मिली 19,45 सटीक संख्या से कम से भिन्न है 0,03 . चूँकि हम नहीं जानते कि हमारा अनुमान कमी से पाया गया है या अधिकता से, हम केवल इसकी गारंटी दे सकते हैं
19,45 + 0,03 > एक्स > 19,45 - 0,03 , अर्थात।
19,48 > एक्स > 19,42 ,
और इसलिए, यदि हम स्वीकार करते हैं एक्स =19,4 , तो हमारे पास 0.1 तक के नुकसान के साथ एक अनुमान होगा।
उदाहरण 2गणना करें:
एक्स = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
चूँकि ऋणात्मक संख्याओं में लघुगणक नहीं होते, हम पहले पाते हैं:
एक्स" = (2,31) 3 5 √72
अपघटन द्वारा:
लकड़ी का लट्ठा एक्स"= 3 लॉग 2.31 + 1/5 लॉग72.
गणना के बाद होगा:
एक्स" = 28,99 ;
इस तरह,
एक्स = - 28,99 .
उदाहरण 3. गणना करें:
यहां एक सतत लघुगणक लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि मूल के चिह्न के नीचे y m m a है। ऐसे मामलों में, सूत्र की गणना भागों में की जाती है।
पहले हम ढूंढते हैं एन = 5 √8 , तब एन 1 = 4 √3 ; फिर, साधारण जोड़ द्वारा, हम निर्धारित करते हैं एन+ एन 1 , और अंत में गणना करें 3 √एन+ एन 1 ; निकलेगा:
एन = 1.514, एन 1 = 1,316 ; एन+ एन 1 = 2,830 .
लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग 3 √ 2,830 = 1 / 3 लॉग 2,830 = 0,1506 ;
एक्स = 1,415 .
चौथा अध्याय।
घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण.
288. घातांकीय समीकरण वह है जिसमें अज्ञात को घातांक में शामिल किया जाता है, और लघुगणक- वे जिनमें संकेत के नीचे अज्ञात प्रवेश करता है लकड़ी का लट्ठा. ऐसे समीकरणों को केवल विशेष मामलों में ही हल किया जा सकता है, और किसी को लघुगणक के गुणों और इस सिद्धांत पर निर्भर रहना पड़ता है कि यदि संख्याएँ समान हैं, तो उनके लघुगणक समान हैं, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक समान हैं, तो संगत संख्याएं बराबर हैं.
उदाहरण 1प्रश्न हल करें: 2 एक्स = 1024 .
हम समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक करते हैं:
उदाहरण 2प्रश्न हल करें: ए 2x - ए एक्स = 1 . लाना ए एक्स = पर , हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है:
य 2 - पर - 1 = 0 ,
क्योंकि 1-√5 < 0 , तो अंतिम समीकरण असंभव है (फ़ंक्शन ए एक्स हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है), और पहला देता है:
उदाहरण 3प्रश्न हल करें:
लकड़ी का लट्ठा( ए + एक्स) + लॉग ( बी + एक्स) = लॉग ( सी + एक्स) .
समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:
लकड़ी का लट्ठा[( ए + एक्स) (बी + एक्स)] = लॉग ( सी + एक्स) .
लघुगणक की समानता से हम संख्याओं की समानता के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं:
(ए + एक्स) (बी + एक्स) = सी + एक्स .
यह एक द्विघात समीकरण है, जिसका हल कठिन नहीं है।
अध्याय पांच.
चक्रवृद्धि ब्याज, सावधि भुगतान और तत्काल योगदान।
289. चक्रवृद्धि ब्याज की मुख्य समस्या।पूंजी की मात्रा कितनी है ए रूबल, द्वारा विकास में दिया गया आर बाद में चक्रवृद्धि ब्याज टी साल ( टी एक पूर्णांक है)?
ऐसा कहा जाता है कि यदि तथाकथित "ब्याज पर ब्याज" को ध्यान में रखा जाता है, तो पूंजी चक्रवृद्धि ब्याज पर दी जाती है, अर्थात, यदि पूंजी पर देय ब्याज राशि को प्रत्येक वर्ष के अंत में पूंजी में जोड़ा जाता है आगामी वर्षों में इसे ब्याज सहित बढ़ाएं।
पूंजी का प्रत्येक रूबल दिया गया आर %, एक वर्ष के भीतर लाभ लाएगा पी / 100 रूबल, और, परिणामस्वरूप, 1 वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + पी / 100 रूबल (उदाहरण के लिए, यदि पूंजी दी गई है 5 %, तो प्रत्येक रूबल एक वर्ष में बदल जाएगा 1 + 5 / 100 , यानी में 1,05 रूबल)।
संक्षिप्तता के लिए भिन्न को निरूपित करना पी / 100 उदाहरण के लिए, एक अक्षर आर , हम कह सकते हैं कि एक वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + आर रूबल; इस तरह, ए रूबल 1 वर्ष में बदल जाएंगे ए (1 + आर ) रगड़ना। एक साल बाद, यानी, विकास की शुरुआत के 2 साल बाद, इनमें से प्रत्येक रूबल ए (1 + आर ) रगड़ना। की ओर वापस मुड़ेंगे 1 + आर रगड़ना।; इसका मतलब यह है कि सारी पूंजी परिवर्तित हो जायेगी ए (1 + आर ) 2 रगड़ना। इसी प्रकार हम पाते हैं कि तीन वर्ष बाद राजधानी होगी ए (1 + आर ) 3 , चार साल में हो जाएगा ए (1 + आर ) 4 ,... सामान्य तौर पर के माध्यम से टी साल अगर टी एक पूर्णांक है, यह बदल जायेगा ए (1 + आर ) टीरगड़ना। इस प्रकार, निरूपित करना एअंतिम पूंजी, हमारे पास निम्नलिखित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र होगा:
ए = ए (1 + आर ) टीकहाँ आर = पी / 100 .
उदाहरण।होने देना ए =2 300 रूबल, पी = 4, टी=20 साल; तो सूत्र देता है:
आर = 4 / 100 = 0,04 ; ए = 2 300 (1.04) 20।
की गणना करना ए, हम लघुगणक का उपयोग करते हैं:
लकड़ी का लट्ठा ए = लॉग 2 300 + 20 लॉग 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017।
ए=5031रूबल.
टिप्पणी।इस उदाहरण में, हमारे पास था लॉग 1.04गुणा करके 20 . संख्या के बाद से 0,0170 एक अनुमान है लॉग 1.04तक 1 / 2 दस हजारवाँ भाग, तो इस संख्या का गुणनफल 20 तक ही रहेगा 1 / 2 20, अर्थात् 10 दस-हजारवें भाग तक = 1 हजारवें भाग तक। अत: कुल मिलाकर 3,7017 हम न केवल दस-हजारवें के आंकड़े की गारंटी नहीं दे सकते, बल्कि हजारवें के आंकड़े की भी पुष्टि नहीं कर सकते। ऐसे मामलों में अधिक सटीकता प्राप्त करने के लिए, यह संख्या के लिए बेहतर है 1 + आर उदाहरण के लिए, 4-अंकीय नहीं, बल्कि बड़ी संख्या में अंकों वाले लघुगणक लें। 7 अंक. इस प्रयोजन के लिए, हम यहां एक छोटी तालिका प्रदान करते हैं जिसमें सबसे सामान्य मानों के लिए 7-अंकीय लघुगणक लिखे गए हैं। आर .
290. अत्यावश्यक भुगतान हेतु मुख्य कार्य।कोई ले गया ए के लिए रूबल आर ऋण चुकाने की शर्त के साथ %, उस पर देय ब्याज सहित, में टी वर्ष, प्रत्येक वर्ष के अंत में समान राशि का भुगतान करना। यह राशि कितनी होनी चाहिए?
जोड़ एक्स ऐसी शर्तों के तहत वार्षिक भुगतान को तत्काल भुगतान कहा जाता है। आइए फिर से निरूपित करें आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज का पैसा, यानी संख्या पी / 100 . फिर पहले साल के अंत तक कर्ज ए तक बढ़ जाता है ए (1 + आर ), भुगतान के बाद एक्स रूबल यह किया जाएगा ए (1 + आर )-एक्स .
दूसरे वर्ष के अंत तक, प्रत्येक रूबल फिर से इस राशि में बदल जाएगा 1 + आर रूबल, और इसलिए ऋण होगा [ ए (1 + आर )-एक्स ](1 + आर ) = ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ), और भुगतान के लिए एक्स रूबल होंगे: ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स . इसी तरह, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि तीसरे वर्ष के अंत तक कर्ज हो जाएगा
ए (1 + आर ) 3 - एक्स (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स ,
और सामान्य तौर पर और अंत टी -वें वर्ष यह होगा:
ए (1 + आर ) टी - एक्स (1 + आर ) टी 1 - एक्स (1 + आर ) टी 2 ... - एक्स (1 + आर ) - एक्स , या
ए (1 + आर ) टी - एक्स [ 1 + (1 + आर ) + (1 + आर ) 2 + ...+ (1 + आर ) टी 2 + (1 + आर ) टी 1 ]
कोष्ठक के अंदर का बहुपद ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग को दर्शाता है; जिसका पहला सदस्य है 1 , अंतिम ( 1 + आर ) टी 1, और हर ( 1 + आर ). एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के सूत्र के अनुसार (धारा 10 अध्याय 3 § 249) हम पाते हैं:
और उसके बाद ऋण की राशि टी -वां भुगतान होगा:
समस्या की स्थिति के अनुसार अंत में कर्ज टी -वें वर्ष के बराबर होना चाहिए 0 ; इसीलिए:
कहाँ
इसकी गणना करते समय तत्काल भुगतान सूत्रलघुगणक का उपयोग करते हुए, हमें पहले एक सहायक संख्या ज्ञात करनी होगी एन = (1 + आर ) टीलघुगणक द्वारा: लॉगएन= टीलॉग (1+ आर) ; खोज एन, इसमें से 1 घटाएं, फिर हमें सूत्र का हर प्राप्त होता है एक्स, जिसके बाद, द्वितीयक लघुगणक द्वारा, हम पाते हैं:
लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग ए+ लॉग एन + लॉग आर - लॉग (एन - 1).
291. अत्यावश्यक योगदान हेतु मुख्य कार्य।प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में कोई व्यक्ति उतनी ही राशि बैंक में जमा करता है ए रगड़ना। निर्धारित करें कि इन योगदानों से बाद में कौन सी पूंजी बनती है टी यदि बैंक भुगतान करता है तो वर्ष आर चक्रवृद्धि ब्याज।
के माध्यम से निरूपित करना आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज धन, अर्थात्। पी / 100 , हम इस प्रकार तर्क देते हैं: पहले वर्ष के अंत तक, पूंजी होगी ए (1 + आर );
दूसरे वर्ष की शुरुआत में यह राशि जोड़ दी जाएगी ए रूबल; इसका मतलब यह है कि इस समय राजधानी होगी ए (1 + आर ) + ए . वर्ष 2 के अंत तक, वह ऐसा करेगा ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर );
तीसरे वर्ष की शुरुआत में फिर से पेश किया जाता है ए रूबल; तो उस समय राजधानी होगी ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) + ए ; तीसरे के अंत तक वह होगा ए (1 + आर ) 3 + ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) इन विचारों को आगे जारी रखते हुए, हम अंत तक पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी एइच्छा:
यह प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में किए गए निश्चित अवधि के योगदान का सूत्र है।
वही सूत्र निम्नलिखित तर्क से प्राप्त किया जा सकता है: में पहली किस्त ए बैंक में रहते हुए रूबल टी चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के अनुसार वर्ष बदल जायेंगे ए (1 + आर ) टीरगड़ना। दूसरी किस्त, बैंक में एक वर्ष कम होने पर, यानी। टी - 1 वर्ष, संपर्क करें ए (1 + आर ) टी 1रगड़ना। इसी तरह तीसरी किस्त भी देंगे ए (1 + आर ) टी 2आदि, और अंत में, अंतिम किस्त, केवल 1 वर्ष के लिए बैंक में रहने पर, चालू हो जाएगी ए (1 + आर ) रगड़ना। तो अंतिम पूंजी एरगड़ना। इच्छा:
ए= ए (1 + आर ) टी + ए (1 + आर ) टी 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ),
जो सरलीकरण के बाद ऊपर पाया गया सूत्र देता है।
इस सूत्र के लघुगणक का उपयोग करके गणना करते समय, आपको वही करना होगा जो तत्काल भुगतान के लिए सूत्र की गणना करते समय करते हैं, अर्थात, पहले संख्या N = ज्ञात करें ( 1 + आर ) टीइसके लघुगणक के अनुसार: लॉगएन= टीलकड़ी का लट्ठा(1 + आर ), फिर एक संख्या एन-1और फिर सूत्र का लघुगणक लें:
लॉग ए = लॉग ए+ लॉग (1 + आर) + लॉग (एन - 1) - 1ओजीआर
टिप्पणी।यदि अत्यावश्यक योगदान ए रगड़ना। शुरुआत में नहीं, बल्कि प्रत्येक वर्ष के अंत में किया जाता था (उदाहरण के लिए, एक अत्यावश्यक भुगतान किया जाता है)। एक्स कर्ज़ चुकाने के लिए), फिर, पिछले वाले की तरह बहस करते हुए, हम अंत तक पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी ए"रगड़ना। (अंतिम किस्त सहित) होगी ए रगड़ना, ब्याज नहीं देना):
ए"= ए (1 + आर ) टी 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ) + ए
जो इसके बराबर है:
अर्थात। ए"प्रकट होता है ( 1 + आर ) गुना कम ए, जिसकी अपेक्षा की जानी थी, पूंजी के प्रत्येक रूबल के बाद से ए"पूंजी के संगत रूबल से एक वर्ष कम समय के लिए बैंक में पड़ा रहता है ए.
